AJALOOLINE VIIDE

Matemaatikas võeti kasutusele kompleksarvud, et oleks võimalik võtta mis tahes reaalarvu ruutjuur. See aga ei ole piisav põhjus uute arvude juurutamiseks matemaatikasse. Selgus, et kui teha arvutusi tavapäraste reeglite järgi avaldiste üle, milles ruutjuur negatiivne arv, siis võite jõuda tulemuseni, mis ei sisalda enam negatiivse arvu ruutjuurt. 16. sajandil Cardano leidis kuupvõrrandi lahendamise valemi. Selgus, et kui kuupvõrrandil on kolm reaaljuurt, sisaldab Cardano valem negatiivse arvu ruutjuurt. Seetõttu hakati matemaatikas kasutama negatiivsete arvude ruutjuuri ja neid nimetati imaginaarseteks numbriteks - seeläbi omandasid nad justkui õiguse ebaseaduslikule olemasolule. Gauss andis kujuteldavatele arvudele täielikud kodanikuõigused, kes nimetas neid kompleksarvudeks geomeetriline tõlgendus ja tõestas algebra põhiteoreemi, mis väidab, et igal polünoomil on vähemalt üks reaaljuur.

1. KOMPLEKSARVU MÕISTE

Paljude matemaatika ja füüsika probleemide lahendamine taandub algebraliste võrrandite lahendamisele. Seetõttu on algebraliste võrrandite uurimine matemaatikas üks olulisemaid küsimusi. Soov muuta võrrandid lahendatavaks on arvu mõiste laiendamise üks peamisi põhjuseid.

Seega, et lahendada võrrandeid kujul X+A=B, positiivsetest arvudest ei piisa. Näiteks võrrandil X+5=2 pole positiivseid juuri. Seetõttu peate sisestama negatiivsed arvud ja null.

Võttes ratsionaalsed arvud esimese astme algebravõrrandid on lahendatavad, s.t. võrrandid kujul A· X+B=0 (A0). Kuid algebralistel võrranditel, mille aste on suurem kui esimene, ei pruugi olla ratsionaalseid juuri. Näiteks on need võrrandid X 2 =2, X 3 =5. Vajadus selliste võrrandite lahendamiseks oli üks põhjusi irratsionaalarvude kasutuselevõtuks. Ratsionaal- ja irratsionaalarvud moodustavad reaalarvude hulga.

Reaalarvudest aga ei piisa ühegi algebralise võrrandi lahendamiseks. Näiteks, ruutvõrrand reaalkoefitsientidega ja negatiivsel diskriminandil pole reaalseid juuri. Lihtsaim neist on võrrand X 2 +1=0. Seetõttu peame reaalarvude hulka laiendama, lisades sellele uusi arve. Need uued arvud koos reaalarvudega moodustavad hulga, mida nimetatakse hulgaks kompleksarvud.

Kõigepealt selgitame välja, mis tüüpi need peaksid olema kompleksarvud. Eeldame, et võrrandil X 2 +1=0 on kompleksarvude hulga juur. Tähistame seda juurt tähega i Seega i on selline kompleksarv, et i 2 = –1.

Mis puutub reaalarvudesse, siis on vaja sisse viia kompleksarvude liitmise ja korrutamise toimingud nii, et nende summa ja korrutis oleksid kompleksarvud. Siis eelkõige mis tahes reaalarvude A ja B puhul avaldis A+B+ i võib pidada kompleksarvu esituseks üldkujul. Nimetus "kompleks" tuleneb sõnast "komposiit": väljendi A+B· kujul. i .

Kompleksarvud nimetatakse avaldisteks kujul A+B i , kus A ja B on reaalarvud ja i – mingisugune sümbol i 2 = –1 ja seda tähistatakse tähega Z.

Arvu A nimetatakse kompleksarvu A+B reaalosaks i, ja arv B on selle kujuteldav osa. Number i nimetatakse imaginaarseks ühikuks.

Näiteks kompleksarvu 2+3 reaalosa i on võrdne 2-ga ja imaginaarne on võrdne 3-ga.

Kompleksarvu rangeks määratlemiseks on vaja nende arvude jaoks kasutusele võtta võrdsuse mõiste.

Kaks kompleksarvu A+B· i ja C+D i kutsutakse võrdne siis ja ainult siis, kui A=C ja B=D, st. kui nende tegelik ja mõtteline osa on võrdsed.

2. KOMPLEKSARVU GEOMEETRILINE TÕLGENDAMINE

Reaalarvud esitatakse geomeetriliselt arvujoone punktidega. Kompleksarv A+B· i võib pidada reaalarvude paariks (A;B). Seetõttu on loomulik esitada kompleksarvu punktide kaupa tasapinnal. Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on kompleksarv Z=A+B· i on esindatud punktiga tasapinnal koordinaatidega (A;B) ja seda punkti tähistatakse sama tähega Z (joonis 1). Ilmselgelt on saadud kirjavahetus üks-ühele. See võimaldab tõlgendada kompleksarve tasandi punktidena, millel koordinaatsüsteem on valitud. Seda koordinaattasandit nimetatakse keeruline lennuk . Abstsisstelge nimetatakse tegelik telg , sest see sisaldab reaalarvudele vastavaid punkte. Y-telge nimetatakse kujuteldav telg – see sisaldab kujuteldavatele kompleksarvudele vastavaid punkte.

Mitte vähem oluline ja mugav on kompleksarvu A+B· tõlgendamine i vektorina, s.o. vektor, mille alguspunkt on punktis

O(0;0) ja otsaga punktis M(A;B) (joonis 2).

Ühelt poolt kompleksarvude hulga ja teiselt poolt tasandi punktide või vektorite hulga vahel loodud vastavus võimaldab kompleksarvudel olla punktid või vektorid.

3. KOMPLEKSARVU MOODUL

Olgu antud kompleksarv Z=A+B· i . Konjugaat Koos Z nimetatakse kompleksarvuks A – B i , mida tähistatakse, st.

A-B i .

Pange tähele, et = A+B i , seetõttu kehtib iga kompleksarvu Z korral võrdsus =Z.

Moodul kompleksarv Z=A+B· i helistas number ja seda tähistatakse , st.

Valemist (1) järeldub, et iga kompleksarvu Z ja =0 korral siis ja ainult siis, kui Z=0, s.o. kui A=0 ja B=0. Tõestame, et iga kompleksarvu Z korral kehtivad järgmised valemid:

4.KEERGUARVUTE LISAMINE JA KORRUTAMINE

Summa kaks kompleksarvu A+B i ja C+D i nimetatakse kompleksarvuks (A+C ) + ( B+D) i , st. ( A+B i) + ( C+D i)=( A+C) + (B+D) i

Töö kaks kompleksarvu A+B i ja C+D i nimetatakse kompleksarvuks (A· C – B· D)+(A· D+B· C) · i , st.

