Уравнения във висшата математика Рационални корени на полиноми. Схема на Хорнер. Основни свойства на корените на алгебрично уравнение Метод на Лобачевски-Грефе за приближено решаване на алгебрични уравнения
Страница 1
Квадратни уравнения
В съвременната алгебра квадратното уравнение е уравнение на формата
къде са коефициентите 
всякакви реални числа и 
Непълното квадратно уравнение е уравнение от формата
Пример а) 
Така уравнението има два корена: 
Пример b)
Решение
Уравнението има два корена: 
Пример с) 
Решение
Уравнението има два корена: 
Пример д)
Решение
Уравнението няма реални корени.
Пример д) 
Решение
Това уравнение също е непълно квадратно уравнение; то винаги има един корен
Когато решавате квадратни уравнения, можете да използвате различни начинифакторизация. Така че при решаването на уравнението bизползван е методът на прилагане на общ множител. Има и друг начин - методът на групиране.
Решение.
Отговор: 
Едно и също уравнение може да бъде решено по много начини. Нека да разгледаме някои от тях с пример квадратно уравнение
Метод I
Помислете за квадратния трином 
Нека го разложим на множители, използвайки метода на групиране, като преди това сме представили термина 
като 
Ние имаме
Това означава, че даденото уравнение може да бъде пренаписано във формата
Това уравнение има два корена: 
II
начин
. Помислете за квадратен трином и го факторизирайте, като използвате метода за изолиране на перфектен квадрат; Нека първо представим член 3 като разлика 
. Ние имаме
Използвайки формулата за разликата на квадратите, получаваме
И така, корените на тричлена
III начин – графика.
Нека разгледаме графичен метод за решаване на уравнения
Решете уравнението
Нека начертаем функцията 
Координати на върха:
Оста на параболата е права 
Нека вземем две точки на абсцисната ос, които са симетрични спрямо оста на параболата, например точките 
Нека намерим стойността на функцията в тези точки 
Чрез точки 
и върха на параболата 
Нека изградим графика на функцията.
И така, корените на уравнението са абсцисите на точките на пресичане на параболата с абсцисната ос, т.е.
Нека разгледаме друга версия на графичното решение на уравнението
Нека напишем уравнението във формата 
Нека построим графики на функции в една координатна система 
И така, корените на уравнението са абсцисите на пресечните точки на построените графики
Първоначалното уравнение може да бъде решено по няколко други начина чрез пренареждане на уравнението 
на ум 
или към гледката 
След това се въвеждат функциите, построяват се графики и се намират абсцисите на пресечните точки на графиките на построените функции.
Вижте задача 3 (Приложение 1).
IV начин – използване на формулата за корените на квадратно уравнение.
За решаване на квадратно уравнение от вида 
можете да използвате следния алгоритъм:
защото 
Това квадратно уравнение има два корена. Намираме тези корени с помощта на формулата
Ако b– четно число, т.е. 
Тогава
Уравнение на формата 
е редуцирано квадратно уравнение.
Ако числата 
са такива, че 
тогава тези числа са корените на уравнението. 
С това изказване, или по-скоро с изявлението, обратна на теоремата Vieta може да реши дадените квадратни уравнения.
И така, корените на уравнението
Ако в ур. сума 
тогава единият корен на уравнението винаги е 1, а другият корен се изчислява с помощта на формулата.
В ур. сума следователно 
Вижте задача 4 (Приложение 1).
Рационални уравнения
Ако 
е рационален израз, тогава уравнението 
наречено рационално уравнение.
Пример 
Нека проверим намерените корени: 
тези. 
са корените на първоначалното уравнение.
Пример 
Нека решим уравнението, като въведем променлива. Позволявам 
Това ще ни позволи да пренапишем уравнението във формата 
От ур. 
намираме 
Нека проверим намерените корени 
Тъй като 
трябва да решим още две уравнения:
И 
Корените на първото уравнение са числата 1 и –4, корените на второто уравнение са числата 
Отговор: 1, −4,
Методът за въвеждане на нова променлива се използва и при решаване на биквадратни уравнения.
Уравнение на формата 
наречено биквадратно уравнение.
Пример 
Нека въведем променлива 
Получаваме
Отговор: 2, -2.
Вижте задачи 5, 6 и 7 (Приложение 1).
Ирационални уравнения
Ако едно уравнение съдържа променлива под знака за квадратен корен, тогава такова уравнение се нарича ирационално.
Нека се обърнем към страници от историята на математиката. Концепцията за ирационални числа е била известна на питагорейците. Теоремата на Питагор доведе математиците до откриването на несъизмерими сегменти. Те получиха напълно парадоксално твърдение: дължината на диагонала на квадрат не може да се измери с никакво естествено число. Това твърдение подкопава основната теза на тяхното учение: „всичко е число“.
Откриването на несъизмеримостта показа, че като се знаят само рационални числа, е невъзможно да се намери дължината на всеки сегмент. Това означава, че наборът от сегменти е много по-широк от набора от рационални числа. Гърците решават да изградят математиката не по пътя на разширяване на понятието за число, което ще ги доведе до разглеждането на ирационални числа, а с помощта на геометрични величини. За разлика от питагорейците учените Древен изтокизползвани са приблизителни числа без никакво обяснение. Затова вместо това са написали 1,41 
, и 3 вместо число 
Нека се върнем към съвременната математика и да разгледаме начините за решаване на ирационални уравнения.
Пример: 
Методът за повдигане на квадрат на двете страни на уравнението е основният метод за решаване на ирационални уравнения.
Методът на квадратура е прост, но понякога води до проблеми.
Пример: 
Но смисълът 
като корен на рационално уравнение 
не е коренът на даденото ирационално уравнение. Тестването ще потвърди това твърдение.
Преглед:
Полученият израз няма смисъл. Под корена на четна степен не може да има отрицателно число.
Заключение: 
външен корен
Като се има предвид ir рационално уравнениеняма корени.
Пример: 
Преглед:
Ако 
Че 
- неправилно
Ако 
Че
- неправилно
Извод: даденото ирационално уравнение няма корени.
И така, ирационално уравнение се решава чрез повдигане на квадрат на двете страни; След като се реши полученото рационално уравнение, е необходимо да се извърши проверка, като се премахнат възможните външни корени.
Пример: 
Преглед:
Ако 
Че 
- истинско равенство.
Ако 
Че 
- истинско равенство.
Това означава, че и двете намерени стойности са корени на уравнението.
Отговор: 4; 5.
Пример: 
Решаваме това уравнение, като въвеждаме нова променлива.
Позволявам 
Да се върнем към първоначалната променлива.
- правилно,
- неправилно.
Вижте задача 8 (Приложение 1).
Малко теория
Определение. Две уравнения 
И 
се наричат еквивалентни, ако имат еднакви корени (или по-специално, ако и двете уравнения нямат корени).
Обикновено, когато решават уравнение, те се опитват да заменят това уравнение с по-просто, но еквивалентно на него. Такава замяна се нарича еквивалентна трансформация на уравнението.
Еквивалентни трансформации на уравнението са следните трансформации:
1. Прехвърляне на членове на уравнението от една част на уравнението в друга с противоположни знаци.
