занаяти

Теорема на Виета за квадратни и други уравнения. Теорема на Виет, обратна формула на Виет и примери с решение за манекени Теорема за елиминиране на Виета

Всяко пълно квадратно уравнение ax2 + bx + c = 0може да се доведе до ума x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, ако първо разделим всеки член на коефициента a преди това x2. И ако въведем нова нотация (b/a) = pи (c/a) = q, тогава ще имаме уравнението x 2 + px + q = 0, което в математиката се нарича намалено квадратно уравнение.

Корените на редуцираното квадратно уравнение и коефициентите стри qвзаимосвързани. Потвърдено е Теоремата на Виета, кръстен на френския математик Франсоа Виета, живял в края на 16 век.

Теорема. Сборът от корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 + px + q = 0равен на втория коефициент стр, взето с противоположен знак, а произведението на корените - към свободния член q.

Записваме тези съотношения в следната форма:

Позволявам х 1и x2различни корени на редуцираното уравнение x 2 + px + q = 0. Според теоремата на Виета x1 + x2 = -pи x 1 x 2 = q.

За да докажем това, нека заместим всеки от корените x 1 и x 2 в уравнението. Получаваме две истински равенства:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Извадете второто от първото равенство. Получаваме:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Разширяваме първите два члена според формулата за разликата на квадратите:

(x 1 - x 2)(x 1 - x 2) + p(x 1 - x 2) = 0

По условие корените x 1 и x 2 са различни. Следователно можем да намалим равенството с (x 1 - x 2) ≠ 0 и да изразим p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Първото равенство е доказано.

За да докажем второто равенство, заместваме с първото уравнение

x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 вместо коефициента p, равното му число е (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0

Преобразувайки лявата страна на уравнението, получаваме:

x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;

x 1 x 2 = q, което трябваше да се докаже.

Теоремата на Виета е добра, защото, дори без да знаем корените на квадратното уравнение, можем да изчислим тяхната сума и произведение .

Теоремата на Виета помага да се определят целочислените корени на даденото квадратно уравнение. Но за много ученици това създава трудности поради факта, че не знаят ясен алгоритъм на действие, особено ако корените на уравнението имат различни знаци.

И така, даденото квадратно уравнение има формата x 2 + px + q \u003d 0, където x 1 и x 2 са неговите корени. Според теоремата на Виета x 1 + x 2 = -p и x 1 x 2 = q.

Можем да направим следния извод.

Ако в уравнението последният член се предхожда от знак минус, тогава корените x 1 и x 2 имат различни знаци. Освен това знакът на по-малкия корен е същият като знака на втория коефициент в уравнението.

Въз основа на факта, че при добавяне на числа с различни знаци, техните модули се изваждат и знакът на по-голямото число в модула се поставя пред резултата, трябва да процедирате по следния начин:

определете такива множители на числото q, така че разликата им да е равна на числото p;
поставете знака на втория коефициент на уравнението пред по-малкото от получените числа; вторият корен ще има противоположен знак.

Нека разгледаме някои примери.

Пример 1.

Решете уравнението x 2 - 2x - 15 = 0.

Решение.

Нека се опитаме да решим това уравнение, използвайки правилата, предложени по-горе. Тогава можем да кажем със сигурност, че това уравнение ще има два различни корена, т.к D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.

Сега от всички фактори на числото 15 (1 и 15, 3 и 5) избираме тези, чиято разлика е равна на 2. Това ще бъдат числата 3 и 5. Поставяме знак минус пред по-малкото число , т.е. знакът на втория коефициент на уравнението. По този начин получаваме корените на уравнението x 1 \u003d -3 и x 2 \u003d 5.

Отговор. x 1 = -3 и x 2 = 5.

Пример 2.

Решете уравнението x 2 + 5x - 6 = 0.

Решение.

Нека проверим дали това уравнение има корени. За да направим това, намираме дискриминанта:

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Уравнението има два различни корена.

Възможните фактори на числото 6 са 2 и 3, 6 и 1. Разликата е 5 за двойка 6 и 1. В този пример коефициентът на втория член има знак плюс, така че по-малкото число ще има същия знак. Но преди второто число ще има знак минус.

