Mängud

Kompleksfunktsiooni tuletis on võrdne. Kompleksfunktsiooni tuletis. Võimsuse eksponentsiaalfunktsiooni tuletis

Füüsikaliste ülesannete või näidete lahendamine matemaatikas on täiesti võimatu ilma tuletise ja selle arvutamise meetodite tundmiseta. Tuletis on matemaatilise analüüsi üks olulisemaid mõisteid. Otsustasime tänase artikli pühendada sellele põhiteemale. Mis on tuletis, mis on selle füüsikaline ja geomeetriline tähendus, kuidas arvutada funktsiooni tuletist? Kõik need küsimused saab ühendada üheks: kuidas tuletist aru saada?

Tuletise geomeetriline ja füüsikaline tähendus

Olgu funktsioon f(x) , määratud teatud intervalliga (a, b) . Sellesse intervalli kuuluvad punktid x ja x0. Kui x muutub, muutub funktsioon ise. Argumendi muutmine – selle väärtuste erinevus x-x0 . See erinevus on kirjutatud kui delta x ja seda nimetatakse argumendi juurdekasvuks. Funktsiooni muutus või juurdekasv on funktsiooni väärtuste erinevus kahes punktis. Tuletise määratlus:

Funktsiooni tuletis punktis on antud punktis oleva funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piir, kui viimane kipub olema null.

Muidu võib selle kirjutada nii:

Mis mõtet on sellist piiri leida? Ja siin on, mis see on:

funktsiooni tuletis punktis on võrdne OX-telje vahelise nurga puutujaga ja funktsiooni graafiku puutujaga antud punktis.

Tuletise füüsiline tähendus: tee tuletis aja suhtes on võrdne sirgjoonelise liikumise kiirusega.

Tõepoolest, kõik teavad kooliajast peale, et kiirus on kindel tee x=f(t) ja aeg t . Keskmine kiirus teatud aja jooksul:

Et teada saada liikumiskiirust ajahetkel t0 peate arvutama piirangu:

Esimene reegel: määrake konstant

Konstandi saab tuletismärgist välja võtta. Pealegi tuleb seda teha. Matemaatika näidete lahendamisel võtke seda reeglina - Kui saate väljendit lihtsustada, siis kindlasti lihtsustage seda .

Näide. Arvutame tuletise:

Teine reegel: funktsioonide summa tuletis

Kahe funktsiooni summa tuletis on võrdne nende funktsioonide tuletiste summaga. Sama kehtib ka funktsioonide erinevuse tuletise kohta.

Me ei tõesta seda teoreemi, vaid kaalume pigem praktilist näidet.

Leia funktsiooni tuletis:

Kolmas reegel: funktsioonide korrutise tuletis

Kahe diferentseeruva funktsiooni korrutise tuletis arvutatakse järgmise valemiga:

Näide: leidke funktsiooni tuletis:

Lahendus:

Siin on oluline rääkida keerukate funktsioonide tuletiste arvutamisest. Kompleksfunktsiooni tuletis on võrdne selle funktsiooni tuletise korrutisega vaheargumendi ja vahepealse argumendi tuletisega sõltumatu muutuja suhtes.

Ülaltoodud näites kohtame väljendit:

Sel juhul on vahepealne argument 8x viienda astmeni. Sellise avaldise tuletise arvutamiseks arvutame esmalt välisfunktsiooni tuletise vaheargumendi suhtes ja seejärel korrutame vaheargumendi enda tuletisega sõltumatu muutuja suhtes.

Neljas reegel: kahe funktsiooni jagatise tuletis

Valem kahe funktsiooni jagatise tuletise määramiseks:

Püüdsime nullist rääkida mannekeenide derivaatidest. See teema pole nii lihtne, kui tundub, seega hoiatage: näidetes on sageli lõkse, seega olge tuletisinstrumentide arvutamisel ettevaatlik.

Kõigi selle ja muude teemade kohta tekkivate küsimustega võite pöörduda üliõpilasteeninduse poole. Lühikese ajaga aitame teil lahendada kõige keerulisema testi ja mõista ülesandeid, isegi kui te pole kunagi varem tuletisarvutusi teinud.

Väga lihtne meelde jätta.

