Гумени гривни

Теоремата на Виета. Примери за използване. Как да решаваме уравнения с помощта на теоремата на Виета по математика Формулата на Виета за уравнение

В математиката има специални трикове, с които много квадратни уравнения се решават много бързо и без никакви дискриминанти. Освен това, с подходящо обучение, мнозина започват да решават квадратни уравнения устно, буквално „с един поглед“.

За съжаление, в съвременния курс на училищната математика подобни технологии почти не се изучават. И трябва да знаете! И днес ще разгледаме една от тези техники - теоремата на Виета. Първо, нека представим нова дефиниция.

Квадратно уравнение от вида x 2 + bx + c = 0 се нарича редуцирано. Моля, имайте предвид, че коефициентът при x 2 е равен на 1. Няма други ограничения за коефициентите.

x 2 + 7x + 12 = 0 е редуцираното квадратно уравнение;
x 2 − 5x + 6 = 0 също се намалява;
2x 2 − 6x + 8 = 0 - но това изобщо не е дадено, тъй като коефициентът при x 2 е 2.

Разбира се, всяко квадратно уравнение от вида ax 2 + bx + c = 0 може да бъде намалено - достатъчно е всички коефициенти да се разделят на числото a . Винаги можем да направим това, тъй като дефиницията на квадратно уравнение предполага, че a ≠ 0.

Вярно е, че тези трансформации не винаги ще бъдат полезни за намиране на корени. Малко по-надолу, ще се уверим, че това трябва да стане само когато всички коефициенти в крайното квадратно уравнение са цели числа. Засега нека разгледаме няколко прости примера:

Задача. Преобразуване на квадратно уравнение в намалено:

3x2 − 12x + 18 = 0;

−4x2 + 32x + 16 = 0;

1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;

2x2 + 7x − 11 = 0.

Нека разделим всяко уравнение на коефициента на променливата x 2 . Получаваме:

3x 2 - 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 \u003d 0 - разделете всичко на 3;
−4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - разделено на −4;
1,5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - разделено на 1,5, всички коефициенти станаха цели числа;
2x 2 + 7x - 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x - 5,5 \u003d 0 - разделено на 2. В този случай се появиха дробни коефициенти.

Както можете да видите, дадените квадратни уравнения могат да имат цели коефициенти, дори ако оригиналното уравнение съдържа дроби.

Сега формулираме основната теорема, за която всъщност беше въведена концепцията за намалено квадратно уравнение:

Теоремата на Виета. Помислете за редуцираното квадратно уравнение от формата x 2 + bx + c \u003d 0. Да предположим, че това уравнение има реални корени x 1 и x 2. В този случай следните твърдения са верни:

x1 + x2 = −b. С други думи, сумата от корените на даденото квадратно уравнение е равна на коефициента на променливата x, взета с противоположен знак;

x 1 x 2 = c. Произведението на корените на квадратно уравнение е равно на свободния коефициент.

Примери. За простота ще разгледаме само дадените квадратни уравнения, които не изискват допълнителни трансформации:

x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; х 1 х 2 = 20; корени: x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 \u003d -15; корени: x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; х 1 х 2 = 4; корени: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.

Теоремата на Виета ни дава допълнителна информация за корените на квадратно уравнение. На пръв поглед това може да изглежда сложно, но дори и с минимално обучение ще се научите да „виждате“ корените и буквално да ги отгатвате за броени секунди.

Задача. Решете квадратното уравнение:

x2 − 9x + 14 = 0;

x 2 - 12x + 27 = 0;

3x2 + 33x + 30 = 0;

−7x2 + 77x − 210 = 0.

Нека се опитаме да запишем коефициентите според теоремата на Vieta и да "отгатнем" корените:

x 2 − 9x + 14 = 0 е редуцирано квадратно уравнение.
По теоремата на Виета имаме: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. Лесно е да се види, че корените са числата 2 и 7;
x 2 − 12x + 27 = 0 също се намалява.
По теоремата на Виета: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Оттук и корените: 3 и 9;
3x 2 + 33x + 30 = 0 - Това уравнение не се редуцира. Но сега ще поправим това, като разделим двете страни на уравнението на коефициента a = 3. Получаваме: x 2 + 11x + 10 = 0.
Решаваме според теоремата на Виета: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ корени: −10 и −1;
−7x 2 + 77x − 210 \u003d 0 - отново коефициентът при x 2 не е равен на 1, т.е. уравнението не е дадено. Разделяме всичко на числото a = −7. Получаваме: x 2 - 11x + 30 = 0.
По теоремата на Виета: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; х 1 х 2 = 30; от тези уравнения е лесно да се отгатнат корените: 5 и 6.

