Kootangensi x tuletis. Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised: puutuja, siinus, koosinus jt. Trigonomeetriliste funktsioonide tuletisvalemid

Tuletis muutuja x suhtes x kotangensist võrdub miinus ühega jagatud siinuse x ruuduga:
(ctg x)′ =.

Kootangentsi tuletise valemi tuletamine

Kootangensi tuletise valemi tuletamiseks kasutame järgmisi matemaatilisi fakte:
1) Kootangensi väljendamine koosinuse ja siinuse kaudu:
(1) ;
2) Koosinustuletise väärtus:
(2) ;
3) Siinuse tuletise väärtus:
(3) ;
4) Jagatise tuletisvalem:
(4) ;
5) Trigonomeetriline valem:
(5) .

Rakendame neid valemeid ja reegleid kotangensi tuletisele.

.

Nii saime kotangensi tuletise valemi.

Tuletismurru valem (4) kehtib muutuja x nende väärtuste puhul, mille jaoks on funktsioonide tuletised ja mille puhul murdosa nimetaja ei kao:
.
Meie puhul
, . Kuna koosinuse ja siinuse tuletised on määratletud muutuja x kõigi väärtuste jaoks, kehtib kotangensi tuletise valem kõigi x kohta, välja arvatud punktid, kus siinus on võrdne nulliga. See tähendab, välja arvatud punktid
,
kus on täisarv.
Funktsioon ise y = ctg x defineeritud kõigi x jaoks, välja arvatud punktid
.
Sellepärast kotangensi tuletis on defineeritud kogu kotangensi funktsiooni definitsioonipiirkonna ulatuses.

Kõrgemat järku tuletisväärtpaberid

Kaastangensi y = n-ndat järku tuletise lihtne valem ctg x, Ei. Kuid kõrgema järgu tuletisinstrumentide arvutamist saab lihtsustada. Protsessi ennast saab taandada polünoomi eristamine.

Selleks väljendame kotangensi tuletist kotangensi enda kaudu:
.
Niisiis leidsime:
(6) .

Leiame võrrandi (6) vasaku ja parema külje tuletised ja rakendame kompleksfunktsiooni eristamise reeglit. Saame teist järku tuletis:
.
Asendame (6):
(7) .

Leiame kolmanda järgu tuletise. Selleks diferentseerime võrrandi (7), rakendame kompleksfunktsiooni diferentseerimise reeglit ja kasutame esimese tuletise jaoks avaldist (6):
.

Sarnasel viisil leiame neljanda ja viienda järgu tuletised:

;

.

Üldiselt, n-ndat järku tuletis, kotangensi funktsiooni muutujas x , saab esitada polünoomina kotangensi astmetes:
.
Selle polünoomi koefitsiendid on seotud kordusseosega:
,
Kus
; ;
.

Üldvalem

Kujutagem ette eristamise protsessi ühe valemiga. Selleks pange tähele
.
Siis on kotangensi n-s tuletis järgmine kuju:
,
Kus.

Kõige sagedamini esitatavad küsimused

Kas antud näidise järgi on võimalik dokumendile templit teha? Vastus Jah, see on võimalik. Saatke meie e-posti aadressile skaneeritud koopia või hea kvaliteediga foto ja me teeme vajaliku duplikaadi.

Milliseid maksetüüpe te aktsepteerite? Vastus Dokumendi eest saate tasuda kulleri kättesaamisel pärast diplomi täitmise õigsuse ja täitmise kvaliteedi kontrollimist. Seda saab teha ka sularahateenust pakkuvate postiettevõtete kontorites.
Kõik kohaletoimetamise ja dokumentide eest tasumise tingimused on kirjeldatud jaotises “Makse ja kohaletoimetamine”. Samuti oleme valmis kuulama teie ettepanekuid dokumendi tarne- ja tasumise tingimuste osas.

Kas ma võin olla kindel, et peale tellimuse esitamist ei kao te minu rahaga kuhugi? Vastus Omame üsna pikaajalist kogemust diplomite valmistamise alal. Meil on mitu veebisaiti, mida pidevalt uuendatakse. Meie spetsialistid töötavad riigi erinevates osades, koostades päevas üle 10 dokumendi. Aastate jooksul on meie dokumendid aidanud paljudel inimestel lahendada tööhõiveprobleeme või liikuda kõrgemapalgalistele töökohtadele. Oleme pälvinud klientide seas usalduse ja tunnustuse, seega pole meil selleks absoluutselt põhjust. Pealegi on seda lihtsalt füüsiliselt võimatu teha: maksate tellimuse eest siis, kui saate selle kätte, ettemaksu pole.

Kas ma saan tellida mis tahes ülikooli diplomi? Vastus Üldiselt jah. Oleme selles valdkonnas tegutsenud peaaegu 12 aastat. Selle aja jooksul moodustati peaaegu täielik andmebaas peaaegu kõigi riigi ülikoolide ja erinevate väljaandmise aastate kohta välja antud dokumentidest. Kõik, mida vajate, on valida ülikool, eriala, dokument ja täita tellimisvorm.

