Метод на вариация за линейни уравнения. Решение на линейни неоднородни диференциални уравнения от по -високи порядки по метода на Лагранжиан. Социални трансформации. Държава и църква
Методът на изменение на произволни константи се използва за решаване на нехомогенни диференциални уравнения... Този урок е предназначен за тези ученици, които вече са малко или много добре запознати с темата. Ако тепърва започвате да се запознавате с DU, т.е. Ако сте чайник, препоръчвам да започнете с първия урок: Диференциални уравнения от първи ред. Примери за решения... И ако вече приключвате, моля, отхвърлете възможното предубеждение, че методът е труден. Защото е просто.
В какви случаи се прилага методът за промяна на произволни константи?
1) Методът на изменение на произволна константа може да се използва за решаване линейна неравномерна DE от 1-ви ред... Тъй като уравнението е от първи ред, тогава константата (константата) също е една.
2) Методът на изменение на произволни константи се използва за решаване на някои линейни неоднородни уравнения от втори ред... Две константи варират тук.
Логично е да се предположи, че урокът ще се състои от два параграфа .... Написах това предложение и 10 минути болезнено мислех какви други умни глупости да добавя за плавен преход към практически примери. Но по някаква причина след празниците няма мисли, въпреки че той сякаш не злоупотребява с нищо. Затова нека да преминем направо към първия параграф.
Метод на промяна на произволна константа
за линейно нехомогенно уравнение от първи ред
Преди да разгледаме метода на промяна на произволна константа, препоръчително е да се запознаете със статията Линейни диференциални уравнения от първи ред... В този урок ние практикувахме първо решениенеравномерна DE от 1-ви ред. Това първо решение, напомням ви, се нарича метод на подмянаили Метод на Бернули(да не се бърка с Уравнение на Бернули!!!)
Сега ще разгледаме второ решение- метод на промяна на произволна константа. Ще дам само три примера и ще ги взема от горния урок. Защо толкова малко? Защото всъщност решението по втория начин ще бъде много подобно на решението по първия начин. Освен това, според моите наблюдения, методът за изменение на произволни константи се използва по -рядко от метода на подмяна.
Пример 1
(Различава се от пример № 2 от урока Линеен нехомогенен DE от 1 -ви ред)
Решение:Това уравнение е линейно нехомогенно и има познат вид: 
Първата стъпка е да се реши по -просто уравнение: 
Тоест, ние глупаво нулираме дясната страна - вместо да пишем нула.
Уравнението Ще се обадя спомагателно уравнение.
В този пример трябва да решите следното спомагателно уравнение:
Пред нас отделимо уравнение, чието решение (надявам се) вече не е трудно за вас: 
Поради това: 
- общо решение на спомагателното уравнение.
Във втората стъпка замениконстанта на някои ощенеизвестна функция, която зависи от "x":
Оттук и името на метода - променяме константата. Алтернативно, константата може да е някаква функция, която трябва да намерим сега.
V оригиналеннехомогенно уравнение ще заменим:
Заместване и 
в уравнението :
Контролен момент - двата термина вляво се отменят... Ако това не се случи, трябва да потърсите грешката по -горе.
В резултат на подмяната се получава уравнение с разделими променливи. Отделете променливите и ги интегрирайте.
Каква благословия, изложителите също намаляват:
Добавете "нормалната" константа към намерената функция:
На последен етаппомнете за нашата подмяна:
Току -що намерена функция!
Така че общото решение е: 
Отговор:общо решение: 
Ако отпечатате две решения, лесно ще забележите, че и в двата случая открихме едни и същи интеграли. Единствената разлика е в алгоритъма на решението.
Сега за нещо по -сложно, ще коментирам втория пример:
Пример 2
Намерете общото решение на диференциалното уравнение 
(Различава се от пример № 8 от урока Линеен нехомогенен DE от 1 -ви ред)
Решение:Нека приведем уравнението във формата :
Нека да нулираме дясната страна и да решим спомагателното уравнение:
Общо решение на спомагателното уравнение:
В нехомогенното уравнение ще заменим:
Според правилото за диференциация на продуктите: 
Заместване и в първоначалното нехомогенно уравнение:
Двата термина вляво са отменени, което означава, че сме на прав път: 
Интегрираме се по части. Вкусната буква от формулата за интегриране по части вече е използвана в решението, затова използваме например буквите „a“ и „be“:
Сега припомняме извършената подмяна:
Отговор:общо решение:
И един пример за решение „направи си сам“:
Пример 3
Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение, съответстващо на дадено начално условие.