От горните разсъждения може да се види как теоремата на Виета опростява решението на квадратни уравнения. Без сложни изчисления, без аритметични корени и дроби. И дори дискриминантът (вижте урока "Решаване на квадратни уравнения") не ни трябваше.

Разбира се, във всичките си разсъждения изхождахме от две важни предположения, които най-общо казано не винаги се изпълняват в реални проблеми:

Квадратното уравнение се редуцира, т.е. коефициентът при x 2 е 1;
Уравнението има два различни корена. От гледна точка на алгебрата, в този случай дискриминантът D > 0 - всъщност първоначално приемаме, че това неравенство е вярно.

Въпреки това, в типичните математически задачи тези условия са изпълнени. Ако резултатът от изчисленията е „лошо“ квадратно уравнение (коефициентът при x 2 е различен от 1), това е лесно да се поправи - разгледайте примерите в самото начало на урока. По принцип мълча за корените: що за задача е това, в което няма отговор? Разбира се, че ще има корени.

Така общата схема за решаване на квадратни уравнения съгласно теоремата на Виета е както следва:

Сведете квадратното уравнение до даденото, ако това вече не е направено в условието на задачата;
Ако коефициентите в горното квадратно уравнение се окажат дробни, решаваме чрез дискриминанта. Можете дори да се върнете към оригиналното уравнение, за да работите с по-„удобни“ числа;
В случай на целочислени коефициенти, ние решаваме уравнението с помощта на теоремата на Vieta;
Ако в рамките на няколко секунди не е било възможно да се отгатнат корените, оценяваме по теоремата на Виета и решаваме чрез дискриминанта.

Задача. Решете уравнението: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

И така, имаме уравнение, което не е редуцирано, т.к коефициент a \u003d 5. Разделете всичко на 5, получаваме: x 2 - 7x + 10 = 0.

Всички коефициенти на квадратното уравнение са цели числа - нека се опитаме да го решим с помощта на теоремата на Виета. Имаме: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. В този случай корените са лесни за отгатване - това са 2 и 5. Не е необходимо да броите чрез дискриминанта.

Задача. Решете уравнението: -5x 2 + 8x - 2,4 = 0.

Гледаме: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - това уравнение не се редуцира, разделяме двете страни на коефициента a = −5. Получаваме: x 2 - 1,6x + 0,48 \u003d 0 - уравнение с дробни коефициенти.

По-добре е да се върнете към първоначалното уравнение и да преброите чрез дискриминанта: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1.2 ; x 2 = 0,4.

Задача. Решете уравнението: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Като начало разделяме всичко на коефициента a = 2. Получаваме уравнението x 2 + 5x - 300 \u003d 0.

Това е редуцираното уравнение, според теоремата на Виета имаме: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 \u003d -300. Трудно е да се отгатнат корените на квадратното уравнение в този случай - лично аз сериозно "замръзнах", когато реших този проблем.

Ще трябва да търсим корени през дискриминанта: D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 . Ако не си спомняте корена на дискриминанта, просто ще отбележа, че 1225: 25 = 49. Следователно, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 .

Сега, когато коренът на дискриминанта е известен, решаването на уравнението не е трудно. Получаваме: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

Когато изучавате начини за решаване на уравнения от втори ред в училищен курс по алгебра, помислете за свойствата на получените корени. Сега те са известни като теореми на Виета. Примери за използването му са дадени в тази статия.

Квадратно уравнение

Уравнението от втори ред е равенство, което е показано на снимката по-долу.

Тук символите a, b, c са някои числа, които се наричат коефициенти на разглежданото уравнение. За да решите равенство, трябва да намерите x стойности, които го правят вярно.

Забележете, че тъй като максималната стойност на степента, до която се повишава, е две, тогава броят на корените в общия случай също е два.

Има няколко начина за решаване на този тип равенство. В тази статия ще разгледаме един от тях, който включва използването на така наречената теорема на Виета.

Изявление на теоремата на Виета

В края на 16-ти век известният математик Франсоа Виет (Французин) забелязва, анализирайки свойствата на корените на различни квадратни уравнения, че определени комбинации от тях удовлетворяват специфични отношения. По-специално, тези комбинации са техен продукт и сума.