Noh, ärme lähe kaugele, mõelgem kohe pöördfunktsioonile. Milline funktsioon on eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioon? Logaritm:

Meie puhul on aluseks number:

Sellist logaritmi (see tähendab logaritmi alusega) nimetatakse "loomulikuks" ja me kasutame selle jaoks spetsiaalset tähistust: kirjutame selle asemel.

Millega see on võrdne? Muidugi, .

Naturaallogaritmi tuletis on samuti väga lihtne:

Näited:

Leia funktsiooni tuletis.
Mis on funktsiooni tuletis?

Vastused: Eksponent- ja naturaallogaritm on tuletise vaatenurgast ainulaadselt lihtsad funktsioonid. Mis tahes muu alusega eksponentsiaalsetel ja logaritmilistel funktsioonidel on erinev tuletis, mida analüüsime hiljem, kui oleme läbinud diferentseerimisreeglid.

Eristamise reeglid

Mille reeglid? Jälle uus termin, jälle?!...

Eristumine on tuletise leidmise protsess.

See on kõik. Kuidas veel ühe sõnaga seda protsessi nimetada? Mitte tuletis... Matemaatikud nimetavad diferentsiaali funktsiooni samaks juurdekasvuks at. See termin pärineb ladina sõnast differentia – erinevus. Siin.

Kõigi nende reeglite tuletamisel kasutame kahte funktsiooni, näiteks ja. Nende juurdekasvu jaoks vajame ka valemeid:

Kokku on 5 reeglit.

Konstant võetakse tuletismärgist välja.

Kui - mingi konstantne arv (konstant), siis.

Ilmselt töötab see reegel ka erinevuse jaoks: .

Tõestame seda. Las see olla või lihtsam.

Näited.

Leidke funktsioonide tuletised:

punktis;
punktis;
punktis;
punktis.

Lahendused:

(tuletis on kõigis punktides sama, kuna see on lineaarne funktsioon, mäletate?);

Toote tuletis

Siin on kõik sarnane: tutvustame uut funktsiooni ja leiame selle juurdekasvu:

Tuletis:

Näited:

Leia funktsioonide ja tuletised;
Leia funktsiooni tuletis punktis.

Lahendused:

Eksponentfunktsiooni tuletis

Nüüd piisab teie teadmistest, et õppida leidma mis tahes eksponentsiaalfunktsiooni tuletist, mitte ainult eksponente (kas olete juba unustanud, mis see on?).

Niisiis, kus on mõni number.

Me juba teame funktsiooni tuletist, seega proovime oma funktsiooni taandada uuele alusele:

Selleks kasutame lihtsat reeglit: . Seejärel:

Noh, see töötas. Proovige nüüd leida tuletis ja ärge unustage, et see funktsioon on keeruline.

Juhtus?

Siin kontrollige ennast:

Valem osutus väga sarnaseks eksponendi tuletisele: nii nagu see oli, jääb see samaks, ilmus ainult tegur, mis on vaid arv, kuid mitte muutuja.

Näited:
Leidke funktsioonide tuletised:

Vastused:

See on lihtsalt arv, mida ei saa ilma kalkulaatorita välja arvutada, st seda ei saa lihtsamal kujul üles kirjutada. Seetõttu jätame selle vastusesse sellisel kujul.

Pange tähele, et siin on kahe funktsiooni jagatis, seega rakendame vastavat diferentseerimisreeglit:

Selles näites on kahe funktsiooni korrutis:

Logaritmilise funktsiooni tuletis

Siin on see sarnane: te juba teate naturaallogaritmi tuletist:

Seetõttu, et leida suvaline logaritm erineva alusega, näiteks:

Peame selle logaritmi taandada baasini. Kuidas muuta logaritmi alust? Loodan, et mäletate seda valemit:

Alles nüüd kirjutame selle asemel:

Nimetaja on lihtsalt konstant (konstantne arv, ilma muutujata). Tuletis saadakse väga lihtsalt:

Eksponentsiaalsete ja logaritmiliste funktsioonide tuletisi ei leidu ühtsest riigieksamist peaaegu kunagi, kuid nende tundmine ei ole üleliigne.

Kompleksfunktsiooni tuletis.

