Примери за определени и невъзможни събития. Измислете сами две надеждни, случайни и невъзможни събития. Малко информация от комбинаториката
Едно събитие е резултат от тест. Какво е събитие? Една топка се изтегля на случаен принцип от урната. Изваждането на топка от урна е тест. Появата на топка с определен цвят е събитие. В теорията на вероятностите събитие се разбира като нещо, за което след определен момент от време може да се каже едно и само едно от двете. Да, случи се. Не, не се случи. Възможният резултат от експеримент се нарича елементарно събитие, а наборът от такива резултати се нарича просто събитие.
Непредвидимите събития се наричат случайни. Събитие се нарича случайно, ако при същите условия то може да се случи или не. Хвърлянето на зар ще доведе до шестица. Имам лотариен билет. След публикуването на резултатите от тегленето на лотарията събитието, което ме интересува - спечелването на хиляда рубли, или се случва, или не се случва. Пример.
Две събития, които при дадени условия могат да настъпят едновременно, се наричат съвместни, а тези, които не могат да настъпят едновременно, се наричат несъвместими. Хвърли се монета. Появата на "герба" изключва появата на надписа. Събитията „появи се герб” и „появи се надпис” са несъвместими. Пример.
Събитие, което винаги се случва, се нарича сигурно. Събитие, което не може да се случи, се нарича невъзможно. Да предположим, например, че е изтеглена топка от урна, съдържаща само черни топки. Тогава появата на черна топка е определено събитие; появата на бяла топка е невъзможно събитие. Примери. Догодина няма да вали сняг. Когато хвърлите зар, ще се появи седем. Това са невъзможни събития. Догодина ще вали сняг. Хвърлянето на зарчето ще доведе до число по-малко от седем. Ежедневен изгрев. Това са реални събития.
Решаване на проблеми За всяко от описаните събития определете какво е то: невъзможно, сигурно или случайно. 1. От 25-те ученици в класа двама празнуват рождения си ден а) 30 януари; б) 30 февруари. 2. Учебник по литература се отваря на случаен принцип и втората дума се намира на лявата страница. Тази дума започва: а) с буквата "К"; б) с буквата "б".
3. Днес в Сочи барометърът показва нормално атмосферно налягане. В този случай: а) водата в тигана е кипнала при температура 80ºС; б) когато температурата падне до -5º C, водата в локвата замръзва. 4. Хвърлете два зара: а) 3 точки на първия зар и 5 точки на втория; б) сборът от точките на двата зара е равен на 1; в) сборът от точките, хвърлени върху двата зара, е 13; г) 3 точки на двата зара; д) сборът от точки на два зара е по-малък от 15. Решаване на задачи
5. Отворихте книгата на която и да е страница и прочетохте първото съществително, което попадна. Оказа се, че: а) в изписването на избраната дума има гласна; б) в изписването на избраната дума има буква "О"; в) в изписването на избраната дума няма гласни; г) има мек знак в изписването на избраната дума. Разрешаване на проблеми
Теорията на вероятностите, като всеки клон на математиката, оперира с определен набор от понятия. Повечето от понятията на теорията на вероятностите са дефинирани, но някои се приемат като първични, а не дефинирани, като в геометрията точка, права, равнина. Основното понятие на теорията на вероятностите е събитие. Събитие е нещо, за което след определен момент от време може да се каже едно и само едно от двете:
- · Да, случи се.
- · Не, не се случи.
Аз например имам лотариен билет. След публикуването на резултатите от тегленето на лотарията събитието, което ме интересува - спечелването на хиляда рубли или се случва, или не се случва. Всяко събитие се случва в резултат на тест (или опит). Под тест (или опит) разбирайте тези условия, в резултат на които възниква събитие. Например, хвърлянето на монета е изпитание, а появата на „герб“ върху него е събитие. Събитието обикновено се обозначава с главни латински букви: A, B, C, .... Събитията в материалния свят могат да се разделят на три категории – сигурни, невъзможни и случайни.
Определено събитие е това, за което е известно предварително, че ще се случи. Обозначава се с буквата W. По този начин не повече от шест точки са надеждни при хвърляне на обикновен зарове, появата на бяла топка, когато се изтегля от урна, съдържаща само бели топки и т.н.
Невъзможно събитие е събитие, за което се знае предварително, че няма да се случи. Обозначава се с буквата Е. Примери за невъзможни събития са премахването на повече от четири аса от редовно тесте карти, появата на червена топка от урна, съдържаща само бели и черни топки и т.н.
