Гумени гривни

Намерете областта между линиите онлайн. Намиране на площта на фигурата, ограничена от линиите y=f(x), x=g(y). Дължина на дъгата на плоска крива

Нека функцията е неотрицателна и непрекъсната на интервала . Тогава, според геометричното значение на определен интеграл, площта на криволинеен трапец, ограничена отгоре от графиката на тази функция, отдолу от оста , отляво и отдясно с прави линии и (виж фиг. 2 ) се изчислява по формулата

Пример 9Намерете площта на фигура, ограничена от права и ос.

Решение. Графика на функциите е парабола, чиито клони сочат надолу. Нека го изградим (фиг. 3). За да определим границите на интегриране, намираме точките на пресичане на правата (парабола) с оста (права). За да направим това, решаваме системата от уравнения

Получаваме: , където , ; Следователно, , .

Ориз. 3

Площта на фигурата се намира по формулата (5):

Ако функцията е неположителна и непрекъсната на сегмента, тогава площта на криволинейния трапец, ограничена отдолу от графиката на тази функция, отгоре от оста, отляво и отдясно с прави линии и , е изчислено по формулата

. (6)

Ако функцията е непрекъсната на сегмент и променя знака при краен брой точки, тогава площта на защрихованата фигура (фиг. 4) е равна на алгебричната сума от съответните определени интеграли:

Ориз. четири

Пример 10Изчислете площта на фигурата, ограничена от оста и графиката на функцията за .

Ориз. 5

Решение. Нека направим чертеж (фиг. 5). Желаната площ е сумата от площите и . Нека намерим всяка една от тези области. Първо, определяме границите на интеграция чрез решаване на системата Получаваме , . следователно:

;

По този начин площта на засенчената фигура е

(кв. единици).

Ориз. 6

Нека накрая, криволинейният трапец е ограничен отгоре и отдолу от графиките на функциите, непрекъснати на сегмента и ,
а отляво и отдясно - прави и (фиг. 6). След това неговата площ се изчислява по формулата

. (8)

Пример 11.Намерете площта на фигурата, оградена от линиите и .

Решение.Тази фигура е показана на фиг. 7. Изчисляваме площта му по формула (8). Решавайки системата от уравнения, намираме , ; Следователно, , . На отсечката имаме: . Следователно във формула (8) приемаме като х, и като - . Получаваме:

(кв. единици).

По-сложните задачи за изчисляване на площи се решават чрез разделяне на фигурата на непресичащи се части и изчисляване на площта на цялата фигура като сума от площите на тези части.

Ориз. 7

Пример 12.Намерете площта на фигурата, ограничена от линиите , , .

Решение. Нека направим чертеж (фиг. 8). Тази фигура може да се разглежда като криволинеен трапец, ограничен отдолу от оста , отляво и отдясно - с прави линии и , отгоре - от графики на функции и . Тъй като фигурата е ограничена отгоре от графиките на две функции, за да изчислим нейната площ, ще разделим тази права фигура на две части (1 е абсцисата на пресечната точка на линиите и). Площта на всяка от тези части се намира по формулата (4):

(кв. единици); (кв. единици). следователно:

(кв. единици).

Ориз. осем

х= j ( в)

Ориз. 9

В заключение отбелязваме, че ако криволинеен трапец е ограничен от прави линии и , оста и непрекъснат на кривата (фиг. 9), тогава неговата площ се намира по формулата

Обем на революционно тяло

Нека криволинеен трапец, ограничен от графика на функция, непрекъсната върху сегмент, ос, прави линии и се върти около оста (фиг. 10). Тогава обемът на полученото тяло на въртене се изчислява по формулата

. (9)

Пример 13Изчислете обема на тяло , получен чрез завъртане около оста на криволинеен трапец , ограничен от хипербола , прави линии и оста .

Решение. Нека направим чертеж (фиг. 11).

От условието на задачата следва, че , . По формула (9) получаваме

Ориз. десет

Ориз. единадесет

Обемът на тялото, получен чрез въртене около ос OUкриволинеен трапец, ограничен от прави линии y = cи y = d, ос OUи графика на функция, непрекъсната на отсечка (фиг. 12), се определя по формулата

. (10)

х= j ( в)

Ориз. 12

Пример 14. Изчислете обема на тялото, получен чрез въртене около ос OUкриволинеен трапец, ограничен от линии х 2 = 4в, y= 4, х = 0 (фиг. 13).

