Измислете две правдоподобни случайни и невъзможни събития. Измислете две надеждни, случайни и невъзможни събития. Изучаване на нов материал
Тема на урока: "Случайни, надеждни и невъзможни събития"
Място на урока в учебната програма: „Комбинаторика. Случайни събития” урок 5/8
Тип урок: Урок за формиране на нови знания
Цели на урока:
Образователни:
o въвеждат дефиниция за случайно, сигурно и невъзможно събитие;
o учат в процеса на реална ситуация да дефинират термините на теорията на вероятностите: надеждни, невъзможни, равновероятни събития;
Разработване:
o насърчаване на развитието на логическото мислене,
o познавателен интерес на учениците,
o способност за сравняване и анализиране,
Образователни:
o насърчаване на интереса към изучаването на математиката,
o развитие на мирогледа на учениците.
o притежаване на интелектуални умения и умствени операции;
Методи на преподаване:обяснително-илюстративен, репродуктивен, математически диктовка.
UMC:Математика: учебник за 6 клетки. под редакцията и др., издателство „Просвещение”, 2008, Математика, 5-6: кн. за учител / [, [ , ]. - М.: Образование, 2006.
Дидактически материал: бордови плакати.
литература:
1. Математика : учеб. за 6 клетки. общо образование институции/ и др.]; изд. , ; Ros. акад. Науки, Рос. акад. образование, издателство „Просвещение”. - 10-то изд. - М.: Просвещение, 2008.-302 с.: ил. - (Академичен училищен учебник).
2. Математика, 5-б: кн. за учителя / [, ]. - М. : Образование, 2006. - 191 с. : аз ще.
4. Решаване на задачи по статистика, комбинаторика и теория на вероятностите. 7-9 клас. / авт.- комп. . Изд. 2-ро, рев. - Волгоград: Учител, 2006. -428 с.
5. Уроци по математика с използване на информационни технологии. 5-10 клас. Методически - помагало с електронно приложение/ и др. 2-ро изд., стереотип. - М.: Издателство "Глобус", 2010. - 266 с. (Модерно училище).
6. Преподаване на математика в съвременно училище. Насоки. Владивосток: Издателство PIPPCRO, 2003.
ПЛАН НА УРОКА
I. Организационен момент.
II. устна работа.
III. Изучаване на нов материал.
IV. Формиране на умения и способности.
V. Резултатите от урока.
V. Домашна работа.
ПО ВРЕМЕ НА УРОКИТЕ
1. Организационен момент
2. Актуализиране на знанията
15*(-100) |
Устна работа:
3. Обяснение на нов материал
Учителят: Животът ни до голяма степен се състои от инциденти. Има такава наука "Теория на вероятностите". С неговия език могат да бъдат описани много явления и ситуации.
Такива древни командири като Александър Велики или Дмитрий Донской, подготвяйки се за битка, разчитаха не само на доблестта и уменията на воините, но и на случайността.
Много хора обичат математиката вечни истинидва пъти две винаги е четири, сборът от четни числа е четно число, площта на правоъгълника е произведение на съседните му страни и т. н. При всички задачи, които решавате, всеки получава един и същ отговор - просто не е необходимо да правите грешки в решението.
Реалният живот не е толкова прост и недвусмислен. Резултатите от много събития не могат да бъдат предвидени предварително. Невъзможно е например да се каже със сигурност от коя страна ще падне хвърлена монета, кога ще падне първият сняг догодина или колко хора в града ще искат да се обадят по телефона в рамките на следващия час. Такива непредвидими събития се наричат произволен .
Случаят обаче има и свои закони, които започват да се проявяват при многократно повторение на случайни явления. Ако хвърлите монета 1000 пъти, тогава "орелът" ще изпадне около половината от времето, което не може да се каже за две или дори десет хвърляния. "Приблизително" не означава половината. Това, като правило, може да е така или не. Законът обикновено не казва нищо със сигурност, но дава известна степен на сигурност, че ще се случи някакво случайно събитие.
Такива закономерности се изучават от специален клон на математиката - Теория на вероятностите . С негова помощ можете да предскажете с по-голяма степен на увереност (но все още несигурни) както датата на първия снеговалеж, така и броя на телефонните обаждания.
Теорията на вероятностите е неразривно свързана с нашата ежедневието. Това ни дава чудесна възможност да установим много вероятностни закони емпиричночрез повтаряне на произволни експерименти много пъти. Материалите за тези експерименти най-често ще бъдат обикновена монета, зар, набор от домино, табла, рулетка или дори тесте карти. Всеки от тези елементи, по един или друг начин, е свързан с игри. Факт е, че случаят тук се появява в най-честата форма. И първите вероятностни задачи бяха свързани с оценка на шансовете на играчите да спечелят.
Съвременната теория на вероятностите се е отдалечила от хазарта, но техните подпори все още са най-простият и надежден източник на шанс. Практикувайки с колело на рулетка и зар, ще научите как да изчислите вероятността от случайни събития в реалния живот. житейски ситуации, което ще ви позволи да оцените шансовете си за успех, да тествате хипотези, да вземете оптимални решения не само в игри и лотарии.
Когато решавате вероятностни задачи, бъдете много внимателни, опитайте се да оправдаете всяка стъпка, защото никоя друга област на математиката не съдържа такъв брой парадокси. Като теория на вероятностите. И може би основното обяснение за това е връзката му с реалния свят, в който живеем.
Много игри използват зар, който има различен брой точки от 1 до 6 от всяка страна. Играчът хвърля зарчето, гледа колко точки са паднали (от страната, която се намира отгоре) и прави подходящото число от ходове: 1,2,3,4,5 или 6. Хвърлянето на зар може да се счита за опит, експеримент, тест, а полученият резултат може да се счита за събитие. Хората обикновено са много заинтересовани да отгатнат началото на дадено събитие, да предскажат неговия резултат. Какви прогнози могат да направят при хвърляне на зар?
Първа прогноза: ще изпадне едно от числата 1,2,3,4,5 или 6. Мислите ли, че прогнозираното събитие ще дойде или не? Разбира се, че определено ще дойде.
Нарича се събитие, което със сигурност ще се случи в даден опит автентиченсъбитие.
Втора прогноза : ще изпадне числото 7. Мислите ли, че прогнозираното събитие ще дойде или не? Разбира се, че няма да стане, просто е невъзможно.
Извиква се събитие, което не може да се случи в даден експеримент невъзможенсъбитие.
Трета прогноза : ще изпадне числото 1. Мислите ли, че прогнозираното събитие ще дойде или не? Не можем да отговорим на този въпрос с пълна сигурност, тъй като прогнозираното събитие може да се случи или не.
Наричат се събития, които могат или не могат да се случат при същите условия произволен.
Пример. Кутията съдържа 5 шоколада в синя опаковка и един в бяло. Без да гледат в кутията, те вадят на случаен принцип един бонбон. Може ли да се каже предварително какъв цвят ще бъде?
Упражнение : опишете събитията, които се обсъждат в задачите по-долу. Като сигурно, невъзможно или случайно.
