Производна на котангенс x. Производни на тригонометрични функции: тангенс, синус, косинус и др. Формули за производни на тригонометрични функции

Производната по отношение на променливата x от котангенса на x е равна на минус едно делено на синуса на квадрат от x:
(ctg x)′ =.

Извеждане на формулата за производна на котангенса

За да изведем формулата за производната на котангенса, ще използваме следните математически факти:
1) Изразяване на котангенса чрез косинус и синус:
(1) ;
2) Стойността на косинус производната:
(2) ;
3) Стойността на производната по синус:
(3) ;
4) Формулата на частното производно:
(4) ;
5) Тригонометрична формула:
(5) .

Прилагаме тези формули и правила към производната на котангенса.

.

Така получихме формулата за производната на котангенса.

Формулата на производната дроб (4) е валидна за тези стойности на променливата x, за които има производни на функциите и и за които знаменателят на дробта не е нулев:
.
В нашия случай
, . Тъй като производните на косинус и синус са определени за всички стойности на променливата x, формулата за производната на котангенса е валидна за всички x, с изключение на точките, в които синусът е равен на нула. Тоест, с изключение на точките
,
където е цяло число.
Самата функция y = ctg xопределени за всички x с изключение на точките
.
Ето защо производната на котангенса е дефинирана върху цялата област на дефиниране на функцията котангенс.

Производни от по-висок порядък

Проста формула за производната от n-ти ред на котангенса y = ctg x, Не. Но изчисляването на производните от по-висок порядък може да бъде опростено. Самият процес може да се сведе до диференциране на полином.

За да направим това, изразяваме производната на котангенса чрез самия котангенс:
.
Така открихме:
(6) .

Нека намерим производните на лявата и дясната страна на уравнение (6) и приложим правилото за диференциране на сложна функция. Получаваме производна от втори ред:
.
Нека заместим (6):
(7) .

Нека намерим производната от трети ред. За да направим това, диференцираме уравнение (7), прилагаме правилото за диференциране на сложна функция и използваме израз (6) за първата производна:
.

По подобен начин намираме производни от четвърти и пети ред:

;

.

Общо взето, производна от n-ти ред, в променливата x на функцията котангенс, , може да бъде представена като полином на степени на котангенса:
.
Коефициентите на този полином са свързани с рекурентната връзка:
,
Където
; ;
.

Обща формула

Нека си представим процеса на диференциация с една формула. За да направите това, имайте предвид, че
.
Тогава n-тата производна на котангенса има следната форма:
,
Където .

Най-често задавани въпроси

Възможно ли е да се направи печат върху документ по предоставен образец? Отговор Да, възможно е. Изпратете сканирано копие или снимка с добро качество на нашия имейл адрес и ние ще направим необходимия дубликат.

Какви видове плащане приемате? Отговор Можете да платите за документа при получаване от куриера, след проверка на правилността на попълване и качеството на изпълнение на дипломата. Това може да стане и в офис на пощенски компании, предлагащи услуги с наложен платеж.
Всички условия за доставка и плащане на документи са описани в раздел „Плащане и доставка“. Също така сме готови да изслушаме вашите предложения относно условията за доставка и плащане на документа.

Мога ли да съм сигурен, че след като направя поръчка, няма да изчезнете с парите ми? Отговор Ние имаме доста дългогодишен опит в областта на дипломното производство. Имаме няколко уебсайта, които се актуализират постоянно. Нашите специалисти работят в различни точки на страната, изработвайки над 10 документа на ден. През годините нашите документи са помогнали на много хора да разрешат проблеми с трудовата заетост или да преминат към по-високоплатена работа. Спечелили сме доверие и признание сред клиентите, така че няма абсолютно никаква причина да го правим. Освен това това е просто невъзможно да се направи физически: плащате за поръчката си в момента, в който я получите в ръцете си, няма предплащане.

Мога ли да поръчам диплома от всеки университет? Отговор Като цяло, да. Ние работим в тази област от почти 12 години. През това време се формира почти пълна база данни с документи, издадени от почти всички университети в страната и за различни години на издаване. Всичко, от което се нуждаете, е да изберете университет, специалност, документ и да попълните формата за поръчка.

