Loeng teemal: "Kompleksarvu trigonomeetriline kuju." Kompleksarvude trigonomeetriline kuju Esitab trigonomeetrilisel kujul

3.1. Polaarkoordinaadid

Kasutatakse sageli lennukis polaarkoordinaatide süsteem . See on määratletud, kui punkt O on antud, kutsutud poolus, ja poolusest väljuv kiir (meie jaoks on see telg Ox) – polaartelg. Punkti M asukoht on fikseeritud kahe numbriga: raadius (või raadiuse vektor) ja nurk φ polaartelje ja vektori vahel. Nurka φ nimetatakse polaarnurk; mõõdetuna radiaanides ja loendatuna polaarteljest vastupäeva.

Punkti asukoha polaarkoordinaatide süsteemis annab järjestatud arvupaar (r; φ). Poola juures r = 0, ja φ ei ​​ole määratletud. Kõigi muude punktide jaoks r > 0, ja φ on defineeritud kuni liikmeni, mis on 2π kordne. Sel juhul on arvupaarid (r; φ) ja (r 1 ; φ 1) seotud sama punktiga, kui .

Ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi jaoks xOy Descartes'i koordinaadid punktid on selle kaudu kergesti väljendatavad polaarkoordinaadid järgmisel viisil:

3.2. Geomeetriline tõlgendus kompleksarv

Vaatleme tasapinnal Descartes'i ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi xOy.

Iga kompleksarv z=(a, b) on seotud punktiga tasapinnal koordinaatidega ( x, y), Kus koordinaat x = a, s.t. kompleksarvu reaalosa ja koordinaat y = bi on imaginaarne osa.

Tasand, mille punktid on kompleksarvud, on komplekstasand.

Joonisel kompleksarv z = (a, b) vastab punktile M(x, y).

Harjutus.Joonistage koordinaattasandile kompleksarvud:

3.3. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju

Kompleksarvul tasapinnal on punkti koordinaadid M(x;y). Kus:

Kompleksarvu kirjutamine - kompleksarvu trigonomeetriline vorm.

Kutsutakse numbrit r moodul kompleksarv z ja on määratud . Moodul on mittenegatiivne reaalarv. Sest .

Moodul on null siis ja ainult siis z = 0, st. a = b = 0.

Kutsutakse numbrit φ argument z ja on määratud. Argument z on defineeritud mitmetähenduslikult, nagu polaarnurk polaarkoordinaatide süsteemis, nimelt kuni liikmeni, mis on 2π kordne.

Seejärel aktsepteerime: , kus φ on argumendi väikseim väärtus. See on ilmne

.

Teema sügavamal uurimisel tuuakse sisse abiargument φ*, nii et

Näide 1. Leidke kompleksarvu trigonomeetriline vorm.

Lahendus. 1) vaatleme moodulit: ;

2) otsin φ: ;

3) trigonomeetriline vorm:

Näide 2. Leidke kompleksarvu algebraline vorm .

Siin piisab väärtuste asendamisest trigonomeetrilised funktsioonid ja teisendage väljend:

Näide 3. Leia kompleksarvu moodul ja argument;

1) ;

2) ; φ – 4 kvartali jooksul:

3.4. Tehted kompleksarvudega trigonomeetrilisel kujul

· Liitmine ja lahutamine kompleksarvudega on mugavam sooritada algebraline vorm:

· Korrutamine– lihtsate trigonomeetriliste teisenduste abil saab näidata, et Korrutamisel korrutatakse arvude moodulid ja lisatakse argumendid: ;

2.3. Trigonomeetriline vorm kompleksarvud

Määratagu vektor komplekstasandil arvuga .

Tähistame φ-ga positiivse pooltelje Ox ja vektori vahelist nurka (nurk φ loetakse positiivseks, kui seda mõõdetakse vastupäeva, ja negatiivseks muidu).

Tähistame vektori pikkust r-ga. Siis . Samuti tähistame

Nullist erineva kompleksarvu z kirjutamine vormile

nimetatakse kompleksarvu z trigonomeetriliseks vormiks. Arvu r nimetatakse kompleksarvu z mooduliks ja arvu φ nimetatakse selle kompleksarvu argumendiks ja tähistatakse Arg z-ga.