,
(Различава се от пример № 4 от урока Линеен нехомогенен DE от 1 -ви ред)
Решение:
Този DE е линеен нехомогенен. Използваме метода на промяна на произволни константи. Нека решим спомагателното уравнение:
Отделете променливи и интегрирайте: 
Общо решение: 
В нехомогенното уравнение ще заменим: 
Нека извършим заместването: 
Така че общото решение е: 
Нека намерим конкретно решение, съответстващо на даденото начално условие: 
Отговор:частно решение:
Решението в края на урока може да послужи като груб пример за завършване на задачата.
Метод на промяна на произволни константи
за линейно нехомогенно уравнение от втори ред
с постоянни коефициенти
Често сме чували мнението, че методът за промяна на произволни константи за уравнение от втори ред не е лесно нещо. Но моето предположение е следното: най -вероятно методът изглежда труден за мнозина, тъй като не е толкова често срещан. Но в действителност няма особени трудности - ходът на решението е ясен, прозрачен, разбираем. И красив.
За овладяване на метода е желателно да можете да решавате нехомогенни уравнения от втори ред, като изберете конкретно решение под формата на дясната страна. Този метод е разгледан подробно в статията. Нехомогенна DE от 2 -ри ред... Припомняме, че линейното нехомогенно уравнение от втори ред с постоянни коефициенти има вида:
Методът на напасване, който беше разгледан в горния урок, работи само в ограничен брой случаи, когато полиноми, показатели, синуси, косинуси са от дясната страна. Но какво да правим, когато вдясно, например, дроб, логаритъм, допирателна? В такава ситуация на помощ идва методът на промяна на константи.
Пример 4
Намерете общото решение на диференциалното уравнение от втори ред 
Решение:От дясната страна на това уравнение има дроб, така че веднага можем да кажем, че методът за избор на конкретно решение не работи. Използваме метода на промяна на произволни константи.
Нищо не предвещава гръмотевична буря, началото на решението е напълно обикновено:
намирам общо решениесъответстващи хомогеннауравнения: 
Нека съставим и решим характеристичното уравнение: 
- получават се конюгирани комплексни корени, следователно общото решение е:
Обърнете внимание на записа на общото решение - ако има скоби, тогава ги разширяваме.
Сега правим практически същия трик, както при уравнението от първи ред: променяме константите, замествайки ги с неизвестни функции. Това е, общо решение за хетерогеннище търсим уравнения под формата:
Където - ощенеизвестни функции.
Прилича на депо за битови отпадъци, но сега ще сортираме всичко.
Производните на функции действат като неизвестни. Нашата цел е да намерим производни, а намерените производни трябва да отговарят както на първото, така и на второто уравнение на системата.
Откъде идват "игрите"? Щъркелът ги носи. Разглеждаме общото решение, получено по -рано, и записваме:
Нека намерим производни:
С подредени леви части. Какво има отдясно?
В този случай дясната страна на оригиналното уравнение е:
Коефициентът е коефициент при втората производна:
На практика почти винаги и нашият пример не прави изключение.
Всичко се изясни, сега можете да създадете система: 
Обикновено се решава системата по формулите на Крамеризползвайки стандартен алгоритъм. Единствената разлика е, че вместо числа имаме функции.
Нека да намерим основния детерминант на системата: 
Ако сте забравили как се разкрива определителят „две по две“, направете справка с урока Как да изчислим детерминантата?Връзката води към дъската на срама =)
И така: това означава, че системата има уникално решение.
Намерете производната: 
Но това не е всичко, досега сме открили само производната.
Самата функция се възстановява чрез интеграция:
Нека се заемем с втората функция: 
Тук добавяме "нормална" константа
На последния етап от решението си припомняме под каква форма търсихме общото решение на нехомогенното уравнение? По такъв:
Функциите, които търсите, току -що бяха намерени! 
Остава да извършим заместването и да запишем отговора:
Отговор:общо решение:
По принцип скобите могат да бъдат разширени в отговора.