Mis on "keeruline funktsioon"? Ei, see ei ole logaritm ega arctangent. Nendest funktsioonidest võib olla raske aru saada (kuigi kui te peate logaritmi keeruliseks, lugege teemat "Logaritmid" ja kõik on korras), kuid matemaatilisest vaatenurgast ei tähenda sõna "keeruline" "keeruline".

Kujutage ette väikest konveieri: kaks inimest istuvad ja teevad mingeid toiminguid mõne esemega. Näiteks esimene mähib šokolaaditahvli ümbrisesse ja teine seob selle paelaga. Tulemuseks on komposiitobjekt: paelaga mähitud ja seotud šokolaaditahvel. Šokolaaditahvli söömiseks peate tegema vastupidised toimingud vastupidises järjekorras.

Loome sarnase matemaatilise konveieri: kõigepealt leiame arvu koosinuse ja seejärel ruudustage saadud arv. Niisiis, meile antakse number (šokolaad), ma leian selle koosinuse (ümbris) ja siis ruudud, mis ma sain (seo see lindiga). Mis juhtus? Funktsioon. See on näide keerulisest funktsioonist: kui selle väärtuse leidmiseks sooritame esimese toimingu otse muutujaga ja seejärel teise toimingu esimese toiminguga.

Teisisõnu, kompleksfunktsioon on funktsioon, mille argument on teine funktsioon: .

Meie näiteks .

Saame hõlpsasti teha samu samme vastupidises järjekorras: kõigepealt ruudud ja siis otsin saadud arvu koosinust: . Lihtne on arvata, et tulemus on peaaegu alati erinev. Keeruliste funktsioonide oluline tunnus: toimingute järjekorra muutumisel muutub funktsioon.

Teine näide: (sama asi). .

Tegevust, mida me viimati teeme, nimetatakse "väline" funktsioon, ja esmalt sooritatud toiming – vastavalt "sisemine" funktsioon(need on mitteametlikud nimed, kasutan neid ainult materjali lihtsas keeles selgitamiseks).

Proovige ise kindlaks teha, milline funktsioon on väline ja milline sisemine:

Vastused: Sisemiste ja välimiste funktsioonide eraldamine on väga sarnane muutujate muutmisega: näiteks funktsioonis

Millise toimingu me kõigepealt teeme? Kõigepealt arvutame siinuse ja alles siis kuubime. See tähendab, et see on sisemine, kuid väline funktsioon.
Ja algne funktsioon on nende koostis: .
Sisemine: ; väline: .
Eksam: .
Sisemine: ; väline: .
Eksam: .
Sisemine: ; väline: .
Eksam: .
Sisemine: ; väline: .
Eksam: .

Muudame muutujaid ja saame funktsiooni.

Noh, nüüd eraldame oma šokolaaditahvli ja otsime tuletise. Protseduur on alati vastupidine: kõigepealt otsime välisfunktsiooni tuletist, seejärel korrutame tulemuse sisemise funktsiooni tuletisega. Seoses algse näitega näeb see välja järgmine:

Veel üks näide:

Niisiis, sõnastame lõpuks ametliku reegli:

Algoritm kompleksfunktsiooni tuletise leidmiseks:

Tundub lihtne, eks?

Kontrollime näidetega:

Lahendused:

1) Sisemine: ;

Väline: ;

2) Sisemine: ;

(Ära proovi seda praegu lõigata! Koosinuse alt ei tule midagi välja, mäletad?)

3) Sisemine: ;

Väline: ;

Kohe on selge, et tegemist on kolmetasandilise kompleksfunktsiooniga: see on ju juba iseenesest keerukas funktsioon ja me võtame sealt ka juure välja ehk sooritame kolmanda toimingu (paneme šokolaadi ümbrisesse ja lindiga kohvris). Kuid karta pole põhjust: selle funktsiooni “pakkime” ikka lahti samas järjekorras nagu tavaliselt: lõpust.

See tähendab, et kõigepealt eristame juurt, seejärel koosinust ja alles seejärel sulgudes olevat avaldist. Ja siis me korrutame selle kõik.

Sellistel juhtudel on mugav toiminguid nummerdada. See tähendab, kujutame ette, mida me teame. Millises järjekorras teeme selle avaldise väärtuse arvutamiseks toiminguid? Vaatame näidet:

Mida hiljem toiming sooritatakse, seda “välisem” on vastav funktsioon. Toimingute jada on sama, mis varem:

Siin on pesitsus üldiselt 4-tasandiline. Teeme kindlaks tegevussuuna.