Случайно събитие е събитие, което може или не може да се случи в резултат на тест. Събития A и B се наричат несъвместими, ако настъпването на едното от тях изключва възможността за възникване на другото. Така че появата на всеки възможен брой точки при хвърляне на зар (събитие A) е несъвместима с появата на друго число (събитие B). Прехвърлянето на четен брой точки е несъвместимо с хвърлянето на нечетен брой. Обратно, четен брой точки (събитие A) и брой точки, делими се на три (събитие B), няма да бъдат несъвместими, тъй като загубата на шест точки означава настъпване както на събитията A, така и на събитието B, така че настъпването на едно от тях не изключва възникването на другия. Операциите могат да се извършват върху събития. Обединението на две събития C=AUB е събитие C, което се случва, ако и само ако се случи поне едно от тези събития A и B. Пресечната точка на две събития D=A?? B е събитие, което се случва, ако и само ако се случат и двете събития A и B.
Наблюдаваните от нас събития (явления) могат да бъдат разделени на следните три вида: надеждни, невъзможни и случайни.
достовереннаричаме събитие, което определено ще се случи, ако се приложи определен набор от условия S. Например, ако съд съдържа вода при нормално атмосферно налягане и температура 20°, тогава събитието „водата в съда е в течно състояние ” е сигурно. В този пример определеното атмосферно налягане и температурата на водата представляват набора от условия S.
Невъзможеннаричаме събитие, което със сигурност няма да настъпи, ако се реализира наборът от условия S. Например събитието „вода в съда е в твърдо състояние“ със сигурност няма да се случи, ако се реализира наборът от условия от предишния пример.
Случаене събитие, което, когато набор от условия S е изпълнен, може или да се случи, или не. Например, ако се хвърли монета, тя може да падне така, че отгоре да е или герб, или надпис. Следователно събитието „при хвърляне на монета изпадна „герб“ е случайно. Всяко случайно събитие, по-специално падането на „герба“, е следствие от действието на много случайни причини (в нашия пример: силата, с която е хвърлена монетата, формата на монетата и много други ). Невъзможно е да се вземе предвид влиянието на всички тези причини върху резултата, тъй като техният брой е много голям и законите на тяхното действие са неизвестни. Следователно теорията на вероятността не си поставя задачата да предскаже дали едно събитие ще се случи или не - тя просто не може да го направи.
Ситуацията е различна, ако се разглеждат случайни събития, които могат да се наблюдават многократно при едни и същи условия S, тоест ако говорим за масови хомогенни случайни събития. Оказва се, че достатъчно голям брой хомогенни случайни събития, независимо от тяхната специфика, се подчиняват на определени закони, а именно вероятностни закони. Теорията на вероятностите се занимава с установяването на тези закономерности.
По този начин предмет на теорията на вероятностите е изучаването на вероятностните закони на масови хомогенни случайни събития.
Методите на теорията на вероятностите се използват широко в различни клонове на естествените науки и технологиите. Теорията на вероятностите служи и за обосноваване на математическата и приложната статистика.
Видове случайни събития. Събитията се наричат несъвместимиако настъпването на едно от тях изключва настъпването на други събития в същия опит.
Пример. Хвърли се монета. Появата на "герба" изключва появата на надписа. Събитията „появи се герб” и „появи се надпис” са несъвместими.
Оформят се няколко събития пълна група, ако поне един от тях се появи в резултат на теста. По-специално, ако събитията, които образуват пълна група, са несъвместими по двойки, тогава едно и само едно от тези събития ще се появи в резултат на теста. Този конкретен случай представлява най-голям интерес за нас, тъй като ще бъде използван по-долу.
Пример 2. Закупени са два билета за лотарията за пари и дрехи. Непременно ще се случи едно и само едно от следните събития: „печалбите паднаха на първия билет и не паднаха на втория“, „печалбите не паднаха на първия билет и паднаха на втория“, „печалбите паднаха и на двата билета“, „печалбите не спечелиха и на двата билета“. изпадна“. Тези събития образуват пълна група от несъвместими по двойки събития.
Пример 3. Стрелецът стреля по целта. Едно от следните две събития е задължително да се случи: удар, пропуск. Тези две несъвместими събития образуват пълна група.
Събитията се наричат еднакво възможноако има основание да се смята, че нито едно от тях не е по-възможно от другото.
Пример 4. Появата на "герб" и появата на надпис при хвърляне на монета са еднакво възможни събития. Всъщност се приема, че монетата е изработена от хомогенен материал, има правилна цилиндрична форма и наличието на монета не влияе на загубата на една или друга страна на монетата.
Самообозначение с главни букви на латинската азбука: A, B, C, .. A 1, A 2 ..
Противоположностите се наричат 2 уникално възможни така-I, образуващи пълна група. Ако едно от двете противоположни събития се обозначава с A, тогава други обозначения са A`.
Пример 5. Попадане и пропускане при стрелба по цел – противоположно поле. и аз.
Целта на урока:
- Въведете концепцията за определени, невъзможни и случайни събития.