Kompleksarvu kirjutamise trigonomeetriline vorm - (Euleri valem) - kompleksarvu kirjutamise eksponentsiaalne vorm:

Kompleksarvul z on lõpmata palju argumente: kui φ0 on arvu z mis tahes argument, siis kõik ülejäänud saab leida valemiga

Kompleksarvu puhul pole argumenti ja trigonomeetrilist vormi määratletud.

Seega on nullist erineva kompleksarvu argument võrrandisüsteemi mis tahes lahend:

(3)

Kompleksarvu z argumendi väärtust φ, mis rahuldab võrratusi, nimetatakse põhiväärtuseks ja tähistatakse arg z-ga.

Argumendid Arg z ja arg z on seotud

, (4)

Valem (5) on süsteemi (3) tagajärg, mistõttu kõik kompleksarvu argumendid rahuldavad võrdsust (5), kuid mitte kõik võrrandi (5) lahendid φ pole arvu z argumendid.

Nullist erineva kompleksarvu argumendi põhiväärtus leitakse valemite järgi:

Trigonomeetrilisel kujul kompleksarvude korrutamise ja jagamise valemid on järgmised:

. (7)

Kompleksarvu tõstmisel loomuliku astmeni kasutatakse Moivre'i valemit:

Kompleksarvu juure eraldamisel kasutatakse valemit:

, (9)

kus k = 0, 1, 2, …, n-1.

Ülesanne 54. Arvuta, kus .

Kujutagem ette selle väljendi lahendust demonstratiivne vorm kompleksarvu kirjutamine: .

Kui siis.

Siis , . Seetõttu siis Ja , Kus.

Vastus: , kell .

Ülesanne 55. Kirjutage kompleksarvud trigonomeetrilisel kujul:

A) ; b) ; V) ; G) ; d) ; e) ; ja) .

Kuna kompleksarvu trigonomeetriline kuju on , siis:

a) Kompleksarvus: .

,

Sellepärast

b) , Kus,

G) , Kus,

e) .

ja) , A , See.

Sellepärast

Vastus: ; 4; ; ; ; ; .

Ülesanne 56. Leia kompleksarvu trigonomeetriline kuju

.

lase , .

Siis , , .

Alates ja , , siis , ja

Seetõttu, seega

Vastus: , Kus.

Ülesanne 57. Kasutades kompleksarvu trigonomeetrilist kuju, tee järgmised toimingud: .

Kujutame ette numbreid ja trigonomeetrilisel kujul.

1), kus Siis

Leidke peamise argumendi väärtus:

Asendame väärtused ja avaldisesse, saame

2) , kus siis

Siis

3) Leiame jagatise

Eeldades, et k = 0, 1, 2, saame soovitud juure kolm erinevat väärtust:

Kui siis

kui siis

kui siis .

Vastus: :

:

: .

Ülesanne 58. Olgu , , , erinevad kompleksarvud ja . Tõesta seda

a) number on kehtiv positiivne arv;

b) võrdsus kehtib:

a) Esitame need kompleksarvud trigonomeetrilisel kujul:

Sest .

Teeskleme seda. Siis

.

Viimane avaldis on positiivne arv, kuna siinusmärgid sisaldavad intervalli numbreid.

alates numbrist tõeline ja positiivne. Tõepoolest, kui a ja b on kompleksarvud ja on reaalsed ja suuremad kui null, siis .

Pealegi,

seega on nõutav võrdsus tõestatud.

Ülesanne 59. Kirjutage arv algebralisel kujul .

Esitame arvu trigonomeetrilisel kujul ja seejärel leiame selle algebralise kuju. Meil on . Sest saame süsteemi:

See tähendab võrdsust: .

Rakendades Moivre'i valemit: ,

saame

Leitakse antud arvu trigonomeetriline kuju.

Kirjutame nüüd selle arvu algebralisel kujul:

.

Vastus: .

Ülesanne 60. Leia summa , ,

Mõelgem summale

Moivre'i valemit rakendades leiame

See summa on n liikme summa geomeetriline progressioon koos nimetajaga ja esimene liige .

Rakendades sellise progressi liikmete summa valemit, saame

Isoleerides viimase avaldise imaginaarse osa, leiame

Reaalosa eraldamisel saame ka järgmise valemi: , , .

Ülesanne 61. Leia summa:

A) ; b) .

Newtoni astendamise valemi järgi on meil

Kasutades Moivre'i valemit leiame:

Võrdsustades saadud avaldiste tegelikud ja kujuteldavad osad, saame:

Ja .

