Keerulised numbrid

Kujutletav Ja kompleksarvud. Abstsiss ja ordinaat

kompleksarv. Kompleksarvude konjugeerimine.

Tehted kompleksarvudega. Geomeetriline

kompleksarvude esitus. Keeruline tasapind.

Kompleksarvu moodul ja argument. Trigonomeetriline

kompleksarvu vorm. Operatsioonid kompleksiga

numbrid trigonomeetrilisel kujul. Moivre'i valem.

Põhiteave selle kohta kujuteldav Ja kompleksarvud on toodud jaotises "Imaginaar- ja kompleksarvud". Vajadus nende uut tüüpi arvude järele tekkis juhtumi ruutvõrrandite lahendamiselD< 0 (здесь D- diskrimineeriv ruutvõrrand). Pikka aega ei leidnud need numbrid füüsilist rakendust, mistõttu hakati neid nimetama “kujuteldavateks” numbriteks. Nüüd aga kasutatakse neid väga laialdaselt erinevates füüsikavaldkondades

ja tehnoloogia: elektrotehnika, hüdro- ja aerodünaamika, elastsuse teooria jne.

Keerulised numbrid on kirjutatud kujul:a+bi. Siin a Ja b – reaalarvud , A i – kujuteldav ühik, s.o. e. i 2 = –1. Number a helistas abstsiss, a b – ordinaatkompleksarva + bi .Kaks kompleksarvua+bi Ja a–bi kutsutakse konjugaat kompleksarvud.

Peamised kokkulepped:

1. ReaalarvAsaab kirjutada ka vormiskompleksarv:a+ 0 i või a – 0 i. Näiteks kirjed 5 + 0i ja 5-0 itähendavad sama numbrit 5 .

2. Kompleksarv 0 + bihelistas puhtalt väljamõeldud number. Salvestusbitähendab sama mis 0 + bi.

3. Kaks kompleksarvua+bi Jac + diloetakse võrdseks, kuia = c Ja b = d. Muidu kompleksarvud ei ole võrdsed.

Lisand. Kompleksarvude summaa+bi Ja c + dinimetatakse kompleksarvuks (a+c ) + (b+d ) i.Seega lisamisel kompleksarvud, nende abstsissid ja ordinaadid liidetakse eraldi.

See definitsioon vastab tavaliste polünoomidega tehtavate reeglitele.

Lahutamine. Kahe kompleksarvu erinevusa+bi(vähenenud) ja c + di(alamosa) nimetatakse kompleksarvuks (a–c ) + (b–d ) i.

Seega Kahe kompleksarvu lahutamisel lahutatakse nende abstsissid ja ordinaadid eraldi.

Korrutamine. Kompleksarvude korrutisa+bi Ja c + di nimetatakse kompleksarvuks:

(ac-bd ) + (ad+bc ) i.See määratlus tuleneb kahest nõudest:

1) numbrid a+bi Ja c + dituleb korrutada nagu algebraline binoomid,

2) number iomab peamist omadust:i 2 = – 1.

NÄIDE ( a+ bi )(a–bi) = a 2 +b 2 . Seega tööd

kaks konjugeeritud kompleksarvu on võrdne reaalarvuga

positiivne arv.

Jaoskond. Jagage kompleksarva+bi (jagatav) teisegac + di(jagaja) - tähendab kolmanda numbri leidmiste + f i(vestlus), mis korrutatuna jagajagac + di, tulemuseks on dividenda + bi .

Kui jagaja ei ole null, on jagamine alati võimalik.

NÄIDE Otsi (8+i ) : (2 – 3 i) .

Lahendus kirjutame selle suhte ümber murruna:

Selle lugeja ja nimetaja korrutamine 2 + 3-gai

JA Pärast kõigi teisenduste tegemist saame:

Kompleksarvude geomeetriline esitus. Reaalarvud on esitatud arvureal olevate punktidega:

Siin on mõte Atähendab arvu –3, punktB– number 2 ja O- null. Seevastu kompleksarvud on esindatud koordinaattasandi punktidega. Selleks valime ristkülikukujulised (Cartesiuse) koordinaadid, millel on mõlemal teljel sama skaala. Siis kompleksarva+bi tähistatakse punktiga P koos abstsissiga a ja ordinaat b (vt pilti). Seda koordinaatsüsteemi nimetatakse keeruline lennuk .

Moodul kompleksarv on vektori pikkusOP, mis esindab kompleksarvu koordinaadil ( kõikehõlmav) lennuk. Kompleksarvu moodula+bi tähistatud | a+bi| või kiri r

Vaatleme ruutvõrrandit.