Отговор: x 1 = -6 и x 2 = 1.

Теоремата на Vieta може да бъде написана и за пълно квадратно уравнение. Така че, ако квадратното уравнение ax2 + bx + c = 0има корени x 1 и x 2 , тогава те удовлетворяват равенствата

x 1 + x 2 = -(b/a)и x 1 x 2 = (c/a). Прилагането на тази теорема в пълното квадратно уравнение обаче е доста проблематично, тъй като ако има корени, поне един от тях е дробно число. И работата с подбора на фракции е доста трудна. Но все пак има изход.

Разгледайте пълното квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0. Умножете лявата и дясната му страна по коефициента a. Уравнението ще приеме формата (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Сега нека представим нова променлива, например t = ax.

В този случай полученото уравнение ще се превърне в редуцирано квадратно уравнение от вида t 2 + bt + ac = 0, чиито корени t 1 и t 2 (ако има такива) могат да бъдат определени от теоремата на Vieta.

В този случай корените на оригиналното квадратно уравнение ще бъдат

x 1 = (t 1 / a) и x 2 = (t 2 / a).

Пример 3.

Решете уравнението 15x 2 - 11x + 2 = 0.

Решение.

Правим помощно уравнение. Нека умножим всеки член от уравнението по 15:

15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.

Правим промяната t = 15x. Ние имаме:

t 2 - 11t + 30 = 0.

Според теоремата на Виета, корените на това уравнение ще бъдат t 1 = 5 и t 2 = 6.

Връщаме се към заместването t = 15x:

5 = 15x или 6 = 15x. Така x 1 = 5/15 и x 2 = 6/15. Намаляваме и получаваме крайния отговор: x 1 = 1/3 и x 2 = 2/5.

Отговор. x 1 = 1/3 и x 2 = 2/5.

За да овладеят решението на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета, учениците трябва да практикуват колкото е възможно повече. Точно това е тайната на успеха.

сайт, с пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

Теоремата на Виета (по-точно теоремата, обратна на теоремата на Виета) ни позволява да намалим времето за решаване на квадратни уравнения. Просто трябва да знаете как да го използвате. Как да се научим да решаваме квадратни уравнения, използвайки теоремата на Виета? Лесно е, ако помислиш малко.

Сега ще говорим само за решението на редуцираното квадратно уравнение с помощта на теоремата на Vieta.Редукцията на квадратното уравнение е уравнение, в което a, тоест коефициентът пред x², е равен на единица. Незададените квадратни уравнения също могат да бъдат решени с помощта на теоремата на Vieta, но вече поне един от корените не е цяло число. Те са по-трудни за отгатване.

Теоремата, обратна на теоремата на Виета, казва: ако числата x1 и x2 са такива, че

тогава x1 и x2 са корените на квадратното уравнение

При решаване на квадратно уравнение с помощта на теоремата на Виета са възможни само 4 варианта. Ако си спомните хода на разсъжденията, можете да се научите да намирате цели корени много бързо.

I. Ако q е положително число,

това означава, че корените x1 и x2 са числа от един и същи знак (защото само при умножаване на числа с еднакви знаци се получава положително число).

I.a. Ако -p е положително число, (съответно, стр<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Ако -p е отрицателно число, (съответно p>0), тогава и двата корена са отрицателни числа (добавиха числа от същия знак, получиха отрицателно число).

II. Ако q е отрицателно число,

това означава, че корените x1 и x2 имат различни знаци (при умножение на числа се получава отрицателно число само когато знаците на факторите са различни). В този случай x1 + x2 вече не е сума, а разлика (в края на краищата, когато добавяме числа с различни знаци, изваждаме по-малкото от по-големия модул). Следователно, x1 + x2 показва колко се различават корените x1 и x2, тоест колко един корен е повече от другия (модуло).

II.a. Ако -p е положително число, (т.е. стр<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Ако -p е отрицателно число, (p>0), тогава по-големият (модулен) корен е отрицателно число.

Разгледайте решението на квадратни уравнения според теоремата на Виета, като използвате примери.

