Lineaarne vektorruum ja selle aksioomiomadused. Lineaarne vektorruum: definitsioon, omadused. Mis on vektorite lineaarne kombinatsioon?

Materjal Wikipediast – vabast entsüklopeediast

Vektor(või lineaarne) ruumi- matemaatiline struktuur, mis on elementide kogum, mida nimetatakse vektoriteks, mille jaoks on defineeritud üksteisega liitmise ja arvuga korrutamise operatsioonid - skalaar. Need toimingud alluvad kaheksale aksioomile. Skalaarid võivad olla reaal-, kompleks- või mis tahes muu arvuvälja elemendid. Sellise ruumi erijuhtum on tavaline kolmemõõtmeline eukleidiline ruum, mille vektoreid kasutatakse näiteks füüsiliste jõudude kujutamiseks. Tuleb märkida, et vektorit kui vektorruumi elementi ei pea tingimata määratlema suunatud segmendi kujul. "Vektori" mõiste üldistamine mis tahes laadi vektorruumi elemendile mitte ainult ei põhjusta terminite segadust, vaid võimaldab mõista või isegi ennustada mitmeid tulemusi, mis kehtivad suvalise iseloomuga ruumide puhul.

Vektorruumid on lineaarse algebra objektiks. Vektorruumi üks peamisi omadusi on selle mõõde. Mõõtmed tähistab ruumi lineaarselt sõltumatute elementide maksimaalset arvu, st jämedat geomeetrilist kirjeldust kasutades suundade arvu, mida ei saa üksteise kaudu väljendada ainult skalaariga liitmise ja korrutamise operatsioonide kaudu. Vektorruumi saab varustada lisastruktuuridega, nagu norm või sisemine korrutis. Sellised ruumid esinevad matemaatilises analüüsis loomulikult, peamiselt lõpmatumõõtmeliste funktsiooniruumide kujul ( Inglise), kus funktsioonid . Paljud analüüsiprobleemid nõuavad välja selgitamist, kas vektorite jada läheneb antud vektorile. Selliste küsimuste käsitlemine on võimalik lisastruktuuriga vektorruumides, enamasti sobiva topoloogiaga, mis võimaldab defineerida läheduse ja pidevuse mõisteid. Sellised topoloogilised vektorruumid, eriti Banachi ja Hilberti ruumid, võimaldavad sügavamat uurimist.

Lineaaralgebra uurib lisaks vektoritele ka kõrgema astme tensoreid (skalaari loetakse järgu 0, vektorit 1. järgu tensoriks).

Esimesed tööd, mis ennetasid vektorruumi mõiste kasutuselevõttu, pärinevad 17. sajandist. Siis hakkas arenema analüütiline geomeetria, maatriksite õpetus, lineaarvõrrandisüsteemid ja eukleidilised vektorid.

Definitsioon

Lineaarne, või vektorruum $V\backslash vasak(F\backslash parem)$üle põllu $F$- see on tellitud neli $(V,F,+,\backslash cdot)$, Kus

• $V$- mittetühi suvalise iseloomuga elementide kogum, mida nimetatakse vektorid;
• $F$- (algebraline) väli, mille elemente nimetatakse skalaarid;
• Toiming määratletud lisamine vektorid $V\backslash \; korda\; V\backslash \; kuni\; V$, mis seob iga elemendipaari $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$ komplektid $V$ $V$ kutsus neid summa ja määratud $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• Toiming määratletud vektorite korrutamine skalaaridega $F\; korda\; V\; kuni\; V$, mis sobib iga elemendiga $\backslash lambda$ väljad $F$ ja iga element $\backslash mathbf(x)$ komplektid $V$ komplekti ainus element $V$, tähistatud $\backslash lambda\backslash cdot\backslash mathbf(x)$ või $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

Vektorruumid, mis on määratletud samas elementide komplektis, kuid üle erinevate väljade, on erinevad vektorruumid (näiteks reaalarvude paaride hulk $\backslash mathbb(R)^2$ võib olla kahemõõtmeline vektorruum üle reaalarvude välja või ühemõõtmeline - üle kompleksarvude välja).

Kõige lihtsamad omadused

1. Vektorruum on liitmisel olev Abeli ​​rühm.
2. Neutraalne element $\backslash mathbf(0)\; \backslash in\; V$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$ kellelegi $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
4. Kellelegi $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$ vastandelement $-\backslash mathbf(x)\backslash in\; V$ on ainus, mis grupi omadustest tuleneb.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$ kellelegi $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$ iga $\backslash alpha\; \backslash in\; F$ Ja $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$ kellelegi $\backslash alpha\; \backslash in\; F$.

Seotud määratlused ja omadused

Alamruum

Algebraline määratlus: Lineaarne alamruum või vektori alamruum- mittetühi alamhulk $K$ lineaarne ruum $V$ selline, et $K$ on ise lineaarne ruum punktis defineeritute suhtes $V$ liitmise ja skalaariga korrutamise tehted. Kõikide alamruumide kogumit tähistatakse tavaliselt kui $\backslash mathrm(Lat)(V)$. Selleks, et alamhulk oleks alamruum, on see vajalik ja piisav

1. mis tahes vektori jaoks $\backslash mathbf(x)\backslash in\; K$, vektor $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$ kuulus ka $K$, iga $\backslash alpha\backslash in\; F$;
2. kõigi vektorite jaoks $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, vektor $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$ kuulus ka $K$.

Kaks viimast väidet on samaväärsed järgmistega:

Kõigi vektorite jaoks $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, vektor $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$ kuulus ka $K$ iga $\backslash alpha,\; \backslash beta\; \backslash in\; F$.

Täpsemalt, ainult ühest nullvektorist koosnev vektorruum on mis tahes ruumi alamruum; iga ruum on iseenda alamruum. Alamruume, mis nende kahega ei lange kokku, nimetatakse oma või mittetriviaalne.

Alamruumide omadused

• Mis tahes alamruumide perekonna ristumiskoht on jällegi alamruum;
• Alamruumide summa $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash in\; 1\backslash ldots\; N\backslash )$ on defineeritud kui kogum, mis sisaldab kõiki võimalikke elementide summasid $K\_i$: $\backslash sum\_(i=1)^N\; (K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash in\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash in\; 1\backslash ldots\; N)\backslash )$.
  • Lõpliku alamruumide perekonna summa on jällegi alamruum.

Lineaarsed kombinatsioonid

Vormi lõppsumma

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

Lineaarset kombinatsiooni nimetatakse:

Alus. Mõõtmed

Vektorid $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$ kutsutakse lineaarselt sõltuv, kui nende mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon on võrdne nulliga:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\backslash alpha\_2|\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash neq\; 0.$

Vastasel juhul nimetatakse neid vektoreid lineaarselt sõltumatu.

See definitsioon võimaldab teha järgmist üldistust: lõpmatu hulk vektoreid alates $V$ helistas lineaarselt sõltuv, kui mõni on lineaarselt sõltuv lõplik selle alamhulk ja lineaarselt sõltumatu, kui see on olemas lõplik alamhulk on lineaarselt sõltumatu.

Aluse omadused:

• Ükskõik milline $n$ lineaarselt sõltumatud elemendid $n$-mõõtmeline ruumivorm alus see ruum.
• Mis tahes vektor $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$ saab esitada (unikaalselt) baaselementide lõpliku lineaarse kombinatsioonina:

$\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$.

Lineaarne kest

Lineaarne kest $\backslash mathcal\; V(X)$ alamhulgad $X$ lineaarne ruum $V$- kõigi alamruumide ristumiskoht $V$ sisaldavad $X$.

Lineaarne ulatus on alamruum $V$.

Lineaarset kesta nimetatakse ka alamruum loodud $X$. Öeldakse ka, et lineaarne kest $\backslash mathcal\; V(X)$- ruum, üle venitatud trobikond $X$.

Lineaarne kest $\backslash mathcal\; V(X)$ koosneb kõigist võimalikest lineaarsetest kombinatsioonidest erinevatest elementide lõplikest alamsüsteemidest $X$. Eelkõige siis, kui $X$ on siis lõplik hulk $\backslash mathcal\; V(X)$ koosneb kõigist elementide lineaarsetest kombinatsioonidest $X$. Seega kuulub nullvektor alati lineaarsele kerele.

Kui $X$ on lineaarselt sõltumatu hulk, siis on see alus $\backslash mathcal\; V(X)$ ja määrab seeläbi selle mõõtme.