1. Хвърлете монета. Появи се гербът. (случаен)
2. Ловецът стрелял по вълка и го уцелил. (случаен)
3. Ученик излиза на разходка всяка вечер. По време на разходка, в понеделник, той срещна трима познати. (случаен)
4. Нека наум да проведем следния експеримент: обърнете чаша вода с главата надолу. Ако този експеримент се проведе не в космоса, а у дома или в класна стая, тогава водата ще се излее. (автентичен)
5. Три изстрела към целта.” Имаше пет попадения." (невъзможен)
6. Хвърлете камъка нагоре. Камъкът остава висящ във въздуха. (невъзможен)
ПримерПетя зачена естествено число. Събитието е както следва:
а) замислено е четно число; (случаен)
б) замислено е нечетно число; (случаен)
в) замислено е число, което не е нито четно, нито нечетно; (невъзможен)
г) замислено е число, което е четно или нечетно. (автентичен)
Наричат се събития, които при дадени условия имат равни шансове равновероятно.
Случайни събития, които имат равни шансове, се наричат еднакво възможно или равновероятно .
Поставете плаката на дъската.
На устния изпит студентът взема един от билетите, изложени пред него. Шансовете за вземане на някой от изпитните билети са равни. Също толкова вероятна е загубата на произволен брой точки от 1 до 6 при хвърляне на зар, както и глави или опашки при хвърляне на монета.
Но не всички събития са такива еднакво възможно. Будилникът може да не звъни, крушката да изгори, автобусът се повреди, но при нормални условия такива събития малко вероятно. По-вероятно е будилникът да звъни, светлината ще светне, автобусът ще тръгне.
Някои събития шансовесе срещат повече, което означава, че те са по-вероятни - по-близо до надеждни. А други имат по-малко шансове, те са по-малко вероятни - по-близо до невъзможно.
Невъзможните събития нямат шанс да се случат, а определени събития имат всички шансове да се случат, при определени условия определено ще се случат.
ПримерПетя и Коля сравняват рождените си дни. Събитието е както следва:
а) рождените им дни не съвпадат; (случаен)
б) рождените им дни са еднакви; (случаен)
г) и двата рождени дни са на празници - Нова година(1 януари) и Ден на независимостта на Русия (12 юни). (случаен)
3. Формиране на умения и способности
Задача от учебник No 000. Кои от следните случайни събития са достоверни, възможни:
а) костенурката ще се научи да говори;
б) водата в чайника на котлона заври;
г) печелите, като участвате в лотарията;
д) няма да спечелите, като участвате в печеливша лотария;
е) ще загубите партия шах;
ж) утре ще срещнете извънземно;
з) следващата седмица времето ще се влоши; и) натиснахте звънеца, но не звъни; к) днес - четвъртък;
к) след четвъртък ще има петък; м) ще има ли четвъртък след петък?
Кутиите съдържат 2 червени, 1 жълта и 4 зелени топки. Три топки се изтеглят на случаен принцип от кутията. Кои от следните събития са невъзможни, случайни, сигурни:
О: Ще бъдат изтеглени три зелени топки;
B: Ще бъдат изтеглени три червени топки;
C: ще бъдат изтеглени топки от два цвята;
D: ще бъдат изтеглени топки от същия цвят;
E: сред изтеглените топки има синя;
F: сред изтеглените има топки от три цвята;
G: Има ли две жълти топки сред изтеглените топки?
Проверете се. (математически диктовка)
1) Посочете кои от следните събития са невъзможни, кои са сигурни, кои са случайни:
Футболният мач "Спартак" - "Динамо" ще завърши наравно (случаен)
Вие ще спечелите, като участвате в печелившата лотария ( автентичен)
В полунощ ще вали сняг, а след 24 часа ще изгрее слънце (невъзможен)
· Утре ще има тест по математика. (случаен)
· Ще бъдете избран за президент на Съединените щати. (невъзможен)
· Ще бъдете избран за президент на Русия. (случаен)
2) Купили сте телевизор в магазин, за който производителят дава две години гаранция. Кои от следните събития са невъзможни, кои са случайни, кои са сигурни:
· Телевизорът няма да се счупи в рамките на една година. (случаен)
Телевизорът няма да се счупи до две години . (случаен)
· В рамките на две години няма да ви се налага да плащате за ремонт на телевизора. (автентичен)
Телевизорът ще се счупи на третата година. (случаен)
3) Автобус, превозващ 15 пътника, трябва да направи 10 спирки. Кои от следните събития са невъзможни, кои са случайни, кои са сигурни:
· Всички пътници ще слязат от автобуса на различни спирки. (невъзможен)
Всички пътници ще слязат на една и съща спирка. (случаен)
На всяка спирка поне някой ще слезе. (случаен)
Ще има спирка, на която никой няма да слезе. (случаен)
Четен брой пътници ще слизат на всички спирки. (невъзможен)
На всички спирки ще слязат нечетен брой пътници. (невъзможен)
Резюме на урока
Въпроси към учениците:
Кои събития се наричат случайни?
Кои събития се наричат равновероятни?
Кои събития се считат за надеждни? невъзможен?
Кои събития се считат за по-вероятни? по-малко вероятно?
Домашна работа : клауза 9.3
№ 000. Помислете за три примера всеки за определени, невъзможни събития, както и събития, за които не може да се каже, че непременно се случват.
902. В кутия има 10 червени, 1 зелена и 2 сини химикалки. Две химикалки се изваждат на случаен принцип от кутията. Кои от следните събития са невъзможни, сигурно:
О: Две червени дръжки ще бъдат извадени; B: Две зелени дръжки ще бъдат извадени; C: две сини дръжки ще бъдат извадени; D: Ще бъдат извадени две дръжки с различни цветове;
Е: Ще се извадят ли два молива? 03. Егор и Данила се съгласиха: ако стрелката на въртящата се плоча (фиг. 205) спре на бяло поле, тогава Егор ще боядиса оградата, а ако е на синьо поле, Данила. Кое момче е по-вероятно да боядиса оградата?
Целта на урока:
- Въведете концепцията за определени, невъзможни и случайни събития.
- Да се формират знания и умения за определяне на вида на събитията.
- Развийте: изчислителни умения; Внимание; способност за анализиране, разсъждение, правене на заключения; умения за работа в група.
По време на занятията
1) Организационен момент.
Интерактивно упражнение: децата трябва да решават примери и да дешифрират думи, според резултатите се разделят на групи (надеждни, невъзможни и произволни) и да определят темата на урока.
1 карта.
| 0,5 | 1,6 | 12,6 | 5,2 | 7,5 | 8 | 5,2 | 2,08 | 0,5 | 9,54 | 1,6 |
2 карта
| 0,5 | 2,1 | 14,5 | 1,9 | 2,1 | 20,4 | 14 | 1,6 | 5,08 | 8,94 | 14 |
3 карта
| 5 | 2,4 | 6,7 | 4,7 | 8,1 | 18 | 40 | 9,54 | 0,78 |
2) Актуализация на изучаваните знания.
Играта "Plap": четно число - пляскане, нечетно число - изправете се.
Задача: от дадена серия от числа 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... определете четно и нечетно.
3) Изучаване на нова тема.
Имате кубчета на масите. Нека ги разгледаме по-отблизо. Какво виждаш?
Къде се използват заровете? Как?
Групова работа.
Провеждане на експеримент.
Какви прогнози можете да направите, когато хвърляте зар?
Първа прогноза: едно от числата 1,2,3,4,5 или 6 ще изпадне.
