Võrrandid kõrgemas matemaatikas. Polünoomide ratsionaalsed juured. Horneri skeem. Algebralise võrrandi juurte põhiomadused Lobatševski–Greffe meetod algebravõrrandite ligikaudseks lahendamiseks
1. lehekülg
Ruutvõrrandid
Kaasaegses algebras on ruutvõrrand vormi võrrand
kus on koefitsiendid 
mis tahes reaalarvud ja 
Mittetäielik ruutvõrrand on vormi võrrand
Näide a) 
Seega on võrrandil kaks juurt: 
Näide b)
Lahendus
Võrrandil on kaks juurt: 
Näide koos) 
Lahendus
Võrrandil on kaks juurt: 
Näide d)
Lahendus
Võrrandil pole tegelikke juuri.
Näide e) 
Lahendus
See võrrand on ka mittetäielik ruutvõrrand, sellel on alati üks juur
Ruutvõrrandite lahendamisel saate kasutada erinevaid viise faktoriseerimine. Nii et võrrandi lahendamisel b kasutati ühiskordaja rakendamise meetodit. On veel üks viis - rühmitamise meetod.
Lahendus.
Vastus: 
Sama võrrandit saab lahendada mitmel viisil. Vaatame mõnda neist näite varal ruutvõrrand
Meetod I.
Vaatleme ruuttrinoomi 
Teguriseerime selle rühmitusmeetodi abil, olles seda terminit eelnevalt esindanud 
nagu 
Meil on
See tähendab, et antud võrrandit saab vormis ümber kirjutada
Sellel võrrandil on kaks juurt: 
II
tee
. Vaatleme ruuttrinoomi ja arvutame seda täiusliku ruudu eraldamise meetodil; Esmalt esitame terminit 3 erinevusena 
. Meil on
Kasutades ruutude erinevuse valemit, saame
Niisiis, trinoomi juured
III tee - graafiline.
Vaatleme võrrandite lahendamise graafilist meetodit
Lahenda võrrand
Ehitame funktsiooni graafik 
Tipu koordinaadid:
Parabooli telg on sirge 
Võtame abstsissteljel kaks punkti, mis on sümmeetrilised parabooli telje suhtes, näiteks punktid 
Leiame nendes punktides funktsiooni väärtuse 
Läbi punktide 
ja parabooli ülaosa 
Koostame funktsiooni graafiku.
Seega on võrrandi juurteks parabooli ja abstsisstelje lõikepunktide abstsissid, s.o.
Vaatleme võrrandi graafilise lahenduse teist versiooni
Kirjutame võrrandi vormile 
Koostame ühes koordinaatsüsteemis funktsioonide graafikud 
Seega on võrrandi juurteks konstrueeritud graafikute lõikepunktide abstsissid
Algvõrrandit saab võrrandit ümber paigutades lahendada mitmel muul viisil 
meelde 
või vaatele 
Seejärel tutvustatakse funktsioone, konstrueeritakse graafikud ja leitakse konstrueeritud funktsioonide graafikute lõikepunktide abstsissid.
Vaata ülesannet 3 (lisa 1).
IV tee – ruutvõrrandi juurte valemi kasutamine.
Vormi ruutvõrrandi lahendamiseks 
saate kasutada järgmist algoritmi:
Sest 
Sellel ruutvõrrandil on kaks juurt. Leiame need juured valemi abil
Kui b– paarisarv, s.t. 
Siis
Vormi võrrand 
on taandatud ruutvõrrand.
Kui numbrid 
on sellised 
siis need arvud on võrrandi juured. 
Selle väitega või õigemini väitega teoreemi vastupidine Vieta suudab lahendada antud ruutvõrrandid.
Niisiis, võrrandi juured
Kui võrrandis summa 
siis on võrrandi üks juur alati 1 ja teine juur arvutatakse valemi abil.
In Eq. summa seega 
Vaata ülesannet 4 (lisa 1).
Ratsionaalvõrrandid
Kui 
on ratsionaalne avaldis, siis võrrand 
nimetatakse ratsionaalseks võrrandiks.
Näide 
Kontrollime leitud juuri: 
need. 
on algse võrrandi juured.
Näide 
Lahendame võrrandi muutuja sisseviimisega. Lase 
See võimaldab võrrandi vormis ümber kirjutada 
Alates Eq. 
leiame 
Kontrollime leitud juuri 
Kuna 
peame lahendama veel kaks võrrandit:
Ja 
Esimese võrrandi juurteks on arvud 1 ja –4, teise võrrandi juurteks on arvud 
Vastus: 1, −4,
Uue muutuja sisseviimise meetodit kasutatakse ka bikvadraatvõrrandite lahendamisel.
Vormi võrrand 
nimetatakse bikvadraatvõrrandiks.
Näide 
Tutvustame muutujat 
Saame
Vastus: 2, -2.
Vaata ülesandeid 5, 6 ja 7 (lisa 1).
Irratsionaalsed võrrandid
Kui võrrand sisaldab ruutjuure märgi all muutujat, siis nimetatakse sellist võrrandit irratsionaalseks.
Pöördugem lehekülgedele matemaatika ajaloost. Irratsionaalsete arvude mõiste oli Pythagorasele teada. Pythagorase teoreem viis matemaatikud võrreldamatute segmentide avastamiseni. Nad said täiesti paradoksaalse väite: ruudu diagonaali pikkust ei saa mõõta ühegi naturaalarvuga. See väide õõnestas nende õpetuse põhiteesi: "kõik on arv."
Võrdlematuse avastamine näitas, et teades ainult ratsionaalseid numbreid, on võimatu leida ühegi segmendi pikkust. See tähendab, et segmentide hulk on palju laiem kui ratsionaalarvude hulk. Kreeklased otsustasid matemaatikat üles ehitada mitte arvu mõiste laiendamise teel, mis viiks nad irratsionaalsete arvude arvestamiseni, vaid geomeetriliste suuruste abil. Erinevalt pütagoorlastest teadlased Vana Ida kasutati ligikaudseid numbreid ilma igasuguse selgituseta. Seega kirjutasid nad hoopis 1.41 
, ja numbri asemel 3 
Pöördume tagasi kaasaegse matemaatika juurde ja kaalume võimalusi irratsionaalsete võrrandite lahendamiseks.
Näide: 
Võrrandi mõlema poole ruudustamiseks meetod on peamine meetod irratsionaalsete võrrandite lahendamiseks.
Neljandamismeetod on lihtne, kuid mõnikord põhjustab probleeme.
Näide: 
Aga tähendus 
olles ratsionaalse võrrandi juur 
ei ole antud irratsionaalvõrrandi juur. Testimine kinnitab seda väidet.
Eksam:
Saadud väljendil pole mõtet. Paarisastme juure all ei saa olla negatiivset arvu.
Järeldus: 
kõrvaline juur
Arvestades ir ratsionaalne võrrand pole juuri.
Näide: 
Eksam:
Kui 
See 
- vale
Kui 
See
- vale
Järeldus: antud irratsionaalsel võrrandil pole juuri.
Niisiis, irratsionaalne võrrand lahendatakse mõlema külje ruudustamisel; Olles lahendanud saadud ratsionaalse võrrandi, on vaja teha kontroll, rookides välja võimalikud kõrvalised juured.
Näide: 
Eksam:
Kui 
See 
- tõeline võrdsus.
Kui 
See 
- tõeline võrdsus.
See tähendab, et mõlemad leitud väärtused on võrrandi juured.
Vastus: 4; 5.
Näide: 
Lahendame selle võrrandi uue muutuja sisseviimisega.
Lase 
Pöördume tagasi algse muutuja juurde.
- õige,
- vale.
Vaata ülesannet 8 (lisa 1).
Natuke teooriat
Definitsioon. Kaks võrrandit 
Ja 
nimetatakse ekvivalentseteks, kui neil on samad juured (või eriti siis, kui mõlemal võrrandil pole juuri).
Tavaliselt püütakse võrrandit lahendades asendada see võrrand lihtsama, kuid sellega samaväärsega. Sellist asendust nimetatakse võrrandi samaväärseks teisenduseks.
Võrrandi samaväärsed teisendused on järgmised teisendused:
1. Võrrandiliikmete ülekandmine võrrandi ühest osast teise vastandmärkidega.
Näiteks võrrandi asendamine 
võrrand 
Seal on samaväärne teisendus võrrandid See tähendab, et võrrandid Ja on samaväärsed.
