Piirpunkti teoreem. Bolzano-Weierstrassi teoreem. Laiendus suvalise mõõtmega ruumi juhtumile

Definitsioon v.7. Punkti x € R arvuteljel nimetatakse jada (xn) piirpunktiks, kui mis tahes ümbruskonna U (x) ja naturaalarvu N korral on võimalik leida sellesse naabrusse kuuluv element xn, mille arv on suurem kui LG, st. x 6 R - piirpunkt, kui. Teisisõnu, punkt x on (xn) piirpunkt, kui mõni selle naabruskond sisaldab selle jada elemente suvaliselt suurte arvudega, kuigi võib-olla mitte kõik elemendid arvudega n > N. Seetõttu on järgmine väide üsna ilmne . Väide b.b. Kui lim(xn) = 6 6 R, siis b on jada (xn) ainus piirpunkt. Tõepoolest, jada piiri definitsiooni 6.3 kohaselt langevad kõik selle elemendid alates teatud arvust punkti 6 suvaliselt väikesesse naabruskonda ja seetõttu ei saa meelevaldselt suure arvuga elemendid sattuda ühegi teise punkti naabrusesse. . Järelikult on definitsiooni 6.7 tingimus täidetud ainult ühe punkti 6 puhul. Kuid mitte iga jada piirpunkt (mida mõnikord nimetatakse õhukeseks tihendatud punktiks) ei ole selle piir. Seega jadal (b.b) pole piire (vt näide 6.5), kuid sellel on kaks piirpunkti x = 1 ja x = - 1. Jadal ((-1)pp) on kaks lõpmatut punkti +oo ja piirpunktidena - laiendatud arvureaga, mille liitu tähistatakse ühe sümboliga oo. Seetõttu võime eeldada, et lõpmatud piirpunktid langevad kokku ja lõpmatu punkt oo vastavalt (6.29) on selle jada piir. Järjenumbrite rea piirpunktid Weierstrassi testi ja Cauchy kriteeriumi tõestus. Olgu antud jada (jn) ja arvud k moodustavad kasvava positiivsete täisarvude jada. Siis jada (Vnb, kus yn = xkn> nimetatakse algse jada alamjadaks. Ilmselgelt kui (i„) on piiranguks arv 6, siis mis tahes selle alamjada on sama piiriga, kuna alates teatud arvust nii algse jada kui ka selle mis tahes alamjada elemendid langevad punkti 6 mis tahes valitud naabrusse. Samal ajal on alamjada mis tahes piirpunkt ka teoreemi 9. jada piirpunkt piirpunkt, saab valida alamjada, mille piiriks on see piirpunkt. Olgu b siis 6. definitsiooni kohaselt. 7 piirpunkti, iga n jaoks on raadiusega 1/n punkti b naabrusesse U (6, 1/n) kuuluv element. Punktidest ijtj, ...1 ... koosneval alamjadal, kus zjfcn€U(6, 1/n) Vn 6 N, on piirpunkt punktis 6. Tõepoolest, suvalise e > 0 korral saab valida N selline, et. Siis langevad kõik alamjada elemendid, alustades arvust km, punkti 6 ^-naabrusesse U(6, e), mis vastab jada piiri definitsiooni tingimusele 6.3. Tõene on ka vastupidine teoreem. Järjenumbrite rea piirpunktid Weierstrassi testi ja Cauchy kriteeriumi tõestus. Teoreem 8.10. Kui mõnel jadal on alamjada piiranguga 6, siis b on selle jada piirpunkt. Jada piiri definitsioonist 6.3 järeldub, et alates teatud arvust langevad kõik piiriga b elemendid suvalise raadiusega e naabrusesse U(b, ​​​​e), kuna alamjada elemendid on samaaegselt jada (xn) elemendid> elemendid xn jäävad sellesse naabrusse sama paljude suvaliselt suurte arvudega ja see tähendab definitsiooni 6.7 kohaselt, et b on jada (n) piirpunkt. Märkus 0.2. Teoreemid 6.9 ja 6.10 kehtivad ka juhul, kui piirpunkt on lõpmatu, kui U(6, 1 /n) merto naabruskonna tõestamisel käsitleme naabruskonda (või naabrusi). saab eraldada jadast, määratakse järgmise teoreemiga 6.11 (Bolzano - Weierstrass) Iga piiratud jada sisaldab alamjada, mis koondub lõplikule piirile. Olgu kõik jada (an) elemendid arvude a ja 6 vahel, st xn € [a, b] Vn € N. Jagame lõigu [a] , b] pooleks [a, b] sisaldaks neist lõplikku arvu, mis on võimatu. Olgu ] lõigu [a] , 6], mis sisaldab lõputut hulka jada elemente (zn). kui mõlemad pooled on sellised, siis ükskõik milline neist). Seda protsessi jätkates konstrueerime pesastatud segmentide süsteemi bn - an = (6- a)/2P. Pesastatud segmentide põhimõtte