Neid valemeid saab kompaktsel kujul kirjutada järgmiselt:

,

, kus on arvu a täisarvuline osa.

Ülesanne 62. Leia kõik , mille jaoks .

Kuna , siis, kasutades valemit

, Juurte ekstraheerimiseks saame ,

Seega , ,

, .

Arvudele vastavad punktid asuvad raadiusega 2 ringi sisse kirjutatud ruudu tippudes, mille keskpunkt on punktis (0;0) (joonis 30).

Vastus: , ,

, .

Ülesanne 63. Lahenda võrrand , .

Tingimuse järgi; Sellepärast antud võrrand sellel pole juurt ja seetõttu on see võrrandiga samaväärne.

Selleks, et arv z oleks antud võrrandi juur, peab arv olema juur n aste numbrist 1.

Siit järeldame, et algsel võrrandil on võrdustest määratud juured

,

Seega

,

st. ,

Vastus: .

Ülesanne 64. Lahendage võrrand kompleksarvude hulgas.

Kuna arv ei ole selle võrrandi juur, siis on see võrrand võrdne võrrandiga

See tähendab võrrandit.

Kõik selle võrrandi juured saadakse valemist (vt ülesannet 62):

; ; ; ; .

Ülesanne 65. Joonistage komplekstasandile punktide hulk, mis rahuldavad võrratusi: . (2. viis probleemi 45 lahendamiseks)

Lase .

Identsete moodulitega kompleksarvud vastavad tasandi punktidele, mis asuvad ringjoonel, mille keskpunkt on alguspunktis, seega ebavõrdsus rahuldavad kõik punktid avatud rõngast, mida piiravad ringid, mille alguspunktis on ühine keskpunkt ja raadiused ning (joon. 31). Vastagu mõni komplekstasandi punkt arvule w0. Number , mille moodul on mitu korda väiksem kui moodul w0, argument, on suurem argument w0. Geomeetrilisest vaatenurgast võib w1-le vastava punkti saada, kasutades homoteeti, mille keskpunkt on alguspunktis ja koefitsient, samuti pöörde alguspunkti suhtes nurga võrra vastupäeva. Nende kahe teisenduse rakendamisel rõnga punktidele (joonis 31) muutub viimane rõngaks, mida piiravad ringid, millel on sama keskpunkt ja raadiused 1 ja 2 (joonis 32).

Teisendamine rakendatakse paralleelse ülekande abil vektorisse. Punktis oleva keskpunktiga rõnga viimisel näidatud vektorisse saame sama suurusega rõnga, mille keskpunkt on punktis (joonis 22).

Kavandatud meetod, mis kasutab tasapinna geomeetriliste teisenduste ideed, on ilmselt vähem mugav kirjeldada, kuid on väga elegantne ja tõhus.

Ülesanne 66. Leia, kui .

Laske siis ja . Esialgne võrdsus saab vormi . Kahe kompleksarvu võrdsuse tingimusest saame , , millest , . Seega,.

Kirjutame arvu z trigonomeetrilisel kujul:

, Kus,. Moivre valemi järgi leiame .

Vastus: 64.

Ülesanne 67. Kompleksarvu jaoks leia kõik sellised kompleksarvud, et , ja .

Esitame arvu trigonomeetrilisel kujul:

. Siit, . Saadud arvu puhul võib olla võrdne või .

Esimesel juhul , teises

.

Vastus: , .

Ülesanne 68. Leia arvude summa nii, et . Palun märkige üks neist numbritest.

Pange tähele, et juba ülesande sõnastusest võib aru saada, et võrrandi juurte summa võib leida ilma juuri arvutamata. Tõepoolest, võrrandi juurte summa on koefitsient jaoks , mis on võetud vastupidise märgiga (üldistatud Vieta teoreem), st.

Õpilased, kooli dokumentatsioon, teha järeldusi meisterlikkuse astme kohta see kontseptsioon. Tehke kokkuvõte matemaatilise mõtlemise tunnuste uurimisest ja kompleksarvu mõiste kujunemise protsessist. Meetodite kirjeldus. Diagnostika: I etapp. Vestlus viidi läbi matemaatikaõpetajaga, kes õpetab 10. klassis algebrat ja geomeetriat. Vestlus leidis aset pärast seda, kui algusest oli mõnda aega möödas...