Нарича се събитие, което със сигурност ще се случи в даден опит автентичен.
Втора прогноза: ще се появи числото 7.
Смятате ли, че прогнозираното събитие ще се случи или не?
Това е невъзможно!
Извиква се събитие, което не може да се случи в даден експеримент невъзможен.
Трета прогноза: ще се появи числото 1.
Ще се случи ли това събитие?
Нарича се събитие, което може или не може да се случи в даден опит произволен.
4) Затвърдяване на изучавания материал.
I. Определете вида на събитието
-Утре ще вали червен сняг.
Утре ще вали силен сняг.
Утре, въпреки че е юли, ще вали сняг.
Утре, въпреки че е юли, сняг няма да има.
Утре ще вали сняг и ще има виелица.
II. Добавете дума към това изречение по такъв начин, че събитието да стане невъзможно.
Коля получи А по история.
Саша не изпълни нито една задача на теста.
Оксана Михайловна (учител по история) ще обясни новата тема.
III. Дайте примери за невъзможни, случайни и определени събития.
IV. Работа по учебника (в групи).
Опишете събитията, обсъждани в задачите по-долу, като сигурни, невъзможни или случайни.
No 959. Петя зачена естествено число. Събитието е както следва:
а) замислено е четно число;
б) замислено е нечетно число;
в) замислено е число, което не е нито четно, нито нечетно;
г) замислено е число, което е четно или нечетно.
№ 960. Отворихте този учебник на всяка страница и избрахте първото съществително, което попадна. Събитието е както следва:
а) в изписването на избраната дума има гласна;
б) в изписването на избраната дума има буква “о”;
в) в изписването на избраната дума няма гласни;
г) има мек знак в изписването на избраната дума.
Решете #961, #964.
Обсъждане на решените задачи.
5) Отражение.
1. Какви събития срещнахте в урока?
2. Посочете кое от следните събития е сигурно, кое е невъзможно и кое е случайно:
а) няма да има летни почивки;
б) сандвичът ще падне с маслото надолу;
в) учебната година ще приключи някой ден.
6) Домашна работа:
Измислете две надеждни, случайни и невъзможни събития.
Нарисувайте един от тях.
Теорията на вероятностите, като всеки клон на математиката, оперира с определен набор от понятия. Повечето от понятията на теорията на вероятностите са дефинирани, но някои се приемат като първични, а не дефинирани, като в геометрията точка, права, равнина. Основното понятие на теорията на вероятностите е събитие. Събитие е нещо, за което след определен момент от време може да се каже едно и само едно от двете:
- · Да, случи се.
- · Не, не се случи.
Например имам лотариен билет. След публикуването на резултатите от тегленето на лотарията събитието, което ме интересува - спечелването на хиляда рубли или се случва, или не се случва. Всяко събитие се случва в резултат на тест (или опит). Под тест (или опит) разбирайте тези условия, в резултат на които възниква събитие. Например, хвърлянето на монета е изпитание, а появата на „герб“ върху него е събитие. Събитието обикновено се обозначава с главни латински букви: A, B, C, .... Събитията в материалния свят могат да се разделят на три категории – сигурни, невъзможни и случайни.
Определено събитие е това, за което е известно предварително, че ще се случи. Обозначава се с буквата W. По този начин не повече от шест точки са надеждни при хвърляне на обикновен зарове, появата на бяла топка, когато се изтегля от урна, съдържаща само бели топки и т.н.
Невъзможно събитие е събитие, за което се знае предварително, че няма да се случи. Обозначава се с буквата Е. Примери за невъзможни събития са тегленето на повече от четири аса от обикновено тесте карти, появата на червена топка от урна, съдържаща само бели и черни топки и др.
Случайно събитие е събитие, което може или не може да се случи в резултат на тест. Събития A и B се наричат несъвместими, ако настъпването на едното от тях изключва възможността за възникване на другото. Така че появата на всеки възможен брой точки при хвърляне на зар (събитие A) е несъвместима с появата на друго число (събитие B). Прехвърлянето на четен брой точки е несъвместимо с хвърлянето на нечетен брой. Обратно, четен брой точки (събитие A) и брой точки, делими се на три (събитие B), няма да бъдат несъвместими, тъй като загубата на шест точки означава настъпване както на събитията A, така и на събитието B, така че настъпването на едно от тях не изключва възникването на другия. Операциите могат да се извършват върху събития. Обединение от две събития C=AUB е събитие C, което се случва, ако и само ако се случи поне едно от тези събития A и B. Пресечната точка на две събития D=A?? B е събитие, което се случва, ако и само ако се случат и двете събития A и B.
Наблюдаваните от нас събития (явления) могат да бъдат разделени на следните три вида: надеждни, невъзможни и случайни.
достовереннаричаме събитие, което определено ще се случи, ако се приложи определен набор от условия S. Например, ако съд съдържа вода при нормално атмосферно налягане и температура 20°, тогава събитието „водата в съда е в течно състояние ” е сигурно. В този пример определеното атмосферно налягане и температурата на водата представляват набора от условия S.
Невъзможеннаричаме събитие, което със сигурност няма да настъпи, ако се реализира наборът от условия S. Например събитието „вода в съда е в твърдо състояние“ със сигурност няма да се случи, ако се реализира наборът от условия от предишния пример.
СлучаенСъбитие се нарича събитие, което при изпълнението на набор от условия S може да се случи или да не се случи. Например, ако се хвърли монета, тя може да падне така, че отгоре да е или герб, или надпис. Следователно събитието „при хвърляне на монета изпадна „герб“ е случайно. Всяко случайно събитие, по-специално падането на "герба", е резултат от действието на много случайни причини (в нашия пример: силата, с която е хвърлена монетата, формата на монетата и много други ). Невъзможно е да се вземе предвид влиянието на всички тези причини върху резултата, тъй като техният брой е много голям и законите на тяхното действие са неизвестни. Следователно теорията на вероятността не си поставя задачата да предскаже дали едно събитие ще се случи или не - тя просто не може да го направи.
Ситуацията е различна, ако разгледаме случайни събития, които могат да се наблюдават многократно при едни и същи условия S, т.е. ако говорим за масивни хомогенни случайни събития. Оказва се, че достатъчно голям бройхомогенните случайни събития, независимо от тяхната специфична природа, се подчиняват на определени закони, а именно вероятностни закони. Теорията на вероятностите се занимава с установяването на тези закономерности.
По този начин предмет на теорията на вероятностите е изследването на вероятностните закономерности на масивни хомогенни случайни събития.
Методите на теорията на вероятностите се използват широко в различни клонове на естествените науки и технологиите. Теорията на вероятностите служи и за обосноваване на математическата и приложната статистика.
Видове случайни събития. Събитията се наричат несъвместимиако настъпването на едно от тях изключва настъпването на други събития в същия опит.
Пример. Хвърли се монета. Появата на "герба" изключва появата на надписа. Събитията „появи се герб” и „появи се надпис” са несъвместими.
Оформят се няколко събития пълна група, ако поне един от тях се появи в резултат на теста. По-специално, ако събитията, които образуват пълна група, са несъвместими по двойки, тогава едно и само едно от тези събития ще се появи в резултат на теста. Този конкретен случай представлява най-голям интерес за нас, тъй като ще бъде използван по-долу.
