Устно решение на квадратни уравнения и теорема на Виета. Теорема на Виета за квадратни и други уравнения. Приложение на теоремата на Виета
В тази лекция ще се запознаем с любопитните връзки между корените на квадратно уравнение и неговите коефициенти. Тези връзки са открити за първи път от френския математик Франсоа Виет (1540-1603).
Например, за уравнението Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0, без да намирате корените му, можете, като използвате теоремата на Vieta, веднага да кажете, че сумата от корените е , а продуктът на корените е
т.е. - 2. И за уравнението x 2 - 6x + 8 \u003d 0 заключаваме: сумата от корените е 6, продуктът на корените е 8; между другото, не е трудно да се отгатне на какво са равни корените: 4 и 2.
Доказателство на теоремата на Виета. Корените x 1 и x 2 на квадратното уравнение ax 2 + bx + c \u003d 0 се намират по формулите
Където D \u003d b 2 - 4ac е дискриминантът на уравнението. Полагане на тези корени
получаваме
Сега изчисляваме произведението на корените x 1 и x 2, които имаме
Второто отношение е доказано:
Коментирайте.
Теоремата на Vieta е валидна и в случая, когато квадратното уравнение има един корен (т.е., когато D = 0), просто в този случай се счита, че уравнението има два еднакви корена, към които се прилагат горните отношения.
Доказаните отношения за редуцираното квадратно уравнение x 2 + px + q \u003d 0 приемат особено проста форма. В този случай получаваме:
x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 = q
тези. сумата от корените на даденото квадратно уравнение е равна на втория коефициент, взет с противоположен знак, а произведението на корените е равно на свободния член.
Използвайки теоремата на Vieta, може да се получат и други връзки между корените и коефициентите на квадратно уравнение. Нека например x 1 и x 2 са корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 + px + q = 0. Тогава
Въпреки това, основната цел на теоремата на Vieta не е, че тя изразява определени връзки между корените и коефициентите на квадратно уравнение. Много по-важен е фактът, че с помощта на теоремата на Виета се извежда формула за разлагане на квадратен трином, без която няма да правим в бъдеще.
Доказателство. Ние имаме
Пример 1. Разложете на множители квадратния трином 3x 2 - 10x + 3.
Решение. След като решихме уравнението Zx 2 - 10x + 3 = 0, намираме корените на квадратния трином Zx 2 - 10x + 3: x 1 = 3, x2 =.
Използвайки теорема 2, получаваме
Вместо това има смисъл да напишем Zx - 1. Тогава накрая получаваме Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1).
Забележете, че даденият квадратен трином може да бъде разложен на множители без да се използва теорема 2, като се използва методът на групиране:
Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).
Но, както виждате, при този метод успехът зависи от това дали можем да намерим успешно групиране или не, докато при първия успех успехът е гарантиран.
Пример 1. Намалете фракцията
Решение. От уравнението 2x 2 + 5x + 2 = 0 намираме x 1 = - 2,
От уравнението x2 - 4x - 12 = 0 намираме x 1 = 6, x 2 = -2. Ето защо
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) = (x - 6) (x + 2).
Сега нека намалим дадената дроб:
Пример 3. Разложете изразите на множители:
а) x4 + 5x 2 +6; б) 2x+-3
Решение а) Въвеждаме нова променлива y = x 2 . Това ще ни позволи да пренапишем дадения израз под формата на квадратен трином по отношение на променливата y, а именно във формата y 2 + bу + 6.