Mida teha, kui leiate dokumendist kirjavigu ja vigu? Vastus Meie kullerilt või postiettevõttelt dokumendi saamisel soovitame hoolikalt kontrollida kõiki üksikasju. Kirjavea, vea või ebatäpsuse avastamisel on õigus diplomile mitte järele tulla, kuid avastatud puudustest tuleb teatada kullerile isiklikult või kirjalikult e-kirja teel.
Parandame dokumendi esimesel võimalusel ja saadame selle uuesti määratud aadressile. Saatmise tasub loomulikult meie firma.
Selliste arusaamatuste vältimiseks saadame enne originaalvormi täitmist kliendile e-kirjaga tulevase dokumendi maketi lõpliku versiooni kontrollimiseks ja kinnitamiseks. Enne dokumendi kulleriga või postiga saatmist teeme ka täiendavaid fotosid ja videoid (ka ultraviolettvalguses), et teil oleks selge ettekujutus, mida lõpuks saate.

Mida peaksin tegema, et teie ettevõttest diplom tellida? Vastus Dokumendi (tunnistus, diplom, akadeemiline tunnistus jne) tellimiseks peate täitma veebipõhise tellimisvormi meie veebisaidil või sisestama oma e-posti aadressi, et saaksime teile saata taotlusvormi, mille peate täitma ja tagasi saatma meile.
Kui te ei tea, mida tellimislehe/ankeedi mõnele väljale märkida, jätke need tühjaks. Seetõttu täpsustame kogu puuduva info telefoni teel.

Viimased arvustused

Torywild:

Otsustasin osta teie ettevõttest diplomi, kui kolisin teise linna ja ei leidnud oma diplomit oma asjade hulgast. Ilma temata poleks mind heale ja hästitasustatud tööle võetud. Teie konsultant kinnitas mulle, et seda teavet ei avalikustata ja keegi ei erista dokumenti originaalist. Polnud kahtlusi, aga pidin riskima. Mulle meeldis, et ettemaksu ei nõuta. Üldiselt sain diplomi õigel ajal kätte ja petta mind ei saanud. Aitäh!

Oksana Ivanovna:

Kui mu diplom varastati, olin kohutavalt ärritunud. Lõppude lõpuks vallandati mind just sel ajal ja nüüd on peaaegu võimatu head tööd leida ilma kõrghariduse diplomita. Õnneks soovitas naaber teie organisatsiooniga ühendust võtta. Alguses olin skeptiline, kuid otsustasin riskida. Helistasin firmajuhile ja selgitasin oma olukorda. Ja mul on vedanud! Nad tegid kõik kiiresti ja mis kõige tähtsam, nad lubasid minu saladust mitte avaldada. Olin mures, et see, et ma diplomi ostsin, ei tule hiljem välja.

Masha Kutenkova:

Aitäh töö eest! Diplomi tellisin 1991. aastast. Kui hakati dokumente üles tõstma, selgus, et kogemusi on vähe ning vaja on ka haridust kinnitavat paberit. Mul ei olnud seda ja ülemus teadis seda ning ta ise soovitas teie ettevõtet (ilmselt pole ma töötaja moodi). Dokumendil juhtis ta mulle üksikasju – öeldakse, mis aastatel nad tinti või tinti kasutavad, allkirja paksuse jne. Täname täpsuse ja kvaliteedi eest!

LenOK:

Olles lugenud lugusid häbiväärsetest vallandamistest töötajatest, kelle diplomid trükiti värviprinterile, läksin ülikooli kandideerima. Paraku pole eelarvet, õppimiseks raha ega seansside eest tasumiseks raha, nii et pidin riskima. Kuigi mul on väga hea meel, et teie seltskonnaga kohtusin. Kuigi mind praktilise bloki ebaõnnestumise tõttu teie diplomiga tööle ei võetud, pole see teie süü. Niipea, kui leian uue koha, tulen kohe teie juurde, ilma viivituseta!

Jerry Terry:

Vaadates, millise piinlikkusega kolleeg võltsidiplomi pärast töölt välja visati, oli hirmus tema eeskuju võtta. Kui poleks minu ristiema, kes teilt tellis, poleks ma riskinud. Ta kinnitas, et siin on kõik sujuv ja minu nimi on igal pool, kus vaja. Mul oli 4 päeva aega kõike teha. Täname teid kiiruse eest – lõpetasime selle 3-ga ja suutsime põhjalikult uurida ka dokumentide võltsimise meetodeid, kuid teie vorm ei kvalifitseeru võltsinguks, mis tähendab, et see läheb originaaliks.