1. Radikaalne väljendus. .

2. Juur. .

3. Siinus. .

4. Ruut. .

5. Pane kõik kokku:

DERIVAAT. LÜHIDALT PEAMISEST

Funktsiooni tuletis- funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhe argumendi lõpmatu väikese juurdekasvu korral:

Põhilised tuletised:

Eristamise reeglid:

Konstant võetakse tuletismärgist välja:

Summa tuletis:

Toote tuletis:

Jagatise tuletis:

Kompleksfunktsiooni tuletis:

Algoritm kompleksfunktsiooni tuletise leidmiseks:

Defineerime "sisemise" funktsiooni ja leiame selle tuletise.
Defineerime "välise" funktsiooni ja leiame selle tuletise.
Korrutame esimese ja teise punkti tulemused.

Tuuakse näiteid tuletiste arvutamisest, kasutades kompleksfunktsiooni tuletise valemit.

Sisu

Vaata ka: Kompleksfunktsiooni tuletise valemi tõestus

Põhivalemid

Siin anname näiteid järgmiste funktsioonide tuletiste arvutamise kohta:
; ; ; ; .

Kui funktsiooni saab esitada kompleksfunktsioonina järgmisel kujul:
,
siis selle tuletis määratakse järgmise valemiga:
.
Allolevates näidetes kirjutame selle valemi järgmiselt:
.
Kus.
Siin tähistavad tuletismärgi all olevad alaindeksid või muutujaid, mille järgi eristatakse.

Tavaliselt on tuletiste tabelites toodud funktsioonide tuletised muutujast x. Kuid x on formaalne parameeter. Muutuja x saab asendada mis tahes muu muutujaga. Seetõttu muudame funktsiooni muutujast eristades tuletise tabelis lihtsalt muutuja x muutujaks u.

Lihtsad näited

Näide 1

Leia kompleksfunktsiooni tuletis
.

Kirjutame antud funktsiooni samaväärsel kujul:
.
Tuletisinstrumentide tabelist leiame:
;
.

Vastavalt kompleksfunktsiooni tuletise valemile on meil:
.
siin .

Näide 2

Leia tuletis
.

Võtame tuletismärgist välja konstandi 5 ja tuletiste tabelist leiame:
.

.
siin .

Näide 3

Leia tuletis
.

Me võtame välja konstandi -1 tuletise märgi jaoks ja tuletiste tabelist leiame:
;
Tuletisinstrumentide tabelist leiame:
.

Rakendame kompleksfunktsiooni tuletise valemit:
.
siin .

Keerulisemad näited

Keerulisemates näidetes rakendame keeruka funktsiooni eristamise reeglit mitu korda. Sel juhul arvutame tuletise lõpust. See tähendab, et jagame funktsiooni selle komponentideks ja leiame selle abil lihtsaimate osade tuletised tuletisinstrumentide tabel. Kasutame ka summade eristamise reeglid, produktid ja fraktsioonid. Seejärel teeme asendused ja rakendame kompleksfunktsiooni tuletise valemit.

Näide 4

Leia tuletis
.

Valime valemi lihtsaima osa ja leiame selle tuletise. .

.
Siin oleme kasutanud tähistust
.

Leiame saadud tulemuste abil algfunktsiooni järgmise osa tuletise. Summa eristamiseks rakendame reeglit:
.

Taas rakendame keeruliste funktsioonide diferentseerimise reeglit.

.
siin .

Näide 5

Leia funktsiooni tuletis
.

Valime valemi lihtsaima osa ja leiame tuletisi tabelist selle tuletise. .

Rakendame keeruliste funktsioonide diferentseerimise reeglit.
.
Siin
.

Saadud tulemuste põhjal eristagem järgmist osa.
.
Siin
.

Eristagem järgmist osa.

.
Siin
.

Nüüd leiame soovitud funktsiooni tuletise.

.
Siin
.