Resonants" (!)), mis sisaldab ka hinnangut enda käitumine. 4. Kriitiline hindamine oma arusaama olukorrast (kahtlused). 5. Lõpuks õiguspsühholoogia soovituste kasutamine (advokaat arvestab sooritatud ametialaste tegevuste psühholoogilisi aspekte – professionaalne psühholoogiline valmisolek). Vaatleme nüüd juriidiliste faktide psühholoogilist analüüsi. ...

Trigonomeetrilise asendamise matemaatika ja väljatöötatud õppemetoodika efektiivsuse testimine. Tööetapid: 1. Valikkursuse väljatöötamine teemal „Trigonomeetrilise asendustöö rakendamine algebraülesannete lahendamisel“ süvamatemaatikaklasside õpilastega. 2. Väljatöötatud valikkursuse läbiviimine. 3. Diagnostilise testi läbiviimine...

Kognitiivsed ülesanded on mõeldud ainult olemasolevate õppevahendite täiendamiseks ja peavad olema sobivas kombinatsioonis kõigi traditsiooniliste vahendite ja elementidega haridusprotsess. Õpieesmärkide erinevus õpetamisel humanitaarteadused täpsetest, matemaatilistest probleemidest on ainult see, et ajaloolistes ülesannetes puuduvad valemid, ranged algoritmid jne, mis raskendab nende lahendamist. ...

KEERULISED NUMBRID XI

§ 256. Kompleksarvude trigonomeetriline kuju

Olgu kompleksarv a + bi vastab vektorile O.A.> koordinaatidega ( a, b ) (vt joonis 332).

Tähistame selle vektori pikkust tähega r ja nurk, mille see teljega moodustab X , läbi φ . Siinuse ja koosinuse määratluse järgi:

a / r =cos φ , b / r = patt φ .

Sellepärast A = r cos φ , b = r patt φ . Aga antud juhul kompleksarv a + bi võib kirjutada järgmiselt:

a + bi = r cos φ + ir patt φ = r (cos φ + i patt φ ).

Nagu teate, on mis tahes vektori pikkuse ruut võrdne selle koordinaatide ruutude summaga. Sellepärast r 2 = a 2 + b 2, kust r = √a 2 + b 2

Niisiis, mis tahes kompleksarv a + bi saab esitada kujul :

a + bi = r (cos φ + i patt φ ), (1)

kus r = √a 2 + b 2 ja nurk φ määratakse tingimuse järgi:

Sellist kompleksarvude kirjutamise vormi nimetatakse trigonomeetriline.

Number r valemis (1) nimetatakse moodul ja nurk φ - argument, kompleksarv a + bi .

Kui kompleksarv a + bi ei ole võrdne nulliga, siis on selle moodul positiivne; kui a + bi = 0, siis a = b = 0 ja siis r = 0.

Iga kompleksarvu moodul määratakse üheselt.

Kui kompleksarv a + bi ei ole võrdne nulliga, siis määratakse selle argument valemitega (2) kindlasti kuni 2-ga jaguva nurgani π . Kui a + bi = 0, siis a = b = 0. Sel juhul r = 0. Valemist (1) on seda lihtne argumendina mõista φ sel juhul saate valida mis tahes nurga: lõppude lõpuks iga jaoks φ

0 (cos φ + i patt φ ) = 0.

Seetõttu on null argument määratlemata.

Kompleksarvu moodul r mõnikord tähistatakse | z |, ja argument on arg z . Vaatame mõnda näidet kompleksarvude esitamisest trigonomeetrilisel kujul.

Näide. 1. 1 + i .

Leiame mooduli r ja argument φ see number.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Seetõttu patt φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, kust φ = π / 4 + 2nπ .

Seega

1 + i = √ 2 ,

Kus P - mis tahes täisarv. Tavaliselt valitakse kompleksarvu argumendi lõpmatust väärtuste hulgast üks, mis jääb vahemikku 0 kuni 2 π . Sel juhul on see väärtus π / 4 . Sellepärast

1 + i = √ 2 (maks π / 4 + i patt π / 4)

Näide 2. Kirjutage kompleksarv trigonomeetrilisel kujul √ 3 - i . Meil on:

r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3/2, sin φ = - 1 / 2

Seega kuni nurgani, mis jagub 2-ga π , φ = 11 / 6 π ; seega,

√ 3 - i = 2 (cos 11/6 π + i patt 11/6 π ).