Teeme kindlaks selle juured.

Pole olemas reaalarvu, mille ruut on -1. Aga kui me defineerime operaatori valemiga i kujuteldava ühikuna, siis saab selle võrrandi lahendi kirjutada kujul . Kus Ja - kompleksarvud, milles -1 on reaalosa, 2 või teisel juhul -2 on imaginaarne osa. Imaginaarne osa on samuti reaalarv. Mõtteline osa korrutatuna imaginaarse ühikuga tähendab juba kujuteldav arv.

Üldiselt on kompleksarvul vorm

z = x + iy ,

Kus x, y– reaalarvud, – imaginaarne ühik. Paljudes rakendusteadustes, näiteks elektrotehnikas, elektroonikas, signaaliteoorias, tähistatakse imaginaarset ühikut j. Reaalarvud x = Re(z) Ja y=im(z) kutsutakse tegelikud ja kujuteldavad osad numbrid z. Väljendit nimetatakse algebraline vorm kompleksarvu kirjutamine.

Igasugune reaalarv on erijuhtum kompleksarv kujul . Imaginaararv on ka kompleksarvu erijuht .

Kompleksarvude hulga C definitsioon

See avaldis kõlab järgmiselt: set KOOS, mis koosneb sellistest elementidest, et x Ja y kuuluvad reaalarvude hulka R ja on kujuteldav üksus. Pange tähele, et jne.

Kaks kompleksarvu Ja on võrdsed siis ja ainult siis, kui nende tegelik ja mõtteline osa on võrdsed, s.t. Ja .

Keerulisi numbreid ja funktsioone kasutatakse laialdaselt teaduses ja tehnoloogias, eriti mehaanikas, vooluringide analüüsis ja projekteerimises. vahelduvvoolu, analoogelektroonika, teooria ja signaalitöötlus, automaatjuhtimise teooria ja muud rakendusteadused.

1. Kompleksarvude aritmeetika

Kahe kompleksarvu liitmine seisneb nende reaal- ja imaginaarsete osade liitmises, s.o.

Vastavalt sellele kahe kompleksarvu erinevus

Kompleksnumber helistas kõikehõlmavalt konjugaat number z =x+iy.

Komplekskonjugaatarvud z ja z * erinevad imaginaarse osa märkide poolest. See on ilmne

.

Mis tahes võrdsus keeruliste avaldiste vahel jääb kehtima, kui see on selles võrdsuses kõikjal i asendatud - i, st. minge konjugeeritud arvude võrdusse. Numbrid i Ja – i on algebraliselt eristamatud, kuna .

Kahe kompleksarvu korrutise (korrutise) saab arvutada järgmiselt:

Kahe kompleksarvu jagamine:

Näide:

1. Keeruline tasapind

Kompleksarvu saab graafiliselt esitada ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis. Määratleme tasapinnal ristkülikukujulise koordinaatide süsteemi (x, y).

Teljel Ox asetame pärisosad x, seda nimetatakse tegelik (päris) telg, teljel Oy– väljamõeldud osad y kompleksarvud. Seda nimetatakse kujuteldav telg. Sellisel juhul vastab iga kompleksarv kindlale punktile tasapinnal ja sellist tasapinda nimetatakse keeruline lennuk. Punkt A komplekstasand vastab vektorile OA.

Number x helistas abstsiss kompleksarv, arv y – ordinaat.

Kompleksarvude paari esindavad reaaltelje suhtes sümmeetriliselt paiknevad punktid.

Kui lennukis me asume polaarkoordinaatide süsteem, siis iga kompleksarv z kindlaks määratud polaarkoordinaadid. Kus moodul numbrid on punkti polaarraadius ja nurk - selle polaarnurk või kompleksarvu argument z.

Kompleksarvu moodul alati mittenegatiivne. Kompleksarvu argument ei ole üheselt määratud. Argumendi põhiväärtus peab tingimusele vastama . Iga komplekstasandi punkt vastab ka argumendi üldisele väärtusele. Argumente, mis erinevad 2π kordselt, loetakse võrdseteks. Argument null on määratlemata.

Argumendi põhiväärtuse määravad avaldised:

See on ilmne

Kus
, .

Kompleksarvude esitus z nagu

helistas trigonomeetriline vorm kompleksarv.

Näide.

1. Demonstratiivne vorm kompleksarvud

Lagunemine sisse Maclaurin seeria tõeliste argumentide funktsioonide jaoks on kujul:

Kompleksse argumendiga eksponentsiaalfunktsiooni jaoks z lagunemine on sarnane

.