(A + B i ) (C + D) i )=(A·C – B·D) + (A·D + B·C)· i

Valemitest järeldub, et liitmist ja korrutamist saab teostada polünoomidega tehte reeglite järgi, arvestades i 2 = –1. Kompleksarvude liitmise ja korrutamise operatsioonidel on reaalarvude omadused. Põhiomadused:

Nihke omadus:

Z 1 + Z 2 = Z 2 + Z 1, Z 1 Z 2 = Z 2 Z 1

Sobiv omadus:

(Z 1 + Z 2) + Z 3 = Z 1 + (Z 2 + Z 3), (Z 1 Z 2) Z 3 = Z 1 (Z 2 Z 3)

Turustusomadus:

Z 1 (Z 2 + Z 3) = Z 1 Z 2 + Z 1 Z 3

Kompleksarvude summa geomeetriline esitus

Kahe kompleksarvu liitmise definitsiooni järgi võrdub summa reaalosa liikmete reaalosade summaga, summa mõtteline osa on võrdne liikmete mõtteliste osade summaga. Vektorite summa koordinaadid määratakse samal viisil:

Kahe koordinaatidega (A 1 ;B 1) ja (A 2 ;B 2) vektori summa on vektor koordinaatidega (A 1 +A 2 ;B 1 +B 2). Seetõttu tuleb kompleksarvude Z 1 ja Z 2 summale vastava vektori leidmiseks liita kompleksarvudele Z 1 ja Z 2 vastavad vektorid.

Näide 1: Leidke kompleksarvude Z 1 =2 – 3× summa ja korrutis i Ja

Z2 = –7 + 8× i .

Z 1 + Z 2 = 2–7 + (–3 + 8) × i = - 5 + 5× i

Z 1 × Z 2 = (2–3 × i )× (–7 + 8× i ) = –14 + 16× i + 21× i + 24 = 10 + 37 × i

5.KEERGUARVUDE LAHETAMINE JA JAGAMINE

Kompleksarvude lahutamine on liitmise pöördtehte: mis tahes kompleksarvude Z 1 ja Z 2 jaoks on ja ainult üks arv Z, nii et:

Kui liidame võrdsuse mõlemale poolele (–Z 2) arvu Z 2 vastandi:

Z+Z 2 +(–Z 2)=Z 1 +(–Z 2), kust

Arvu Z=Z 1 +Z 2 kutsutakse numbrite erinevus Z 1 ja Z 2.

Jagamine võetakse kasutusele kui korrutamise pöördtehing:

Z × Z 2 = Z 1

Jagades mõlemad pooled Z 2-ga saame:

Sellest võrrandist on selge, et Z 2 0

Kompleksarvude erinevuse geomeetriline esitus

Kompleksarvude Z 1 ja Z 2 erinevus Z 2 – Z 1 vastab arvudele Z 1 ja Z 2 vastavate vektorite erinevusele. Kahe kompleksarvu Z 2 ja Z 1 erinevuse moodul on mooduli definitsiooni järgi vektori Z 2 – Z 1 pikkus. Koostame selle vektori vektorite Z 2 ja (–Z 1) summana (joonis 4). Seega on kahe kompleksarvu erinevuse moodul kaugus nendele arvudele vastavate komplekstasandi punktide vahel.

See kahe kompleksarvu erinevuse mooduli oluline geomeetriline tõlgendus muudab lihtsad geomeetrilised faktid kasulikuks.

Näide 2: Antud kompleksarvud Z 1 = 4 + 5 i ja Z2 = 3 + 4 i . Leia erinevus Z 2 – Z 1 ja jagatis

Z 2 – Z 1 = (3 + 4 i) – (4 + 5· i) = –1 – i

==

6. KOMPLEKSARVU TRIGONOMEETRILINE VORM

Kompleksarvu Z kirjutamine kujul A+B· i helistas algebraline vorm kompleksarv. Pealegi algebraline vorm Kasutatakse ka muid kompleksarvude kirjutamise vorme.

Mõelgem trigonomeetriline vorm kompleksarvu kirjutamine. Kompleksarvu reaal- ja mõttelised osad Z=A+B· i väljendatakse selle mooduli = r ja argumendi j kaudu järgmiselt:

A= r cosj ; B= r sinj .

Numbri Z saab kirjutada järgmiselt:

Z= r cosj + i sinj = r (cosj + i sinj)

Z = r (cosj + i sinj) (2)

Seda kirjet nimetatakse kompleksarvu trigonomeetriline vorm .

r =– kompleksarvu moodul.

Kutsutakse numbrit j kompleksarvu argument.

Kompleksarvu Z0 argument on reaaltelje positiivse suuna ja vektori Z vahelise nurga suurus ning nurk loetakse positiivseks, kui loendus toimub vastupäeva, ja negatiivseks, kui seda loetakse päripäeva.

Arvu Z=0 puhul argumenti ei määratleta ja ainult sel juhul on arv määratud ainult selle mooduliga.

Nagu eespool mainitud = r =, võib võrdsuse (2) kirjutada kujul

A+B i =· cosj + i · sinj, kust reaalse ja kujuteldava osa võrdsustamisel saame:

cosj =, sinj = (3)

Kui sinj poolt jagama cosj saame:

tgj= (4)

Seda valemit on mugavam kasutada argumendi j leidmiseks kui valemit (3). Kuid mitte kõik j väärtused, mis rahuldavad võrdsust (4), ei ole arvu A + B argumendid i . Seetõttu tuleb argumendi leidmisel arvestada, millises kvartalis punkt A+B asub i .

7. MOODULI OMADUSED JA KOMPLEKSARVU ARGUMENT

Trigonomeetrilise vormi abil on mugav leida kompleksarvude korrutis ja jagatis.

Olgu Z 1 = r 1 ( cosj 1 +i sinj 1), Z 2 = r 2 ( cosj 2 +i sinj 2). Seejärel:

Z 1 Z 2 = r 1 · r 2 =

= r 1 r 2 .

Seega saab trigonomeetrilisel kujul kirjutatud kompleksarvude korrutise leida järgmise valemi abil:

Z 1 Z 2 = r 1 · r 2 (5)

Valemist (5) järeldub, et Kompleksarvude korrutamisel korrutatakse nende moodulid ja liidetakse nende argumendid.

Kui Z 1 = Z 2, siis saame:

Z2 = 2 = r 2 (cos2j +i sin2j)

Z 3 = Z 2 Z = r 2 ( cos2j +i sin2j ) r (cosj + i sinj )=

= r 3 ( cos3j +i sin3j)

Üldiselt iga kompleksarvu puhul Z=r (cosj + i sinj )0 ja valemis mis tahes naturaalarv n on kehtiv:

Zn=[ r (cosj + i sinj )] n = r n (cosnj + i sinnj),(6)

mida nimetatakse Moivre valemiks.

Kahe trigonomeetrilisel kujul kirjutatud kompleksarvu jagatise saab leida järgmise valemi abil:

[cos(j 1 – j 2) + i sin(j 1 – j 2)].(7)

= = cos(–j 2) + i sin(–j 2)

Kasutades valemit 5

(cosj 1 + i sinj 1)× (cos(–j 2) + i sin(–j 2)) =

cos(j 1 – j 2) + i sin(j 1 – j 2).