- Да се формират знания и умения за определяне на вида на събитията.
- Развийте: изчислителни умения; Внимание; способност за анализиране, разсъждение, правене на заключения; умения за работа в група.
По време на занятията
1) Организационен момент.
Интерактивно упражнение: децата трябва да решават примери и да дешифрират думи, според резултатите се разделят на групи (надеждни, невъзможни и произволни) и да определят темата на урока.
1 карта.
| 0,5 | 1,6 | 12,6 | 5,2 | 7,5 | 8 | 5,2 | 2,08 | 0,5 | 9,54 | 1,6 |
2 карта
| 0,5 | 2,1 | 14,5 | 1,9 | 2,1 | 20,4 | 14 | 1,6 | 5,08 | 8,94 | 14 |
3 карта
| 5 | 2,4 | 6,7 | 4,7 | 8,1 | 18 | 40 | 9,54 | 0,78 |
2) Актуализация на изучаваните знания.
Играта "Plap": четно число - пляскане, нечетно число - изправете се.
Задача: от дадена серия от числа 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... определете четно и нечетно.
3) Изучаване на нова тема.
Имате кубчета на масите. Нека ги разгледаме по-отблизо. Какво виждаш?
Къде се използват заровете? Как?
Групова работа.
Провеждане на експеримент.
Какви прогнози можете да направите, когато хвърляте зар?
Първа прогноза: едно от числата 1,2,3,4,5 или 6 ще изпадне.
Нарича се събитие, което със сигурност ще се случи в даден опит надежден.
Втора прогноза: ще се появи числото 7.
Смятате ли, че прогнозираното събитие ще се случи или не?
Това е невъзможно!
Извиква се събитие, което не може да се случи в даден експеримент невъзможен.
Трета прогноза: ще се появи числото 1.
Ще се случи ли това събитие?
Нарича се събитие, което може или не може да се случи в даден опит произволен.
4) Затвърдяване на изучавания материал.
I. Определете вида на събитието
-Утре ще вали червен сняг.
Утре ще вали силен сняг.
Утре, въпреки че е юли, ще вали сняг.
Утре, въпреки че е юли, сняг няма да има.
Утре ще вали сняг и ще има виелица.
II. Добавете дума към това изречение по такъв начин, че събитието да стане невъзможно.
Коля получи А по история.
Саша не изпълни нито една задача на теста.
Оксана Михайловна (учител по история) ще обясни новата тема.
III. Дайте примери за невъзможни, случайни и определени събития.
IV. Работа по учебника (в групи).
Опишете събитията, обсъждани в задачите по-долу, като сигурни, невъзможни или случайни.
No 959. Петя зачена естествено число. Събитието е както следва:
а) замислено е четно число;
б) замислено е нечетно число;
в) замислено е число, което не е нито четно, нито нечетно;
г) замислено е число, което е нечетно или четно.
№ 960. Отворихте този учебник на всяка страница и избрахте първото съществително, което попадна. Събитието е както следва:
а) в изписването на избраната дума има гласна;
б) в изписването на избраната дума има буква “о”;
в) в изписването на избраната дума няма гласни;
г) има мек знак в изписването на избраната дума.
Решете #961, #964.
Обсъждане на решените задачи.
5) Отражение.
1. Какви събития срещнахте в урока?
2. Посочете кое от следните събития е сигурно, кое е невъзможно и кое е случайно:
а) няма да има летни почивки;
б) сандвичът ще падне с маслото надолу;
в) учебната година ще свърши някой ден.
6) Домашна работа:
Измислете две надеждни, случайни и невъзможни събития.
Нарисувайте един от тях.
5 клас. Въведение в вероятността (4 часа)
(разработване на 4 урока по тази тема)
Цели на обучението : - въвеждат определението за случайно, надеждно и невъзможно събитие;
Дайте първите идеи за решаване на комбинаторни задачи: използване на дърво от опции и използване на правилото за умножение.
Образователна цел: развитие на мисленето на учениците.
Развиваща цел : развитие на пространствено въображение, подобряване на умението за работа с линийка.
Достоверно, невъзможно и случайни събития(2 ч.)
Комбинаторни задачи (2 часа)
Надеждни, невъзможни и случайни събития.
Първи урок
Оборудване за урок: зарове, монета, табла.
Животът ни до голяма степен се състои от инциденти. Има такава наука "Теория на вероятностите". Използвайки неговия език, е възможно да се опишат много явления и ситуации.
Дори първобитният водач разбираше, че десетина ловци имат по-голяма „вероятност“ да удрят бизон с копие, отколкото един. Затова тогава те ловуваха колективно.
Такива древни генерали като Александър Велики или Дмитрий Донской, подготвяйки се за битка, разчитаха не само на доблестта и уменията на воините, но и на случайността.