Например замяна на уравнението 
уравнение 
Има еквивалентна трансформацияуравнения Това означава, че уравненията И са еквивалентни.
2. Умножение или деление на двете страни на уравнение с едно и също ненулево число.
Например замяна на уравнението 
уравнение 
(двете страни на уравнението се умножават член по член по 10) е еквивалентна трансформация на уравнението.
Следните трансформации са неравни трансформации на уравнението:
1. Освобождаване от знаменатели, съдържащи променливи.
Например замяна на уравнението 
уравнение 
е неравномерно преобразуване на уравнението. Въпросът е, че уравнението има два корена: 2 и −2 и даденото уравнение има стойността 
не може да задоволи (знаменателят отива на нула). В такива случаи казват следното: външен корен.
2. Повдигане на квадрат на двете страни на уравнението.
Ако една от посочените нееквивалентни трансформации е била използвана в процеса на решаване на уравнението, тогава всички намерени корени трябва да бъдат проверени чрез заместване в оригиналното уравнение, тъй като сред тях може да има външни корени.
Определение.
Област на уравнението 
наречен набор 
Където 
И 
– области на дефиниране на функциите fИ ж.
Пример 
Събирайки дробите от лявата страна, получаваме уравнението
еквивалентен на оригиналния. Същото уравнение от своя страна е еквивалентно на системата
Квадратното уравнение има корени 
Където 
- външен корен.
Помислете за решението на уравнението 
Следователно първоначалното уравнение е еквивалентно на множеството
или 
или 
или 
Уравнения с променлива под знака на модула
1. Абсолютната стойност на числото а(означено |
а|
) е разстоянието от точката, представляваща дадено число a на координатната права, до началото.
От определението следва, че 
Основни свойства на модула
Пример 
Ясно е, че тук има две възможности: 
или 
Къде е лесно да се получи
Отговор: 
или 
Имайте предвид, че при решаване на уравнения от вида 
най-рационалният начин е преходът към съвкупността
Пример 
Тук горната техника ни освобождава от необходимостта да намираме интервали с постоянен знак на квадратен трином с „неприятни“ корени.
Ние имаме:
Отговор: или 
или 
Вижте задача 9 (Приложение 1).
Уравнения с параметри
Малко теория.
Учениците се сблъскват с параметри, когато въвеждат определени понятия. Например функцията за пряка пропорционалност:
линейна функция:
линейно уравнение:
квадратно уравнение:
Определение. Уравнение - неговият вид и решение, което зависи от стойностите на един или повече параметри - се нарича уравнение с параметри.
Решаване на уравнение с параметри означава
1. Намерете всички системи от стойности на параметри, за които това уравнение има решения.
2. Намерете всички решения за всяка намерена система от стойности на параметри, т.е. неизвестните и параметрите трябва да имат свои собствени диапазони от приемливи стойности.
Пример: 
Отговор: Ако 
тогава няма решения; Пример:
Тези уравнения са комбинирани задачи, в процеса на решаване на които се разработват стандартни алгоритми за решаване на уравнения и се формират и консолидират умения за работа с диапазона от допустими стойности и избор на корени. Тези уравнения са предвидени като индивидуални задачиза силни ученици.
Приложение на уравнения.
Уравнения на Навие-Стокс - система диференциални уравненияв частични производни, описващи движението на вискозна течност. Уравненията на Навие-Стокс са сред най-важните в хидродинамиката и се използват в математическото моделиране на много природен феномени технически проблеми. Наречен на френския физик Луи Навие и британския математик Джордж Стокс.
Системата се състои от уравнение на движение и уравнение на непрекъснатост.
Едно от приложенията на системата от уравнения е да опише потоци в земната мантия.
Варианти на уравнението се използват за описание на движението на атмосферните въздушни маси, по-специално при формиране на прогноза за времето. Анализът на решенията на уравнението е същността на един от отворените проблеми, за решението на който Математическият институт Клей присъди награда от 1 милион щатски долара. Необходимо е да се докаже или опровергае съществуването на глобално гладко решение на задачата на Коши за тримерните уравнения на Навие-Стокс.
Списък на използваната литература
Мордкович А.Г. Алгебра. 7 клас: В две части. Част 1: Учебник за общообразователна подготовка. институции. – 5-то изд. – М.: Мнемозина, 2002. – 160 с.: ил.
Мордкович А.Г. Алгебра. 8 клас: В две части. Част 1: Учебник за общообразователна подготовка. институции. – 6-то изд. – М.: Мнемозина, 2004. – 223 с.: ил.
А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонски, М.С. Якир Алгебричен симулатор: Наръчник за ученици и кандидати”/Изд. Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир М.С. – М.: Илекса, 2001 – 320 с.
Кривоногов В.В. Нестандартни задачи по математика: 5-11 клас. – М.: Издателство „Първи септември”, 2002. – 224 с.: ил.
Страница 1
Числата могат да бъдат разделени на групи в следния ред на нарастване на степента -
1. Множество - набор от прости числа (няма други прости делители освен себе си).
2. Множество - набор от естествени числа.
3. Множество - набор от цели числа (това са естествени числа, нула и цели отрицателни числа).
4. Множество - набор от рационални числа (това са цели числа или числа, които могат да бъдат представени като дроб, чиито числител и знаменател са цели числа. Десетичен записрационалното е или ограничено, или представимо като дроб, в което задължително има периодично повторение).
5. Множество - подмножество от реални числа, които могат да бъдат представени като радикали над полето от реални числа. Това включва всички рационални (Q), както и някои ирационални, напр. 
. По-точно, в този набор има числа, които могат да бъдат представени под формата на запис с повдигане на степен, където степента ще бъде рационално число, а всяко число, което е повдигнато на степен, ще бъде рационално положително число.
6. Множество - подмножество от реални числа, които могат да бъдат представени като радикали над полето от комплексни числа. Това включва всички рационални (Q), както и някои ирационални например, които накрая ще се окажат валидни. По-точно, в това множество има числа, които могат да бъдат представени под формата на запис с повдигане на степен, където степента е рационално число, а числото, което се повдига на степен, е рационално и може да бъде отрицателно .
Разликата между набор 6 и набор 5. Например, корените на уравнението,
, са равни.
В същото време е известно, че кубичните уравнения разрешими в радикали. Това означава, че същите тези корени могат да бъдат представени под формата на нотация с числа, математически операции и степени.
Въпрос. Имам предположение, че части от този запис ще бъдат комплексни числа, т.е. не можеш без него. Ще има корени от отрицателни числаЗадължително. Правилно ли е предположението?
Ако предположението е правилно, тогава реалните корени на кубичните уравнения винаги принадлежат на множеството, но може и да не принадлежат на множеството. Но корените на квадратно уравнение винаги принадлежат на набор с ниска мощност.
Въпрос. Дали синусът на аргумента (в градуси), представен като рационално число, винаги принадлежи на множеството (или дори), т.е. винаги ли може да се изрази в радикали?
Но нека преминем към още по-мощен набор от числа. Реалните корени на уравнение от 5-та степен не винаги могат да бъдат изразени в радикали, т.е. може дори да не са включени в , но има набор, в който са включени -
7. Много - много алгебрични числа, (подмножество от реални числа) . Този набор включва всички възможни реални корени на всички възможни алгебрични уравнения от всякаква степен и с всякакви рационални коефициенти.
