Möbiuse funktsioon. Möbiuse inversioonivalem. Mobiuse riba - Mobiuse riba hämmastav avastus "Maagiline".

Vallaeelarveline õppeasutus keskharidus üldhariduslik koolüksikisiku süvendatud uurimisega

esemed koos. Terbuny

Mobiuse riba

Lõpetanud: Chepurina Anna Vitalievna,

10. klassi õpilane

Juht: Kirikova M.A.

esimene matemaatika õpetaja

kvalifikatsioonikategooria

Terbuny küla

2015. aasta

Sissejuhatus………………………………………………………………………………………

Ajalooline taust……………………………………………………………4

Möbiuse riba on uue topoloogiateaduse algus...................................5

Mobiuse riba valmistamine…………………………………..6

Katsed Mobiuse ribaga................................................ ......................9

Möbiuse riba topoloogilised omadused………………………..11

Möbiuse riba teoreemid………………………………………….12

Trikid Mobiuse ribaga…………………………………………………………15

Möbiuse riba paigaldamine………………………………………..16

Järeldus.................................................. ............................................23

Kasutatud kirjanduse loetelu................................................................ ........ .25

Rakendus

Sissejuhatus

Tänapäeval on oluline uurida ebatavaliste kujundite erinevaid omadusi ja mittestandardseid rakendusi.

Kas olete kunagi kuulnud Möbiuse ribast? Kuidas seda teha saab, kuidas see on seotud matemaatikaga ja kus seda elus kasutatakse.

Seda tööd tehes jõudsin järeldusele, et kuigi Möbiuse riba avastati juba 19. sajandil, oli see aktuaalne nii 20. kui 20. sajandil. Möbiuse riba hämmastavaid omadusi on kasutatud ja kasutatakse kokanduses, tehnoloogias, füüsikas, maalikunstis, arhitektuuris ning ehete ja ehete kujundamisel. Ta inspireeris paljude kirjanike ja kunstnike loovust.

Huvi Möbiuse riba vastu pole raugenud tänaseni. 2006. aasta septembris toimus Moskvas kunstilise matemaatika festival. Tokyost pärit professori kõne võeti vastu suure eduga.

Mind huvitas see teema väga ja huvitas. Uurisin kirjandust, tegin siis ise Mobiuse riba ja siis tegin uurimistööd, katsetasin, uurisin selle maagilisi, erakordseid omadusi.

Möbiuse riba on pabeririba, mille üks ots on pool pööret (st 180 kraadi) pööratud ja teise otsa liimitud. Miljonid inimesed kõikjal maailmas ei saa isegi aru, et nad kasutavad Möbiuse riba iga päev.

Sihtmärk : rääkige ja näidake oma klassikaaslastele, et pealtnäha lihtne lint, treitud

poolpööre liimitud otstega, võib sisaldada palju

üllatusi.

Õppeobjekt: Möbiuse riba.

Ülesanded: tuvastada selleteemalised allikad ja kirjandus ning analüüsida neid;

tutvuda Mobiuse riba ajalooga;

õppida tegema Mobiuse riba;

uurida Möbiuse riba erinevaid omadusi;

Teema kallal töötades kasutasin järgmist meetodid: analüüs, süntees,

vaatlus, eksperiment, võrdlus ja sotsioloogiline uuring.

PEATÜKK I

"Möbiuse riba - uue teaduse algus"

1. 1. Ajalooline taust

Salapärase ja kuulsa Möbiuse riba leiutas 1858. aastal Saksa geomeeterAugust Ferdinand Mobius . Nad räägivad, et Mobiuse “lehe” aitas avada neiu, kes õmbles pika lindi otsad valesti. Ta ootas seitse aastat oma töö ülevaatamist ja avaldas ootamata selle tulemused.

Möbiusega samal ajal leiutas selle lehe teine ​​K. F. Gaussi õpilane -Johann Benedict Listing, Göttingeni ülikooli professor. Ta avaldas oma teose kolm aastat varem kui Mobius, 1862. aastal. A. F. Mobius sündis Schulpforte linnas. Mõnda aega õppis ta K. Gaussi juhendamisel astronoomiat. Ta alustas iseseisvate astronoomiliste vaatluste läbiviimist Pleisenburgi observatooriumis 1818. aastal. sai selle direktoriks. Tol ajal matemaatikat ei toetatud ja astronoomia andis piisavalt raha, et nendele mitte mõelda, ja jäi aega oma mõtete jaoks. Saades Leipzigi ülikooli professoriks, võttis Möbius 1816. aastal esmakordselt kasutusele projektiivse geomeetria, koordinaatsüsteemi ja analüütilised uurimismeetodid; tuvastas ühekülgsete pindade (Möbiuse ribade), hulktahukate olemasolu, mille puhul “servade seadus” ei kehti ja millel puudub maht. Möbius on üks geomeetriliste teisenduste teooria, aga ka topoloogia rajajaid. Ta saavutas olulisi tulemusi arvuteoorias (Möbiuse funktsioon) ja temast sai üks oma aja juhtivaid geomeetriid.

1.2. Möbiuse riba - uue topoloogiateaduse algus

Alates hetkest, mil saksa matemaatik A. F. Möbius avastas hämmastava ühepoolse paberilehe olemasolu, hakkas arenema täiesti uus matemaatika haru, mida nimetatakse topoloogiaks. Mõiste "topoloogia" võib omistada kahele matemaatika harule. Ühte topoloogiat, mille rajajaks oli Poincaré, nimetati pikka aega kombinatoorseks. Teisele, kelle päritolu oli saksa teadlane Georg Cantor, anti nimi üld- või hulgateoreetiline.

Kombinatoorne topoloogia on geomeetria haru. "Geomeetria" on kreekakeelne sõna, tõlgitud vene keelde tähendab "maamõõtmist" ("geo" tähendab kreeka keeles maad ja "metreo" tähendab mõõta) uurib kujundite omadusi. Nagu iga teadus, on geomeetria jagatud osadeks.

1. Planimeetria (ladina sõna, “planum” – pind + geomeetria), geomeetria osa, mis uurib tasapinnal olevate kujundite (kolmnurk, ruut, ring, ring jne) omadusi.

2. Stereomeetria (kreeka keeles "stereos" - ruum + geomeetria) - geomeetria osa, mis uurib kujundite omadusi ruumis (kera, kuup, rööptahukas jne)

H. Topoloogia (kreeka "topos" - koht, maastik + loogika) on tänapäeva geomeetria üks "nooremaid" lõike, mis uurib selliste kujundite omadusi, mis ei muutu, kui neid painutada, venitada, kokku suruda, kuid mitte liimida. ja ei rebene, st ei muutu deformeerumisel. Topoloogiliste objektide näited on: tähed I ja H, õhukesed pikad õhupallid.

Kombinatoorne topoloogia uurib omadusi geomeetrilised kujundid, mis jäävad muutumatuks üks-ühele ja pideva kaardistamise korral. Pikka aega tajuti topoloogiat kui elust kaugel asuvat teadust, mille eesmärk oli ainult "inimmõistuse ülistamine". Kuid meie ajal on selgunud, et see on otseselt seotud universumi ehituse selgitamisega.

Üldine topoloogia külgneb hulgateooriaga ja on matemaatika aluseks. See on aksiomaatiline teooria, mille eesmärk on uurida selliseid mõisteid nagu "piir", "konvergents", "järjepidevus" jne. Topoloogilise ruumi aksiomaatika aluse pani paika Felix Hausdorff ja see lõpetas. Vene matemaatik Pavel Sergejevitš Aleksandrov.

1.3. Kuidas teha Möbiuse riba

● Möbiuse riba on üks (matemaatilisi üllatusi) Möbiuse riba tegemiseks võtke ristkülikukujuline riba ABCD, keerake seda 180 kraadi ja liimige vastasküljed AB jaCD, st. seega punktid A ja langevad kokkuC ja punktid D ja V.

Vt adj. üksteist.

● Paberiribade kuju ja suurus Möbiuse riba jaoks.

Riba peaks olema kitsas ja pikk, võimalikult suure pikkuse ja laiuse suhtega. Kandilisest paberilehest Möbiuse riba teha ei saa. See on tõsi, kuid ei saa alahinnata, et suurusepiirangud loevad, kui paberil ei lasta kortsuda. Kui paberi kortsutamine pole keelatud, siis Möbiuse riba saab liimida mitte ainult ruudust, vaid igas suuruses ristkülikust - liimitud küljed võivad olla isegi mitu korda pikemad kui mitteliimitud.

● Arenduspind.

Kuna nõue mitte paberit kortsuda on oluline, siis vaatame, mis on selle matemaatiline tähendus.

On lihtne aru saada, et paberi kortsumise keeld piirab oluliselt

paberilehega manipuleerimise oskus. Näiteks paberilehe saab keerata toruks või voltida pooleks ilma kortsuta, aga neljaks kokku voltida ei saa. Paberilehest saab koonuse teha ilma seda kortsutamata, kuid sellest ei saa teha kera ega isegi tükki: suru paberileht vastu maakera ja kindlasti tekivad voldid. Nagu näete, ei saa paberilehele mingit kuju anda. Vt adj. 2.

Pindasid, mida saab teha paberilehest painutades seda purustamata, nimetavad matemaatikud arendatavateks pindadeks. Matemaatikas defineeritakse arendatavaid pindu erinevalt: metamatemaatilises keeles puuduvad sõnad “paber”, “kortsutama”, “tegema”. Arendatavate pindade kohta on olemas terve teooria, mille saavutuste hulgas on ka rahuldav vastus küsimusele, millised need olla võivad; matemaatikud nimetavad seda "klassifikatsiooniks" (vastus kuulub Leonardo Eulerile). Esitagem eksperimentaalsete faktidena ainult mõned arendatavate pindade omadused.

Vt adj. 3

1. Läbi iga arendatava pinna punkti A, mis ei asu selle piiril, läbib pinnal asuv segment, mis ei lõpe punktiga A. Teisisõnu, igasse arendatava pinna punkti (kõver, kuid mitte kortsus). paberileht) saab kinnitada kudumisvarda nii, et see külgneb mingil määral pinnaga mõlemalt poolt võetud punkti. Sellist segmenti nimetatakse pinna generatriksiks (leppigem kokku, et see nimi kehtib ainult maksimaalse pikkusega segmentidele, mis asuvad täielikult pinnal, st segmentidele, mis ei sisaldu selle omadusega suurtes segmentides).

2. Kui punkti A, mis ei asu pinna piiril, läbivad kaks erinevat generaatorit ja A ei ole kummagi ots, siis on piisavalt väike tükk A ümbritsevast pinnast tasane. Sel juhul nimetame punkti A tasaseks.