Пример 2. Закупени са два билета за лотарията за пари и дрехи. Непременно ще се случи едно и само едно от следните събития: „печалбите паднаха на първия билет и не паднаха на втория“, „печалбите не паднаха на първия билет и паднаха на втория“, „печалбите паднаха и на двата билета“, „печалбите не спечелиха и на двата билета“. изпадна“. Тези събития образуват пълна група от несъвместими по двойки събития.
Пример 3. Стрелецът стреля по целта. Едно от следните две събития е задължително да се случи: удар, пропуск. Тези две несвързани събития образуват пълна група.
Събитията се наричат еднакво възможноако има основание да се смята, че нито едно от тях не е по-възможно от другото.
Пример 4. Появата на "герб" и появата на надпис при хвърляне на монета са еднакво възможни събития. Всъщност се приема, че монетата е изработена от хомогенен материал, има правилна цилиндрична форма и наличието на монета не влияе на загубата на една или друга страна на монетата.
Самообозначение с главни букви на латинската азбука: A, B, C, .. A 1, A 2 ..
Противоположностите се наричат 2 уникално възможни така-I, образуващи пълна група. Ако едно от двете противоположни събития се обозначава с A, тогава други обозначения са A`.
Пример 5. Удар и пропуск при стрелба по мишена - противоположния пол. собствен.
1.1. Малко информация от комбинаториката
1.1.1. Настаняване
Помислете за най-простите концепции, свързани с избора и местоположението на определен набор от обекти.
Преброяването на броя на начините, по които могат да бъдат извършени тези действия, често се прави при решаване на вероятностни задачи.
Определение. Настаняване от нелементи от к (к ≤н) е всяко подредено подмножество от келементи от набор, състоящ се от нразлични елементи.
Пример.Следните поредици от числа са подреждане на 2 елемента от 3 елемента от набора (1;2;3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Имайте предвид, че разположенията се различават по реда на съставните си елементи и техния състав. Разположения 12 и 21 съдържат едни и същи числа, но редът им е различен. Следователно тези разположения се считат за различни.
Брой различни разположения от нелементи от ксе обозначава и изчислява по формулата:
,
където н! = 1∙2∙...∙(н - 1)∙н(Прочети " нфакториал).
номер двуцифрени числа, който може да бъде съставен от числата 1, 2, 3, при условие че нито една цифра не се повтаря, равна на: .
1.1.2. Пермутации
Определение. Пермутации от нелементи се наричат такива разположения от нелементи, които се различават само по разположението на елементите.
Брой пермутации от нелементи P nизчислено по формулата: P n=н!
Пример.По колко начина могат да се наредят 5 души? Броят на начините е равен на броя на пермутациите на 5 елемента, т.е.
П 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Определение. Ако сред нелементи кидентични, тогава пермутацията на тези нелементи се нарича пермутация с повторения.
Пример.Да предположим, че сред 6 книги 2 са еднакви. Всяко подреждане на всички книги на рафта е пермутация с повторения.
Броят на различните пермутации с повторения (от нелементи, сред които кидентичен) се изчислява по формулата: .
В нашия пример броят на начините, по които книгите могат да бъдат подредени на рафт, е: .
1.1.3. Комбинации
Определение. Комбинации от нелементи от ктакива разположения се наричат нелементи от к, които се различават един от друг поне с един елемент.
Брой различни комбинации от нелементи от кобозначава се и се изчислява по формулата: .
По дефиниция 0!=1.
Комбинациите имат следните свойства:
1.
2.
3.
4.
Пример.Има 5 цветя с различни цветове. За букет се избират 3 цветя. Броят на различните букети от 3 цветя от 5 е: .
1.2. случайни събития
1.2.1. Развития
Познанието на реалността в природните науки става в резултат на тестове (опит, наблюдение, опит).
тест
или опитът е изпълнението на някакъв специфичен набор от условия, които могат да бъдат възпроизведени произволно голям брой пъти.
Случаен
наречено събитие, което може или не може да се случи в резултат на някакъв тест (опит).
По този начин събитието се счита за резултат от тест.
Пример.Хвърлянето на монета е изпитание. Появата на орел при хвърляне е събитие.
Събитията, които наблюдаваме, се различават по степента на възможност за тяхното възникване и по характера на връзката им.
Събитието се нарича автентичен
ако е сигурно, че се е случило в резултат на теста.
Пример.Студент, който получава положителна или отрицателна оценка на изпит, е определено събитие, ако изпитът протича по обичайните правила.
Събитието се нарича невъзможен
ако не може да възникне в резултат на този тест.
Пример.Извличането на бяла топка от урна, съдържаща само цветни (небели) топки, е невъзможно събитие. Имайте предвид, че при други условия на експеримента не се изключва появата на бяла топка; следователно това събитие е невъзможно само в условията на нашия опит.
Освен това случайните събития ще бъдат обозначени с голяма латиница букви A,B,C... Сигурно събитие ще бъде обозначено с буквата Ω, невъзможно събитие с Ø.
Извикват се две или повече събития еднакво възможно
в даден тест, ако има причина да се смята, че нито едно от тези събития не е по-вероятно или по-малко вероятно от другите.
Пример.С едно хвърляне на зар, появата на 1, 2, 3, 4, 5 и 6 точки са еднакво възможни събития. Предполага се, разбира се, че матрицата е направена от хомогенен материал и има правилна форма.
Двете събития се наричат несъвместими
в даден опит, ако възникването на едно от тях изключва появата на другото, и става
в противен случай.
Пример.Кутията съдържа стандартни и нестандартни части. Да вземем една подробност. Появата на стандартна част изключва появата на нестандартна част. Тези събития са несъвместими.
Оформят се няколко събития пълна група от събития
в този тест, ако в резултат на това изпитване задължително се случи поне един от тях.
Пример.Събитията от примера образуват пълна група от еднакво възможни и по двойки несъвместими събития.
Наричат се две несвързани събития, които образуват пълна група от събития в даден опит противоположни събития.
Ако един от тях е означен с А, тогава другият обикновено се обозначава чрез (той гласи „не А»).
Пример.Попадане и пропускане с един изстрел в мишена са противоположни събития.
1.2.2. Класическата дефиниция на вероятността
Вероятност за събитие
е числена мярка за възможността за неговото възникване.
Събитие НОНаречен благоприятен
събитие ATако всеки път, когато настъпи събитие НО, събитието се случва AT.
Развития НО 1 , НО 2 , ..., НОнформа диаграма на случая
, ако те:
1) са еднакво възможни;
2) са несъвместими по двойки;
3) образуват пълна група.
В схемата на случаите (и само в тази схема) се извършва класическото определение на вероятността П(А) развитие НО. Тук всяко от събитията, принадлежащи към избраната пълна група от еднакво възможни и по двойки несъвместими събития, се нарича случай.
Ако не броят на всички случаи в схемата, и м- броят на случаите, благоприятни за събитието НО, тогава вероятност за събитие
НОсе определя от равенството:
Следните свойства следват от дефиницията на вероятността:
1. Вероятност сигурно събитиее равно на единица.
Всъщност, ако дадено събитие е сигурно, тогава всяко събитие в схемата от събития благоприятства събитието. В такъв случай м = ни следователно 
2. Вероятността за невъзможно събитие е нула.
