Reklaam portaalis

Kaugus punktist tasapinnani. Üksikasjalik teooria koos näidetega (2020) meetod. Vektormeetod

MATEMAATIKA ÜHTSE RIIKEKSMI ÜLESANDED C2 PUNKTIST LENNUKI KAUGUSE LEIDMISEKS

Kulikova Anastasia Jurievna

Matemaatika osakonna 5. kursuse üliõpilane. analüüs, algebra ja geomeetria EI KFU, Vene Föderatsioon, Tatarstani Vabariik, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

teaduslik juhendaja, Ph.D. ped. Teadused, EI KFU dotsent, Venemaa Föderatsioon, Tatarstani Vabariik, Elabuga

Viimastel aastatel on matemaatika ühtse riigieksami ülesannetesse ilmunud ülesanded punktist tasapinnani kauguse arvutamiseks. Käesolevas artiklis vaadeldakse ühe ülesande näitel erinevaid meetodeid punktist tasapinnani kauguse leidmiseks. Erinevate probleemide lahendamiseks saab kasutada sobivaimat meetodit. Olles probleemi ühe meetodi abil lahendanud, saate tulemuse õigsust kontrollida teise meetodi abil.

Definitsioon. Kaugus punktist tasapinnani, mis seda punkti ei sisalda, on sellest punktist antud tasapinnaga tõmmatud risti lõigu pikkus.

Ülesanne. Antud ristkülikukujuline rööptahukas ABKOOSD.A. 1 B 1 C 1 D 1 külgedega AB=2, B.C.=4, A.A. 1 = 6. Leidke kaugus punktist D lennukisse ACD 1 .

1 viis. Kasutades määratlus. Leia kaugus r( D, ACD 1) punktist D lennukisse ACD 1 (joonis 1).

Joonis 1. Esimene meetod

Viime läbi D.H.⊥AC, seega kolme risti teoreemi järgi D 1 H⊥AC Ja (DD 1 H)⊥AC. Viime läbi otsene D.T. risti D 1 H. Otse D.T. asub lennukis DD 1 H, järelikult D.T.⊥A.C.. Seega D.T.⊥ACD 1.

ADC leiame hüpotenuus AC ja kõrgus D.H.

Täisnurksest kolmnurgast D 1 D.H. leiame hüpotenuus D 1 H ja kõrgus D.T.

Vastus:.

2. meetod.Mahu meetod (abipüramiidi kasutamine). Seda tüüpi probleemi saab taandada püramiidi kõrguse arvutamise probleemiks, kus püramiidi kõrgus on nõutav kaugus punktist tasapinnani. Tõesta, et see kõrgus on nõutav kaugus; leidke selle püramiidi ruumala kahel viisil ja väljendage seda kõrgust.

Pange tähele, et selle meetodi puhul ei ole vaja konstrueerida risti etteantud punktist antud tasapinnaga.

Risttahukas on rööptahukas, mille kõik tahud on ristkülikud.

AB=CD=2, B.C.=AD=4, A.A. 1 =6.

Nõutav kaugus on kõrgus h püramiidid ACD 1 D, ülevalt alla langetatud D alusel ACD 1 (joonis 2).

Arvutame püramiidi ruumala ACD 1 D kahel viisil.

Arvutamisel võtame esimesel viisil aluseks ∆ ACD 1 siis

Teisel viisil arvutamisel võtame aluseks ∆ ACD, Siis

Võrdlustame kahe viimase võrdsuse parempoolsed küljed ja saame

Joonis 2. Teine meetod

Täisnurksetest kolmnurkadest ACD, LISAMA 1 , CDD 1 leidke hüpotenuus Pythagorase teoreemi abil

ACD

Arvutage kolmnurga pindala ACD 1 kasutades Heroni valemit

Vastus:.

3 viis. Koordinaatide meetod.

Olgu punkt antud M(x 0 ,y 0 ,z 0) ja lennuk α , mis on antud võrrandiga kirves+kõrval+cz+d=0 ristkülikukujulises Descartes'i koordinaatsüsteemis. Kaugus punktist M tasapinnale α saab arvutada järgmise valemi abil:

Tutvustame koordinaatsüsteemi (joonis 3). Koordinaatide alguspunktis IN;

Otse AB- telg X, sirge Päike- telg y, sirge BB 1 - telg z.

Joonis 3. Kolmas meetod

B(0,0,0), A(2,0,0), KOOS(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Lase ax+kõrval+ cz+ d=0 – tasapinnaline võrrand ACD 1 . Punktide koordinaatide asendamine sellesse A, C, D 1 saame:

Tasapinnaline võrrand ACD 1 võtab vormi

Vastus:.

4 viis. Vektormeetod.

Tutvustame alust (joonis 4) , .

Joonis 4. Neljas meetod

, Konkurss "Esitlus tunni jaoks"

Klass: 11

Tunni esitlus
















Tagasi edasi

Tähelepanu! Slaidide eelvaated on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada kõiki esitluse funktsioone. Kui olete sellest tööst huvitatud, laadige alla täisversioon.

Eesmärgid:

  • õpilaste teadmiste ja oskuste üldistamine ja süstematiseerimine;
  • analüüsi, võrdlemise, järelduste tegemise oskuste arendamine.

Varustus:

  • multimeediumprojektor;
  • arvuti;
  • probleemtekstidega lehed

KLASSI EDU

I. Organisatsioonimoment

II. Teadmiste uuendamise etapp(slaid 2)

Kordame, kuidas määratakse kaugus punktist tasapinnani

III. Loeng(slaidid 3-15)

Selles õppetükis vaatleme erinevaid viise, kuidas leida kaugust punktist tasapinnani.