3. Kui punkt A, mis ei asu pinna piiril, on mõne generaatori ots, ütleme,A , siis on punkti A naabrus struktureeritud järgmiselt: punktist A läbib ainus generatriks, mis sellega ei lõpe, oletameb . See generatrix jagab pinna kaheks osaks. Teisel pool generatrixitb , millega generatrix asuba , generaatorisse b lame tükk on kõrval, teisel poolb , meelevaldselt punktist A, on mittetasaseid punkte. Sellises olukorras nimetame punkti A pooltasaseks.

Rõhutame, et kui pinna punkt ei ole piir ega tasane, siis läbib seda üks generatriks, mis sellega ei lõpe ja selle generatriksi otsad asuvad pinna piiril.

●Näited: silindrisse või koonusesse rullitud paberilehel ei ole lamedaid (või poollapedaid) punkte. Silindris moodustavad generaatorid perekonna paralleelsed segmendid, koonusel on segmentide perekond, mis ulatub ühest punktist välja. Võimalikud on ka keerukamad generaatorite paigutused.

Vt adj. 4 .

Näiteks on joonisel kujutatud arenduspinna generaatorid ja lamedad punktid (millel pind on lahti volditud tasaseks paberileheks): õhukesed jooned on generaatorid ja varjutatud alad koosnevad lamedatest punktidest.

Tasaste punktide piirkonna piiril asuvad punktid on kas kogu pinna piiripunktid või pooltasapinnalised. Kui pind on valmistatud paberist hulknurgast (näiteks ristkülikust), siis tasapinnalised punktid moodustavad ühe või mitu tasapinnalist hulknurka, millest igaühel on tipud pinna piiril ja küljed kas piiril või koosnevad pooltasapinnalistest punktidest.

2. PEATÜKK

2.1. Katsed Mobiuse ribaga

Igaühel meist on intuitiivne ettekujutus sellest, mis on "pind". Paberilehe pind, klassiruumi seinte pind, maakera pind on kõigile teada. Kas sellises tavalises kontseptsioonis võib olla midagi müstilist? Jah, võib-olla on näiteks Möbiuse riba. Selle omaduste uurimiseks viisin üksi läbi mitu katset (jagades need kahte rühma).

I katsete rühm

Kogemus nr 1. Oleme harjunud, et igal pinnal, kust

meil on tegemist (paberileht, jalgratas või võrkpallitoru) –

kaks külge.

Alustasin Mobiuse riba värvimist ilma seda ümber pööramata.

Tulemus . Möbiuse riba värviti täielikult üle.

"Kui keegi otsustab värvida ainult ühe poole

Möbiuse riba pinnale, lase tal see kõik kohe värviämbrisse kasta. - kirjutab Richard Courant ja Herbert Robins suurepärases

raamat "Mis on matemaatika?"

Kogemus nr 2. Tegin paberist ämbliku ja kärbse ning saatsin selle ringi “jalutama”.

tavaline ring, kuid keelas neil üle piiride minna.

Tulemus. Ämblik ei saanud kärbse juurde.

Katse nr 3. Saatsin need ämblikud ja lendasin ainult mööda Mobiuse riba. JA

keelas neil üle piiri roomata.

Tulemus.Vaene kärbes süüakse ära, kui ämblik muidugi jookseb

kiiremini!

Kogemus nr 4. Tegin paberist väikese mehe ja saatsin ta mööda Mobiuse riba rändama.

Tulemus. Väikemees naaseb lähtepunkti, kus ta kohtuks oma peegelpildiga.

II katsete rühm

seotud Möbiuse riba lõikamisega, on tulemused loetletud tabelis

kogemusi

Kogemuse kirjeldus

Tulemus

Lõikasin pikuti lihtsa rõnga keskelt alla.

Sain kaks lihtsat sõrmust, ühepikkused, kaks korda laiemad, kahe äärisega.

Möbiuse riba lõigati pikuti keskelt alla.

Sain 1 rõnga, mille pikkus on kaks korda pikem, laius on kaks korda kitsam, keeratud 1 täispööre, ühe äärisega.

Möbiuse riba laius

5cm lõika pikuti 1cm kauguselt servast.

Sain kaks omavahel seotud sõrmust: 1) Mobiuse riba - pikkus = originaali pikkus, laius 3 cm; 2) laius 1cm, pikkus kaks korda originaalist, keeratud kaks täispööret, kahe äärisega.

Möbiuse riba laius

5cm lõika pikuti 2cm kauguselt servast.

Sain kaks omavahel ühendatud sõrmust: 1) sõrmus on 1 cm laiune Möbiuse riba, pikkus = originaali pikkus; 2) rõngas - 2 cm lai, kaks korda pikem kui originaal, kahe täispöörde võrra keerdunud, kahe äärisega.

5 cm laiune Möbiuse riba, lõigatud pikisuunas servast 3 cm kauguselt.

Sain kaks rõngast omavahel ühendatud: 1) rõngas on Möbiuse riba laiusega

1 cm sama pikkusega; 2) rõngas - 2 cm lai, selle pikkus on kaks korda suurem kui originaal, keeratud kaks täispööret.

10. klassi õpilastega läbiviidud sotsioloogilise küsitluse tulemused.

Küsimused

Jah

Ei

Kas sa oled kuulnud

1. Kas sa tead, mis on topoloogia?

2. Kas sa tead, mis on Mobiuse riba?

3.Kas teadsid Mobiuse riba omadused?

Mis on topoloogia, teab vaid 5% 10. klassi õpilastest. 30% õpilastest teab, mis on Mobiuse riba, 20% on sellest kuulnud. 50%-l pole Mobiuse ribast aimugi. 25% õpilastest teab riba omadusi, 10% on neist kuulnud, 65% ei tea Möbiuse riba omadustest mitte midagi.

2.2.Möbiuse riba topoloogilised omadused

Katsete tulemuste põhjal saame sõnastada järgmised Möbiuse riba topoloogilised omadused, mis on seotud matemaatiliste üllatustega.

Ühekülgsus on Möbiuse riba topoloogiline omadus, iseloomulik ainult sellele.

Järjepidevus - Möbiuse ribal saab ühendada mis tahes punkti

mis tahes muu punktiga. Puuduvad katkestused – täielik järjepidevus.

Topoloogilisest vaatenurgast on ring ruudust eristamatu,

sest neid on lihtne purunemata teiseks muuta

järjepidevus.

Ühenduvus – rõnga poolitamiseks tuleb teha kaks lõiget. Mis puudutab Möbiuse riba, siis ühenduste arv asendatakse sõltuvalt lindi keerdude arvu muutumisest: kui üks pööre on topelt ühendatud, kui kaks keerdu on lihtsalt ühendatud, kui kolm keerdu on topelt ühendatud jne. jagage ruut kaheks osaks, vajame ainult ühte lõiget. Ühenduvust hinnatakse tavaliselt Betti numbri järgi või mõnikord kasutatakse Euleri tunnust.

4. Orientatsioon on omadus, mis Möbiuse ribal puudub. Seega, kui inimene saaks reisida mööda kõiki Mobiuse riba käänakuid, naaseb ta sinna alguspunkt, vaid muutuks tema peegelpildiks.

5. Kromaatiline arv on maksimaalne pindalade arv, mida saab pinnale joonistada nii, et igal neist on kõigi teistega ühine piir. Möbiuse riba kromaatiline number on kuus.

6. Teoreemid Möbiuse ribal

Teoreem 1: λ ≥ π/2

Tõestuse keerukuse tõttu ma seda oma töös ei arvesta.

Teoreem 2: λ ≤ √3

See teoreem on eelmisest lihtsam: selle tõestamiseks piisab, kui selgitada, kuidas liimida Möbiuse riba ribast, mille pikkus on suurem kui √3. Oletame esmalt, et selle pikkus on täpselt √3. Seejärel saate sellele ribale asetada kaks tavalist kolmnurka. Voltime riba piki nende kolmnurkade külgi, muutes voltimissuundi. Riba servad AB ja CD joonduvad ning punkt A joondub punktiga D ja punkt B punktiga C. Tulemuseks on Möbiuse riba, mille servad asetsevad otsast otsani (vt lisa 1.2 )

Selle konstruktsiooni puhul rikuti põhireeglit – ära kortsu paberit. Kuid on lihtne mõista, et kui riba pikkus on vähemalt veidi suurem kui √3, saab generatriksi piki katkemise asendada kitsas lõigus sooritatava painutamisega. Lühidalt öeldes ei karda me sirge lõigu keerdumist: selle saab asendada selle lähedal asuva kurviga. (Parandamatu paberi kortsus tekib siis, kui kaks murdejoont ristuvad, s.t. kui leht on volditud nagu taskurätik – see kõik on meile igapäevasest kogemusest teada.) Selle struktuuri võib ette kujutada järgmiselt: kolm identset korrapärast kolmnurka ABC, A"B"C", A"B"C asetsevad paralleelselt, vastavad tipud on vastavate tippude kohal; küljed AB ja A"B", B"C" ja B"C", C"A" ja CA on ühendatud džempritega. Liimimisjoon kulgeb mööda ühe kolmnurga mediaani.

Miks me ei leia λ-d täpsemalt?

Kuni probleem pole lahendatud, on raske öelda, miks see ei lahene. Sellegipoolest on mõnikord erinevates lahendamata ülesannetes võimalik jälgida ühiseid raskusi, märkida nii-öelda keerulised kohad matemaatilisele kaardile, mis mõnikord võimaldab ennustada edu või ebaõnnestumist konkreetse ülesande lahendamisel.

Teoreem 3. Iselõikuvate Möbiuse riba saab kokku liimida mis tahes pikkusega ribast, mis on suurem kui π/2.

Seda tehakse nii. Võtame piisavalt suure paaritu n ja konstrueerime korrapärase n-nurga, mis on kantud ringi läbimõõduga 1. Vaatleme veel n ringi keskpunkti sisaldavat kolmnurka, millest igaüks on piiratud n- külje ja kahe diagonaaliga. gon (n=7). Need kolmnurgad katavad meie n-nurka, mõned selle kohad mitu korda. Rakendame nüüd need n kolmnurka üksteisele, misjärel lõikame piki pikka mediaani ära pool vasakpoolseimast kolmnurgast ja rakendame selle kõige parempoolsemale kolmnurgale. Tulemuseks on ristkülikukujuline riba, mille pikkuse ja laiuse suhe on suurem kui π/2 ja kaldub väärtusele π/2 kui n, kaldudes väärtusele ∞ (riba laius kipub olema 1 ja pikkus π/2). Voldi seda riba järjekindlalt mööda kõiki sellele joonistatud jooni, muutes voltimissuundi. Segmendid AB ja CD langevad peaaegu kokku – nende vahele jääb vaid paar kihti volditud paberit. Selles "peaaegu joonduses" joondub punkt A punktiga D ja punkt B joondub punktiga C, nii et kui saaksime "lindi läbi lasta" ja liimida |AB| koos |CD|-ga, siis oleks tulemuseks Möbiuse riba. Kui teipi veidi pikemaks võtta, saab vältida voltide teket, nii nagu tegime teoreemi 2 tõestuses. Saime Möbiuse riba, mille servad on eraldatud mitme paberikihiga, vt lisa 1.3. Aga tuleme tagasi Möbiuse riba juurde. 1. teoreem, nagu nägime, kehtib tegelikult iselõikuvate ribade kohta. On ebatõenäoline, et mitte-ise-lõikumise tingimusel ei oleks mingit mõju λ-le; selle efektiga aga arvestada ei saa, kuna matemaatikas ei ole piisavalt tehnilisi vahendeid, et uurida iselõike kolmemõõtmelises ruumis. Vastupidi, on üsna tõenäoline, et teoreemi 2 ei saa parandada. Selle täiustamine tähendab ju uue lindikujunduse väljamõtlemist. Kogemus näitab, et optimaalsed konstruktsioonid on lihtsad ja harmoonilised, mis on teoreemi 2 tõestuse konstruktsioon. Loomulik on eeldada, et kui parim konstruktsioon oleks olemas, oleks see leitud - nii paljude aastate pärast!