Vaata ka:

See tund on pühendatud teemale „Keeruliste funktsioonide eristamine. Probleem matemaatika ühtseks riigieksamiks valmistumise praktikast. Selles õppetükis uuritakse keerukate funktsioonide eristamist. Koostatakse kompleksfunktsiooni tuletistest tabel. Lisaks käsitletakse probleemi lahendamise näidet matemaatika ühtseks riigieksamiks valmistumise praktikast.

Teema: Tuletis

Õppetund: keeruka funktsiooni eristamine. Harjutusülesanne matemaatika ühtseks riigieksamiks valmistumiseks

Kompleksnefunktsiooni me oleme juba eristanud, kuid argument oli lineaarne funktsioon, nimelt me teame, kuidas eristada funktsiooni . Näiteks, . Nüüd leiame samamoodi tuletised kompleksfunktsioonist, kus lineaarfunktsiooni asemel võib olla teine funktsioon.

Alustame funktsiooniga

Niisiis leidsime siinuse tuletise kompleksfunktsioonist, kus siinuse argumendiks oli ruutfunktsioon.

Kui teil on vaja leida tuletise väärtus konkreetses punktis, tuleb see punkt asendada leitud tuletisega.

Niisiis nägime kahes näites, kuidas reegel töötab eristamist keeruline funktsioonid.

3. . Tuletame teile seda meelde.

8. .

Seega lõpetame selles etapis keerukate funktsioonide eristamise tabeli. Lisaks üldistatakse seda muidugi veelgi, kuid nüüd liigume edasi tuletise konkreetsete probleemide juurde.

Ühtse riigieksami ettevalmistamise praktikas pakutakse välja järgmised ülesanded.

Leia funktsiooni miinimum .

ODZ: .

Leiame tuletise. Tuletagem meelde, .

Võrdlustame tuletise nulliga. Punkt sisaldub ODZ-s.

Leiame tuletise konstantse märgi intervallid (funktsiooni monotoonsuse intervallid) (vt joonis 1).

Riis. 1. Funktsiooni monotoonsuse intervallid .

Vaatame punkti ja selgitame välja, kas see on äärmuspunkt. Ekstreemumi piisav märk on see, et tuletis muudab punkti läbimisel märki. Sel juhul muudab tuletis märki, mis tähendab, et tegemist on äärmuspunktiga. Kuna tuletis muudab märgi “-” asemel “+”, siis on see miinimumpunkt. Leiame funktsiooni väärtuse miinimumpunktis: . Joonistame skeemi (vt joonis 2).

Joonis 2. Funktsiooni äärmus .

Intervallil - funktsioon väheneb, sisse - funktsioon suureneb, ekstreemumipunkt on kordumatu. Funktsioon võtab oma väikseima väärtuse ainult punktis .

Tunnis vaatlesime keeruliste funktsioonide eristamist, koostasime tabeli ja vaatasime keeruka funktsiooni eristamise reegleid ning tõime näite tuletise kasutamisest ühtseks riigieksamiks valmistumise praktikast.

1. Algebra ja analüüsi algus, hinne 10 (kahes osas). Õpik üldharidusasutustele (profiilitasand), toim. A. G. Mordkovitš. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra ja analüüsi algus, hinne 10 (kahes osas). Probleemiraamat haridusasutustele (profiilitasand), toim. A. G. Mordkovitš. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra ja matemaatiline analüüs 10. klassile (õpik matemaatika süvaõppega koolide ja klasside õpilastele).- M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitski M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Algebra ja matemaatilise analüüsi süvaõpe.-M.: Haridus, 1997.

5. Matemaatikaülesannete kogumik kõrgkoolidesse kandideerijatele (toimetanud M.I. Skanavi).- M.: Kõrgkool, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraline simulaator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra ja analüüsi algus. 8-11 klass: Juhend koolidele ja klassidele matemaatika süvaõppega (didaktilised materjalid) - M.: Bustard, 2002.

8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Ülesanded algebra ja analüüsipõhimõtete kohta (käsiraamat üldharidusasutuste 10-11 klassi õpilastele) - M.: Prosveštšenia, 2003.

9. Karp A.P. Ülesannete kogumik algebra ja analüüsi põhimõtete kohta: õpik. toetus 10-11 klassile. sügavusega uurinud Matemaatika.-M.: Haridus, 2006.