Kujutatava argumendi eksponentsiaalfunktsiooni Maclaurini rea laiendust saab esitada kui

Saadud identiteeti nimetatakse Euleri valem.

Negatiivse argumendi jaoks on sellel vorm

Kombineerides neid avaldisi, saate siinuse ja koosinuse jaoks määratleda järgmised avaldised

.

Kasutades Euleri valemit, kompleksarvude esitamise trigonomeetrilisest vormist

saadaval soovituslik kompleksarvu (eksponentsiaalne, polaarne) vorm, s.o. selle esitus kujul

,

Kus - punkti polaarkoordinaadid ristkülikukujulised koordinaadid (x,y).

Kompleksarvu konjugaat kirjutatakse eksponentsiaalsel kujul järgmiselt.

Eksponentvormi puhul on lihtne määrata järgmised kompleksarvude korrutamise ja jagamise valemid

See tähendab, et eksponentsiaalsel kujul on kompleksarvude korrutis ja jagamine lihtsam kui algebralisel kujul. Korrutamisel korrutatakse tegurite moodulid ja argumendid liidetakse. See reegel kehtib paljude tegurite kohta. Eelkõige kompleksarvu korrutamisel z peal i vektor z pöörleb vastupäeva 90

Jagamisel jagatakse lugeja moodul nimetaja mooduliga ja nimetaja argument lahutatakse lugeja argumendist.

Kasutades kompleksarvude eksponentsiaalset vormi, saame avaldised tuntud trigonomeetriliste identiteetide jaoks. Näiteks identiteedist

Euleri valemit kasutades saame kirjutada

Võrdsustades selles avaldises reaalse ja imaginaarse osa, saame avaldised nurkade summa koosinuse ja siinuse jaoks

1. Kompleksarvude astmed, juured ja logaritmid

Kompleksarvu tõstmine loomuliku astmeni n toodetud vastavalt valemile

Näide. Arvutame .

Kujutagem ette numbrit trigonomeetrilisel kujul

’

Astendamisvalemit rakendades saame

Väärtuse lisamisega avaldisesse r= 1, saame nn Moivre'i valem, mille abil saate määrata avaldisi mitme nurga siinuste ja koosinuste jaoks.

Juur n-kompleksarvu aste z Sellel on n väljendiga määratud erinevad väärtused

Näide. Otsime selle üles.

Selleks väljendame kompleksarvu () trigonomeetrilisel kujul

.

Kasutades kompleksarvu juure arvutamise valemit, saame

Kompleksarvu logaritm z- see on number w, mille jaoks . Naturaalne logaritm kompleksarvul on lõpmatu arv väärtusi ja see arvutatakse valemiga

Koosneb tegelikust (koosinus) ja imaginaarsest (siinus) osast. Seda pinget saab esitada pikkuse vektorina U m, algfaas (nurk), pöörleb nurkkiirusega ω .

Veelgi enam, kui liita keerukad funktsioonid, siis liidetakse nende tegelikud ja mõttelised osad. Kui kompleksfunktsiooni korrutada konstantse või reaalfunktsiooniga, siis selle reaal- ja imaginaarne osa korrutatakse sama teguriga. Sellise keeruka funktsiooni eristamine/integreerimine taandub tegelike ja kujuteldavate osade eristamisele/integreerimisele.

Näiteks kompleksse stressiväljenduse eristamine

on see korrutada iω on funktsiooni f(z) ja reaalosa – funktsiooni mõtteline osa. Näited: .

Tähendus z tähistab punkt komplekstasandil z ja vastav väärtus w- punkt komplekstasandil w. Kui kuvatakse w = f(z) tasapinnalised jooned z teisendada tasapinnalisteks joonteks w, ühe tasapinna kujundeid teise tasandi kujunditeks, kuid joonte või kujundite kuju võib oluliselt muutuda.