Наистина, ако събитието е невъзможно, тогава нито един от случаите от схемата на делата не благоприятства събитието. Ето защо м=0 и следователно 
Вероятността за случайно събитие е положително число между нула и едно.
Всъщност случайно събитие се предпочита само от част от общ бройслучаи в диаграмата на случая. Следователно 0<м<н, което означава 0<м/н<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
И така, вероятността за всяко събитие удовлетворява неравенствата
0 ≤ P(а) ≤ 1.
Понастоящем свойствата на вероятността се дефинират под формата на аксиоми, формулирани от A.N. Колмогоров.
Едно от основните предимства на класическата дефиниция на вероятността е възможността директно да се изчисли вероятността за събитие, т.е. без да се прибягва до експерименти, които се заменят с логически разсъждения.
Проблеми на директното изчисляване на вероятностите
Задача 1.1. Каква е вероятността да получите четен брой точки (събитие A) при едно хвърляне на зар?
Решение. Помислете за събитията НОи- отпадна иточки, и= 1, 2, …, 6. Очевидно тези събития формират модел на случаи. След това броят на всички случаи н= 6. Четен брой точки се предпочита от случаите НО 2 , НО 4 , НО 6 , т.е. м= 3. Тогава 
.
Задача 1.2. Една урна съдържа 5 бели и 10 черни топки. Топчетата се разбъркват добре и след това 1 топка се изважда на случаен принцип. Каква е вероятността изтеглената топка да е бяла?
Решение. Има общо 15 случая, които формират модела на делата. И очакваното събитие НО- следователно 5 от тях предпочитат появата на бяла топка 
.
Задача 1.3. Детето играе с шест букви от азбуката: A, A, E, K, P, T. Намерете вероятността, че може да добави произволно думата КАРИЖ (събитие A).
Решение. Решението се усложнява от факта, че сред буквите има едни и същи - две букви "А". Следователно броят на всички възможни случаи в този опит е равен на броя на пермутациите с повторения на 6 букви:
.
Тези случаи са еднакво възможни, несъвместими по двойки и образуват пълна група от събития, т.е. формират диаграма на случая. Само един шанс благоприятства събитието НО. Ето защо
.
Задача 1.4. Таня и Ваня се разбраха да празнуват Нова година в компания от 10 души. И двамата много искаха да седят един до друг. Каква е вероятността желанието им да се сбъдне, ако е прието да разпределят местата между приятелите си чрез жребий?
Решение. Означете с НОсъбитие "сбъдване на желанието на Таня и Ваня". 10 души могат да седят на маса от 10! различни начини. Колко от тези н= 10! еднакво възможни начини са благоприятни за Таня и Ваня? Таня и Ваня, седнали една до друга, могат да заемат 20 различни позиции. В същото време осем техни приятели могат да седят на маса 8! различни начини, така че м= 20∙8!. следователно, 
.
Задача 1.5. Група от 5 жени и 20 мъже избира трима делегати. Ако приемем, че всеки от присъстващите има еднаква вероятност да бъде избран, намерете вероятността да бъдат избрани две жени и един мъж.
Решение. Общият брой на еднакво вероятните резултати от теста е равен на броя на начините, по които могат да бъдат избрани трима делегати от 25 души, т.е. . Нека сега изчислим броя на благоприятните случаи, т.е. колко пъти се случва събитието, представляващо интерес. Мъжът делегат може да бъде избран по двадесет начина. В същото време останалите двама делегати трябва да са жени и можете да изберете две жени от пет. Следователно, . Ето защо
.
Проблем 1.6.Четири топки са разпръснати на случаен принцип върху четири дупки, като всяка топка попада в една или друга дупка с еднаква вероятност и независимо от другите (няма пречки да се вкарат няколко топки в една и съща дупка). Намерете вероятността да има три топки в една от дупките, една - в другата и да няма топки в другите две дупки.
Решение. Общ брой случаи н=4 4 . Броят начини, по които може да бъде избрана една дупка, където ще има три топки, . Броят начини, по които можете да изберете дупката, където ще има една топка, . Броят начини, по които можете да изберете три топки от четири топки, за да ги поставите в първата дупка, . Общият брой на благоприятните случаи. Вероятност за събитие: 
Проблем 1.7.В кутията има 10 еднакви топки, маркирани с номера 1, 2, ..., 10. За късмет се изтеглят шест топки. Намерете вероятността сред извадените топки да има: а) топка № 1; б) топки №1 и №2.
Решение. а) Общият брой възможни елементарни резултати от теста е равен на броя на начините, по които могат да бъдат изтеглени шест топки от десет, т.е.
Нека намерим броя на изходите, благоприятстващи събитието, което ни интересува: сред избраните шест топки има топка № 1 и следователно останалите пет топки са с различни номера. Броят на такива изходи очевидно е равен на броя на начините, по които могат да бъдат избрани пет топки от останалите девет, т.е.
Желаната вероятност е равна на съотношението на броя на резултатите, които благоприятстват разглежданото събитие, към общия брой възможни елементарни резултати:
б) Броят на изходите, благоприятстващи събитието, което ни интересува (сред избраните топки има топки № 1 и № 2, следователно четири топки имат различни номера) е равен на броя на начините, по които четири топки могат да бъдат извлечени от останалите осем, т.е. Желана вероятност 
1.2.3. Статистическа вероятност
Статистическата дефиниция на вероятността се използва, когато резултатите от експеримента не са еднакво вероятни.
Относителна честота на събитията
НОсе определя от равенството:
,
където ме броят опити, в които събитието НОдойде не общият брой извършени тестове.
Дж. Бернули доказа, че при неограничено увеличаване на броя на експериментите относителната честота на възникване на събитие практически произволно ще се различава от някакво постоянно число. Оказа се, че това постоянно число е вероятността за настъпване на събитие. Следователно, естествено, относителната честота на настъпване на събитие с достатъчно голям брой опити се нарича статистическа вероятност, за разлика от въведената по-рано вероятност.
Пример 1.8. Как можете да определите приблизително броя на рибите в езерото?
Пуснете в езерото хриба. Хвърляме мрежата и, да кажем, намираме в нея нриба. Маркираме всеки от тях и го пускаме обратно. Няколко дни по-късно, при същото време и на същото място, хвърлихме същата мрежа. Да предположим, че в него откриваме m риби, сред които кетикетирани. Нека събитието НО- "Уловената риба е етикетирана." Тогава по дефиниция на относителната честота.
Но ако е в езерото хриба и я пуснахме нетикетиран, след това .
Защото Р * (НО) » Р(НО), тогава .
1.2.4. Операции по събития. Теорема за събиране
сума, или обединение от няколко събития е събитие, състоящо се в настъпването на поне едно от тези събития (в същия тест).
Сума НО 1 + НО 2 + … + НОнобозначава така: 
или 
.
Пример. Хвърлят се два зара. Нека събитието НОсе състои от хвърляне на 4 точки върху 1 зар и събитието AT- при хвърляне от 5 точки на друг зар. Развития НОи ATстава. Следователно събитието НО +ATсе състои от хвърляне на 4 точки на първия зар или 5 точки на втория зар или 4 точки на първия зар и 5 точки на втория зар едновременно.