2. Võrrandi mõlema poole korrutamine või jagamine sama nullist erineva arvuga.
Näiteks võrrandi asendamine 
võrrand 
(võrrandi mõlemad pooled korrutatakse liikme kaupa 10-ga) on võrrandi samaväärne teisendus.
Järgmised teisendused on võrrandi ebavõrdsed teisendused:
1. Muutujaid sisaldavatest nimetajatest vabastamine.
Näiteks võrrandi asendamine 
võrrand 
on võrrandi ebavõrdne teisendus. Asi on selles, et võrrand on kaks juurt: 2 ja −2 ning antud võrrandil on väärtus 
ei saa rahuldada (nimetaja läheb nulli). Sellistel juhtudel ütlevad nad järgmist: kõrvaline juur.
2. Võrrandi mõlema poole ruudustamine.
Kui võrrandi lahendamisel kasutati ühte näidatud mitteekvivalentsetest teisendustest, tuleb kõik leitud juured kontrollida algvõrrandiga asendamise teel, kuna nende hulgas võib olla kõrvalisi juuri.
Definitsioon.
Võrrandi valdkond 
nimetatakse komplektiks 
Kus 
Ja 
– funktsioonide määratlemise valdkonnad f Ja g.
Näide 
Lisades vasakpoolsed murrud, saame võrrandi
samaväärne originaaliga. See sama võrrand on omakorda samaväärne süsteemiga
Ruutvõrrandil on juured 
Kus 
- kõrvaline juur.
Mõelge võrrandi lahendusele 
Seetõttu on algne võrrand võrdne hulgaga
või 
või 
või 
Moodulimärgi all oleva muutujaga võrrandid
1. Arvu absoluutväärtus a(tähistatud |
a|
) on kaugus punktist, mis tähistab antud arvu a koordinaatjoonel, alguspunktini.
Definitsioonist järeldub, et 
Mooduli põhiomadused
Näide 
Ilmselgelt on siin kaks võimalust: 
või 
Kust on lihtne saada
Vastus: 
või 
Pange tähele, et vormi võrrandite lahendamisel 
kõige ratsionaalsem viis on üleminek agregaadile
Näide 
Siin vabastab ülaltoodud tehnika meid vajadusest leida "ebameeldivate" juurtega ruuttrinoomi konstantse märgi intervalle.
Meil on:
Vastus: või 
või 
Vaata ülesannet 9 (lisa 1).
Võrrandid parameetritega
Natuke teooriat.
Õpilased puutuvad teatud mõistete tutvustamisel kokku parameetritega. Näiteks otsese proportsionaalsuse funktsioon:
lineaarne funktsioon:
lineaarvõrrand:
ruutvõrrand:
Definitsioon. Võrrandit – selle välimust ja lahendust, mis sõltub ühe või mitme parameetri väärtustest – nimetatakse parameetritega võrrandiks.
Võrrandi lahendamine parameetritega tähendab
1. Leidke kõik parameetrite väärtuste süsteemid, mille jaoks sellel võrrandil on lahendused.
2. Leidke iga leitud parameetriväärtuste süsteemi jaoks kõik lahendused, st tundmatul ja parameetritel peavad olema oma vastuvõetavate väärtuste vahemikud.
Näide: 
Vastus: Kui 
siis lahendusi pole.
Need võrrandid on kombineeritud ülesanded, mille lahendamise käigus töötatakse välja võrrandite lahendamise standardalgoritmid ning kujundatakse ja kinnistatakse oskused lubatud väärtuste vahemikuga töötamiseks ja juurte valimiseks. Need võrrandid on mõeldud kui individuaalsed ülesanded tugevatele õpilastele.
Võrrandite rakendamine.
Navier-Stokesi võrrandid – süsteem diferentsiaalvõrrandid osaderivaatides, mis kirjeldavad viskoosse vedeliku liikumist. Navier-Stokesi võrrandid on hüdrodünaamikas ühed olulisemad ja neid kasutatakse paljude matemaatilises modelleerimises. looduslik fenomen ja tehnilisi probleeme. Nimetatud prantsuse füüsiku Louis Navier' ja briti matemaatiku George Stokesi järgi.
Süsteem koosneb liikumisvõrrandist ja pidevusvõrrandist.
Üks võrrandisüsteemi rakendusi on Maa vahevöös toimuvate voolude kirjeldamine.
Atmosfääri õhumasside liikumise kirjeldamiseks, eriti ilmaprognoosi koostamisel, kasutatakse võrrandi variatsioone. Võrrandi lahenduste analüüs on ühe lahtise probleemi olemus, mille lahendamise eest määras Clay Matemaatika Instituut 1 miljoni USA dollari suuruse preemia. Kolmemõõtmeliste Navier-Stokesi võrrandite jaoks on vaja tõestada või ümber lükata Cauchy probleemi globaalse sujuva lahenduse olemasolu.
Kasutatud kirjanduse loetelu
Mordkovich A.G. Algebra. 7. klass: Kahes osas. 1. osa: Üldhariduse õpik. Institutsioonid. – 5. väljaanne. – M.: Mnemosyne, 2002. – 160 lk.: ill.
Mordkovich A.G. Algebra. 8. klass: Kahes osas. 1. osa: Üldhariduse õpik. Institutsioonid. – 6. väljaanne. – M.: Mnemosyne, 2004. – 223 lk.: ill.
A.G. Merzlyak, V.B. Polonsky, M.S. Yakir algebra simulaator: käsiraamat koolilastele ja taotlejatele”/Toim. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. – M.: Ilexa, 2001 – 320 lk.
Krivonogov V.V. Ebastandardsed ülesanded matemaatikas: 5-11 klass. – M.: Kirjastus “Esimene september”, 2002. – 224 lk.: ill.
1. lehekülg
Numbrid saab jagada komplektideks järgmises võimsuse suurendamise järjekorras -
1. Hulk – algarvude hulk (ei oma peale iseenda algjagajaid).
2. Hulk - naturaalarvude hulk.
3. Set - täisarvude hulk (need on naturaalarvud, null ja negatiivsed täisarvud).
4. Hulk - ratsionaalarvude hulk (need on täisarvud ehk arvud, mida saab esitada murdena, mille lugejaks ja nimetajaks on täisarvud. Kümnendmärk ratsionaalne on kas lõplik või esitatav murdena, mis sisaldab tingimata perioodilist kordumist).
5. Hulk - alamhulk reaalarvud, mida saab esitada radikaalidena reaalarvude väljal. Siia kuuluvad kõik ratsionaalsed (Q), aga ka mõned irratsionaalsed, nt. 
. Täpsemalt, selles komplektis on arvud, mida saab esitada tähise kujul koos astmeni tõstmisega, kus astmeks on ratsionaalne arv ja iga astmeni tõstetud arv on ratsionaalne positiivne arv.
6. Hulk - reaalarvude alamhulk, mida saab esitada radikaalidena üle välja kompleksarvud. Siia kuuluvad kõik ratsionaalsed (Q) ja ka näiteks mõned irratsionaalsed, mis osutuvad lõpuks kehtivaks. Täpsemalt on selles komplektis arvud, mida saab esitada astmeni tõstmisega tähistuse kujul, kus astmeks on ratsionaalne arv ja astmeks tõstetav arv on ratsionaalne ja võib olla negatiivne. .
Hulga 6 ja hulga 5 erinevus. Näiteks võrrandi juured,
, on võrdsed.
Samas on teada, et kuupvõrrandid lahustuvad radikaalides. See tähendab, et neid samu juuri saab esitada arvude, matemaatiliste tehtete ja astmetega tähistusena.
küsimus. Mul on eeldus, et selle kirje osad on kompleksarvud, s.t. ilma selleta ei saa. Sealt tulevad juured negatiivsed arvud Tingimata. Kas oletus on õige?
Kui eeldus on õige, siis kuupvõrrandite reaaljuured kuuluvad alati hulka, kuid ei pruugi hulka kuuluda. Kuid ruutvõrrandi juured kuuluvad alati väikese võimsusega hulka.
küsimus. Kas ratsionaalarvuna esitatava argumendi siinus (kraadides) kuulub alati hulka (või paaris), s.t. kas seda saab alati väljendada radikaalides?