Теоремата на Виета установява следното: корените на квадратното уравнение, когато се сумират, дават съотношението на линейните към квадратните коефициенти, взети с противоположния знак, а когато се умножат, те водят до съотношението на свободния член към квадратния коефициент .

Ако общата форма на уравнението е написана, както е показано на снимката в предишния раздел на статията, тогава математически тази теорема може да бъде написана като две равенства:

r 2 + r 1 \u003d -b / a;
r 1 x r 2 \u003d c / a.

Където r 1 , r 2 е стойността на корените на разглежданото уравнение.

Тези две равенства могат да се използват за решаване на редица много различни математически задачи. Използването на теоремата на Виета в примери с решение е дадено в следващите раздели на статията.

Между корените и коефициентите на квадратното уравнение, в допълнение към коренните формули, има други полезни връзки, които се дават от Теоремата на Виета. В тази статия ще дадем формулировка и доказателство на теоремата на Виета за квадратно уравнение. След това разглеждаме теорема, обратна на теоремата на Виета. След това ще анализираме решенията на най-характерните примери. И накрая, ние записваме формулите на Vieta, които определят връзката между реалните корени алгебрично уравнениестепен n и нейните коефициенти.

Навигация в страницата.

Теорема на Виета, формулировка, доказателство

От формулите на корените на квадратното уравнение a x 2 +b x+c=0 от вида , където D=b 2 −4 a c , отношенията x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Тези резултати се потвърждават Теоремата на Виета:

Теорема.

Ако x 1 и x 2 са корените на квадратното уравнение a x 2 +b x+c=0, тогава сумата на корените е равна на съотношението на коефициентите b и a, взети с обратен знак, и произведението на корените е равно на съотношението на коефициентите c и a, т.е.

Доказателство.

Ще докажем теоремата на Vieta по следната схема: ще съставим сумата и произведението на корените на квадратното уравнение, използвайки известните коренни формули, след това ще трансформираме получените изрази и ще се уверим, че те са равни на −b /a и c/a, съответно.

Да започнем със сбора на корените, да го съставим. Сега привеждаме дробите до общ знаменател, имаме. В числителя на получената дроб , след което : . Накрая, след 2 , получаваме . Това доказва първото отношение на теоремата на Виета за сумата от корените на квадратно уравнение. Да преминем към втория.

Съставяме произведението на корените на квадратното уравнение:. Според правилото за умножение на дроби последното произведение може да се запише като. Сега умножаваме скобата по скобата в числителя, но е по-бързо да свием това произведение с формула за разлика в квадратите, Така . След това, запомняйки, извършваме следващия преход. И тъй като формулата D=b 2 −4 a·c съответства на дискриминанта на квадратното уравнение, тогава b 2 −4·a·c може да се замести в последната дроб вместо D, получаваме . След отваряне на скобите и намаляване на подобни членове, стигаме до фракцията , и нейното намаляване с 4·a дава . Това доказва второто отношение на теоремата на Виета за произведението на корените.

Ако пропуснем обясненията, тогава доказателството на теоремата на Виета ще приеме сбита форма:
,
.

Остава само да се отбележи, че когато дискриминантът е равен на нула, квадратното уравнение има един корен. Ако обаче приемем, че уравнението в този случай има два еднакви корена, тогава са валидни и равенствата от теоремата на Виета. Наистина, за D=0 коренът на квадратното уравнение е , тогава и , и тъй като D=0 , тоест b 2 −4·a·c=0 , откъдето b 2 =4·a·c , тогава .

На практика теоремата на Виета се използва най-често във връзка с редуцираното квадратно уравнение (с най-висок коефициент a равен на 1) от вида x 2 +p·x+q=0 . Понякога се формулира за квадратни уравнения точно от този тип, което не ограничава общността, тъй като всяко квадратно уравнение може да бъде заменено с еквивалентно уравнение чрез разделяне на двете му части на ненулево число a. Ето съответната формулировка на теоремата на Виета:

Теорема.

Сумата от корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 + p x + q \u003d 0 е равна на коефициента при x, взет с противоположен знак, а продуктът на корените е свободният член, тоест x 1 + x 2 = −p, x 1 x 2 = q .

Теорема, обратна на теоремата на Виета

Втората формулировка на теоремата на Виета, дадена в предишния параграф, показва, че ако x 1 и x 2 са корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p x+q=0, тогава отношенията x 1 +x 2 = − p , x 1 x 2=q. От друга страна, от написаните отношения x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q следва, че x 1 и x 2 са корените на квадратното уравнение x 2 +p x+q=0. С други думи, твърдението, обратно на теоремата на Виета, е вярно. Формулираме го под формата на теорема и го доказваме.