Näited

• Nullruum, mille ainus element on null.
• Kõigi funktsioonide ruum $X\backslash -le\; F$ lõpliku toega moodustab kardinaalsusega võrdse dimensiooniga vektorruumi $X$.
• Reaalarvude välja võib vaadelda kui kontiinumdimensioonilist vektorruumi ratsionaalarvude välja kohal.
• Iga väli on ühemõõtmeline ruum iseenda kohal.

Täiendavad struktuurid

Vaata ka

Kirjutage arvustus artikli "Vektoriruum" kohta

Märkmed

Kirjandus

• Gelfand I.M. Loengud lineaaralgebrast. - 5. - M.: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 319 lk. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Gelfand I.M. Loengud lineaaralgebrast. 5. väljaanne - M.: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 320 lk. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Lineaaralgebra ja geomeetria. 2. väljaanne - M.: Nauka, 1986. - 304 lk.
• Kostrikin A.I. Sissejuhatus algebrasse. 2. osa: Lineaaralgebra. - 3. - M.: Nauka., 2004. - 368 lk. - (Ülikooli õpik).
• Maltsev A. I. Lineaaralgebra alused. - 3. - M.: Nauka, 1970. - 400 lk.

• Postnikov M.M. Lineaaralgebra (Loengud geomeetriast. Semester II). - 2. - M.: Nauka, 1986. - 400 lk.
• Strang G. Lineaaralgebra ja selle rakendused. - M.: Mir, 1980. - 454 lk.
• Iljin V. A., Poznyak E. G. Lineaaralgebra. 6. väljaanne - M.: Fizmatlit, 2010. - 280 lk. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Halmos P. Lõpliku mõõtmega vektorruumid. - M.: Fizmatgiz, 1963. - 263 lk.
• Faddeev D.K. Loengud algebrast. - 5. - Peterburi. : Lan, 2007. - 416 lk.
• Šafarevitš I.R., Remizov A.O. Lineaaralgebra ja geomeetria. - 1. - M.: Fizmatlit, 2009. - 511 lk.
• Schreyer O., Sperner G. Sissejuhatus lineaaralgebrasse geomeetrilises esituses = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (tõlge saksa keelest). - M.–L.: ONTI, 1934. - 210 lk.

Vektorid ja maatriksid Vektorid Põhimõisted Vektorite tüübid Tehted vektoritega Ruumide tüübid Maatriksid Põhimõisted muud

