Корени на уравнение от 2-ри ред. Линейни хомогенни диференциални уравнения. Построяване на общо решение на линейно хомогенно

Хомогенна линейна диференциални уравнениявтори ред с постоянни коефициенти имат формата

където p и q са реални числа. Нека да разгледаме примери за това как се решават хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Решението на линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред зависи от корените на характеристичното уравнение. Характеристичното уравнение е уравнението k²+pk+q=0.

1) Ако корените на характеристичното уравнение са различни реални числа:

тогава общото решение на линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти има формата

2) Ако корените на характеристичното уравнение са равни реални числа

(например с дискриминант равен на нула), тогава общото решение на хомогенно диференциално уравнение от втори ред е

3) Ако корените на характеристичното уравнение са комплексни числа

(например с дискриминант, равен на отрицателно число), тогава общото решение на хомогенно диференциално уравнение от втори ред се записва във формата

Примери за решаване на линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти

Намерете общи решения на хомогенни диференциални уравнения от втори ред:

Съставяме характеристичното уравнение: k²-7k+12=0. Неговият дискриминант е D=b²-4ac=1>0, така че корените са различни реални числа.

Следователно, общото решение на този хомогенен DE от 2-ри ред е

Нека съставим и решим характеристичното уравнение:

Корените са реални и различни. Следователно имаме общо решение на това хомогенно диференциално уравнение:

В този случай характеристичното уравнение

Корените са различни и валидни. Следователно общото решение на хомогенно диференциално уравнение от 2-ри ред е тук

Характеристично уравнение

Тъй като корените са реални и равни, за това диференциално уравнение записваме общото решение като

Характеристичното уравнение е тук

Тъй като дискриминантът е отрицателно число, корените на характеристичното уравнение са комплексни числа.

Общото решение на това хомогенно диференциално уравнение от втори ред има формата

Характеристично уравнение

От тук намираме общото решение на този диференциал. уравнения:

Примери за самопроверка.

§ 9. Линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти

Дефиниране на LODE от втори ред с постоянни коефициенти

Характеристично уравнение:

Случай 1. Дискриминант по-голям от нула

Случай 2. Дискриминантът е нула

Случай 3. Дискриминант по-малък от нула

Алгоритъм за намиране общо решение LOD от втори ред с постоянни коефициенти

§ 10. Линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти

Определяне на LPDE от втори ред с постоянни коефициенти

Метод на вариация на константите

Метод за решаване на LNDDE със специална дясна страна

Теорема за структурата на общото решение на LNDE

1. Функция r (х) – полином от степен T

2. Функция r (х) – произведение на число по експоненциална функция

3. Функция r (х) - сума тригонометрични функции

Алгоритъм за намиране на общо решение на LPDE със специална дясна страна

Приложение

§ 9. Линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти

Диференциалното уравнение от втори ред се нарича линейно хомогенно диференциално уравнение (LODE) с постоянни коефициенти, ако изглежда така:

Където стрИ р

За да се намери общо решение на LODE, е достатъчно да се намерят неговите две различни частични решения и . Тогава общото решение на LODE ще има формата

Където СЪС 1 и СЪС

Леонард Ойлер предложи да се търсят конкретни решения на LDE във формата

Където к– определено число.

Диференциране на тази функция два пъти и заместване на изрази за при, y"И y"в уравнението, получаваме:

Полученото уравнение се нарича характеристично уравнениеЛОДУ. За да го съставите, е достатъчно да замените в оригиналното уравнение y", y"И присъответно на к 2 , ки 1:

След решаване на характеристичното уравнение, т.е. като намери корените к 1 и к 2, ние също ще намерим конкретни решения за оригиналния LODE.

Характеристичното уравнение е квадратно уравнение, неговите корени се намират чрез дискриминанта

В този случай са възможни следните три случая.

Случай 1. Дискриминант по-голям от нула , следователно корените к 1 и к 2 валидни и различни:

к 1¹ к 2

Където СЪС 1 и СЪС 2 – произволни независими константи.