Теорема.

Ако числата x 1 и x 2 са такива, че x 1 +x 2 =−p и x 1 x 2 =q, тогава x 1 и x 2 са корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p x+q=0 .

Доказателство.

След заместване на коефициентите p и q в уравнението x 2 +p x+q=0 на тяхното изразяване през x 1 и x 2, то се преобразува в еквивалентно уравнение.

Заместваме числото x 1 вместо x в полученото уравнение, имаме равенството x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, което за всякакви x 1 и x 2 е правилното числово равенство 0=0, тъй като x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Следователно x 1 е коренът на уравнението x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, което означава, че x 1 е коренът на еквивалентното уравнение x 2 +p x+q=0 .

Ако в уравнението x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0заместваме числото x 2 вместо x, тогава получаваме равенството x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Това е правилното уравнение, защото x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Следователно x 2 също е коренът на уравнението x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, а оттам и уравненията x 2 +p x+q=0 .

Това завършва доказателството на теоремата, обратна на теоремата на Виета.

Примери за използване на теоремата на Виета

Време е да поговорим за практическото приложение на теоремата на Виета и нейната обратна теорема. В този подраздел ще анализираме решенията на няколко от най-типичните примери.

Започваме с прилагане на теорема, обратна на теоремата на Виета. Удобно е да го използвате, за да проверите дали дадените две числа са корени на дадено квадратно уравнение. В този случай се изчислява тяхната сума и разлика, след което се проверява валидността на отношенията. Ако и двете отношения са изпълнени, тогава по силата на теоремата, обратна на теоремата на Виета, се стига до заключението, че тези числа са корените на уравнението. Ако поне едно от отношенията не е изпълнено, тогава тези числа не са корените на квадратното уравнение. Този подход може да се използва при решаване на квадратни уравнения за проверка на намерените корени.

Пример.

Коя от двойките числа 1) x 1 =−5, x 2 =3 или 2) или 3) е двойка корени на квадратното уравнение 4 x 2 −16 x+9=0?

Решение.

Коефициентите на даденото квадратно уравнение 4 x 2 −16 x+9=0 са a=4 , b=−16 , c=9 . Съгласно теоремата на Виета, сумата от корените на квадратното уравнение трябва да е равна на −b/a, тоест 16/4=4, а произведението на корените трябва да е равно на c/a, тоест 9 /4.

Сега нека да изчислим сумата и произведението на числата във всяка от трите дадени двойки и да ги сравним с току-що получени стойности.

В първия случай имаме x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Получената стойност е различна от 4, следователно, по-нататъшна проверка не може да се извърши, но чрез теоремата, обратната на теоремата на Виета, можем веднага да заключим, че първата двойка числа не е двойка корени на дадено квадратно уравнение .

Да преминем към втория случай. Тук, тоест, първото условие е изпълнено. Проверяваме второто условие: , получената стойност е различна от 9/4. Следователно втората двойка числа не е двойка корени на квадратно уравнение.

Остава последният случай. Тук и . И двете условия са изпълнени, така че тези числа x 1 и x 2 са корените на даденото квадратно уравнение.

Отговор:

Теоремата, обратната на теоремата на Виета, може да се използва на практика за избор на корените на квадратно уравнение. Обикновено се избират цели корени на дадените квадратни уравнения с цели коефициенти, тъй като в други случаи това е доста трудно да се направи. В същото време те използват факта, че ако сборът от две числа е равен на втория коефициент на квадратното уравнение, взето със знак минус, и произведението на тези числа е равно на свободния член, тогава тези числа са корените на това квадратно уравнение. Нека се справим с това с пример.

Да вземем квадратното уравнение x 2 −5 x+6=0 . За да бъдат числата x 1 и x 2 корени на това уравнение, трябва да бъдат изпълнени две равенства x 1 +x 2 = 5 и x 1 x 2 = 6. Остава да изберете такива числа. В този случай е доста просто да направите това: 2 и 3 са такива числа, тъй като 2+3=5 и 2 3=6 . По този начин 2 и 3 са корените на това квадратно уравнение.

Теоремата, обратна на теоремата на Виета, е особено удобна за намиране на втория корен на редуцираното квадратно уравнение, когато един от корените вече е известен или очевиден. В този случай вторият корен се намира от някое от отношенията.