Пример.Събитие НО– печалба от 1 заем, събитие AT- печалба от 2 заема. След това събитието A+B- спечелване на поне един заем (евентуално два наведнъж).
работаили пресичането на няколко събития е събитие, състоящо се в съвместната поява на всички тези събития (в един и същи тест).
Работете ATсъбития НО 1 , НО 2 , …, НОнобозначава така:
.
Пример.Развития НОи ATсе състоят в успешното преминаване на I и II кръг съответно при постъпване в института. След това събитието НО×Bсе състои в успешното завършване на двата кръга.
Понятията за сумата и произведението на събитията имат ясна геометрична интерпретация. Нека събитието НОима удар на точка в областта НО, и събитието AT- удряне на точка в зоната AT. След това събитието A+Bима удар на точка в обединението на тези области (фиг. 2.1) и събитието НОATима удар на точка в пресечната точка на тези области (фиг. 2.2).
Ориз. 2.1 Фиг. 2.2
Теорема. Ако събитията Ai(и = 1, 2, …, н) са несъвместими по двойки, тогава вероятността за сбора от събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития: 
.
Позволявам НОи Ā
– противоположни събития, т.е. А + а= Ω, където Ω е определено събитие. От теоремата за добавянето следва, че
P(Ω) = Р(НО) + Р(Ā
) = 1, следователно
Р(Ā
) = 1 – Р(НО).
Ако събитията НО 1 и НО 2 са съвместни, тогава вероятността за сбора от две съвместни събития е равна на:
Р(НО 1 + НО 2) = Р(НО 1) + Р(НО 2) – P( НО 1× НО 2).
Теоремите за добавяне на вероятности позволяват да се премине от директно изчисляване на вероятностите към определяне на вероятностите за настъпване на сложни събития.
Задача 1.8. Стрелецът прави един изстрел към целта. Вероятност за нокаутиране на 10 точки (събитие НО), 9 точки (събитие AT) и 8 точки (събитие ОТ) са равни съответно на 0,11; 0,23; 0,17 Намерете вероятността с един изстрел стрелецът да постигне по-малко от 8 точки (събитие д).
Решение. Да преминем към обратното събитие – с един удар стрелецът ще нокаутира поне 8 точки. Събитието се случва, ако НОили AT, или ОТ, т.е. . От събитията А, Б, ОТса непоследователни по двойки, тогава според теоремата за добавянето,
, където .
Задача 1.9. От екипа на бригадата, който се състои от 6 мъже и 4 жени, се избират двама души за синдикалната конференция. Каква е вероятността поне една жена сред избраните (събитието НО).
Решение. Ако настъпи събитие НО, то задължително ще се случи едно от следните несъвместими събития: AT- "избират се мъж и жена"; ОТ"Избрани са две жени." Следователно можем да напишем: A=B+C. Намерете вероятността от събития ATи ОТ. Двама души от 10 могат да бъдат избрани по начини. Две жени от 4 могат да бъдат избрани по начини. Мъжки и женски могат да бъдат избрани по 6×4 начина. Тогава . От събитията ATи ОТса непоследователни, тогава според теоремата за добавяне,
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Проблем 1.10.Има 15 учебника, подредени на случаен принцип на рафт в библиотеката, пет от които са подвързани. Библиотекарят взима на случаен принцип три учебника. Намерете вероятността поне един от взетите учебници да бъде подвързан (събит НО).
Решение. Първи начин. Изискването - поне един от трите взети подвързани учебника - ще бъде изпълнено, ако се случи някое от следните три несъвместими събития: AT- 1 подвързан учебник ОТ- два подвързани учебника д- Три подвързани учебника.
Събитие, което ни интересува НОможе да се представи като сбор от събития: A=B+C+D. Според теоремата за добавянето,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
Намерете вероятността от събития Б, Ви д(вижте комбинаторни схеми): 
Представяйки тези вероятности в равенство (2.1), накрая получаваме
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Вторият начин. Събитие НО(поне един от трите взети учебника има подвързия) и Ā
(нито един от взетите учебници няма подвързия) са противоположни, следователно P(A) + P(Ā) = 1 (сумата от вероятностите за две противоположни събития е равна на 1). Оттук P(A) = 1 – P(a).Вероятност за настъпване на събитие Ā
(нито един от взетите учебници не е подвързан)
Желана вероятност
P(A) = 1 – P(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.
1.2.5. Условна вероятност. Теорема за умножение на вероятностите
Условна вероятност P(B/НО) е вероятността за събитие В, изчислена при допускането, че събитие А вече е настъпило.
Теорема. Вероятността за съвместно настъпване на две събития е равна на произведението на вероятностите на едно от тях на условната вероятност на другото, изчислена при допускането, че първото събитие вече е настъпило:
P(A∙B) = P(A)∙P( AT/НО). (2.2)
Две събития се наричат независими, ако настъпването на едно от тях не променя вероятността за настъпване на другото, т.е.
P(A) = P(A/B) или P(B) = P(B/НО). (2.3)
Ако събитията НОи ATса независими, тогава формулите (2.2) и (2.3) предполагат
P(A∙B) = P(A)∙P(B). (2.4)
Обратното твърдение също е вярно, т.е. ако равенството (2.4) важи за две събития, тогава тези събития са независими. Всъщност формулите (2.4) и (2.2) предполагат
P(A∙B) = P(A)∙P(B) = P(A) × P(B/НО), където P(A) = P(B/НО).
Формулата (2.2) може да бъде обобщена за случая на краен брой събития НО 1 , НО 2 ,…,A n:
P(A 1 ∙НО 2 ∙…∙A n)=P(A 1)∙P(A 2 /НО 1)∙P(A 3 /НО 1 НО 2)∙…∙P(A n/НО 1 НО 2 …A n -1).
Задача 1.11. От урна, съдържаща 5 бели и 10 черни топки, се изтеглят две топки в редица. Намерете вероятността и двете топки да са бели (събитие НО).
Решение. Помислете за събитията: AT- първата изтеглена топка е бяла; ОТ– втората изтеглена топка е бяла. Тогава A = BC.
Опитът може да се направи по два начина:
1) с връщане: след фиксиране на цвета изтеглената топка се връща в урната. В този случай събитията ATи ОТнезависим:
P(A) = P(B)∙НАСТОЛЕН КОМПЮТЪР) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) без замяна: изтеглената топка се оставя настрана. В този случай събитията ATи ОТзависим:
P(A) = P(B)∙НАСТОЛЕН КОМПЮТЪР/AT).
За събитие ATусловията са еднакви и за ОТситуацията се е променила. Се случи AT, така че в урната остават 14 топки, 4 от които са бели.
Така, .
Задача 1.12. Сред 50-те крушки 3 са нестандартни. Намерете вероятността две крушки, взети едновременно, да са нестандартни.
Решение. Помислете за събитията: НО- първата крушка е нестандартна, AT- втората крушка е нестандартна, ОТ- и двете крушки са нестандартни. Това е ясно C = A∙AT. събитие НОпредпочитат 3 случая от 50 възможни, т.е. P(A) = 3/50. Ако събитието НОсъбитието вече се е случило ATпредпочитат два случая от 49 възможни, т.е. P(B/НО) = 2/49. следователно,
.
Задача 1.13. Двама спортисти стрелят независимо по една и съща цел. Вероятността да се удари целта на първия спортист е 0,7, а втория е 0,8. Каква е вероятността целта да бъде уцелена?