Много хора обичат математиката за вечните истини два пъти две са винаги четири, сумата от четни числа е четна, площта на правоъгълника е равна на произведението на съседните му страни и т.н. Във всеки проблем, който решавате, всеки получава същият отговор - просто трябва да не правите грешки в решението.
Реалният живот не е толкова прост и недвусмислен. Резултатите от много събития не могат да бъдат предвидени предварително. Невъзможно е например да се каже със сигурност от коя страна ще падне хвърлената монета, когато падне първият сняг догодина или колко хора в града ще искат да се обадят през следващия час. Такива непредвидими събития се наричат произволен .
Случаят обаче има и свои закони, които започват да се проявяват при многократно повторение на случайни явления. Ако хвърлите монета 1000 пъти, тогава "орелът" ще изпадне около половината от времето, което не може да се каже за две или дори десет хвърляния. "Приблизително" не означава половината. Това, като правило, може или не може да бъде така. Законът обикновено не казва нищо със сигурност, но дава известна степен на сигурност, че ще се случи някакво случайно събитие. Такива закономерности се изучават от специален клон на математиката - Теория на вероятностите . С негова помощ можете да предскажете с по-голяма степен на увереност (но все още несигурни) както датата на първия снеговалеж, така и броя на телефонните обаждания.
Теорията на вероятностите е неразривно свързана с нашето ежедневие. Това ни дава прекрасна възможност да установим много вероятностни закони емпирично, повтаряйки многократно произволни експерименти. Материалите за тези експерименти най-често ще бъдат обикновена монета, зар, набор от домино, табла, рулетка или дори тесте карти. Всеки от тези елементи е свързан с игри по един или друг начин. Факт е, че случаят тук се появява в най-честата форма. И първите вероятностни проблеми бяха свързани с оценката на шансовете на играчите да спечелят.
Съвременната теория на вероятностите се е отдалечила от хазарта, но техните подпори все още са най-простият и надежден източник на шанс. Практикувайки с колело на рулетка и зар, ще научите как да изчислявате вероятността от случайни събития в реални ситуации, което ще ви позволи да оцените шансовете си за успех, да тествате хипотези и да вземете оптимални решения не само в игри и лотарии .
Когато решавате вероятностни задачи, бъдете много внимателни, опитайте се да оправдаете всяка стъпка, защото никоя друга област на математиката не съдържа такъв брой парадокси. Като теория на вероятностите. И може би основното обяснение за това е връзката му с реалния свят, в който живеем.
Много игри използват зар с различен брой точки от 1 до 6 на всяко лице. Играчът хвърля зар, гледа колко точки са изпаднали (на лицето, което е отгоре) и прави съответния брой ходове : 1,2,3, 4,5 или 6. Хвърлянето на зар може да се счита за опит, експеримент, тест, а полученият резултат е събитие. Хората обикновено са много заинтересовани да отгатнат началото на дадено събитие, да предскажат неговия резултат. Какви прогнози могат да направят при хвърляне на зар? Първа прогноза: ще изпадне едно от числата 1,2,3,4,5 или 6. Мислите ли, че прогнозираното събитие ще дойде или не? Разбира се, че определено ще дойде. Нарича се събитие, което със сигурност ще се случи в даден опит надеждно събитие.
Втора прогноза : ще изпадне числото 7. Мислите ли, че прогнозираното събитие ще дойде или не? Разбира се, че няма да стане, просто е невъзможно. Извиква се събитие, което не може да се случи в даден експеримент невъзможно събитие.
Трета прогноза : ще изпадне числото 1. Мислите ли, че прогнозираното събитие ще дойде или не? Не можем да отговорим на този въпрос с пълна сигурност, тъй като прогнозираното събитие може да се случи или не. Нарича се събитие, което може или не може да се случи в даден опит случайно събитие.
Упражнение : опишете събитията, които се обсъждат в задачите по-долу. Колко надеждно, невъзможно или случайно.