Kuid liigume edasi veelgi võimsama numbrikomplekti juurde. 5. astme võrrandi tegelikke juuri ei saa alati väljendada radikaalides, s.t. need ei pruugi isegi sisalduda , kuid seal on komplekt, kus need on kaasatud -
7. Paljud – palju algebralised arvud, (reaalarvude alamhulk) . See komplekt sisaldab kõigi võimalike algebraliste võrrandite kõik võimalikud reaaljuured, mis tahes määral ja mis tahes ratsionaalsete koefitsientidega.
Millised on võimsamad hulgad, kui matemaatikas peetakse (arvestamata kõige laiemaid komplekte - reaalseid ja keerukaid)? Võimsamaid pole ma tavaliselt kohanud, kui numbrit sees pole, siis nimetatakse seda lihtsalt transtsendentaalseks. Ja ma tutvustaksin veel ühte komplekti -
8. Hulk - arvude kogum, mis võib olla mis tahes matemaatilise võrrandi (mitte tingimata algebraline) juurteks, mis tahes teadaolevate funktsioonidega (nt siinus, zeta funktsioon, integraallogaritm jne), mida saab laiendada kujul esitatuna seeriast või mitmest reast. Nimetagem selliseid numbreid ANALÜÜTILISTEKS. Lihtsamalt öeldes saate määrata lõplike mõõtmete kirjelduse nii, et sellest kirjeldusest leiate mis tahes numbri pärast antud arvu koma – ad infinitum.
Seni olid kõik vaadeldud hulgad järgmiste alamhulgad, s.o. alamhulk jne. - alamhulk. Järgmine komplekt on eraldi (ei kuulu sellesse), kuid kõige võimsam.
9. Set - kaootiliste numbrite kogum. (kaootiline on minu määratlus). See on kõigi reaalarvude kogum, mis ei sisaldu . Kui arv sisaldub , siis seda arvu ei saa esitada mingigi lõplike suuruste matemaatilise kirjeldusega (ükskõik - jada, või funktsioonid jne), s.t. kui anname lõplike mõõtmete kirjelduse, siis ei saa me selle kirjelduse abil leida ühtegi numbrit pärast antud arvu koma - ad infinitum.
10. Set – KÕIGI reaalarvude hulk. See on lahknevate komplektide liit ja . Veelgi enam, hulga sees oleva hulga mõõt on null. Need. reaalarvude hulgas on suurem osa arve kaootilised ja vähemus analüütilised.
11. Hulk – kõigi kompleksarvude hulk. Seda oli võimalik jagada sarnasteks alamhulkadeks (algebraline kompleks, analüütiline, kaootiline jne), kuid ma arvan, et see pole vajalik.
Kas mu klassifikatsioon on õige? Milliseid teisi hulki on matemaatikutel, mis on transtsendentaalsete arvude alamhulgad, kuid mis pole algebralised arvud?
Ruutvõrrandi juurte valemid. Vaadeldakse tegelike, mitmekordsete ja keerukate juurte juhtumeid. Ruuttrinoomi faktoring. Geomeetriline tõlgendus. Juurte määramise ja faktooringu näited.
SisuVaata ka: Ruutvõrrandite lahendamine võrgus
Põhivalemid
Mõelge ruutvõrrandile:
(1)
.
Ruutvõrrandi juured(1) määratakse järgmise valemiga:
;
.
Neid valemeid saab kombineerida järgmiselt:
.
Kui ruutvõrrandi juured on teada, saab teise astme polünoomi esitada tegurite korrutisena (faktoreeritud):
.
Järgmisena eeldame, et need on reaalarvud.
Mõelgem ruutvõrrandi diskriminant:
.
Kui diskriminant on positiivne, on ruutvõrrandil (1) kaks erinevat reaaljuurt:
;
.
Siis on ruuttrinoomi faktoriseerimine järgmine:
.
Kui diskriminant on võrdne nulliga, siis ruutvõrrandil (1) on kaks mitmekordset (võrdset) reaaljuurt:
.
Faktoreerimine:
.
Kui diskriminant on negatiivne, on ruutvõrrandil (1) kaks keerulist konjugaatjuurt:
;
.
Siin on kujuteldav ühik ;
ja need on juurte tegelikud ja kujuteldavad osad:
;
.
Siis
.
Graafiline tõlgendus
Kui joonistate funktsiooni
,
mis on parabool, siis on graafiku lõikepunktid teljega võrrandi juurteks
.
Kui , lõikub graafik x-teljega (teljega) kahes punktis ().
Kui , puudutab graafik x-telge ühes punktis ().
Kui , graafik ei ristu x-teljega ().
Kasulikud ruutvõrranditega seotud valemid
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Ruutvõrrandi juurte valemi tuletamine
Teostame teisendusi ja rakendame valemeid (f.1) ja (f.3):
,
Kus
;
.
Niisiis saime teise astme polünoomi valemi kujul:
.
See näitab, et võrrand
esines kl
Ja .
See tähendab, ja on ruutvõrrandi juured
.
Näited ruutvõrrandi juurte määramisest
Näide 1
(1.1)
.
.
Võrreldes meie võrrandiga (1.1), leiame koefitsientide väärtused:
.
Leiame diskrimineerija:
.
Kuna diskriminant on positiivne, on võrrandil kaks tegelikku juurt:
;
;
.
Siit saame ruuttrinoomi faktoriseerimise:
.
Funktsiooni y = graafik 2 x 2 + 7 x + 3 lõikub x-teljega kahes punktis.
Joonistame funktsiooni
.
Selle funktsiooni graafik on parabool. See ületab abstsisstellje (telge) kahes punktis:
Ja .
Need punktid on algse võrrandi (1.1) juured.
;
;
.
Näide 2
Leidke ruutvõrrandi juured:
(2.1)
.
Kirjutame ruutvõrrandi üldkujul:
.
Võrreldes algse võrrandiga (2.1), leiame koefitsientide väärtused:
.
Leiame diskrimineerija:
.
Kuna diskriminant on null, on võrrandil kaks mitmekordset (võrdset) juurt:
;
.
Siis on trinoomi faktoriseerimisel järgmine vorm:
.
Funktsiooni y = x graafik 2–4 x + 4 puudutab ühes punktis x-telge.
Joonistame funktsiooni
.
Selle funktsiooni graafik on parabool. See puudutab x-telge (telge) ühes punktis:
.
See punkt on algse võrrandi (2.1) juur. Kuna see juur arvutatakse kaks korda:
,
siis nimetatakse sellist juurt tavaliselt mitmekordseks. See tähendab, et nad usuvad, et on kaks võrdset juurt:
.
;
.
Näide 3
Leidke ruutvõrrandi juured:
(3.1)
.
Kirjutame ruutvõrrandi üldkujul:
(1)
.
Kirjutame algse võrrandi (3.1) ümber:
.
Võrreldes punktiga (1), leiame koefitsientide väärtused:
.
Leiame diskrimineerija:
.
Diskriminant on negatiivne, . Seetõttu pole tõelisi juuri.
Võite leida keerukaid juuri:
;
;
.
Siis
.
Funktsiooni graafik ei ristu x-teljega. Päris juuri pole.
Joonistame funktsiooni
.
Selle funktsiooni graafik on parabool. See ei ristu x-teljega (teljega). Seetõttu pole tõelisi juuri.
Päris juuri pole. Keerulised juured:
;
;
.
Projektis käsitletakse meetodit algebralise võrrandi juurte ligikaudseks leidmiseks – Lobachevsky-Greffe meetodit. Töös defineeritakse meetodi idee, selle arvutusskeem ning leitakse tingimused meetodi rakendamiseks. Esitatakse Lobatševski-Greffe meetodi teostus.
1 TEOREETILINE OSA 6
1.1 Probleemi kirjeldus 6
1.2 Algebralised võrrandid 7
1.2.1 Algebralise võrrandi 7 põhimõisted
1.2.2 Algebralise võrrandi 7 juured
1.2.3 Polünoomi 9 reaaljuurte arv
1.3 Lobatševski–Greffe meetod algebraliste võrrandite ligikaudseks lahendamiseks 11
1.3.1 11. meetodi idee
1.3.2 Juurte ruudustamiseks 13
2.1 Ülesanne 1 16
2.2 Ülesanne 2 18
2.4 Saadud tulemuste analüüs 20
KIRJANDUSTE LOETELU 23
SISSEJUHATUS
Tänapäeva arvutustehnoloogia pakub võimsaid tööriistu loendustöö tegemiseks. Tänu sellele sai paljudel juhtudel võimalik loobuda rakendusküsimuste ligikaudsest tõlgendamisest ja liikuda edasi probleemide lahendamisele täpses sõnastuses. Kaasaegse arvutitehnoloogia mõistlik kasutamine on mõeldamatu ilma ligikaudse ja numbrilise analüüsi meetodite oskusliku rakendamiseta.