Andrey:

Ma poleks kunagi arvanud, et pean diplomi ostma. Pärast kooli läks mu tütar Poolasse tööle, kui ta 5 aastat hiljem naasis, tahtis ta saada tööd kohalikus moemajas rõivadisainerina. Ilma diplomita ei tahtnud teda keegi tööle võtta. Ta mõistis, et kui ta seda tööd ei saa, lahkub ta uuesti. Veetsin õhtu internetis surfates ja hommikul olin juba tütre dokumentidega kontoris. Nädal hiljem võttis ta temalt diplomi kaasa ja naine jäi lõpuks oma linna soovitud ametikohale tööle. Sa ei kujuta ette, kui tänulik ma sulle olen!

Geomeetria ja matemaatika kursusest alates on koolilapsed harjunud sellega, et tuletise mõiste edastatakse neile nii kujundi ala, diferentsiaalide, funktsioonide piiride kui ka piiride kaudu. Proovime vaadelda tuletise mõistet teise nurga alt ja teha kindlaks, kuidas saab tuletist ja trigonomeetrilisi funktsioone siduda.

Niisiis, vaatleme mõnda suvalist kõverat, mida kirjeldab abstraktne funktsioon y = f(x).

Kujutagem ette, et graafik on turismimarsruudi kaart. Joonisel kujutatud juurdekasv ∆x (delta x) on teekonna teatud kaugus ja ∆y on tee kõrguse muutus merepinnast.
Siis selgub, et suhe ∆x/∆y iseloomustab marsruudi keerukust marsruudi igal lõigul. Olles selle väärtuse selgeks õppinud, võite julgelt öelda, kas tõus/laskumine on järsk, kas ronimisvarustust läheb vaja ja kas turistid vajavad teatud füüsilist ettevalmistust. Kuid see indikaator kehtib ainult ühe väikese intervalli ∆x korral.

Kui matka korraldaja võtab raja algus- ja lõpp-punkti väärtused, st ∆x on võrdne marsruudi pikkusega, siis ei saa ta objektiivseid andmeid raskusastme kohta. reisist. Seetõttu on vaja koostada veel üks graafik, mis iseloomustaks teekonna muutuste kiirust ja “kvaliteeti”, teisisõnu määraks iga marsruudi “meetri” suhte ∆x/∆y.

See graafik on konkreetse tee visuaalne tuletis ja kirjeldab objektiivselt selle muutusi igal huvipakkuval intervallil. Seda on väga lihtne kontrollida, et väärtus ∆x/∆y pole midagi muud kui x ja y konkreetse väärtuse diferentsiaal. Rakendagem diferentseerimist mitte konkreetsetele koordinaatidele, vaid funktsioonile tervikuna:

Tuletis- ja trigonomeetrilised funktsioonid

Trigonomeetrilised funktsioonid on tuletistega lahutamatult seotud. Seda saab mõista järgmiselt jooniselt. Koordinaatide telje joonisel on funktsioon Y = f (x) - sinine kõver.

K (x0; f (x0)) on suvaline punkt, x0 + ∆x on juurdekasv piki OX-telge ja f (x0 + ∆x) on juurdekasv piki OY-telge teatud punktis L.

Tõmbame läbi punktide K ja L sirge ning konstrueerime täisnurkse kolmnurga KLN. Kui liigutate mõtteliselt lõiku LN piki graafikut Y = f (x), siis punktid L ja N kalduvad väärtustele K (x0; f (x0)). Nimetagem seda punkti graafiku tingimuslikuks alguseks - piirväärtuseks, kui funktsioon on lõpmatu, siis vähemalt ühel intervallil on ka see tendents lõpmatu ja selle piirväärtus on 0-le lähedane.

Selle tendentsi olemust saab kirjeldada valitud punkti puutujaga y = kx + b või algfunktsiooni dy tuletise graafikuga - rohelise sirgjoonega.

Aga kus on siin trigonomeetria?! Kõik on väga lihtne, kaaluge täisnurkset kolmnurka KLN. Konkreetse punkti K diferentsiaalväärtus on nurga α või ∠K puutuja:

Nii saame kirjeldada tuletise geomeetrilist tähendust ja selle seost trigonomeetriliste funktsioonidega.

Trigonomeetriliste funktsioonide tuletisvalemid

Siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi teisendused tuletise määramisel tuleb meelde jätta.

Kaks viimast valemit ei ole viga, asi on selles, et lihtsa argumendi ja funktsiooni tuletise määratlemisel on vahe.

Vaatame võrdlustabelit siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi tuletiste valemitega:

Valemid on tuletatud ka arksiinuse, arkosiini, arktangensi ja arkotangensi tuletistele, kuigi neid kasutatakse äärmiselt harva:

Väärib märkimist, et ülaltoodud valemitest ei piisa selgelt tüüpiliste USE ülesannete edukaks lahendamiseks, mida näidatakse trigonomeetrilise avaldise tuletise leidmise konkreetse näite lahendamisel.

Harjutus: On vaja leida funktsiooni tuletis ja leida selle väärtus π/4 jaoks:

Lahendus: y’ leidmiseks on vaja meelde tuletada põhivalemid algfunktsiooni tuletiseks teisendamiseks, nimelt.