Гумени гривни

Какво е сила, събиране на сили, резултатна. Законите на Нютон. Правило за събиране на сили Какво е събиране на сили

Нека разгледаме движението на материална точка (фиг. 46) в инерционна референтна система под действието на сили, причинени от взаимодействието на точки с други точки и тела (т.е. възникващи в резултат на взаимодействието на материални обекти).

Обърнете внимание, че когато се движите в неинерциална отправна система, относителните движения се определят частично от движението на самата отправна система.

Уравненията на движението са съставени въз основа на законите на Нютон.

Трактат "Математически принципи на естествената философия":

1687 – година на възникване теоретична механика.

Законите на Нютон са идеализирани закони на природата, но за практиката това е приемливо в много широки граници.

Нека се запознаем мерки за движение.

Количество движение– равно на произведението на масата m от вектора на точковата скорост:

където m = const > 0 е мярка за инерцията на материята.

Момент на импулс спрямо началото (фиг. 47):

Кинетична енергия на материална точка:

По-късно ще покажем, че в редица случаи движението на точка е по-ясно описано чрез или T.

Когато формулираме законите на Нютон, ние означаваме:

Силата на взаимодействие между точки и;

Общата сила, приложена към точка М, взаимодействаща с много точки.

Първи закон на Нютон: материалната точка остава в състояние на покой или равномерно праволинейно движение спрямо инерциална отправна система, докато силите, действащи върху нея, променят това състояние.

Тоест изолирана точка е или в покой, или се движи праволинейно и равномерно. Причината за промяната на движението е извън самата точка.

Втори закон на Нютон: производната по време на импулса на материална точка е геометрично равна на силата, приложена към точката. Или, при постоянна маса, произведението от масата на точка и нейното абсолютно ускорение е геометрично равно на силата, приложена към материалната точка, т.е.

или ако m = const.

Връзката между кинематичната величина – ускорение и динамичната величина – сила чрез коефициента на пропорционалност – маса.

Трети закон на Нютон: всеки две материални точки взаимодействат помежду си със сили, насочени по права линия, свързваща тези точки, равни по големина и противоположно насочени (фиг. 48).

Нека разгледаме влиянието на точка M1 с други точки (фиг. 49).

Защото имаме ускорение:

Принципът на независимо действие на силите:ускорението, причинено от сила, се определя само от тази сила и не зависи от други сили.

Последица:

; обозначаващ

Геометричната сума на ускоренията, причинени от силите на взаимодействие на точка M1 с други точки, е пропорционална на геометричната сума на силите на взаимодействие – правило на успоредник за добавяне на сили.

От какво зависи силата? ?

1) от координатите на точката в даден момент;

2) от предисторията на движението (стареене);

3) от заобикаляща среда(температура);

4) съпротивление на въздуха.

Идеализация: силите зависят само от координатите на точката, от първите производни и изрично от времето:

На практика това е приемливо.

Развитието на физиката доведе до промяна в някои остарели концепции и до изясняване на границите на областта, в която е валидна механиката на Нютон: неговата концепция за абсолютното пространство сега е заменена от концепцията за инерционна отправна система; установено е, че Нютоновата механика – класическата механика – не е приложима, ако относителните скорости на точките са сравними със скоростта на светлината [това е областта на релативистичната или Айнщайнова механика]; Класическата механика също е неприложима за изследване на феномените на микросвета [това е областта на квантовата механика]. Но те се основават на класическата механика. В други области => класическата механика дава доста точни резултати.

Контролни въпроси:

1. Какво се нарича динамика?

2. Избройте мерките за движение на материална точка

3. Формулирайте законите на Нютон.

4. Какви са границите на обхвата на приложение на класическата механика на Нютон?

Лекция 16.Диференциални уравнения на движение на точка

Нека разгледаме движението на свободна материална точка в инерциална отправна система в декартови координати. От 2-ри закон на Нютон:

, ,

Освен това Fx, Fy, Fz – могат да зависят от координати, първи производни, време: .

Ако законът за движение е известен (например от кинематиката):

тогава => Fx(t), Fy(t), Fz(t). Това първият (директен) проблем на динамиката на точката.

Ако силата е известна, тогава за изследване на движението е необходимо да се интегрират диференциални уравнения - това е вторият (обратен) проблем на динамиката на точката.