kohaselt on kõigi nende segmentide juurde kuuluv punkt x. See punkt on jada (xn) piirpunkt - Tegelikult on iga e-naabruskonna U(x, e) = (xx + e) ​​punkti x jaoks lõik C U(x, e) (see piisab, kui valida n võrratusest (, mis sisaldab lõpmatu arvu jada elemente (sn). Definitsiooni 6.7 kohaselt on x selle jada piirpunkt. Siis on teoreemi 6.9 kohaselt alamjada, mis koondub punktile x. Selle teoreemi tõestuses kasutatud arutlusmeetodit (seda nimetatakse mõnikord Bolzano-Weyer-Strassi lemmaks) ja seostatakse vaadeldavate segmentide järjestikuse poolitamisega on tuntud kui Bolzano meetod. See teoreem lihtsustab oluliselt paljude keerukate teoreemide tõestamist. See võimaldab teil tõestada mitmeid põhiteoreeme erineval (mõnikord lihtsamal) viisil. Lisa 6.2. Weierstrassi testi ja Cauchy kriteeriumi tõestus Esiteks tõestame väidet 6.1 (Weierstrassi test piiratud monotoonse jada konvergentsi jaoks). Oletame, et jada (jn) on mittekahanev. Siis on selle väärtuste hulk ülalpool piiratud ja sellel on teoreemi 2.1 kohaselt supremum, mida tähistame sup(xn)-ga R. Ülimsumma omaduste tõttu (vt 2.7) on jada piirpunktid arv rida Weierstrassi testi ja Cauchy kriteeriumi kohta. Vastavalt definitsioonile 6.1 mittekahaneva jada puhul on meil või Siis > Ny ja (6.34) arvesse võttes saame, mis vastab jada piiri definitsioonile 6.3, s.o. 31im(sn) ja lim(xn) = 66R. Kui jada (xn) on mittekasvav, siis on tõestuse käik sarnane. Liigume nüüd edasi Kochia kriteeriumi piisavuse tõestamisele jada konvergentsi jaoks (vt väide 6.3), kuna kriteeriumi tingimuse vajalikkus tuleneb teoreemist 6.7. Olgu jada (jn) fundamentaalne. Definitsiooni 6.4 kohaselt võib suvalise € > 0 korral leida sellise arvu N(id), millele m^N ja n^N viitavad. Siis, võttes m - N, Vn > N korral saame € £ Kuna vaadeldaval jadal on lõplik arv elemente arvudega, mis ei ületa N, siis (6.35) järeldub, et põhijada on piiratud (võrdluseks vt. teoreemi 6.2 tõestus konvergentse jada piiritlemise kohta ). Piiratud jada väärtuste komplekti jaoks on olemas infimum- ja ülimuslikud piirid (vt teoreem 2.1). Elemendi väärtuste komplekti jaoks n > N tähistame neid tahke vastavalt an = inf xn ja bjy = sup xn. N suurenedes täpne infimum ei vähene ja täpne supremum ei suurene, s.t. . Kas ma saan kliimaseadme? segmendid Pesastatud segmentide põhimõtte kohaselt on ühine punkt, mis kuulub kõikidele segmentidele. Tähistame seda b-ga. Seega, võrdlusest (6. 36) ja (6.37) tulemusena saame, mis vastab jada piiri definitsioonile 6.3, st. 31im(x„) ja lim(sn) = 6 6 R. Bolzano asus uurima fundamentaalseid järjestusi. Kuid tal ei olnud ranget reaalarvude teooriat ja seetõttu ei suutnud ta tõestada põhijada lähenemist. Cauchy tegi seda, pidades enesestmõistetavaks pesastatud segmentide põhimõtet, mida Cantor hiljem põhjendas. Mitte ainult jada konvergentsi kriteeriumile ei anta Cauchy nime, vaid põhijada nimetatakse sageli Cauchy jadaks ja pesastatud segmentide põhimõtet nimetatakse Cantori järgi. Küsimused ja ülesanded 8.1. Tõesta, et: 6.2. Too näiteid mittekonvergentsetest jadadest, mille elemente kuuluvad hulka Q ja R\Q. 0.3. Millistel tingimustel moodustavad aritmeetilise ja geomeetrilise progressiooni liikmed kahanevaid ja kasvavaid jadasid? 6.4. Tõesta tabelist tulenevaid seoseid. 6.1. 6.5. Ehitage näiteid lõpmatutesse punktidesse +oo, -oo, oo kalduvatest jadadest ja näide punktist koonduvast jadast 6 € R. c.v. Kas piiramata jada ei saa olla b.b.? Kui jah, siis too näide. kell 7. Koostage näide positiivsetest elementidest koosnevast lahknevast jadast, millel pole ei lõplikku ega lõpmatut piiri. 6.8. Tõesta korduva valemiga sn+i = sin(xn/2) antud jada (jn) konvergents tingimusel “1 = 1. 6.9. Tõesta, et lim(xn)=09, kui sn+i/xn-»g€ .