Какво да направите, ако намерите печатни грешки и грешки в документ? Отговор Когато получавате документ от нашата куриерска или пощенска фирма, ви препоръчваме внимателно да проверите всички подробности. При установена печатна грешка, грешка или неточност имате право да не вземете дипломата, но трябва да посочите откритите дефекти лично на куриера или писмено чрез изпращане на имейл.
Ние ще коригираме документа възможно най-скоро и ще го изпратим отново на посочения адрес. Разбира се, доставката ще бъде платена от нашата компания.
За да избегнем подобни недоразумения, преди да попълним оригиналния формуляр, изпращаме на клиента по имейл макет на бъдещия документ за проверка и одобрение на окончателния вариант. Преди да изпратим документа по куриер или по пощата, правим и допълнителни снимки и видеозаписи (включително в ултравиолетова светлина), за да имате ясна представа какво ще получите накрая.

Какво трябва да направя, за да поръчам диплома от вашата компания? Отговор За да поръчате документ (сертификат, диплома, академична справка и др.), трябва да попълните формата за онлайн поръчка на нашия уебсайт или да предоставите имейла си, за да можем да ви изпратим формуляр за кандидатстване, който трябва да попълните и изпратите обратно за нас.
Ако не знаете какво да посочите в някое от полетата на формата за поръчка/въпросника, оставете ги празни. Затова ще уточним цялата липсваща информация по телефона.

Последни отзиви

Ториуайлд:

Реших да купя диплома от вашата компания, когато се преместих в друг град и не можах да намеря дипломата си сред нещата си. Без него нямаше да ме наемат на добра и добре платена работа. Вашият консултант ме увери, че тази информация не се разкрива и никой няма да различи документа от оригинала. Нямаше съмнения, но трябваше да рискувам. Хареса ми, че не се изисква предплащане. Общо взето си взех дипломата навреме и не съм се излъгала. Благодаря ти!

Оксана Ивановна:

Когато ми откраднаха дипломата, бях ужасно разстроен. В крайна сметка ме уволниха точно по това време и сега е почти невъзможно да си намеря добра работа без диплома за висше образование. За щастие един съсед предложи да се свържете с вашата организация. В началото бях скептичен, но реших да рискувам. Обадих се на управителя на компанията и му обясних ситуацията. И аз съм късметлия! Направиха всичко бързо и най-важното обещаха да не разкриват тайната ми. Притеснявах се да не излезе по-късно това, че съм си купил дипломата.

Маша Кутенкова:

Благодаря за труда! Поръчах си диплома от 1991г. Когато започнаха да събират документите, се оказа, че има малък опит и им трябваше и документ, потвърждаващ образованието им. Нямах такъв и шефът знаеше това и самата тя препоръча вашата компания (очевидно не съм нищо като служител). На документа тя ми посочи подробностите - те казват, в кои години използват мастило или мастило, дебелината на подписа и т.н. Благодаря ви за педантичността и качеството!

LenOK:

След като прочетох истории за срамни уволнения на служители, чиито дипломи са отпечатани на цветен принтер, отидох да кандидатствам в университета. Уви, няма бюджет, няма пари за обучение и няма пари за плащане на сесии, така че трябваше да рискувам. Въпреки че много се радвам, че срещнах вашата компания. Въпреки че не ме наеха с вашата диплома поради провал на практическия блок, вината не е ваша. Веднага щом намеря ново място, ще дойда направо при вас, без забавяне!

Джери Тери:

Гледайки с какъв срам моят колега беше изхвърлен от работа заради фалшива диплома, беше страшно да последвам примера му. Ако не беше кумата, която поръча при вас, нямаше да рискувам. Тя увери, че тук всичко е гладко и името ми ще бъде навсякъде, където е необходимо. Имах 4 дни да направя всичко. Благодарим ви за бързината - завършихме го за 3, а също така успяхме да проучим щателно методите за подправяне на документи, но вашият формуляр не се квалифицира като фалшив, което означава, че ще мине за оригинал.