		Kompleksarvu kirjutamise algebraline vorm................................................ ......................................
		Kompleksarvude tasapind.................................................. ...................................................... ...........................
		Komplekssed konjugeeritud numbrid................................................ .............................................................. ........................
	Tehted kompleksarvudega algebralisel kujul................................................... ......... ....
		Kompleksarvude liitmine................................................ ...................................................... ..................
		Kompleksarvude lahutamine ................................................... .............................................................. ......................
		Kompleksarvude korrutamine.................................................. .............................................................. ...................
		Kompleksarvude jagamine................................................ .............................................................. ..........................
	Kompleksarvu kirjutamise trigonomeetriline vorm................................................. ......................
	Tehted kompleksarvudega trigonomeetrilisel kujul................................................... .........
		Kompleksarvude korrutamine trigonomeetrilisel kujul................................................ ........
		Kompleksarvude jagamine trigonomeetrilisel kujul................................................ ........ ...
		Kompleksarvu tõstmine positiivse täisarvu astmeni................................................ ........
		Positiivse täisarvu astme juure eraldamine kompleksarvust...................................
		Kompleksarvu tõstmine ratsionaalse astmeni................................................ ......................
		Keeruline seeria................................................ ................................................... ......................................
		Kompleksarvude jada................................................ .............................................................. ........................
		Jõuseeria komplekstasandil................................................ ......................................
		Kahepoolne jõuseeria komplekstasandil................................................ .....
		Kompleksmuutuja funktsioonid................................................ ......................................................
		Põhilised elementaarfunktsioonid................................................ ...................................................... .
		Euleri valemid................................................ ................................................... ......................................
		Kompleksarvu eksponentsiaalne esitusvorm................................................ ...................... .
		Trigonomeetriliste ja hüperboolsete funktsioonide vaheline seos................................................
		Logaritmiline funktsioon................................................ ................................................... ......... ...
		Üldised eksponentsiaalsed ja üldvõimsusfunktsioonid................................................ ......................
	Kompleksmuutuja funktsioonide eristamine................................................ ......... ...
		Cauchy-Riemanni tingimused.................................................. ..................................................... ......................
		Valemid tuletise arvutamiseks................................................ ......................................................
		Diferentseerimisoperatsiooni omadused................................................. ......................................................
		Analüütilise funktsiooni reaal- ja imaginaarsete osade omadused................................................

	Kompleksmuutuja funktsiooni rekonstrueerimine selle tegelikust või imaginaarsest
		Meetod nr 1. Kõvera integraali kasutamine................................................ ...... .......
		Meetod nr 2. Cauchy-Riemanni tingimuste otsene rakendamine................................................
		Meetod nr 3. Otsitava funktsiooni tuletise kaudu................................................ ......... .........
	Kompleksmuutuja funktsioonide integreerimine................................................ ......................
	Integraalne Cauchy valem................................................ ..................................................... ...........
	Taylori ja Laurenti seeria funktsioonide laiendamine................................................ ......................................
	Kompleksmuutuja funktsiooni nullpunktid ja ainsuse punktid................................................ ..............................
		Kompleksmuutuja funktsiooni nullpunktid................................................ ......................................
		Kompleksmuutuja funktsiooni eraldatud ainsuse punktid...................................

14.3 Punkt lõpmatuses kui kompleksmuutuja funktsiooni ainsuse punkt

	Mahaarvamised................................................ ...................................................... .............................................................. ...
		Mahaarvamine lõpp-punktis................................................ ...................................................... ........................
		Funktsiooni jääk punktis lõpmatus................................................. ......................................
	Integraalide arvutamine jääkide abil................................................ ..........................................
	Enesetesti küsimused.................................................. .............................................................. ........................ .......
	Kirjandus................................................ ................................................... ......................................................
	Teema register................................................ ................................................... ......................

Eessõna

Eksami või mooduli atesteerimise teoreetiliseks ja praktiliseks osaks valmistumisel on aja ja jõu õige jaotamine üsna keeruline, seda enam, et sessiooni ajal jääb alati väheks. Ja nagu praktika näitab, ei saa kõik sellega hakkama. Selle tulemusena lahendavad osad õpilased eksami ajal ülesandeid õigesti, kuid neil on raske vastata kõige lihtsamatele teoreetilistele küsimustele, teised aga oskavad teoreemi sõnastada, kuid ei oska seda rakendada.

Käesolevad juhendid kursuse “Keerulise muutuja funktsioonide teooria” (TFCP) eksamiks valmistumisel on püüd lahendada seda vastuolu ning tagada kursuse teoreetilise ja praktilise materjali samaaegne kordamine. Juhindudes põhimõttest “Teooria ilma praktikata on surnud, praktika ilma teooriata on pime”, sisaldavad need nii kursuse teoreetilisi sätteid definitsioonide ja sõnastuste tasemel kui ka näiteid, mis illustreerivad iga antud teoreetilise seisukoha rakendamist ja hõlbustavad seeläbi selle meeldejätmine ja mõistmine.