Какви по-мощни множества от се считат в математиката (без да се броят най-широките множества - реални и сложни)? Не съм срещал по-мощни, обикновено, ако числото не е включено в него, то се нарича просто трансцендентално. И бих представил още един набор -
8. Набор - набор от числа, които могат да бъдат корени на всяко математическо уравнение (не непременно алгебрично), с всякакви известни функции (като синус, дзета функция, интегрален логаритъм и т.н.), които могат да бъдат разширени, представени във формата от серия или няколко реда. Нека наречем такива числа АНАЛИТИЧНИ. Казано по-просто, можете да зададете описание на крайните размери, така че от това описание да можете да намерите всяка цифра след десетичната запетая на дадено число - ad infinitum.
Досега всички разглеждани комплекти бяха подмножества на следните, т.е. подмножество и т.н. - подмножество. Следващият комплект е отделен (не е включен в него), но най-мощният.
9. Множество - набор от хаотични числа. (хаотично е моето определение). Това е наборът от всички реални числа, които не са включени в . Ако едно число е включено в , тогава това число не може да бъде представено с никакви математически описания с крайни размери (без значение - серии, или функции и т.н.), т.е. ако дадем описание на крайните размери, тогава няма да можем да използваме това описание, за да намерим която и да е цифра след десетичната запетая на дадено число - ad infinitum.
10. Множество - множеството от ВСИЧКИ реални числа. Това е обединението на несвързани множества и . Освен това, набор в набор има мярка нула. Тези. в множеството от реални числа повечето от числата са хаотични, а малцинството са аналитични.
11. Множество - множеството от всички комплексни числа. Възможно е да го разделя на подобни подгрупи (алгебричен комплекс, аналитичен, хаотичен и т.н.), но мисля, че не е необходимо.
Моята класификация правилна ли е? Какви други набори имат математиците, които са подмножества на трансцендентални числа, но не са алгебрични числа?
Формули за корените на квадратно уравнение. Разглеждат се случаите на реални, кратни и комплексни корени. Факторизиране на квадратен трином. Геометрична интерпретация. Примери за определяне на корени и факторизиране.
СъдържаниеВижте също: Решаване на квадратни уравнения онлайн
Основни формули
Разгледайте квадратното уравнение:
(1)
.
Корени на квадратно уравнение(1) се определят по формулите:
;
.
Тези формули могат да се комбинират по следния начин:
.
Когато корените на квадратно уравнение са известни, тогава полином от втора степен може да бъде представен като произведение на фактори (факторизирани):
.
След това приемаме, че това са реални числа.
Нека помислим дискриминант на квадратно уравнение:
.
Ако дискриминантът е положителен, тогава квадратното уравнение (1) има два различни реални корена:
;
.
Тогава факторизацията на квадратния трином има формата:
.
Ако дискриминантът е равен на нула, тогава квадратното уравнение (1) има два кратни (равни) реални корена:
.
Факторизация:
.
Ако дискриминантът е отрицателен, тогава квадратното уравнение (1) има два комплексно спрегнати корена:
;
.
Ето въображаемата единица, ;
и са реалните и въображаемите части на корените:
;
.
Тогава
.
Графична интерпретация
Ако начертаете функцията
,
което е парабола, тогава точките на пресичане на графиката с оста ще бъдат корените на уравнението
.
Когато , графиката пресича оста x (ос) в две точки ().
Когато , графиката докосва оста x в една точка ().
Когато , графиката не пресича оста x ().
Полезни формули, свързани с квадратно уравнение
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Извеждане на формулата за корените на квадратно уравнение
Извършваме трансформации и прилагаме формули (f.1) и (f.3):
,
Където
;
.
И така, получихме формулата за полином от втора степен във формата:
.
Това показва, че уравнението
извършва при
И .
Това е и са корените на квадратното уравнение
.
Примери за определяне на корените на квадратно уравнение
Пример 1
(1.1)
.
.
Сравнявайки с нашето уравнение (1.1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намираме дискриминанта:
.
Тъй като дискриминантът е положителен, уравнението има два реални корена:
;
;
.
От тук получаваме факторизацията на квадратния трином:
.
Графика на функцията y = 2 х 2 + 7 х + 3пресича оста x в две точки.
Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Той пресича абсцисната ос (ос) в две точки:
И .
Тези точки са корените на първоначалното уравнение (1.1).
;
;
.
Пример 2
Намерете корените на квадратно уравнение:
(2.1)
.
Нека напишем квадратното уравнение в общ вид:
.
Сравнявайки с оригиналното уравнение (2.1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намираме дискриминанта:
.
Тъй като дискриминантът е нула, уравнението има два кратни (равни) корена:
;
.
Тогава факторизацията на тринома има формата:
.
Графика на функцията y = x 2 - 4 х + 4докосва оста x в една точка.
Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Той докосва оста x (ос) в една точка:
.
Тази точка е коренът на първоначалното уравнение (2.1). Тъй като този корен се разлага два пъти:
,
тогава такъв корен обикновено се нарича кратно. Тоест, те вярват, че има два равни корена:
.
;
.
Пример 3
Намерете корените на квадратно уравнение:
(3.1)
.
Нека напишем квадратното уравнение в общ вид:
(1)
.
Нека пренапишем оригиналното уравнение (3.1):
.
Сравнявайки с (1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намираме дискриминанта:
.
Дискриминантът е отрицателен, . Следователно няма реални корени.
Можете да намерите сложни корени:
;
;
.
Тогава
.
Графиката на функцията не пресича оста x. Няма истински корени.
Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Тя не пресича оста x (ос). Следователно няма реални корени.
Няма истински корени. Сложни корени:
;
;
.
Проектът разглежда метод за приблизително намиране на корените на алгебрично уравнение - методът на Лобачевски-Грефе. В работата са дефинирани идеята на метода, неговата изчислителна схема и са намерени условията за приложимостта на метода. Представена е реализация на метода на Лобачевски–Грефе.
1 ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТ 6
1.1 Постановка на проблем 6
1.2 Алгебрични уравнения 7
1.2.1 Основни понятия за алгебрично уравнение 7
1.2.2 Корени на алгебрично уравнение 7
1.2.3 Брой реални корени на полином 9
1.3 Метод на Лобачевски–Грефе за приближено решаване на алгебрични уравнения 11
1.3.1 Идея на метод 11
1.3.2 Корени на квадрат 13
2.1 Задача 1 16
2.2 Задача 2 18
2.4 Анализ на получените резултати 20
СПИСЪК НА ЛИТЕРАТУРА 23
ВЪВЕДЕНИЕ
Днешната изчислителна технология предоставя мощни инструменти за действително извършване на работата по броене. Благодарение на това в много случаи стана възможно да се изостави приблизителното тълкуване на приложните въпроси и да се премине към решаване на проблеми в точна формулировка. Разумното използване на съвременните компютърни технологии е немислимо без умелото прилагане на методите за приблизителен и числен анализ.
Числените методи са насочени към решаване на проблеми, които възникват в практиката. Решаването на задача с помощта на числени методи се свежда до аритметични и логически операции с числа, което изисква използването на компютърни технологии, като процесори за електронни таблици на съвременни офис програми за персонални компютри.