Vektorruumi iseloomustav väljavõte

Kutuzov astus läbi ridade, aeg-ajalt peatus ja rääkis mõne hea sõnaga ohvitseridele, keda ta Türgi sõjast tundis, ja mõnikord ka sõduritele. Vaadates kingi, raputas ta nukralt mitu korda pead ja juhtis need Austria kindralile sellise näoilmega, et ta ei paistnud selles kedagi süüdistavat, kuid ta ei suutnud ära vaadata, kui halb see oli. Iga kord jooksis rügemendiülem ette, kartes rügemendi kohta ülemjuhataja sõna kahe silma vahele jätta. Kutuzovi selja taga, nii kaugel, et iga nõrgalt öeldud sõna oli kuulda, kõndis tema saatjaskonnas umbes 20 inimest. Kaaskonna härrad ajasid omavahel juttu ja vahel naersid. Ilus adjutant kõndis ülemjuhatajale kõige lähemal. See oli prints Bolkonsky. Tema kõrval kõndis seltsimees Nesvitski, pikka kasvu staabiohvitser, äärmiselt paks, lahke ja naeratava ilusa näo ning niiskete silmadega; Vaevalt suutis Nesvitski end naermast tagasi hoida, olles erutatud tema kõrval kõndivast mustjas husaariohvitserist. Husaariohvitser vaatas naeratamata, oma fikseeritud silmade ilmet muutmata tõsise näoga rügemendiülema selja taha ja jäljendas iga tema liigutust. Iga kord, kui rügemendiülem võpatas ja kummardas ettepoole, täpselt samamoodi, täpselt samamoodi, võpatas husaariohvitser ja kummardus ettepoole. Nesvitski naeris ja tõukas teisi naljakat meest vaatama.
Kutuzov kõndis aeglaselt ja loiult mööda tuhandetest pistikupesast välja veerenud silmadest, jälgides oma ülemust. 3. kompaniile järele jõudnud, jäi ta järsku seisma. Seda peatust aimamata seltskond liikus tahtmatult tema poole.
- Ah, Timokhin! - ütles ülemjuhataja, tundes ära punase ninaga kapteni, kes sinise mantli pärast kannatas.
Tundus, et pole võimalik rohkem välja sirutada, kui Timokhin välja sirutas, samal ajal kui rügemendiülem teda noomis. Aga sel hetkel pöördus ülemjuhataja tema poole, kapten tõusis sirgelt, nii et tundus, et kui ülemjuhataja oleks teda veidi kauem vaadanud, poleks kapten vastu pidanud; ja seetõttu pöördus Kutuzov, ilmselt oma seisukohta mõistdes ja kaptenile, vastupidi, kõike head soovides, kähku ära. Vaevumärgatav naeratus jooksis üle Kutuzovi lihava haavatud näo.
"Veel üks Izmailovo seltsimees," ütles ta. - Vapper ohvitser! Kas olete sellega rahul? – küsis Kutuzov rügemendiülemalt.
Ja rügemendiülem, peegeldunud nagu peeglist, enda jaoks nähtamatu, husaarohvitseris, värises, tuli ette ja vastas:
– Mul on väga hea meel, teie Ekstsellents.
"Me kõik pole nõrkade külgedeta," ütles Kutuzov naeratades ja temast eemaldudes. "Ta oli pühendunud Bacchusele.
Rügemendiülem kartis, et on selles süüdi, ega vastanud midagi. Ohvitser märkas sel hetkel kapteni punase nina ja kokkusurutud kõhuga nägu ning jäljendas tema nägu ja poosi nii täpselt, et Nesvitski ei suutnud naermist lõpetada.
Kutuzov pöördus ümber. Oli selge, et ohvitser võis oma nägu kontrollida nii, nagu tahtis: sel hetkel, kui Kutuzov ümber pööras, suutis ohvitser teha grimassi ja võtta pärast seda kõige tõsisema, lugupidavama ja süütuma ilme.
Kolmas seltskond oli viimane ja Kutuzov mõtles sellele, ilmselt mäletas midagi. Prints Andrei astus oma saatjaskonnast välja ja ütles vaikselt prantsuse keeles:
– Tellisite selles rügemendis meeldetuletuse alandatud Dolokhovi kohta.
- Kus Dolokhov on? – küsis Kutuzov.
Dolokhov, kes oli juba riietatud sõdurihalli mantlisse, ei oodanud kutsumist. Eest astus välja sihvakas heledate siniste silmadega blondi sõduri kuju. Ta astus ülemjuhataja juurde ja pani ta valvesse.
- Nõuda? – küsis Kutuzov kergelt kulmu kortsutades.
"See on Dolokhov," ütles prints Andrei.
- A! - ütles Kutuzov. "Loodan, et see õppetund parandab teid, teenige hästi." Issand on halastav. Ja ma ei unusta sind, kui sa seda väärid.
Sinised selged silmad vaatasid ülemjuhatajat sama trotslikult kui rügemendiülemat, justkui rebiksid nad oma näoilmega lahti konvendi loori, mis seni ülemjuhatajat sõdurist eraldas.
"Ma palun üht asja, teie Ekstsellents," ütles ta oma kõlava, kindla ja kiirustamatu häälega. "Palun andke mulle võimalus oma süü heastada ja tõestada oma pühendumust keisrile ja Venemaale."
Kutuzov pöördus ära. Ta näole sähvatas sama naeratus silmis, mis kapten Timokhinist ära pöörates. Ta pöördus ära ja võpatas, nagu tahaks ta väljendada, et kõike, mida Dolokhov talle rääkis ja kõike, mida ta võis talle öelda, teadis ta juba pikka-pikka aega, et see kõik oli talle juba tüdinud ja see kõik ei olnud üldse mida ta vajas. Ta pöördus ära ja suundus käru poole.
Rügement läks kompaniideks laiali ja suundus Braunaust mitte kaugele määratud piirkondadesse, kus loodeti pärast raskeid marsse panna kingad jalga, riietuda ja puhata.
– Sa ei pretendeeri mulle, Prokhor Ignatyich? - ütles rügemendiülem, sõites ümber koha poole liikunud 3. kompanii ja lähenedes selle ees kõndinud kapten Timokhinile. Rügemendiülema nägu väljendas pärast õnnelikult lõppenud ülevaadet ohjeldamatut rõõmu. - Kuninglik teenistus... see on võimatu... teine ​​kord lõpetate selle esiotsa... Ma palun kõigepealt vabandust, teate mind... Ma tänasin teid väga! - Ja ta ulatas käe kompaniiülemale.
- Halastuse pärast, kindral, kas ma julgen! - vastas kapten, ninaga punaseks tõmbudes, naeratades ja paljastades naeratusega kahe esihamba puudumise, mis Ismaeli all tagumikuga välja löödi.
- Jah, öelge härra Dolokhovile, et ma ei unusta teda, et ta saaks rahulikuks. Jah, palun öelge, ma tahtsin kogu aeg küsida, kuidas tal läheb, kuidas ta käitub? Ja see on kõik...
"Ta on oma teenistuses väga teenindaja, teie Ekstsellents... aga prahtija..." ütles Timokhin.
- Mida, mis tegelane? – küsis rügemendiülem.
"Teie Ekstsellents leiab mitu päeva," ütles kapten, "et ta on tark, haritud ja lahke." See on metsaline. Ta tappis Poolas juudi, kui palun...
"Noh, jah, noh," ütles rügemendiülem, "meil on ikkagi kahju sellest noormehest, kes on õnnetuses." Lõppude lõpuks, suurepärased ühendused... Nii et sa...
"Ma kuulan, teie Ekstsellents," ütles Timokhin naeratades, tekitades tunde, nagu mõistaks ta ülemuse soove.
- Jah Jah.
Rügemendiülem leidis Dolokhovi ridadest ja ohjeldas tema hobust.
"Enne esimest ülesannet epauletid," ütles ta.
Dolohhov vaatas ringi, ei öelnud midagi ega muutnud oma pilkavalt naeratava suu ilmet.
"Noh, see on hea," jätkas rügemendiülem. "Inimesed võtavad minult klaasi viina," lisas ta, et sõdurid kuuleksid. – Tänan teid kõiki! Jumal õnnistagu! - Ja ta, seltskonnast mööda minnes, sõitis teise juurde.
„Noh, ta on tõesti hea mees; "Te saate temaga koos teenida," ütles alamvalitseja Timokhin tema kõrval kõndivale ohvitserile.
“Üks sõna, südamete kuningas!... (rügemendi ülemat kutsuti südamekuningaks),” ütles alamohvitser naerdes.
Võimude rõõmus meeleolu pärast ülevaatamist levis sõduritesse. Seltskond kõndis rõõmsalt. Sõdurite hääled rääkisid igalt poolt.
- Mida nad ütlesid, kõver Kutuzov, ühe silma kohta?
- Muidu ei! Täiesti viltu.
- Ei... vend, tal on suuremad silmad kui sul. Saapad ja püksid – vaatasin kõike...
- Kuidas ta, mu vend, võib mu jalgu vaadata... noh! Mõtle…
- Ja teine ​​austerlane, koos temaga, oli nagu kriidiga määritud. Nagu jahu, valge. I tea, kuidas nad laskemoona puhastavad!
- Mida, Fedeshow!... kas ta ütles, et kui võitlus algas, seisid sa lähemal? Nad kõik ütlesid, et Bunaparte ise seisab Brunovos.
- Bunaparte on seda väärt! ta valetab, sa loll! Mida ta ei tea! Nüüd mässab preislane. Seetõttu rahustab austerlane teda. Niipea kui ta rahu sõlmib, algab sõda Bunaparte'iga. Muidu ütleb ta, et Bunaparte seisab Brunovos! See näitab, et ta on loll. Kuulake rohkem.
- Vaata, neetud öömajalised! Viies seltskond, vaata, keerab juba külla, keedetakse putru ja kohale me ikka ei jõua.
- Anna mulle kreeker, neetud.
- Kas sa andsid mulle eile tubakat? See on kõik, vend. Noh, olgu, jumal teiega.
"Vähemalt tegid nad peatuse, muidu me ei söö veel viis miili."
– Tore, kuidas sakslased meile jalutuskärud andsid. Kui lähete, teadke: see on oluline!
"Ja siin, vend, on inimesed täiesti marru läinud." Kõik näis seal olevat poolakas, kõik oli pärit Vene kroonist; ja nüüd, vend, on ta täiesti sakslaseks läinud.
– Laulukirjutajad edasi! – kuuldi kapteni hüüet.
Ja seltskonna eest jooksis erinevatest ridadest välja paarkümmend inimest. Trummar hakkas laulma ja pööras näo laulukirjutajate poole ning alustas käega vehkides venivat sõdurilaulu, mis algas: “Kas pole koit, päike on murdunud...” ja lõppes sõnadega. : “Nii, vennad, on au meile ja Kamensky isale...” See laul on loodud Türgis ja nüüd lauldi Austrias, ainult selle muudatusega, et “Kamensky isa” asemele lisati sõnad: “ Kutuzovi isa.
Need viimased sõnad nagu sõdur ära rebinud ja kätega vehkinud, nagu viskaks midagi maapinnale, vaatas trummar, umbes neljakümneaastane kuiv ja nägus sõdur sõdurilaulude kirjutajatele karmilt otsa ja sulges silmad. Seejärel, veendudes, et kõigi pilgud on temale suunatud, näis ta ettevaatlikult kahe käega tõstvat pea kohale mõne nähtamatu, hinnalise asja, hoidis seda mitu sekundit niisama ja viskas ootamatult meeleheitlikult:
Oh, sina, mu varikatus, mu varikatus!
“Minu uus varikatus...”, kaikus paarkümmend häält ning lusikahoidja hüppas laskemoona raskusele vaatamata kiiresti ette ja kõndis õlgu liigutades ja lusikatega kedagi ähvardades seltskonna ette. Sõdurid, vehkides laulu taktis kätega, kõndisid pikkade sammudega, lüües tahtmatult jalgu. Seltskonna tagant kostis rataste hääli, vedrude kriginat ja hobuste tallamist.
Kutuzov ja tema saatjaskond olid linna tagasi pöördumas. Ülemjuhataja andis rahvale märku, et nad jätkaksid vabalt kõndimist ning tema näol ja kogu saatjaskonna nägudel väljendus heameel lauluhelide, tantsiva sõduri ja sõjameeste nägemisest. seltskond kõnnib rõõmsalt ja reipalt. Teises reas, paremalt tiivalt, kust vanker kompaniid ette sõitis, jäi tahes-tahtmata silma sinisilmsele sõdurile Dolohhovile, kes kulges eriti reipalt ja graatsiliselt laulu taktis ning vaatas nende nägusid. möödujad sellise ilmega, nagu oleks tal kahju kõigist, kes sel ajal seltskonnaga kaasa ei läinud. Kutuzovi saatjaskonnast pärit husaarikornet, kes jäljendas rügemendiülemat, jäi vankri taha ja sõitis Dolohhovi juurde.
Husaarikornet Žerkov kuulus omal ajal Peterburis sellesse Dolohhovi juhitud vägivaldsesse seltskonda. Välismaal kohtus Žerkov Dolokhoviga sõdurina, kuid ei pidanud vajalikuks teda tunnustada. Nüüd, pärast Kutuzovi vestlust alandatud mehega, pöördus ta tema poole vana sõbra rõõmuga:
- Kallis sõber, kuidas läheb? - ütles ta laulu kõlades, sobitades oma hobuse sammu seltskonna sammuga.
- Ma olen nagu? - vastas Dolokhov külmalt, - nagu näete.
Elav laul andis erilise tähenduse räige lõbususe toonile, millega Žerkov rääkis, ja Dolohhovi vastuste tahtlikule külmusele.
- Kuidas sa oma ülemusega läbi saad? küsis Žerkov.
- Mitte midagi, head inimesed. Kuidas te peakorterisse sattusite?
- Lähetatud, valves.
Nad vaikisid.
"Ta lasi oma paremast varrukast välja pistriku," kõlas laul, tekitades tahtmatult rõõmsa, rõõmsa tunde. Nende vestlus oleks ilmselt olnud teistsugune, kui nad poleks rääkinud laulu kõlades.
– Kas vastab tõele, et austerlased said peksa? küsis Dolokhov.
"Kurat tunneb neid," ütlevad nad.
"Mul on hea meel," vastas Dolokhov lühidalt ja selgelt, nagu laul nõudis.
"Noh, tulge õhtul meie juurde, pante vaarao," ütles Žerkov.
– Või on teil palju raha?
- Tule.
- See on keelatud. Andsin tõotuse. Ma ei joo ega mängi enne, kui nad seda teevad.
- Noh, esimese asja juurde...
- Seal näeme.
Jälle nad vaikisid.
"Tule sisse, kui midagi vajad, kõik peakorteris aitavad..." ütles Žerkov.
Dolokhov naeratas.
- Parem ära muretse. Ma ei küsi midagi, mida vajan, võtan selle ise.
- Noh, ma olen nii...
- Noh, mina ka.
- Hüvasti.
- Ole tervislik…
... ja kõrgel ja kaugel,
Kodu poolel...
Žerkov puudutas kannuseid hobust, kes erutudes lõi kolm korda jalaga, teadmata kummaga alustada, sai hakkama ja kihutas minema, möödudes seltskonnast ja jõudes vankrile järele, samuti laulu taktis.