Näide 3:

Arvu –8 kirjutame trigonomeetrilisel kujul

8 = 8 (cos(p + 2p k) + i·sin(p + 2p k )), k О Z

Olgu Z = r×(cosj + i×

r 3× (cos3j + i× sin3j ) = 8 (cos(p + 2p k) + i·sin(p + 2p k )), k О Z

Siis 3j =p + 2p k , k О Z

j= , k О Z

Seega:

Z = 2 (cos() + i·sin()), k О Z

k = 0,1,2...

k = 0

Z1 = 2 (cos + i patt) = 2 ( i) = 1+× i

k = 1

Z2 = 2 (cos(+)+ i sin( + )) = 2 (cosp + i sinp ) = –2

k = 2

Z3 = 2 (cos(+)+ i sin( + )) = 2 (cos + i sin) = 1–× i

Vastus: Z 13 = ; Z2 = –2

Näide 4:

Kirjutame numbri 1 trigonomeetrilisel kujul

1 = 1· (cos(2p k ) + i·sin(2p k )), k О Z

Olgu Z = r×(cosj + i× sinj), siis antud võrrand kirjutatakse kujul:

r 4× (cos4j + i× sin4j ) = cos(2p k ) + i·sin(2p k )), k О Z

4j = 2p k, k О Z

j = , k О Z

Z = cos+ i× patt

k = 0,1,2,3...

k = 0

Z1 = cos0+ i× sin0 = 1 + 0 = 1

k = 1

Z2 = cos+ i× sin = 0 + i = i

k = 2

Z 3 = cosp + i sinp = –1 + 0 = –1

k = 3

Z4 = cos+ i× patt

Vastus: Z 13 = 1

Z 24 = i

8. VÕIMUSELE TÕSTMINE JA JUURE VÄLJAVÕTMINE

Valemist 6 on selge, et kompleksarvu r· (cosj + i sinj ) loomuliku astendajaga positiivse täisarvu astmeni, selle moodul tõstetakse sama astendajaga astmeks ja argument korrutatakse astendajaga.

[ r (cosj + i sinj )] n = r n (cos nj + i sinnj)

Number Z helistas kraadi juur n arvust w (tähistatud), kui Z n =w.

Alates see määratlus sellest järeldub, et iga võrrandi lahend Zn=w on kraadi juur n numbrist w. Teisisõnu selleks, et ammutada välja jõu juur n arvust w piisab võrrandi lahendamisest Zn =w. Kui w = 0, siis mis tahes n võrrand Zn=w on ainult üks lahendus Z= 0. Kui w 0, siis Z0 , ja seetõttu saab Z ja w esitada trigonomeetrilisel kujul

Z = r (cosj + i sinj ), w = p (hubane + i sünge)

Võrrand Z n = w on kujul:

r n (cos nj + i sin nj ) = p (mugav + i sünge)

Kaks kompleksarvu on võrdsed siis ja ainult siis, kui nende moodulid on võrdsed ja argumendid erinevad 2p kordajate võrra. Seetõttu r n = p ja nj = y + 2p k , kus kО Z või r = ja j= , kus kО Z .

Seega saab kõik lahendused kirjutada järgmiselt:

Z K =, kО Z (8)

Vormel 8 nimetatakse Moivre'i teine ​​valem.

Seega, kui w 0, siis arvust w on täpselt n astme n juurt: need kõik sisalduvad valemis 8. Kõik astmejuured n arvust w on sama moodul , kuid erinevad argumendid, mis erinevad termini poolest, mis on arvu kordne. Sellest järeldub, et kompleksarvud, mis on kompleksarvu w astme n juured, vastavad komplekstasandi punktidele, mis asuvad korrapärase n-nurga tippudes, mis on kantud punktis tsentreeritud raadiusega ringi. Z = 0.

Sümbolil ei ole selget tähendust. Seetõttu peaksite selle kasutamisel selgelt aru saama, mida selle sümboli all mõeldakse. Näiteks märkuse kasutamisel peaksite kaaluma, kas see sümbol tähendab kompleksarvude paari i Ja -i , või üks asi, milline täpselt.

Kõrgema astme võrrandid

Valem 8 määrab kõik n-astme binoomvõrrandi juured. Üldise puhul on olukord mõõtmatult keerulisem algebraline võrrand aste n:

a n × Z n+ a n–1 × Z n–1 +...+ a 1 × Z 1 + a 0 = 0(9)

Kus a n ,..., a 0 on antud kompleksarvud.

Kõrgema matemaatika käigus tõestatakse Gaussi teoreem: igal algebralisel võrrandil on kompleksarvude hulgas vähemalt üks juur. Selle teoreemi tõestas saksa matemaatik Carl Gauss 1779. aastal.

Tuginedes Gaussi teoreemile, saame tõestada, et võrrandi 9 vasakut poolt saab alati esitada korrutisena:

,

kus Z 1, Z 2,..., Z K on mõned erinevad kompleksarvud,

ja a 1,a 2,...,ak on naturaalarvud ja:

a 1 + a 2 + ... + a k = n

Sellest järeldub, et arvud Z 1, Z 2,..., Z K on võrrandi 9 juured. Sel juhul öeldakse, et Z 1 on kordsuse a 1 juur, Z 2 on kordsuse a 2 juur, ja nii edasi.

Gaussi teoreem ja äsja öeldud teoreem annavad lahendusi juurte olemasolule, kuid ei ütle midagi selle kohta, kuidas neid juuri leida. Kui esimese ja teise astme juured on kergesti leitavad, siis kolmanda ja neljanda astme võrrandite jaoks on valemid tülikad ning neljandast kõrgemate astmevõrrandite puhul selliseid valemeid üldse ei eksisteeri. Puudumine üldine meetod Võrrandi kõigi juurte leidmine ei tee haiget. Täisarvukoefitsientidega võrrandi lahendamiseks on sageli kasulik järgmine teoreem: iga täisarvu koefitsientidega algebralise võrrandi täisarvude juured on vaba liikme jagajad.

Tõestame selle teoreemi:

Olgu Z = k võrrandi täisarvuline juur

a n × Z n + a n–1 × Z n–1 +...+ a 1 × Z 1 + a 0 = 0

täisarvu koefitsientidega. Siis

a n × k n + a n–1 × k n–1 +...+ a 1 × k 1 + a 0 = 0

a 0 = – k(a n × k n–1 + a n–1 × k n–2 +...+ a 1)

Sulgudes olev arv on tehtud eelduste kohaselt ilmselt täisarv, mis tähendab, et k on arvu a 0 jagaja.

9. TEADMATA KOMPLEKSI KRUUTVÄRD

Vaatleme võrrandit Z 2 = a, kus a on antud reaalarv, Z on tundmatu arv.

See on võrrand:

Kirjutame arvu a kujul a = (– 1)× (– a) = i 2× = i 2× () 2 . Siis kirjutatakse võrrand Z 2 = a kujul: Z 2 – i 2× () 2 = 0

need. (Z – i× )(Z+ i× ) = 0

Seetõttu on võrrandil kaks juurt: Z 1.2 = i×

Kasutusele võetud negatiivse arvu juure kontseptsioon võimaldab meil kirjutada üles mis tahes ruutvõrrandi juured reaalkoefitsientidega

a× Z 2 + b× Z + c = 0

Tuntud üldvalemi järgi

Z 1,2 = (10)

Niisiis, mis tahes reaalväärtuse a(a0), b, c korral saab võrrandi juured leida valemi 10 abil. Veelgi enam, kui diskriminant, s.o. radikaalne väljend valemis 10

D = b 2 – 4 × a × c

on positiivne, siis on võrrand a× Z 2 + b× Z + c = 0 kaks tegelikku erinevat juurt. Kui D = 0, siis võrrandil a× Z 2 + b× Z + c = 0 on üks juur. Kui D< 0, то уравнение a× Z 2 + b× Z + c = 0 имеет два различных комплексных корня.

Ruutvõrrandi kompleksjuurtel on samad omadused, mis reaaljuurte teadaolevatel omadustel.