Numbrilised meetodid on suunatud praktikas tekkivate probleemide lahendamisele. Ülesande lahendamine numbriliste meetodite abil taandub aritmeetiliste ja loogiliste operatsioonidega numbritega, mis eeldab arvutitehnoloogia kasutamist, näiteks personaalarvutite kaasaegsete kontoriprogrammide tabeliprotsessoreid.
„Arvuliste meetodite“ distsipliini eesmärk on leida konkreetse probleemi lahendamiseks kõige tõhusam meetod.
Algebravõrrandite lahendamine on rakendusanalüüsi üks olulisemaid probleeme, mille vajadus tekib füüsika, mehaanika, tehnoloogia ja loodusteaduste arvukates ja mitmekesistes osades selle sõna laiemas tähenduses.
See kursuse projekt on pühendatud ühele algebraliste võrrandite lahendamise meetoditest - Lobachevsky-Greffe meetodile.
Selle töö eesmärk on kaaluda Lobatševski-Greffe meetodi ideed algebraliste ülesannete lahendamiseks ja pakkuda arvutusskeemi tegelike juurte leidmiseks MS Office Exceli abil. Projektis käsitletakse põhilisi teoreetilisi küsimusi, mis on seotud algebraliste võrrandite juurte leidmisega Lobatševski–Greffe meetodi abil. Käesoleva töö praktilises osas esitatakse lahendused algebralistele võrranditele Lobachevsky–Greffe meetodil.
1 TEOREETILINE OSA
1.1 Probleemi püstitus
Olgu antud hulk X elementidest x ja hulk Y elementidega y. Oletame ka, et hulgal X on defineeritud operaator, mis määrab igale elemendile x X-st mingi elemendi y-st Y. Võtame mõne elemendi
ja seadsime endale eesmärgiks leida sellised elemendid 
, mille jaoks 
on pilt. See ülesanne on samaväärne võrrandi lahendamisega
(1.1)
Selle jaoks võivad tekkida järgmised probleemid.
Tingimused võrrandi lahendi olemasoluks.
Võrrandi lahendi kordumatuse tingimus.
Lahendusalgoritm, mida järgides oleks võimalik olenevalt eesmärgist ja tingimustest leida täpselt või ligikaudu kõik võrrandi (1.1) lahendid või mõni eelnevalt määratud lahendus või mõni olemasolevatest.
seal on mingi funktsioon. Sel juhul saab võrrandi (1.1) kirjutada kujul 
(1.2)
Numbriliste meetodite teoorias püütakse konstrueerida arvutusprotsess, mille abil saab leida lahenduse võrrandile (1.2) etteantud täpsusega. Eriti suur tähtsus neil on koonduvad protsessid, mis võimaldavad võrrandit lahendada mis tahes, ükskõik kui väikese veaga.
Meie ülesanne on leida, üldiselt, ligikaudne element 
. Sel eesmärgil töötatakse välja algoritm, mis toodab ligikaudsete lahenduste jada 
, ja nii, et seos kehtiks
1.2 Algebralised võrrandid
1.2.1 Algebralise võrrandi põhimõisted
Mõelge algebrale võrrand n kraadid
kus on koefitsiendid 
on reaalarvud ja 
.
Teoreem 1.1 (algebra fundamentaalteoreem). N-nda astme algebralisel võrrandil (1.3) on täpselt n juurt, reaalset ja keerulist, eeldusel, et iga juurt arvestatakse nii palju kordi, kui palju on tema kordsus.
Sel juhul öeldakse, et võrrandi (1.3) juurel on kordsus s, kui
, 
.
Võrrandi (1.3) kompleksjuurtel on paaridevahelise konjugatsiooni omadus.
Teoreem 1.2. Kui algebralise võrrandi (1.3) koefitsiendid on reaalsed, siis on selle võrrandi kompleksjuured paarikaupa komplekskonjugaadid, s.o. Kui 
(
on reaalarvud) on võrrandi (1.3) juur, kordsuse s, siis arv 
on ka selle võrrandi juur ja sellel on sama paljusus s.
Tagajärg. Reaalkoefitsientidega paaritu astme algebralisel võrrandil on vähemalt üks reaaljuur.
1.2.2 Algebralise võrrandi juured
Kui
on võrrandi (1.3) juured, siis on vasakpoolsel küljel järgmine laiend: . (1.6)
Korrutades valemis (1.6) olevad binoomid ja võrdsustades võrrandi (1.6) vasakul ja paremal poolel olevad koefitsiendid x samade astmetega, saame algebralise võrrandi (1.3) juurte ja kordajate vahelised seosed:
(1.7)
Kui võtta arvesse juurte kordusi, siis laiendus (1.6) saab kuju
,
Kus
–võrrandi (1) erinevad juured ja 
– nende paljusus ja 
.
Tuletis 
väljendatakse järgmiselt:
kus Q(x) on selline polünoom, et
juures k=1,2,…,m Seetõttu polünoom
on suurim ühine jagaja polünoom
ja selle tuletis 
, ja seda saab leida Eukleidilise algoritmi abil. Teeme jagatise 
,
ja saame polünoomi
reaalsete koefitsientidega
, A 1 , A 2 ,…, A m , mille juured 
on erinevad. Seega taandub mitme juurega algebralise võrrandi lahendamine madalamat järku erinevate juurtega algebralise võrrandi lahendamiseks.
1.2.3 Polünoomi reaaljuurte arv
Üldise ettekujutuse võrrandi (1.3) reaaljuurte arvust intervallil (a,b) annab funktsiooni graafik
, kus juured 
on graafiku ja Ox-telje lõikepunktide abstsissid. Märgime mõned polünoomi P(x) omadused:
Kui P(a)P(b)
Kui P(a)P(b)>0, siis on intervallil (a, b) polünoomi P(x) paarisarv või üldse mitte.
Definitsioon. Olgu antud nullist erineva reaalarvude järjestatud lõplik süsteem:
,
,…,
(1.9)
Nad ütlevad, et paari külgneva elemendi kohta
, 
süsteemis (1.9) toimub märgimuutus, kui neil elementidel on vastandmärgid, s.t. 
,
ja märgimuutust ei toimu, kui nende märgid on samad, st.
.
Definitsioon. Koguarv muutused kõigi naaberelementide paaride märkides
, 
süsteemi (1.9) nimetatakse märgimuutuste arvuks süsteemis (1.9). Definitsioon. Antud polünoomi P(x) korral on Sturmi süsteem polünoomide süsteem
,
, 
, 
,…, 
,
Kus 
, – polünoomi jagamisel vastasmärgiga võetav jääk , – polünoomi jagamisel vastandmärgiga võetav jääk jne.
Märkus 1. Kui polünoomil pole mitut juurt, siis Sturmi süsteemi viimane element on nullist erinev reaalarv.
Märkus 2. Sturmi süsteemi elemente saab arvutada kuni positiivse arvulise tegurini.
Tähistame N(c) märgimuutuste arvu Sturmi süsteemis x=c tingimusel, et selle süsteemi nullelemendid on läbi kriipsutatud.
Teoreem 1.5. (Sturmi teoreem). Kui polünoomil P(x) pole mitut hobust ja 
, 
, siis selle tegelike juurte arv 
intervallil 
täpselt võrdne kaotatud märgimuutuste arvuga polünoomi Sturmi süsteemis 
kohast liikudes 
enne 
, st.
.
Järeldus 1. Kui
, siis number 
positiivne ja arv 
polünoomi negatiivsed juured on vastavalt võrdsed 
,
.
Järeldus 2. Selleks, et n-astme polünoomi P(x), millel ei ole mitut juurt, kõik juured oleksid reaalsed, on vajalik ja piisav tingimuse täitmine
.
Seega on võrrandis (1.3) kõik juured kehtivad siis ja ainult siis, kui:
Sturmi süsteemi abil saate eraldada algebralise võrrandi juured, jagades kõiki võrrandi tegelikke juuri sisaldava intervalli (a,b) lõplikuks arvuks osaintervallideks
selline, et 
.