Например, нека вземем квадратното уравнение 512 x 2 −509 x−3=0 . Тук е лесно да се види, че единицата е коренът на уравнението, тъй като сумата от коефициентите на това квадратно уравнение е нула. Така че x 1 =1. Вторият корен x 2 може да се намери например от отношението x 1 x 2 =c/a. Имаме 1 x 2 =−3/512 , откъдето x 2 =−3/512 . Така че сме дефинирали и двата корена на квадратното уравнение: 1 и −3/512.

Ясно е, че изборът на корени е целесъобразен само в най-простите случаи. В други случаи, за да намерите корените, можете да приложите формулите на корените на квадратното уравнение чрез дискриминанта.

Друго практическо приложение на теоремата, обратното на теоремата на Виета, е съставянето на квадратни уравнения за дадени корени x 1 и x 2. За да направите това, достатъчно е да се изчисли сумата от корените, която дава коефициента на x с противоположен знак на даденото квадратно уравнение, и произведението на корените, което дава свободния член.

Пример.

Напишете квадратно уравнение, чиито корени са числата −11 и 23.

Решение.

Означете x 1 =−11 и x 2 =23 . Изчисляваме сумата и произведението на тези числа: x 1 + x 2 \u003d 12 и x 1 x 2 \u003d −253. Следователно тези числа са корените на даденото квадратно уравнение с втория коефициент -12 и свободния член -253. Тоест, x 2 −12·x−253=0 е желаното уравнение.

Отговор:

x 2 −12 x−253=0 .

Теоремата на Виета много често се използва при решаване на задачи, свързани със знаците на корените на квадратните уравнения. Как е свързана теоремата на Виета със знаците на корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p x+q=0? Ето две релевантни твърдения:

Ако свободният член q е положително число и ако квадратното уравнение има реални корени, тогава и двете са положителни, или и двете са отрицателни.
Ако свободният член q е отрицателно число и ако квадратното уравнение има реални корени, тогава техните знаци са различни, с други думи, единият корен е положителен, а другият е отрицателен.

Тези твърдения следват от формулата x 1 x 2 =q, както и от правилата за умножаване на положителни, отрицателни числа и числа с различни знаци. Помислете за примери за тяхното приложение.

Пример.

R е положително. Съгласно дискриминантната формула намираме D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , стойността на израза r 2 +8 е положително за всяко реално r, следователно D>0 за всяко реално r. Следователно, оригиналното квадратно уравнение има два корена за всякакви реални стойности на параметъра r.

Сега нека разберем кога корените имат различни знаци. Ако знаците на корените са различни, тогава техният продукт е отрицателен, а по теоремата на Виета произведението на корените на даденото квадратно уравнение е равно на свободния член. Следователно, ние се интересуваме от онези стойности на r, за които свободният член r−1 е отрицателен. По този начин, за да намерим стойностите на r, които ни интересуват, трябва да го направим решаване на линейно неравенство r−1<0 , откуда находим r<1 .

Отговор:

в r<1 .

Виета формули

По-горе говорихме за теоремата на Виета за квадратно уравнение и анализирахме отношенията, които тя твърди. Но има формули, които свързват реалните корени и коефициенти не само на квадратни уравнения, но и на кубични уравнения, четворни уравнения и като цяло, алгебрични уравнениястепен n. Те се наричат Виета формули.

Пишем формулите на Vieta за алгебрично уравнение от степен n от вида, като приемаме, че то има n реални корени x 1, x 2, ..., x n (сред тях може да има същите):

Вземете Vieta формули позволява теорема за полиномиална факторизация, както и дефинирането на равни полиноми чрез равенството на всички съответни им коефициенти. Значи полиномът и неговото разлагане в линейни множители на формата са равни. Отваряйки скобите в последния продукт и приравнявайки съответните коефициенти, получаваме формулите на Vieta.

По-специално, за n=2 вече имаме познати формули на Vieta за квадратното уравнение.

За кубично уравнение, формулите на Vieta имат формата

Остава само да се отбележи, че от лявата страна на формулите на Виета има т.нар. елементарни симетрични полиноми.

Библиография.

алгебра:учебник за 8 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А.Г.алгебра. 8 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от образователни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
алгебраи началото на математическия анализ. 10 клас: учебник. за общо образование институции: основни и профилни. нива / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; изд. А. Б. Жижченко. - 3-то изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Формулиране и доказателство на теоремата на Виета за квадратни уравнения. Обратна теорема на Виета. Теорема на Виета за кубични уравнения и уравнения от произволен ред.