Seetõttu võime eeldada, et λ = √3.

Moebiuse ribade trikid

Probleem sõlmede sidumisega

Kuidas siduda salli sisse sõlm ilma selle otstest lahti laskmata? Seda saab teha nii. Asetage sall lauale. Risti käed üle rinna. Jätkates nende hoidmist selles asendis, kummarduge üle laua ja võtke iga käega kordamööda üks salli ots. Pärast seda, kui käed on laiali laotatud, tekib salli keskele automaatselt sõlm. Topoloogilist terminoloogiat kasutades võib öelda, et vaataja käed, keha ja sall moodustavad kinnise kõveriku “kolmelehelise” sõlme kujul. Käte laiali sirutamisel liigub sõlm ainult kätelt sallile.

Siduge ühe käega salli sisse sõlm, laskmata salli otsa käest lahti. Vastuse sellele mõistatusele võib leida M. Gardneri raamatust “Matemaatika imed ja saladused”.

Topoloogilisest vaatenurgast võib vesti vaadelda kui kahepoolset pinda, millel on kolm mitteblokeeruvat serva, millest igaüks on tavaline kinnine kõver. Nööbitav vest on kahepoolne nelja servaga pind.

Salapärane silmus.

Vesti kandval pealtvaatajal asetatakse käe külge aas ja seejärel palutakse tal pöial vesti alumisse taskusse asetada. Nüüd saate kutsuda kohalviibijaid käest aasa eemaldama, ilma sõrme vestitaskust eemaldamata. Lahendus on järgmine: aas tuleb tõmmata varruka jaoks mõeldud vesti auku, visata vaatajale üle pea, tõmmata läbi varruka teise augu välja ja liigutada teise käe alla. Nende toimingute tulemusena jääb silmus vesti alla, ümbritsedes rindkere. Langetage seda, kuni see vesti alt välja paistab, ja laske siis põrandale kukkuda.

Vesti pööramine pahupidi ilma seda inimeselt eemaldamata.

Vesti omanikul on vaja sõrmed selja taga kinni panna. Teie ümber olevad inimesed peaksid pöörama vesti pahupidi ilma omaniku käsi eraldamata. Selle kogemuse demonstreerimiseks on vaja vest lahti teha ja kandja selja taga kätele tõmmata. Vest jääb õhku rippuma, aga loomulikult ei tule ära, sest käed on ristis. Nüüd tuleb võtta vesti vasak serv ja püüdes vesti mitte kortsuda, lükata see võimalikult kaugele paremasse käeauku. Seejärel võtke parem käeauk ja sisestage see samasse käeauku ja samas suunas. Jääb vaid vest sirgeks ajada ja omanikule selga tõmmata. Vest keeratakse pahupidi. Tegime seda trikki ja filmisime koos klassikaaslastega. See sisaldub esitluses "Mobius Strip".

2.3. Möbiuse riba pealekandmine

∞ Washingtonis asuva ajaloo- ja tehnikamuuseumi sissepääsu juures pöörleb pjedestaalil aeglaselt poole pöörde võrra keeratud teraslint. 1967. aastal, kui Brasiilias toimus rahvusvaheline matemaatikakongress, andsid selle korraldajad välja mälestusmargi, mille nimiväärtus oli viis senti. Sellel oli kujutatud Möbiuse riba. Nii üle kahe meetri kõrgune monument kui ka pisike tempel on ainulaadsed monumendid saksa matemaatikule ja astronoomile August Ferdinand Möbiusele.

Vt 5. lisa.

Patendiamet on registreerinud palju leiutisi, mis põhinevad samal ühepoolsel pinnal.

∞ Möbiuse riba kasutatakse paljudes leiutistes, mis on inspireeritud ühepoolse pinna omaduste hoolikast uurimisest. Möbiuse riba kujul valmistatud konveierilindi riba võimaldab sellel töötada kaks korda kauem, kuna kogu lehe pind kulub ühtlaselt. 1923. aastal anti patent välja leiutaja Lee de Force'ile, kes tegi ettepaneku salvestada heli filmile ilma mõlemal küljel korraga rullikuid vahetamata. Mõeldi välja kassetid magnetofonidele, kus lint keeratakse ja liimitakse rõngaks, mis võimaldab salvestada või lugeda infot korraga mõlemalt poolt, mis kahekordistab kasseti mahutavuse ja vastavalt ka mänguaja. Maatriksprinterites kujundati tindilint säilivusaja pikendamiseks Möbiuse riba kujul. See annab märkimisväärse kokkuhoiu. Möbiuse riba kasutatakse jalgratta- ja võrkpallitorudes.

∞ Hiljuti leidsid nad sellele teise kasutuse - see hakkas täitma vedru rolli, ainult erilise vedru. Teatavasti süttib laetud vedru vastupidises suunas. Mobiuse riba, vastupidiselt kõigile seadustele, ei muuda töösuunda, nagu kahe stabiilse asendiga mehhanismid. Selline vedru võiks saada üleskeritavates mänguasjades hindamatu väärtusega - seda ei saa nagu tavalist väänata - omamoodi igiliikur.

Vt adj. 6.

∞ 1971. aastal ilmus Uurali leiutaja P.N. rakendas filtrit Mobiuse riba kujul.

∞ Mobiuse lehti kasutatakse toiduvalmistamisel, et luua kuklitele, kreekeritele ja võsale huvitav ja isuäratav välimus. Ja ka mitmesuguste roogade, jõustruktuuride (segisti) valmistamise ja kaunistamise tööriistade valmistamisel.

Vt adj. 7.

∞ Möbiuse riba abil sünnivad terved meistriteosed.

Möbiuse riba oli skulptuuride ja graafika inspiratsiooniallikaks. Escher oli üks kunstnikest, kes seda eriti armastas ja pühendas sellele matemaatilisele objektile mitu oma litograafiat. Üks kuulus näitab sipelgaid roomamas mööda Möbiuse riba pinda.

Vaata lisa 9.

∞ Möbiuse riba ilmub regulaarselt ka ulmes, näiteks Arthur C. Clarke'i loos "Pimeduse müür". Mõnikord viitavad ulmelood, et meie universum võib olla mingi üldistatud Möbiuse riba. Autor A.J. Deitch, Bostoni metroo ehitab uut liini, mille marsruut muutub nii segaseks, et muutub Mobiuse ribaks, misjärel hakkavad sellel liinil rongid kaduma.

∞ On olemas hüpotees, et DNA spiraal ise on samuti Mobiuse riba fragment ja see on ainus põhjus, miks geneetilist koodi on nii raske dešifreerida ja tajuda. Pealegi seletab selline struktuur üsna loogiliselt bioloogilise surma alguse põhjust: spiraal sulgub enda külge ja toimub enesehävitus.

10. lisa.

∞ Möbiuse riba meeldis mitte ainult matemaatikutele, vaid ka mustkunstnikele

Üle 100 aasta on Möbiuse riba kasutatud erinevate võlutrikkide ja meelelahutuse tegemiseks. Lehe hämmastavaid omadusi demonstreeriti isegi tsirkuses, kus riputati Möbiuse ribadena kokku liimitud heledad paelad. Mustkunstnik süütas sigareti ja puudutas põleva otsaga iga lindi keskmist joont, mis oli valmistatud kaaliumnitraadist. Tuline rada muutis esimese lindi pikemaks ja teise kaheks lindiks, mis olid üksteise sisse keeratud. (Sellisel juhul lõikas mustkunstnik Mobiuse riba mitte keskelt, vaid ühe kolmandiku kaugusel selle laiusest).

∞ Füüsikud väidavad, et kõik optilised seadused põhinevad Mobiuse riba omadustel, eelkõige on peegeldus peeglis omamoodi ülekanne ajas, lühiajaline, kestev sekundisajandikuid, sest me näeme enda ees. Täpselt nii, meie peegel topelt.

∞On olemas hüpotees, et meie Universum on üsna tõenäoliselt suletud samasse Mobiuse riba, relatiivsusteooria järgi, mida suurem on mass, seda suurem on ruumi kõverus. See teooria kinnitab täielikult eeldust, et kosmoselaev, lennates kogu aeg otse, võib naasta alguspunkti, see kinnitab Universumi piiramatust ja lõplikkust.

Vt adj. üksteist.

∞ Huvi Möbiuse riba vastu pole raugenud tänaseni. 2006. aasta septembris toimus Moskvas kunstilise matemaatika festival. Tokyost pärit professori Jin Akiyama kõne võeti vastu suure eduga. Tema esitus meenutas illusionisti etendust, kus oli koht Möbiuse riba jaoks (paberiga töö “Möbiuse riba ja selle modifikatsioonid”).

SPORT

Käsitsi laiendaja "Robur"

Vt adj. 12 .

Üks neistkõigi koolide kehalise kasvatuse õpetajate lemmikasjad, mis nende sõnultema enda sõnutsi „treenib mitteainult käe lihased, kuidja ajulihastest."Karpaalpaisutaja alatesArtemy Lebedevi stuudio kordab Möbiuse riba kuju. Suurepärane vahend stressi leevendamiseks, mõtlemisekslõpmatus jalihtsalt kasulik viis käte töös hoidmiseks.

PARFÜÜM

Bugatti parfüüm

Vt adj. 13

EttevõteBugattihakkas tootma mitte ainult ülikalleid autosid (mudelVeyronmaksab 1,3 miljonit eurot), aga ka... parfüümi. Iga pudel, mis on valmistatud kristallist ja kaetud ehtsa kullaga, on kujundatud ebatavalise Möbiuse riba kujul, millel on ainult üks külg. Parfüümi hindBugattion 3500 eurot.

Parfüümid Loewe Quzas, Quizas, Quizas

Vt adj. 14 .