Андрей:

Никога не бих си помислил, че ще трябва да си купувам диплома. След училище дъщеря ми отиде да работи в Полша; когато се върна след 5 години, искаше да си намери работа като дизайнер на дрехи в местна модна къща. Без диплома никой не искаше да я вземе на работа. Той разбра, че ако не получи тази работа, ще напусне отново. Прекарах вечерта в сърфиране в интернет, а на сутринта вече бях в офиса с документите на дъщеря ми. Седмица по-късно той взе дипломата й и тя най-накрая остана да работи в града си на желаната позиция. Нямаш представа колко съм ти благодарна!

От курса на геометрията и математиката учениците са свикнали с факта, че концепцията за производна им се предава чрез областта на фигура, диференциали, граници на функции, както и граници. Нека се опитаме да разгледаме понятието производна от различен ъгъл и да определим как производната и тригонометричните функции могат да бъдат свързани.

И така, нека разгледаме произволна крива, която се описва от абстрактната функция y = f(x).

Нека си представим, че разписанието е карта на туристически маршрут. Увеличението ∆x (делта x) на фигурата е определено разстояние от пътя, а ∆y е промяната във височината на пътя над морското равнище.
Тогава се оказва, че отношението ∆x/∆y ще характеризира сложността на маршрута на всеки сегмент от маршрута. След като научите тази стойност, можете уверено да кажете дали изкачването / слизането е стръмно, дали ще е необходимо оборудване за катерене и дали туристите се нуждаят от определена физическа подготовка. Но този индикатор ще бъде валиден само за един малък интервал ∆x.

Ако организаторът на пътуването вземе стойностите за началната и крайната точка на маршрута, т.е. ∆x е равно на дължината на маршрута, тогава той няма да може да получи обективни данни за степента на трудност на пътуването. Следователно е необходимо да се изгради друга графика, която ще характеризира скоростта и „качеството“ на промените в пътя, с други думи, определя съотношението ∆x/∆y за всеки „метър“ от маршрута.

Тази графика ще бъде визуална производна за конкретен път и обективно ще описва неговите промени на всеки интервал от интерес. Много е лесно да се провери това; стойността ∆x/∆y не е нищо повече от разлика, взета за конкретна стойност на x и y. Нека приложим диференциране не към конкретни координати, а към функцията като цяло:

Производна и тригонометрични функции

Тригонометричните функции са неразривно свързани с производните. Това може да се разбере от следния чертеж. Фигурата на координатната ос показва функцията Y = f (x) - синята крива.

K (x0; f (x0)) е произволна точка, x0 + ∆x е увеличението по оста OX, а f (x0 + ∆x) е увеличението по оста OY в определена точка L.

Нека начертаем права през точките K и L и да построим правоъгълен триъгълник KLN. Ако мислено преместите сегмента LN по графиката Y = f (x), тогава точките L и N ще се стремят към стойностите K (x0; f (x0)). Нека наречем тази точка условното начало на графиката - границата; ако функцията е безкрайна, поне на един от интервалите, тази тенденция също ще бъде безкрайна и нейната гранична стойност е близка до 0.

Естеството на тази тенденция може да се опише чрез допирателна към избраната точка y = kx + b или чрез графика на производната на оригиналната функция dy - зелената права линия.

Но къде е тук тригонометрията?! Всичко е много просто, помислете за правилния триъгълник KLN. Диференциалната стойност за конкретна точка K е тангенса на ъгъла α или ∠K:

По този начин можем да опишем геометричния смисъл на производната и нейната връзка с тригонометричните функции.

Формули за производни на тригонометрични функции

Трансформациите на синус, косинус, тангенс и котангенс при определяне на производната трябва да се запомнят.

Последните две формули не са грешка, въпросът е, че има разлика между дефинирането на производната на прост аргумент и функция в същото качество.

Нека да разгледаме сравнителна таблица с формули за производните на синус, косинус, тангенс и котангенс:

Изведени са и формули за производните на арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс, въпреки че те се използват изключително рядко:

Струва си да се отбележи, че горните формули очевидно не са достатъчни за успешно решаване на типични USE задачи, което ще бъде демонстрирано при решаването на конкретен пример за намиране на производната на тригонометричен израз.

Упражнение: Необходимо е да се намери производната на функцията и да се намери нейната стойност за π/4:

Решение: За да намерим y’ е необходимо да си припомним основните формули за преобразуване на оригиналната функция в производна, а именно.