Пълната проверка на отговора се извършва съгласно стандартната схема, която беше обсъдена в урока Нехомогенна DE от 2 -ри ред... Но проверката няма да бъде лесна, тъй като е необходимо да се намерят доста тежки деривати и да се извърши тромаво заместване. Това е неприятна функция, когато се занимавате с дифузия като тази.
Пример 5
Решете диференциално уравнение чрез промяна на произволни константи
Това е пример за решение „направи си сам“. Всъщност дясната страна също е дроб. Припомняме тригонометричната формула, между другото, тя ще трябва да бъде приложена в хода на решението.
Методът за изменение на произволни константи е най -универсалният метод. Те могат да решат всяко уравнение, което е решено чрез метода за избор на конкретно решение според формата на дясната страна... Възниква въпросът, защо и там да не се използва методът за промяна на произволни константи? Отговорът е очевиден: изборът на частно решение, което беше разгледано в урока Нехомогенни уравнения от втори ред, значително ускорява решението и съкращава писането - няма прецакване с детерминанти и интеграли.
Да разгледаме два примера с проблемът на Коши.
Пример 6
Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение, съответстващо на дадените начални условия
, 
Решение:Отново дроб и показател на интересно място.
Използваме метода на промяна на произволни константи.
намирам общо решениесъответстващи хомогеннауравнения: 
- получават се различни реални корени, така че общото решение е:
Общо решение за хетерогеннитърсим уравнения под формата :, където - ощенеизвестни функции.
Нека съставим системата:
В такъв случай:
,
Намерете производни: 
, 
Поради това: 
Ние решаваме системата, използвайки формулите на Cramer:
, което означава, че системата има уникално решение.
Възстановяваме функцията, като интегрираме:
Използвани тук метод за подвеждане на функция под диференциалния знак.
Възстановяваме втората функция, като интегрираме: 
Такъв интеграл е решен променлив метод на подмяна:
От самата подмяна ние изразяваме:
Поради това: 
Този интеграл може да бъде намерен метод за пълен избор на квадрат, но в примерите с различно предпочитам да разширя фракцията метод на неопределени коефициенти:
Намерени са и двете функции:
В резултат на това общото решение на нехомогенното уравнение е:
Нека намерим определено решение, което отговаря на началните условия .
Технически търсенето на решение се извършва по стандартния начин, който беше обсъден в статията Нехомогенни диференциални уравнения от втори ред.
Изчакайте, сега ще намерим производната на намереното общо решение:
Ето такъв позор. Не е необходимо да го опростявате; по -лесно е веднага да съставите система от уравнения. Според първоначалните условия :
Заменете намерените стойности на константи 
в общо решение:
В отговора логаритмите могат да бъдат опаковани малко.
Отговор:частно решение: 
Както можете да видите, трудностите могат да възникнат в интегралите и производни, но не и в алгоритъма на метода за промяна на произволни константи. Не аз ви сплаших, това е цялата колекция на Кузнецов!
За релаксация, последен, по-прост пример за решение „направи си сам“:
Пример 7
Решете проблема на Коши
, 
Един пример е прост, но креативен, когато правите система, разгледайте я отблизо, преди да вземете решение ;-),
В резултат на това общото решение е:
Нека намерим определено решение, съответстващо на началните условия .
Нека заменим намерените стойности на константи в общото решение:
Отговор:частно решение:
Помислете сега за линейното нехомогенно уравнение
. (2)
Нека y 1, y 2, .., y n е основната система от решения и общото решение на съответното хомогенно уравнение L (y) = 0. Подобно на случая с уравнения от първи ред, ще търсим решение на уравнение (2) под формата
. (3)
Нека се уверим, че съществува решение в тази форма. За да направим това, заместваме функцията в уравнението. За да заменим тази функция в уравнението, намираме нейните производни. Първото производно е 
. (4)
При изчисляване на втората производна в дясната част на (4) ще се появят четири члена, при изчисляването на третата производна ще се появят осем члена и т.н. Следователно, за удобство на по -нататъшни изчисления, първият член в (4) се приема за нула. Имайки това предвид, второто производно е 
. (5)
По същите причини като преди, в (5) също задаваме първия член равен на нула. И накрая, n -тото производно е 
. (6)
Замествайки получените стойности на дериватите в първоначалното уравнение, имаме 
. (7)
Вторият член в (7) е равен на нула, тъй като функциите y j, j = 1,2, .., n, са решения на съответното хомогенно уравнение L (y) = 0. Комбинирайки с предишното, получаваме система от алгебрични уравнения за намиране на функциите C "j (x) 
(8)
Определителят на тази система е определящият на Вронски на фундаменталната система от решения y 1, y 2, .., y n на съответното хомогенно уравнение L (y) = 0 и следователно не е равен на нула. Следователно има уникално решение на системата (8). След като го намерихме, получаваме функциите C "j (x), j = 1,2, ..., n и следователно C j (x), j = 1,2, ..., n Замествайки тези стойности в (3), получаваме решение на линейно нехомогенно уравнение.