Решение. В съответствие с условието на задачата намираме границите на интегриране: , . По формула (10) получаваме:

Ориз. 13

Дължина на дъгата на плоска крива

Нека кривата, дадена от уравнението , където , лежи в равнина (фиг. 14).

Ориз. четиринадесет

Определение. Под дължина на дъгата се разбира границата, към която се стреми дължината на полилинията, вписана в тази дъга, когато броят на връзките на полилинията клони към безкрайност, а дължината на най-голямата връзка клони към нула.

Ако функцията и нейната производна са непрекъснати на отсечката, тогава дължината на дъгата на кривата се изчислява по формулата

. (11)

Пример 15. Изчислете дължината на дъгата на кривата, затворена между точките, за които .

Решение. От състоянието на проблема, който имаме . По формула (11) получаваме:

4. Неправилни интеграли
с безкрайни граници на интеграция

При въвеждането на понятието определен интеграл се приема, че са изпълнени следните две условия:

а) граници на интеграция аи са крайни;

б) интегралната функция е ограничена върху отсечката .

Ако поне едно от тези условия не е изпълнено, тогава интегралът се извиква неправилно.

Нека първо разгледаме неправилните интеграли с безкрайни граници на интегриране.

Определение. Нека функцията е дефинирана и непрекъсната на интервала, тогаваи неограничен вдясно (фиг. 15).

Ако неправилният интеграл се сближава, тогава тази област е крайна; ако неправилният интеграл се разминава, тогава тази област е безкрайна.

Ориз. петнадесет

Неправилен интеграл с безкрайна долна граница на интегриране се дефинира по подобен начин:

. (13)

Този интеграл се сближава, ако пределът от дясната страна на равенството (13) съществува и е краен; в противен случай се казва, че интегралът е дивергентен.

Неправилен интеграл с две безкрайни граници на интегриране се дефинира, както следва:

, (14)

където с е произволна точка от интервала. Интегралът се сближава само ако и двата интеграла се сближават от дясната страна на равенството (14).

;

ж) = [изберете пълния квадрат в знаменателя: ] = [замяна:

] =

Следователно, неправилният интеграл се сближава и неговата стойност е равна на .

Въведете функцията, за която искате да намерите интеграла

Калкулаторът предоставя ПОДРОБНО решение на определени интеграли.

Този калкулатор решава определения интеграл от функцията f(x) с дадените горна и долна граница.

Примери

С използването на степен
(квадрат и куб) и дроби

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Корен квадратен

Sqrt(x)/(x + 1)

корен куб

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Използване на синус и косинус

2*sin(x)*cos(x)

Арксинус

X*arcsin(x)

Дъгов косинус

x*arccos(x)

Приложение на логаритъма

X*log(x, 10)

естествен логаритъм

Изложител

Tg(x)*sin(x)

Котангенс

Ctg(x)*cos(x)

Ирационални дроби

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Арктангенс

X*arctg(x)

Дъгова допирателна

X*arсctg(x)

Хиберболичен синус и косинус

2*sh(x)*ch(x)

Хиберболичен тангенс и котангенс

ctgh(x)/tgh(x)

Хиберболичен арксинус и арккосинус

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Хиберболичен арктангенс и арккотангенс

X^2*arctgh(x)*arctgh(x)

Правила за въвеждане на изрази и функции

Изразите могат да се състоят от функции (означенията са дадени по азбучен ред): абсолютно (x)Абсолютна стойност х
(модул хили |x|) arccos(x)Функция - дъга косинус на х arccosh(x)Дъга косинус хиперболична от х arcsin(x)Арксинус от х arcsinh(x)Арксинус хиперболичен от х arctg(x)Функция - дъга, допирателна от х arctgh(x)Допирателната на дъгата е хиперболична от х д дчисло, което е приблизително равно на 2,7 опит (x)Функция - степен от х(кое е д^х) log(x)или log(x)Естествен логаритъм на х
(Придобивам log7(x), трябва да въведете log(x)/log(7) (или, например, for log10(x)=log(x)/log(10)) пиЧислото е "Пи", което е приблизително равно на 3,14 грях(x)Функция - Синус на х cos(x)Функция - Косинус на х синх (x)Функция - Хиперболичен синус на х пари в брой (x)Функция - Хиперболичен косинус на х sqrt(x)Функцията е корен квадратен от х sqr(x)или x^2Функция - Квадрат х tg(x)Функция - Тангенс от х tgh(x)Функция - Хиперболичен тангенс на х cbrt(x)Функцията е кубичен корен от х