Решете даденото квадратно уравнение, като използвате теоремата на Виета:

Тук q=12>0, така че корените x1 и x2 са числа от един и същи знак. Тяхната сума е -p=7>0, така че и двата корена са положителни числа. Избираме цели числа, чието произведение е равно на 12. Това са 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Сумата е 7 за двойката 3 и 4. Следователно 3 и 4 са корените на уравнението.

В този пример q=16>0, което означава, че корените x1 и x2 са числа от един и същи знак. Техният сбор -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Тук q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, тогава по-голямото число е положително. Значи корените са 5 и -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Почти всяко квадратно уравнение \ може да бъде преобразувано във формата \ Това обаче е възможно, ако всеки член първоначално е разделен на коефициента \ пред \ Освен това може да се въведе нова нотация:

\[(\frac (b)(a))= p\] и \[(\frac (c)(a)) = q\]

Благодарение на това ще имаме уравнение \ наречено в математиката намалено квадратно уравнение. Корените на това уравнение и коефициентите \ са взаимосвързани, което се потвърждава от теоремата на Виета.

Теоремата на Виета: Сумата от корените на редуцираното квадратно уравнение \ е равна на втория коефициент \ взет с противоположен знак, а произведението на корените е свободният член \

За по-голяма яснота решаваме уравнението в следния вид:

Ние решаваме това квадратно уравнение, използвайки написаните правила. След анализ на първоначалните данни можем да заключим, че уравнението ще има два различни корена, защото:

Сега от всички фактори на числото 15 (1 и 15, 3 и 5) избираме тези, чиято разлика е равна на 2. Под това условие попадат числата 3 и 5. Поставяме знак минус пред по-малкото номер. Така получаваме корените на уравнението \

Отговор: \[ x_1= -3 и x_2 = 5\]

Къде мога да реша уравнението с помощта на теоремата на Vieta онлайн?

Можете да решите уравнението на нашия уебсайт https: // сайт. Безплатният онлайн решаващ ще ви позволи да решите онлайн уравнение с всякаква сложност за секунди. Всичко, което трябва да направите, е просто да въведете вашите данни в Solver. Можете също да гледате видео инструкцията и да научите как да решавате уравнението на нашия уебсайт. И ако имате някакви въпроси, можете да ги зададете в нашата група Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Присъединете се към нашата група, ние винаги се радваме да ви помогнем.

Между корените и коефициентите на квадратното уравнение, в допълнение към коренните формули, има други полезни връзки, които се дават от Теоремата на Виета. В тази статия ще дадем формулировка и доказателство на теоремата на Виета за квадратно уравнение. След това разглеждаме теорема, обратна на теоремата на Виета. След това ще анализираме решенията на най-характерните примери. И накрая, ние записваме формулите на Vieta, които определят връзката между реалните корени алгебрично уравнениестепен n и нейните коефициенти.

Навигация в страницата.

Теорема на Виета, формулировка, доказателство

От формулите на корените на квадратното уравнение a x 2 +b x+c=0 от вида , където D=b 2 −4 a c , отношенията x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Тези резултати се потвърждават Теоремата на Виета:

Теорема.

Ако x 1 и x 2 са корените на квадратното уравнение a x 2 +b x+c=0, тогава сумата на корените е равна на съотношението на коефициентите b и a, взети с обратен знак, и произведението на корените е равно на съотношението на коефициентите c и a, т.е.

Доказателство.

Ще докажем теоремата на Vieta по следната схема: ще съставим сумата и произведението на корените на квадратното уравнение, използвайки известните коренни формули, след това ще трансформираме получените изрази и ще се уверим, че те са равни на −b /a и c/a, съответно.

Да започнем със сбора на корените, да го съставим. Сега привеждаме дробите до общ знаменател, имаме. В числителя на получената дроб , след което : . Накрая, след 2 , получаваме . Това доказва първото отношение на теоремата на Виета за сумата от корените на квадратно уравнение. Да преминем към втория.