Sõnastame peamised:

Olgu Z 1 ,Z 2 ruutvõrrandi a× Z 2 + b× Z + c = 0, a0 juured. Siis kehtivad järgmised omadused:

Z 1 × Z 2 =

1. Kõigi komplekside Z puhul kehtib valem

a× Z 2 + b× Z + c = a× (Z – Z 1)× (Z – Z 2)

Näide 5:

Z 2 – 6 Z + 10 = 0

D = b 2 – 4 a c

D = 6 2 – 4 10 = – 4

– 4 = i 2 ·4

Z 1,2 =

Vastus: Z 1 = Z 2 = 3 + i

Näide 6:

3 · Z 2 + 2 · Z + 1 = 0

D = b 2 – 4 a c

D = 4 – 12 = – 8

D = –1 · 8 = 8 · i 2

Z 1,2 = =

Vastus: Z 1 = Z 2 = –

Näide 7:

Z 4 – 8 Z 2 – 9 = 0

t 2 – 8 t – 9 = 0

D = b 2–4 a c = 64 + 36 = 100

t 1 = 9 t 2 = – 1

Z 2 = 9 Z 2 = – 1

Z 3,4 = i

Vastus: Z 1,2 =3, Z 3,4 = i

Näide 8:

Z 4 + 2 Z 2 - 15 = 0

t 2 + 2 t – 15 = 0

D = b 2–4 a c = 4 + 60 = 64

t 1,2 = = = –14

t 1 = – 5 t 2 = 3

Z 2 = – 5 Z 2 = 3

Z 2 = – 1,5 Z 3,4 =

Z2 = i 2 ·5

Z 1,2 = i

Vastus: Z 1,2 = i , Z 3,4 =

Näide 9:

Z2 = 24 10 i

Olgu Z = X + Y i

(X + Y i ) 2 = X 2 + 2 · X · Y · i – Y2

X 2 + 2 X Y i – Y 2 = 24 10 i

(X 2 Y 2) + 2 X Y i = 24 10· i

korrutage X 2 0-ga

X 4 – 24 X 2 – 25 = 0

t 2 – 24 t – 25 = 0

t 1 t 2 = – 25

t 1 = 25 t 2 = – 1

X 2 = 25 X 2 = – 1 - lahendusi pole

X 1 = 5 X 2 = – 5

Y 1 = – Y 2 =

Y 1 = – 1 Y 2 = 1

Z 1,2 =(5 – i )

Vastus: Z 1,2 =(5 – i )

ÜLESANDED:

(2 – Y) 2 + 3 (2 – Y) Y + Y 2 = 6

4 – 4 · Y + Y 2 + 6 · Y – 3 · Y 2 + Y 2 = 6

–Y 2 + 2Y – 2 = 0 / –1

Y 2 – 2Y + 2 = 0

D = b 2 – 4 a c = 4 – 8 = – 4

– 4 = – 1 · 4 = 4 · i 2

Y 1,2 = = = 1 i

Y 1 = 1– i Y 2 = 1 + i

X 1 = 1 + i X 2 = 1– i

Vastus: (1 + i ; 1–i }

{1–i ; 1 + i }

Teeme ruudu

Kui teil on vaja nimetada kahe linna vaheline kaugus, võite anda vastuse, mis koosneb ühest numbrist miilides, kilomeetrites või muudes lineaarse kauguse ühikutes. Kui aga peate kirjeldama, kuidas ühest linnast teise jõuda, peate esitama rohkem teavet kui lihtsalt kahe kaardil oleva punkti vaheline kaugus. Sel juhul tasub rääkida, millises suunas peate liikuma ja umbes.

Teabe tüüpi, mis väljendab ühemõõtmelist mõõtmist, nimetatakse teaduses skalaarsuuruseks. Skalaarid on arvud, mida kasutatakse enamikus matemaatilistes arvutustes. Näiteks objekti mass ja kiirus on skalaarsuurused.

Et analüüsida edukalt looduslik fenomen, peame töötama abstraktsete objektide ja meetoditega, mis suudavad esitada mitmemõõtmelisi suurusi. Siin on vaja skalaararvudest loobuda kompleksarvude kasuks. Need võimaldavad väljendada korraga kahte mõõdet.

Keerulisi numbreid on lihtsam mõista, kui neid graafiliselt esitada. Kui joonel on teatud pikkus ja suund, siis see on graafiline esitus. Seda tuntakse ka kui vektorit.

Erinevused komplekssete ja skalaarsuuruste vahel

Sellist tüüpi arvud nagu täisarvud, ratsionaalarvud ja reaalarvud on lastele koolist tuttavad. Neil kõigil on ühemõõtmeline kvaliteet. Arvjoone sirgus illustreerib seda graafiliselt. Saate sellel üles või alla liikuda, kuid kogu "liikumine" piki seda joont piirdub horisontaalteljega. Objektide arvu loendamiseks, kaalu väljendamiseks või aku alalispinge mõõtmiseks piisab ühemõõtmelistest skalaararvudest. Kuid need ei saa tähendada midagi keerukamat. Kahe linna vahelist kaugust ja suunda või amplituudi koos faasiga on skalaaride abil võimatu samaaegselt väljendada. Seda tüüpi numbreid tuleb esitada mitmemõõtmelise väärtusvahemiku kujul. Teisisõnu vajame vektorkoguseid, millel võib olla mitte ainult suurus, vaid ka levimise suund.

Järeldus

Skalaararv on teatud tüüpi matemaatiline objekt, mida inimesed on harjunud kasutama Igapäevane elu- see on temperatuur, pikkus, kaal jne. Kompleksarv on väärtus, mis sisaldab kahte tüüpi andmeid.

Vektor on kompleksarvu graafiline esitus. See näeb välja nagu nool, millel on alguspunkt, konkreetne pikkus ja suund. Mõnikord kasutatakse raadiotehnikas sõna "vektor", kus see väljendab signaalide vahelist faasinihet.

Ruutvõrrandi omaduste uurimisel pandi paika piirang - nullist väiksema diskriminandi korral lahendus puudub. Kohe märgiti, et jutt käib reaalarvude hulgast. Matemaatiku uudishimulikku meelt hakkab huvitama, milline saladus sisaldub tõeliste väärtuste klauslis?

Aja jooksul võtsid matemaatikud kasutusele kompleksarvude mõiste, kus miinus ühe teise juure tingimuslikku väärtust võetakse üheks.

Ajalooline viide

Matemaatiline teooria areneb järjestikku, lihtsast keerukani. Mõelgem välja, kuidas tekkis mõiste, mida nimetatakse kompleksarvuks ja miks seda vaja on.

Juba ammustest aegadest on matemaatika aluseks olnud tavaline loendamine. Teadlased teadsid ainult loomulikku väärtuste kogumit. Liitmine ja lahutamine olid lihtsad. Majandussuhete keerulisemaks muutudes hakati identsete väärtuste liitmise asemel kasutama korrutamist. Ilmus korrutamise pöördtehte – jagamine.

Naturaalarvu mõiste piiras aritmeetiliste tehete kasutamist. Kõiki jagamisülesandeid on täisarvuliste väärtuste hulgal võimatu lahendada. viis esmalt ratsionaalsete väärtuste kontseptsioonini ja seejärel irratsionaalsete väärtusteni. Kui ratsionaalse jaoks on võimalik näidata punkti täpset asukohta joonel, siis irratsionaalse jaoks pole sellist punkti võimalik näidata. Asukoha intervalli saate näidata ainult ligikaudselt. Ratsionaal- ja irratsionaalarvude kombinatsioon moodustas reaalhulga, mida saab esitada etteantud skaalaga kindla sirgena. Iga samm mööda joont on naturaalarv, ning nende vahel on ratsionaalsed ja irratsionaalsed väärtused.