Форми на диференциалните уравнения на движението

1) 2-ри закон на Нютон – за импулса.

2) Умножете по (векторно):

или -уравнение за ъглов момент.

[Защо? - самостоятелно. Вземете предвид].

Производната по време на момента на импулса е геометрично равна на момента на силата.

Детайлен запис (координат):

3) Умножете скаларно по елементарни премествания:

- уравнение на кинетичната енергия.

Диференциалът на кинетичната енергия на точка е равен на елементарната работа на сумата от силите, приложени към точката върху действителното преместване.

За първите интеграли(закони за опазване).

От диференциални уравнения: функция на координатите, техните производни по време, която е постоянна по силата на уравненията (т.е. нейната производна по време е нула) => се нарича първи интеграл.

Получаваме следните условия.

Ако - първо интеграл, после

1) Ако Fx = 0, тогава , - интеграл на импулса ( закон за запазване на импулса).

2) Ако (тоест проекцията на момента на сила върху оста z),

Интеграл на ъгловия момент ( закон за запазване на ъгловия момент).

3) Нека получим енергийния интеграл.

Нека дясната страна е общият диференциал на някаква скаларна функция – потенциал на силовото поле .

За да бъде пълен диференциал:

1) - тоест полето стационарен(не зависи от t).

2) с условия от висшата математика:

; ;

В противен случай: ако и, тогава и уравнението за кинетичната енергия ще бъде в общи диференциали:

Интегриране:

Нека представим потенциалната енергия:

Тогава: - енергиен интеграл ( закон за запазване на механичната енергия).

Ако силовото поле е потенциално и стационарно, тогава сумата от кинетичната и потенциалната енергия на свободна материална точка е равна на константа.

E0 – механична енергия; се намира от началните условия.

Енергията се запазва, тоест се запазва => полето се нарича консервативен.

Нека покажем, че работата на консервативните полеви сили не зависи от вида на траекторията, а е равна на разликата в стойностите на функцията P в края и началото на движението (фиг. 51).

Q.E.D.

Работата на консервативните полеви сили върху затворено преместване е нула (фиг. 52).

Контролни въпроси:

1. Формулирайте преките и обратните проблеми на динамиката.

2. Напишете уравнението за ъгловия момент на точка.

3. Какво се нарича перов интеграл на диференциално уравнение?

4. Кое силово поле се нарича консервативно?

Лекция 17.Специфични видове силови полета

1) Силата зависи само от време– полето е еднородно, но не е стационарно.

;

По същия начин за y и z.

2) Проекциите на силата зависят само от съответните координати.

Умножение по dx и интегриране:

Нека разграничим отново, за да проверим:

; .

(знакът е взет от началните условия).

Разделяне на променливи:

3) Проекцията на сила зависи само от проекцията на скоросттана една и съща ос.

Означаващ:

Разделяне на променливи:

Така във всеки от трите специални случая на силови полета за дадена сила, маса и начални условияДефинирани са изрази за скоростта и ускорението на точка.

Контролни въпроси:

1. Каква е същността на метода за разделяне на променливи при решаване на диференциални уравнения?

2. Какво е особеното при интегрирането на уравнението на движение на точка, ако силата зависи само от координатата?

3. В какви реални задачи силата зависи от скоростта на точката?

Лекция 18.Основи на динамиката на точковата система

Нека разгледаме движението на n свободни материални точки спрямо инерциалната отправна система (фиг. 53).

Точкова маса.

Тегло на цялата система:

Нека наречем центъра на масата на системата точка С, чийто радиус е векторът

Основни мерки за движение на система от материални точки:

1. Общият импулс на системата (геометричната сума на импулса на материалните точки).

Къде е скоростта на точката.

Да разгледаме система от точки с постоянни маси => диференциране:

;

където е скоростта на центъра на масата.

Така,

Количеството на движение на система от материални точки е равно на количеството на движение на масата на цялата система, концентрирана в центъра на масата.

2. Сума от ъглов момент или ъглов момент на системата:

се представя като моном само в случай на еднакви скорости на всички точки от системата.

3. Кинетична енергия на системата:

Освен това не винаги се представя в еднократна форма.

Разделяме силите на външни и вътрешни.