Описаният метод се нарича метод на изменение на произволна константа или метод на Лагранж.
Пример №1. Намерете общото решение на уравнението y "" + 4y " + 3y = 9e -3 x. Помислете за съответното хомогенно уравнение y" " + 4y" + 3y = 0. Корените на характерното му уравнение r 2 + 4r + 3 = 0 са равни на -1 и - 3. Следователно основната система от решения на хомогенното уравнение се състои от функциите y 1 = e - x и y 2 = e -3 x. Търсим решението на нехомогенното уравнение под формата y = C 1 (x) e - x + C 2 (x) e -3 x. За да намерим производни C "1, C" 2, съставяме системата от уравнения (8)
C ′ 1 e -x + C ′ 2 e -3x = 0
-C ′ 1 e -x -3C ′ 2 e -3x = 9e -3x
решаването на което, намираме, Интегриране на получените функции, имаме 
Най -накрая получаваме
Пример №2. Решете линейни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти по метода на промяна на произволни константи: 
y (0) = 1 + 3ln3
y ’(0) = 10ln3
Решение:
Това диференциално уравнение се отнася до линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти.
Ще търсим решение на уравнението под формата y = e rx. За да направите това, съставяме характерното уравнение на линейно хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4
Корени на характеристичното уравнение: r 1 = 4, r 2 = 2
Следователно основната система от решения се състои от функциите: y 1 = e 4x, y 2 = e 2x
Общото решение на хомогенното уравнение има вида: y = C 1 e 4x + C 2 e 2x
Търсете определено решение по метода на промяна на произволна константа.
За да намерим производни C "i, съставяме система от уравнения:
C ′ 1 e 4x + C ′ 2 e 2x = 0
C ′ 1 (4e 4x) + C ′ 2 (2e 2x) = 4 / (2 + e -2x)
Нека изразим C "1 от първото уравнение:
C "1 = -c 2 e -2x
и заместване във втория. В резултат на това получаваме:
C "1 = 2 / (e 2x + 2e 4x)
C "2 = -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
Интегрираме получените функции C "i:
C 1 = 2ln (e -2x +2) -e -2x + C * 1
C 2 = ln (2e 2x +1) - 2x + C * 2
Тъй като y = C 1 e 4x + C 2 e 2x, тогава получаваме получените изрази във вид:
C 1 = (2ln (e -2x +2) -e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln (e -2x +2) -e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln (2e 2x +1) - 2x + C * 2) e 2x = e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
По този начин общото решение на диференциалното уравнение има вида:
y = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
или
y = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x
Нека намерим конкретно предоставено решение:
y (0) = 1 + 3ln3
y ’(0) = 10ln3
Замествайки x = 0 в намереното уравнение, получаваме:
y (0) = 2 ln (3) - 1 + ln (3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Намерете първата производна на полученото общо решение:
y ’= 2e 2x (2C 1 e 2x +C 2 -2x +4 e 2x ln (e -2x +2) +ln (2e 2x +1) -2)
Замествайки x = 0, получаваме:
y ’(0) = 2 (2C 1 + C 2 +4 ln (3) + ln (3) -2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln (3) -4 = 10ln3
Получаваме система от две уравнения:
3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln (3) -4 = 10ln3
или
C * 1 + C * 2 = 2
4C 1 + 2C 2 = 4
или
C * 1 + C * 2 = 2
2C 1 + C 2 = 2
Откъдето: C 1 = 0, C * 2 = 2
Частно решение ще бъде написано като:
y = 2e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + 2 e 2x
Разглежда се метод за решаване на линейни нехомогенни диференциални уравнения на по -високи порядки с постоянни коефициенти по метода на изменение на константите на Лагранж. Методът на Лагранж е приложим и за решаване на всякакви линейни неоднородни уравнения, ако е известна фундаменталната система от решения на хомогенното уравнение.