Случай 2. Дискриминантът е нула , следователно корените к 1 и к 2 реални и равни:

к 1 = к 2 = к

В този случай общото решение на LODE има формата

Където СЪС 1 и СЪС 2 – произволни независими константи.

Случай 3. Дискриминант по-малък от нула . В този случай уравнението няма реални корени:

Няма корени.

В този случай общото решение на LODE има формата

Където СЪС 1 и СЪС 2 – произволни независими константи,

По този начин намирането на общо решение на LODE от втори ред с постоянни коефициенти се свежда до намиране на корените на характеристичното уравнение и използване на формули за общото решение на уравнението (без да се прибягва до изчисляване на интеграли).

Алгоритъм за намиране на общо решение на LODE от втори ред с постоянни коефициенти:

1. Намалете уравнението до формата където стрИ р– някои реални числа.

2. Създайте характеристично уравнение.

3. Намерете дискриминанта на характеристичното уравнение.

4. Използвайки формули (виж таблица 1), в зависимост от знака на дискриминанта, запишете общото решение.

маса 1

Таблица с възможни общи решения

В тази статия ще разгледаме принципите за решаване на линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти, където p и q са произволни реални числа. Първо, нека се съсредоточим върху теорията, след което приложим получените резултати при решаването на примери и задачи.

Ако срещнете непознати термини, вижте раздела за дефиниции и понятия от теорията на диференциалните уравнения.

Нека формулираме теорема, която показва в каква форма да намерим общото решение на LOD.

Теорема.

Общото решение на линейно хомогенно диференциално уравнение с коефициенти, непрекъснати в интервала на интегриране X, се определя от линейна комбинация , Където са линейно независими частични решения на LDE върху X и са произволни константи.

Така общото решение на линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти има формата y 0 =C 1 ⋅y 1 +C 2 ⋅y 2, където y 1 и y 2 са частични линейно независими решения, а C 1 и C2 са произволни константи. Остава да се научим да намираме частични решения y 1 и y 2.

Ойлер предлага да се търсят конкретни решения във формата.

Ако вземем частично решение на LODE от втори ред с постоянни коефициенти, тогава при заместване на това решение в уравнението трябва да получим идентичността:

Така получихме т.нар характеристично уравнениелинейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти. Решения k 1 и k 2 на това характеристично уравнение определят частични решения на нашия LODE от втори ред с постоянни коефициенти.

В зависимост от коефициентите p и q, корените на характеристичното уравнение могат да бъдат:

В първия случайлинейно независими частични решения на оригиналното диференциално уравнение са и , общото решение на LODE от втори ред с постоянни коефициенти е .

Функциите и наистина са линейно независими, тъй като детерминантата на Wronski е различна от нула за всяко реално x за .

Във втория случайедно конкретно решение е функцията. Като второ конкретно решение ние приемаме. Нека покажем какво наистина е конкретно решение на LODE от втори ред с постоянни коефициенти и докажем линейна независимост y 1 и y 2.

Тъй като k 1 = k 0 и k 2 = k 0 са еднакви корени на характеристичното уравнение, то има формата . Следователно е оригиналното линейно хомогенно диференциално уравнение. Нека го заместим в него и се уверим, че уравнението става идентичност:

По този начин, това е частично решение на първоначалното уравнение.

Нека покажем линейната независимост на функциите и . За да направим това, нека изчислим детерминантата на Wronski и се уверим, че е различна от нула.

Заключение: линейно независими частични решения на LODE от втори ред с постоянни коефициенти са и , а общото решение съществува за .

В третия случайимаме двойка комплексни частични решения на LDE и . Общото решение ще бъде написано като . Тези конкретни решения могат да бъдат заменени от две реални функции и , съответстващи на реалните и въображаемите части. Това може да се види ясно, ако трансформираме общото решение , използвайки формулите от теория на функцията на комплексна променливаТип:


където C3 и C4 са произволни константи.

И така, нека обобщим теорията.

Алгоритъм за намиране на общо решение на линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти.

Нека да разгледаме примери за всеки случай.

Пример.

Намерете общото решение на линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти .

Линейното диференциално уравнение от 2-ри ред (LDE) има следната форма:

където , , и са дадени функции, които са непрекъснати в интервала, на който се търси решението. Приемайки, че a 0 (x) ≠ 0, разделяме (2.1) на и след въвеждане на нови обозначения за коефициентите, записваме уравнението във формата:

Нека приемем без доказателство, че (2.2) има единствено решение на някакъв интервал, който удовлетворява всякакви начални условия , , ако на разглеждания интервал функциите , и са непрекъснати. Ако , тогава уравнение (2.2) се нарича хомогенно, а уравнение (2.2) се нарича нехомогенно в противен случай.

Нека да разгледаме свойствата на разтворите на жила от 2-ри ред.

Определение.Линейна комбинация от функции е изразът , където са произволни числа.

Теорема.Ако и – решение

тогава тяхната линейна комбинация също ще бъде решение на това уравнение.

Доказателство.

Нека поставим израза в (2.3) и покажем, че резултатът е идентичността:

Нека пренаредим условията:

Тъй като функциите са решения на уравнение (2.3), тогава всяка от скобите в последното уравнение е идентично равна на нула, което трябваше да се докаже.

Следствие 1.От доказаната теорема следва, че ако е решение на уравнение (2.3), то има и решение на това уравнение.

Следствие 2.Ако приемем, виждаме, че сумата от две решения на Lod също е решение на това уравнение.

Коментирайте.Свойството на решенията, доказано в теоремата, остава валидно за проблеми от всякакъв ред.

§3. Определителят на Вронски.

Определение.Система от функции се нарича линейно независима на определен интервал, ако нито една от тези функции не може да бъде представена като линейна комбинация от всички останали.

В случай на две функции това означава, че , т.е. . Последното условие може да бъде пренаписано като или . Детерминантата в числителя на този израз е се нарича детерминант на Вронски за функциите и . По този начин детерминантът на Вронски за две линейно независими функции не може да бъде идентично равен на нула.

Позволявам е детерминантата на Wronski за линейно независими решения и уравнение (2.3). Нека се уверим чрез заместване, че функцията удовлетворява уравнението. (3.1)

Наистина ли, . Тъй като функциите и удовлетворяват уравнение (2.3), тогава, т.е. – решение на уравнение (3.1). Нека намерим това решение: ; . Където , . , , .

От дясната страна на тази формула трябва да вземете знака плюс, тъй като само в този случай се получава идентичност. По този начин,

(3.2)

Тази формула се нарича формула на Лиувил. По-горе беше показано, че детерминантът на Вронски за линейно независими функции не може да бъде идентично равен на нула. Следователно има точка, в която детерминантата за линейно независими решения на уравнение (2.3) е различна от нула. Тогава от формулата на Лиувил следва, че функцията ще бъде различна от нула за всички стойности в разглеждания интервал, тъй като за всяка стойност и двата фактора от дясната страна на формула (3.2) са различни от нула.

§4. Структура на общото решение на жилище от 2-ри ред.

Теорема.Ако и са линейно независими решения на уравнение (2.3), тогава тяхната линейна комбинация , където и са произволни константи, ще бъде общото решение на това уравнение.

Доказателство.

Какво е решение на уравнение (2.3), следва от теоремата за свойствата на решенията на Лодо от 2-ри ред. Просто трябва да покажем това решение ще общ, т.е. необходимо е да се покаже, че за всякакви начални условия, човек може да избере произволни константи по такъв начин, че да удовлетворява тези условия. Нека го запишем начални условиякато:

Константите и от тази система от линейни алгебрични уравнения се определят уникално, тъй като детерминантата на тази система е стойността на детерминантата на Wronski за линейно независими решения на Lodu при:

,

и такъв детерминант, както видяхме в предишния параграф, е различен от нула. Теоремата е доказана.

Пример.Докажете, че функцията , където и са произволни константи, е общо решение на Lod.

Решение.

Лесно е да се провери чрез заместване, че функциите и удовлетворяват това уравнение. Тези функции са линейно независими, тъй като . Следователно, съгласно теоремата за структурата на общото решение, 2-ри ред лод е общо решение на това уравнение.