След като решим уравнението y 2 + bу + 6 \u003d 0, намираме корените на квадратния трином y 2 + 5y + 6: y 1 = 2, y 2 = -3. Сега използваме теорема 2; получаваме
y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Остава да запомним, че y = x 2, т.е. връщане към дадения израз. Така,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
б) Нека въведем нова променлива y = . Това ще ни позволи да пренапишем дадения израз под формата на квадратен трином по отношение на променливата y, а именно във формата 2y 2 + y - 3. След като решим уравнението
2y 2 + y - 3 \u003d 0, намираме корените на квадратния трином 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . Освен това, използвайки теорема 2, получаваме:
Остава да запомним, че y = връщане към дадения израз. Така,
В края на раздела някои аргументи, отново свързани с теоремата на Виета, или по-скоро с обратното твърдение:
ако числата x 1, x 2 са такива, че x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, тогава тези числа са корените на уравнението
Използвайки това твърдение, можете да решавате много квадратни уравнения устно, без да използвате тромави коренни формули, както и да съставяте квадратни уравнения с дадени корени. Да дадем примери.
1) x 2 - 11x + 24 = 0. Тук x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Лесно е да се отгатне, че x 1 = 8, x 2 = 3.
2) x 2 + 11x + 30 = 0. Тук x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Лесно е да се отгатне, че x 1 = -5, x 2 = -6.
Забележете, че ако свободният член на уравнението е положително число, тогава и двата корена са или положителни, или отрицателни; това е важно да се има предвид при избора на корени.
3) x 2 + x - 12 = 0. Тук x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Лесно е да се отгатне, че x 1 = 3, x2 = -4.
Моля, обърнете внимание: ако свободният член на уравнението е отрицателно число, тогава корените са различни по знак; това е важно да се има предвид при избора на корени.
4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Лесно е да се види, че x = 1 удовлетворява уравнението, т.е. x 1 \u003d 1 - коренът на уравнението. Тъй като x 1 x 2 \u003d - и x 1 = 1, получаваме, че x 2 = -.
5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Тук x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Ако обърнете внимание на факта, че 2830 = 283. 10 и 293 = 283 + 10, тогава става ясно, че x 1 = 283, x 2 = 10 (сега си представете какви изчисления трябва да се извършат, за да се реши това квадратно уравнение с помощта на стандартни формули).
6) Съставяме квадратно уравнение, така че числата x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4 да служат за негови корени. Обикновено в такива случаи те съставляват намаленото квадратно уравнение x 2 + px + q \u003d 0.
Имаме x 1 + x 2 \u003d -p, следователно 8 - 4 \u003d -p, т.е. p = -4. Освен това, x 1 x 2 = q, т.е. 8"(-4) = q, откъдето получаваме q = -32. И така, p = -4, q = -32, което означава, че желаното квадратно уравнение има формата x 2 -4x-32 \u003d 0.
Всяко пълно квадратно уравнение ax2 + bx + c = 0може да се доведе до ума x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, ако първо разделим всеки член на коефициента a преди това x2. И ако въведем нова нотация (b/a) = pи (c/a) = q, тогава ще имаме уравнението x 2 + px + q = 0, което в математиката се нарича намалено квадратно уравнение.
Корените на редуцираното квадратно уравнение и коефициентите стри qвзаимосвързани. Потвърдено е Теоремата на Виета, кръстен на френския математик Франсоа Виета, живял в края на 16 век.
Теорема. Сборът от корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 + px + q = 0равен на втория коефициент стр, взето с противоположен знак, а произведението на корените - към свободния член q.
Записваме тези съотношения в следната форма:
Позволявам х 1и x2различни корени на редуцираното уравнение x 2 + px + q = 0. Според теоремата на Виета x1 + x2 = -pи x 1 x 2 = q.
За да докажем това, нека заместим всеки от корените x 1 и x 2 в уравнението. Получаваме две истински равенства:
x 1 2 + px 1 + q = 0
x 2 2 + px 2 + q = 0
Извадете второто от първото равенство. Получаваме: 
x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0
Разширяваме първите два члена според формулата за разликата на квадратите:
(x 1 - x 2)(x 1 - x 2) + p(x 1 - x 2) = 0
По условие корените x 1 и x 2 са различни. Следователно можем да намалим равенството с (x 1 - x 2) ≠ 0 и да изразим p.