Kavandatud eesmärk metoodilisi soovitusi– aidata õpilasel eksamiks valmistuda algtase. Teisisõnu on koostatud laiendatud töötav teatmeteos, mis sisaldab TFKP kursuse tundides kasutatavaid ja sooritamisel vajalikke põhipunkte. kodutöö ja kontrollüritusteks valmistumine. Pealegi iseseisev tööõpilastele, saab seda elektroonilist õppeväljaannet kasutada tundide läbiviimisel interaktiivses vormis elektroonilise tahvli abil või paigutamiseks kaugõppesüsteemi.

Pange tähele, et see töö ei asenda ei õpikuid ega loengukonspekte. Materjali põhjalikuks uurimiseks on soovitatav tutvuda MSTU avaldatud vastavate jaotistega. N.E. Baumani põhiõpik.

Käsiraamatu lõpus on soovitatava kirjanduse loetelu ja aineregister, mis sisaldab kõike, mis tekstis esile tõstetud paks kaldkiri tingimustele. Indeks koosneb hüperlinkidest jaotistele, milles need terminid on rangelt määratletud või kirjeldatud ja kus on toodud nende kasutamist illustreerivaid näiteid.

Käsiraamat on mõeldud MSTU kõikide teaduskondade 2. kursuse üliõpilastele. N.E. Bauman.

1. Kompleksarvu kirjutamise algebraline vorm

Vormi z = x + iy tähistus, kus x, y on reaalarvud, i on imaginaarühik (st i 2 = − 1)

nimetatakse kompleksarvu z kirjutamise algebraliseks vormiks. Sel juhul nimetatakse x-i kompleksarvu reaalosaks ja seda tähistatakse Re z-ga (x = Re z), y-d nimetatakse kompleksarvu imaginaarseks osaks ja tähistatakse Im z-ga (y = Im z).

Näide. Kompleksarvul z = 4 − 3i on reaalosa Re z = 4 ja imaginaarosa Im z = − 3 .

2. Kompleksarvude tasapind

IN käsitletakse kompleksmuutuja funktsioonide teooriaidkompleksarvu tasapind, mida tähistatakse kas või kasutades tähti, mis tähistavad kompleksnumbreid z, w jne.

Komplekstasandi horisontaaltelge nimetatakse tegelik telg, sellele asetatakse reaalarvud z = x + 0 i = x.

Komplekstasandi vertikaaltelge nimetatakse kujuteldavaks teljeks;

3. Komplekssed konjugaatarvud

Nimetatakse arve z = x + iy ja z = x − iy kompleksne konjugaat. Komplekstasandil vastavad need punktidele, mis on reaaltelje suhtes sümmeetrilised.

4. Tehted kompleksarvudega algebralisel kujul

4.1 Kompleksarvude liitmine

Kahe kompleksarvu summa

z 1 = x 1 + iy 1

ja z 2 = x 2 + iy 2 nimetatakse kompleksarvuks

z 1 + z 2

= (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i (y 1 + y 2 ) .

operatsiooni

lisamine

kompleksarvud sarnanevad algebraliste binoomide liitmise operatsiooniga.

Näide. Kahe kompleksarvu z 1 = 3 + 7i ja z 2 summa

= −1 +2 i

on kompleksarv

z 1 + z 2 = (3 +7 i) +(−1 +2 i) = (3 -1) +(7 +2) i = 2 +9 i.

Ilmselgelt

summa kõikehõlmavalt

konjugaat

on

päris

z + z = (x + iy) + (x − iy) = 2 x = 2 Re z .

4.2 Kompleksarvude lahutamine

Kahe kompleksarvu erinevus z 1 = x 1 + iy 1

X 2 + iy 2

helistas

kõikehõlmav

arv z 1 − z 2 = (x 1 + iy 1 ) − (x 2 + iy 2 ) = (x 1 − x 2 ) + i (y 1 − y 2 ) .

Näide. Kahe kompleksarvu erinevus

z 1 = 3 −4 i

ja z 2

= −1 +2 i

tuleb põhjalik

arv z 1 − z 2 = (3 − 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3 − (− 1) ) + (− 4 − 2) i = 4 − 6i .

Erinevuse järgi

kompleksne konjugaat

on

z − z = (x + iy) − (x − iy) = 2 iy = 2 i Im z .

4.3 Kompleksarvude korrutamine

Kahe kompleksarvu korrutis

z 1 = x 1 + iy 1

ja z 2 = x 2 + iy 2

nimetatakse kompleksiks

z 1z 2 = (x 1 + iy 1 ) (x 2 + iy 2 ) = x 1x 2 + iy 1x 2 + iy 2 x 1 + i 2 y 1 y 2

= (x 1x 2 − y 1 y 2 ) + i (y 1x 2 + y 2 x ) .