Съставяме произведението на корените на квадратното уравнение:. Според правилото за умножение на дроби последното произведение може да се запише като. Сега умножаваме скобата по скобата в числителя, но е по-бързо да свием това произведение с формула за разлика в квадратите, Така . След това, запомняйки, извършваме следващия преход. И тъй като формулата D=b 2 −4 a·c съответства на дискриминанта на квадратното уравнение, тогава b 2 −4·a·c може да се замести в последната дроб вместо D, получаваме . След отваряне на скобите и намаляване на подобни членове, стигаме до фракцията , и нейното намаляване с 4·a дава . Това доказва второто отношение на теоремата на Виета за произведението на корените.

Ако пропуснем обясненията, тогава доказателството на теоремата на Виета ще приеме сбита форма:
,
.

Остава само да се отбележи, че когато дискриминантът е равен на нула, квадратното уравнение има един корен. Ако обаче приемем, че уравнението в този случай има два еднакви корена, тогава са валидни и равенствата от теоремата на Виета. Наистина, за D=0 коренът на квадратното уравнение е , тогава и , и тъй като D=0 , тоест b 2 −4·a·c=0 , откъдето b 2 =4·a·c , тогава .

На практика теоремата на Виета се използва най-често във връзка с редуцираното квадратно уравнение (с най-висок коефициент a равен на 1) от вида x 2 +p·x+q=0 . Понякога се формулира за квадратни уравнения точно от този тип, което не ограничава общността, тъй като всяко квадратно уравнение може да бъде заменено с еквивалентно уравнение чрез разделяне на двете му части на ненулево число a. Ето съответната формулировка на теоремата на Виета:

Теорема.

Сумата от корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 + p x + q \u003d 0 е равна на коефициента при x, взет с противоположен знак, а продуктът на корените е свободният член, тоест x 1 + x 2 = −p, x 1 x 2 = q .

Теорема, обратна на теоремата на Виета

Втората формулировка на теоремата на Виета, дадена в предишния параграф, показва, че ако x 1 и x 2 са корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p x+q=0, тогава отношенията x 1 +x 2 = − p , x 1 x 2=q. От друга страна, от написаните отношения x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q следва, че x 1 и x 2 са корените на квадратното уравнение x 2 +p x+q=0. С други думи, твърдението, обратно на теоремата на Виета, е вярно. Формулираме го под формата на теорема и го доказваме.

Теорема.

Ако числата x 1 и x 2 са такива, че x 1 +x 2 =−p и x 1 x 2 =q, тогава x 1 и x 2 са корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p x+q=0 .

Доказателство.

След заместване на коефициентите p и q в уравнението x 2 +p x+q=0 на тяхното изразяване през x 1 и x 2, то се преобразува в еквивалентно уравнение.

Заместваме числото x 1 вместо x в полученото уравнение, имаме равенството x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, което за всякакви x 1 и x 2 е правилното числово равенство 0=0, тъй като x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Следователно x 1 е коренът на уравнението x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, което означава, че x 1 е коренът на еквивалентното уравнение x 2 +p x+q=0 .

Ако в уравнението x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0заместваме числото x 2 вместо x, тогава получаваме равенството x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Това е правилното уравнение, защото x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Следователно x 2 също е коренът на уравнението x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, а оттам и уравненията x 2 +p x+q=0 .

Това завършва доказателството на теоремата, обратна на теоремата на Виета.

Примери за използване на теоремата на Виета

Време е да поговорим за практическото приложение на теоремата на Виета и нейната обратна теорема. В този подраздел ще анализираме решенията на няколко от най-типичните примери.

Започваме с прилагане на теорема, обратна на теоремата на Виета. Удобно е да го използвате, за да проверите дали дадените две числа са корени на дадено квадратно уравнение. В този случай се изчислява тяхната сума и разлика, след което се проверява валидността на отношенията. Ако и двете отношения са изпълнени, тогава по силата на теоремата, обратна на теоремата на Виета, се стига до заключението, че тези числа са корените на уравнението. Ако поне едно от отношенията не е изпълнено, тогава тези числа не са корените на квадратното уравнение. Този подход може да се използва при решаване на квадратни уравнения за проверка на намерените корени.

Пример.

Коя от двойките числа 1) x 1 =−5, x 2 =3 или 2) или 3) е двойка корени на квадратното уравнение 4 x 2 −16 x+9=0?

Решение.