Можете да използвате следните операции в изрази: Реални числавъведете във формуляра 7.5 , не 7,5 2*х- умножение 3/x- разделение x^3- степенуване х + 7- допълнение х - 6- изваждане
Други характеристики: етаж(x)Функция - закръгляване хнадолу (пример етаж(4.5)==4.0) таван (x)Функция - закръгляване хнагоре (примерен таван(4.5)==5.0) знак (x)Функция - Знак х erf(x)Функция за грешка (или интеграл на вероятността) Лаплас (x)Функция на Лаплас

Изчисляване на площта на фигураТова е може би един от най-трудните проблеми в теорията на областта. В училищната геометрия те се учат да намират областите на основни геометрични фигури, като например триъгълник, ромб, правоъгълник, трапец, кръг и др. Често обаче се налага да се справяме с изчисляването на площите на по-сложни фигури. Именно при решаването на такива задачи е много удобно да се използва интегрално смятане.

Определение.

Криволинеен трапецнарича се някаква фигура G, ограничена от линиите y = f (x), y = 0, x = a и x = b, а функцията f (x) е непрекъсната на отсечката [a; b] и не променя знака си върху него (Фиг. 1).Площта на криволинеен трапец може да бъде обозначена с S(G).

Определеният интеграл ʃ a b f(x)dx за функцията f(x), която е непрекъсната и неотрицателна на отсечката [a; b], и е площта на съответния криволинеен трапец.

Тоест, за да се намери площта на фигурата G, ограничена от линиите y = f (x), y = 0, x = a и x = b, е необходимо да се изчисли определен интеграл ʃ a b f (x) dx.

По този начин, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Ако функцията y = f(x) не е положителна на [a; b], тогава площта на криволинейния трапец може да се намери по формулата S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Пример 1

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите y \u003d x 3; y = 1; х = 2.

Решение.

Дадените линии образуват фигурата ABC, която е показана чрез щриховане ориз. 2.

Желаната площ е равна на разликата между площите на криволинейния трапец DACE и квадрата DABE.

Използвайки формулата S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), намираме границите на интегриране. За да направим това, решаваме система от две уравнения:

(y \u003d x 3,
(y = 1.

По този начин имаме x 1 = 1 - долната граница и x \u003d 2 - горната граница.

И така, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 = (16 - 1) / 4 - 1 = 11/4 (квадратни единици).

Отговор: 11/4 кв. единици

Пример 2

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии y \u003d √x; y = 2; х = 9.

Решение.

Дадените линии образуват фигурата ABC, която е ограничена отгоре от графиката на функцията

y \u003d √x, а отдолу графиката на функцията y = 2. Получената фигура е показана чрез щриховане върху ориз. 3.

Желаната площ е равна на S = ʃ a b (√x - 2). Нека намерим границите на интегриране: b = 9, за да намерим a, решаваме системата от две уравнения:

(y = √x,
(y = 2.

По този начин имаме, че x = 4 = a е долната граница.

И така, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 = (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (квадратни единици).

Отговор: S = 2 2/3 кв. единици

Пример 3

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите y \u003d x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0.

Решение.

Нека начертаем функцията y \u003d x 3 - 4x за x ≥ 0. За да направим това, намираме производната y ':

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 при х = ±2/√3 ≈ 1.1 са критични точки.

Ако начертаем критичните точки върху реалната ос и поставим знаците на производната, получаваме, че функцията намалява от нула до 2/√3 и се увеличава от 2/√3 до плюс безкрайност. Тогава x = 2/√3 е минималната точка, минималната стойност на функцията y е min = -16/(3√3) ≈ -3.