Ülevaatelt naastes astus Kutuzov Austria kindrali saatel oma kabinetti ja käskis adjutandile helistades anda mõned saabuvate vägede seisukorraga seotud paberid ning edasijõudnute armeed juhatanud ertshertsog Ferdinandilt saadud kirjad. . Vürst Andrei Bolkonski astus nõutavate paberitega ülemjuhataja kabinetti. Kutuzov ja üks Austria Gofkriegsrati liige istusid lauale pandud plaani ees.
"Ah..." ütles Kutuzov Bolkonskile tagasi vaadates, nagu kutsuks ta selle sõnaga adjutandi ootama, ja jätkas alustatud vestlust prantsuse keeles.
"Ma ütlen ainult üht, kindral," ütles Kutuzov meeldiva ilme ja intonatsiooniga, mis sundis teid hoolikalt kuulama iga rahulikult öeldud sõna. Oli selge, et Kutuzov ise kuulas meelsasti iseennast. "Ma ütlen ainult üht, kindral, et kui asi sõltuks minu isiklikust soovist, oleks Tema Majesteedi keiser Franzi tahe juba ammu täidetud." Ma oleksin ammu liitunud ertshertsogiga. Ja uskuge mu au, et mulle isiklikult oleks armee kõrgeima juhtimise üle andmine minust teadlikumale ja osavamale kindralile, keda Austrias on nii palju, ja kogu sellest raskest vastutusest loobumine mulle isiklikult rõõmuks. Kuid asjaolud on meist tugevamad, kindral.
Ja Kutuzov naeratas sellise ilmega, nagu ta ütleks: "Teil on täielik õigus mind mitte uskuda ja isegi mind ei huvita, kas sa usud mind või mitte, aga sul pole põhjust seda mulle öelda. Ja see on kogu mõte."
Austria kindral näis olevat rahulolematu, kuid ei saanud muud kui Kutuzovile sama tooniga vastata.
„Vastupidi,” ütles ta pahural ja vihasel toonil, nii vastupidiselt öeldud sõnade meelitavale tähendusele, „vastupidi, Tema Majesteet hindab kõrgelt teie Ekstsellentsi osalemist ühises asjas; kuid me usume, et praegune aeglustumine jätab kuulsusrikkad Vene väed ja nende ülemjuhatajad ilma nendest loorberitest, mida nad on harjunud lahingutes lõikama,” lõpetas ta oma ilmselt ettevalmistatud fraasi.
Kutuzov kummardus naeratust muutmata.
"Ja ma olen nii veendunud ja viimase kirja põhjal, millega Tema Kõrgus ertshertsog Ferdinand mind austas, eeldan, et Austria väed on sellise osava abilise nagu kindral Macki juhtimisel võitnud otsustava võidu ega ole enam. vajame meie abi,” ütles Kutuzov.
Kindral kortsutas kulmu. Kuigi positiivseid uudiseid austerlaste lüüasaamisest ei tulnud, oli liiga palju asjaolusid, mis kinnitasid üldisi ebasoodsaid kuulujutte; ja seetõttu sarnanes Kutuzovi oletus austerlaste võidu kohta väga naeruvääristamisega. Kuid Kutuzov naeratas tasaselt, ikka sama ilmega, mis ütles, et tal on õigus seda eeldada. Tõepoolest, viimane kiri, mille ta Maci armeelt sai, andis talle teada võidust ja armee kõige soodsamast strateegilisest positsioonist.
"Andke mulle see kiri siia," ütles Kutuzov prints Andrei poole pöördudes. - Kui sa palun näed. - Ja Kutuzov, pilkavalt naeratus huulte otsas, luges Austria kindralile saksa keeles ette järgmise lõigu ertshertsog Ferdinandi kirjast: „Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70 000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Abballichtlien, sere ganzero verelliten. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, so er [Meil on üsna kontsentreeritud jõud, umbes 70 000 inimest, et saaksime vaenlast rünnata ja võita, kui ta Lechi ületab. Kuna meile juba kuulub Ulm, saame säilitada Doonau mõlema kalda juhtimise eelised, seega iga minut, kui vaenlane ei ületa Lechi, ületa Doonau, torma oma sideliinile ja allpool ületa Doonau tagasi. vaenlasele, kui ta otsustab kogu oma jõu meie ustavate liitlaste poole pöörata, takistage tema kavatsuse täitumist. Seega jääme rõõmsalt ootama aega, mil keiserlik Vene armee on täielikult valmis, ja siis leiame koos hõlpsasti võimaluse vaenlasele ette valmistada saatus, mida ta väärib.“]

VEKTORRUUM, lineaarne ruum üle välja K, on ​​aditiivselt kirjutatud Abeli ​​rühm E, milles on defineeritud elementide korrutamine skalaaridega ehk kaardistamine.

K × E → E: (λ, x) → λx,

mis vastavad järgmistele aksioomidele (x, y ∈ E, λ, μ, 1 ∈ K):

1) λ(x + y) = λx + λy,

2) (λ + μ)x = λx + μx,

3) (λμ)x = λ(μx),

4) 1 ⋅ x = x.

Aksioomidest 1)-4 tulenevad vektorruumi (0 ∈ E) järgmised olulised omadused:

5) λ ⋅ 0 = 0,

6) 0 ⋅ x = 0,

V. p.-i elemendid nn. VP-punktid ehk vektorid ja välja K elemendid on skalaarid.

Suurim rakendus matemaatikas ja rakendustes on kompleksarvude väljal ℂ või reaalarvude väljal ℝ; neid nimetatakse vastavalt kompleks v. p. või reaalne v. p.

V. p aksioomid paljastavad teatud algebralised. paljude funktsioonide klasside omadused, mida analüüsis sageli kohtab. Vertikaalsete ruumide näidetest on kõige fundamentaalsemad ja varasemad n-mõõtmelised eukleidilised ruumid. Peaaegu sama olulised näited on paljud funktsiooniruumid: pidevate funktsioonide ruum, mõõdetavate funktsioonide ruum, liidetavate funktsioonide ruum, analüütiliste funktsioonide ruum. funktsioonid, piiratud varieerumisega funktsioonide ruum.

V-ruumi mõiste on rõnga kohal oleva mooduli mõiste erijuht, nimelt on v-ruum ühtne moodul välja kohal. Ühtset moodulit nimetatakse ka mittekommutatiivse kaldevälja kohal. vektorruum üle keha; selliste lainekujude teooria on paljuski keerulisem kui välja lainekujude teooria.

Üheks oluliseks vektorruumidega seotud probleemiks on vektorruumide geomeetria uurimine, see tähendab joonte uurimine vektorruumides, lamedate ja kumerate hulkade uurimine vektorruumides, vektorruumide alamruumide ja aluste uurimine vektorruumides. lk.

Vektori alamruumi või lihtsalt alamruumi V. p. E üle välja K kutsutakse. alamhulk F ⊂ E, mis on suletud liitmise ja skalaariga korrutamise toimel. Alamruum on seda sisaldavast ruumist eraldi vaadeldav ruum sama välja kohal.

Nimetatakse sirgjoont, mis läbib kahte punkti x ja y B. p. E. elementide hulk z ∈ E kujul z = λx + (1 - λ)y, λ ∈ K. Kutsutakse hulk G ∈ E. lame hulk, kui see sisaldab koos kahe punktiga neid punkte läbivat sirget. Iga tasapinnaline hulk saadakse teatud alamruumist, kasutades nihet (paralleeltõlge): G = x + F; see tähendab, et iga elementi z ∈ G saab üheselt esitada kujul z = x + y, y ∈ F ja see võrdsus annab üks-ühele vastavuse F ja G vahel.

Antud alamruumi F kõigi nihete hulk F x = x + F moodustab K kohal V. ruumi, mida nimetatakse. tegurruum E/F, kui defineerime tehted järgmiselt:

F x F y = F x+y; λF x = F λx, λ ∈ K.