Jagage segment [ a 0 ,b 0 ] pooleks kaheks võrdseks segmendiks. Vähemalt üks saadud segment sisaldab lõpmatu arvu jada liikmeid. Tähistame seda [ a 1 ,b 1 ] .

Järgmises etapis kordame protseduuri segmendiga [ a 1 ,b 1 ]: jaga see kaheks võrdseks segmendiks ja vali nende hulgast see, millel asub lõpmatu arv jada liikmeid. Tähistame seda [ a 2 ,b 2 ] .

Protsessi jätkates saame pesastatud segmentide jada

milles iga järgnev on pool eelmisest ja sisaldab lõpmatu arvu jada liikmeid ( x k } .

Segmentide pikkused kipuvad olema nulli:

Pesastatud segmentide Cauchy-Cantori põhimõttel on üks punkt ξ, mis kuulub kõikidesse segmentidesse:

Konstruktsiooni järgi iga segmendi kohta [a m ,b m ] jada liikmeid on lõpmatu arv. Valime järjest

jälgides kasvavate arvude seisundit:

Siis koondub alamjada punkti ξ. See tuleneb asjaolust, et kaugus kuni ξ ei ületa neid sisaldava segmendi pikkust [a m ,b m ] , kus

Laiendus suvalise mõõtmega ruumi juhtumile

Bolzano-Weierstrassi teoreem on kergesti üldistatav suvalise mõõtmega ruumi puhul.

Olgu antud ruumi punktide jada:

(alumine indeks on järjekorraliikme number, ülemine indeks on koordinaadiarv). Kui punktide jada ruumis on piiratud, siis iga koordinaatide arvjada:

ka piiratud ( - koordinaatide number).

Tänu Bolzano-Weirstrassi teoreemi ühemõõtmelisele versioonile jadast ( x k) saame valida punktide alamjada, mille esimesed koordinaadid moodustavad koonduva jada. Saadud alamjadast valime veel kord alamjada, mis koondub piki teist koordinaati. Sel juhul säilib konvergents piki esimest koordinaati, kuna koondub ka iga koonduva jada alamjada. Ja nii edasi.

Pärast n saame teatud sammude jada

mis on alamjada Ja koondub piki iga koordinaate. Sellest järeldub, et see alamjada läheneb.

Lugu

Bolzano-Weierstrassi teoreem (juhuks n= 1) tõestas esmakordselt Tšehhi matemaatik Bolzano 1817. aastal. Bolzano töös toimis see lemmana pideva funktsiooni vaheväärtuste teoreemi tõestamisel, mida nüüd tuntakse Bolzano-Cauchy teoreemina. Kuid need ja teised tulemused, mida Bolzano tõestas ammu enne Cauchyt ja Weierstrassi, jäid märkamatuks.

Vaid pool sajandit hiljem avastas Weierstrass Bolzanost sõltumatult selle teoreemi uuesti ja tõestas. Algselt nimetati seda Weierstrassi teoreemiks, enne kui Bolzano töö sai tuntuks ja aktsepteerituks.

Tänapäeval kannab see teoreem Bolzano ja Weierstrassi nimesid. Seda teoreemi nimetatakse sageli Bolzano-Weierstrassi lemma, ja mõnikord piirpunkti lemma.

Bolzano-Weierstrassi teoreem ja kompaktsuse mõiste

Bolzano-Weierstrassi teoreem kehtestab piiratud hulga huvitava omaduse: iga punktide jada M sisaldab koonduvat alamjada.

Erinevate propositsioonide tõestamisel analüüsis kasutavad nad sageli järgmist tehnikat: nad määravad punktide jada, millel on mõni soovitud omadus, ja seejärel valitakse sellest alamjada, millel see samuti on, kuid mis on juba konvergentne. Näiteks nii tõestatakse Weierstrassi teoreem, et intervallil pidev funktsioon on piiratud ja võtab selle suurima ja väikseima väärtuse.