Решение. Целта ще бъде уцелена, ако или първият стрелец, или вторият, или и двамата я уцелят, т.е. ще се случи събитие A+B, където събитието НОсе състои в удряне на целта от първия атлет и събитието AT- второ. Тогава
P(A+AT)=P(A)+P(B)–P(A∙AT)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Проблем 1.14.В читалнята има шест учебника по теория на вероятностите, три от които са подвързани. Библиотекарят взе два учебника на случаен принцип. Намерете вероятността два учебника да бъдат подвързани.
Решение. Нека представим обозначението на събитията :А– първият взет учебник има подвързия, AT- Вторият учебник е подвързан. Вероятността първият учебник да има обвързване,
P(A) = 3/6 = 1/2.
Вероятността вторият учебник да е подвързан, като се има предвид, че първата взета книга е била подвързана, т.е. условна вероятност за събитие AT, това ли е: P(B/НО) = 2/5.
Желаната вероятност и двата учебника да имат обвързване, съгласно теоремата за умножение за вероятностите от събития, е равна на
P(AB) = P(A) ∙ P(B/НО)= 1/2 ∙ 2/5 = 0,2.
Проблем 1.15.В магазина работят 7 мъже и 3 жени. Трима души бяха избрани на случаен принцип според числеността на персонала. Намерете вероятността всички избрани лица да са мъже.
Решение. Нека представим обозначението на събитията: А- мъжки избрани първи AT- вторият избран мъж, ОТ -третият избран мъж. Вероятността първо да бъде избран мъж P(A) = 7/10.
Вероятността мъж да бъде избран втори, при условие че мъжът вече е избран първи, т.е. условна вероятност за събитие ATследващия : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
Вероятността човек да бъде избран трети, при условие че вече са избрани двама мъже, т.е. условна вероятност за събитие ОТе: НАСТОЛЕН КОМПЮТЪР/АБ) = 5/8.
Желаната вероятност и трите избрани лица да са мъже, P(ABC) = P(A) P(B/НО) НАСТОЛЕН КОМПЮТЪР/АБ) = 7/10 2/3 5/8 = 7/24.
1.2.6. Формула за обща вероятност и формула на Байес
Позволявам Б 1 , Б 2 ,…, B nса двойно несъвместими събития (хипотези) и НО- събитие, което може да се случи само във връзка с едно от тях.
Уведомете ни също Р(B i) и P(A/Б и) (и = 1, 2, …, н).
При тези условия са валидни формулите: 
(2.5)
(2.6)
Извиква се формула (2.5). формула за обща вероятност
. Той изчислява вероятността за събитие НО(пълна вероятност).
Формула (2.6) се нарича формула на Байес
. Позволява ви да преизчислите вероятностите на хипотези, ако събитието НОсе случи.
При съставянето на примери е удобно да се има предвид, че хипотезите образуват пълна група.
Задача 1.16. Кошницата съдържа ябълки от четири дървета от същия сорт. От първия - 15% от всички ябълки, от втория - 35%, от третия - 20%, от четвъртия - 30%. Зрелите ябълки са съответно 99%, 97%, 98%, 95%.
а) Каква е вероятността една ябълка, избрана на случаен принцип, да е узряла? НО).
б) При условие, че ябълка, взета на случаен принцип, се оказа узряла, изчислете вероятността тя да е от първото дърво.
Решение. а) Имаме 4 хипотези:
B 1 - взета произволно ябълка се взема от 1-во дърво;
B 2 - ябълка взета на случаен принцип се взема от 2-ро дърво;
B 3 - взета произволно ябълка се взема от 3-то дърво;
B 4 - ябълка взета на случаен принцип се взема от 4-то дърво.
Техните вероятности според условието: P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
Вероятности за условни събития НО:
P(A/Б 1) = 0,99; P(A/Б 2) = 0,97; P(A/Б 3) = 0,98; P(A/Б 4) = 0,95.
Вероятността произволно избрана ябълка да е узряла се намира по формулата за обща вероятност:
P(A)=P(B 1)∙P(A/Б 1)+P(B 2)∙P(A/Б 2)+P(B 3)∙P(A/Б 3)+P(B 4)∙P(A/Б 4)=0,969.
б) Формулата на Байес за нашия случай има формата: 
.
Проблем 1.17.Бяла топка се пуска в урна, съдържаща две топки, след което една топка се изтегля на случаен принцип. Намерете вероятността изтеглената топка да бъде бяла, ако всички възможни предположения за първоначалния състав на топките (по цвят) са еднакво възможни.
Решение. Означете с НОсъбитие - теглена е бяла топка. Възможни са следните предположения (хипотези) за първоначалния състав на топките: B1без бели топки В 2- една бяла топка В 3- две бели топки.
Тъй като има общо три хипотези и сумата от вероятностите на хипотезите е равна на 1 (тъй като те образуват пълна група от събития), то вероятността за всяка една от хипотезите е равна на 1/3, т.е.
P(B 1) = P(B 2)= P(B 3) = 1/3.
Условната вероятност да бъде изтеглена бяла топка, като се има предвид, че първоначално в урната не е имало бели топки, P(A/Б 1)=1/3. Условната вероятност да бъде изтеглена бяла топка, като се има предвид, че урната първоначално съдържа една бяла топка, P(A/Б 2)=2/3. Условната вероятност да бъде изтеглена бяла топка, като се има предвид, че урната първоначално съдържа две бели топки. P(A/Б 3)=3/ 3=1.
Желаната вероятност да бъде изтеглена бяла топка се намира по формулата за обща вероятност:
Р(НО)=P(B 1)∙P(A/Б 1)+P(B 2)∙P(A/Б 2)+P(B 3)∙P(A/Б 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
Задача 1.18. Две машини произвеждат едни и същи части, които се подават на общ конвейер. Производителността на първата машина е два пъти по-висока от тази на втората. Първата машина произвежда средно 60% части с отлично качество, а втората - 84%. Частта, взета на случаен принцип от поточната линия, се оказа с отлично качество. Намерете вероятността този артикул да е произведен от първата машина.
Решение. Означете с НОсъбитието е артикул с отлично качество. Могат да се направят две предположения: B1- частта се произвежда от първата машина и (тъй като първата машина произвежда два пъти повече части от втората) P(A/Б 1) = 2/3; Б 2 - частта е произведена от втората машина и P(B 2) = 1/3.
Условната вероятност, че частта ще бъде с отлично качество, ако е произведена от първата машина, P(A/Б 1)=0,6.
Условната вероятност, че частта ще бъде с отлично качество, ако е произведена от втората машина, P(A/Б 1)=0,84.
Вероятността произволно избрана част да бъде с отлично качество според формулата за обща вероятност е равна на
P(A)=P(B 1) ∙P(A/Б 1)+P(B 2) ∙P(A/Б 2)=2/3 0,6+1/3 0,84 = 0,68.
Желаната вероятност, че отличната взета част е произведена от първия автомат, съгласно формулата на Байес, е равна на
Задача 1.19. Има три партиди части с по 20 части всяка. Броят на стандартните части в първата, втората и третата партида е съответно 20, 15, 10. Част, която се оказа стандартна, беше извлечена на случаен принцип от избраната партида. Частите се връщат в партидата и една част се отстранява произволно от същата партида за втори път, което също се оказва стандартно. Намерете вероятността частите да са взети от третата партида.