Olgu M = (x α) α∈A suvaline vektorite hulk E-st; nimetatakse vektorite lineaarset kombinatsiooni x α ∈ E. valemiga määratletud vektor x

x = ∑ α λ α x α , λ α ∈ K,

milles ainult piiratud arv koefitsiente on nullist erinevad. Antud hulga M vektorite kõigi lineaarsete kombinatsioonide hulk on väikseim alamruum, mis sisaldab M-i, ja seda nimetatakse. hulga M lineaarne ulatus. Lineaarset kombinatsiooni nimetatakse. triviaalne, kui kõik koefitsiendid λ α on võrdsed nulliga. Hulk M kutsutakse. lineaarselt sõltumatu hulk, kui kõik vektorite M mittetriviaalsed lineaarsed kombinatsioonid on nullist erinevad.

Iga lineaarselt sõltumatu hulk sisaldub kindlas maksimaalses lineaarselt sõltumatus hulgas M0, see tähendab hulgas, mis lakkab olemast lineaarselt sõltumatu pärast E-st mis tahes elemendi lisamist.

Iga elementi x ∈ E saab üheselt esitada maksimaalse lineaarselt sõltumatu hulga elementide lineaarse kombinatsioonina:

x = ∑ α λ α x α , x α ∈ M 0 .

Sellega seoses nimetatakse maksimaalset lineaarselt sõltumatut hulka. V. p.-i alus (algebraline alus). Kõik antud VP alused on ühesuguse kardinaalsusega nn. mõõde V. p. Kui see võimsus on lõplik, nimetatakse ruumi. lõpliku mõõtmega V. p.; muidu nimetatakse seda lõpmatu mõõtmega V. lk.

Välja K võib vaadelda kui ühemõõtmelist vertikaalset ruumi üle välja K; selle V. punkti alus koosneb ühest elemendist; see võib olla mis tahes element peale nulli. Nimetatakse lõpliku mõõtmega vektorit, mille alus on n elemendist. n-mõõtmeline ruum.

Reaalsete ja komplekssete kumerate hulkade teoorias mängib olulist rolli kumerate hulkade teooria. Hulk M reaalses V.p.-s nimetatakse. on kumer hulk, kui koos mis tahes kahe punktiga x, y kuulub M-sse ka segment tx + (1 - t)y, t ∈ .

Vertikaalsete ruumide teoorias on suure koha hõivanud vertikaalsete ruumide lineaarsete funktsionaalide teooria ja sellega seotud duaalsuse teooria. Olgu E CV üle välja K. Kutsutakse lineaarfunktsiooni E peal. aditiivne ja homogeenne kaardistamine f: E → K:

f(x + y) = f(x) + f(y), f(λx) = λf(x).

Kõikide lineaarsete funktsionaalide hulk E* E-l moodustab tehte suhtes vaba koha välja K kohal

(f 1 + f 2) (x) = f 1 (x) + f 2 (x), (λf) (x) = λf(x), x ∈ E, X ∈ K, f 1, f 2, f ∈ E*.

Seda nimetatakse V.p.-ks. konjugaat (või kahekordne) ruum (E-ga). Konjugeeritud ruumi kontseptsiooniga on seotud mitmed geomeetrilised teooriad. tingimustele. Olgu D ⊂ E (vastavalt Г ⊂ E*); kutsutakse hulga D annihilaatorit ehk hulga D ortogonaalkomplementi (vastavalt hulka Г). trobikond

D ⊥ = (f ∈ E*: f(x) = 0 kõigi x ∈ D korral)

(vastavalt Г ⊥ = (x ∈ E: f(x) = 0 kõigi f ∈ Г korral)); siin D ⊥ ja Г ⊥ on vastavalt ruumide E* ja E alamruumid Kui f on E* nullist erinev element, siis (f) on E maksimaalne õige lineaarne alamruum, mida nimetatakse. mõnikord hüperalamruum; nimetatakse sellise alamruumi nihet. hüperplaan E-s; igal hüpertasandil on vorm

(x: f(x) = λ), kus f ≠ 0, f ∈ E*, λ ∈ K.

Kui F on B. p. E alamruum, siis on F* ja vahel loomulikud isomorfismid

E*/F ⊥ ning (E/F)* ja F ⊥ vahel.

Kutsutakse alamhulka Г ⊂ E* kogu alamhulk üle E, kui selle annihilaator sisaldab ainult nullelementi: Г ⊥ = (0).

Iga lineaarselt sõltumatu hulk (x α ) α∈A ⊂ E võib olla seotud konjugaathulgaga (f α ) α∈A ⊂ E*, st. selline hulk, et f α (x β) = δ αβ (Kroneckeri sümbol) kõigi α, β ∈ A korral. Paaride hulka (x α, f α) kutsutakse. biortogonaalse süsteemiga. Kui hulk (x α) on E baas, siis (f α) on täielikult üle E.

Lineaarteisenduste teoorias on oluline koht lineaarsete teisenduste teoorial Olgu E 1 ja E 2 kaks lineaarset teisendust sama välja K kohal. teisendus E 1 V-s p. E 2 (või lineaaroperaator E 1-st E 2-ni), nn. Ruumi E 1 kuni E 2 aditiivne ja homogeenne kaardistamine:

T(x + y) = Tx + Ty; Т(λх) = λТ(х); x, y ∈ E 1.

Selle kontseptsiooni erijuht on lineaarne funktsionaal ehk lineaarne operaator vahemikust E 1 kuni K. Lineaarne kaardistamine on näiteks B. p. E loomulik vastendamine jagatisruumile E/F, mis seostub iga element x ∈ E lamehulk F x ∈ E/ F. Kõigi lineaartehterite hulk ℒ(E 1, E 2) T: E 1 → E 2 moodustab tehte suhtes V. p.

(T 1 + T 2) x = T 1 x + T 2 x; (λТ)х = λТх; x ∈ E 1; λ ∈ K; T 1, T 2, T ∈ ℒ(E 1, E 2).

Kaks V. eset E 1 ja E 2 kutsutud. on v. üksuste suhtes isomorfsed, kui on olemas lineaarne operaator (“isomorfism”), mis teostab nende elementide vahel üks-ühele vastavuse. E 1 ja E 2 on isomorfsed siis ja ainult siis, kui nende aluste kardinaalsus on sama.

Olgu T lineaarne operaator, mis vastendab E 1 ja E 2 . Nimetatakse konjugeeritud lineaarset operaatorit või kahekordset lineaarset operaatorit T suhtes. lineaaroperaator T* vahemikust E* 2 kuni E* 1, mis on määratletud võrdsusega

(T*φ)x = φ(Tx) kõigi x ∈ E 1, φ ∈ E* 2 korral.

Seosed T* -1 (0) = ⊥, T*(E* 2) = [T -1 (0)] ⊥ kehtivad, mis tähendab, et T* on isomorfism siis ja ainult siis, kui T on isomorfism.

Vertikaalsete ruumide bilineaarsete ja multilineaarsete kaardistuste teooria on tihedalt seotud vertikaalsete ruumide lineaarse kaardistamise teooriaga.

Olulise probleemide rühma lineaarkaardistuse teoorias moodustavad lineaarkaardistuse jätkumise probleemid. Olgu F alamruum V. p. E 1, E 2 on lineaarne ruum, mis asub E 1 -ga sama välja kohal, ja olgu T 0 F lineaarne vastendamine E 2-ga; tuleb leida kaardi T 0 laiend T, mis on määratletud kogu E 1 peal ja mis on lineaarne kaart punktidest E 1 kuni E 2. Selline jätk on alati olemas, kuid funktsioonide täiendavad piirangud (seotud täiendavate struktuuridega VP-s, näiteks topoloogia või järjestuse seosed) võivad muuta probleemi lahendamatuks. Jätkuülesande lahendamise näideteks on Han-Banachi teoreem ja teoreemid positiivsete funktsionaalide jätkumise kohta koonusega ruumides.

Virtuaalsete operatsioonide teooria oluline osa on vektoritega tehtavate toimingute teooria, st meetodid uute vektorite koostamiseks, kasutades teadaolevaid vektoreid. Selliste operatsioonide näideteks on üldtuntud alamruumi võtmise ja alamruumist jagatisruumi moodustamise operatsioonid. Teised olulised toimingud on VP otsesumma, otsekorrutise ja tensorkorrutise konstrueerimine.