(x 1 + x 2) + p = 0;
(x 1 + x 2) = -p.
Първото равенство е доказано.
За да докажем второто равенство, заместваме с първото уравнение
x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 вместо коефициента p, равното му число е (x 1 + x 2):
x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0
Преобразувайки лявата страна на уравнението, получаваме:
x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;
x 1 x 2 = q, което трябваше да се докаже.
Теоремата на Виета е добра, защото, дори без да знаем корените на квадратното уравнение, можем да изчислим тяхната сума и произведение .
Теоремата на Виета помага да се определят целочислените корени на даденото квадратно уравнение. Но за много ученици това създава трудности поради факта, че не знаят ясен алгоритъм на действие, особено ако корените на уравнението имат различни знаци.
И така, даденото квадратно уравнение има формата x 2 + px + q \u003d 0, където x 1 и x 2 са неговите корени. Според теоремата на Виета x 1 + x 2 = -p и x 1 x 2 = q.
Можем да направим следния извод.
Ако в уравнението последният член се предхожда от знак минус, тогава корените x 1 и x 2 имат различни знаци. Освен това знакът на по-малкия корен е същият като знака на втория коефициент в уравнението.
Въз основа на факта, че при добавяне на числа с различни знаци, техните модули се изваждат и знакът на по-голямото число в модула се поставя пред резултата, трябва да процедирате по следния начин:
- определете такива множители на числото q, така че разликата им да е равна на числото p;
- поставете знака на втория коефициент на уравнението пред по-малкото от получените числа; вторият корен ще има противоположен знак.
Нека разгледаме някои примери.
Пример 1.
Решете уравнението x 2 - 2x - 15 = 0.
Решение.
Нека се опитаме да решим това уравнение, използвайки правилата, предложени по-горе. Тогава можем да кажем със сигурност, че това уравнение ще има два различни корена, т.к D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.
Сега от всички фактори на числото 15 (1 и 15, 3 и 5) избираме тези, чиято разлика е равна на 2. Това ще бъдат числата 3 и 5. Поставяме знак минус пред по-малкото число , т.е. знакът на втория коефициент на уравнението. По този начин получаваме корените на уравнението x 1 \u003d -3 и x 2 \u003d 5.
Отговор. x 1 = -3 и x 2 = 5.
Пример 2.
Решете уравнението x 2 + 5x - 6 = 0.
Решение.
Нека проверим дали това уравнение има корени. За да направим това, намираме дискриминанта:
D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Уравнението има два различни корена.
Възможните фактори на числото 6 са 2 и 3, 6 и 1. Разликата е 5 за двойка 6 и 1. В този пример коефициентът на втория член има знак плюс, така че по-малкото число ще има същия знак. Но преди второто число ще има знак минус.
Отговор: x 1 = -6 и x 2 = 1.
Теоремата на Vieta може да бъде написана и за пълно квадратно уравнение. Така че, ако квадратното уравнение ax2 + bx + c = 0има корени x 1 и x 2 , тогава те удовлетворяват равенствата
x 1 + x 2 = -(b/a)и x 1 x 2 = (c/a). Прилагането на тази теорема в пълното квадратно уравнение обаче е доста проблематично, тъй като ако има корени, поне един от тях е дробно число. И работата с подбора на фракции е доста трудна. Но все пак има изход.
Разгледайте пълното квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0. Умножете лявата и дясната му страна по коефициента a. Уравнението ще приеме формата (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Сега нека представим нова променлива, например t = ax.
В този случай полученото уравнение ще се превърне в редуцирано квадратно уравнение от вида t 2 + bt + ac = 0, чиито корени t 1 и t 2 (ако има такива) могат да бъдат определени от теоремата на Vieta.
В този случай корените на оригиналното квадратно уравнение ще бъдат
x 1 = (t 1 / a) и x 2 = (t 2 / a).
Пример 3.
Решете уравнението 15x 2 - 11x + 2 = 0.
Решение.