СъдържаниеВижте също:
Метод на Лагранж (вариация на константи)
Помислете за линейно нехомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти от произволен n-ти ред:
(1)
.
Методът на изменение на константата, който разгледахме за уравнение от първи ред, е приложим и за уравнения от по-висок ред.
Решаването се извършва на два етапа. В първата стъпка отхвърляме дясната страна и решаваме хомогенното уравнение. В резултат на това получаваме решение, съдържащо n произволни константи. На втория етап променяме константите. Тоест, считаме, че тези константи са функции на независимата променлива x и намираме формата на тези функции.
Въпреки че тук разглеждаме уравнения с постоянни коефициенти, но Методът на Лагранж е приложим и за решаване на всякакви линейни неоднородни уравнения... За това обаче трябва да се знае фундаменталната система от решения на хомогенното уравнение.
Стъпка 1. Решаване на хомогенното уравнение
Както в случая с уравнения от първи ред, първо търсим общо решение на хомогенното уравнение, приравнявайки нехомогенната дясна част на нула:
(2)
.
Общото решение на такова уравнение има формата:
(3)
.
Ето произволни константи; - n линейно независими решения на хомогенно уравнение (2), които образуват фундаментална система от решения на това уравнение.
Стъпка 2. Вариация на константи - подмяна на константи с функции
Във втората стъпка ще се справим с вариацията на константи. С други думи, ще заменим константи с функции на независимата променлива x:
.
Тоест търсим решение на първоначалното уравнение (1) в следната форма:
(4)
.
Ако заменим (4) с (1), тогава получаваме едно диференциално уравнение за n функции. Освен това можем да свържем тези функции чрез допълнителни уравнения. След това получавате n уравнения, от които можете да определите n функции. Допълнителни уравнения могат да бъдат конструирани по различни начини. Но ние ще го направим така, че решението да има най -простата форма. За това по време на диференциацията е необходимо да се приравнят на нула термините, съдържащи производни на функции. Нека покажем това.
За да заменим предложеното решение (4) в първоначалното уравнение (1), трябва да намерим производни на първите n порядъка на функцията, записани под формата (4). Различаваме (4), като прилагаме правилата за разграничаване на сумата и произведението:
.
Нека групираме членовете. Първо изписваме термини с производни от, а след това - термини с производни от:
.
Нека наложим първото условие на функциите:
(5.1)
.
Тогава изразът за първата производна по отношение на ще има по -проста форма:
(6.1)
.
Намерете втората производна по същия начин:
.
Нека наложим второто условие на функциите:
(5.2)
.
Тогава
(6.2)
.
И т.н. В допълнителни термини, ние задаваме на нула условията, съдържащи производни на функциите.
По този начин, ако изберете следните допълнителни уравнения за функциите:
(5.k) ,
тогава първите производни по отношение на ще имат най -простата форма:
(6.k) .
Тук .
Намерете n -та производна:
(6.п)
.
Заменете в първоначалното уравнение (1):
(1)
;
.
Нека вземем предвид, че всички функции отговарят на уравнение (2):
.
Тогава сумата от съдържащите членове дава нула. В резултат на това получаваме:
(7)
.
В резултат на това имаме система от линейни уравнения за производни:
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7 ′) .
Решавайки тази система, намираме изрази за производни като функция от x. Интегрирайки, получаваме:
.
Ето константи, които вече не зависят от x. Замествайки в (4), получаваме общото решение на първоначалното уравнение.
Обърнете внимание, че никъде не сме използвали факта, че коефициентите a i са постоянни за определяне на стойностите на дериватите. Ето защо Методът на Лагранж е приложим за решаване на всякакви линейни неоднородни уравненияако е известна фундаменталната система от решения на хомогенното уравнение (2).
Примери за
Решете уравненията по метода на промяна на константи (Лагранж).