Algas teoreetilise matemaatika ajastu. Astronoomia, mehaanika ja füüsika areng nõudis järjest keerukamate võrrandite lahendamist. Üldkujul leiti ruutvõrrandi juured. Keerulisema kuuppolünoomi lahendamisel puutusid teadlased kokku vastuoluga. Negatiivse kuupjuure mõiste on mõttekas, kuid ruutjuure puhul toob see kaasa ebakindluse. Sel juhul on ruutvõrrand ainult erijuhtum kuupmeetrit.

1545. aastal tegi itaallane G. Cardano ettepaneku võtta kasutusele imaginaararvu mõiste.

Sellest numbrist sai miinus ühe teine ​​juur. Termin kompleksarv tekkis lõplikult alles kolmsada aastat hiljem, töödes kuulus matemaatik Gauss. Ta tegi ettepaneku laiendada formaalselt kõik algebra seadused imaginaararvule. Tegelik liin on laienenud tasapinnaliseks. Maailm on muutunud suuremaks.

Põhimõisted

Tuletagem meelde mitmeid funktsioone, millel on reaalhulgale piirangud:

• y = arcsin(x), mis on määratletud negatiivse ja positiivse ühtsuse vahelises väärtuste vahemikus.
• y = ln(x), on positiivsete argumentide puhul mõistlik.
• ruutjuur y = √x, arvutatud ainult x ≥ 0 korral.

Tähistades i = √(-1), võtame sellise mõiste kasutusele imaginaararvuna, mis võimaldab eemaldada kõik piirangud ülaltoodud funktsioonide definitsioonipiirkonnast. Sellised avaldised nagu y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) omandavad tähenduse teatud kompleksarvude ruumis.

Algebralise vormi saab reaalväärtuste x ja y hulgale kirjutada kujul z = x + i×y ning i 2 = -1.

Uus kontseptsioon kaotab kõik piirangud mis tahes algebralise funktsiooni kasutamisele ja selle välimus meenutab reaal- ja imaginaarsete väärtuste koordinaatide sirgjoone graafikut.

Keeruline tasapind

Geomeetriline kuju kompleksarvud võimaldavad visualiseerida paljusid nende omadusi. Mööda Re(z) telge märgime x tegelikud väärtused, piki Im(z) - y kujutlusväärtusi, siis tasandi punkt z kuvab vajaliku kompleksväärtuse.

Määratlused:

• Re(z) – reaaltelg.
• Im(z) – tähendab kujuteldavat telge.
• z on kompleksarvu tingimuslik punkt.
• Nullpunktist z-ni ulatuva vektori pikkuse arvväärtust nimetatakse mooduliks.
• Tegelik ja kujuteldav telg jagavad tasapinna neljandikku. Positiivse koordinaadi väärtusega - I veerand. Kui tegeliku telje argument on väiksem kui 0 ja kujuteldav telg on suurem kui 0 - teine ​​veerand. Kui koordinaadid on negatiivsed - III veerand. Viimane, IV kvartal sisaldab palju positiivseid reaalväärtusi ja negatiivseid kujutlusväärtusi.

Seega saab x ja y koordinaatidega tasapinnal alati visuaalselt kujutada kompleksarvu punkti. Sümbol i võetakse kasutusele selleks, et eraldada reaalosa kujutlusosast.

Omadused

1. Kujutise argumendi nullväärtusega saame lihtsalt arvu (z = x), mis asub reaalteljel ja kuulub reaalhulka.
2. Erijuhtum, kui tegeliku argumendi väärtus muutub nulliks, vastab avaldis z = i×y punkti asukohale kujuteldaval teljel.
3. Üldvorm z = x + i×y on argumentide nullist erineva väärtuse jaoks. Näitab kompleksarvu iseloomustava punkti asukohta ühes veerandis.

Trigonomeetriline tähistus

Meenutagem polaarkoordinaatide süsteemi ning sin ja cos määratlust. Ilmselgelt saate neid funktsioone kasutades kirjeldada mis tahes punkti asukohta tasapinnal. Selleks piisab, kui on teada polaarkiire pikkus ja kaldenurk reaaltelje suhtes.

Definitsioon. Märgistust kujul ∣z ∣, mis on korrutatud trigonomeetriliste funktsioonide cos(ϴ) ja imaginaarse osa i ×sin(ϴ) summaga, nimetatakse trigonomeetriliseks kompleksarvuks. Siin kasutame reaaltelje kaldenurga märkimist

ϴ = arg(z) ja r = ∣z∣, kiire pikkus.

Trigonomeetriliste funktsioonide määratlusest ja omadustest tuleneb väga oluline Moivre'i valem:

z n = r n × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Selle valemi abil on mugav lahendada paljusid võrrandisüsteeme, mis sisaldavad trigonomeetrilised funktsioonid. Eriti kui kerkib esile astendamise probleem.

Moodul ja faas

Kompleksse komplekti kirjelduse lõpuleviimiseks pakume välja kaks olulist määratlust.

Teades Pythagorase teoreemi, on polaarkoordinaatide süsteemis kiire pikkuse arvutamine lihtne.

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2), sellist tähistust kompleksruumis nimetatakse “mooduliks” ja see iseloomustab kaugust nullist tasandi punktini.

Komplekskiire kaldenurka tegeliku joone suhtes ϴ nimetatakse tavaliselt faasiks.

Definitsioonist on selge, et tegelikku ja imaginaarset osa kirjeldatakse tsükliliste funktsioonide abil. Nimelt:

• x = r × cos(ϴ);
• y = r × sin(ϴ);

Seevastu faas on seotud algebraliste väärtustega järgmise valemi kaudu:

ϴ = arctan(x / y) + µ, parandus µ viiakse sisse, et võtta arvesse perioodilisust geomeetrilised funktsioonid.

Euleri valem

Matemaatikud kasutavad sageli eksponentsiaalset vormi. Komplekstasandi arvud kirjutatakse avaldisena

z = r × e i × ϴ, mis tuleneb Euleri valemist.

See tähistus on praktiliste arvutuste jaoks laialt levinud. füüsikalised kogused. Esitusvorm eksponentsiaalsete kompleksarvude kujul on eriti mugav inseneriarvutuste jaoks, kus on vaja arvutada siinusvooludega ahelaid ja on vaja teada antud perioodiga funktsioonide integraalide väärtust. Arvutused ise toimivad tööriistana erinevate masinate ja mehhanismide projekteerimisel.

Operatsioonide määratlemine

Nagu juba märgitud, kehtivad kompleksarvude kohta kõik põhiliste matemaatiliste funktsioonidega töötamise algebralised seadused.

Summaoperatsioon

Keeruliste väärtuste liitmisel liidetakse kokku ka nende tegelik ja mõtteline osa.

z = z 1 + z 2, kus z 1 ja z 2 on kompleksarvud üldine vaade. Avaldise teisendamisel saame peale sulgude avamist ja tähistuse lihtsustamist tegeliku argumendi x = (x 1 + x 2), imaginaarse argumendi y = (y 1 + y 2).

Graafikul näeb see välja nagu kahe vektori liitmine tuntud rööpkülikureegli järgi.

Lahutamisoperatsioon

Seda peetakse liitmise erijuhuks, kui üks arv on positiivne, teine ​​on negatiivne, st asub peegelkvartalis. Algebraline tähistus näeb välja nagu erinevus tegeliku ja kujutletava osa vahel.

z = z 1 - z 2 või, võttes arvesse argumentide väärtusi, sarnaselt liitmisoperatsioonile, saame reaalväärtuste x = (x 1 - x 2) ja imaginaarsete väärtuste jaoks y = (y 1 - y 2).