Näide 3 Kirjutage kompleksarv trigonomeetrilisel kujul i.

Kompleksnumber i vastab vektorile O.A.> , mis lõpeb telje punktis A juures ordinaadiga 1 (joonis 333). Sellise vektori pikkus on 1 ja nurk, mille see teeb x-teljega, on võrdne π / 2. Sellepärast

i =cos π / 2 + i patt π / 2 .

Näide 4. Kirjutage kompleksarv 3 trigonomeetrilisel kujul.

Kompleksarv 3 vastab vektorile O.A. > X abstsiss 3 (joonis 334).

Sellise vektori pikkus on 3 ja nurk, mille ta teeb x-teljega, on 0. Seega

3 = 3 (cos 0 + i patt 0),

Näide 5. Kirjutage kompleksarv -5 trigonomeetrilisel kujul.

Kompleksarv -5 vastab vektorile O.A.> mis lõpeb telje punktis X abstsissiga -5 (joonis 335). Sellise vektori pikkus on 5 ja nurk, mille see moodustab x-teljega, on võrdne π . Sellepärast

5 = 5 (tas π + i patt π ).

Harjutused

2047. Kirjutage need kompleksarvud trigonomeetrilisel kujul, määratledes nende moodulid ja argumendid:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Märkige tasapinnal kompleksarve esindavate punktide hulk, mille moodul r ja argumendid φ vastavad tingimustele:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Kas arvud võivad korraga olla kompleksarvu moodulid? r Ja - r ?

2050. Kas kompleksarvu argument võib samaaegselt olla ka nurgad? φ Ja - φ ?

Esitage need kompleksarvud trigonomeetrilisel kujul, määratledes nende moodulid ja argumendid:

2051*. 1 + cos α + i patt α . 2054*. 2 (cos 20° - i sin 20°).

2052*. patt φ + i cos φ . 2055*. 3 (- cos 15° - i sin 15°).

Loeng

Kompleksarvu trigonomeetriline kuju

Plaan

1. Kompleksarvude geomeetriline esitus.

2. Kompleksarvude trigonomeetriline tähistus.

3. Tegevused kompleksarvudega trigonomeetrilisel kujul.

Kompleksarvude geomeetriline esitus.

a) Kompleksarvud esitatakse tasapinna punktidega vastavalt järgmisele reeglile: a + bi = M ( a ; b ) (joonis 1).

1. pilt

b) Kompleksarvu saab esitada vektoriga, mis algab punktistKOHTA ja lõpp antud punktis (joonis 2).

Joonis 2

Näide 7. Kompleksarve esindavate punktide konstrueerimine:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (joonis 3).

Joonis 3

Kompleksarvude trigonomeetriline tähistus.

Kompleksnumberz = a + bi saab määrata raadiuse vektori abil koordinaatidega( a ; b ) (joonis 4).

Joonis 4

Definitsioon . Vektori pikkus , mis esindab kompleksarvuz , nimetatakse selle arvu mooduliks ja tähistatakse võir .

Mis tahes kompleksarvu jaoksz selle moodulr = | z | määratakse üheselt valemiga .

Definitsioon . Reaaltelje positiivse suuna ja vektori vahelise nurga suurus , mis tähistab kompleksarvu, nimetatakse selle kompleksarvu argumendiks ja seda tähistatakseA rg z võiφ .

Kompleksarvu argumentz = 0 määramata. Kompleksarvu argumentz≠ 0 – mitme väärtusega suurus ja määratakse tähtaja täpsusega2πk (k = 0; -1; 1; -2; 2; …): Arg z = arg z + 2πk , Kusarg z – intervallis sisalduva argumendi põhiväärtus(-π; π] , see on-π < arg z ≤ π (mõnikord võetakse argumendi põhiväärtuseks intervallile kuuluv väärtus .

See valem, kuir =1 mida sageli nimetatakse Moivre'i valemiks:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Näide 11: Arvutage(1 + i ) 100 .

Kirjutame kompleksarvu1 + i trigonomeetrilisel kujul.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + ma patustan )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + ma patustan ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = -2 50 .

4) kompleksarvu ruutjuure eraldamine.

Kui võtta kompleksarvust ruutjuura + bi meil on kaks juhtumit:

Kuib >o , See ;