Правим помощно уравнение. Нека умножим всеки член от уравнението по 15:
15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.
Правим промяната t = 15x. Ние имаме:
t 2 - 11t + 30 = 0.
Според теоремата на Виета, корените на това уравнение ще бъдат t 1 = 5 и t 2 = 6.
Връщаме се към заместването t = 15x:
5 = 15x или 6 = 15x. Така x 1 = 5/15 и x 2 = 6/15. Намаляваме и получаваме крайния отговор: x 1 = 1/3 и x 2 = 2/5.
Отговор. x 1 = 1/3 и x 2 = 2/5.
За да овладеят решението на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета, учениците трябва да практикуват колкото е възможно повече. Точно това е тайната на успеха.
сайт, с пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.
Между корените и коефициентите на квадратното уравнение, в допълнение към коренните формули, има други полезни връзки, които се дават от Теоремата на Виета. В тази статия ще дадем формулировка и доказателство на теоремата на Виета за квадратно уравнение. След това разглеждаме теорема, обратна на теоремата на Виета. След това ще анализираме решенията на най-характерните примери. Накрая записваме формулите на Vieta, които определят връзката между реалните корени алгебрично уравнениестепен n и нейните коефициенти.
Навигация в страницата.
Теорема на Виета, формулировка, доказателство
От формулите на корените на квадратното уравнение a x 2 +b x+c=0 от вида , където D=b 2 −4 a c , отношенията x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Тези резултати се потвърждават Теоремата на Виета:
Теорема.
Ако x 1 и x 2 са корените на квадратното уравнение a x 2 +b x+c=0, тогава сумата на корените е равна на съотношението на коефициентите b и a, взети с обратен знак, и произведението на корените е равно на съотношението на коефициентите c и a, т.е.
Доказателство.
Ще докажем теоремата на Vieta по следната схема: ще съставим сумата и произведението на корените на квадратното уравнение, използвайки известните коренни формули, след това ще трансформираме получените изрази и ще се уверим, че те са равни на −b /a и c/a, съответно.
Да започнем със сбора на корените, да го съставим. Сега привеждаме дробите до общ знаменател, имаме. В числителя на получената дроб , след което : . Накрая, след 2 , получаваме . Това доказва първото отношение на теоремата на Виета за сумата от корените на квадратно уравнение. Да преминем към втория.
Съставяме произведението на корените на квадратното уравнение:. Според правилото за умножение на дроби последното произведение може да се запише като. Сега умножаваме скобата по скобата в числителя, но е по-бързо да свием това произведение с формула за разлика в квадратите, Така . След това, запомняйки, извършваме следващия преход. И тъй като формулата D=b 2 −4 a·c съответства на дискриминанта на квадратното уравнение, тогава b 2 −4·a·c може да се замести в последната дроб вместо D, получаваме . След отваряне на скобите и намаляване на подобни членове, стигаме до фракцията , и нейното намаляване с 4·a дава . Това доказва второто отношение на теоремата на Виета за произведението на корените.
Ако пропуснем обясненията, тогава доказателството на теоремата на Виета ще приеме сбита форма:
,
.
Остава само да се отбележи, че когато дискриминантът е равен на нула, квадратното уравнение има един корен. Ако обаче приемем, че уравнението в този случай има два еднакви корена, тогава са валидни и равенствата от теоремата на Виета. Наистина, за D=0 коренът на квадратното уравнение е , тогава и , и тъй като D=0 , тоест b 2 −4·a·c=0 , откъдето b 2 =4·a·c , тогава .
На практика теоремата на Виета се използва най-често във връзка с редуцираното квадратно уравнение (с най-висок коефициент a равен на 1) от вида x 2 +p·x+q=0 . Понякога се формулира за квадратни уравнения точно от този тип, което не ограничава общността, тъй като всяко квадратно уравнение може да бъде заменено с еквивалентно уравнение чрез разделяне на двете му части на ненулево число a. Ето съответната формулировка на теоремата на Виета:
Теорема.