2011. aasta sügisel ilmus lõhnast karmiinpunane versioon, mille pudel on mähitud Mobiuse riba sisse – looduse kirgede tsükli sümboliks. Koostise rikkalikkus koosneb Aasia apelsinide, bergamoti, punaste marjade värskusest, jätkub magnoolia, freesia ja apelsini kroonlehtede lillesüdamega ning lõpeb kašmiiripuidu, kuldse merevaigu ja vetiveri sensuaalse jäljega.

Parfüüm UFO Limited Edition, Kenzo

Vt adj. 15 .

Lõhna esitlusKenzotoimus 2009. aastal Ron Aradi tööde retrospektiivnäitusel (RonArad) Pompidou keskuses Pariisis. Just see kunstnik ja arhitekt mõtles välja pudeli kosmilise kujunduse Mobiuse riba kujul. See on loodud nii, et see mahub täpselt teie peopessa.TundmatuLõhnObjektvõi "Identifitseerimata aromaatne objekt" on piiratud vaid 180 tükiga ja jaemüügi hind on 188 dollarit.

MÖÖBEL

Mobiuse laud

Vt adj. 16

Ühe pinnaga laud, mille ääres saate mugavalt seista, istuda ja lamada.

Raamaturiiul Infinity

Vt adj. 17.

Disainer Job Kelevius murdis vormi, kui kujundas oma Infinity raamatukapi. Kasutades Lemniscate'i matemaatilist kontseptsiooni ja midagi Möbiuse riba sarnast, kehastas disainer lõpmatuse riiulil lõpmatuse füüsilist kontseptsiooni. See tähendab, et kui olete kõik sellel riiulil olevad raamatud läbi lugenud, siis arvake, et olete mõistnud kogu kirjanduse lõpmatust.

Mobius diivan

Vt adj. 18.

Diivanitool on sündinud moto "Topeltool – kahekordne nauding" allMoebiusKahekordneTugitoolloodud disaineri pooltGaetanVandeWyerBelgiast ja toob armastajateni värske nägemuse mööblist.

LOGOD

Woolmarki firma logo

Vt adj. 19.

Logo loodi 1964. aastal ideekonkursi tulemusena. Žürii liigeFrancoGrignaniei suutnud vastu panna ja pakkus oma versiooni, varjudes varjunime allFrancescoSeralio. See logo meenutab Mobiuse riba ja on ettevõtte igaviku ja paindlikkuse sümbol.

Taaskasutussümbol

Vt adj. 20.

Rahvusvaheline taaskasutuse sümbol on Möbiuse riba. Taaskasutus (muud terminid: ringlussevõtt, jäätmete ringlussevõtt, taaskasutus ja ringlussevõtt)- tööstusjäätmete või prügi taaskasutamine või ringlusse tagastamine. Levinumad on sekundaarsed, tertsiaarsed ja T. e materjalide, nagu klaas, paber, alumiinium, asfalt, raud, kangad ja mitmesugused plastmaterjalid, ümbertöötlemine. Kasutatud ka iidsetest aegadest alates põllumajandus orgaanilised põllumajandus- ja olmejäätmed.

Matemaatika sümbol

Vt adj. 21.

Möbiuse riba peetakse kaasaegse matemaatika sümboliks, kuna just tema andis tõuke uutele matemaatikauuringutele.

RIIETUSED JA JALATSID

Kingad

Vt adj. 22.

Asutasid 2003. aastal arhitekt Ram Di Koolhaase ja kingsepp Galahad ClarkUnitedAlastion spetsialiseerunud uuenduslike disainjalatsite tootmisele. Ettevõtte üks edukamaid arendusi on kingadMobius , mis sai nime geomeetri August Möbiuse ja tema idee järgi ühepoolsest pinnast. Kingade idee on järgmine: kingade nahast pealisosa ja tald on üks lint, mis on teatud viisil keeratud.

Mobiuse sall

Vt adj. 23.

Huvitav on 21. sajandi riidekappidesse ilmuv Möbiuse sall. Möbiuse salli saad ise valmistada, sidudes salli otsad kinni ja keerates ühe tiiru.

MAALIMINE

Graffiti

Vt adj. 24.

Tšehhis Prahas on seinale maalitud kaasaegne Möbiuse riba.

 Mööda linti liiguvad kahte tüüpi sõidukid: paagid ja tee-ehitustehnika Symbol kaasaegne tsivilisatsioon: hävita-ehita-hävita-ehita..

ARHITEKTUUR

Raamatukogu hoone

Vt adj. 25.

Praegu kaalutakse Kasahstani Mobiuse riba kujul raamatukogu ehitamise projekti.

Hoone kõverad moodustavad Möbiuse riba, seega suubub siseruum välisruumi ja vastupidi; sarnasel viisil muutuvad seinad katuseks ja katus taas seinteks. Loomulik valgus siseneb sisekoridoridesse väliskesta geomeetriliste avade kaudu, luues kaunilt valgustatud ruumid, mis sobivad lugemiseks.

Vaatamisväärsused

Vt adj. 26.

Vuoristorata meenutab Mobiuse riba kuju. Moskvas on maailma suurim ümberpööratud rullnokk, kus inimene istub ripptoolis ja tema jalad on õhus. Kiirus - 81 km/h, kõrgus 30 m Kõrgus võrreldes välismaiste analoogidega on väike, kuid see tasub end ära spiraalide, rõngaste ja aasade rohkusega.

Filmirull

Vt adj. 27.

1923. aastal anti patent välja leiutaja Lee de Force'ile, kes tegi ettepaneku salvestada filmile heli ilma rullide vahetamiseta, mõlemalt poolt korraga.

Kassett

Vt adj. 28.

Magnetofonide jaoks leiutati kassetid, kus lint keeratakse ja liimitakse rõngaks, mis võimaldab salvestada või lugeda infot mõlemalt poolt korraga, mis suurendab kasseti mahtuvust ja vastavalt ka mänguaega.

Toyota MOB auto

Vt adj. 29.

Möbiuse riba on kujundanud Hispaania disainer Jorge Marti Vidal ja see ühendab Möbiuse riba ilu ja salapära. Ainulaadne kerekuju annab võidusõiduautole hea aerodünaamika

Maatriksprinter

Vt adj. kolmkümmend.

Paljudes maatriksprinterites on tindilindil ressursside suurendamiseks ka Mobiuse riba kuju.

Möbiuse takisti

Vt adj. 31.

See on äsja leiutatud elektrooniline element, millel puudub oma induktiivsus.

Lihvlint

Vt adj. 32.

1969. aastal pakkus nõukogude leiutaja Gubaidullin välja lõputu lihvlindi Möbiuse riba kujul.

Järeldus

Möbiuse riba on esimene ühepoolne pind, mille teadlane avastas. Hiljem avastasid matemaatikud terve rea ühepoolseid pindu. Aga

see, kõige esimene, mis pani aluse tervele geomeetria suunale, köidab jätkuvalt teadlaste, leiutajate, kunstnike ja meie õpilaste tähelepanu. Mind huvitasid väga Möbiuse riba avatud omadused:

Möbiuse ribal on üks serv, üks külg

Möbiuse riba on topoloogiline objekt. Nagu iga topoloogiline kujund, ei muuda see oma omadusi enne, kui see on lõigatud, rebitud või selle üksikud tükid kokku liimitud.

Mobiuse riba üks serv ja üks külg ei ole seotud selle asukohaga ruumis ega ole seotud kauguse mõistetega.

Möbiuse riba leiab arvukalt rakendusi kokanduses, tehnoloogias, füüsikas, maalikunstis, arhitektuuris, ehete disainis ja Universumi omaduste uurimises. Ta inspireeris paljude kirjanike ja kunstnike loovust.

μ( n) on defineeritud kõigi naturaalarvude jaoks n ja võtab väärtusi sõltuvalt arvu laienemise olemusest n lihtsatele teguritele:

• μ( n) = 1 kui n vaba ruutudest (st ükski algarv ei jagu ruuduga) ja dekompositsioonist n paarisarv tegureid;
• μ( n) = − 1, kui n vaba ruutudest ja lagunemisest n algteguriteks koosneb paaritu arvu teguritest;
• μ( n) = 0, kui n ei ole ruutudest vaba.

Definitsiooni järgi eeldame ka μ(1) = 1.

Omadused ja rakendused

Möbiuse funktsioon on kordatav: mis tahes koalgarvude korral a Ja b võrdsus kehtib μ( ab) = μ( a)μ( b) .

Möbiuse funktsiooni väärtuste summa täisarvu kõigi jagajate kohta n, ei võrdu ühega, on võrdne nulliga

Style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/49/1bee8d0f6bd91176912a8cedc63e174b.png" border="0">

Eelkõige siit järeldub, et iga mittetühja lõpliku hulga jaoks on erinevate alamhulkade arv, mis koosneb paaritu number elemente võrdub paarisarvust elementidest koosnevate erinevate alamhulkade arvuga – tõestuses kasutatud fakt.

Möbiuse funktsioon on seose kaudu seotud Mertensi funktsiooniga

Mertensi funktsioon on omakorda tihedalt seotud Riemanni zeta funktsiooni nullpunktide probleemiga, vt artiklit Mertensi hüpotees.

Mobiuse inversioon

Esimene Möbiuse inversioonivalem

Aritmeetiliste funktsioonide jaoks f Ja g ,

g(n) =	∑	f(d)
	d | n

siis ja ainult siis

.

Teine Möbiuse inversioonivalem

Reaalse väärtusega funktsioonide jaoks f(x) Ja g(x) määratletud aadressil ,

siis ja ainult siis

.

Siin tõlgendatakse summat kui .

Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.

Vaadake, mis on "Mobiuse funktsioon" teistes sõnaraamatutes:

Möbiuse funktsioon μ(n) on arvuteoorias ja kombinatoorikas kasutatav korduv aritmeetiline funktsioon, mis sai nime saksa matemaatiku Möbiuse järgi, kes käsitles seda esmakordselt 1831. aastal. Sisu 1 Definitsioon 2 Omadused ja rakendused ... Wikipedia

Möbiuse funktsioon μ(n) on arvuteoorias ja kombinatoorikas kasutatav korduv aritmeetiline funktsioon, mis sai nime saksa matemaatiku Möbiuse järgi, kes käsitles seda esmakordselt 1831. aastal. Sisu 1 Definitsioon 2 Omadused ja rakendused ... Wikipedia

Teisenduste tüübid komplekstasandil (hall) ja Riemanni sfääril (must) Sisu 1 Definitsioon 2 Algebralised omadused... Vikipeedia

Murdosaliselt lineaarne funktsioon funktsioon kujul, kus z = (z1,...,zn) on kompleks- või reaalmuutujad, ai,b,ci,d on kompleks- või reaalkoefitsiendid. Sageli kasutatakse terminit "fraktsionaalne lineaarne funktsioon" selle teisenduse erijuhtumi kohta... ... Wikipedia

Möbiuse seeria on vormi funktsionaalne jada Seda seeriat uuris Möbius, kes leidis selle seeria jaoks inversioonivalemi: kus μ(s) on Möbiuse funktsioon ... Wikipedia

MEDITSIINIUURINGUTE MEETODID- Mina. Meditsiinilise uurimistöö üldpõhimõtted. Meie teadmiste kasv ja süvendamine, üha enam kliinikumi tehniline varustus, mis põhineb füüsika, keemia ja tehnoloogia uusimate saavutuste kasutamisel, sellega kaasnev meetodite keerukus... ... Suur meditsiiniline entsüklopeedia

Patoloogiline seisund, mis tekkis sünnituse ajal ja mida iseloomustab lapse kudede ja elundite kahjustus, millega kaasneb reeglina nende funktsioonide häire. R. arengut soodustavad tegurid nn on valed... ... Meditsiiniline entsüklopeedia

Lemma.