Целта на дисциплината „Числени методи” е намирането на най-ефективния метод за решаване на конкретен проблем.
Решаването на алгебрични уравнения е един от основните проблеми на приложния анализ, необходимостта от който възниква в многобройни и разнообразни раздели на физиката, механиката, техниката и естествените науки в широкия смисъл на думата.
Този курсов проект е посветен на един от методите за решаване на алгебрични уравнения - методът на Лобачевски-Грефе.
Целта на тази работа е да се разгледа идеята за метода на Лобачевски-Грефе за решаване на алгебрични проблеми и да се предостави изчислителна схема за намиране на реални корени с помощта на MS Office Excel. Проектът разглежда основните теоретични въпроси, свързани с намирането на корените на алгебрични уравнения по метода на Лобачевски–Грефе.Практическата част на тази работа представя решения на алгебрични уравнения по метода на Лобачевски–Грефе.
1 ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТ
1.1 Постановка на проблема
Нека е дадено множество X от елементи x и множество Y с елементи y. Нека също приемем, че в множеството X е дефиниран оператор, който присвоява на всеки елемент x от X някакъв елемент y от Y. Вземете някакъв елемент
и си поставихме за цел да намерим такива елементи 
, за което 
е изображение. Тази задача е еквивалентна на решаването на уравнението
(1.1)
За него могат да се поставят следните проблеми.
Условия за съществуване на решение на уравнението.
Условие за единственост на решение на уравнението.
Алгоритъм за решение, следвайки който, би било възможно да се намерят, в зависимост от целта и условията, точно или приблизително всички решения на уравнение (1.1), или всяко едно решение, определено предварително, или някое от съществуващите.
ще има някаква функция. В този случай уравнение (1.1) може да бъде написано във формата 
(1.2)
В теорията на числените методи човек се стреми да конструира изчислителен процес, с помощта на който може да се намери решение на уравнение (1.2) с предварително определена точност. Особено голямо значениеимат конвергентни процеси, които правят възможно решаването на уравнението с всяка грешка, независимо колко малка е тя.
Нашата задача е да намерим, най-общо казано, приблизително елемента 
. За тази цел се разработва алгоритъм, който произвежда последователност от приблизителни решения 
, и по такъв начин, че връзката да е в сила
1.2 Алгебрични уравнения
1.2.1 Основни понятия за алгебричното уравнение
Помислете за алгебричния уравнение n-тостепени
къде са коефициентите 
са реални числа и 
.
Теорема 1.1 (основна теорема на алгебрата). Алгебричното уравнение от n-та степен (1.3) има точно n корена, реални и комплексни, при условие че всеки корен се брои толкова пъти, колкото е неговата кратност.
В този случай те казват, че коренът на уравнение (1.3) има кратност s if
, 
.
Комплексните корени на уравнение (1.3) имат свойството на двойна спрегнатост.
Теорема 1.2. Ако коефициентите на алгебричното уравнение (1.3) са реални, тогава комплексните корени на това уравнение са по двойки комплексно спрегнати, т.е. Ако 
(
са реални числа) е коренът на уравнение (1.3), с кратност s, след това числото 
също е коренът на това уравнение и има същата кратност s.
Последица. Алгебрично уравнение от нечетна степен с реални коефициенти има поне един реален корен.
1.2.2 Корени на алгебрично уравнение
Ако
са корените на уравнение (1.3), тогава лявата страна има следното разширение: . (1.6)
Чрез умножаване на биномите във формула (1.6) и приравняване на коефициентите при същите степени на x от лявата и дясната страна на равенството (1.6), получаваме връзките между корените и коефициентите на алгебричното уравнение (1.3):
(1.7)
Ако вземем предвид кратностите на корените, тогава разширението (1.6) приема формата
,
Където
– различни корени на уравнение (1) и 
– тяхната множественост и 
.
Производна 
се изразява, както следва:
където Q(x) е полином такъв, че
при k=1,2,…,m Следователно полиномът
е най-големият общ делителполином
и негово производно 
, и може да се намери с помощта на Евклидовия алгоритъм. Нека направим частно 
,
и получаваме полином
с реални коефициенти
, A 1 , A 2 ,…, A m , чиито корени 
са различни. По този начин решаването на алгебрично уравнение с множество корени се свежда до решаване на алгебрично уравнение от по-нисък ред с различни корени.
1.2.3 Брой реални корени на полином
Обща представа за броя на реалните корени на уравнение (1.3) на интервала (a,b) се дава от графиката на функцията
, където корените 
са абсцисите на точките на пресичане на графиката с оста Ox. Нека отбележим някои свойства на полинома P(x):
Ако P(a)P(b)
Ако P(a)P(b)>0, тогава на интервала (a, b) има четен брой или никакви корени на полинома P(x).
Определение. Нека е дадена подредена крайна система от ненулеви реални числа:
,
,…,
(1.9)
Казват, че за чифт съседни елементи
, 
система (1.9) има промяна на знака, ако тези елементи имат противоположни знаци, т.е. 
,
и няма промяна в знака, ако знаците им са еднакви, т.е.
.
Определение. Общ бройпромени в знаците на всички двойки съседни елементи
, 
система (1.9) се нарича броят на смените на знака в системата (1.9). Определение. За даден полином P(x) системата на Sturm е системата от полиноми
,
, 
, 
,…, 
,
Където 
, – остатъкът с обратен знак при деление на полином на , – остатък с противоположен знак при деление на полином на и т.н.
Забележка 1. Ако полиномът няма множество корени, тогава последният елемент от системата на Sturm е ненулево реално число.
Забележка 2. Елементите на системата на Щурм могат да бъдат изчислени с точност до положителен числов фактор.
Нека означим с N(c) броя промени на знака в системата на Щурм при x=c, при условие че нулевите елементи на тази система са зачеркнати.
Теорема 1.5. (теорема на Щурм). Ако полиномът P(x) няма множество коне и 
, 
, тогава броят на неговите реални корени 
на интервала 
точно равен на броя на загубените промени на знака в системата на Sturm на полинома 
при движение от 
преди 
, т.е.
.
Следствие 1. Ако
, след това числото 
положително и число 
отрицателните корени на полинома са съответно равни 
,
.
Следствие 2. За да бъдат реални всички корени на полином P(x) от степен n, който няма кратни корени, е необходимо и достатъчно условието да е изпълнено
.
По този начин в уравнение (1.3) всички корени ще бъдат валидни тогава и само ако:
Използвайки системата на Sturm, можете да разделите корените на алгебрично уравнение, като разделите интервала (a,b), съдържащ всички реални корени на уравнението, на краен брой частични интервали
такова, че 
.
1.3 Метод на Лобачевски–Грефе за приближено решаване на алгебрични уравнения
1.3.1 Идея на метода
Разгледайте алгебричното уравнение (1.3).Нека се преструваме, че
, (1.15)
тези. корените са различни по модул и модулът на всеки предишен корен е значително по-голям от модула на следващия. С други думи, нека приемем, че съотношението на всеки два съседни корена, броено в низходящ ред на техния брой, е количество, което е малко по абсолютна стойност:
, (1.16)
Където 
И 
– малка стойност. Такива корени се наричат разделени.