Сумата от корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 + p x + q \u003d 0 е равна на коефициента при x, взет с противоположен знак, а продуктът на корените е свободният член, тоест x 1 + x 2 = −p, x 1 x 2 = q .
Теорема, обратна на теоремата на Виета
Втората формулировка на теоремата на Виета, дадена в предишния параграф, показва, че ако x 1 и x 2 са корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p x+q=0, тогава отношенията x 1 +x 2 = − p , x 1 x 2=q. От друга страна, от написаните отношения x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q следва, че x 1 и x 2 са корените на квадратното уравнение x 2 +p x+q=0. С други думи, твърдението, обратно на теоремата на Виета, е вярно. Формулираме го под формата на теорема и го доказваме.
Теорема.
Ако числата x 1 и x 2 са такива, че x 1 +x 2 =−p и x 1 x 2 =q, тогава x 1 и x 2 са корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p x+q=0 .
Доказателство.
След заместване на коефициентите p и q в уравнението x 2 +p x+q=0 на тяхното изразяване през x 1 и x 2, то се преобразува в еквивалентно уравнение.
Заместваме числото x 1 вместо x в полученото уравнение, имаме равенството x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, което за всякакви x 1 и x 2 е правилното числово равенство 0=0, тъй като x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Следователно x 1 е коренът на уравнението x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, което означава, че x 1 е коренът на еквивалентното уравнение x 2 +p x+q=0 .
Ако в уравнението x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0заместваме числото x 2 вместо x, тогава получаваме равенството x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Това е правилното уравнение, защото x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Следователно x 2 също е коренът на уравнението x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, а оттам и уравненията x 2 +p x+q=0 .
Това завършва доказателството на теоремата, обратна на теоремата на Виета.
Примери за използване на теоремата на Виета
Време е да поговорим за практическото приложение на теоремата на Виета и нейната обратна теорема. В този подраздел ще анализираме решенията на няколко от най-типичните примери.
Започваме с прилагане на теорема, обратна на теоремата на Виета. Удобно е да го използвате, за да проверите дали дадените две числа са корени на дадено квадратно уравнение. В този случай се изчислява тяхната сума и разлика, след което се проверява валидността на отношенията. Ако и двете отношения са изпълнени, тогава по силата на теоремата, обратна на теоремата на Виета, се стига до заключението, че тези числа са корените на уравнението. Ако поне едно от отношенията не е изпълнено, тогава тези числа не са корените на квадратното уравнение. Този подход може да се използва при решаване на квадратни уравнения за проверка на намерените корени.
Пример.
Коя от двойките числа 1) x 1 =−5, x 2 =3 или 2) или 3) е двойка корени на квадратното уравнение 4 x 2 −16 x+9=0?
Решение.
Коефициентите на даденото квадратно уравнение 4 x 2 −16 x+9=0 са a=4 , b=−16 , c=9 . Съгласно теоремата на Виета, сумата от корените на квадратното уравнение трябва да е равна на −b/a, тоест 16/4=4, а произведението на корените трябва да е равно на c/a, тоест 9 /4.
Сега нека да изчислим сумата и произведението на числата във всяка от трите дадени двойки и да ги сравним с току-що получени стойности.
В първия случай имаме x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Получената стойност е различна от 4, следователно, по-нататъшна проверка не може да се извърши, но чрез теоремата, обратната на теоремата на Виета, можем веднага да заключим, че първата двойка числа не е двойка корени на дадено квадратно уравнение .
Да преминем към втория случай. Тук, тоест, първото условие е изпълнено. Проверяваме второто условие: , получената стойност е различна от 9/4. Следователно втората двойка числа не е двойка корени на квадратно уравнение.
Остава последният случай. Тук и . И двете условия са изпълнени, така че тези числа x 1 и x 2 са корените на даденото квадратно уравнение.