Външни силидействат от страна на масите извън системата.

Вътрешни сили– сили на взаимодействие между точки на системата.

Да обозначим:

Обща външна сила до точка

Общата сила на взаимодействие между точка и други точки в системата.

Разделението на вътрешни и външни сили е условно.

Нека получим някои свойства на вътрешните сили.

Нека разгледаме точките и (фиг. 54).

От 3-тия закон на Нютон:

Вътрешна сила на точка:

Очевидно:

Така,сумата от вътрешните сили и сумата от моментите на вътрешните сили са равни на нула спрямо всяка точка и всяка ос.

Нека помислим за сумата основна работавътрешни сили.

Позволявам , Където,

Разстояние между точките.

Работа върху елементарни действителни премествания на силите на взаимодействие между две точки:

[ - проекция върху, включително знака].

Нека обозначим сумата от елементарните работи на вътрешните сили:

(d - означава "на елементарни движения")

Контролни въпроси:

1. Какво се нарича център на масата на система от материални точки?

2. Назовете основните мерки за движение на система от материални точки.

Сила. Добавяне на сили

Всички промени в природата възникват в резултат на взаимодействието между телата. Топката лежи на земята и няма да започне да се движи, освен ако не я бутнете с крак; пружината няма да се разтегне, ако прикрепите към нея тежест и т.н. Когато тялото взаимодейства с други тела, скоростта на движението му се променя. Във физиката често не посочват кое тяло и как действа върху дадено тяло, а казват, че „върху тялото действа сила“.

Силата е физическо количество, който количествено характеризира действието на едно тяло върху друго, в резултат на което тялото променя скоростта си. Силата е векторна величина. Тоест, освен числената стойност, силата има посока. Силата се обозначава с буквата F и в Международната система се измерва в нютони. 1 нютон е силата, която тяло с тегло 1 кг в покой осигурява за 1 секунда със скорост 1 метър в секунда при липса на триене. Можете да измерите силата с помощта на специално устройство - динамометър.

В зависимост от характера на взаимодействието в механиката се разграничават три вида сили:

земно притегляне,
еластична сила,
сила на триене.

По правило върху тялото действат не една, а няколко сили. В този случай се взема предвид резултантната на силите. Резултантната сила е сила, която действа по същия начин като няколко сили, действащи едновременно върху тялото. Използвайки резултатите от експериментите, можем да заключим: резултатът от силите, насочени по една права линия в една посока, е насочен в същата посока и стойността му е равна на сумата от стойностите на тези сили. Резултатът от две сили, насочени по една права линия в противоположни посоки, е насочен към по-голямата сила и е равен на разликата в стойностите на тези сили.

Действията на телата едно върху друго се описват със сили. Сили, характеризиращи взаимодействия, водещи до промяна или в скоростта на тялото, или в неговата форма и размер. Освен това резултатът от действието на едно тяло върху друго също зависи от посоката на това действие.

В системата SI силата се измерва в нютони (1 N).

1 N е силата, която придава на тяло с тегло 1 kg ускорение 1 m/s2.

Всяка сила се характеризира с числена стойност (модул), посока и точка на приложение.

В чертежите силите, подобно на други векторни величини, се обозначават със стрелки. Началото на стрелката съвпада с точката на приложение на силата, посоката на стрелката показва посоката на силата, а дължината на стрелката е пропорционална на големината на силата.
Добавяне на сили. Резултат

Много рядко върху тялото действа само една сила, най-често две или три. Ако върху едно тяло действат няколко сили, тогава резултатът от тяхното действие ще бъде същият, какъвто би бил, ако върху него е действала сила, която се нарича резултантна.

Въпрос към учениците при представяне на нов материал

1. Каква е мярката за взаимодействие между телата?

2. Дайте примери за действието на силите в механиката.

3. Какво определя въздействието на силата върху тялото?

4. Как се изчислява резултантната на няколко сили?

Затвърждаване на научения материал

1. Ние се обучаваме да решаваме проблеми

1. Върху едно тяло действат две сили във взаимно перпендикулярни посоки. Каква е големината на резултантната сила, ако модулите на силата са 5 и 12 N?
2. Модулът на резултантните сили, действащи във взаимно перпендикулярни посоки, е равен на 50 N. Модулът на една от силите е равен на 25 N. Какъв е модулът на втората сила?