(1.17)
Където 
, 
,…, 
– количества, които са малки по абсолютна стойност спрямо единица. Пренебрегвайки в система (1.17) величините 
, ще имаме приблизителни отношения 
(1.18)
Къде да намерим корени? 
(1.19)
Точността на корените в системата от равенства (1.20) зависи от това колко малки по абсолютна стойност са количествата 
в отношенията (1.16)
За да се постигне разделяне на корените, на базата на уравнение (1.3), те съставят трансформираното уравнение
, (1.20)
чиито корени
, 
,…, 
са m-e градусакорени 
, 
,…, 
уравнение (1.3). Ако всички корени на уравнение (1.3) са различни и техните модули отговарят на условие (1.17), тогава за достатъчно голямо m корените , ,..., на уравнение (1.20) ще бъдат разделени, тъй като
при 
.
Очевидно е достатъчно да се конструира алгоритъм за намиране на уравнение, чиито корени ще бъдат квадратите на корените дадено уравнение. Тогава ще бъде възможно да се получи уравнение, чиито корени ще бъдат равни на корените на първоначалното уравнение на степен
.
1.3.2 Корени на квадрат
Записваме полинома (1.3) в следния видИ го умножете по полином от формата
Тогава получаваме
След като направи замяна
и умножаване по 
, ще има . (1.21)
Корените на полинома (1.21) са свързани с корените на полинома (1.3) чрез следната връзка
.
Следователно уравнението, което ни интересува, е
,
чиито коефициенти се изчисляват по формула (1.22)
, (1.22)
където се предполага, че
при 
.
Прилагайки последователно k пъти процеса на повдигане на квадрат на корените към полинома (1.3), получаваме полинома
, (1.23)
в който
, 
и т.н. За достатъчно голямо k е възможно да се гарантира, че корените на уравнение (1.23) удовлетворяват системата
(1.24)
Нека определим числото k, за което системата (1.24) е изпълнена с дадена точност.
Да приемем, че изискваното k вече е постигнато и равенствата (1.24) са изпълнени с приетата точност. Нека направим още едно преобразуване и да намерим полинома
,
за което важи и системата (1.24).
.
Тъй като по силата на формула (1.22)
, (1.25)
след това, замествайки (1.25) в система (1.24), получаваме, че абсолютните стойности на коефициентите
трябва да е равна на приетата точност на квадратите на коефициентите 
. Изпълнението на тези равенства ще покаже, че необходимата стойност на k вече е постигната на k-тата стъпка. По този начин повдигането на квадрат на корените на уравнение (1.3) трябва да бъде спряно, ако при приетата точност само квадратните коефициенти се запазват от дясната страна на формула (1.24), а удвоената сума на продуктите е под границата на точност.
След това реалните корени на уравнението се разделят и техните модули се намират по формулата
(1.26)
Знакът на корена може да се определи чрез груба оценка чрез заместване на стойностите 
И 
в уравнение (1.3).
2 ПРАКТИЧЕСКА ЧАСТ
2.1 Задача 1
. (2.1)
Първо, нека установим броя на реалните и комплексните корени в уравнение (2.1). За да направим това, ще използваме теоремата на Sturm.
Системата на Sturm за уравнение (2.1) ще има следната форма:
Откъде го вземаме?
Таблица 2.1.
|
Полином |
Точки на реалната ос |
|
 |
 |
|
 |
+ |
+ |
 |
– |
+ |
 |
– |
– |
 |
– |
+ |
 |
– |
– |
|
Брой промени на знаците |
1 |
3 |
Така откриваме, че броят на реалните корени в уравнение (2.1) е равен на
,
тези. уравнение (2.1) съдържа 2 реални и два комплексни корена.
За да намерим корените на уравнението, използваме метода на Лобачевски–Грефе за двойка комплексно спрегнати корени.
Нека повдигнем на квадрат корените на уравнението. Коефициентите бяха изчислени по следната формула 
, (2.2)
Където 
, (2.3)
А 
считано за равно на 0, когато 
.
Резултатите от изчисленията с осем значещи цифри са дадени в таблица 2.2
Таблица 2.2.
|
аз |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
 |
|||||
 |
0 |
-3.8000000E+01 |
3.5400000E+02 |
3.8760000E+03 |
0 |
 |
1 |
4.3000000E+01 |
7.1500000E+02 |
4.8370000E+03 |
1.0404000E+04 |
 |
|||||
 |
0 |
-1.4300000E+03 |
-3.9517400E+05 |
-1.4877720E+07 |
0 |
 |
1 |
4.1900000E+02 |
1.1605100E+05 |
8.5188490E+06 |
1.0824322E+08 |
 |
|||||
 |
0 |
-2.3210200E+05 |
-6.9223090E+09 |
-2,5123467E+13 |
0 |
 |
1 |
-5.6541000E+04 |
6.5455256E+09 |
4.7447321E+13 |
1.1716594E+16 |
 |
|||||
 |
0 |
-1.3091051E+10 |
5.3888712E+18 |
-1,5338253E+26 |
0 |
 |
1 |
-9.8941665E+09 |
4.8232776E+19 |
2.0978658E+27 |
1.3727857E+32 |
 |
|||||
 |
0 |
-9.6465552E+19 |
4.1513541E+37 |
-1,3242653E+52 |
0 |
 |
1 |
1.4289776E+18 |
2.3679142E+39 |
4.3877982E+54 |
1.8845406E+64 |
 |
|||||
 |
0 |
-4.7358285E+39 |
-1,2540130E+73 |
-8.9248610+103 |
0 |
 |
1 |
-4.7337865E+39 |
5.6070053E+78 |
1.9252683+109 |
3.5514932+128 |
 |
|||||
 |
0 |
-1.1214011E+79 |
1.8227619+149 |
-3.9826483+207 |
0 |
 |
1 |
1.1194724E+79 |
3.1438509+157 |
3.7066582+218 |
1.2613104+257 |
Както може да се види от таблица 2.2 на 7-ма стъпка корените 
, 
(преброяване в низходящ ред на модулите) могат да се считат за разделени. Намираме модулите на корените с помощта на формула (1.27) и определяме знака им с помощта на груба оценка:
Тъй като преобразуваният коефициент при 
променя знака, тогава това уравнение има комплексни корени, които се определят от уравнение (1.31) с помощта на формули (1.29) и (1.30):
аз
2.2 Задача 2
Използвайки метода на Лобачевски–Грефе, решете уравнението:. (2.4)
Като начало, използвайки теоремата на Sturm, ние определяме броя на реалните и комплексните корени в уравнение (2.2).
За това уравнение системата на Щурм има формата
Откъде го вземаме?
Таблица 2.3.
|
Полином |
Точки на реалната ос |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
+ |
|
|
– |
+ |
|
|
+ |
+ |
|
|
– |
+ |
|
|
– |
– |
|
Брой промени на знаците |
3 |
1 |
Така откриваме, че броят на реалните корени в уравнение (2.2) е равен на
,
тези. уравнение (2.2) съдържа 2 реални и два комплексни корена.