Отговор:
Теоремата, обратната на теоремата на Виета, може да се използва на практика за избор на корените на квадратно уравнение. Обикновено се избират цели корени на дадените квадратни уравнения с цели коефициенти, тъй като в други случаи това е доста трудно да се направи. В същото време те използват факта, че ако сборът от две числа е равен на втория коефициент на квадратното уравнение, взето със знак минус, и произведението на тези числа е равно на свободния член, тогава тези числа са корените на това квадратно уравнение. Нека се справим с това с пример.
Да вземем квадратното уравнение x 2 −5 x+6=0 . За да бъдат числата x 1 и x 2 корени на това уравнение, трябва да бъдат изпълнени две равенства x 1 +x 2 = 5 и x 1 x 2 = 6. Остава да изберете такива числа. В този случай е доста просто да направите това: 2 и 3 са такива числа, тъй като 2+3=5 и 2 3=6 . По този начин 2 и 3 са корените на това квадратно уравнение.
Теоремата, обратна на теоремата на Виета, е особено удобна за намиране на втория корен на редуцираното квадратно уравнение, когато един от корените вече е известен или очевиден. В този случай вторият корен се намира от някое от отношенията.
Например, нека вземем квадратното уравнение 512 x 2 −509 x−3=0 . Тук е лесно да се види, че единицата е коренът на уравнението, тъй като сумата от коефициентите на това квадратно уравнение е нула. Така че x 1 =1. Вторият корен x 2 може да се намери например от отношението x 1 x 2 =c/a. Имаме 1 x 2 =−3/512 , откъдето x 2 =−3/512 . Така че сме дефинирали и двата корена на квадратното уравнение: 1 и −3/512.
Ясно е, че изборът на корени е целесъобразен само в най-простите случаи. В други случаи, за да намерите корените, можете да приложите формулите на корените на квадратното уравнение чрез дискриминанта.
Друго практическо приложение на теоремата, обратното на теоремата на Виета, е съставянето на квадратни уравнения за дадени корени x 1 и x 2. За да направите това, достатъчно е да се изчисли сумата от корените, която дава коефициента на x с противоположен знак на даденото квадратно уравнение, и произведението на корените, което дава свободния член.
Пример.
Напишете квадратно уравнение, чиито корени са числата −11 и 23.
Решение.
Означете x 1 =−11 и x 2 =23 . Изчисляваме сумата и произведението на тези числа: x 1 + x 2 \u003d 12 и x 1 x 2 \u003d −253. Следователно тези числа са корените на даденото квадратно уравнение с втория коефициент -12 и свободния член -253. Тоест, x 2 −12·x−253=0 е желаното уравнение.
Отговор:
x 2 −12 x−253=0 .
Теоремата на Виета много често се използва при решаване на задачи, свързани със знаците на корените на квадратните уравнения. Как е свързана теоремата на Виета със знаците на корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p x+q=0? Ето две релевантни твърдения:
- Ако свободният член q е положително число и ако квадратното уравнение има реални корени, тогава и двете са положителни, или и двете са отрицателни.
- Ако свободният член q е отрицателно число и ако квадратното уравнение има реални корени, тогава техните знаци са различни, с други думи, единият корен е положителен, а другият е отрицателен.
Тези твърдения следват от формулата x 1 x 2 =q, както и от правилата за умножаване на положителни, отрицателни числа и числа с различни знаци. Помислете за примери за тяхното приложение.
Пример.
R е положително. Съгласно дискриминантната формула намираме D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , стойността на израза r 2 +8 е положително за всяко реално r, следователно D>0 за всяко реално r. Следователно, оригиналното квадратно уравнение има два корена за всякакви реални стойности на параметъра r.
Сега нека разберем кога корените имат различни знаци. Ако знаците на корените са различни, тогава техният продукт е отрицателен, а по теоремата на Виета произведението на корените на даденото квадратно уравнение е равно на свободния член. Следователно, ние се интересуваме от онези стойности на r, за които свободният член r−1 е отрицателен. По този начин, за да намерим стойностите на r, които ни интересуват, трябва да го направим решаване на линейно неравенство r−1<0 , откуда находим r<1 .