1.3 Lobatševski–Greffe meetod algebraliste võrrandite ligikaudseks lahendamiseks
1.3.1 Meetodi idee
Vaatleme algebralist võrrandit (1.3).Teeskleme seda
, (1.15)
need. juured on mooduli poolest erinevad ja iga eelmise juure moodul on oluliselt suurem kui järgmise. Teisisõnu oletame, et mis tahes kahe kõrvuti asetseva juure suhe nende arvude kahanevas järjekorras on suurus, mis on absoluutväärtuses väike:
, (1.16)
Kus 
Ja 
- väike väärtus. Selliseid juuri nimetatakse eraldatuks.
(1.17)
Kus 
, 
,…, 
– kogused, mis on absoluutväärtuses ühtsusega võrreldes väikesed. Süsteemis (1.17) koguste tähelepanuta jätmine 
, on meil ligikaudsed suhted 
(1.18)
Kust me juured leiame? 
(1.19)
Võrdsete süsteemi (1,20) juurte täpsus sõltub sellest, kui väikesed on absoluutväärtuses suurused 
suhetes (1.16)
Juurte eraldamise saavutamiseks võrrandi (1.3) alusel moodustavad nad teisendatud võrrandi
, (1.20)
kelle juured
, 
,…, 
on m-e kraadi juured 
, 
,…, 
võrrand (1.3). Kui võrrandi (1.3) kõik juured on erinevad ja nende moodulid vastavad tingimusele (1.17), siis piisavalt suure m korral eraldatakse võrrandi (1.20) juured , ,..., kuna
juures 
.
Ilmselt piisab algoritmi koostamisest võrrandi leidmiseks, mille juurteks on juurte ruudud taga antud võrrand. Siis on võimalik saada võrrand, mille juured on võrdsed astme algvõrrandi juurtega
.
1.3.2 Juurte kvadratuur
Kirjutame polünoomi (1.3) järgmisel kujulJa korrutage see vormi polünoomiga
Siis saame
Olles teinud asendus
ja korrutades 
, saab . (1.21)
Polünoomi (1.21) juured on seotud polünoomi (1.3) juurtega järgmise seosega
.
Seetõttu on võrrand, mis meid huvitab
,
mille koefitsiendid arvutatakse valemiga (1.22)
, (1.22)
kus eeldatakse, et
juures 
.
Rakendades polünoomile (1.3) juurte ruudustamist järjest k-kordselt, saame polünoomi
, (1.23)
milles
, 
, jne. Piisavalt suure k korral on võimalik tagada, et võrrandi (1.23) juured rahuldavad süsteemi
(1.24)
Määrame arvu k, mille puhul süsteem (1.24) on antud täpsusega rahul.
Oletame, et nõutav k on juba saavutatud ja võrrandid (1.24) on aktsepteeritud täpsusega rahul. Teeme veel ühe teisenduse ja leiame polünoomi
,
mille puhul kehtib ka süsteem (1.24).
.
Kuna valemi (1.22) alusel
, (1.25)
siis, asendades (1.25) süsteemiga (1.24), saame, et koefitsientide absoluutväärtused
peab olema võrdne koefitsientide ruutude aktsepteeritud täpsusega 
. Nende võrratuste täitmine näitab, et k nõutav väärtus on juba k-ndas etapis saavutatud. Seega tuleks võrrandi (1.3) juurte kvadratuur lõpetada, kui aktsepteeritud täpsuse korral jäävad valemi (1.24) paremale poolele ainult ruudukoefitsiendid ja korrutiste kahekordne summa jääb alla täpsuspiiri.
Seejärel eraldatakse võrrandi tegelikud juured ja nende moodulid leitakse valemiga
(1.26)
Juuremärgi saab määrata umbkaudse hinnanguga, asendades väärtused 
Ja 
võrrandisse (1.3).
2 PRAKTILINE OSA
2.1 Ülesanne 1
. (2.1)
Esiteks määrame valemis (2.1) reaal- ja kompleksjuurte arvu. Selleks kasutame Sturmi teoreemi.
Sturmi süsteem võrrandi (2.1) jaoks on järgmisel kujul:
Kust me selle saame?
Tabel 2.1.
|
Polünoom |
Punktid reaalteljel |
|
 |
 |
|
 |
+ |
+ |
 |
– |
+ |
 |
– |
– |
 |
– |
+ |
 |
– |
– |
|
Märgi muudatuste arv |
1 |
3 |
Seega leiame, et reaaljuurte arv võrrandis (2.1) on võrdne
,
need. võrrand (2.1) sisaldab 2 reaal- ja kahte kompleksjuurt.
Võrrandi juurte leidmiseks kasutame keeruka konjugeeritud juurte paari jaoks Lobachevsky-Greffe meetodit.
Teeme võrrandi juured ruudu. Koefitsiendid arvutati järgmise valemi abil 
, (2.2)
Kus 
, (2.3)
A 
loetakse võrdseks 0-ga, kui 
.
Kaheksa märgilise numbriga arvutuste tulemused on toodud tabelis 2.2
Tabel 2.2.
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
 |
|||||
 |
0 |
-3,8000000E+01 |
3,5400000E+02 |
3,8760000E+03 |
0 |
 |
1 |
4,3000000E+01 |
7.1500000E+02 |
4,8370000E+03 |
1.0404000E+04 |
 |
|||||
 |
0 |
-1,4300000E+03 |
-3,9517400E+05 |
-1,4877720E+07 |
0 |
 |
1 |
4,1900000E+02 |
1.1605100E+05 |
8,5188490E+06 |
1.0824322E+08 |
 |
|||||
 |
0 |
-2,3210200E+05 |
-6,9223090E+09 |
-2,5123467E+13 |
0 |
 |
1 |
-5,6541000E+04 |
6,5455256E+09 |
4,7447321E+13 |
1,1716594E+16 |
 |
|||||
 |
0 |
-1,3091051E+10 |
5,3888712E+18 |
-1,5338253E+26 |
0 |
 |
1 |
-9,8941665E+09 |
4,8232776E+19 |
2,0978658E+27 |
1,3727857E+32 |
 |
|||||
 |
0 |
-9,6465552E+19 |
4,1513541E+37 |
-1,3242653E+52 |
0 |
 |
1 |
1,4289776E+18 |
2,3679142E+39 |
4.3877982E+54 |
1,8845406E+64 |
 |
|||||
 |
0 |
-4,7358285E+39 |
-1,2540130E+73 |
-8.9248610+103 |
0 |
 |
1 |
-4,7337865E+39 |
5,6070053E+78 |
1.9252683+109 |
3.5514932+128 |
 |
|||||
 |
0 |
-1,1214011E+79 |
1.8227619+149 |
-3.9826483+207 |
0 |
 |
1 |
1,1194724E+79 |
3.1438509+157 |
3.7066582+218 |
1.2613104+257 |
Nagu näha tabelist 2.2 7. sammu juures juured 
, 
(loendades moodulite kahanevas järjekorras) võib lugeda eraldatuks. Leiame juurte moodulid valemi (1.27) abil ja määrame nende märgi ligikaudse hinnangu abil:
Kuna teisendatud koefitsient juures 
muudab märki, siis on sellel võrrandil keerulised juured, mis määratakse võrrandist (1.31) valemite (1.29) ja (1.30) abil:
i.
2.2 Ülesanne 2
Lobatševski-Greffe meetodi abil lahendage võrrand:. (2.4)
Alustuseks määrame Sturmi teoreemi abil reaal- ja kompleksjuurte arvu võrrandis (2.2).
Selle võrrandi jaoks on Sturmi süsteemil vorm
Kust me selle saame?
Tabel 2.3.
|
Polünoom |
Punktid reaalteljel |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
+ |
|
|
– |
+ |
|
|
+ |
+ |
|
|
– |
+ |
|
|
– |
– |
|
Märgi muudatuste arv |
3 |
1 |
Seega leiame, et reaaljuurte arv võrrandis (2.2) on võrdne
,
need. võrrand (2.2) sisaldab 2 reaal- ja kahte kompleksjuurt.
Võrrandi juurte ligikaudseks leidmiseks kasutame keerukate konjugeeritud juurte paari jaoks Lobachevsky-Greffe meetodit.
Teeme võrrandi juured ruudu. Arvutame koefitsiendid valemite (2.2) ja (2.3) abil.
Kaheksa märgilise numbriga arvutuste tulemused on toodud tabelis 2.4
Tabel 2.4.