Seega on kompleksarvude korrutamise tehe sarnane algebraliste binoomide korrutamise operatsiooniga, võttes arvesse asjaolu, et i 2 = − 1.

MÄÄRATLUS

Kompleksarvu algebraline vorm on kirjutada kompleksarv \(\z\) kujul \(\z=x+i y\), kus \(\x\) ja \(\y\) on reaalarvud , \(\i\ ) - kujuteldav ühik, mis rahuldab seost \(\i^(2)=-1\)

Arvu \(\ x \) nimetatakse kompleksarvu \(\ z \) reaalosaks ja seda tähistatakse \(\ x=\operaatorinimi(Re) z \)

Arvu \(\y\) nimetatakse kompleksarvu \(\z\) imaginaarseks osaks ja seda tähistatakse \(\y=\operaatorinimi(Im) z\)

Näiteks:

Kompleksarv \(\ z=3-2 i \) ja selle kõrvalarv \(\ \overline(z)=3+2 i \) on kirjutatud algebralisel kujul.

Imaginaarsuurus \(\ z=5 i \) kirjutatakse algebralisel kujul.

Lisaks saate olenevalt lahendatavast ülesandest teisendada kompleksarvu trigonomeetriliseks või eksponentsiaalarvuks.

Ülesanne

Kirjutage arv \(\z=\frac(7-i)(4)+13\) algebralises vormis, leidke selle reaal- ja imaginaarne osa, samuti konjugaatarv.

Lahendus.

Kasutades terminit murdude jagamine ja murdude liitmise reeglit, saame:

\(\z=\frac(7-i)(4)+13=\frac(7)(4)+13-\frac(i)(4)=\frac(59)(4)-\frac( 1)(4)i\)

Seetõttu on kompleksarvu \(\ z=\frac(5 g)(4)-\frac(1)(4) i \) reaalosa arv \(\ x=\operaatorinimi(Re) z= \frac(59) (4) \) , imaginaarne osa on arv \(\ y=\operaatorinimi(Im) z=-\frac(1)(4) \)

Konjugeeritud arv: \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Vastus

\(\ z=\frac(59)(4)-\frac(1)(4) i \), \(\ \operaatorinimi(Re) z=\frac(59)(4) \), \(\ \operaatorinimi(Im) z=-\frac(1)(4) \), \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Kompleksarvude tegevused algebraliste vormide võrdluses

Kaks kompleksarvu \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) on võrdsed, kui \(\ x_(1)=x_(2) \), \(\ y_(1) )= y_(2) \) st. Nende tegelik ja kujuteldav osa on võrdsed.

Ülesanne

Määrake, mille x ja y puhul on kaks kompleksarvu \(\ z_(1)=13+y i \) ja \(\ z_(2)=x+5 i \) võrdsed.

Lahendus

Definitsiooni järgi on kaks kompleksarvu võrdsed, kui nende reaal- ja mõtteline osa on võrdsed, s.t. \(\x=13\), \(\y=5\).

Vastus \(\x=13\), \(\y=5\)

lisamine

Kompleksarvude \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) liitmine toimub reaal- ja imaginaarse osa otsese liitmise teel:

\(\ z_(1)+z_(2)=x_(1)+i y_(1)+x_(2)+i y_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\right) +i\left(y_(1)+y_(2)\right) \)

Ülesanne

Leidke kompleksarvude summa \(\ z_(1)=-7+5 i \), \(\ z_(2)=13-4 i \)

Lahendus.

Kompleksarvu \(\ z_(1)=-7+5 i \) reaalosa on arv \(\ x_(1)=\operaatorinimi(Re) z_(1)=-7 \) , imaginaar osa on arv \( \ y_(1)=\mathrm(Im) \), \(\ z_(1)=5 \) . Kompleksarvu \(\ z_(2)=13-4 i \) reaal- ja kujuteldavad osad on võrdsed \(\ x_(2)=\operaatorinimi(Re) z_(2)=13 \) ja \( \ y_(2) vastavalt )=\operaatorinimi(Im) z_(2)=-4 \) .

Seetõttu on kompleksarvude summa:

\(\ z_(1)+z_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\right)+i\left(y_(1)+y_(2)\right)=(-7+ 13)+i(5-4)=6+i \)

Vastus

\(\ z_(1)+z_(2)=6+i \)

Lisateavet kompleksarvude lisamise kohta leiate eraldi artiklist: Kompleksarvude lisamine.