Отговор:
в r<1 .
Виета формули
По-горе говорихме за теоремата на Виета за квадратно уравнение и анализирахме отношенията, които тя твърди. Но има формули, които свързват реалните корени и коефициенти не само на квадратни уравнения, но и на кубични уравнения, четворни уравнения и като цяло, алгебрични уравнениястепен n. Те се наричат Виета формули.
Пишем формулите на Vieta за алгебрично уравнение от степен n от вида, като приемаме, че то има n реални корени x 1, x 2, ..., x n (сред тях може да има същите): 
Вземете Vieta формули позволява теорема за полиномиална факторизация, както и дефинирането на равни полиноми чрез равенството на всички съответни им коефициенти. Значи полиномът и неговото разлагане в линейни множители на формата са равни. Отваряйки скобите в последния продукт и приравнявайки съответните коефициенти, получаваме формулите на Vieta.
По-специално, за n=2 вече имаме познати формули на Vieta за квадратното уравнение.
За кубично уравнение, формулите на Vieta имат формата 
Остава само да се отбележи, че от лявата страна на формулите на Виета има т.нар. елементарни симетрични полиноми.
Библиография.
- алгебра:учебник за 8 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А.Г.алгебра. 8 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от образователни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
- алгебраи началото на математическия анализ. 10 клас: учебник. за общо образование институции: основни и профилни. нива / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; изд. А. Б. Жижченко. - 3-то изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Един от методите за решаване на квадратно уравнение е приложението VIETA формули, който е кръстен на FRANCOIS VIETE.
Той е бил известен адвокат и е служил през 16-ти век при френския крал. В свободното си време учи астрономия и математика. Той установи връзка между корените и коефициентите на квадратно уравнение.
Предимства на формулата:
1 . Прилагайки формулата, можете бързо да намерите решението. Защото не е нужно да въвеждате втория коефициент в квадрата, след това да изваждате 4ac от него, да намирате дискриминанта, да замените неговата стойност във формулата за намиране на корените.
2 . Без решение можете да определите признаците на корените, да вземете стойностите на корените.
3 . След като решихме системата от два записа, не е трудно да намерим самите корени. В горното квадратно уравнение сумата от корените е равна на стойността на втория коефициент със знак минус. Произведението на корените в горното квадратно уравнение е равно на стойността на третия коефициент.
4 . Според дадените корени напишете квадратно уравнение, тоест решете обратната задача. Например, този метод се използва при решаване на задачи по теоретична механика.
5 . Удобно е да се приложи формулата, когато водещият коефициент е равен на единица.
недостатъци:
1
. Формулата не е универсална.
Теорема на Виета 8 клас
Формула
Ако x 1 и x 2 са корените на даденото квадратно уравнение x 2 + px + q \u003d 0, тогава:
Примери
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - корените на уравнението x 2 - 2x - 3 \u003d 0.
P = -2, q = -3.
X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 \u003d -p,
X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.
Обратна теорема
Формула
Ако числата x 1 , x 2 , p, q са свързани с условията:
Тогава x 1 и x 2 са корените на уравнението x 2 + px + q = 0.
Пример
Нека направим квадратно уравнение по неговите корени:
X 1 \u003d 2 -? 3 и x 2 \u003d 2 +? 3 .
P = x 1 + x 2 = 4; р = -4; q \u003d x 1 x 2 = (2 -? 3) (2 +? 3) = 4 - 3 = 1.
Желаното уравнение има вида: x 2 - 4x + 1 = 0.
2.5 Формула на Виета за полиноми (уравнения) от по-високи степени
Формулите, извлечени от Виета за квадратни уравнения, са верни и за полиноми от по-високи степени.