Диференциални уравнения от 2-ри ред

§1. Методи за намаляване реда на уравнение.

Диференциалното уравнение от 2-ри ред има формата:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( или диференциално" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">диференциално уравнение от 2-ри ред). Задача на Коши за диференциално уравнение от 2-ри ред (1..gif" width="85" height= "25 src =">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.

Нека диференциалното уравнение от 2-ри ред има формата: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.

Така уравнението от 2-ри ред https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Решавайки го, получаваме общия интеграл на оригиналното диференциално уравнение в зависимост от две произволни константи: DIV_ADBLOCK219">

Пример 1.Решете диференциалното уравнение https://pandia.ru/text/78/516/images/image021_18.gif" width="70" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.gif " width="39" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src=">.gif" width="112" height="25 src=">.

Това е диференциално уравнение с разделими променливи: https://pandia.ru/text/78/516/images/image026_19.gif" width="99" height="41 src=">, т.е..gif" width= " 96" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="48" height="38 src=">..gif" width=" 99 " height="38 src=">..gif" width="95" height="25 src=">.

2..gif" width="117" height="25 src=">, т.е..gif" width="102" height="25 src=">..gif" width="117" height= "25 src =">.gif" width="106" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="117" height="25 src=" >.gif" width="111" height="27 src=">

Решение.

IN дадено уравнениеВтората поръчка очевидно не включва необходимата функция https://pandia.ru/text/78/516/images/image043_16.gif" width="98" height="25 src=">.gif" width="33 " height="25 src=">.gif" width="105" height="36 src=">, което е линейно уравнение..gif" width="109" height="36 src=">.. gif" width ="144" height="36 src=">.gif" height="25 src="> от някои функции..gif" width="25" height="25 src=">.gif" width = "127" height="25 src=">.gif" width="60" height="25 src="> – редът на уравнението е понижен.

§2. Линейно диференциално уравнение от 2-ри ред.

Линейното диференциално уравнение от 2-ри ред (LDE) има следната форма:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image059_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. gif" width="42" height="25 src="> и след като въведем нови обозначения за коефициентите, записваме уравнението във формата:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image064_12.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">. gif" width="30" height="25 src="> непрекъснато..gif" width="165" height="25 src=">.gif" width="95" height="25 src="> – произволни числа.

Теорема.Ако https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> - решението е

https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> също ще бъде решение на това уравнение.

Доказателство.

Нека поставим израза https://pandia.ru/text/78/516/images/image077_11.gif" width="420" height="25 src=">.

Нека пренаредим условията:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image073_10.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="54" height="25 src=">. gif" width="94" height="25 src="> също е решение на това уравнение.

Следствие 2.Да приемем, че https://pandia.ru/text/78/516/images/image083_11.gif" width="58" height="25 src="> също е решение на това уравнение.

Коментирайте.Свойството на решенията, доказано в теоремата, остава валидно за проблеми от всякакъв ред.

§3. Определителят на Вронски.

Определение.Система от функции https://pandia.ru/text/78/516/images/image084_10.gif" width="61" height="25 src=">.gif" width="110" height="47 src= " >..gif" width="106" height="42 src=">..gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="181" height="47 src= " >.gif" width="42" height="25 src="> уравнения (2.3)..gif" width="182" height="25 src=">. (3.1)

Наистина, ..gif" width="18" height="25 src="> удовлетворяват уравнението (2..gif" width="42" height="25 src="> е решение на уравнение (3.1). .gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width="162" height="42 src="> .gif" width="51" height="25 src="> се получава идентичността. Така,

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, в който детерминантата за линейно независими решения на уравнението (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> и двата фактора от дясната страна на формула (3.2) са различни от нула.

§4. Структура на общото решение на жилище от 2-ри ред.