Примери за решения >>>
Решаване на уравнения от по-висок ред по метода на Бернули
Решение на линейни нехомогенни диференциални уравнения от по -висок ред с постоянни коефициенти чрез линейно заместване
Лекция 44. Линейни нехомогенни уравнения от втори ред. Метод за промяна на произволни константи. Линейни нехомогенни уравнения от втори ред с постоянни коефициенти. (специална дясна страна).
Социални трансформации. Държава и църква.
Социалната политика на болшевиките до голяма степен беше продиктувана от техния класов подход.С указ от 10 ноември 1917 г. имотната система е унищожена, дореволюционните чинове, титли и награди са премахнати. Избирателността на съдиите е установена; е извършена секуларизация на гражданските държави. Беше създадено безплатно образование и медицинско обслужване (указ от 31 октомври 1918 г.). Жените са получили равни права с мъжете (декрети от 16 и 18 декември 1917 г.). Декретът за брака въвежда институцията на гражданския брак.
С постановлението на Съвета на народните комисари от 20 януари 1918 г. църквата е отделена от държавата и от образователната система. По -голямата част от църковната собственост е конфискувана. Патриарх Московски и цяла Русия Тихон (избран на 5 ноември 1917 г.) на 19 януари 1918 г. анатемосан Съветска власти призова за борба срещу болшевиките.
Помислете за линейно нехомогенно уравнение от втори ред
Структурата на общото решение на такова уравнение се определя от следната теорема:
Теорема 1.Общото решение на нехомогенното уравнение (1) се представя като сумата от някакво конкретно решение на това уравнение и общото решение на съответното хомогенно уравнение
Доказателство... Необходимо е да се докаже, че сумата
е общото решение на уравнение (1). Нека първо докажем, че функция (3) е решение на уравнение (1).
Заместването на сумата в уравнение (1) вместо в, ще има
Тъй като има решение на уравнение (2), изразът в първите скоби е идентично равен на нула. Тъй като има решение на уравнение (1), изразът във вторите скоби е равен на f (x)... Следователно равенството (4) е идентичност. По този начин първата част от теоремата е доказана.
Нека докажем второто твърдение: израз (3) е общрешение на уравнение (1). Трябва да докажем, че произволните константи, включени в този израз, могат да бъдат избрани така, че началните условия да са изпълнени:
каквито и да са числата x 0, y 0и (ако само x 0е взет от района, където функционира а 1, а 2и f (x)непрекъснато).
Забелязвайки какво може да бъде представено във формата. Тогава, въз основа на условия (5), имаме
Нека решим тази система и дефинираме C 1и C 2... Нека пренапишем системата като:
Обърнете внимание, че детерминантата на тази система е детерминантата на Вронски за функциите в 1и в 2в точката x = x 0... Тъй като тези функции са линейно независими по хипотеза, определителят на Вронски не е равен на нула; следователно система (6) има определено решение C 1и C 2, т.е. има такива стойности C 1и C 2, за което формула (3) определя решението на уравнение (1), отговарящо на дадените начални условия. Q.E.D.
Нека се обърнем към общия метод за намиране на конкретни решения на неоднородно уравнение.
Нека напишем общото решение на хомогенното уравнение (2)
Ще търсим конкретно решение на нехомогенното уравнение (1) под формата (7), като се има предвид C 1и C 2като някои все още неизвестни функции от NS.
Нека разграничим равенството (7):
Нека изберем необходимите функции C 1и C 2така че равенството
Ако се вземе предвид това допълнително условие, тогава първата производна приема формата
Разграничавайки този израз сега, откриваме:
Замествайки в уравнение (1), получаваме
Изразите в първите две скоби изчезват, защото y 1и y 2- решения на хомогенно уравнение. Следователно последното равенство приема формата
По този начин функция (7) ще бъде решение на нехомогенно уравнение (1), ако функциите C 1и C 2отговарят на уравнения (8) и (9). Нека съставим система от уравнения от уравнения (8) и (9).
Тъй като детерминантата на тази система е детерминантата на Вронски за линейно независими решения y 1и y 2уравнение (2), то не е равно на нула. Следователно, решавайки системата, намираме като определени функции на NS:
Решавайки тази система, откриваме къде, в резултат на интеграцията, получаваме. След това заместваме намерените функции във формулата, получаваме общото решение на нехомогенното уравнение, където са произволни константи.