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|||||
|
|
0 |
-9.2000000E+00 |
-3,3300000E+01 |
1.3800000E+02 |
0 |
.
Ja 
võrrandis (2.4), mille tulemuseks on erineva järgu vead (vastavalt 4,52958089E–11 ja 4,22229789E–06) sama arvu iteratsioonide korral.Jne. on üldharidusliku iseloomuga ja omab suurt tähtsust KOGU kõrgema matemaatika kursuse õppimisel. Täna kordame "kooli" võrrandeid, kuid mitte ainult "kooli" võrrandeid - vaid neid, mida leidub kõikjal erinevaid ülesandeid vyshmat. Nagu ikka, jutustatakse lugu rakenduslikult, s.t. Ma ei keskendu definitsioonidele ja klassifikatsioonidele, vaid jagan teiega täpselt isiklik kogemus lahendusi. Info on mõeldud eelkõige algajatele, kuid ka edasijõudnud lugejad leiavad enda jaoks palju huvitavaid punkte. Ja loomulikult tuleb uus materjal, läheb kaugemale Keskkool.
Seega võrrand…. Paljud mäletavad seda sõna värinaga. Mida väärt on "keerukad" juurtega võrrandid... ...unustage need ära! Sest siis kohtate selle liigi kõige kahjutumaid "esindajaid". Või igav trigonomeetrilised võrrandid kümnete lahendusmeetoditega. Kui aus olla, siis mulle endale need eriti ei meeldinud... Ära paanitse! – siis ootavad sind ees enamasti “võililled” ilmselge lahendusega 1-2 sammuga. Kuigi "takjas" kindlasti klammerdub, peate siin olema objektiivne.
Kummalisel kombel on kõrgemas matemaatikas palju tavalisem tegeleda väga primitiivsete võrranditega nagu lineaarne võrrandid
Mida tähendab selle võrrandi lahendamine? See tähendab, et tuleb leida SELLINE “x” (juur) väärtus, mis muudab selle tõeliseks võrdsuseks. Viskame "kolme" märgivahetusega paremale:
ja visake "kaks" paremale küljele (või sama asi - korrutage mõlemad pooled)
:
Kontrollimiseks asendame võidetud trofee algse võrrandiga: 
Saadakse õige võrdsus, mis tähendab, et leitud väärtus on tõepoolest selle võrrandi juur. Või, nagu nad ka ütlevad, rahuldab selle võrrandi.
Pange tähele, et juure saab kirjutada ka vormis koma:
Ja proovige mitte jääda selle halva stiili juurde! Kordasin põhjust rohkem kui korra, eriti esimeses õppetunnis kõrgem algebra.
Muide, võrrandi saab lahendada ka "araabia keeles":
Ja mis kõige huvitavam, see salvestus on täiesti seaduslik! Aga kui te pole õpetaja, siis on parem seda mitte teha, sest originaalsus on siin karistatav =)
Ja nüüd natuke sellest
graafiline lahendusmeetod
Võrrandil on vorm ja selle juur on "X" koordinaat ristumispunktid lineaarfunktsiooni graafik lineaarfunktsiooni graafikuga (x-telg):
Näib, et näide on nii elementaarne, et siin polegi enam midagi analüüsida, kuid sellest saab “pigistada” veel ühe ootamatu nüansi: esitame vormis sama võrrandi ja koostame funktsioonide graafikud: 
kus, palun ärge ajage neid kahte mõistet segamini: võrrand on võrrand ja funktsiooni– see on funktsioon! Funktsioonid ainult abi leida võrrandi juured. Neid võib olla kaks, kolm, neli või isegi lõpmatult palju. Lähim näide selles mõttes on üldtuntud ruutvõrrand, mille lahendusalgoritm sai eraldi lõigu "kuumad" koolivormelid. Ja see pole juhus! Kui suudate ruutvõrrandi lahendada ja teate Pythagorase teoreem, siis võiks öelda, et “pool kõrgemat matemaatikat on juba taskus” =) Liialdatud muidugi, aga mitte nii kaugel tõest!
Seetõttu ärgem olgem laisad ja lahendagem ruutvõrrandi abil standardne algoritm:
, mis tähendab, et võrrandil on kaks erinevat kehtiv juur: 
Lihtne on kontrollida, kas mõlemad leitud väärtused vastavad sellele võrrandile: 
Mida teha, kui unustasite ootamatult lahendusalgoritmi ja vahendeid/abikäsi pole käepärast? Selline olukord võib tekkida näiteks testi või eksami ajal. Kasutame graafilist meetodit! Ja seal on kaks võimalust: saate ehitada punkt punkti haaval parabool 
, saades seeläbi teada, kus see teljega lõikub (kui see üldse ristub). Kuid parem on teha midagi kavalamat: kujutlege võrrandit kujul, joonistage rohkem graafikuid lihtsad funktsioonid- Ja "X" koordinaadid nende ristumiskohad on selgelt nähtavad! 
Kui selgub, et sirge puudutab parabooli, siis on võrrandil kaks sobivat (mitu) juurt. Kui selgub, et sirge parabooliga ei ristu, siis päris juuri polegi.
Selleks peab muidugi oskama ehitada elementaarfunktsioonide graafikud, aga teisalt saab nende oskustega hakkama isegi koolilaps.
Ja jällegi – võrrand on võrrand ja funktsioonid , on funktsioonid, mis lihtsalt aitas lahenda võrrand!
Ja siin, muide, oleks paslik meeles pidada veel üht: kui kõik võrrandi koefitsiendid korrutada nullist erineva arvuga, siis selle juured ei muutu.
Nii näiteks võrrand 
on samad juured. Lihtsa "tõestusena" võtan konstandi sulgudest välja: 
ja ma eemaldan selle valutult (Jagan mõlemad osad "miinus kahega"):
AGA! Kui arvestada funktsiooni 
, siis siin konstandist lahti ei saa! Kordaja on lubatud ainult sulgudest välja võtta: 
.
Paljud inimesed alahindavad graafilise lahenduse meetodit, pidades seda millekski "ebaväärikaks" ja mõned isegi unustavad selle võimaluse täielikult. Ja see on põhimõtteliselt vale, kuna graafikute joonistamine päästab mõnikord olukorra!
Teine näide: oletame, et te ei mäleta kõige lihtsama trigonomeetrilise võrrandi juuri: . Üldvalem on kooliõpikutes, kõigis algmatemaatika teatmeteostes, kuid need pole teile kättesaadavad. Võrrandi lahendamine on aga kriitiline (teise nimega "kaks"). Väljapääs on olemas! - koostage funktsioonide graafikud: 
pärast mida kirjutame rahulikult üles nende ristumispunktide “X” koordinaadid: 
Juure on lõpmatult palju ja algebras aktsepteeritakse nende lühendatud tähistust:
, Kus ( – täisarvude komplekt)
.
Ja ilma "ära minemata" paar sõna ühe muutujaga ebavõrdsuse lahendamise graafilisest meetodist. Põhimõte on sama. Nii näiteks on ebavõrdsuse lahendus suvaline “x”, sest Sinusoid asub peaaegu täielikult sirgjoone all. Ebavõrdsuse lahendus on intervallide kogum, milles sinusoidi tükid asuvad rangelt sirgjoone kohal (x-telg):
või lühidalt:
Kuid siin on palju lahendusi ebavõrdsusele: tühi, kuna ükski sinusoidi punkt ei asu sirgjoonest kõrgemal.
Kas on midagi, millest sa aru ei saa? Tutvuge kiiresti õppetunniga komplektid Ja funktsioonigraafikud!
Teeme sooja:
1. harjutus
Lahendage graafiliselt järgmised trigonomeetrilised võrrandid:
Vastused tunni lõpus
Nagu näete, pole täppisteaduste õppimiseks üldse vaja valemeid ja teatmeteoseid toppida! Pealegi on see põhimõtteliselt vigane lähenemine.
Nagu ma juba tunni alguses kinnitasin, tuleb kõrgema matemaatika standardkursusel keerulisi trigonomeetrilisi võrrandeid lahendada üliharva. Kogu keerukus lõpeb reeglina võrranditega nagu , mille lahenduseks on kaks kõige lihtsamatest võrranditest pärinevat juurterühma ja 
. Ärge muretsege selle viimase lahendamise pärast liiga palju – vaadake raamatust või otsige Internetist =)
Graafiline lahendusmeetod võib aidata ka vähem triviaalsetel juhtudel. Mõelge näiteks järgmisele "ragtag" võrrandile:
Selle lahenduse väljavaated näevad välja ... ei näe üldse välja nagu midagi, kuid peate lihtsalt kujutlema võrrandit kujul , ehitama funktsioonigraafikud ja kõik osutub uskumatult lihtsaks. Artikli keskel on joonis selle kohta lõpmata väikesed funktsioonid (avaneb järgmisel vahelehel).