Теорема.Ако https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> са линейно независими решения на уравнението (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">е решение на уравнение (2.3), следва от теоремата за свойствата на решенията на сила от 2-ри ред.. gif" width="85 " height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">

Константите https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> от тази система от линейни алгебрични уравнения се определят еднозначно, тъй като детерминантата на тази система е https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. Съгласно предходния параграф, общото решение на Lod от 2-ри ред се определя лесно, ако са известни две линейно независими частични решения на това уравнение. Прост метод за намиране на частични решения на уравнение с постоянни коефициенти, предложено от L. Euler..gif" width="25" height="26 src=">, получаваме алгебрично уравнение, което се нарича характеристика:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> ще бъде решение на уравнение (5.1) само за тези стойности на k които са корените на характеристичното уравнение (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src ="> и общото решение (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. Нека проверим дали тази функция удовлетворява уравнение (5.1)..gif" width="190" height="26 src=">. Замествайки тези изрази в уравнение (5.1), получаваме

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, защото..gif" width="137" height="26 src= ">.

Конкретни решения https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> са линейно независими, защото..gif" width="166" височина ="26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" height = "25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.

И двете скоби от лявата страна на това равенство са еднакво равни на нула..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> е решение на уравнение (5.1) ..gif" width="129" height="25 src="> ще изглежда така:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

се представя като сума от общото решение https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)

и всяко конкретно решение https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> ще бъде решение на уравнение (6.1)..gif" width=" 272" height="25 src="> f(x). Това равенство е идентичност, защото..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Следователно.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width ="138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> са линейно независими решения на това уравнение. По този начин:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src="> и такъв детерминант, както видяхме по-горе, е различен от нула..gif" width="19" height="25 src="> от системата на уравнения (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> ще реши уравнението

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> в уравнение (6.5), получаваме

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)

където https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> уравнение (7.1) в случай, когато дясната страна f(x ) има специален вид.Този метод се нарича метод на неопределените коефициенти и се състои в избора на конкретно решение в зависимост от вида на дясната страна f(x).Разгледайте десните части на следната форма:

1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">, може да бъде нула. Нека посочим формата, в която трябва да се вземе конкретно решение в този случай.

а) Ако числото https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src =>>.

Решение.

За уравнението https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= " >.

Намаляваме двете части до https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> от лявата и дясната страна на равенството

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">

От получената система от уравнения намираме: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src=">, и общото решение дадено уравнениеИма:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,

където https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.

Решение.

Съответното характеристично уравнение има формата:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. Краен имаме следния израз за общото решение:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> отлично от нулата. Нека посочим вида на конкретното решение в този случай.

а) Ако числото https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,

където https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> е коренът на характеристичното уравнение за уравнението (5..gif" width="229 " height="25 src=">,

където https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.

Решение.

Корени на характеристичното уравнение за уравнението https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" height ="25 src=">.

Дясната страна на уравнението, дадено в пример 3, има специална форма: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.

За да определите https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > и го заместете в даденото уравнение:

Цитирайки подобни термини, приравнявайки коефициентите на https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height = "25 src=">.

Крайното общо решение на даденото уравнение е: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 " height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> съответно и един от тези полиноми може да бъде равен на нула. Нека посочим типа на конкретното решение в този общ случай .

а) Ако числото https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)

където https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.

б) Ако числото https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src=">, тогава конкретното решение на lndu ще изглежда така:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. В израза (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.

Пример 4.Посочете вида на конкретното решение на уравнението

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . Общото решение на Lodu има формата:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.

Допълнителни коефициенти https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > има конкретно решение за уравнението с дясната страна f1(x) и Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">вариации на произволни константи (метод на Лагранж).

Директното намиране на конкретно решение на уравнение, освен в случай на уравнение с постоянни коефициенти и със специални свободни членове, е много трудно. Следователно, за да се намери общо решение на уравнението, обикновено се използва методът на вариация на произволни константи, което винаги дава възможност да се намери общото решение на уравнението в квадратури, ако е известна основната система от решения на съответното хомогенно уравнение . Този метод е както следва.

Съгласно горното общото решение на линейно хомогенно уравнение е:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – не константи, а някои, все още неизвестни, функции на f(x). . трябва да се вземе от интервала. Всъщност в този случай детерминантата на Вронски е различна от нула във всички точки на интервала, т.е. в цялото пространство - комплексният корен на характеристичното уравнение..gif" width="20" height="25 src="> линейно независими частични решения от вида:

В общата формула за решение този корен съответства на израз на формата.