Хвърляме монета. Появи се гербът. (случаен)
Ловецът стрелял по вълка и го уцелил. (случаен)
Студентът излиза на разходка всяка вечер. По време на разходка, в понеделник, той срещна трима познати. (случаен)
Нека наум да проведем следния експеримент: обърнете чаша вода с главата надолу. Ако този експеримент се проведе не в космоса, а у дома или в класна стая, тогава водата ще се излее. (автентичен)
Три изстрела бяха направени в целта. Имаше пет попадения" (невъзможно)
Хвърляме камъка нагоре. Камъкът остава висящ във въздуха. (невъзможен)
Буквите на думата "антагонизъм" се пренареждат на случаен принцип. Вземете думата "анахроизъм". (невъзможен)
№959. Петя се сети за естествено число. Събитието е както следва:
а) замислено е четно число; (случайно) б) замислено е нечетно число; (случаен)
в) замислено е число, което не е нито четно, нито нечетно; (невъзможен)
г) замислено е число, което е нечетно или четно. (автентичен)
№ 961. Петя и Толя сравняват рождените си дни. Събитието е както следва:
а) рождените им дни не съвпадат; (случайни) б) рождените им дни са еднакви; (случаен)
г) и двата рождени дни се падат на празници - Нова година (1 януари) и Ден на независимостта на Русия (12 юни). (случаен)
№ 962. При игра на табла се използват два зара. Броят на ходовете, които играчът прави, се определя чрез добавяне на числата на двете лица на зарчето, които са изпаднали, и ако изпадне „двойник“ (1 + 1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6), тогава броят на ходовете се удвоява. Хвърляте заровете и изчислявате колко хода трябва да направите. Събитието е както следва:
а) трябва да направите един ход; б) трябва да направите 7 хода;
в) трябва да направите 24 хода; г) трябва да направите 13 хода.
а) - невъзможно (може да се направи 1 ход, ако комбинацията 1 + 0 изпадне, но няма номер 0 на зарчето).
б) - произволно (ако изпадне 1 + 6 или 2 + 5).
в) - произволно (ако изпадне комбинацията 6 +6).
г) - невъзможно (няма комбинации от числа от 1 до 6, чийто сбор е 13; това число не може да се получи дори при хвърляне на "двойник", защото е нечетно).
Тествай се. (математически диктовка)
1) Посочете кои от следните събития са невъзможни, кои са сигурни, кои са случайни:
Футболният мач "Спартак" - "Динамо" ще завърши наравно. (случаен)
Ще спечелите, като участвате в печелившата лотария (автентична)
Сняг ще вали в полунощ, а слънцето ще изгрее 24 часа по-късно. (невъзможен)
Утре ще има тест по математика. (случаен)
Ще бъдете избран за президент на Съединените щати. (невъзможен)
Ще бъдете избран за президент на Русия. (случаен)
2) Купили сте телевизор в магазин, за който производителят дава две години гаранция. Кои от следните събития са невъзможни, кои са случайни, кои са надеждни:
Телевизорът няма да се счупи в рамките на една година. (случаен)
Телевизорът няма да се счупи две години. (случаен)
В рамките на две години няма да ви се налага да плащате за ремонт на телевизора. (автентичен)
Телевизорът ще се счупи на третата година. (случаен)
3) Автобусът, който превозва 15 пътника, ще трябва да направи 10 спирки. Кои от следните събития са невъзможни, кои са случайни, кои са надеждни:
Всички пътници ще слизат от автобуса на различни спирки. (невъзможен)
Всички пътници ще слязат на една и съща спирка. (случаен)
На всяка спирка някой ще слезе. (случаен)
Ще има спирка, на която никой няма да слезе. (случаен)
На всички спирки ще слизат четен брой пътници. (невъзможен)
На всички спирки ще слизат нечетен брой пътници. (невъзможен)
Домашна работа : 53 № 960, 963, 965 (измислете сами две надеждни, случайни и невъзможни събития).
Втори урок.
Преглед домашна работа. (устно)
а) Обяснете какви са сигурни, случайни и невъзможни събития.
б) Посочете кое от следните събития е сигурно, кое е невъзможно, кое е случайно:
Няма да има летни почивки. (невъзможен)
Сандвичът ще падне с маслото надолу. (случаен)
Учебната година в крайна сметка ще приключи. (автентичен)
Утре ще ме питат в час. (случаен)
Днес се срещам с черна котка. (случаен)
№ 960. Отворихте този учебник на всяка страница и избрахте първото съществително, което попадна. Събитието е както следва:
а) в изписването на избраната дума има гласна. ((автентичен)
б) в изписването на избраната дума има буква "о". (случаен)
в) в изписването на избраната дума няма гласни. (невъзможен)
г) има мек знак в изписването на избраната дума. (случаен)
№ 963. Отново играете табла. Опишете следното събитие:
а) играчът трябва да направи не повече от два хода. (невъзможно - с комбинацията от най-малките числа 1 + 1 играчът прави 4 хода; комбинацията 1 + 2 дава 3 хода; всички останали комбинации дават повече от 3 хода)
б) играчът трябва да направи повече от два хода. (надежден - всяка комбинация дава 3 или повече хода)
в) играчът трябва да направи не повече от 24 хода. (надежден - комбинацията от най-големите числа 6 + 6 дава 24 хода, а всички останали - по-малко от 24 хода)
г) играчът трябва да направи двуцифрен брой ходове. (случайно - например комбинация от 2 + 3 дава едноцифрен брой ходове: 5, а падането на две четворки дава двуцифрен брой ходове)
2. Решаване на проблеми.