За да намерим приблизително корените на уравнението, ще използваме метода на Лобачевски–Грефе за двойка комплексно спрегнати корени.
Нека повдигнем на квадрат корените на уравнението. Ще изчислим коефициентите по формули (2.2) и (2.3).
Резултатите от изчисленията с осем значими цифри са дадени в таблица 2.4
Таблица 2.4.
|
аз |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|||||
|
|
0 |
-9.2000000E+00 |
-3.3300000E+01 |
1.3800000E+02 |
0 |
.
И 
в уравнение (2.4), което води до грешки от различен ред (съответно 4.52958089E–11 и 4.22229789E–06) за същия брой повторения.и т.н. е с общообразователен характер и е от голямо значение за изучаване на ЦЕЛИЯ курс по висша математика. Днес ще повторим „училищните“ уравнения, но не само „училищните“, а тези, които се срещат навсякъде в различни задачи vyshmat. Както обикновено, историята ще бъде разказана по приложен начин, т.е. Няма да се спирам на определения и класификации, а ще споделя с вас точно личен опитрешения. Информацията е предназначена предимно за начинаещи, но по-напредналите читатели също ще намерят много интересни точки за себе си. И разбира се, че ще има нов материал, надхвърляйки гимназия.
Така че уравнението.... Мнозина си спомнят тази дума с тръпка. Какво струват „сложните“ уравнения с корени... ...забравете за тях! Защото тогава ще срещнете най-безобидните „представители“ на този вид. Или скучно тригонометрични уравненияс десетки методи за решение. Честно казано, аз самият не ги харесах много... Не изпадайте в паника! – тогава ви очакват предимно „глухарчета“ с очевидно решение в 1-2 стъпки. Въпреки че „репеят“ със сигурност се придържа, трябва да сте обективни тук.
Колкото и да е странно, във висшата математика е много по-често да се работи с много примитивни уравнения като линеенуравнения
Какво означава да се реши това уравнение? Това означава намиране на ТАКАВА стойност на “x” (корен), която го превръща в истинско равенство. Нека хвърлим „тройката“ надясно с промяна на знака:
и пуснете „двойката“ от дясната страна (или същото нещо - умножете двете страни по)
:
За да проверим, нека заместим спечеления трофей в оригиналното уравнение: 
Получава се правилното равенство, което означава, че намерената стойност наистина е коренът на това уравнение. Или, както се казва, удовлетворява това уравнение.
Моля, обърнете внимание, че коренът може да бъде написан и във формата десетичен знак:
И се опитайте да не се придържате към този лош стил! Повтарях причината повече от веднъж, по-специално в първия урок по висша алгебра.
Между другото, уравнението може да се реши и „на арабски“:
И най-интересното е, че този запис е напълно легален! Но ако не сте учител, тогава е по-добре да не правите това, защото оригиналността тук е наказуема =)
А сега малко за
метод на графично решение
Уравнението има формата и коренът му е Координата "X". пресечни точки графика на линейна функцияс графика на линейна функция (ос x):
Изглежда, че примерът е толкова елементарен, че тук няма какво повече да се анализира, но още един неочакван нюанс може да бъде „изстискан“ от него: нека представим същото уравнение във формата и да изградим графики на функциите: 
при което, моля, не бъркайте двете понятия: уравнението е уравнение и функция– това е функция! Функции само помощнамерете корените на уравнението. От които може да има две, три, четири или дори безкрайно много. Най-близкият пример в този смисъл е известният квадратно уравнение, алгоритъмът за решение, за който получи отделен параграф "горещи" училищни формули. И това не е случайно! Ако можете да решите квадратно уравнение и да знаете Питагорова теорема, тогава може да се каже, че „половината от висшата математика вече е в джоба ви“ =) Преувеличено, разбира се, но не толкова далеч от истината!
Затова, нека не бъдем мързеливи и да решим някакво квадратно уравнение, използвайки стандартен алгоритъм:
, което означава, че уравнението има две различни валиденкорен: 
Лесно е да се провери дали и двете намерени стойности действително отговарят на това уравнение: 
Какво да направите, ако изведнъж сте забравили алгоритъма за решение и нямате средства/ръце за помощ под ръка? Тази ситуация може да възникне например по време на тест или изпит. Използваме графичния метод! И има два начина: можете изграждане точка по точкапарабола 
, като по този начин установява къде пресича оста (ако изобщо се пресича). Но е по-добре да направите нещо по-хитро: представете си уравнението във формуляра, нарисувайте повече графики прости функции- И "X" координатипресечните им точки са ясно видими! 
Ако се окаже, че правата линия докосва параболата, тогава уравнението има два съвпадащи (множествени) корена. Ако се окаже, че правата не пресича параболата, значи няма истински корени.
За да направите това, разбира се, трябва да можете да строите графики на елементарни функции, но от друга страна дори ученик може да направи тези умения.
И отново - уравнението си е уравнение, а функциите са функции, които само помогнареши уравнението!
И тук, между другото, би било уместно да запомните още нещо: ако всички коефициенти на едно уравнение се умножат по ненулево число, тогава неговите корени няма да се променят.
Така например уравнението 
има същите корени. Като просто „доказателство“ ще извадя константата извън скоби: 
и ще го махна безболезнено (Ще разделя двете части на „минус две“):
НО!Ако разгледаме функцията 
, тогава не можете да се отървете от константата тук! Допустимо е само множителят да бъде изваден от скоби: 
.
Много хора подценяват метода на графичното решение, смятайки го за нещо „недостойно“, а някои дори напълно забравят за тази възможност. И това е фундаментално погрешно, тъй като начертаването на графики понякога просто спасява ситуацията!
Друг пример: да предположим, че не помните корените на най-простото тригонометрично уравнение: . Общата формула е в училищните учебници, във всички справочници по елементарна математика, но те не са достъпни за вас. Решаването на уравнението обаче е критично (известно още като „две“). Има изход! – изграждане на графики на функции: 
след което спокойно записваме координатите „X“ на техните пресечни точки: 
Има безкрайно много корени и в алгебрата е приета тяхната съкратена нотация:
, Където ( – набор от цели числа)
.
И без да „излизаме“, няколко думи за графичния метод за решаване на неравенства с една променлива. Принципът е същият. Така че, например, решението на неравенството е всяко „x“, защото Синусоидата лежи почти изцяло под правата линия. Решението на неравенството е набор от интервали, в които частите от синусоидата лежат строго над правата линия (ос x):
или накратко:
Но ето многото решения на неравенството: празен, тъй като нито една точка от синусоидата не лежи над правата линия.
Има ли нещо, което не разбирате? Спешно изучавайте уроците за комплектиИ функционални графики!
Да загреем:
Упражнение 1
Решете графично следните тригонометрични уравнения:
Отговори в края на урока
Както можете да видите, за да изучавате точни науки, изобщо не е необходимо да тъпчете формули и справочници! Освен това това е фундаментално погрешен подход.