Lahutamine

Kompleksarvude \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) ja \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) lahutamine toimub otsese lahutamise teel tegelikud ja kujuteldavad osad:

\(\ z_(1)-z_(2)=x_(1)+i y_(1)-\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_(1)-x_(2) +\left(i y_(1)-i y_(2)\right)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right ) \)

Ülesanne

leidke kompleksarvude erinevus \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \)

Lahendus.

Leidke kompleksarvude \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \) reaal- ja imaginaarne osa:

\(\ x_(1)=\operaatorinimi(Re) z_(1)=17, x_(2)=\operaatorinimi(Re) z_(2)=15 \)

\(\ y_(1)=\operaatorinimi(Im) z_(1)=-35, y_(2)=\operaatorinimi(Im) z_(2)=5 \)

Seetõttu on kompleksarvude erinevus järgmine:

\(\z_(1)-z_(2)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right)=(17-15) )+i(-35-5)=2-40 i \)

Vastus

\(\ z_(1)-z_(2)=2-40 i \) korrutamine

Kompleksarvude \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) ja \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) korrutamine toimub otse loomise teel arvud algebralisel kujul, võttes arvesse imaginaarühiku omadust \(\i^(2)=-1\) :

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1)+i y_(1)\right) \cdot\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_ (1) \cdot x_(2)+i^(2) \cdot y_(1) \cdot y_(2)+\left(x_(1) \cdot i y_(2)+x_(2) \cdot i y_(1)\parem)=\)

\(\ =\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2 ) \cdot y_(1)\right) \)

Ülesanne

Leia kompleksarvude korrutis \(\ z_(1)=1-5 i \)

Lahendus.

Kompleksarvude kompleks:

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) \cdot y_(1)\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5 )=15-23 i\)

Vastus

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=15-23 i \) jaotus

Kompleksarvude tegur \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) ja \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) määratakse korrutamisega nimetajaga konjugeeritud arvu lugeja ja nimetaja:

\(\ \frac(z_(1))(z_(2))=\frac(x_(1)+i y_(1))(x_(2)+i y_(2))=\frac(\left (x_(1)+i y_(1)\right)\left(x_(2)-i y_(2)\right))(\left(x_(2)+i y_(2)\right)\left (x_(2)-i y_(2)\right))=\frac(x_(1) \cdot x_(2)+y_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2) +y_(2)^(2))+i \frac(x_(2) \cdot y_(1)-x_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)+y_(2 )^(2)) \)

Ülesanne

Arvu 1 jagamiseks kompleksarvuga \(\z=1+2 i\).

Lahendus.

Kuna reaalarvu 1 kujuteldav osa on null, on tegur:

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1 \cdot 1)(1^(2)+2^(2))-i \frac(1 \cdot 2)(1^( 2)+2^(2)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5)\)

Vastus

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

Tunniplaan.

1. Organisatsioonimoment.

2. Materjali esitlus.

3. Kodutöö.

4. Õppetunni kokkuvõtte tegemine.

Tundide ajal

I. Organisatsioonimoment.

II. Materjali esitlus.

Motivatsioon.

Reaalarvude hulga laiendamine seisneb uute (imaginaarsete) arvude lisamises reaalarvudele. Nende arvude kasutuselevõtt on tingitud reaalarvude hulgast negatiivse arvu juure eraldamise võimatusest.

Sissejuhatus kompleksarvu mõistesse.

Kujul kirjutatakse kujuteldavad arvud, millega täiendame reaalarve bi, Kus i on kujuteldav ühik ja i 2 = - 1.

Selle põhjal saame kompleksarvu järgmise definitsiooni.

Definitsioon. Kompleksarv on vormi avaldis a+bi, Kus a Ja b- reaalarvud. Sel juhul on täidetud järgmised tingimused:

a) Kaks kompleksarvu a 1 + b 1 i Ja a 2 + b 2 i võrdne siis ja ainult siis a 1 = a 2, b 1 = b 2.

b) Kompleksarvude liitmine määratakse reegliga:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Kompleksarvude korrutamine määratakse reegliga:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Kompleksarvu algebraline vorm.

Kompleksarvu kirjutamine vormile a+bi nimetatakse kompleksarvu algebraliseks vormiks, kus A- pärisosa, bi on kujuteldav osa ja b- tegelik arv.

Kompleksnumber a+bi loetakse võrdseks nulliga, kui selle tegelik ja mõtteline osa on võrdsed nulliga: a = b = 0

Kompleksnumber a+bi juures b = 0 loetakse kokku langevaks tegelik arv a: a + 0i = a.