Korrutamine komplekstasandil

Kasutades polünoomidega töötamise reegleid, tuletame kompleksarvude lahendamise valemi.

Järgides üldisi algebrareegleid z=z 1 ×z 2, kirjeldame iga argumenti ja esitame sarnased. Tegelikud ja kujuteldavad osad võib kirjutada järgmiselt:

• x = x 1 × x 2 - y 1 × y 2,
• y = x 1 × y 2 + x 2 × y 1.

See näeb ilusam välja, kui kasutame eksponentsiaalseid kompleksnumbreid.

Avaldis näeb välja selline: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) .

Jaoskond

Kui käsitleda jagamistehte korrutustehte pöördväärtusena, saame eksponentsiaalses tähistuses lihtsa avaldise. Z 1 väärtuse jagamine z 2-ga on nende moodulite ja faaside erinevuse jagamise tulemus. Formaalselt näeb kompleksarvude eksponentsiaalset vormi kasutades välja järgmine:

z = z 1 / z 2 = r 1 × e i ϴ 1 / r 2 × e i ϴ 2 = r 1 / r 2 × e i(ϴ 1- ϴ 2) .

Algebralise tähise kujul on arvude jagamise operatsioon komplekstasandil kirjutatud veidi keerulisemalt:

Argumente kirjeldades ja polünoomide teisendusi tehes on aga lihtne saada väärtusi x = x 1 × x 2 + y 1 × y 2, vastavalt y = x 2 × y 1 - x 1 × y 2 , kirjeldatud ruumi raames on sellel avaldisel mõtet, kui z 2 ≠ 0.

Juure ekstraheerimine

Kõike ülaltoodut saab kasutada keerukamate algebraliste funktsioonide määratlemiseks - mis tahes astmeni tõstmine ja selle pöördväärtus - juure eraldamine.

Kasutades astmeni n tõstmise üldist kontseptsiooni, saame definitsiooni:

z n = (r × e i ϴ) n .

Kasutades üldisi omadusi, kirjutame selle ümber järgmisel kujul:

z n = r n × e i ϴ n .

Oleme saanud lihtsa valemi kompleksarvu astmeks tõstmiseks.

Kraadi määratlusest saame väga olulise järelduse. Kujutise ühiku paaritu võimsus on alati võrdne 1-ga. Imaginaarse ühiku paaritu võimsus on alati võrdne -1-ga.

Nüüd uurime pöördfunktsiooni – juure ekstraheerimist.

Märgistamise lihtsuse huvides võtame n = 2. Ruutjuur w kompleksväärtusest z komplekstasandil C loetakse tavaliselt avaldiseks z = ±, mis kehtib iga nullist suurema või sellega võrdse reaalse argumendi korral. Kui w ≤ 0, ei ole lahendust.

Vaatame lihtsaimat ruutvõrrandit z 2 = 1. Kasutades kompleksarvude valemeid, kirjutame ümber r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0. Kirjest on selge, et r 2 = 1 ja ϴ = 0, seega on meil ainulaadne lahendus, mis on võrdne 1-ga. Kuid see on vastuolus kontseptsiooniga, et z = -1, vastab ka ruutjuure definitsioonile.

Mõelgem välja, millega me ei arvesta. Kui me mäletame trigonomeetrilist tähistust, taastame väite - faasi ϴ perioodilise muutumisega kompleksarv ei muutu. Tähistame perioodi väärtust sümboliga p, siis on tõene: r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p), millest 2ϴ = 0 + p ehk ϴ = p / 2. Seega e i 0 = 1 ja e i p /2 = -1. Saime teise lahenduse, mis vastab ruutjuure üldisele arusaamale.

Nii et kompleksarvu suvalise juure leidmiseks järgime protseduuri.

• Kirjutame eksponentsiaalse kuju w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk), k on suvaline täisarv.
• Vajaliku arvu võime esitada ka Euleri kujul z = r × e i ϴ .
• Kasutame juure eraldamise funktsiooni üldist definitsiooni r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) .
• Moodulite ja argumentide võrdsuse üldistest omadustest kirjutame r n = ∣w∣ ja nϴ = arg (w) + p×k.
• Kompleksarvu juure lõplikku tähistust kirjeldatakse valemiga z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n.
• kommenteerida. Väärtus ∣w∣ on definitsiooni järgi positiivne reaalarv, mis tähendab, et mis tahes astme juur on mõttekas.

Põld ja kaaslane

Kokkuvõtteks anname kaks olulist definitsiooni, millel on lahenduse jaoks vähe tähtsust rakendatud probleemid kompleksarvudega, kuid on tähenduslikud edasine areng matemaatiline teooria.

Öeldakse, et liitmise ja korrutamise avaldised moodustavad välja, kui need vastavad komplekstasandi z mis tahes elemendi aksioomidele:

1. Kompleksterminite kohtade muutmine ei muuda komplekssummat.
2. Väide on tõene – kompleksavaldises saab iga kahe arvu summa asendada nende väärtusega.
3. On olemas neutraalne väärtus 0, mille puhul z + 0 = 0 + z = z on tõene.
4. Iga z jaoks on vastand - z, mille liitmine annab nulli.
5. Keeruliste tegurite kohtade muutmisel ei muutu kompleksprodukt.
6. Iga kahe arvu korrutamise saab asendada nende väärtusega.
7. Seal on neutraalne väärtus 1, mille korrutamine ei muuda kompleksarvu.
8. Iga z ≠ 0 jaoks on pöördväärtus z -1, mille korrutamisel saadakse 1.
9. Kahe arvu summa korrutamine kolmandikuga võrdub mõlema arvu korrutamise ja tulemuste liitmise operatsiooniga.
10. 0 ≠ 1.

Arve z 1 = x + i×y ja z 2 = x - i×y nimetatakse konjugaadiks.

Teoreem. Sidumisel kehtib järgmine väide:

• Summa konjugaat on võrdne konjugeeritud elementide summaga.
• Toote konjugaat on võrdne konjugaatide korrutisega.
• võrdne arvu endaga.

Üldalgebras nimetatakse selliseid omadusi tavaliselt välja automorfismideks.

Näited

Järgides etteantud kompleksarvude reegleid ja valemeid, saate nendega hõlpsasti töötada.

Vaatame lihtsamaid näiteid.

Ülesanne 1. Kasutades võrrandit 3y +5 x i= 15 - 7i, määrake x ja y.

Lahendus. Meenutagem kompleksvõrraduste definitsiooni, siis 3y = 15, 5x = -7. Seetõttu x = -7/5, y = 5.

2. ülesanne. Arvutage 2 + i 28 ja 1 + i 135 väärtused.

Lahendus. Ilmselgelt 28. paarisarv, alates kompleksarvu definitsioonist kuni astmeni, milleks on meil i 28 = 1, mis tähendab, et avaldis on 2 + i 28 = 3. Teine väärtus, i 135 = -1, siis 1 + i 135 = 0 .

3. ülesanne. Arvutage väärtuste 2 + 5i ja 4 + 3i korrutis.

Lahendus. Kompleksarvude korrutamise üldistest omadustest saame (2 + 5i)X(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20). Uus väärtus on -7 + 26i.

4. ülesanne. Arvutage võrrandi z 3 = -i juured.