10. Glazer G.I. Matemaatika ajalugu koolis. 9.-10.klass (käsiraamat õpetajatele).-M.: Haridus, 1983.a

Täiendavad veebiressursid

2. Loodusteaduste portaal ().

Tee seda kodus

Nr 42.2, 42.3 (Algebra ja analüüsi algused, hinne 10 (kahes osas). Ülesannete raamat üldharidusasutustele (profiilitase) toimetanud A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2007.)

Kui järgite definitsiooni, on funktsiooni tuletis punktis funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir y argumendi juurdekasvule Δ x:

Kõik näib olevat selge. Kuid proovige kasutada seda valemit, et arvutada näiteks funktsiooni tuletis f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x patt x. Kui teete kõike definitsiooni järgi, siis pärast paari lehekülge arvutusi jääte lihtsalt magama. Seetõttu on lihtsamaid ja tõhusamaid viise.

Alustuseks märgime, et kogu funktsioonide hulgast saame eristada nn elementaarfunktsioone. Tegemist on suhteliselt lihtsate avaldistega, mille tuletisi on juba ammu arvutatud ja tabeldatud. Selliseid funktsioone on üsna lihtne meeles pidada – koos nende tuletistega.

Elementaarfunktsioonide tuletised

Elementaarsed funktsioonid on kõik allpool loetletud. Nende funktsioonide tuletised peavad olema peast teada. Pealegi pole neid üldse raske pähe õppida - sellepärast on need elementaarsed.

Niisiis, elementaarfunktsioonide tuletised:

Nimi	Funktsioon	Tuletis
Püsiv	f(x) = C, C ∈ R	0 (jah, null!)
Võimsus ratsionaalse astendajaga	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = patt x	cos x
Koosinus	f(x) = cos x	− patt x(miinus siinus)
Tangent	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangent	f(x) = ctg x	− 1 / patt 2 x
Naturaalne logaritm	f(x) = log x	1/x
Suvaline logaritm	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Eksponentfunktsioon	f(x) = e x	e x(midagi ei muutunud)

Kui elementaarfunktsiooni korrutada suvalise konstandiga, on ka uue funktsiooni tuletis kergesti arvutatav:

(C · f)’ = C · f ’.

Üldjuhul saab konstandid tuletise märgist välja võtta. Näiteks:

(2x 3)' = 2 · ( x 3) = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Ilmselgelt saab elementaarseid funktsioone omavahel liita, korrutada, jagada – ja palju muud. Nii tekivad uued funktsioonid, mis pole enam eriti elementaarsed, vaid ka teatud reeglite järgi diferentseeritud. Neid reegleid käsitletakse allpool.

Summa ja vahe tuletis

Olgu funktsioonid antud f(x) Ja g(x), mille tuletised on meile teada. Näiteks võite võtta ülalpool käsitletud elementaarfunktsioonid. Seejärel leiate nende funktsioonide summa ja erinevuse tuletise:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Seega on kahe funktsiooni summa (erinevus) tuletis võrdne tuletiste summaga (erinevus). Tingimusi võib olla rohkem. Näiteks, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Rangelt võttes pole algebras "lahutamise" mõistet. On olemas mõiste "negatiivne element". Seetõttu erinevus f − g saab summaks ümber kirjutada f+ (-1) g, ja siis jääb järele ainult üks valem - summa tuletis.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funktsioon f(x) on kahe elementaarfunktsiooni summa, seega:

f ’(x) = (x 2 + patt x)’ = (x 2)’ + (patt x)’ = 2x+ cos x;

Sarnaselt põhjendame seda funktsiooni g(x). Ainult seal on juba kolm terminit (algebra seisukohalt):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Vastus:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Toote tuletis

Matemaatika on loogikateadus, nii et paljud inimesed usuvad, et kui summa tuletis võrdub tuletiste summaga, siis korrutise tuletis streikima">võrdne tuletisinstrumentide korrutisega. Aga perse! Toote tuletis arvutatakse täiesti erineva valemi abil. Nimelt:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Valem on lihtne, kuid sageli unustatakse. Ja mitte ainult koolilapsed, vaid ka üliõpilased. Tulemuseks on valesti lahendatud probleemid.

Ülesanne. Leia funktsioonide tuletised: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x– 7) · e x .