Коефициентите на даденото квадратно уравнение 4 x 2 −16 x+9=0 са a=4 , b=−16 , c=9 . Съгласно теоремата на Виета, сумата от корените на квадратното уравнение трябва да е равна на −b/a, тоест 16/4=4, а произведението на корените трябва да е равно на c/a, тоест 9 /4.

Сега нека да изчислим сумата и произведението на числата във всяка от трите дадени двойки и да ги сравним с току-що получени стойности.

В първия случай имаме x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Получената стойност е различна от 4, следователно, по-нататъшна проверка не може да се извърши, но чрез теоремата, обратната на теоремата на Виета, можем веднага да заключим, че първата двойка числа не е двойка корени на дадено квадратно уравнение .

Да преминем към втория случай. Тук, тоест, първото условие е изпълнено. Проверяваме второто условие: , получената стойност е различна от 9/4. Следователно втората двойка числа не е двойка корени на квадратно уравнение.

Остава последният случай. Тук и . И двете условия са изпълнени, така че тези числа x 1 и x 2 са корените на даденото квадратно уравнение.

Отговор:

Теоремата, обратната на теоремата на Виета, може да се използва на практика за избор на корените на квадратно уравнение. Обикновено се избират цели корени на дадените квадратни уравнения с цели коефициенти, тъй като в други случаи това е доста трудно да се направи. В същото време те използват факта, че ако сборът от две числа е равен на втория коефициент на квадратното уравнение, взето със знак минус, и произведението на тези числа е равно на свободния член, тогава тези числа са корените на това квадратно уравнение. Нека се справим с това с пример.

Да вземем квадратното уравнение x 2 −5 x+6=0 . За да бъдат числата x 1 и x 2 корени на това уравнение, трябва да бъдат изпълнени две равенства x 1 +x 2 = 5 и x 1 x 2 = 6. Остава да изберете такива числа. В този случай е доста просто да направите това: 2 и 3 са такива числа, тъй като 2+3=5 и 2 3=6 . По този начин 2 и 3 са корените на това квадратно уравнение.

Теоремата, обратна на теоремата на Виета, е особено удобна за намиране на втория корен на редуцираното квадратно уравнение, когато един от корените вече е известен или очевиден. В този случай вторият корен се намира от някое от отношенията.

Например, нека вземем квадратното уравнение 512 x 2 −509 x−3=0 . Тук е лесно да се види, че единицата е коренът на уравнението, тъй като сумата от коефициентите на това квадратно уравнение е нула. Така че x 1 =1. Вторият корен x 2 може да се намери например от отношението x 1 x 2 =c/a. Имаме 1 x 2 =−3/512 , откъдето x 2 =−3/512 . Така че сме дефинирали и двата корена на квадратното уравнение: 1 и −3/512.

Ясно е, че изборът на корени е целесъобразен само в най-простите случаи. В други случаи, за да намерите корените, можете да приложите формулите на корените на квадратното уравнение чрез дискриминанта.

Друго практическо приложение на теоремата, обратното на теоремата на Виета, е съставянето на квадратни уравнения за дадени корени x 1 и x 2. За да направите това, достатъчно е да се изчисли сумата от корените, която дава коефициента на x с противоположен знак на даденото квадратно уравнение, и произведението на корените, което дава свободния член.

Пример.

Напишете квадратно уравнение, чиито корени са числата −11 и 23.

Решение.

Означете x 1 =−11 и x 2 =23 . Изчисляваме сумата и произведението на тези числа: x 1 + x 2 \u003d 12 и x 1 x 2 \u003d −253. Следователно тези числа са корените на даденото квадратно уравнение с втория коефициент -12 и свободния член -253. Тоест, x 2 −12·x−253=0 е желаното уравнение.

Отговор:

x 2 −12 x−253=0 .

Теоремата на Виета много често се използва при решаване на задачи, свързани със знаците на корените на квадратните уравнения. Как е свързана теоремата на Виета със знаците на корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p x+q=0? Ето две релевантни твърдения:

Ако свободният член q е положително число и ако квадратното уравнение има реални корени, тогава и двете са положителни, или и двете са отрицателни.
Ако свободният член q е отрицателно число и ако квадратното уравнение има реални корени, тогава техните знаци са различни, с други думи, единият корен е положителен, а другият е отрицателен.