Tõestus. Väide on ilmne. Laskma ja olema arvu kanooniline laiend . Siis, võttes arvesse, et jagajad on kujul , kus , ,…, ; , saame

sest

Teoreem. (Lisand Möbiuse inversioonivalem.) Olgu ja on loomuliku argumendi funktsioonid. Siis kui

Tõestus. Meil on

Laske . Seejärel jookseb fikseeritud läbi kõik arvu jagajate väärtused. See tähendab, et viimases topeltsummas olevaid liitmismärke saab ümber pöörata, s.t.

Nüüd, arvestades seda

saame

Tõestatud teoreemil on veel üks vorm:

Teoreem. (Korrutav Möbiuse inversioonivalem.) Lase

kus sümbol tähistab korrutist, mis on laiendatud arvu kõikidele jagajatele.

Tõestus:

Näited Möbiuse inversioonivalemi kasutamisest:

Probleem helinajadade arvuga. Vaata: Hall M. Kombinatoorika. M.: Mir, , § .

Teatud astmega taandamatute polünoomide arv elementide lõplikul väljal. Vaata: Berlekamp E. Algebraline kodeerimise teooria. − M.: Mir, 1970, Ch. 3.

Gluhhov M. M., Elizarov V. P., Netšajev A. A. Algebra. Aastal t M.: Helios,. T. , § .

Sest iseseisev õppimine :

Möbiuse inversioon osaliselt tellitud komplektidel. Kaasamise-välistamise põhimõte erijuhtum Möbiuse inversioonivalemid. Vaata: Hall M. Kombinatoorika. M.: Mir, , § ; Bender E., Goldman J. Möbiuse inversiooni rakendustest kombinatoorses analüüsis. Raamatus: Kombinatoorse analüüsi loendavad probleemid. M.: Mir, 1971. S. - .

Numbrikombinatsioonide võrdlused

Olgu algarv.

Lemma.

Tõestus. Kui lugeja valemis

Tagajärg.

Tõestus.

Lemma. Olgu , , , mittenegatiivsed täisarvud ja olgu , . Siis

Tõestus. Meil on

Teisel pool,

Võrreldes koefitsiente samadel kraadidel, saame vajaliku tulemuse. ∎

− mittenegatiivsete täisarvude ja radiksi esitused. (Siin on iga täisarv, mille puhul , ). Mittenegatiivsete täisarvude hulgal defineerime osalise järjestuse seose (relatsioon eelisjärjekorras), eeldades , siis ja ainult siis

Lucase teoreem ( ).

Tõestus. Eelmise lemma järgi

Kus,. Rakendades lemmat korduvalt sobiva arvu kordi, saame vajaliku tulemuse. ∎

kommenteerida. Teoreem ei pea paika mittealgarvuliste puhul. Näiteks (vt Berlekamp, ​​lk),

Tagajärg.

II . Algebralised struktuurid

II. 1. Komplektid kahendtehtetega. Gruppoidid, poolrühmad, monoidid

Kahendalgebraline tehe(või koosseisu seadus) mittetühjal komplektil S nimetatakse kaardistamiseks : , mis sobib elementide paariga , unikaalselt määratletud element , . Komplektis saab määrata palju toiminguid. (Kui näiteks muidugi, siis on viiside arv võrdne , kus on elementide arv.) Kui soovid näiteks üht neist esile tõsta, kirjuta , . Sellist objekti nimetatakse kahendalgebra, või grupoid. Tihti kirjutavad nad selle asemele , ja operatsiooni ennast tähistatakse mõne sümboliga ( , , jne).

kommenteerida. Koos kahendtehtetega arvestatakse ka üldisemaid -aartehteid (unary at, ternary at jne). Nendega seotud algebralised struktuurid (süsteemid) moodustavad uurimisobjekti nn. universaalsed algebrad.

Kutsutakse binaartehte hulgaga assotsiatiivne, Kui

, iga , , .

Nimetatakse assotsiatiivse tehtega grupoidi poolrühm.

Näide mitteassotsiatiivsest grupoidist. Komplektis määratleme operatsiooni kui . Tehe on mitteassotsiatiivne: , kuid .

Teoreem. Kui binaartehte hulgaga on assotsiatiivne, siis avaldise väärtus ei sõltu sulgude paigutusest selles.

Tõestus., või abil on väide ilmne. Sest piisab, kui induktsiooni abil näidata, et

iga , . Induktsioonihüpoteesi järgi on sulgude paigutamine sisse

Pole oluline; eriti, .

Kui siis.

Kui siis

Ka tõestatava võrdsuse (1) parem pool taandatakse samale kujule. ∎

Elementi nimetatakse neutraalne operatsiooni kohta, kui

kellelegi.

Nimetatakse elemendiga poolrühma monoidne(või identiteediga poolrühm) ja tähistab , , .

Poolrühmal (groupoidil) võib olla maksimaalselt üks neutraalne element: kui

, on siis neutraalsed elemendid

Gruppoidi (poolrühma) nimetatakse alamrühm (alampoolrühm) grupoid (poolrühm), , kui

Ja mis tahes , .

Sel juhul öeldakse, et alamhulk töökorras suletud. Monoidi nimetatakse submonoid monoid , , , kui ja .

Nimetatakse monoidi elementi pööratav, kui on olemas selline element, et (loomulikult siis pöörame selle ümber). Kui elemendil on sama omadus, s.t. , siis võrdsustest järeldub, et element on tegelikult unikaalne ( suhtes ). See võimaldab meil rääkida tagurpidi element , (pööratavaks) elemendiks , omadustega: , .

Kui , on monoidi , , pööratavad elemendid, siis on ka nende korrutis inverteeritav element, kuna , . Ilmselgelt on see ümberpööratav element. Seetõttu on olemas

Teoreem. Monoidi , , kõigi inverteeritavate elementide hulk on tehte ∗ all suletud ja moodustab alammonoidi , , .

Rühmad

Rühma määratlus. Nimetatakse monoidi , , , mille kõik elemendid on pööratavad Grupp.

Teisisõnu on rühm binaartehtega hulk, mille jaoks kehtivad järgmised aksioomid:

. (Suletud tegevus.) , .

. (Operatsiooni assotsiatiivsus.) ,

. (Neutraalse elemendi olemasolu.) ∃ .

. (Pöördelemendi olemasolu.) .

kommenteerida. Tulles tagasi ülaltoodud algebraliste struktuuride juurde, jälgime nende vahel järgmist hierarhiat: paar , on grupoid, kui aksioom on täidetud; poolrühm, kui aksioomid ja ; monoidne, kui aksioomid ja ; Grupp, kui aksioomid , , ja .

Ilmsete omadustega elementide astmed määratakse loomulikul viisil:

(üks kord),

; , ( , , .

Üldiselt on võimatu avaldises elemente ümber paigutada (st. ). Kui , siis nimetatakse elemente muutlik, või pendelränne. Kui rühma suvalised kaks elementi liiguvad edasi, siis kutsutakse rühma kommutatiivne, või Abeli(Norra matemaatiku Riehl Henrik Abeli ​​( - ) auks).

Tehet rühmas tähistatakse enamasti kas sümboliga (liitmine) või sümboliga (korrutamine). Sel juhul kutsutakse rühma vastavalt lisand või korduv, on selle neutraalne element vastavalt null() või üksus(). Lisandrühmas nimetatakse elementi, elemendi pöördväärtust vastupidine ja on määratud , kuid selle asemel kirjutatakse . Korrutavas rühmas kirjutavad nad tavaliselt selle asemel, jättes välja tehte sümboli.

Lisandite rühmade näited. 1) , , , , , , , – rõnga ja väljade liitrühmad , , . Nad lihtsalt kirjutavad , , , . 2) Iga rõngas liitmise teel on Abeli ​​rühm. Eelkõige on polünoomide ring ,…, ] ja maatriksite rõngas väljal on Abeli ​​rühmad. 3) ükskõik milline vektorruumüle välja lisamise suhtes on Abeli ​​rühm. 4) , 1,…, – kõige vähem mittenegatiivsete jääkide terviklik süsteem modulo koos operatsiooniga add modulo .

Näited multiplikatiivsetest rühmadest. 1) , , on väljade , , korduvad rühmad. 2) on mis tahes ringi ümberpööratavate elementide hulk, mille korrutamisel on ühtsus. Eelkõige = ; , on ümberpööratavate maatriksite kogum alates . 3) − kõik (päris- ja komplekssed) juured

, , 1,…, , − kujuteldav ühik,

võrrand on korduv Abeli ​​rühm. 4) - korrapärase -goni pöörlemiste hulk tasapinnas ja ruumis - mittekommutatiivne rühm (for ).

Lisaks kasutatakse sagedamini operatsiooni salvestamise multiplikatiivset vormi. Tavaliselt tähistatakse rühma ühe tähega ilma toimingut täpsustamata. Rühma kõigi elementide hulka nimetatakse rühma põhikomplekt ja seda tähistatakse sama tähega. Kui baashulk on lõplik, kutsutakse rühma ülim; muidu nimetatakse seda lõputu. Lõpliku rühma arvelementi nimetatakse selle korras. Nimetatakse 1. järku rühma vallaline või T rivial. Väidetavalt on lõpmatul rühmal lõpmatu kord . Rühma järjestuse (põhikomplekti kardinaalsuse) märkimiseks kasutatakse võrdseid sümboleid Card (kardinaalnumber) ja ().

Kui , on rühma alamhulgad (põhihulgast), siis paneme

, , .

Alarühm rühm on alamhulk, milles on ise rühm sama operatsiooni suhtes nagu . Teisisõnu, alamhulk on alamrühm siis ja ainult siis, kui ( one in ) ning on korrutamise ja vastastikuse arvu all suletud, st. , (tegelikult on siin isegi võrdsusi). Kui on alarühm , siis kirjuta ; kui samal ajal, siis kutsutakse oma alarühm ja see on tähistatud kui .

Möbiuse funktsioon  (n), Kus n– naturaalarv, võtab järgmised väärtused:

Möbiuse funktsioon võimaldab kirjutada Euleri funktsiooni summana:

Summeerimine toimub kõigi n-i jagajate (ja mitte ainult algjagajate) üle.

Näide. Arvutame φ (100), kasutades Möbiuse funktsiooni.