Funktsioon f(x) on kahe elementaarfunktsiooni korrutis, seega on kõik lihtne:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (maks x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− sin x) = x 2 (3 cos x − x patt x)

Funktsioon g(x) esimene kordaja on veidi keerulisem, kuid üldine skeem ei muutu. Ilmselgelt funktsiooni esimene tegur g(x) on polünoom ja selle tuletis on summa tuletis. Meil on:

g ’(x) = ((x 2 + 7x– 7) · e x)’ = (x 2 + 7x– 7)" · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x– 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Vastus:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x patt x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Pange tähele, et viimases etapis on tuletis faktoriseeritud. Formaalselt pole seda vaja teha, kuid enamik tuletisi ei arvutata iseseisvalt, vaid funktsiooni uurimiseks. See tähendab, et edaspidi võrdsustatakse tuletis nulliga, määratakse selle märgid ja nii edasi. Sellisel juhul on parem avaldis faktoriseerida.

Kui on kaks funktsiooni f(x) Ja g(x) ja g(x) ≠ 0 meid huvitaval hulgal, saame defineerida uue funktsiooni h(x) = f(x)/g(x). Sellise funktsiooni jaoks leiate ka tuletise:

Pole nõrk, ah? Kust tuli miinus? Miks g 2? Ja niimoodi! See on üks keerulisemaid valemeid - ilma pudelita ei saa te sellest aru. Seetõttu on parem seda uurida konkreetsete näidete abil.

Ülesanne. Leia funktsioonide tuletised:

Iga murru lugeja ja nimetaja sisaldavad elementaarfunktsioone, seega vajame ainult jagatise tuletise valemit:

Traditsiooni kohaselt faktoreerime lugeja - see lihtsustab vastust oluliselt:

Keeruline funktsioon ei pruugi olla poole kilomeetri pikkune valem. Näiteks piisab funktsiooni võtmisest f(x) = patt x ja asendada muutuja x, ütleme, edasi x 2 + ln x. See saab korda f(x) = patt ( x 2 + ln x) – see on keeruline funktsioon. Sellel on ka tuletis, kuid seda ei ole võimalik ülalkirjeldatud reeglite abil leida.

Mida ma peaksin tegema? Sellistel juhtudel aitab kompleksfunktsiooni tuletise muutuja ja valemi asendamine:

f ’(x) = f ’(t) · t', Kui x asendatakse t(x).

Reeglina on olukord selle valemi mõistmisega veelgi kurvem kui jagatise tuletisega. Seetõttu on parem ka seda selgitada konkreetsete näidete abil koos iga sammu üksikasjaliku kirjeldusega.

Ülesanne. Leia funktsioonide tuletised: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = patt ( x 2 + ln x)

Pange tähele, et kui funktsioonis f(x) avaldise 2 asemel x+3 saab olema lihtne x, siis saame elementaarfunktsiooni f(x) = e x. Seetõttu teeme asendus: laske 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Otsime kompleksfunktsiooni tuletist, kasutades valemit:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Ja nüüd - tähelepanu! Teostame vastupidise asendamise: t = 2x+ 3. Saame:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Vaatame nüüd funktsiooni g(x). Ilmselgelt tuleb see välja vahetada x 2 + ln x = t. Meil on:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (patt t)’ · t' = cos t · t ’

Vastupidine asendamine: t = x 2 + ln x. Seejärel:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

See on kõik! Nagu viimasest avaldisest näha, on kogu probleem taandatud tuletissumma arvutamisele.

Vastus:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Väga sageli kasutan ma oma tundides termini "tuletis" asemel sõna "alim". Näiteks summa löök on võrdne löökide summaga. Kas see on selgem? See on hea.

Seega taandub tuletise arvutamine samadest löökidest vabanemisele vastavalt ülalkirjeldatud reeglitele. Viimase näitena pöördume tagasi ratsionaalse astendajaga tuletusastme juurde:

(x n)’ = n · x n − 1

Vähesed inimesed teavad seda rollis n võib olla murdarv. Näiteks juur on x 0.5. Mis siis, kui juure all on midagi uhket? Jällegi on tulemuseks keeruline funktsioon - neile meeldib selliseid konstruktsioone testides ja eksamites anda.