3. Изчислете модула на резултантната на две сили, сключващи помежду си ъгъл 60°, ако всяка сила е равна на 600 N.

2. Тестови въпроси

1. Как се характеризира всяка сила?

2. Какво трябва да знаете, за да изчислите силата?

3. Как да изчислим резултантната на повече от две сили?

4. Може би резултантната на две сили 4 H и 5 N, действащи върху тяло по една права линия, е равна на 2 N? S N? 8 N? 10 N?

Какво научихме в клас?

Действието на телата или частиците едно върху друго се нарича взаимодействие.

Силата е векторна величина, която е мярка за влиянието на други тела върху тялото, в резултат на което тялото получава ускорение или променя формата и размера си.

1 N е силата, която придава ускорение от 1 m/s2 на тяло с тегло 1 kg.

Резултантна сила е сила, чието действие замества действието на няколко сили, действащи едновременно върху тялото.

Когато няколко сили действат едновременно върху едно тяло, тялото се движи с ускорение, което е векторната сума на ускоренията, които биха възникнали при действието на всяка сила поотделно. Силите, действащи върху тялото и приложени към една точка, се събират съгласно правилото за добавяне на вектори.

Векторната сума на всички сили, действащи едновременно върху тялото, се нарича резултантна сила и се определя от правилото за векторно събиране на сили: $\overrightarrow(R)=(\overrightarrow(F))_1+(\overrightarrow(F)) _2+(\overrightarrow(F)) _3+\dots +(\overrightarrow(F))_n=\sum^n_(i=1)((\overrightarrow(F))_i)$.

Резултантната сила има същия ефект върху тялото като сумата от всички сили, приложени към него.

За добавяне на две сили се използва правилото на паралелограма (фиг. 1):

Фигура 1. Събиране на две сили според правилото на успоредника

В този случай намираме модула на сумата от две сили, използвайки косинусовата теорема:

Ако трябва да добавите повече от две сили, приложени в една точка, използвайте правилото на многоъгълника: ~ от края на първата сила начертайте вектор, равен и успореден на втората сила; от края на втората сила - вектор, равен и успореден на третата сила и т.н.

Фигура 2. Добавяне на сили според правилото на многоъгълника

Затварящият вектор, начертан от точката на прилагане на силите до края на последната сила, е равен по големина и посока на резултантната. На фиг. 2 това правило е илюстрирано с примера за намиране на резултата от четири сили $(\overrightarrow(F))_1,\ (\overrightarrow(F))_2,(\overrightarrow(F))_3,(\overrightarrow (F) )_4$. Имайте предвид, че векторите, които се добавят, не е задължително да принадлежат на една и съща равнина.

Резултатът от сила, действаща върху материална точка, зависи само от нейния модул и посока. Твърдото тяло има определени размери. Следователно сили, които са еднакви по величина и посока, причиняват различни движения. твърдов зависимост от точката на приложение. Правата, минаваща през вектора на силата, се нарича линия на действие на силата.

Фигура 3. Добавяне на сили, приложени към различни точки на тялото

Ако силите се прилагат към различни точки на тялото и не действат успоредно една на друга, тогава резултантната се прилага към точката на пресичане на линиите на действие на силите (фиг. 3).

Една точка е в равновесие, ако векторната сума на всички сили, действащи върху нея, е равна на нула: $\sum^n_(i=1)((\overrightarrow(F))_i)=\overrightarrow(0)$. В този случай сумата от проекциите на тези сили върху всяка координатна ос също е нула.

Заместването на една сила с две, приложени в една и съща точка и предизвикващи същия ефект върху тялото като тази една сила, се нарича разлагане на силите. Разлагането на силите се извършва, както и тяхното събиране, по правилото на успоредника.

Задачата за разлагане на една сила (чийто модул и посока са известни) на две, приложени в една точка и действащи под ъгъл една спрямо друга, има уникално решение в следните случаи, ако са известни:

направления на двете компоненти на силите;
модул и посока на една от съставните сили;
модули на двата компонента на силите.