Съдържание

Вижте също: Корените на квадратно уравнение

Квадратни уравнения

Теоремата на Виета

Нека и означаваме корените на редуцираното квадратно уравнение
(1) .
Тогава сумата от корените е равна на коефициента при взет с противоположен знак. Произведението на корените е равно на свободния член:
;
.

Бележка за множество корени

Ако дискриминантът на уравнение (1) е нула, тогава това уравнение има един корен. Но, за да се избегнат тромави формулировки, общоприето е, че в този случай уравнение (1) има два кратни или равни корена:
.

Доказателство едно

Нека намерим корените на уравнение (1). За да направите това, приложете формулата за корените на квадратното уравнение:
;
;
.

Намиране на сумата от корените:
.

За да намерим продукта, прилагаме формулата:
.
Тогава

.

Теоремата е доказана.

Доказателство две

Ако числата и са корените на квадратното уравнение (1), тогава
.
Отваряме скобите.

.
По този начин уравнението (1) ще приеме вида:
.
Сравнявайки с (1) намираме:
;
.

Теоремата е доказана.

Обратна теорема на Виета

Нека има произволни числа. Тогава и са корените на квадратното уравнение
,
където
(2) ;
(3) .

Доказателство на обратната теорема на Виета

Помислете за квадратното уравнение
(1) .
Трябва да докажем, че ако и , тогава и са корените на уравнение (1).

Заместете (2) и (3) в (1):
.
Групираме членовете от лявата страна на уравнението:
;
;
(4) .

Заместете в (4):
;
.

Заместете в (4):
;
.
Уравнението е изпълнено. Тоест числото е коренът на уравнение (1).

Теоремата е доказана.

Теорема на Виета за пълното квадратно уравнение

Сега разгледайте пълното квадратно уравнение
(5) ,
където , и са някои числа. И .

Разделяме уравнение (5) на:
.
Тоест, получихме горното уравнение
,
където ; .

Тогава теоремата на Vieta за пълното квадратно уравнение има следния вид.

Нека и означаваме корените на пълното квадратно уравнение
.
Тогава сумата и произведението на корените се определят по формулите:
;
.

Теорема на Виета за кубично уравнение

По подобен начин можем да установим връзки между корените на кубично уравнение. Помислете за кубичното уравнение
(6) ,
където , , , са някои числа. И .
Нека разделим това уравнение на:
(7) ,
където , , .
Нека , , са корените на уравнение (7) (и уравнение (6)). Тогава

.

Сравнявайки с уравнение (7) намираме:
;
;
.

Теорема на Виета за уравнение от n-та степен

По същия начин можете да намерите връзки между корените , , ... , , за уравнението от n-та степен
.

Теоремата на Виета за уравнение от n-та степен има следния вид:
;
;
;

.

За да получите тези формули, ние записваме уравнението в следната форма:
.
След това приравняваме коефициентите на , , , ... и сравняваме свободния член.

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти от висши учебни заведения, Лан, 2009.
СМ. Николски, М.К. Потапов и др., Алгебра: учебник за 8 клас на образователните институции, Москва, Образование, 2006.

Вижте също:

Един от методите за решаване на квадратно уравнение е приложението VIETA формули, който е кръстен на FRANCOIS VIETE.

Той е бил известен адвокат и е служил през 16-ти век при френския крал. В свободното си време учи астрономия и математика. Той установи връзка между корените и коефициентите на квадратно уравнение.

Предимства на формулата:

1 . Прилагайки формулата, можете бързо да намерите решението. Защото не е нужно да въвеждате втория коефициент в квадрата, след това да изваждате 4ac от него, да намирате дискриминанта, да замените неговата стойност във формулата за намиране на корените.

2 . Без решение можете да определите признаците на корените, да вземете стойностите на корените.

3 . След като решихме системата от два записа, не е трудно да намерим самите корени. В горното квадратно уравнение сумата от корените е равна на стойността на втория коефициент със знак минус. Произведението на корените в горното квадратно уравнение е равно на стойността на третия коефициент.

4 . Според дадените корени напишете квадратно уравнение, тоест решете обратната задача. Например, този метод се използва при решаване на задачи по теоретична механика.

5 . Удобно е да се приложи формулата, когато водещият коефициент е равен на единица.

недостатъци:

1 . Формулата не е универсална.