Нека определим пресечните точки на графиката с координатните оси:

ако x = 0, тогава y = 0, което означава, че A (0; 0) е пресечната точка с оста Oy;

ако y = 0, тогава x 3 - 4x = 0 или x (x 2 - 4) = 0, или x (x - 2) (x + 2) = 0, откъдето x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (не е подходящо, защото x ≥ 0).

Точки A(0; 0) и B(2; 0) са пресечните точки на графиката с оста Ox.

Дадените линии образуват OAB фигурата, която е показана чрез щриховане ориз. четири.

Тъй като функцията y \u003d x 3 - 4x приема (0; 2) отрицателна стойност, тогава

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Имаме: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4, откъдето S = 4 квадратни метра. единици

Отговор: S = 4 кв. единици

Пример 4

Намерете площта на фигурата, ограничена от параболата y = 2x 2 - 2x + 1, правите линии x = 0, y = 0 и допирателната към тази парабола в точката с абсцисата x 0 = 2.

Решение.

Първо съставяме уравнението на допирателната към параболата y = 2x 2 - 2x + 1 в точката с абсцисата x₀ \u003d 2.

Тъй като производната y' = 4x - 2, тогава за x 0 = 2 получаваме k = y'(2) = 6.

Намерете ординатата на точката на допир: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Следователно уравнението на допирателната има формата: y - 5 = 6 (x - 2) или y = 6x - 7.

Нека построим фигура, ограничена от линии:

y = 2x 2 - 2x + 1, y = 0, x \u003d 0, y = 6x - 7.

Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - парабола. Точки на пресичане с координатните оси: A(0; 1) - с оста Oy; с оста Ox - няма пресечни точки, т.к уравнението 2x 2 - 2x + 1 = 0 няма решения (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 = 1/2;

y b \u003d 1/2, тоест върхът на точката на параболата B има координати B (1/2; 1/2).

И така, фигурата, чиято площ трябва да се определи, е показана чрез щриховане ориз. 5.

Имаме: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.

Намерете координатите на точка D от условието:

6x - 7 = 0, т.е. x = 7/6, след това DC = 2 - 7/6 = 5/6.

Намираме площта на триъгълник DBC, използвайки формулата S ADBC = 1/2 · DC · BC. По този начин,

S ADBC = 1/2 5/6 5 = 25/12 кв. единици

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (квадратни единици).

Накрая получаваме: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC \u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 = 1 1/4 (кв.

Отговор: S = 1 1/4 кв. единици

Разгледали сме примери намиране на площите на фигурите, ограничени от дадени линии. За успешно решаване на такива задачи е необходимо да можете да изграждате линии и графики на функции на равнина, да намирате точките на пресичане на линиите, да прилагате формулата за намиране на площта, което предполага способността и уменията за изчисляване на определени интеграли.

сайт, с пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

а)

Решение.

Първият и най-важен момент от решението е изграждането на чертеж.

Нека направим рисунка:

Уравнението y=0 задава оста x;

- х=-2 и x=1 - права, успоредна на оста OU;

- y = x 2 +2 - парабола, чиито клони са насочени нагоре, с връх в точката (0;2).

Коментирайте.За да се построи парабола, е достатъчно да се намерят точките на нейното пресичане с координатните оси, т.е. поставяне х=0 намерете пресечната точка с оста OU и решавайки съответното квадратно уравнение, намерете пресечната точка с оста ох .

Върхът на парабола може да бъде намерен по формулите:

Можете да рисувате линии и точка по точка.

На интервала [-2;1] графиката на функцията y=x 2 +2 разположен над ос вол , Ето защо:

Отговор: С \u003d 9 квадратни единици

След като задачата е изпълнена, винаги е полезно да погледнете чертежа и да разберете дали отговорът е реален. В този случай „на око“ броим броя на клетките в чертежа - добре, ще бъдат въведени около 9, изглежда е вярно. Съвсем ясно е, че ако имахме, да речем, отговора: 20 квадратни единици, тогава, очевидно, някъде е допусната грешка - 20 клетки очевидно не се вписват във въпросната цифра, най-много дузина. Ако отговорът се окаже отрицателен, тогава задачата също е решена неправилно.