Както вече ви уверих в самото начало на урока, сложните тригонометрични уравнения в стандартния курс по висша математика трябва да се решават изключително рядко. Цялата сложност, като правило, завършва с уравнения като , чието решение е две групи корени, произхождащи от най-простите уравнения и 
. Не се притеснявайте много за решаването на последното - погледнете в книга или я намерете в Интернет =)
Методът на графичното решение може да помогне и в по-малко тривиални случаи. Помислете, например, за следното уравнение на „парцал“:
Перспективите за неговото решение изглеждат... изобщо не приличат на нищо, но просто трябва да си представите уравнението във формата, изградете функционални графикии всичко ще се окаже невероятно просто. В средата на статията има рисунка за безкрайно малки функции (ще се отвори в следващия раздел).
Използвайки същия графичен метод, можете да разберете, че уравнението вече има два корена и единият от тях е равен на нула, а другият, очевидно, ирационалени принадлежи към сегмента. Този корен може да се изчисли приблизително, например, метод на допирателната. Между другото, при някои проблеми се случва, че не е нужно да намирате корените, а да разберете съществуват ли изобщо. И тук може да помогне чертеж - ако графиките не се пресичат, значи няма корени.
Рационални корени на полиноми с цели коефициенти.
Схема на Хорнер
А сега ви каня да обърнете поглед към Средновековието и да усетите уникалната атмосфера на класическата алгебра. За по-добро разбиране на материала ви препоръчвам да прочетете поне малко комплексни числа.
Те са най-добрите. Полиноми.
Обект на нашия интерес ще бъдат най-често срещаните полиноми от вида с цялокоефициенти Естествено числоНаречен степен на полином, число – коефициент от най-висока степен (или само най-високия коефициент), а коефициентът е безплатен член.
Ще обознача накратко този полином с .
Корени на полиномнаричаме корените на уравнението
Обожавам желязна логика =)
За примери отидете в самото начало на статията: 
Няма проблеми с намирането на корените на полиноми от 1-ва и 2-ра степен, но с увеличаването тази задача става все по-трудна. Въпреки че от друга страна всичко е по-интересно! И точно на това ще бъде посветена втората част на урока.
Първо, буквално половината екран на теорията:
1) Според следствието основна теорема на алгебрата, степенният полином има точно комплекскорени. Някои корени (или дори всички) може да са особено валиден. Освен това сред истинските корени може да има еднакви (множество) корени (минимум две, максимум бройки).
Ако някакво комплексно число е корен на полином, тогава конюгатнеговият номер също е задължително корен на този полином (конюгираните сложни корени имат формата ).
Най-простият примере квадратно уравнение, което се появява за първи път в 8 (като)клас, и който най-после „довършихме“ в темата комплексни числа. Нека ви напомня: едно квадратно уравнение има или два различни реални корена, или множество корени, или спрегнати комплексни корени.
2) От Теорема на Безуследва, че ако едно число е корен на уравнение, тогава съответният полином може да бъде факторизиран:
, където е полином със степен .
И отново, нашият стар пример: тъй като е коренът на уравнението, тогава . След което не е трудно да се получи добре познатото „училищно“ разширение.
Следствието от теоремата на Безу има голяма практическа стойност: ако знаем корена на уравнение от 3-та степен, тогава можем да го представим във формата 
и от квадратното уравнение е лесно да се намерят останалите корени. Ако знаем корена на уравнение от 4-та степен, тогава е възможно да разширим лявата страна в продукт и т.н.
И тук има два въпроса:
Въпрос първи. Как да намерите този корен? Първо, нека да определим неговата същност: в много проблеми на висшата математика е необходимо да се намери рационален, в частност цялокорени на полиноми и в тази връзка по-нататък ще се интересуваме основно от тях.... ...толкова са хубави, толкова пухкави, че направо ти се иска да ги намериш! =)
Първото нещо, което идва на ум, е методът на избор. Помислете, например, за уравнението. Уловката тук е в свободния термин - ако беше равен на нула, тогава всичко щеше да е наред - изваждаме „x“ от скобите и самите корени „изпадат“ на повърхността: 
Но нашият свободен член е равен на „три“ и затова започваме да заместваме в уравнението различни числа, твърдейки, че е „коренът“. На първо място, подмяната на единични стойности се предполага. Нека заместим: 
получено неправилноравенство, следователно единицата „не пасва“. Е, добре, нека заместим: 
получено вярноравенство! Тоест стойността е коренът на това уравнение.
За намиране на корените на полином от 3-та степен има аналитичен метод (така наречените формули на Кардано), но сега ни интересува малко по-различна задача.
Тъй като - е коренът на нашия полином, полиномът може да бъде представен във формата и възниква Втори въпрос: как да намерим „по-малък брат“?
Най-простите алгебрични съображения предполагат, че за да направим това, трябва да разделим на . Как да разделя полином на полином? Същият училищен метод, който разделя обикновените числа - „колона“! Обсъдих този метод подробно в първите примери от урока. Комплексни граници, а сега ще разгледаме друг метод, който се нарича Схема на Хорнер.
Първо записваме „най-високия“ полином с всички
, включително нулеви коефициенти:
, след което въвеждаме тези коефициенти (стриктно в ред) в горния ред на таблицата:
Пишем корена отляво:
Веднага ще направя резервация, че схемата на Хорнър също работи, ако "червеното" число Нее коренът на полинома. Нека обаче не бързаме.
Премахваме водещия коефициент отгоре:
Процесът на запълване на долните клетки донякъде напомня на бродиране, където „минус едно“ е вид „игла“, която прониква в следващите стъпки. Умножаваме „пренесеното“ число по (–1) и добавяме числото от горната клетка към продукта:
Умножаваме намерената стойност по „червената игла“ и добавяме следния коефициент на уравнението към продукта:
И накрая, получената стойност отново се „обработва“ с „иглата“ и горния коефициент:
Нулата в последната клетка ни казва, че полиномът е разделен на без следа (както би трябвало да бъде), докато коефициентите на разширение се „премахват“ директно от долния ред на таблицата:
Така преминахме от уравнението към еквивалентно уравнение и всичко е ясно с двата останали корена (в този случай получаваме спрегнати комплексни корени).
Уравнението, между другото, може да се реши и графично: начертайте "мълния" 
и вижте, че графиката пресича оста x ()
в точка . Или същият „хитър“ трик - пренаписваме уравнението във формата, рисуваме елементарни графики и откриваме координатата „X“ на тяхната пресечна точка.
Между другото, графиката на всяка функция-полином от 3-та степен пресича оста поне веднъж, което означава, че съответното уравнение има понеедин валиденкорен. Този факт е верен за всяка полиномна функция от нечетна степен.
И тук също искам да се спра важен моменткоето се отнася до терминологията: полиномИ полиномна функция – не е едно и също нещо! Но на практика те често говорят например за „графика на полином“, което, разбира се, е небрежност.
Да се върнем обаче към схемата на Хорнер. Както споменах наскоро, тази схема работи и за други номера, но ако номерът Нее коренът на уравнението, тогава в нашата формула се появява ненулева добавка (остатък):
Нека „изпълним“ „неуспешната“ стойност според схемата на Horner. В този случай е удобно да използвате същата таблица - напишете нова „игла“ отляво, преместете водещия коефициент отгоре (лява зелена стрелка), и тръгваме: 
За да проверим, нека отворим скобите и представим подобни термини:
, ДОБРЕ.