Kõik 100 jagajad on (1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100).

(2) = (-1) 1 = -1 (kahel on üks algjagaja – 2)

(4) = 0 (4 jagatakse kahe ruuduga)

(5) = (-1) 1 = -1 (5-l on üks algjagaja – 5)

(10) = (-1) 2 = 1 (10-l on kaks algjagaja– 2 ja 5)

(20) = 0 (20 jagatud kahe ruuduga)

(25) = 0 (25 jagatud ruuduga viiega)

(50) = 0 (50 jagub nii 2 2 kui 5 5-ga)

(100) = 0 (100 jagub nii 2 2 kui ka 5 5-ga)

Seega

Möbiuse funktsiooni omadus:.

Näiteks, n=100, {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}.

16 Teoreem selle kohta, mitu võimalust valida k-elemendid, mille hulgas pole kahte kõrvuti asetsevat, n järjestatud elemendi hulgast. Tõestage, saades kordusvalemi.

17 Kordustega kombinatsioonide arv

Number r-kombinatsioonid kordustega alates n-komplektid on võrdsed

.

– tõestus kordusvalemi abil.

Meetod põhineb valemi saamisel, mis võimaldab teil teadaolevate algväärtuste ja eelmistes etappides arvutatud väärtuste põhjal järk-järgult arvutada soovitud koguse väärtused.

Kordumise valemr - järjekorras– vormi valem

a n = f(n, a n- 1 , a n- 2 , … , a n-r).

Valem väljendab at n>r jada iga liige ( a i) läbi eelmiste r liikmed. Korduva valemi konstrueerimine koosneb järgmistest sammudest.

1. Tootmine esialgsed tingimused mis tahes ilmselgete suhete põhjal.

Tähistagem poolt f(n,r). See on ilmne

2. Loogiline arutluskäik. Parandame komplektis mõne elemendi S. Siis mis tahes suhtes r- kombinatsioonid kordustega alates n-komplektid S saame öelda, kas see sisaldab antud fikseeritud elementi või mitte.

Kui sisaldab, siis ülejäänud ( r-1) elementi saab valida f(n,r-1) viisid.

Kui ei sisalda(seda elementi valikus pole), siis r- elementidest koosnev kombinatsioon ( n-1)-komplektid (komplekt S välja arvatud see fikseeritud element). Selliste kombinatsioonide arv f(n-1,r).

Sest need juhtumid on üksteist välistavad, siis vastavalt summareeglile

3. Mõne väärtuse valemi kontrollimine ja üldise mustri tuletamine.

1) Arvutame f (n ,0) . (2) järeldub

Siis f(n,0)=f(n,1)-f(n-1,1). Alates (1) f(n,1)=n,f(n-1,1)=n-1.

Seega f(n,0)=n-(n-1)=1=.

2) f (n ,1) =f(n,0)+f(n-1,1) = 1+n- 1 =n==.

3) f (n ,2) =f(n,1)+f(n-1,2) =n+f(n-1,1)+f(n-2,2) =n+(n-1)+f(n-2,1)+f(n-3,2) = … =

= n+(n-1)+…+2+1 =.

(aritmeetilise progressiooni summa)

4) f (n ,3) =f(n,2)+f(n-1,3) =+f(n-1,2)+f(n-2,3) =++f(n-2,2)+f(n-3,3) = … =

(geomeetrilise progressiooni summa)

5) f (n ,4) =

Konkreetsete juhtumite põhjal võib eeldada, et

4. Algtingimuste kontrollimine saadud valemi abil.

,

mis on kooskõlas punktiga (1) #

19, 20) N tipuga kahendpuude arv on võrdne C(n), kus C(n) on n-s katalaani arv.

N tipuga kahendpuude arvu nimetatakse katalaani numbriks, millel on palju huvitavaid omadusi. N-nda katalaani arv arvutatakse valemi (2n) abil! / (n+1)!n!, mis kasvab eksponentsiaalselt. (Wikipedia pakub mitmeid tõendeid selle kohta, et see on katalaani arvu vorm.) Antud suurusega kahendpuude arv 0 1 1 1 2 2 4 14 8 1430 12 208012 16 35357670

Asendamine

Minema: navigeerimine, otsing

See artikkel räägib asendamisest kui süntaktilisest operatsioonisttermid . Teid võib huvitadaümberkorraldamine .

IN matemaatika Ja arvutiteadus asendamine- see on operatsioon süntaktiline antud alamterminite asendamine terma muud tingimused, vastavalt teatud reeglitele. Tavaliselt räägime selle asemel termini asendamisest muutuv.

Definitsioonid ja tähistused

Asenduse kohta ei ole universaalset, kokkulepitud tähistust ega ka standardset määratlust. Asenduse mõiste ei erine mitte ainult rubriikide piires, vaid ka üksikute väljaannete tasandil. Üldiselt võime esile tõsta konteksti asendamine Ja asendus "selle asemel". Esimesel juhul on märgitud koht, kus asendamine toimub Sisu, st osa seda kohta "ümbritsevast" terminist. Eelkõige kasutatakse seda asendamise mõistet ümberkirjutamine. Teine võimalus on tavalisem. Sel juhul määrab asendus tavaliselt mingi funktsiooniga muutujate hulgast terminite hulka. Et näidata asendustoimingud, reeglina kasutada postfiksi märge. Näiteks tähendab termini asendustoimingu tulemust.

Enamikul juhtudel nõutakse, et asendusel oleks lõplik kandja, st et hulk oli lõplik. Sel juhul saab seda täpsustada paarid lihtsalt loetledes "muutuv väärtus". Kuna iga sellist asendust saab taandada asenduste jadaks, mis asendab ainult ühte muutujat, võime ilma üldistust kaotamata eeldada, et asendus on antud ühe paariga "muutuv väärtus", mida tavaliselt tehakse.

Viimane asendusmääratlus on ilmselt kõige tüüpilisem ja sagedamini kasutatav. Kuid ka selle kohta pole ühtset üldtunnustatud tähistust. Kõige sagedamini kasutatakse asendamise tähistamiseks a selle asemel x V t kasutatakse salvestust t[a/x], t[x:=a] või t[x←a].

Muutuja asendus sisseλ-arvutus

λ-arvutuses määratakse asendus struktuurse induktsiooniga. Suvaliste objektide ja suvalise muutuja korral arvutatakse suvalise vaba esinemise asendamise tulemus asendamine ja määratakse konstruktsiooni induktsiooniga:

i) alus:: objekt sobib muutujale. Siis;

ii) alus:: objekt vastab konstandile. Siis suvaliste aatomite jaoks;

iii) samm: : objekt on mitteaatomiline ja sellel on rakenduse välimus. Siis;

iv) samm:: objekt on mitteaatomiline ja on abstraktsioon. Siis [;

v) samm:: objekt on mitteaatomiline ja on pealegi abstraktsioon. Seejärel:

andor jaoks;

Muutujate asendamine programmeerimises

Asendamine muutuja ( Inglise asendamine) V rakenduslik programmeerimine mõistetakse järgmiselt. Funktsiooni väärtuse arvutamiseks f argumendi kohta v kannet rakendatakse f(v)), Kus f määratud disaini järgi f(x) = e. Salvestus f(v) antud juhul tähendab seda väljendis e juhtub asendamine või muutuja asendus x peal v. Asendamine toimub vastavalt arvutuste semantika.

Asendamine muutuja ( Inglise ülesanne) V programmeerimine mõistetakse kui ülesanne. Määramisoperaator on von Neumanni pudelikaela efekti ilming traditsiooniliste programmeerimiskeelte jaoks . Vaba sellest rakenduslikud arvutussüsteemid.

http://math.nsc.ru/LBRT/u3/bard/fails/Brenner_Evans.pdf

21 Funktsioonide genereerimine.Genereerimisfunktsioon (lugeja) ja loendusfunktsioon kombinatsioonide jaoks ilma kordusteta.

Funktsioonide genereerimine: 1) Z-teisendus 2) generaator 3) genereerimisfunktsioon 4) jada (a r ) genereerimise funktsioon (g r ) alusel - funktsioon f, kui see on laiendatud kindla aluse (g r ) funktsioonide seeriaks, see koefitsientide jada (a r ) moodustub …………*)

See sari on ametlik. Nimi formaalne tähendab, et käsitleme valemit *) oma jada jaoks mugava tähisena - sel juhul pole vahet, milliste (toimingute ja komplekssete) väärtuste jaoks see läheneb. t roll on taandatud jada A0, A1,…Ar… koefitsientide eristamisele. Seetõttu ei arvutata funktsioonide genereerimise teoorias selle seeria väärtusi kunagi muutuja t konkreetse väärtuse jaoks. Selliste jadatega tehakse ainult osa tehteid ja seejärel määratakse ainult mõned tehted sellistele seeriatele ning seejärel määratakse muutuja t üksikute astmete koefitsiendid.

Tavaliselt nagu

22 Genereerimisfunktsioon. Kordustega kombinatsioonide genereerimisfunktsioon (lugeja) ja loendamisfunktsioon.

Tootmisrajatis:

Ehituse reegel

1) Kui i tüüpi elementi saab K 1 või K 2 või... K i korda kaasata kombinatsioonidesse, siis on sellel vastav kordaja

3) Jääb üle leida koefitsient. juures

eksponentsiaalne genereerimisfunktsioon paigutuste ehitusreegli jaoks

25) Kombinatoorsed arvud hõlmavad ka Stirlingi numbrid esimest ja teist tüüpi. Need arvud on defineeritud koefitsientidena võrdsuses

ja neil on lihtne kombinatoorne tähendus – võrdne permutatsioonirühma elementide arvuga, mis on täpselt korrutised k disjoint tsüklitest ja võrdne partitsioonide arvuga n- element sisse lülitatud k mittetühjad alamhulgad. See on ilmne. Nimetatakse teist tüüpi Stirlingi numbrite sarnast summat n- Kella number ja võrdne kõigi vaheseinte arvuga n-elementide komplekt. Kordumise valem kehtib Belli numbrite puhul.

Kombinatoorsete ülesannete lahendamisel on see sageli kasulik kaasamise-välistamise valem

mis võimaldab leida hulkade liidu kardinaalsust, kui on teada nende lõikepunktide kardinaalsus. Kasutame kaasamise-välistamise valemit, et saada selgesõnaline valem teist tüüpi Stirlingi numbrite jaoks.

Esimest tüüpi Stirlingi numbrid

Materjal Wikipediast – vabast entsüklopeediast

Minema: navigeerimine, otsing

Esimest tüüpi Stirlingi numbrid(allkirjata) - kogus permutatsioonid tellida n Koos k tsüklid.

Definitsioon

Esimest tüüpi Stirlingi numbrid(märgiga) s(n, k) nimetatakse koefitsientideks polünoom:

Kus ( x) n - Pochhammeri sümbol (kahanev faktoriaal):

Nagu definitsioonist näha, on numbritel vahelduv märk. Nende absoluutväärtused määravad arvu permutatsioonid komplekt, mis koosneb n elemendid koos k tsüklid.