Какво да направите, ако е разположен криволинейният трапец под ос О?

б)Изчислете площта на фигура, ограничена от линии y=-e x , x=1 и координатни оси.

Решение.

Нека направим рисунка.

Ако криволинеен трапец напълно под оста ох , тогава неговата площ може да се намери по формулата:

Отговор: S=(e-1) кв. единица" 1,72 кв. бр

Внимание! Не бъркайте двата вида задачи:

1) Ако бъдете помолени да решите само определен интеграл без никакво геометрично значение, тогава той може да бъде отрицателен.

2) Ако бъдете помолени да намерите площта на фигура с помощта на определен интеграл, тогава площта винаги е положителна! Ето защо минусът се появява в току-що разгледаната формула.

На практика най-често фигурата се намира както в горната, така и в долната полуравнина.

с)Намерете площта на плоска фигура, ограничена от линии y = 2x-x 2, y = -x.

Решение.

Първо трябва да направите чертеж. Най-общо казано, когато се конструира чертеж в проблеми с площи, ние се интересуваме най-много от пресечните точки на линиите. Нека намерим пресечните точки на параболата и правата Това може да стане по два начина. Първият начин е аналитичен.

Решаваме уравнението:

Така че долната граница на интеграция a=0 , горната граница на интегриране b=3 .

Изграждаме дадените прави: 1. Парабола - връх в точката (1;1); пресичане на оси о -точки (0;0) и (0;2). 2. Права линия - ъглополовящата на 2-ри и 4-ти координатен ъгъл. А сега Внимание! Ако на сегмента [ а; б] някаква непрекъсната функция f(x)по-голямо или равно на някаква непрекъсната функция g(x), тогава площта на съответната фигура може да се намери по формулата: .

И няма значение къде се намира фигурата - над оста или под оста, но е важно коя графика е ПО-ВИСОКА (спрямо друга диаграма) и коя е ПОДОЛУ. В разглеждания пример е очевидно, че на отсечката параболата е разположена над правата линия и следователно е необходимо да се извади от

Възможно е да се конструират линии точка по точка, докато границите на интегриране се установяват сякаш „от само себе си“. Въпреки това, аналитичният метод за намиране на границите все още понякога трябва да се използва, ако например графиката е достатъчно голяма или конструкцията с резба не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат дробни или ирационални).

Желаната фигура е ограничена от парабола отгоре и права линия отдолу.

На сегмента, съгласно съответната формула:

Отговор: С \u003d 4,5 кв. единици

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии.

Решение.

Намираме пресечните точки на дадените прави. За да направим това, решаваме системата от уравнения:

За да намерим абсцисите на точките на пресичане на дадените прави, решаваме уравнението:

Намираме: х 1 = -2, х 2 = 4.

И така, тези линии, които са парабола и права линия, се пресичат в точки А(-2; 0), Б(4; 6).

Тези линии образуват затворена фигура, площта на която се изчислява по горната формула:

Според формулата на Нютон-Лайбниц намираме:

Намерете площта на област, ограничена от елипса.

Решение.

От уравнението на елипсата за I квадрант имаме . От тук, според формулата, получаваме

Нека приложим заместването х = агрях T, dx = а cos T dt. Нови граници на интеграция T = α и T = β се определят от уравненията 0 = агрях T, а = агрях T. Може да се постави α = 0 и β = π /2.

Намираме една четвърт от необходимата площ

Оттук С = паб.

Намерете площта на фигура, ограничена от линииг = - х 2 + х + 4 иг = - х + 1.

Решение.

Намерете пресечните точки на линиите г = -х 2 + х + 4, г = -х+ 1, приравнявайки ординатите на правите: - х 2 + х + 4 = -х+ 1 или х 2 - 2х- 3 = 0. Намерете корените х 1 = -1, х 2 = 3 и съответните им ординати г 1 = 2, г 2 = -2.

Използвайки формулата за площта на фигурата, получаваме

Намерете площта, оградена от параболатаг = х 2 + 1 и директнох + г = 3.

Решение.

Решаване на системата от уравнения

намерете абсцисите на пресечните точки х 1 = -2 и х 2 = 1.