Olgu (E α ) α∈I muutujate ruumide perekond väljal K. Hulga E – hulkade E α korrutist – saab tehteid sisestades teisendada vertikaalruumide perekonnaks üle välja K

(x α) + (y α) = (x α + y α); λ(x α) = (λx α); λ ∈ K; x α , y α ∈ E α , α ∈ I;

sai V. p. E helistas. V. p. E α otsekorrutis ja seda tähistatakse P α∈I E α-ga. Kutsutakse välja V. p. E alamruum, mis koosneb kõigist nendest hulkadest (x α), millest igaühe jaoks hulk (α: x α ≠ 0) on lõplik. V. p. E α otsesumma ja seda tähistatakse Σ α E α või Σ α + E α ; Lõpliku arvu terminite puhul langevad need määratlused kokku; sel juhul kasutatakse järgmist tähistust:

Olgu E 1, E 2 kaks V. positsiooni välja K kohal; E" 1, E" 2 on V. p. E* 1, E* 2 ja E 1 □ E 2 -B kogu alamruumid. n., mille aluseks on ruumi E 1 × E 2 kõigi elementide kogusumma. Iga element x □ y ∈ E 1 □ E 2 on seotud bilineaarse funktsiooniga b = T(x, y) punktis E" 1 × E 2 vastavalt valemile b(f, g) = f(x)g(y) ), f ∈ E " 1 , g ∈ E" 2. Seda baasvektorite x □ y ∈ E 1 □ E 2 vastendamist saab laiendada lineaarseks vastendamiseks T B. lk E 1 □ E 2 kuni B. p. kõigist bilineaarsetest funktsionaalidest kohta E" 1 × E" 2. Olgu E 0 = T -1 (0). V. ruumi E 1 ja E 2 tensorkorrutist nimetatakse faktoriruumiks E 1 ○ E 2 = (E 1 □ E 2)/E 0; elemendi x □ y kujutis on tähistatud x ○ y. Vektoriruum E 1 ○ E 2 on isomorfne bilineaarsete funktsionaalide vektorruumiga punktis E 1 × E 2 (vt Tensori korrutis vektorruumidest).

Kirjand: Bourbaki N., Algebra. Algebralised struktuurid. Lineaarne ja multilineaarne algebra, trans. prantsuse keelest, M., 1962; Raikov D. A., Vektoriruumid, M., 1962; Päev M. M., Normaliseeritud lineaarruumid, trans. inglise keelest, M., 1961; , Edward R., Funktsionaalne analüüs, tlk. inglise keelest, M., 1969; Halmos P., Lõpliku mõõtmega vektorruumid, trans. inglise keelest, M., 1963; Glazman I.M., Lyubich Yu.I., Piirdimensiooniline lineaarne analüüs probleemides, M., 1969.

M.I. Kadets.

Allikad:

1. Matemaatiline entsüklopeedia. T. 1 (A-D). Ed. juhatus: I. M. Vinogradov (peatoimetaja) [ja teised] - M., “Nõukogude entsüklopeedia”, 1977, 1152 jne. Illusest.

Olgu P väli. Elemendid a, b, ... О R me helistame skalaarid.

Definitsioon 1. Klass V nimetatakse suvalise iseloomuga objekte (elemente) , , , ... vektorruum üle välja P, ja V klassi elemente nimetatakse vektorid, kui V on suletud tehte “+” ja P-st skalaaridega korrutamise operatsiooni all (st mis tahes , ОV +О korral V;"aО Р aОV) ja järgmised tingimused on täidetud:

A 1: algebra - Abeli ​​rühm;

A 2: iga a, bОР, mistahes ОV korral on a(b)=(ab) üldistatud assotsiatiivne seadus;

A 3: iga a, bОР, mis tahes ОV korral, (a+b)= a+ b;

A 4: iga a jaoks P-st, mis tahes , V-st, a(+)=a+a (üldistatud distributsiooniseadused);

A 5: mis tahes V puhul on 1 = täidetud, kus 1 on välja P ühik – ühiksuse omadus.

Välja P elemente nimetame skalaarideks ja hulga V elemente vektoriteks.

Kommenteeri. Vektori korrutamine skalaariga ei ole hulga V binaartehte, kuna see on vastendus P´V®V.

Vaatame vektorruumide näiteid.

Näide 1. Null (nullmõõtmeline) vektorruum - ruum V 0 =() - mis koosneb ühest nullvektorist.

Ja mis tahes aОР a= korral. Kontrollime vektorruumi aksioomide rahuldatavust.

Pange tähele, et nullvektori ruum sõltub põhiliselt väljast P. Seega loetakse ratsionaalarvude välja ja reaalarvude välja kohal olevaid nullmõõtmelisi ruume erinevateks, kuigi need koosnevad ühest nullvektorist.

Näide 2. Väli P on ise vektorruum välja P kohal. Olgu V=P. Kontrollime vektorruumi aksioomide rahuldatavust. Kuna P on väli, siis P on aditiivne Abeli ​​rühm ja kehtib A 1. P-s korrutamise rahuldatavuse tõttu on A2 täidetud. Aksioomid A 3 ja A 4 on täidetud, kuna P-s on korrutamise jaotus liitmise suhtes teostatav. Kuna väljal P on ühikelement 1, on ühtsusomadus A 5 täidetud. Seega on väli P vektorruum välja P kohal.

Näide 3. Aritmeetiline n-mõõtmeline vektorruum.

Olgu P väli. Vaatleme hulka V= P n =((a 1 , a 2 , … , a n) ½ a i О P, i=1,…, n). Tutvustame hulgal V vektorite liitmise ja vektori skalaariga korrutamise toiminguid vastavalt järgmistele reeglitele:

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) О V, "aО P += (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n) + miljard) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

Välja kutsutakse hulga V elemente n-mõõtmelised vektorid. Kahte n-mõõtmelist vektorit nimetatakse võrdseks, kui nende vastavad komponendid (koordinaadid) on võrdsed. Näitame, et V on vektorruum välja P kohal. Vektorite liitmise ja vektori skalaariga korrutamise operatsioonide definitsioonist järeldub, et V on nende tehte all suletud. Kuna V elementide liitmine taandub välja P elementide liitmiseks ja P on aditiivne Abeli ​​rühm, siis V on aditiivne Abeli ​​rühm. Lisaks =, kus 0 on P välja null, -= (-a 1, -a 2, …, -a n). Seega on A 1 rahul. Kuna V elemendi korrutamine P elemendiga taandub välja P elementide korrutamiseks, siis:

A 2 on rahuldatud P-ga korrutamise assotsiatiivsuse tõttu;

A 3 ja A 4 on rahuldatud korrutamise distributiivsuse tõttu P-ga liitmise suhtes;

A 5 on täidetud, kuna 1 Î P on P-ga korrutamise suhtes neutraalne element.

2. definitsioon. Hulka V= P n valemitega (1) ja (2) defineeritud tehtega nimetatakse aritmeetiliseks n-mõõtmeliseks vektorruumiks üle välja P.

Loeng 6. Vektorruum.

Peamised küsimused.

1. Vektori lineaarruum.

2. Ruumi alus ja mõõde.

3. Ruumi orientatsioon.

4. Vektori dekomponeerimine baasi järgi.

5. Vektori koordinaadid.

1. Vektori lineaarruum.

Nimetatakse mis tahes laadi elementidest koosnev hulk, milles on määratletud lineaartehted: kahe elemendi liitmine ja elemendi korrutamine arvuga. ruumid, ja nende elemendid on vektorid see ruum ja on tähistatud samamoodi nagu vektorkogused geomeetrias: . Vektorid Sellistel abstraktsetel ruumidel pole reeglina tavaliste geomeetriliste vektoritega midagi ühist. Abstraktsete ruumide elementideks võivad olla funktsioonid, arvude süsteem, maatriksid jne ning konkreetsel juhul tavalised vektorid. Seetõttu nimetatakse selliseid ruume tavaliselt vektorruumid .

Vektorruumid on Näiteks, kollineaarsete vektorite kogum, tähistatud V1 , koplanaarsete vektorite hulk V2 , tavaliste (reaalruumi) vektorite kogum V3 .

Selle konkreetse juhtumi jaoks saame anda vektorruumi järgmise definitsiooni.

Definitsioon 1. Vektorite hulka nimetatakse vektorruum, kui hulga mis tahes vektorite lineaarne kombinatsioon on ka selle hulga vektor. Vektoreid endid nimetatakse elemendid vektorruum.

Nii teoreetiliselt kui ka rakenduslikult olulisem on vektorruumi üldine (abstraktne) mõiste.