Korduv seos

Esitatakse esimest tüüpi Stirlingi numbrid korduv suhe:

s(n,n) = 1, kui n ≥ 0,

s(n,0) = 0, kui n > 0,

0 eest< k < n.

Tõestus.

Sest n=1 seda võrdsust kontrollitakse otse. Laske permutatsioonil ( n-1) järk laguneb k tsüklid. Number n saab lisada mis tahes numbri järele vastavas tsüklis. Kõik saadud permutatsioonid on erinevad ja sisaldavad k tsüklit, nende arv ( n-1)· s(n-1, k). Mis tahes permutatsioonist ( n-1) järjekord, mis sisaldab k-1 tsükkel, saab moodustada ühe permutatsiooni n tellimus, mis sisaldab k tsüklid, lisades ainsuse arvust moodustatud tsükli n. Ilmselgelt kirjeldab see konstruktsioon kõiki permutatsioone n-ndas järjekord, mis sisaldab k tsüklid. Seega on võrdsus tõestatud.

Näide

Esimesed read:

IN kombinatoorika Teist tüüpi Stirlingi number alates n Kõrval k, mida tähistab või, on järjestamata arv vaheseinad n- elementaarne komplektid peal k mittetühjad alamhulgad.

Kordumise valem

Teist tüüpi Stirlingi numbrid rahuldavad korduv suhe:

Kui n ≥ 0,

n > 0 korral

Selge valem

Näide

Teist tüüpi Stirlingi numbrite algväärtused on toodud tabelis:

Omadused

Bijektiiv Kaardistamine on kaardistus, millel on samaaegselt injektiivne ja sürjektiivne omadus.

1. Meenutagem esmalt olulise arvuteoreetilise Möbiu funktsiooni definitsiooni

1, kui n = 1

µ (n)=0, kui on algarv p, p2 n (-1)k, kui n = p1 ... pk on k erineva algteguri korrutis.

Tõestame Möbiuse funktsiooni peamist omadust:

1. teoreem.

♦ Kui n = 1, siis on ainus jagaja d = 1 ja (1) on tõene, sest µ (1) = 1. Olgu nüüd n > 1. Esitame selle kujul

n = p1 s 1 ps 2 2 K ps k k,

kus pi, i 1, k on algarvud, si on nende astmed. Kui d on n jagaja, siis d = p1 d 1 pd 2 2 K pd k k ,

kus 0 ≤ di ≤ si, i 1, k. Kui di > 1 mõne i 1, k korral, siis µ (d) = 0. See tähendab, et punktis (1) peame arvestama ainult neid d, mille puhul di ≤ 1, i 1, k. Iga selline jagaja kaas-

koosneb r erineva algarvu korrutisest, kus r 1, k, ja selle panusest summasse

(1) on võrdne (-1)r-ga ja kokku on k. Seega saame

			µ (d) = 1 −	K + (− 1) k	0. ♦
			Teoreem 2. (Mobiuse inversioonivalem). Olgu f(n) ja g(n) naturaalfunktsioonid
ral argument. Siis võrdsus
					∑f(d)
on tõene siis ja ainult siis, kui võrdsus on tõene
					∑ µ (d)g(

♦ Olgu (2) tõene mis tahes n korral. Siis

g(d n ) = ∑ f(d′ )

d ′ d n

Asendades (3) parema poole, saame

∑ µ (d)g(			) = ∑ µ (d) ∑ f(d′ )
					d′

Parempoolne topeltliitmine viiakse läbi kõigi paaride d, d' üle nii, et d d' n. Kui valite d ′ , siis d jookseb läbi kõigi jagajate d n ' . Seega

∑ µ (d)g(

) = ∑ f(d′ ) ∑ µ (d′ )

d′

d′

d′

n > d′

Kuid vastavalt (1) on meil ∑

µ (d') =

n = d'

d′

d′

See tähendab, et kehtestatakse võrdsus (3). Nüüd olgu (3) tõene mis tahes n puhul. Siis

∑ f(d) =

∑ ∑ µ (d′ )g(

) , d′′ = d d ′ - on n jagaja ja kahekordne summa võib

d′

n d′

ümber kirjutada kui

∑ µ (d′ )g(d′′ ) =

∑ g(d′′ )

∑ µ (d′ )

d′′

n d′

d′′

d′′

d′

d′′

Vastavalt (1) muutub viimane summa ühikuks juhul, kui d′′ = n, muudel juhtudel

Igal juhul on see null. See tõestab (2). ♦ 2. Kaaluge Möbiuse inversiooni rakendust.

Olgu antud s-tähtedest koosnev tähestik A. Antud tähestikus on sn sõnu pikkusega n. Iga sõna jaoks w0 = a1 a2 … saab defineerida n - 1 sõna

w1 = a2 a3 … an a1 , w2 = a3 a4 … a1 a2 , … , wk-1 = an a1 … an-1, saadud üksteisest tsükliliste nihketega. Kõigi sn-sõnade hulgal tutvustame ekvivalentsusseotust: kuulutame kaks sõna samaväärseks, kui üks saadakse teisest tsüklilise nihkega. Meid huvitab täpselt n sõna sisaldavate klasside arv. See probleem tekib koodide sünkroniseerimise teoorias.

Me nimetame sõna w degeneratiivseks, kui w-d sisaldav ekvivalentklass koosneb vähem kui n sõnast. Me nimetame w perioodiliseks, kui sõna u on olemas ja naturaalarv m, nii et w = u u … u (m korda).

Teoreem 3. Sõna w on perioodiline siis ja ainult siis, kui ta on degenereerunud.

nagu u saame võtta a 1 a 2 … a p ja kui m =

♦ On selge, et kui w on perioodiline, siis on ta degenereerunud. Olgu w degenereerunud. Olgu p minimaalne täisarv, nii et w = wp. Siis kui

w = a1 a2 … an , siis wp = a1+p a2+p … an+p (indeksid moodul n). Siit saame selle n p. (On lihtne näha, et p n). ♦ Tapeet

oluline läbi M(d) – ruutude arv, mis sisaldavad d sõna. Eelmisest on meil

d n. Seega on valem kehtiv∑ dM(d) = s n . d n

Rakendame Möbiuse inversiooni valemit juhul g(n) = sn , f(d) = dM(d). Siis saame

nM(n) = ∑ µ(d)s n d n

∑ µ (d)sn d

Seega on M(n) number, millest oleme huvitatud. Kui n = p on algarv, siis

- s)

Möbiuse inversioonist on olemas multiplikatiivne versioon. Õiglane

Teoreem 4. Olgu f(n) ja g(n) vastavalt seotud loomuliku argumendi funktsioonid

seljas

f(n) = ∏g(d)

µ(n

g(n) = ∏f(d)

Ja vastupidiselt (5) järgneb (4).

Möbiuse inversioonivalemit kasutades saab lahendada praktiliselt olulise probleemi fikseeritud astmega taandamatute polünoomide arvust lõplikul väljal. Olgu GF(q) q elementide väli ja m naturaalarv. Siis numbri jaoks

Φ m (q) taandamatutest polünoomidest väljal GF(q) kehtib järgmine valem:

Esitame funktsiooni Φ m (2) esimeste väärtuste tabeli

Φ m (2)

§ 5. Alalised ja nende rakendamine loendatavatele

1. Permanente kasutatakse paljude kombinatoorsete ülesannete lahendamiseks. Mõelge numbrilisele maatriksile

A = (ai, j), i = 1, n, j = 1, m, n ≤ m

Püsimaatriks A (tähistus - A kohta) määratakse võrdsusega

A kohta = ∑			a 2 j L a nj
(j1 ,K , jn )

kus summeerimine sooritatakse kõigi m elemendi 1, 2, m n-permutatsioonide üle. Teisisõnu, maatriksi püsiv on võrdne igast reast ja erinevatest veergudest võetud elementide korrutiste summaga.

Valemist (1) tulenevad püsivate mõned ilmsed omadused, mis on sarnased ruutmaatriksite determinandi omadustega.

1. Kui üks ridadest(n× m)-maatriks A (n ≤ m) koosneb nullidest, siis A kohta = 0. Kui n = m, sama kehtib ka veergude kohta.

2. Kui maatriksi A ühe rea kõik elemendid korrutatakse teatud arvuga, korrutatakse püsiva A väärtus sama arvuga.

3. Püsiv ei muutu, kui selle ridu ja veerge ümber paigutatakse.

Tähistame Aij-ga maatriksit, mis saadakse A-st i-nda rea ​​ja j-nda veeru kustutamisel.

4. Kehtib valem i-nda rea ​​püsivate dekomponeerimiseks: per A = ai1 per Ai1 + ai2 per Ai2 + ... + eesmärk per eesmärk (2)

seega on paljud püsivate omadused sarnased determinantide omadustega.

Determinantide põhiomadus det(A B) = detA detB ei ole aga püsivate puhul täidetud ja see asjaolu teeb nende arvutamise väga keeruliseks.

Näiteks,

					2, per
Siiski 4 = per						≠ per

Vaatleme püsivuse mõiste üht olulisemat rakendust kombinatoorsetes probleemides.

dachas Olgu X = (x1, xm) lõplik hulk ja X1, …, Xn alamhulkade süsteem

Sel juhul öeldakse, et element xi esindab hulka Xi. Erinevate esindajate süsteemi leidmise vajadus tekib paljude rakenduslike probleemide lahendamisel. Mõelge järgmisele kodeerimisprobleemile. Olgu mõni ettepanek, st. mingis tähestikus järjestatud sõnade komplekt. See lause tuleb kodeerida nii, et igale sõnale määratakse üks täht ja see täht peab olema selle sõna osa ja erinevad tähed peavad vastama erinevatele sõnadele.

Näide: lause a bc ab d abe c de cd e saab kodeerida kui abecd. Samas ei saa lauset ab ab bc abc bcd sel viisil kodeerida, kuna esimesed neli sõna koos sisaldavad ainult kolme tähte.