Нека полиномът
P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n
Има n различни корени x 1 , x 2 ..., x n .
В този случай той има факторизация във формата:
a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)
Нека разделим двете части на това равенство на 0 ≠ 0 и да разширим скобите в първата част. Получаваме равенството:
x n + ()x n -1 + ... + () = x n - (x 1 + x 2 + ... + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n
Но два полинома са идентично равни, ако и само ако коефициентите при едни и същи степени са равни. От това следва, че равенството
x 1 + x 2 + … + x n = -
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =
x 1 x 2 … x n = (-1) n
Например за полиноми от трета степен
a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3
Ние имаме самоличности
x 1 + x 2 + x 3 = -
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
x 1 x 2 x 3 = -
Що се отнася до квадратните уравнения, тази формула се нарича формули на Vieta. Левите части на тези формули са симетрични полиноми от корените x 1 , x 2 ..., x n на даденото уравнение, а десните части са изразени чрез коефициента на полинома.
2.6 Уравнения, редуцирани до квадрати (биквадратни)
Уравненията от четвърта степен се редуцират до квадратни уравнения:
ax 4 + bx 2 + c = 0,
наречен биквадратичен, освен това a ≠ 0.
Достатъчно е да поставите x 2 \u003d y в това уравнение, следователно,
ay² + by + c = 0
намерете корените на полученото квадратно уравнение
y 1,2 = 
За да намерите незабавно корените x 1, x 2, x 3, x 4, заменете y с x и вземете
x2 =
х 1,2,3,4 = 
.
Ако уравнението от четвърта степен има x 1, то също има корен x 2 \u003d -x 1,
Ако има x 3, тогава x 4 = - x 3. Сумата от корените на такова уравнение е нула.
2x 4 - 9x² + 4 = 0
Заместваме уравнението във формулата за корените на биквадратните уравнения:
х 1,2,3,4 = 
,
знаейки, че x 1 = -x 2 и x 3 = -x 4, тогава:
х 3,4 = 
Отговор: x 1,2 \u003d ± 2; х 1,2 =
2.7 Изучаване на биквадратни уравнения
Да вземем биквадратното уравнение
ax 4 + bx 2 + c = 0,
където a, b, c са реални числа и a > 0. Чрез въвеждане на спомагателна неизвестна y = x², ние изследваме корените на това уравнение и въвеждаме резултатите в таблица (вижте Приложение № 1)
2.8 Кардано формула
Ако използваме съвременен символизъм, извличането на формулата на Кардано може да изглежда така:
х = 
Тази формула определя корените на общото уравнение от трета степен:
ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.
Тази формула е много тромава и сложна (съдържа няколко сложни радикала). Не винаги се прилага, т.к. много трудно да се завърши.
F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...
Избройте или изберете от 2-3 текста най-интересните места. По този начин разгледахме общите разпоредби за създаване и провеждане на избираеми дисциплини, които ще бъдат взети предвид при разработването на избираема дисциплина по алгебра за 9 клас „Квадрикулярни уравнения и неравенства с параметър“. Глава II. Методика за провеждане на избираема дисциплина "Квадратни уравнения и неравенства с параметър" 1.1. Общ...
Решения от числени методи за изчисление. За определяне на корените на уравнението не се изисква познаване на теориите на Абел, Галоа, групите на Ли и др. и използването на специална математическа терминология: пръстени, полета, идеали, изоморфизми и др. За да решите алгебрично уравнение от n-та степен, се нуждаете само от способността да решавате квадратни уравнения и да извличате корени от комплексно число. Корените могат да се определят с...
С мерни единици за физически величини в системата MathCAD? 11. Опишете подробно текстовите, графичните и математическите блокове. Лекция номер 2. Задачи на линейната алгебра и решаване на диференциални уравнения в средата на MathCAD В задачите на линейната алгебра почти винаги се налага извършването на различни операции с матрици. Панелът на матричния оператор се намира на панела Math. ...