2. definitsioon. Trobikond R elemendid, milles summa määratakse iga kahe elemendi ja iga elemendi jaoks, mida nimetatakse https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> vektor(või lineaarne) ruumi, ja selle elemendid on vektorid, kui vektorite liitmise ja vektori arvuga korrutamise operatsioonid vastavad järgmistele tingimustele ( aksioomid) :

1) liitmine on kommutatiivne, st.gif" width="184" height="25">;

3) on olemas selline element (nullvektor), et mis tahes https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99" height="27">;

5) mis tahes vektorite ja arvu λ korral kehtib võrdsus;

6) mis tahes vektorite ja arvude jaoks λ Ja µ võrdsus on tõsi: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> ja mis tahes arvud λ Ja µ õiglane ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.

Lihtsamad aksioomid, mis defineerivad vektorruumi, on järgmised: tagajärjed :

1. Vektorruumis on ainult üks null - element - nullvektor.

2. Vektorruumis on igal vektoril üks vastandvektor.

3. Iga elemendi võrdsus on täidetud.

4. Mis tahes reaalarvu jaoks λ ja nullvektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> on vektor, mis rahuldab võrdsuse https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Seega on kõigi geomeetriliste vektorite hulk lineaarne (vektori)ruum, kuna selle hulga elementide jaoks on defineeritud liitmise ja arvuga korrutamise toimingud, mis vastavad sõnastatud aksioomidele.

2. Ruumi alus ja mõõde.

Vektorruumi põhimõisted on aluse ja dimensiooni mõisted.

Definitsioon. Nimetatakse kindlas järjekorras võetud lineaarselt sõltumatute vektorite kogumit, mille kaudu saab lineaarselt väljendada mis tahes ruumivektorit. alus see ruum. Vektorid. Ruumi aluse komponente nimetatakse põhilised .

Suvalisel sirgel paikneva vektorite hulga aluseks võib pidada selle sirge üheks kollineaarseks vektoriks.

Lennuki alusel nimetame sellel tasapinnal kaht mittekollineaarset vektorit, mis on võetud teatud järjekorras https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.

Kui baasvektorid on paarikaupa risti (ortogonaalsed), siis nimetatakse baasiks ortogonaalne, ja kui nende vektorite pikkus on võrdne ühega, siis nimetatakse alust ortonormaalne .

Suurimat arvu lineaarselt sõltumatuid vektoreid ruumis nimetatakse dimensioon sellest ruumist, st ruumi mõõde langeb kokku selle ruumi baasvektorite arvuga.

Niisiis, vastavalt nendele määratlustele:

1. Ühemõõtmeline ruum V1 on sirgjoon ja alus koosneb üks kollineaarne vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Tavaline ruum on kolmemõõtmeline ruum V3 , mille alus koosneb kolm mittetasapinnalist vektorid

Siit näeme, et alusvektorite arv sirgel, tasapinnal, reaalruumis langeb kokku sellega, mida geomeetrias tavaliselt nimetatakse sirge, tasandi, ruumi mõõtmete (mõõtme) arvuks. Seetõttu on loomulik võtta kasutusele üldisem määratlus.

Definitsioon. Vektorruum R helistas n– mõõtmetega, kui neid ei ole rohkem kui n lineaarselt sõltumatud vektorid ja tähistatakse R n. Number n helistas dimensioon ruumi.

Vastavalt ruumi mõõtmetele jagatakse lõpliku mõõtmega Ja lõpmatu mõõtmega. Nullruumi dimensioon loetakse definitsiooni järgi võrdseks nulliga.

Märkus 1. Igas ruumis saate määrata nii palju aluseid, kui soovite, kuid kõik antud ruumi alused koosnevad samast arvust vektoritest.

Märkus 2. IN n– dimensioonilises vektorruumis on aluseks mis tahes järjestatud kogum n lineaarselt sõltumatud vektorid.

3. Ruumi orientatsioon.

Laske baasvektorid ruumis V3 on üldine algus Ja tellitud, st näidatakse, millist vektorit peetakse esimeseks, millist teiseks ja millist kolmandaks. Näiteks baasis on vektorid järjestatud vastavalt indekseerimisele.

Selle eest ruumi orienteerimiseks on vaja panna mingi alus ja kuulutada see positiivseks .

Võib näidata, et kõigi ruumi aluste hulk jaguneb kahte klassi, see tähendab kaheks mitteühendatud alamhulgaks.

a) kõik ühte alamhulka (klassi) kuuluvatel alustel on sama orientatsioon (sama nimega alused);

b) mis tahes kaks alust, mis kuuluvad mitmesugused alamhulgad (klassid), on vastupidine orientatsioon, ( erinevad nimed alused).

Kui üks kahest ruumi aluste klassist on kuulutatud positiivseks ja teine ​​negatiivseks, siis öeldakse, et see ruum orienteeritud .

Sageli kutsutakse ruumi orienteerides mingeid aluseid õige, ja teised - vasakule .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> nimetatakse õige, kui kolmanda vektori lõpust vaadeldes on esimese vektori lühim pööre https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > viiakse läbi vastupäeva(Joon. 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Riis. 1.8. Parem alus (a) ja vasak alus (b)

Tavaliselt tunnistatakse ruumi õige alus positiivseks aluseks

Ruumi parempoolset (vasakpoolset) alust saab määrata ka "parema" ("vasakpoolse") kruvi või klambri reegli abil.

Selle analoogia põhjal tutvustatakse parema ja vasaku mõistet kolmesed mitte-tasapinnalised vektorid, mis tuleb järjestada (joon. 1.8).

Seega on kahel mitte-tasapinnaliste vektorite järjestatud kolmikul üldjuhul ruumis sama orientatsioon (sama nimi) V3 kui nad on mõlemad parempoolsed või mõlemad vasakpoolsed, ja - vastupidine orientatsioon (vastand), kui üks neist on parem ja teine ​​vasakpoolne.

Sama tehakse ka ruumi puhul V2 (lennuk).

4. Vektori dekomponeerimine baasi järgi.

Arutluse lihtsuse huvides käsitleme seda küsimust kolmemõõtmelise vektorruumi näitel R3 .

Olgu https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> selle ruumi suvaline vektor.

Artiklis n-mõõtmeliste vektorite kohta jõudsime n-mõõtmeliste vektorite komplekti poolt genereeritud lineaarse ruumi mõisteni. Nüüd peame arvestama sama oluliste mõistetega, nagu vektorruumi mõõde ja alus. Need on otseselt seotud lineaarselt sõltumatu vektorite süsteemi kontseptsiooniga, mistõttu on lisaks soovitatav meelde tuletada selle teema põhitõed.

Tutvustame mõningaid määratlusi.

Definitsioon 1

Vektorruumi mõõde– arv, mis vastab maksimaalsele lineaarselt sõltumatute vektorite arvule selles ruumis.

2. definitsioon

Vektorruumi alus– lineaarselt sõltumatute vektorite kogum, mis on järjestatud ja arvult võrdne ruumi mõõtmega.

Vaatleme teatud n -vektorite ruumi. Selle mõõde on vastavalt võrdne n-ga. Võtame n-ühikuliste vektorite süsteemi:

e (1) = (1, 0, . . . . 0) e (2) = (0, 1, . . . , 0) e (n) = (0, 0, . . . , 1)

Me kasutame neid vektoreid maatriksi A komponentidena: see on ühikmaatriks mõõtmetega n korda n. Selle maatriksi auaste on n. Seetõttu on vektorsüsteem e (1) , e (2) , . . . , e(n) on lineaarselt sõltumatu. Sel juhul on võimatu süsteemile lisada ühte vektorit, ilma et see rikuks selle lineaarset sõltumatust.

Kuna vektorite arv süsteemis on n, siis n-mõõtmeliste vektorite ruumi mõõde on n ja ühikvektorid on e (1), e (2), . . . , e (n) on määratud ruumi aluseks.

Saadud definitsioonist võime järeldada: iga n-mõõtmeliste vektorite süsteem, milles vektorite arv on väiksem kui n, ei ole ruumi baas.

Kui vahetame esimese ja teise vektori, saame vektorite süsteemi e (2) , e (1) , . . . , e (n) . See on ka n-mõõtmelise vektorruumi aluseks. Koostame maatriksi, võttes selle ridadeks saadud süsteemi vektorid. Maatriksi saab identiteedimaatriksist, kui vahetada kaks esimest rida, selle järjestus on n. Süsteem e (2) , e (1) , . . . , e(n) on lineaarselt sõltumatu ja on n-mõõtmelise vektorruumi aluseks.

Teisi vektoreid algses süsteemis ümber paigutades saame teise aluse.

Võime võtta lineaarselt sõltumatu mitteühikvektorite süsteemi ja see esindab ka n-mõõtmelise vektorruumi alust.

3. määratlus

Vektorruumil mõõtmega n on nii palju aluseid, kui on lineaarselt sõltumatuid arvu n n-mõõtmeliste vektorite süsteeme.