Hulkade X1 , … , Xn süsteemi jaoks defineerime esinemismaatriks A = (aij), i = 1, n,

				1 kui xi
		a ij =
				0 muidu.
		Õiglane
		Teoreem 1. Olgu A = (aij), i =					(n ≤ m) esinemismaatriks

seab X1, …, Xn, kus Xi X, i = 1, n, X = (x1, …, xm). Siis süsteemide arvu kohta

hulkade X1 , … , Xn isiklikud esindajad R(X1 , … , Xn ) kehtib järgmine võrdsus:

R(X1 , … , Xn ) = A kohta

♦ Tõepoolest, kuna maatriksis A element aij = 1, kui xj Xi ja aij = 0,

kui xj

K, xi

) elemendid X on süsteem mitmesugustest eel-

Xi , seejärel komplekt (xi

järelliited X1 , … , Xn jaoks

siis ja ainult siis, kui a1i

K ,a ni

politseinikud a1i

K ,a ni

on maatriksi A erinevates veergudes. Summeerime arvud

a1i ,K ,a ni

üle kõigi elementide 1, 2, …, m n-permutatsioonide. Siis saame sajast

rons, X1, ..., Xn erinevate esindajate süsteemide arv ja teisest küljest per-

manenta maatriks A. ♦

a 1i 1 a 2i 2 L a ni n

Tagajärg. X1, …, Xn erinevate esindajate süsteem eksisteerib siis ja ainult siis, kui vastava maatriksi puhul on juhtum A täidetud:

Kuna valemis (1) on m(m - 1) ... (m - n +1) liikmeid, on definitsiooni põhjal püsiva arvutamine keeruline. Esitame selleks üldise valemi.

2. Piirdume ruudukujuliste arvmaatriksite A = (aij), i, j = 1, n vaatlemisega.

Siis A = ∑ kohta

(i1 ,K ,in )

kus summa ulatub üle kõigi permutatsioonide i1 , … , elementides

1, 2, … , n. Kasutame maatriksi A püsivuse arvutamiseks kaasamise-välistamise valemit. Määrame igale hulgale i1,...,kaalus a1i 1,K,a ni n.

See tähendab, et püsiv A on nende hulkade kaalude summa, mis vastavad permutatsioonidele. Tutvustame n omadust P1 , … , Pn kõigi kogumite i1 , i2 , … hulgal 1, 2, … , n, kus omadus Pi tähendab, et kogus i1 , … elementi i ei ole, … sisse. Seega on püsiv A nende hulkade i1, ..., in kaalude summa, millel ei ole ühtegi omadust P1, ..., Pn. Jääb kindlaks määrata k omadusega hulkade kaalude summa W(Pi 1 ,K , Pi k )

Pi 1 ,K , Pi k . Meil on kõigi hulkade i1 , … , ik kaalude summa W(0) jaoks.
W(0) = ∑			K, ani		= (a 11 + L + a 1n )(a 21 + L + a 2n ) L (a n1 + L + a nn )
i1 ,K ,in
W(N(Pi )) =			a1i ,K ,a ni				= (a 11 + L + a 1i	L + a1n )L (a n1 + L a ni + L + a nn ) (9)
	≠i

kus ^-märk maatriksi A elemendi kohal tähendab, et see element tuleks välja jätta. Samamoodi sij (st< j) имеем

W(N(Pi, Pj)) = (a11 + L + a1i	L+a 1j	L + a1n )L (a n1 + L a ni + L + a nj + L + a nn ) (10)

Nüüd, kasutades kaasamise-välistamise valemit, saame püsiva A jaoks Raiseri valemi:

kohta A = ∏ i n = 1 (ai1 + L + ain ) − ∑∏ k n = 1 (a k1 + L + a ki + L + a kn )+ L +
+ (− 1) s	∑∏n
		(a k1 + L + a ki1	L+a ki	L +a kn ) +L
	1≤ i1< L < is ≤ k n= 1

Alalise arvutamise Raiseri valemi abil saab korraldada nii, et see nõuab

(2n - 1)(n - 4) korrutused ja (2n - 2)(n + 1) liitmised. Kuigi see väärtus kasvab n-ga kiiresti, annab see valem kõige rohkem tõhus meetod alaliste arvutused.

3. Teeme nüüd selgeks küsimuse, millistel tingimustel püsiv (0, 1) maatriks on võrdne nulliga. Piirdugem ruutmaatriksi juhtumiga.

Teoreem 2. Olgu A = (aij ), i, j = 1, n (0, 1) maatriks järku n. Siis

A = 0 kohta siis ja ainult siis, kui A sisaldab nullide alammaatriksit suurusega s × t, kus s + t = n + 1.

♦ Olgu A-s selline null-alammaatriks olemas. Kuna püsivus ridade ja veergude permutatsioonide tõttu ei muutu, võime eeldada, et see alammaatriks asub vasakpoolses alumises nurgas, s.o.

kus O - (s × t) on nullide maatriks, alammaatriksi B suurus on (n - s) × t. Iga alalise A liige peab sisaldama ühte elementi esimestest t veergudest. Seega, kui otsida püsivat positiivset liiget, siis peavad nende veergude elemendid kuuluma paarikaupa erinevatesse ridadesse numbritega 1, 2, ..., n - s. Kuid n - s = t - 1< t и поэтому данное условие выполнить нельзя, т.е. per A = 0.

Olgu nüüd per A = 0. Tõestame teoreemi induktsiooniga n-l. Kui n = 1, on väide ilmne (A = (0)). Olgu see tõsi kõigi tellimuste puhul, mis on väiksemad kui n. Kui A on n-järku nullmaatriks, on väide ilmne. Kui A ei ole nullmaatriks, siis olgu aij = 1. Kirjutame A lagunemise mööda rida i:

per A = ai1 Ai1 + … + ain Ain

Kuna per A = 0, siis per Aij = 0. Kuid Aij-l on suurus (n - 1) × (n - 1) ja induktsioonihüpoteesi järgi on olemas suuruse nullide alammaatriks

s1 × t1, kus s1 + t1 = n - 1 + 1 = n. Korraldame read ja veerud ümber nii, et see null-alammaatriks oleks alumises vasakus nurgas:

A → B =

kus O on nulli alammaatriks suurusega s1 × t1, s1 + t1 = n, C - suurus (n - s1) × t1, D -

on suurus s1 × (n - t) . See tähendab, et maatriksid C ja D on ruudukujulised ja nende järjestus on vastavalt (t1 × t1) ja (s1 × s1). Püsiva definitsiooni kohaselt on meil per B = per A ja

per B = per C per D ja seega per A = 0 järeldub, et kas per C = 0 või per D = 0.

Olgu per C = 0. Induktsiooni hüpoteesi kohaselt on olemas nulli suuruse alammaatriks

u × v, kus u + v = t1 + 1. Olgu see ridades numbritega i1, …, iu ja veergudes numbritega j1, …, jv. Vaatleme ridadest koosnevat alammaatriksit B

i1, …, iu, t1 + 1, …, n ja veerud j1, …, jv. See on nulli alammaatriks suurusega (u + n - t1) × v,

kus u + n - t1 + v = n + +1. Niisiis sisaldab maatriks B nulli alammaatriksit suurusega s × t, kus s + t = n + 1. Kuna maatriksid A ja B erinevad ridade ja veergude permutatsiooni poolest, on teoreem tõestatud. ♦

Vaatleme nüüd maatriksi A olulist erijuhtumit. Tähistame A(k, n) 0,1 elemendist koosnevat maatriksit suurusega n × n, kusjuures iga rea ​​ja iga veeru jaoks on k ühega (k > 0).

Teoreem 3. Iga maatriksi A(k, n) korral A(k, n) > 0 kohta.

♦ Oletame vastupidist, et A(k, n) = 0 kohta. Siis on teoreemi 2 kohaselt olemas null-

alammaatriks suurusega s × t, kus s + t = n + 1. Seejärel maatriksi A(k, n) ridu ja veerge ümber paigutades saame maatriksi

kus O on null (s × t) maatriks.

Loendame üheliste arvu maatriksites B ja D. Kuna A(k, n) igas reas ja veerus on k ühte, siis on B igas veerus ja D igas reas täpselt k ühte

ühikut. A(k, n)-s on kokku n k ühikut, seega nk ≥ tk + sk = (t + s)n. Nii

som, n ≥ t + s, mis on võimatu, sest s + t = n + 1 Sellest vastuolust järeldub, et

väite kehtivus. ♦ Seda tõestatakse sarnaselt

Teoreem 3a. Olgu A (0,1) maatriks suurusega n× m (n≤ m). Siis perA = 0 siis ja ainult siis, kui see sisaldab nulli alammaatriksit suurusega s×t, kus s+t=m+1.

4. Vaatleme nüüd vaadeldavate küsimuste rakendamist la-

Tina ruudud. ladina (n × m)-ristküliküle hulga X=(x1 ,…,xm )

nimetatakse elementide X (n× m) -maatriksiks, milles iga rida on X-i n-permutatsioon ja iga veerg on hulga X m-permutatsioon. Kui n=m, nimetatakse ladina ristkülikut Ladina väljak.

On selge, et n=1 korral võrdub ladina 1×m ristkülikute arv m!. Kui n=2, võib pärast esimese rea valimist mis tahes permutatsiooni võtta teiseks reaks.

uus toode, mis on valitud tootega vastuolus. Selliste permutatsioonide arv on Dm, seega arv 2× m on

ladina ristkülikutest võrdub m-ga! Dm.

Ladina ruutude induktiivse konstrueerimisega seoses tekib loomulik küsimus. Ehitame ladina (n× m)-ristküliku (n< m). Можно ли его расширить до ((n+1)× m) -прямоугольника добавлением (n+1)-й строки?

Õiglane

Teoreem 4. Iga ladina (n× m)-ristkülik n

♦ Olgu X=(x1,…,xm) ja L-ladina (n×m)-ristkülik X elementidega. Vaatleme hulka A1,…,Am, kus Ai on i-nda veeru elemendid. ladina ristkülik L. Olgu A hulgasüsteemi A1 ,… ,Am esinemismaatriks. Selle suurus on m×m ja iga maatriksi A rida sisaldab täpselt n ühte, kuna Ai = n, i = 1, m. Iga element xi X võib esineda L veergudes mitte rohkem kui m korda, vastasel juhul tekib rida, milles see element ilmub kaks korda. Elementide koguarv

L on võrdne m n-ga, seega iga element xi X esineb veergudes täpselt n korda. Sellest järeldub, et maatriksi A iga veerg sisaldab täpselt n ühte. Vaatleme nüüd maatriksit A, mis saadakse, asendades kõik nulliga ja kõik nullid ühega.

Maatriks A on hulkade X1, …, Xn süsteemi esinemismaatriks, kus Xi = X\Ai,

i = 1, m. See sisaldab m–n ühikut igas reas ja igas veerus. Teoreemi järgi

> 0. Olgu ai1

…a mi

≠ 0. Siis on meil xi X1 ,K , xi

Xm ja kõik elemendid

xi ,K ,xi

paarikaupa erinev. Liin

xi ,K ,xi

võib võtta (n + 1)-ndana

ladina (n × m) ristküliku L jaoks. Seda protseduuri jätkates saame ladina keele

taevaväljak. ♦

Tähistame l n - ladina ruutude arv järjestust n, elementidega hulgast X = (1, 2, ..., n), milles esimese veeru ja esimese rea elemendid on loomulikus järjekorras. Siin on tabel arvu l n mitme teadaoleva väärtusega:

5. Nimetatakse maatriksit A ​​= (aij), mille suurus on n × n ja millel on reaalsed, mittenegatiivsed elemendid. kaks korda stohhastiline, Kui