Sama graafilise meetodi abil saate teada, et võrrandil on juba kaks juurt ja üks neist on võrdne nulliga ja teine ilmselt irratsionaalne ja kuulub segmenti . Selle juure saab arvutada ligikaudu, näiteks puutuja meetod. Muide, mõne probleemi puhul juhtub, et te ei pea juuri leidma, vaid välja selgitama kas need on üldse olemas?. Ja ka siin võib abi olla joonisest - kui graafikud ei ristu, siis pole ka juuri.
Täisarvu koefitsientidega polünoomide ratsionaalsed juured.
Horneri skeem
Ja nüüd kutsun teid üles pöörama oma pilku keskajale ja tundma klassikalise algebra ainulaadset atmosfääri. Materjali paremaks mõistmiseks soovitan teil vähemalt natuke lugeda kompleksarvud.
Nad on parimad. Polünoomid.
Meie huviobjektiks on vormi kõige levinumad polünoomid terve koefitsiendid Naturaalarv helistas polünoomi aste, arv – kõrgeima astme koefitsient (või lihtsalt kõrgeim koefitsient), ja koefitsient on vaba liige.
Tähistan lühidalt seda polünoomi .
Polünoomi juured nimetage võrrandi juurteks
Jumaldan raudne loogika =)
Näiteid leiate artikli algusest: 
1. ja 2. astme polünoomide juurte leidmisega probleeme pole, kuid suurendades muutub see ülesanne üha raskemaks. Kuigi teisest küljest on kõik huvitavam! Ja just sellele pühendatakse tunni teine osa.
Esiteks, sõna otseses mõttes pool ekraani teooriast:
1) Järelduse järgi algebra põhiteoreem, on astmepolünoomil täpselt keeruline juured. Mõned juured (või isegi kõik) võivad olla erilised kehtiv. Pealegi võib pärisjuurte hulgas olla identseid (mitu) juuri (vähemalt kaks, maksimaalselt tükki).
Kui mõni kompleksarv on polünoomi juur, siis konjugaat selle arv on tingimata ka selle polünoomi juur (konjugeeritud kompleksjuurtel on vorm ).
Lihtsaim näide on ruutvõrrand, mis ilmus esmakordselt 8 (meeldib) klassis ja mille me lõpuks teemas “lõpetasime”. kompleksarvud. Lubage mul teile meelde tuletada: ruutvõrrandil on kas kaks erinevat reaaljuurt või mitu juurt või konjugeeritud kompleksjuurt.
2) Alates Bezouti teoreem sellest järeldub, et kui arv on võrrandi juur, siis saab vastava polünoomi faktoriseerida:
, kus on astme polünoom .
Ja jälle meie vana näide: kuna on võrrandi juur, siis . Pärast seda pole raske saada tuntud “kooli” laiendust.
Bezouti teoreemi järeldusel on suur praktiline väärtus: kui teame 3. astme võrrandi juurt, siis saame seda esitada kujul 
ja ruutvõrrandist on lihtne välja selgitada ülejäänud juured. Kui teame 4. astme võrrandi juurt, siis on võimalik laiendada vasakut poolt korrutiseks jne.
Ja siin on kaks küsimust:
Küsimus üks. Kuidas seda juuri leida? Kõigepealt defineerime selle olemust: paljudes kõrgema matemaatika ülesannetes on vaja leida ratsionaalne, eriti terve polünoomide juured ja sellega seoses huvitavad meid edaspidi peamiselt need.... ...nad on nii head, nii kohevad, et tahaks neid lihtsalt üles leida! =)
Esimene asi, mis meelde tuleb, on valikumeetod. Vaatleme näiteks võrrandit . Siin on saak vabas perspektiivis - kui see oleks võrdne nulliga, siis oleks kõik hästi - võtame sulgudest välja “x” ja juured ise “kukuvad” pinnale: 
Kuid meie vaba liige on võrdne "kolmega" ja seetõttu hakkame võrrandisse asendama erinevad numbrid, väites, et on "juur". Esiteks viitab üksikute väärtuste asendamine iseenesest. Asendame: 
Vastu võetud vale võrdsus, seega üksus "ei sobinud". Olgu, asendame: 
Vastu võetud tõsi võrdsus! See tähendab, et väärtus on selle võrrandi juur.
3. astme polünoomi juurte leidmiseks on olemas analüüsimeetod (nn Cardano valemid), kuid nüüd oleme huvitatud veidi teistsugusest ülesandest.
Kuna - on meie polünoomi juur, saab polünoomi esitada kujul ja tekib Teine küsimus: kuidas leida "noorem vend"?
Kõige lihtsamad algebralised kaalutlused viitavad sellele, et selleks peame jagama arvuga . Kuidas jagada polünoomi polünoomiga? Sama koolimeetod, mis jagab tavalisi numbreid - “veerg”! Arutasin seda meetodit üksikasjalikult õppetunni esimestes näidetes. Komplekssed piirid, ja nüüd vaatame teist meetodit, mida nimetatakse Horneri skeem.
Kõigepealt kirjutame "kõrgeima" polünoomi kõigiga
, sealhulgas nullkoefitsiendid:
, mille järel sisestame need koefitsiendid (rangelt järjekorras) tabeli ülemisele reale:
Kirjutame juure vasakule:
Teen kohe reservatsiooni, et Horneri skeem töötab ka "punase" numbri korral Mitte on polünoomi juur. Ärgem siiski asjadega kiirustagem.
Eemaldame ülalt juhtiva koefitsiendi:
Alumiste lahtrite täitmise protsess meenutab mõneti tikandit, kus “miinus üks” on omamoodi “nõel”, mis läbib järgnevaid samme. Korrutame "alla kantud" arvu (–1) ja lisame tootele ülemise lahtri arvu:
Korrutame leitud väärtuse “punase nõelaga” ja lisame tootele järgmise võrrandikoefitsiendi:
Ja lõpuks "töötletakse" saadud väärtust uuesti "nõela" ja ülemise koefitsiendiga:
Null viimases lahtris ütleb meile, et polünoom on jagatud jäljetult (nii nagu see peaks olema), samas kui laienduskoefitsiendid „eemaldatakse” otse tabeli alumiselt realt:
Seega liikusime võrrandilt samaväärsele võrrandile ja kahe ülejäänud juurega on kõik selge (sel juhul saame konjugeeritud kompleksjuured).
Võrrandit, muide, saab lahendada ka graafiliselt: plot "välk" 
ja vaata, et graafik ristub x-teljega ()
punktis . Või sama "kaval" trikk - kirjutame võrrandi ümber kujul , joonistame elementaarsed graafikud ja tuvastame nende lõikepunkti "X" koordinaadi.
Muide, mis tahes 3. astme funktsiooni-polünoomi graafik lõikub teljega vähemalt korra, mis tähendab, et vastaval võrrandil on vähemaltüks kehtiv juur. See fakt kehtib iga paaritu astme polünoomfunktsiooni kohta.
Ja siin tahaksin ka pikemalt peatuda oluline punkt mis puudutab terminoloogiat: polünoom Ja polünoomfunktsioon – see pole sama asi! Kuid praktikas räägivad nad sageli näiteks "polünoomi graafikust", mis on muidugi hooletus.
Tuleme siiski tagasi Horneri skeemi juurde. Nagu ma hiljuti mainisin, töötab see skeem teiste numbrite puhul, kuid kui number Mitte on võrrandi juur, siis ilmub meie valemis nullist erinev liitmine (ülejääk):
"Käivitame" "ebaõnnestunud" väärtust Horneri skeemi järgi. Sel juhul on mugav kasutada sama tabelit - kirjutage vasakule uus "nõel", liigutage juhtkoefitsienti ülalt (vasak roheline nool), ja asume minema: 
Kontrollimiseks avame sulud ja esitame sarnased terminid:
, OKEI.