Нека например искаме да разложим силата $F$ на две компоненти, лежащи в една равнина с F и насочени по прави a и b (фиг. 4). За да направите това, достатъчно е да начертаете две линии, успоредни на a и b от края на вектора, представляващ F. Сегментите $F_A$ и $F_B$ ще изобразят необходимите сили.

Фигура 4. Разлагане на вектора на силата по посоки

Друга версия на тази задача е да се намери една от проекциите на вектора на силата, дадени векторите на силата и втората проекция. (фиг. 5 а).

Фигура 5. Намиране на проекцията на вектора на силата с помощта на дадени вектори

Задачата се свежда до построяване на успоредник по диагонала и една от страните, известни от планиметрията. На фиг. 5b е построен такъв успоредник и е посочена търсената компонента $(\overrightarrow(F))_2$ на силата $(\overrightarrow(F))$.

Второто решение е да добавим към силата сила, равна на - $(\overrightarrow(F))_1$ (фиг. 5c) В резултат получаваме желаната сила $(\overrightarrow(F))_2$.

Три сили~$(\overrightarrow(F))_1=1\ N;;\ (\overrightarrow(F))_2=2\ N;;\ (\overrightarrow(F))_3=3\ N$, приложени към една точка, лежат в една и съща равнина (фиг. 6 a) и образуват ъгли~ с хоризонталата $\alpha =0()^\circ ;;\beta =60()^\circ ;;\gamma =30()^ \ circ $съответно. Намерете резултантната на тези сили.

Нека начертаем две взаимно перпендикулярни оси OX и OY така, че оста OX да съвпада с хоризонталата, по която е насочена силата $(\overrightarrow(F))_1$. Нека проектираме тези сили върху координатните оси (фиг. 6 b). Проекциите $F_(2y)$ и $F_(2x)$ са отрицателни. Сумата от проекциите на силите върху оста OX е равна на проекцията върху тази ос на резултата: $F_1+F_2(cos \beta \ )-F_3(cos \gamma \ )=F_x=\frac(4-3 \sqrt(3))(2)\ приблизително -0,6\ H$. По същия начин, за проекции върху оста OY: $-F_2(sin \beta \ )+F_3(sin \gamma =F_y=\ )\frac(3-2\sqrt(3))(2)\приблизително -0,2\ H $ . Модулът на резултата се определя от Питагоровата теорема: $F=\sqrt(F^2_x+F^2_y)=\sqrt(0,36+0,04)\приблизително 0,64\ Н$. Посоката на резултата се определя с помощта на ъгъла между резултата и оста (фиг. 6 c): $tg\varphi =\frac(F_y)(F_x)=\ \frac(3-2\sqrt(3)) (4-3\sqrt (3))\приблизително 0,4$

Силата $F = 1kH$ се прилага в точка B на скобата и е насочена вертикално надолу (фиг. 7а). Намерете компонентите на тази сила в посоките на прътите на скобата. Необходимите данни са показани на фигурата.

F = 1 kN = 1000N

$(\mathbf \beta )$ = $30^(\circ)$

$(\overrightarrow(F))_1,\ (\overrightarrow(F))_2$ - ?

Нека прътите са прикрепени към стената в точки A и C. Разлагането на силата $(\overrightarrow(F))$ на компоненти по посоките AB и BC е показано на фиг. 7b. Това показва, че $\left|(\overrightarrow(F))_1\right|=Ftg\beta \приблизително 577\ H;\ \ $

\[\left|(\overrightarrow(F))_2\right|=F(cos \beta \ )\приблизително 1155\ H. \]

Отговор: $\left|(\overrightarrow(F))_1\right|$=577 N; $\left|(\overrightarrow(F))_2\right|=1155\ Н$

Резултантната сила има същия ефект върху тялото като сумата от всички сили, приложени към него.

За добавяне на две сили се използва правилото на паралелограма (фиг. 1):

Фигура 1. Събиране на две сили според правилото на успоредника

В този случай намираме модула на сумата от две сили, използвайки косинусовата теорема:

Фигура 2. Добавяне на сили според правилото на многоъгълника

Резултатът от сила, действаща върху материална точка, зависи само от нейния модул и посока. Твърдото тяло има определени размери. Следователно сили с еднаква големина и посока причиняват различни движения на твърдо тяло в зависимост от точката на приложение. Правата, минаваща през вектора на силата, се нарича линия на действие на силата.