№ 964. В чанта има 10 топки: 3 сини, 3 бели и 4 червени. Опишете следното събитие:
а) 4 топки са извадени от торбата и всички са сини; (невъзможен)
б) от чантата се изваждат 4 топки и всичките са червени; (случаен)
в) от чантата бяха извадени 4 топки, като всички се оказаха различни цветове; (невъзможен)
г) 4 топки са извадени от торбата, като между тях няма черна топка. (автентичен)
Задача 1 . Кутията съдържа 10 червени, 1 зелена и 2 сини химикалки. Два елемента се вземат на случаен принцип от кутията. Кои от следните събития са невъзможни, кои са случайни, кои са сигурни:
а) две червени дръжки са извадени (случайно)
б) изваждат се две зелени дръжки; (невъзможен)
в) изваждат се две сини дръжки; (случаен)
г) изваждат се дръжки от два различни цвята; (случаен)
д) изваждат се две дръжки; (автентичен)
д) Изваждат се два молива. (невъзможен)
Цел 2. Мечо Пух, Прасчо и всички - всички - всички сядат на кръгла маса, за да празнуват рожден ден. С какъв номер от всички - всички - всичко събитието "Мечо Пух и Прасчо ще седят рамо до рамо" е надеждно и с какво - случайно?
(ако има само 1 от всички - всички - всички, тогава събитието е надеждно, ако повече от 1, тогава е случайно).
Цел 3. От 100 билета за благотворителна лотария, 20 печеливши Колко билета трябва да купите, за да направите събитието „не печелите нищо“ невъзможно?
Задача 4. В класа има 10 момчета и 20 момичета. Кои от следните събития са невъзможни за такъв клас, кои са случайни, кои са сигурни
В класа има двама души, които са родени в различни месеци. (случаен)
В класа има двама души, които са родени в един и същи месец. (автентичен)
В класа има две момчета, които са родени в един и същи месец. (случаен)
В класа има две момичета, които са родени в един и същи месец. (автентичен)
Всички момчета са родени в различни месеци. (автентичен)
Всички момичета са родени в различни месеци. (случаен)
Има момче и момиче, родени в един месец. (случаен)
Има момче и момиче, родени в различни месеци. (случаен)
Задача 5. В кутия има 3 червени, 3 жълти, 3 зелени топки. Изтеглете 4 топки на случаен принцип. Помислете за събитието "Сред изтеглените топки ще има топки с точно M цвята". За всяко М от 1 до 4 определете кое събитие е – невъзможно, сигурно или случайно и попълнете таблицата:
Самостоятелна работа.
азопция
а) рожденият ден на вашия приятел е по-малко от 32;
в) утре ще има тест по математика;
г) Догодина първият сняг в Москва ще падне в неделя.
Хвърлете зар. Опишете събитието:
а) кубът, като падне, ще застане на ръба си;
б) ще изпадне едно от числата: 1, 2, 3, 4, 5, 6;
в) числото 6 ще изпадне;
г) ще се появи число, кратно на 7.
Кутия съдържа 3 червени, 3 жълти и 3 зелени топки. Опишете събитието:
а) всички изтеглени топки са от един и същи цвят;
б) всички изтеглени топки с различни цветове;
в) сред изтеглените топки има топки с различни цветове;
в) сред изтеглените топки има червена, жълта и зелена топка.
IIопция
Опишете въпросното събитие като сигурно, невъзможно или случайно:
а) сандвич, който е паднал от масата, ще падне на пода с маслото надолу;
б) в полунощ в Москва ще падне сняг, а след 24 часа ще грее слънце;
в) печелите, като участвате в печеливша лотария;
г) следващата година през май ще се чуе първият пролетен гръм.
Всички двуцифрени числа са записани на картите. Една карта се избира на случаен принцип. Опишете събитието:
а) картата се оказа нула;
б) на картата има число, кратно на 5;
в) на картата има число, кратно на 100;
г) картата съдържа число, по-голямо от 9 и по-малко от 100.
Кутията съдържа 10 червени, 1 зелена и 2 сини химикалки. Два елемента се вземат на случаен принцип от кутията. Опишете събитието:
а) изваждат се две сини дръжки;
б) изваждат се две червени дръжки;
в) изваждат се две зелени дръжки;
г) изваждат се зелени и черни дръжки.
Домашна работа: 1). Измислете две надеждни, случайни и невъзможни събития.
2). Задача . В кутия има 3 червени, 3 жълти, 3 зелени топки. Теглим N топки на случаен принцип. Помислете за събитието „сред изтеглените топки ще има топки от точно три цвята“. За всяко N от 1 до 9 определете кое събитие е – невъзможно, сигурно или случайно и попълнете таблицата:
комбинаторни задачи.
Първи урок
Проверка на домашната работа. (устно)
а) Проверяваме проблемите, които измислиха учениците.