Предполагайки г 2 = 3 - хи г 1 = х 2 + 1, въз основа на формулата, която получаваме

Изчислете площта, съдържаща се в лемнискатата на Бернулиr 2 = а 2 cos 2 φ .

Решение.

В полярната координатна система площта на фигурата е ограничена от дъгата на кривата r = е(φ ) и два полярни радиуса φ 1 = ʅ и φ 2 = ʆ , се изразява с интеграла

Поради симетрията на кривата първо определяме една четвърт от желаната площ

Следователно общата площ е С = а 2 .

Изчислете дължината на дъгата на астроидах 2/3 + г 2/3 = а 2/3 .

Решение.

Записваме уравнението на астроида във формата

(х 1/3) 2 + (г 1/3) 2 = (а 1/3) 2 .

Нека сложим х 1/3 = а 1/3 кос T, г 1/3 = а 1/3 грях T.

От тук получаваме параметричните уравнения на астроида

х = а cos 3 T, г = агрях 3 T, (*)

където 0 ≤ T ≤ 2π .

С оглед на симетрията на кривата (*) е достатъчно да се намери една четвърт от дължината на дъгата Лсъответстващ на промяната на параметъра Tот 0 до π /2.

Получаваме

dx = -3а cos 2 Tгрях t dt, dy = 3агрях 2 T cos t dt.

От тук намираме

Интегриране на получения израз в диапазона от 0 до π /2, получаваме

Оттук Л = 6а.

Намерете областта, ограничена от спиралата на Архимедr = aφ и два радиус вектора, които съответстват на полярни ъглиφ 1 иφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Решение.

Площ, ограничена от крива r = е(φ ) се изчислява по формулата , където α и β - граници на изменение на полярния ъгъл.

Така получаваме

(*)

От (*) следва, че областта, ограничена от полярната ос и първия завой на спиралата на Архимед ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

По същия начин намираме областта, ограничена от полярната ос и втория завой на спиралата на Архимед ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Необходимата площ е равна на разликата на тези площи

Изчислете обема на тялото, получен чрез въртене около освол фигура, ограничена от параболиг = х 2 их = г 2 .

Решение.

Нека решим системата от уравнения

и вземете х 1 = 0, х 2 = 1, г 1 = 0, г 2 = 1, откъдето идват пресечните точки на кривите О(0; 0), Б(единадесет). Както може да се види на фигурата, желаният обем на тялото на въртене е равен на разликата между двата обема, образувани при въртене около оста волкриволинейни трапеци OCBAи ОДБА:

Изчислете площта, ограничена от оставол и синусоидаг = гряхх на сегменти: а); б) .

Решение.

а) На отсечката функцията sin хзапазва знака и следователно по формулата , като се приеме г= грях х, намираме

б) На сегмента , функция sin хпроменя знака. За правилното решение на задачата е необходимо сегментът да се раздели на две и [ π , 2π ], във всеки от които функцията запазва знака си.

Според правилото на знаците, на сегмента [ π , 2π ] областта се взема със знак минус.

В резултат на това желаната площ е равна на

Определете обема на тялото, ограничен от повърхността, получена от въртенето на елипсатаоколо главната оса .

Решение.

Като се има предвид, че елипсата е симетрична спрямо координатните оси, достатъчно е да се намери обемът, образуван от въртене около оста вол■ площ OAB, равно на една четвърт от площта на елипсата, и удвоете резултата.

Нека означим обема на тялото на въртене чрез V х; тогава, въз основа на формулата, имаме , където 0 и а- абциса на точките Би А. От уравнението на елипсата намираме . Оттук

По този начин необходимият обем е равен на . (Когато елипсата се върти около малката ос б, обемът на тялото е )

Намерете площта, ограничена от параболиг 2 = 2 px их 2 = 2 py .

Решение.

Първо намираме координатите на пресечните точки на параболите, за да определим интервала на интегриране. Преобразувайки оригиналните уравнения, получаваме и . Приравнявайки тези стойности, получаваме или х 4 - 8стр 3 х = 0.

х 4 - 8стр 3 х = х(х 3 - 8стр 3) = х(х - 2стр)(х 2 + 2px + 4стр 2) = 0.