Решение. Означете с НОсъбитие - във всеки от двата теста (с връщане) е извлечена стандартна част. Могат да се направят три хипотези: Б 1 - частите се отстраняват от първата партида, AT 2
– частите са взети от втората партида, AT 3 - части се отстраняват от третата партида.
Детайлите са взети на случаен принцип от взетата партида, така че вероятностите на хипотезите са еднакви: P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Намерете условната вероятност P(A/Б 1), т.е. вероятността две стандартни части да бъдат изтеглени последователно от първата партида. Това събитие е надеждно, т.к. в първата партида всички части са стандартни, така че P(A/Б 1) = 1.
Намерете условната вероятност P(A/Б 2), т.е. вероятността две стандартни части да бъдат последователно извлечени (с връщане) от втората партида: P(A/Б 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Намерете условната вероятност P(A/Б 3), т.е. вероятността две стандартни части да бъдат последователно отстранени (с връщане) от третата партида: P(A/Б 3) = 10/20 10/20 = 1/4.
Желаната вероятност и двете извлечени стандартни части да бъдат взети от третата партида, съгласно формулата на Байес, е равна на 
1.2.7. Повторни тестове
Ако са извършени няколко теста, и вероятността за събитие НОвъв всеки опит не зависи от резултатите от други опити, тогава такива опити се наричат независими по отношение на събитие А.В различни независими изпитания, събитието НОможе да има или различни вероятности, или еднаква вероятност. По-нататък ще разгледаме само такива независими изпитания, в които събитието НОима същата вероятност.
Нека се произвежда Пнезависими изпитания, във всяко от които събитие НОможе да се появи или не. Да приемем, че вероятността за събитие НОвъв всеки тест е еднакъв, а именно равен на Р.Следователно, вероятността за ненастъпване на събитието НОвъв всеки тест също е постоянен и равен на 1– Р.Такава вероятностна схема се нарича Схема на Бернули. Нека си поставим задачата да изчислим вероятността, че ПИзпитания на Бернули НОще се сбъдне точно кведнъж ( к- броя на успехите) и следователно няма да бъдат реализирани П-веднъж. Важно е да се подчертае, че не се изисква събитието НОповторено точно кпъти в определена последователност. Определете желаната вероятност R p (к).
Например символът Р 5 (3) означава вероятността, че в пет опита събитието ще се появи точно 3 пъти и следователно няма да се случи 2 пъти.
Проблемът може да бъде решен с помощта на т.нар формули на Бернули,което изглежда така: 
.
Проблем 1.20.Вероятността консумацията на електроенергия в рамките на един ден да не надвиши установената норма е равна на Р=0,75. Намерете вероятността през следващите 6 дни консумацията на електроенергия за 4 дни да не надвиши нормата.
Решение.Вероятността за нормално потребление на електроенергия през всеки от 6-те дни е постоянна и равна на Р=0,75. Следователно, вероятността от преразход на електроенергия всеки ден също е постоянна и равна на q= 1–Р=1–0,75=0,25.
Желаната вероятност според формулата на Бернули е равна на
.
Задача 1.21. Двама равни шахматисти играят шах. Кое е по-вероятно: да спечелите две игри от четири или три игри от шест (не се вземат предвид равенствата)?
Решение. Играят еднакви шахматисти, така че вероятността за победа Р= 1/2, следователно и вероятността за загуба qсъщо е равно на 1/2. Защото във всички игри вероятността за победа е постоянна и няма значение в каква последователност са спечелени игрите, тогава е приложима формулата на Бернули.
Намерете вероятността две игри от четири да бъдат спечелени:
Намерете вероятността три от шест игри да бъдат спечелени:
Защото П 4 (2) > П 6 (3), е по-вероятно да спечелите две игри от четири, отколкото три от шест.
Въпреки това, може да се види, че използвайки формулата на Бернули за големи стойности нтова е доста трудно, тъй като формулата изисква извършване на операции върху огромни числа и следователно грешките се натрупват в процеса на изчисления; в резултат на това крайният резултат може да се различава значително от истинския.
За да се реши този проблем, има няколко гранични теореми, които се използват в случай на голям брой опити.
1. Теорема на Поасон
При провеждане на голям брой тестове по схемата на Бернули (с н=> ∞) и с малък брой благоприятни резултати к(ако приемем, че вероятността за успех стрмалък), формулата на Бернули се доближава до формулата на Поасон 
.
Пример 1.22.Вероятността за брак при производството на единица продукция от предприятието е равна на стр=0,001. Каква е вероятността при производството на 5000 единици продукти да има по-малко от 4 дефектни (събитие НО Решение. Защото не голям, ние използваме локалната теорема на Лаплас: 
Изчислете х:
Функция 
е четно, следователно φ(–1,67) = φ(1,67).
Съгласно таблицата на Приложение A.1 намираме φ(1.67) = 0.0989.
Желана вероятност П 2400 (1400) = 0,0989.
3. Интегрална теорема на Лаплас
Ако вероятността Рвъзникване на събитие Авъв всеки опит по схемата на Бернули е постоянен и различен от нула и едно, след това с голям брой опити н, вероятност R p (к 1 , к 2) възникване на събитие Ав тези изпитания к 1 до к 2 пъти приблизително равни
R стр(к 1 , к 2) = Φ ( х"") – Φ ( х"), където 
е функцията на Лаплас,
Определеният интеграл във функцията на Лаплас не се изчислява върху класа на аналитичните функции, така че за изчисляването му се използва таблица 1. Клауза 2, дадена в приложението.
Пример 1.24.Вероятността събитие да се случи във всяко от стоте независими опита е постоянна и равна на стр= 0,8. Намерете вероятността събитието да се случи: а) най-малко 75 пъти и най-много 90 пъти; б) най-малко 75 пъти; в) не повече от 74 пъти.
Решение. Нека използваме интегралната теорема на Лаплас:
R стр(к 1 , к 2) = Φ ( х"") – Φ( х"), където Ф( х) е функцията на Лаплас,
а) По условие н = 100, стр = 0,8, q = 0,2, к 1 = 75, к 2 = 90. Изчислете х""и х" :
Като се има предвид, че функцията на Лаплас е нечетна, т.е. F(- х) = – F( х), получаваме
П 100 (75; 90) \u003d F (2,5) - F (-1,25) = F (2,5) + F (1,25).
Според таблицата P.2. намерете приложения:
F(2.5) = 0.4938; Ф(1,25) = 0,3944.
Желана вероятност
П 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
б) Изискването събитието да се случи поне 75 пъти означава, че броят на събитията може да бъде равен на 75, или 76, ..., или 100. Така в разглеждания случай трябва да се приеме к 1 = 75, к 2 = 100. Тогава 
.
Според таблицата P.2. приложения, намираме Ф (1.25) = 0.3944; Ф(5) = 0,5.
Желана вероятност
П 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
в) Събитие - " НОсе появи най-малко 75 пъти" и " НОсе появяват не повече от 74 пъти” са противоположни, така че сумата от вероятностите за тези събития е 1. Следователно, желаната вероятност
П 100 (0;74) = 1 – П 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.