Lahendus. Kompleksarvu leidmiseks võib olla mitu võimalust. Vaatleme ühte võimalikest. Definitsiooni järgi ∣ - i∣ = 1, faas -i jaoks on -p / 4. Algse võrrandi saab ümber kirjutada kujul r 3 *e i 3ϴ = e - p/4+ pk, kust z = e - p / 12 + pk /3 , mis tahes täisarvu k korral.

Lahenduste hulk on kujul (e - ip/12, e ip /4, e i 2 p/3).

Miks on vaja kompleksarve?

Ajalugu teab palju näiteid, kui teadlased, kes töötavad teooria kallal, isegi ei mõtle oma tulemuste praktilisele rakendamisele. Matemaatika on ennekõike mõistusemäng, põhjus-tagajärg seoste range järgimine. Peaaegu kõik matemaatilised konstruktsioonid taanduvad integraali ja lahendamisele diferentsiaalvõrrandid, ja need omakorda mõne lähendusega lahendatakse polünoomide juurte leidmisega. Siin puutume esmalt kokku imaginaarsete arvude paradoksiga.

Teadlased, loodusteadlased, otsustavad täielikult praktilisi probleeme, kasutades erinevate võrrandite lahendusi, avastage matemaatilisi paradokse. Nende paradokside tõlgendamine viib täielikult hämmastavaid avastusi. Üks selline näide on elektromagnetlainete kahetine olemus. Kompleksarvud mängivad nende omaduste mõistmisel otsustavat rolli.

See omakorda leidis praktiline kasutamine optikas, raadioelektroonikas, energeetikas ja paljudes teistes tehnoloogiavaldkondades. Teine näide, palju raskem mõista füüsikalised nähtused. Pliiatsi otsas ennustati antiainet. Ja alles palju aastaid hiljem algavad katsed seda füüsiliselt sünteesida.

Ei maksa arvata, et sellised olukorrad eksisteerivad ainult füüsikas. Mitte vähem huvitavaid avastusi tehakse eluslooduses, makromolekulide sünteesil ja tehisintellekti uurimisel. Ja seda kõike tänu meie teadvuse avardumisele, eemaldudes looduslike suuruste lihtsast liitmisest ja lahutamisest.

TeemaKompleksarvud ja polünoomid

Loeng 22

§1. Kompleksarvud: põhimõisted

Sümbol tuuakse sisse suhtega
ja seda nimetatakse imaginaarseks ühikuks. Teisisõnu,
.

Definitsioon. Vormi väljendamine
, Kus
, nimetatakse kompleksarvuks ja arvuks nimetatakse kompleksarvu reaalosaks ja tähistada
, number – mõtteline osa ja tähistada
.

Sellest definitsioonist järeldub, et reaalarvud on need kompleksarvud, mille imaginaarosa on võrdne nulliga.

Kompleksarve on mugav esitada tasapinna punktidega, millel on antud Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatsüsteem, nimelt: kompleksarv
vastab punktile
ja vastupidi. Teljel
on kujutatud reaalarvud ja seda nimetatakse reaalteljeks. Vormi kompleksarvud

nimetatakse puhtalt väljamõeldud. Neid kujutavad punktid teljel
, mida nimetatakse kujuteldavaks teljeks. Seda tasapinda, mis on ette nähtud kompleksarvude esitamiseks, nimetatakse komplekstasandiks. Kompleksarv, mis ei ole reaalne, s.t. selline, et
, mida mõnikord nimetatakse imaginaarseks.

Kaht kompleksarvu peetakse võrdseks siis ja ainult siis, kui nende tegelik ja kujuteldav osa on samad.

Kompleksarvude liitmine, lahutamine ja korrutamine toimub polünoomalgebra tavaliste reeglite järgi, võttes arvesse asjaolu, et

. Jagamistehte saab defineerida kui korrutustehte pöördtehet ja tõestada tulemuse kordumatust (kui jagaja on nullist erinev). Praktikas kasutatakse aga teistsugust lähenemist.

Kompleksarvud
Ja
nimetatakse konjugaadiks, komplekstasandil kujutatakse neid reaaltelje suhtes sümmeetriliste punktidega. On ilmne, et:

1)

;

2)
;

3)
.

Nüüd jagatud peal saab teha järgmiselt:

.

Seda pole raske näidata

,

kus on sümbol tähistab mis tahes aritmeetilisi tehteid.

Lase
mingi kujuteldav arv ja - tegelik muutuja. Kahe binoomarvu korrutis

on reaalkoefitsientidega ruuttrinoom.

Nüüd, kui meie käsutuses on kompleksarvud, saame lahendada mis tahes ruutvõrrandi
.Kui siis

ja võrrandil on kaks keerulist konjugaatjuurt

.

Kui
, siis on võrrandil kaks erinevat reaaljuurt. Kui
, siis on võrrandil kaks identset juurt.

§2. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju

Nagu eespool mainitud, kompleksarv
mugav esitada punktina
. Seda arvu saab tuvastada ka selle punkti raadiusvektoriga
. Selle tõlgenduse korral toimub kompleksarvude liitmine ja lahutamine vastavalt vektorite liitmise ja lahutamise reeglitele. Kompleksarvude korrutamiseks ja jagamiseks on mugavam mõni muu vorm.

Tutvustame komplekstasandil
polaarkoordinaatide süsteem. Siis kuhu
,
ja kompleksarv
võib kirjutada järgmiselt:

Seda tähistusvormi nimetatakse trigonomeetriliseks (erinevalt algebralisest vormist
). Sellel kujul number nimetatakse mooduliks ja – kompleksarvu argument . Need on määratud:
,

. Mooduli jaoks on meil valem

Arvu argument ei ole üheselt määratletud, vaid kuni termini ulatuses
,
. Argumendi väärtus, mis rahuldab ebavõrdsust
, nimetatakse peamiseks ja tähistatakse
. Siis
. Argumendi põhiväärtuse jaoks saate järgmised avaldised:

,

arvu argument
peetakse ebakindlaks.

Kahe kompleksarvu võrdsuse tingimus trigonomeetrilisel kujul on järgmine: arvude moodulid on võrdsed ja argumendid erinevad kordse
.

Leiame kahe kompleksarvu korrutise trigonomeetrilisel kujul:

Seega, kui arvud korrutatakse, korrutatakse nende moodulid ja liidetakse nende argumendid.

Sarnaselt saame kindlaks teha, et jagamisel jagatakse arvude moodulid ja lahutatakse argumendid.

Mõistes eksponentsimist kui korduvat korrutamist, saame kompleksarvu astmeks tõstmise valemi:

Tuletame valemi
- juur - kompleksarvu astmes (mitte segi ajada reaalarvu aritmeetilise juurega!). Juure eraldamise tehe on astendamise pöördtehte. Sellepärast
on kompleksarv selline, et
.

Lase
on teada, aga
tuleb leida. Siis

Kahe kompleksarvu võrdsusest trigonomeetrilisel kujul järeldub, et

,
,
.

Siit
(see on aritmeetiline juur!),

,
.

Seda on lihtne kontrollida saab ainult vastu võtta sisuliselt erinevad väärtused, näiteks millal
. Lõpuks on meil valem:

,
.

Nii et juur kompleksarvu astmel on erinevaid tähendusi. Komplekstasandil asuvad need väärtused tippudes õigesti - raadiusega ringi sisse kirjutatud kolmnurk
mille keskpunkt on lähtepunktis. "Esimesel" juurel on argument
, erinevad kahe “naaberjuure” argumendid
.