Kompleksnumber a+bi juures a = 0 nimetatakse puhtalt imaginaarseks ja tähistatakse bi: 0 + bi = bi.

Kaks kompleksarvu z = a + bi Ja = a – bi, mis erinevad ainult kujuteldava osa märgi poolest, nimetatakse konjugaadiks.

Tehted kompleksarvudega algebralisel kujul.

Kompleksarvudega saab algebralises vormis teha järgmisi toiminguid.

1) Täiendus.

Definitsioon. Kompleksarvude summa z 1 = a 1 + b 1 i Ja z 2 = a 2 + b 2 i nimetatakse kompleksarvuks z, mille reaalosa võrdub reaalosade summaga z 1 Ja z 2, ja imaginaarne osa on arvude mõtteliste osade summa z 1 Ja z 2, see on z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

Numbrid z 1 Ja z 2 nimetatakse terminiteks.

Kompleksarvude liitmisel on järgmised omadused:

1º. Kommutatiivsus: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Assotsiatiivsus: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Kompleksnumber –a –bi nimetatakse kompleksarvu vastandiks z = a + bi. Kompleksarv, kompleksarvu vastand z, tähistatud -z. Kompleksarvude summa z Ja -z võrdne nulliga: z + (-z) = 0

Näide 1: lisage (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Lahutamine.

Definitsioon. Lahutage kompleksarvust z 1 kompleksarv z 2 z, Mida z + z 2 = z 1.

Teoreem. Kompleksarvude erinevus on olemas ja ainulaadne.

Näide 2: Tehke lahutamine (4 – 2i) – (-3 + 2i).

(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.

3) Korrutamine.

Definitsioon. Kompleksarvude korrutis z 1 =a 1 + b 1 i Ja z 2 =a 2 + b 2 i nimetatakse kompleksarvuks z, mis on määratletud võrdsusega: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Numbrid z 1 Ja z 2 nimetatakse teguriteks.

Kompleksarvude korrutamisel on järgmised omadused:

1º. Kommutatiivsus: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Assotsiatiivsus: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Korrutamise jaotus liitmise suhtes:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi) (a – bi) = a 2 + b 2- tegelik arv.

Praktikas toimub kompleksarvude korrutamine vastavalt reeglile, mille kohaselt korrutatakse summa summaga ning eraldatakse reaal- ja kujuteldavad osad.

Järgmises näites käsitleme kompleksarvude korrutamist kahel viisil: reegli järgi ja summa korrutamisega summaga.

Näide 3: Korrutage (2 + 3i) (5–7i).

1 viis. (2 + 3i) (5 - 7i) = (2 × 5 - 3 × (- 7)) + (2 × (- 7) + 3 × 5) i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) )i = 31 + i.

2. meetod. (2 + 3i) (5–7i) = 2 × 5 + 2 × (- 7i) + 3i × 5 + 3i × (- 7i) = = 10–14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Jaoskond.

Definitsioon. Jagage kompleksarv z 1 kompleksarvuks z 2, tähendab sellise kompleksarvu leidmist z, Mida z · z 2 = z 1.

Teoreem. Kompleksarvude jagatis on olemas ja on kordumatu, kui z 2 ≠ 0 + 0i.

Praktikas leitakse kompleksarvude jagatis, korrutades lugeja ja nimetaja nimetaja konjugaadiga.

Lase z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Siis

.

Järgmises näites teostame jagamise, kasutades valemit ja nimetajaga konjugeeritud arvuga korrutamise reeglit.

Näide 4. Leidke jagatis .

5) Positiivse terviku võimsuse tõstmine.

a) Kujutise ühiku astmed.

Võrdsuse ärakasutamine i 2 = -1, on lihtne defineerida kujuteldava ühiku positiivset täisarvu. Meil on:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 jne.

See näitab, et kraadi väärtused i n, Kus n- terve positiivne arv, kordub perioodiliselt, kui indikaator suureneb 4 .

Seega, et numbrit tõsta i positiivse terviku astme puhul peame astendaja jagama 4 ja ehitada i astmele, mille astendaja on võrdne jaotuse ülejäänud osaga.

Näide 5: Arvutage: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1 = 1 – i.

b) Kompleksarvu tõstmine positiivse täisarvu astmeni toimub vastavalt binoomi vastavale astmele tõstmise reeglile, kuna tegemist on identsete komplekstegurite korrutamise erijuhtumiga.

Näide 6: Arvutage: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3 × 4 2 × 2i + 3 × 4 × (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.