Тези твърдения следват от формулата x 1 x 2 =q, както и от правилата за умножаване на положителни, отрицателни числа и числа с различни знаци. Помислете за примери за тяхното приложение.

Пример.

R е положително. Съгласно дискриминантната формула намираме D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , стойността на израза r 2 +8 е положително за всяко реално r, следователно D>0 за всяко реално r. Следователно, оригиналното квадратно уравнение има два корена за всякакви реални стойности на параметъра r.

Сега нека разберем кога корените имат различни знаци. Ако знаците на корените са различни, тогава техният продукт е отрицателен, а по теоремата на Виета произведението на корените на даденото квадратно уравнение е равно на свободния член. Следователно, ние се интересуваме от онези стойности на r, за които свободният член r−1 е отрицателен. По този начин, за да намерим стойностите на r, които ни интересуват, трябва да го направим решаване на линейно неравенство r−1<0 , откуда находим r<1 .

Отговор:

в r<1 .

Виета формули

По-горе говорихме за теоремата на Виета за квадратно уравнение и анализирахме отношенията, които тя твърди. Но има формули, които свързват реалните корени и коефициенти не само на квадратни уравнения, но и на кубични уравнения, четворни уравнения и като цяло, алгебрични уравнениястепен n. Те се наричат Виета формули.

Пишем формулите на Vieta за алгебрично уравнение от степен n от вида, като приемаме, че то има n реални корени x 1, x 2, ..., x n (сред тях може да има същите):

Вземете Vieta формули позволява теорема за полиномиална факторизация, както и дефинирането на равни полиноми чрез равенството на всички съответни им коефициенти. Значи полиномът и неговото разлагане в линейни множители на формата са равни. Отваряйки скобите в последния продукт и приравнявайки съответните коефициенти, получаваме формулите на Vieta.

По-специално, за n=2 вече имаме познати формули на Vieta за квадратното уравнение.

За кубично уравнение, формулите на Vieta имат формата

Остава само да се отбележи, че от лявата страна на формулите на Виета има т.нар. елементарни симетрични полиноми.

Библиография.

алгебра:учебник за 8 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А.Г.алгебра. 8 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от образователни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
алгебраи началото на математическия анализ. 10 клас: учебник. за общо образование институции: основни и профилни. нива / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; изд. А. Б. Жижченко. - 3-то изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Когато изучавате начини за решаване на уравнения от втори ред в училищен курс по алгебра, помислете за свойствата на получените корени. Сега те са известни като теореми на Виета. Примери за използването му са дадени в тази статия.

Квадратно уравнение

Уравнението от втори ред е равенство, което е показано на снимката по-долу.

Тук символите a, b, c са някои числа, които се наричат коефициенти на разглежданото уравнение. За да решите равенство, трябва да намерите x стойности, които го правят вярно.

Забележете, че тъй като максималната стойност на степента, до която се повишава, е две, тогава броят на корените в общия случай също е два.

Има няколко начина за решаване на този тип равенство. В тази статия ще разгледаме един от тях, който включва използването на така наречената теорема на Виета.

Изявление на теоремата на Виета

В края на 16-ти век известният математик Франсоа Виет (Французин) забелязва, анализирайки свойствата на корените на различни квадратни уравнения, че определени комбинации от тях удовлетворяват специфични отношения. По-специално, тези комбинации са техен продукт и сума.

Теоремата на Виета установява следното: корените на квадратното уравнение, когато се сумират, дават съотношението на линейните към квадратните коефициенти, взети с противоположния знак, а когато се умножат, те водят до съотношението на свободния член към квадратния коефициент .

Ако общата форма на уравнението е написана, както е показано на снимката в предишния раздел на статията, тогава математически тази теорема може да бъде написана като две равенства:

r 2 + r 1 \u003d -b / a;
r 1 x r 2 \u003d c / a.

Където r 1 , r 2 е стойността на корените на разглежданото уравнение.

Тези две равенства могат да се използват за решаване на редица много различни математически задачи. Използването на теоремата на Виета в примери с решение е дадено в следващите раздели на статията.