Esimene meetod: samm-sammult arvutuslik

Kaugus punktist M tasapinnani α:
– võrdne kaugusega tasapinnast α suvalisest punktist P, mis asub sirgel a, mis läbib punkti M ja on paralleelne tasapinnaga α;
– võrdub kaugusega tasapinnast α tasapinnal β asuvast suvalisest punktist P, mis läbib punkti M ja on paralleelne tasapinnaga α.

Lahendame järgmised probleemid:

№1. Leidke kuubis A...D 1 kaugus punktist C 1 tasapinnani AB 1 C.

Jääb välja arvutada segmendi O 1 N pikkuse väärtus.

№2. Leidke korrapärases kuusnurkses prismas A...F 1, mille kõik servad on võrdsed 1-ga, kaugus punktist A tasapinnani DEA 1.

Järgmine meetod: mahu meetod.

Kui püramiidi ABCM ruumala on võrdne V-ga, siis kaugus punktist M tasapinnani α, mis sisaldab ∆ABC, arvutatakse valemiga ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Ülesannete lahendamisel kasutame ühe kujundi mahtude võrdsust, väljendatuna kahel erineval viisil.

Lahendame järgmise probleemi:

№3. Püramiidi DABC serv AD on risti alustasandiga ABC. Leia kaugus A-st servade AB, AC ja AD keskpunkte läbiva tasapinnani, kui.

Probleemide lahendamisel koordinaatide meetod kaugust punktist M tasapinnani α saab arvutada valemiga ρ(M; α) = , kus M(x 0; y 0; z 0) ja tasapind on antud võrrandiga ax + x + cz + d = 0

Lahendame järgmise probleemi:

№4. Leidke ühikkuubis A...D 1 kaugus punktist A 1 tasapinnani BDC 1.

Tutvustame koordinaatide süsteemi, mille alguspunkt on punktis A, y-telg kulgeb piki serva AB, x-telg mööda serva AD ja z-telg piki serva AA 1. Seejärel punktide B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1) koordinaadid
Koostame punkte B, D, C 1 läbiva tasapinna võrrandi.

Siis – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Seetõttu ρ =

Seda tüüpi probleemide lahendamiseks saab kasutada järgmist meetodit tugiprobleemide meetod.

Selle meetodi rakendamine seisneb tuntud referentsülesannete kasutamises, mis formuleeritakse teoreemidena.

Lahendame järgmise probleemi:

№5. Leia ühikkuubis A...D 1 kaugus punktist D 1 tasapinnani AB 1 C.

Vaatame rakendust vektormeetod.

№6. Leidke ühikkuubis A...D 1 kaugus punktist A 1 tasapinnani BDC 1.

Niisiis, vaatlesime erinevaid meetodeid, mida saab seda tüüpi probleemide lahendamiseks kasutada. Ühe või teise meetodi valik sõltub konkreetsest ülesandest ja teie eelistustest.

IV. Rühmatöö

Proovige probleemi erinevatel viisidel lahendada.

№1. Kuubi A...D 1 serv on võrdne . Leia kaugus tipust C tasapinnani BDC 1.

№2. Leidke servaga korrapärases tetraeedris ABCD kaugus punktist A tasapinnani BDC

№3. Regulaarsel kolmnurkprismal ABCA 1 B 1 C 1, mille kõik servad on võrdsed 1-ga, leidke kaugus punktist A tasapinnani BCA 1.

№4. Leidke korrapärases nelinurkses püramiidis SABCD, mille kõik servad on võrdsed 1-ga, kaugus punktist A tasapinnani SCD.

V. Tunni kokkuvõte, kodutöö, refleksioon

Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me sellist teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

  • Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

  • Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta unikaalsete pakkumiste, tutvustuste ja muude sündmuste ja eelseisvate sündmustega.
  • Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
  • Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile meie teenuste kohta soovitusi.
  • Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

  • Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni valitsusasutuste avalike taotluste või taotluste alusel - avaldada oma isikuandmeid. Võime teie kohta teavet avaldada ka juhul, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
  • Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

Vaatleme teatud tasapinda π ja suvalist punkti M 0 ruumis. Valime lennuki jaoks ühik normaalvektor n koos algus mingis punktis M 1 ∈ π ja olgu p(M 0 ,π) kaugus punktist M 0 tasapinnani π. Seejärel (joonis 5.5)

р(М 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)

kuna |n| = 1.

Kui π tasand on antud ristkülikukujuline koordinaatsüsteem koos selle üldvõrrandiga Ax + By + Cz + D = 0, siis selle normaalvektor on vektor koordinaatidega (A; B; C) ja me saame valida

Olgu (x 0 ; y 0 ; z 0) ja (x 1 ; y 1 ; z 1) punktide M 0 ja M 1 koordinaadid. Siis kehtib võrdus Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, kuna punkt M 1 kuulub tasapinnale ja vektori M 1 M 0 koordinaadid on leitavad: M 1 M 0 = (x 0 - x 1 y 0 - y 1; Salvestamine skalaarkorrutis nM 1 M 0 koordinaatide kujul ja teisendades (5.8), saame


kuna Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Seega, et arvutada kaugus punktist tasapinnani, peate asendama punkti koordinaadid tasandi üldvõrrandiga ja seejärel jagama punkti absoluutväärtuse tulemus normaliseeriva teguriga, mis on võrdne vastava normaalvektori pikkusega.