б) допълнителна задача.
Чета откъс от книгата на В. Левшин "Три дни в Карликаний".
„Първо, под звуците на плавен валс, числата образуваха група: 1+ 3 + 4 + 2 = 10. След това младите скейтъри започнаха да сменят местата си, образувайки все повече и повече нови групи: 2 + 3 + 4 + 1 = 10
3 + 1 + 2 + 4 = 10
4 + 1 + 3 + 2 = 10
1 + 4 + 2 + 3 = 10 и т.н.
Това продължи, докато скейтърите се върнаха в първоначалната си позиция.
Колко пъти са сменяли местата?
Днес в урока ще научим как да решаваме подобни проблеми. Те се наричат комбинаторен.
3. Усвояване на нов материал.
Цел 1. колко двуцифрени числаможе да се състави от числата 1, 2, 3?
Решение: 11, 12, 13
31, 32, 33. Само 9 числа.
При решаването на този проблем изброихме всички възможни варианти или, както обикновено се казва в тези случаи. Всички възможни комбинации. Следователно такива задачи се наричат комбинаторен. Доста обичайно е да се изчисляват възможни (или невъзможни) опции в живота, така че е полезно да се запознаете с комбинаторните проблеми.
№ 967. Няколко държави са решили да използват за националния си флаг символи под формата на три хоризонтални ивици с еднаква ширина в различни цветове - бяло, синьо, червено. Колко държави могат да използват такива символи, при условие че всяка държава има свое собствено знаме?
Решение. Да приемем, че първата ивица е бяла. Тогава втората ивица може да бъде синя или червена, а третата ивица, съответно, червена или синя. Оказа се две опции: бяло, синьо, червено или бяло, червено, синьо.
Сега нека първата ивица е синя, след това отново ще получим две опции: бяло, червено, синьо или синьо, червено, бяло.
Нека първата ивица е червена, след това още две опции: червено, бяло, синьо или червено, синьо, бяло.
Има общо 6 възможни варианта. Това знаме може да се използва от 6 държави.
Така че, когато решавахме този проблем, търсихме начин да изброим възможните опции. В много случаи се оказва полезно конструирането на картина – схема за изброяване на опции. Това е преди всичко илюстративно Второ, ни позволява да вземем предвид всичко, да не пропуснем нищо.
Тази схема се нарича още дърво от възможни опции.
Първа страница
Втора лента
трета лента
Получена комбинация
№ 968. Колко двуцифрени числа могат да се направят от числата 1, 2, 4, 6, 8?
Решение. За интересни за нас двуцифрени числа всяка от дадените цифри може да бъде на първо място, с изключение на 0. Ако поставим числото 2 на първо място, то всяка от дадените цифри може да бъде на второ място. Ще има пет двуцифрени числа: 2.,22, 24, 26, 28. По същия начин ще има пет двуцифрени числа с първата цифра 4, пет двуцифрени числа с първата цифра 6 и пет двуцифрени числа с първата цифра 4 цифри с първата цифра 8.
Отговор: Има общо 20 числа.
Нека изградим дърво от възможни варианти за решаване на този проблем.
Двойни цифри
Първа цифра
Втора цифра
Получени номера
20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,
40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.
Решете следните проблеми, като построите дърво от възможни опции.
№ 971. Ръководството на определена държава реши да направи националното си знаме така: върху едноцветен правоъгълен фон в един от ъглите е поставен кръг с различен цвят. Решено е да се изберат цветове от три възможни: червено, жълто, зелено. Колко варианта на това знаме
съществува? Фигурата показва някои от възможните опции.
Отговор: 24 варианта.
№ 973. а) Колко трицифрени числа могат да се направят от числата 1,3, 5,? (27 числа)
б) Колко трицифрени числа могат да се направят от числата 1,3, 5, при условие че числата не трябва да се повтарят? (6 числа)
№ 979. Съвременните петоборци се състезават в продължение на два дни в пет спорта: прескачане на препятствия, фехтовка, плуване, стрелба и бягане.
а) Колко опции има за реда на преминаване на видовете състезание? (120 опции)
b) Колко опции има за реда на преминаване на събитията от състезанието, ако е известно, че последното събитие трябва да бъде бягане? (24 опции)
в) Колко варианта има за реда на преминаване на видовете състезание, ако се знае, че последният вид трябва да е бягане, а първият - скокове? (6 опции)
№ 981. Две урни съдържат по пет топки всяка в пет различни цвята: бяло, синьо, червено, жълто, зелено. От всяка урна се изтегля по една топка.
а) колко различни комбинации от изтеглени топки има (комбинации като "бяло - червено" и "червено - бяло" се считат за еднакви)?
(15 комбинации)
б) Колко комбинации има, в които изтеглените топки са от един и същи цвят?