Näide. Võtame kujuteldava ühiku kuupjuure:
,
,
. Seejärel:

,

§1. Kompleksarvud

1°. Definitsioon. Algebraline tähistus.

Definitsioon 1. Kompleksarvud kutsutakse reaalarvude järjestatud paare Ja , kui nende jaoks on defineeritud võrdsuse mõiste, liitmise ja korrutamise tehted, mis vastavad järgmistele aksioomidele:

1) Kaks numbrit
Ja
võrdne siis ja ainult siis
,
, st.

 , .

2) Kompleksarvude summa
Ja

ja võrdne
, st.

+ = .

3) Kompleksarvude korrutis
Ja
on number, mida tähistab
ja võrdne, st.

∙=.

Kompleksarvude hulk on tähistatud C.

Vormi numbrite valemid (2), (3).
võta vorm

millest järeldub, et vormi arvude liitmise ja korrutamise tehted
kattuvad reaalarvude liitmise ja korrutamisega  vormi kompleksarv
identifitseeritakse reaalarvuga .

Kompleksnumber
helistas kujuteldav ühik ja on määratud , st.
Seejärel alates (3) 

Alates (2), (3)  mis tähendab

Avaldist (4) nimetatakse algebraline tähistus kompleksarv.

Algebralises tähistuses on liitmise ja korrutamise toimingud järgmisel kujul:

Kompleksarvu tähistatakse
, - pärisosa, - kujuteldav osa, on puhtalt imaginaarne arv. Määramine:
,
.

2. definitsioon. Kompleksnumber
helistas konjugaat kompleksarvuga
.

Kompleksse konjugatsiooni omadused.

1)

2)
.

3) Kui
, See
.

4)
.

5)
- tegelik arv.

Tõestus toimub otsese arvutuse teel.

3. määratlus. Number
helistas moodul kompleksarv
ja on määratud
.

See on ilmne
ja


. Valemid on samuti ilmsed:
Ja
.

2°. Liitmis- ja korrutustehte omadused.

1) Kommutatiivsus:
,
.

2) Assotsiatiivsus:,
.

3) Jaotuvus: .

Tõestused 1) – 3) tehakse otsearvutustega, mis põhinevad reaalarvude sarnastel omadustel.

4)
,
.

5) , C ! , mis rahuldab võrrandi
. See

6) ,C, 0, ! :
. See leitakse võrrandi korrutamisel arvuga



.

Näide. Kujutagem ette kompleksarvu
algebralises vormis. Selleks korrutage murdosa lugeja ja nimetaja nimetaja konjugeeritud arvuga. Meil on:

3°. Kompleksarvude geomeetriline tõlgendamine. Kompleksarvu kirjutamise trigonomeetriline ja eksponentsiaalne vorm.

Olgu tasapinnal määratud ristkülikukujuline koordinaatsüsteem. Siis
C saate tasapinna punkti koordinaatidega sobitada
.(vt joonis 1). Ilmselgelt on selline kirjavahetus üks-ühele. Sel juhul asuvad reaalarvud abstsissteljel ja puhtalt imaginaarsed arvud ordinaatteljel. Seetõttu nimetatakse abstsisstelge tegelik telg, ja ordinaattelg − kujuteldav telg. Nimetatakse tasapinda, millel asuvad kompleksarvud keeruline lennuk.

Pange tähele, et Ja
on sümmeetrilised päritolu suhtes ja Ja sümmeetriline härja suhtes.

Iga kompleksarvu (st iga tasandi punkti) saab seostada vektoriga, mille algus on punktis O ja lõpp punktis
. Vektorite ja kompleksarvude vaheline vastavus on üks-ühele. Seega kompleksarvule vastav vektor , tähistatud sama tähega

D vektorjoon
mis vastab kompleksarvule
, on võrdne
ja
,
.

Kasutades vektoritõlgendust, näeme, et vektor
− vektorite summa Ja , A
− vektorite summa Ja
.(vt joonis 2). Seetõttu kehtivad järgmised ebavõrdsused: ,

Koos pikkusega vektor tutvustame nurka vektori vahel ja Hrja telg, lugedes Hrja telje positiivsest suunast: kui loendatakse vastupäeva, siis loetakse nurga märk positiivseks, kui päripäeva, siis negatiivseks. Seda nurka nimetatakse kompleksarvu argument ja on määratud
. Nurk ei ole määratud üheselt, vaid täpselt
… . Sest
argument ei ole määratletud.

Valemid (6) defineerivad nn trigonomeetriline tähistus kompleksarv.

(5) järeldub, et kui
Ja
See

, .

Alates (5)
kuidas oleks Ja kompleksarv määratakse üheselt. Vastupidine pole tõsi: nimelt kompleksarvu kohal selle moodul on ainulaadne ja argument , (7) alusel, − täpsusega
. Samuti tuleneb punktist (7), et argument võib leida võrrandi lahendusena

Kuid mitte kõik selle võrrandi lahendid ei ole (7) lahendused.

Kõigi kompleksarvu argumendi väärtuste hulgast valitakse üks, mida nimetatakse argumendi põhiväärtuseks ja tähistatakse
. Tavaliselt valitakse argumendi põhiväärtus kas intervallis
, või intervallis

Korrutamise ja jagamise tehteid on mugav teha trigonomeetrilises vormis.

1. teoreem. Kompleksarvude korrutise moodul Ja on võrdne moodulite korrutisega ja argument on argumentide summa, st.

, A.

Samamoodi

,

Tõestus. Laske,. Siis saame otsese korrutamise teel:

Samamoodi

.■

Tagajärg(Moivre'i valem). Sest
Moivre'i valem kehtib

P näiteks. Leiame punkti geomeetrilise asukoha
. 1. teoreemist järeldub, et .

Seetõttu peate selle konstrueerimiseks kõigepealt konstrueerima punkti , mis on inversioon ühikringi suhtes ja seejärel leida punkt, mis on selle suhtes sümmeetriline Ox-telje suhtes.

Lase
, st.
Kompleksnumber
tähistatud
, st. R Euleri valem kehtib

Sest
, See
,
. 1. teoreemist
mis selle funktsiooniga on
saab töötada nagu tavalise eksponentsiaalfunktsiooniga, s.t. võrdsused kehtivad

,
,
.

Alates (8)
demonstratiivne märge kompleksarv

, Kus
,

Näide. .

4°. Juured - kompleksarvu astmes.

Mõelge võrrandile

, KOOS , N .

Lase
, ja võrrandi (9) lahendust otsitakse kujul
. Seejärel võtab (9) kuju
, kust me selle leiame
,
, st.

,
,
.

Seega on võrrandil (9) juured

, .

Näitame, et (10) hulgas on täpselt erinevad juured. Tõesti,

on erinevad, sest nende argumendid on erinevad ja erinevad vähem kui
. Edasi,
, sest
. Samamoodi
.

Seega võrrand (9) juures
on täpselt juured
, mis asub korrapärase tippudes - raadiusega ringi sisse kirjutatud kolmnurk mille keskpunkt on punktis O.

Seega on see tõestatud

2. teoreem. Juure ekstraheerimine - kompleksarvu astmes
See on alati võimalik. Kõik juurtähendused aste asub õige tippudes -gon on kantud ringi, mille keskpunkt on nullis ja raadiuses
. kus,

Tagajärg. Juured 1-nda astme väljendatakse valemiga

.

Kahe juure korrutis 1 on juur, 1 on juur - ühtsuse jõud, juur
:
.