On lihtne märgata, et jääk ("kuus") on täpselt polünoomi väärtus . Ja tegelikult - kuidas see on: 
, ja veelgi toredam – nagu see:
Ülaltoodud arvutustest on lihtne aru saada, et Horneri skeem võimaldab mitte ainult polünoomi arvesse võtta, vaid ka juure "tsiviliseeritud" valikut teha. Soovitan teil arvutusalgoritm ise väikese ülesandega konsolideerida:
2. ülesanne
Leia Horneri skeemi abil võrrandi täisarvuline juur ja koefitsiendi vastav polünoom
Teisisõnu, siin peate järjestikku kontrollima numbreid 1, -1, 2, -2, ... – kuni viimasesse veergu on "joonistatud" null jääk. See tähendab, et selle rea "nõel" on polünoomi juur
Arvutused on mugav paigutada ühte tabelisse. Üksikasjalik lahendus ja vastus tunni lõpus.
Juurte valimise meetod on hea suhteliselt lihtsate juhtumite jaoks, kuid kui polünoomi koefitsiendid ja/või aste on suured, võib protsess võtta kaua aega. Või äkki on mõned väärtused samast loendist 1, –1, 2, –2 ja pole mõtet kaaluda? Ja pealegi võivad juured osutuda murdosadeks, mis viib täiesti ebateadusliku torkamiseni.
Õnneks on kaks võimsat teoreemi, mis võivad märkimisväärselt vähendada ratsionaalsete juurte kandidaatväärtuste otsimist:
1. teoreem Mõelgem taandamatu murdosa , kus . Kui arv on võrrandi juur, jagatakse vaba liige arvuga ja juhtiv koefitsient jagatakse.
Eriti, kui juhtiv koefitsient on , siis on see ratsionaalne juur täisarv:
Ja me hakkame teoreemi kasutama just selle maitsva detailiga:
Tuleme tagasi võrrandi juurde. Kuna selle juhtiv koefitsient on , võivad hüpoteetilised ratsionaalsed juured olla eranditult täisarvud ja vaba termin tuleb tingimata jagada nendeks juurteks ilma jäägita. Ja "kolme" saab jagada ainult 1, -1, 3 ja -3. See tähendab, et meil on ainult 4 "juurkandidaati". Ja vastavalt 1. teoreem, ei saa teised ratsionaalarvud olla selle võrrandi juurteks PÕHIMÕTTELT.
Võrrandis on “pretendendid” veidi rohkem: vaba liige jaguneb 1, –1, 2, – 2, 4 ja –4.
Pange tähele, et numbrid 1, –1 on võimalike juurte loendi "tavalised". (teoreemi ilmselge tagajärg) ja enamus parim valik prioriteedi kontrollimiseks.
Liigume edasi sisukamate näidete juurde:
Probleem 3
Lahendus: kuna juhtiv koefitsient on , siis võivad hüpoteetilised ratsionaaljuured olla ainult täisarvud ja need peavad tingimata olema vaba liikme jagajad. “Miinus nelikümmend” on jagatud järgmisteks numbripaarideks:
– kokku 16 “kandidaati”.
Ja siin tekib kohe ahvatlev mõte: kas on võimalik välja rookida kõik negatiivsed või kõik positiivsed juured? Mõnel juhul on see võimalik! Ma sõnastan kaks märki:
1) Kui Kõik Kui polünoomi koefitsiendid on mittenegatiivsed või kõik mittepositiivsed, siis ei saa sellel olla positiivseid juuri. Kahjuks pole see meie juhtum (Kui nüüd oleks antud võrrand - siis jah, polünoomi mis tahes väärtuse asendamisel on polünoomi väärtus rangelt positiivne, mis tähendab, et kõik positiivsed arvud (ja ka irratsionaalseid) ei saa olla võrrandi juurteks.
2) Kui paaritute astmete ja kõigi paaritute astmete koefitsiendid on mittenegatiivsed (kaasa arvatud tasuta liige) on negatiivsed, siis ei saa polünoomil olla negatiivseid juuri. Või "peegel": paaritute astmete koefitsiendid ei ole positiivsed ja kõigi paarisastmete koefitsiendid on positiivsed.
See on meie juhtum! Natuke lähemalt vaadates näete, et kui võrrandisse asendada negatiivne "X", on vasak pool rangelt negatiivne, mis tähendab, et negatiivsed juured kaovad.
Seega on uurimistööks jäänud 8 numbrit:
Me "laadime" neid järjestikku Horneri skeemi järgi. Loodan, et olete juba vaimseid arvutusi õppinud: 
“Kahe” testimisel ootas meid õnn. Seega on vaadeldava võrrandi juur ja
Jääb veel võrrandit uurida 
. Seda on lihtne teha diskriminandi kaudu, kuid teen sama skeemi järgi indikatiivse testi. Esiteks pangem tähele, et vaba liige on võrdne 20-ga, mis tähendab 1. teoreem numbrid 8 ja 40 langevad võimalike juurte loendist välja, jättes väärtused uurimiseks (üks eemaldati Horneri skeemi järgi).
Trinoomi koefitsiendid kirjutame uue tabeli ülemisse ritta ja Alustame kontrollimist sama "kahe" abil. Miks? Ja kuna juured võivad olla mitmekordsed, siis palun: - sellel võrrandil on 10 identset juurt. Kuid ärgem laskem end segada: 
Ja siin ma muidugi natuke valetasin, teades, et juured on ratsionaalsed. Lõppude lõpuks, kui need oleksid irratsionaalsed või keerulised, seisaksin silmitsi kõigi ülejäänud numbrite ebaõnnestumisega. Seetõttu juhinduge praktikas diskrimineerijast.
Vastus: ratsionaalsed juured: 2, 4, 5
Analüüsitud probleemi puhul meil vedas, sest: a) negatiivsed väärtused langesid kohe maha ja b) leidsime väga kiiresti juure (ja teoreetiliselt saime kogu loendit kontrollida).
Kuid tegelikkuses on olukord palju hullem. Kutsun teid vaatama põnevat mängu "Viimane kangelane":
Probleem 4
Leidke võrrandi ratsionaalsed juured
Lahendus: Kõrval 1. teoreem hüpoteetiliste ratsionaalsete juurte lugejad peavad täitma tingimust (loeme "kaksteist on jagatud el-ga"), ja nimetajad – tingimusele . Selle põhjal saame kaks loendit:
"nimekiri el":
ja "list um": (õnneks on numbrid siin loomulikud).
Nüüd teeme nimekirja kõigist võimalikest juurtest. Esiteks jagame "el listi" arvuga. On täiesti selge, et saadakse samad numbrid. Mugavuse huvides paneme need tabelisse:
Paljusid murde on vähendatud, mille tulemuseks on väärtused, mis on juba kangelaste loendis. Lisame ainult "algajad": 
Samamoodi jagame sama "loendi" järgmisega: 
ja lõpuks edasi
Seega on meie mängus osalejate meeskond komplekteeritud: 
Kahjuks ei vasta selle ülesande polünoom "positiivse" või "negatiivse" kriteeriumile ja seetõttu ei saa me ülemist ega alumist rida kõrvale jätta. Peate töötama kõigi numbritega.
Kuidas sa end tunned? Tõstke pea püsti – on veel üks teoreem, mida võib piltlikult nimetada "tapjateoreemiks"…. ..."kandidaadid" muidugi =)
Kuid kõigepealt peate sirvima Horneri diagrammi vähemalt ühe jaoks tervik numbrid. Traditsiooniliselt võtame ühe. Ülemisele reale kirjutame polünoomi koefitsiendid ja kõik on nagu tavaliselt:
Kuna neli ei ole ilmselgelt null, ei ole väärtus kõnealuse polünoomi juur. Kuid ta aitab meid palju.
2. teoreem Kui mõne jaoks üldiselt polünoomi väärtus on nullist erinev: , siis selle ratsionaalsed juured (kui nad on) tingimust rahuldama
Meie puhul ja seega kõik võimalikud juured peavad tingimusele vastama (nimetagem seda tingimuseks nr 1). Sellest neljast saab paljude "kandidaatide tapja". Näitena vaatan mõnda tšekki:
Kontrollime "kandidaati". Selleks kujutame seda kunstlikult murdosa kujul, millest on selgelt näha, et . Arvutame testi erinevuse: . Neli jagatakse "miinus kahega": , mis tähendab, et võimalik juur on testi läbinud.
Kontrollime väärtust. Siin on testi erinevus: 
. Muidugi ja seetõttu jääb nimekirja ka teine “teema”.