(5 комбинации)
в) колко комбинации има, в които изтеглените топки са с различни цветове?
(15 - 5 = 10 комбинации)
Домашна работа: 54, № 969, 972, сами измислете комбинаторен проблем.
№ 969. Няколко държави са решили да използват символи под формата на три вертикални ивици с еднаква ширина в различни цветове за националния си флаг: зелено, черно, жълто. Колко държави могат да използват такива символи, при условие че всяка държава има свое собствено знаме?
№ 972. а) Колко двуцифрени числа могат да се образуват от числата 1, 3, 5, 7, 9?
б) Колко двуцифрени числа могат да се направят от числата 1, 3, 5, 7, 9, при условие че числата не трябва да се повтарят?
Втори урок
Проверка на домашната работа. а) № 969 и № 972а) и № 972б) - изградете дърво от възможни опции на дъската.
б) устно проверява съставените задачи.
Разрешаване на проблем.
И така, преди това се научихме как да решаваме комбинаторни задачи, използвайки дърво от опции. Това добър начин ли е? Вероятно да, но много тромаво. Нека се опитаме да решим домашен проблем No 972 по различен начин. Кой може да предположи как може да се направи това?
Отговор: За всеки от петте цвята тениски има 4 цвята шорти. Общо: 4 * 5 = 20 опции.
№ 980. Урните съдържат по пет топки всяка в пет различни цвята: бяло, синьо, червено, жълто, зелено. От всяка урна се изтегля по една топка. Опишете следното събитие като сигурно, случайно или невъзможно:
а) изтеглени топки с различни цветове; (случаен)
б) изтеглени топки от един и същи цвят; (случаен)
в) изтеглени са черни и бели топки; (невъзможен)
г) изваждат се две топки и двете са оцветени в един от следните цветове: бяло, синьо, червено, жълто, зелено. (автентичен)
№ 982. Група туристи планират да направят пътуване по маршрута Антоново – Борисово – Власово – Грибово. От Антоново до Борисово можете да спускате със сал по реката или да се разхождате. От Борисово до Власово можете да ходите пеша или да карате велосипед. От Власово до Грибово можете да плувате по реката, да карате велосипед или да се разхождате. Колко възможности за туризъм могат да изберат туристите? Колко възможности за туризъм могат да изберат туристите, при условие че поне един от участъците от маршрута трябва да използват велосипеди?
(12 опции за маршрут, 8 от които с велосипеди)
Самостоятелна работа.
1 вариант
а) Колко трицифрени числа могат да се направят от числата: 0, 1, 3, 5, 7?
б) Колко трицифрени числа могат да се направят от числата: 0, 1, 3, 5, 7, при условие че числата не трябва да се повтарят?
Атос, Портос и Арамис имат само меч, кама и пистолет.
а) По колко начина могат да бъдат въоръжени мускетарите?
b) Колко опции за оръжие има, ако Арамис трябва да владее меч?
в) Колко опции за оръжие има, ако Арамис трябва да има меч, а Портос трябва да има пистолет?
Някъде Бог изпрати парче сирене на врана, както и сирене, колбаси, бял и черен хляб. Кацнала на ела, врана щеше да закуси, но тя се замисли: по колко начина могат да се направят сандвичи от тези продукти?
Вариант 2
а) Колко трицифрени числа могат да се направят от числата: 0, 2, 4, 6, 8?
б) Колко трицифрени числа могат да се направят от числата: 0, 2, 4, 6, 8, при условие че числата не трябва да се повтарят?
Граф Монте Кристо реши да подари на принцеса Хайд обеци, колие и гривна. Всяко бижу трябва да съдържа един от следните видове скъпоценни камъни: диаманти, рубини или гранати.
а) Колко комбинации от бижута със скъпоценни камъни има?
б) Колко опции за бижута има, ако обеците трябва да са диамантени?
в) Колко варианта за бижута има, ако обеците трябва да са диамант, а гривната - гранат?
За закуска можете да изберете кифличка, сандвич или меденки с кафе или айран. Колко опции за закуска можете да приготвите?
Домашна работа : № 974, 975. (чрез съставяне на дърво от опции и използване на правилото за умножение)
№ 974 . а) Колко трицифрени числа могат да се образуват от числата 0, 2, 4?
б) Колко трицифрени числа могат да се направят от числата 0, 2, 4, при условие че числата не трябва да се повтарят?
№ 975 . а) Колко трицифрени числа могат да се направят от числата 1,3, 5,7?
б) Колко трицифрени числа могат да се направят от предоставените числа 1.3, 5.7. Кои числа не трябва да се повтарят?
Номерата на задачите са взети от учебника
"Математика-5", I.I. Зубарева, А.Г. Мордкович, 2004 г.