Sellise tehnika tõhusus üldiselt, aga ka soov laiendada Weierstrassi teoreemi suvalistele meetrilistele ruumidele ajendas prantsuse matemaatikut Maurice Fréchet'd 1906. aastal seda kontseptsiooni tutvustama. kompaktsus. Piiratud hulkade omadus aastal, mille kehtestab Bolzano-Weierstrassi teoreem, seisneb piltlikult öeldes selles, et hulga punktid paiknevad üsna “tihedalt” või “kompaktselt”: olles teinud mööda seda hulka lõpmatu arvu samme, kindlasti tuleb mõnele ruumipunktile nii lähedale kui meile meeldib.

Frechet tutvustab järgmist määratlust: set M helistas kompaktne, või kompaktne, kui iga selle punktide jada sisaldab alamjada, mis koondub selle hulga mõnda punkti. Eeldatakse, et võtteplatsil M mõõdik on määratletud, see tähendab, et see on

Definitsioon 1. Lõpmatu sirge punkti x nimetatakse jada (x n) piirpunktiks, kui selle punkti mis tahes e-naabruses on jada (x n) elemente lõpmatult palju.

Lemma 1. Kui x on jada (x k ) piirpunkt, siis saame sellest jadast valida alamjada (x n k ), koondudes arvule x.

Kommenteeri. Tõsi on ka vastupidine väide. Kui jadast (x k) on võimalik valida arvule x koonduv alamjada, siis arv x on jada (x k) piirpunkt. Tõepoolest, punkti x igas e-naabruses on alamjada ja seega ka jada enda (x k ) elemente lõpmatult palju.

Lemmast 1 järeldub, et saame anda jada piirpunkti teise definitsiooni, mis on samaväärne definitsiooniga 1.

2. definitsioon. Lõpmatu sirge punkti x nimetatakse jada (x k) piirpunktiks, kui sellest jadast on võimalik valida x-le koonduv alamjada.

Lemma 2. Igal koonduval jadal on ainult üks piirpunkt, mis ühtib selle jada piiriga.

Kommenteeri. Kui jada koondub, siis Lemma 2 järgi on sellel ainult üks piirpunkt. Kui aga (xn) ei ole konvergentne, siis võib sellel olla mitu piirpunkti (ja üldiselt lõpmatult palju piirpunkte). Näitame näiteks, et (1+(-1) n )-l on kaks piirpunkti.

Tõepoolest, (1+(-1) n )=0,2,0,2,0,2,... on kaks piirpunkti 0 ja 2, sest selle jada alamjadadel (0)=0,0,0,... ja (2)=2,2,2,... on vastavalt arvud 0 ja 2 Sellel jadal pole muid piirpunkte. Tõepoolest, olgu x mis tahes punkt arvteljel peale punktide 0 ja 2. Võtame e > 0 nii

väike, et e - punktide 0, x ja 2 naabruskonnad ei ristuks. Punktide 0 ja 2 e-naabrus sisaldab kõiki jada elemente ja seetõttu ei saa punkti x e-naabrus sisaldada lõpmatult palju elemente (1+(-1) n ) ega ole seetõttu selle jada piirpunkt.

Teoreem. Igal piiratud jadal on vähemalt üks piirpunkt.

Kommenteeri.Ükski arv x ei ületa , on jada (x n) piirpunkt, st. - jada suurim piirpunkt (x n).

Olgu x suvaline arv, mis on suurem kui . Valime e>0 nii väikseks, et

ja x 1 О(x), x 1-st paremal on jada (x n) elemente lõplik arv või pole neid üldse, s.t. x ei ole jada (x n ) piirpunkt.

Definitsioon. Jada suurimat piirpunkti (x n) nimetatakse jada ülemiseks piiriks ja seda tähistatakse sümboliga. Märkusest järeldub, et igal piiratud jadal on ülempiir.

Samamoodi võetakse kasutusele alampiiri mõiste (jada väikseima piirpunktina (x n )).

Niisiis, oleme tõestanud järgmist väidet. Igal piiratud jadal on ülemine ja alumine piir.

Sõnastame ilma tõestuseta järgmise teoreemi.

Teoreem. Selleks, et jada (x n) oleks koonduv, on vajalik ja piisav, et see oleks piiratud ning selle ülemine ja alumine piir langeksid kokku.

Selle jaotise tulemused viivad järgmise Bolzano-Weierstrassi põhiteoreemini.

Bolzano-Weierstrassi teoreem. Igast piiratud jadast saab valida koonduva alamjada.

Tõestus. Kuna jada (x n ) on piiratud, on sellel vähemalt üks piirpunkt x. Seejärel saame sellest jadast valida punkti x koonduva alamjada (tuleneb piirpunkti 2. definitsioonist).

Kommenteeri. Igast piiratud järjestusest saab eraldada monotoonse koonduva jada.