Лесно се вижда, че остатъкът („шест“) е точно стойността на полинома при . А всъщност - как е: 
, и още по-хубаво - така:
От горните изчисления е лесно да се разбере, че схемата на Хорнър позволява не само да се факторира полинома, но и да се извърши „цивилизована“ селекция на корена. Предлагам ви сами да консолидирате алгоритъма за изчисление с малка задача:
Задача 2
Използвайки схемата на Хорнер, намерете корена на цялото число на уравнението и факторизирайте съответния полином
С други думи, тук трябва последователно да проверявате числата 1, –1, 2, –2, ... – докато в последната колона не се „начертае“ остатък нула. Това ще означава, че "иглата" на тази линия е коренът на полинома
Удобно е да подредите изчисленията в една таблица. Подробно решение и отговор в края на урока.
Методът за избор на корени е добър за относително прости случаи, но ако коефициентите и/или степента на полинома са големи, тогава процесът може да отнеме много време. Или може би има някои стойности от същия списък 1, –1, 2, –2 и няма смисъл да се разглежда? И освен това корените може да се окажат частични, което ще доведе до напълно ненаучно мушкане.
За щастие има две мощни теореми, които могат значително да намалят търсенето на „кандидат“ стойности за рационални корени:
Теорема 1Нека помислим нередуцируемдроб , където . Ако числото е коренът на уравнението, тогава свободният член се разделя на и водещият коефициент се разделя на.
В частност, ако водещият коефициент е , тогава този рационален корен е цяло число:
И ние започваме да използваме теоремата само с този вкусен детайл:
Да се върнем към уравнението. Тъй като неговият водещ коефициент е , тогава хипотетичните рационални корени могат да бъдат изключително цели числа и свободният член трябва задължително да бъде разделен на тези корени без остатък. А „три“ може да се раздели само на 1, –1, 3 и –3. Тоест имаме само 4 „коренни кандидати“. И според Теорема 1, други рационални числа не могат да бъдат корени на това уравнение ПО ПРИНЦИП.
Има малко повече „претенденти“ в уравнението: свободният член е разделен на 1, –1, 2, – 2, 4 и –4.
Моля, обърнете внимание, че числата 1, –1 са „обикновени“ в списъка с възможни корени (очевидно следствие от теоремата)и повечето най-добър изборза приоритетна проверка.
Нека да преминем към по-смислени примери:
Проблем 3
Решение: тъй като водещият коефициент е , тогава хипотетичните рационални корени могат да бъдат само цели числа и те задължително трябва да бъдат делители на свободния член. „Минус четиридесет“ е разделено на следните двойки числа:
– общо 16 „кандидати”.
И тук веднага се появява съблазнителна мисъл: възможно ли е да се отсеят всички отрицателни или всички положителни корени? В някои случаи е възможно! Ще формулирам два знака:
1) Ако всичкоАко коефициентите на полинома са неотрицателни или всички неположителни, тогава той не може да има положителни корени. За съжаление, това не е нашият случай (Сега, ако ни беше дадено уравнение - тогава да, когато заместваме която и да е стойност на полинома, стойността на полинома е строго положителна, което означава, че всички положителни числа (и ирационални също)не могат да бъдат корени на уравнението.
2) Ако коефициентите за нечетни степени са неотрицателни и за всички четни степени (включително безплатен член)са отрицателни, тогава полиномът не може да има отрицателни корени. Или „огледално“: коефициентите за нечетни степени са неположителни, а за всички четни степени са положителни.
Това е нашият случай! Поглеждайки малко по-внимателно, можете да видите, че при заместване на който и да е отрицателен „X“ в уравнението, лявата страна ще бъде строго отрицателна, което означава, че отрицателните корени изчезват
Така остават 8 числа за изследване:
„Зареждаме“ ги последователно по схемата на Хорнер. Надявам се, че вече сте усвоили умствените изчисления: 
При тестването на „двойката“ ни чакаше късмет. По този начин е коренът на разглежданото уравнение и
Остава да проучим уравнението 
. Това е лесно да се направи чрез дискриминанта, но аз ще проведа индикативен тест по същата схема. Първо, нека отбележим, че безплатният член е равен на 20, което означава Теорема 1числата 8 и 40 отпадат от списъка с възможни корени, оставяйки стойностите за изследване (един е елиминиран по схемата на Хорнер).
Записваме коефициентите на тринома в горния ред на новата таблица и Започваме проверката със същите „две“. Защо? И тъй като корените могат да бъдат кратни, моля: - това уравнение има 10 еднакви корена. Но да не се разсейваме: 
И тук, разбира се, малко се излъгах, знаейки, че корените са рационални. В крайна сметка, ако бяха ирационални или сложни, тогава щях да се изправя пред неуспешна проверка на всички останали числа. Затова на практика се ръководете от дискриминанта.
Отговор: рационални корени: 2, 4, 5
В проблема, който анализирахме, имахме късмет, защото: а) отрицателните стойности веднага паднаха и б) намерихме корена много бързо (и теоретично можехме да проверим целия списък).
Но в действителност ситуацията е много по-лоша. Каня ви да гледате една вълнуваща игра, наречена „Последният герой“:
Проблем 4
Намерете рационалните корени на уравнението
Решение: От Теорема 1числителите на хипотетични рационални корени трябва да отговарят на условието (четем „дванадесет е разделено на el“), а знаменателите отговарят на условието . Въз основа на това получаваме два списъка:
"списък el":
и "списък хм": (за щастие числата тук са естествени).
Сега нека направим списък на всички възможни корени. Първо, разделяме „el list“ на . Абсолютно ясно е, че ще се получат същите числа. За удобство нека ги поставим в таблица:
Много дроби са намалени, което води до стойности, които вече са в „списъка с герои“. Добавяме само „новобранци“: 
По същия начин разделяме същия „списък“ на: 
и накрая на
Така екипът от участници в нашата игра е завършен: 
За съжаление, полиномът в този проблем не удовлетворява критерия "положителен" или "отрицателен" и следователно не можем да отхвърлим горния или долния ред. Ще трябва да работите с всички числа.
Как се чувстваш? Хайде, вдигнете главата – има още една теорема, която образно може да се нарече „убийствената теорема“…. ..."кандидати", разбира се =)
Но първо трябва да прегледате диаграмата на Хорнър за поне един цялоточисла. Традиционно, нека вземем един. В горния ред записваме коефициентите на полинома и всичко е както обикновено:
Тъй като четири очевидно не е нула, стойността не е коренът на въпросния полином. Но тя ще ни помогне много.
Теорема 2Ако за някои общо взетостойността на полинома е различна от нула: , тогава неговите рационални корени (ако са)отговарят на условието
В нашия случай и следователно всички възможни корени трябва да отговарят на условието (да го наречем Условие № 1). Тази четворка ще бъде „убиецът” на много „кандидати”. Като демонстрация ще разгледам няколко проверки:
Да проверим "кандидата". За да направите това, нека изкуствено да го представим под формата на дроб, от която ясно се вижда, че . Нека изчислим тестовата разлика: . Четири се дели на „минус две“: , което означава, че възможният корен е преминал теста.
Да проверим стойността. Тук разликата в теста е: 
. Разбира се, и следователно вторият „субект“ също остава в списъка.