Tasapind on kahemõõtmeline ruum - selle aluseks on mis tahes kaks mittekollineaarset vektorit. Kolmemõõtmelise ruumi aluseks on mis tahes kolm mittetasatasandilist vektorit.

Vaatleme selle teooria rakendamist konkreetsete näidete abil.

Näide 1

Algandmed: vektorid

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

On vaja kindlaks teha, kas määratud vektorid on kolmemõõtmelise vektorruumi aluseks.

Lahendus

Ülesande lahendamiseks uurime antud lineaarse sõltuvuse vektorite süsteemi. Koostame maatriksi, kus read on vektorite koordinaadid. Määrame maatriksi auastme.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

Järelikult on ülesande tingimusega määratud vektorid lineaarselt sõltumatud ning nende arv võrdub vektorruumi mõõtmega - need on vektorruumi aluseks.

Vastus: näidatud vektorid on vektorruumi aluseks.

Näide 2

Algandmed: vektorid

a = (3, - 2, 1) b = (2, 1, 2) c = (3, - 1, - 2) d = (0, 1, 2)

Tuleb kindlaks teha, kas antud vektorite süsteem saab olla kolmemõõtmelise ruumi aluseks.

Lahendus

Ülesande püstituses määratud vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv, sest lineaarselt sõltumatute vektorite maksimaalne arv on 3. Seega ei saa näidatud vektorite süsteem olla aluseks kolmemõõtmelisele vektorruumile. Kuid tasub märkida, et algsüsteemi alamsüsteem a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) on aluseks.

Vastus: näidatud vektorite süsteem ei ole aluseks.

Näide 3

Algandmed: vektorid

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Kas need võivad olla neljamõõtmelise ruumi aluseks?

Lahendus

Koostame maatriksi, kasutades ridadena etteantud vektorite koordinaate

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Gaussi meetodi abil määrame maatriksi auastme:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Järelikult on antud vektorite süsteem lineaarselt sõltumatu ja nende arv on võrdne vektorruumi mõõtmega - need on neljamõõtmelise vektorruumi aluseks.

Vastus: antud vektorid on neljamõõtmelise ruumi aluseks.

Näide 4

Algandmed: vektorid

a (1) = (1, 2, - 1, - 2) a (2) = (0, 2, 1, - 3) a (3) = (1, 0, 0, 5)

Kas need moodustavad 4. mõõtmega ruumi aluse?

Lahendus

Algne vektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu, kuid vektorite arv selles ei ole piisav, et saada neljamõõtmelise ruumi aluseks.

Vastus: ei, nad ei tee seda.

Vektori dekomponeerimine baasiks

Oletame, et suvalised vektorid e (1) , e (2) , . . . , e (n) on n-mõõtmelise vektorruumi aluseks. Lisame neile teatud n-mõõtmelise vektori x →: saadud vektorite süsteem muutub lineaarselt sõltuvaks. Lineaarse sõltuvuse omadused väidavad, et vähemalt ühte sellise süsteemi vektoritest saab teiste kaudu lineaarselt väljendada. Selle väite ümbersõnastamisel võime öelda, et vähemalt ühte lineaarselt sõltuva süsteemi vektoritest saab laiendada ülejäänud vektoriteks.

Nii jõudsime kõige olulisema teoreemi sõnastamiseni:

4. definitsioon

Iga n-mõõtmelise vektorruumi vektori saab unikaalselt lagundada baasiks.

Tõendid 1

Tõestame selle teoreemi:

paneme n-mõõtmelise vektorruumi aluse - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Muudame süsteemi lineaarselt sõltuvaks, lisades sellele n-mõõtmelise vektori x →. Seda vektorit saab lineaarselt väljendada algsete vektoritega e:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , kus x 1 , x 2 , . . . , x n - mõned arvud.

Nüüd tõestame, et selline lagunemine on ainulaadne. Oletame, et see pole nii ja on veel üks sarnane lagunemine:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , kus x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - mõned arvud.

Lahutame selle võrrandi vasakust ja paremast poolest vastavalt võrrandi x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + vasak ja parem pool. . . + x n · e (n) . Saame:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

Alusvektorite süsteem e (1) , e (2) , . . . , e(n) on lineaarselt sõltumatu; vektorite süsteemi lineaarse sõltumatuse definitsiooni järgi on ülaltoodud võrdsus võimalik ainult siis, kui kõik koefitsiendid on (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) on võrdne nulliga. Millest see on õiglane: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . Ja see tõestab ainsat võimalust vektori baasiks lagundamiseks.

Sel juhul on koefitsiendid x 1, x 2, . . . , x n nimetatakse vektori x → koordinaatideks aluses e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

Tõestatud teooria teeb selgeks avaldise "antud n-mõõtmelise vektori x = (x 1 , x 2 , . . . , x n)": vaadeldakse vektorit x → n-mõõtmelist vektorruumi ja selle koordinaadid määratakse a. teatud alus. Samuti on selge, et samal vektoril n-mõõtmelise ruumi teises aluses on erinevad koordinaadid.

Vaatleme järgmist näidet: oletame, et n-mõõtmelise vektorruumi mõnes aluses on antud n lineaarselt sõltumatust vektorist koosnev süsteem

ja samuti on antud vektor x = (x 1 , x 2 , . . . , x n).

Vektorid e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) on antud juhul ka selle vektorruumi aluseks.

Oletame, et on vaja määrata vektori x → koordinaadid aluses e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , tähistatud kui x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.

Vektor x → esitatakse järgmiselt:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Kirjutame selle avaldise koordinaatide kujul:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1, e (1) 2, . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2) 1, e (2) 2, ..., e (2) n) + . . . + + x ~ n · (e (n) 1, e (n) 2, ..., e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + ... + x ~ n e 1 (n), x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + .. + x ~ n e 2 (n), ..., x ~ 1 e n (1) + x ~ 2 e n (2) + ... + x ~ n e n (n))

Saadud võrdsus on samaväärne n lineaarse algebralise avaldise süsteemiga n tundmatu lineaarse muutujaga x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Selle süsteemi maatriks on järgmisel kujul:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Olgu selleks maatriks A ja selle veerud on lineaarselt sõltumatu vektorisüsteemi e 1 (1), e 2 (2), vektoriteks. . . , e n (n) . Maatriksi auaste on n ja selle determinant on nullist erinev. See näitab, et võrrandisüsteemil on ainulaadne lahendus, mis määratakse mis tahes mugava meetodiga: näiteks Crameri meetod või maatriksmeetod. Nii saame määrata koordinaadid x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n vektor x → baasis e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Rakendame vaadeldavat teooriat konkreetse näite puhul.

Näide 6

Algandmed: vektorid määratakse kolmemõõtmelise ruumi alusel

e (1) = (1, - 1, 1) e (2) = (3, 2, -5) e (3) = (2, 1, - 3) x = (6, 2, -7)

On vaja kinnitada tõsiasja, et vektorite süsteem e (1), e (2), e (3) toimib ka antud ruumi alusena, ning määrata ka vektori x koordinaadid antud aluses.

Lahendus

Vektorite süsteem e (1), e (2), e (3) on kolmemõõtmelise ruumi aluseks, kui see on lineaarselt sõltumatu. Selgitame selle võimaluse välja, määrates maatriksi A astme, mille ridadeks on antud vektorid e (1), e (2), e (3).

Kasutame Gaussi meetodit:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Seega on vektorite süsteem e (1), e (2), e (3) lineaarselt sõltumatu ja on aluseks.

Olgu vektoril x → baasis koordinaadid x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3. Nende koordinaatide vaheline seos määratakse võrrandiga:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Kasutame väärtusi vastavalt probleemi tingimustele:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Lahendame võrrandisüsteemi Crameri meetodi abil:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Seega vektor x → baasis e (1), e (2), e (3) on koordinaatidega x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1.

Vastus: x = (1, 1, 1)

Aluste vaheline seos

Oletame, et mingis n-mõõtmelise vektorruumi baasis on antud kaks lineaarselt sõltumatut vektorisüsteemi:

c (1) = (c 1 (1), c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2), c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . ., e n (1)) e (2) = (e 1 (2), e 2 (2) , ..., e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Need süsteemid on ka antud ruumi alused.

Olgu c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - vektori c (1) koordinaadid baasis e (1) , e (2) , . . . , e (3) , siis antakse koordinaatide seos lineaarvõrrandisüsteemiga:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) +. . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) +. . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Süsteemi saab esitada maatriksina järgmiselt:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Teeme analoogia põhjal sama kirje vektori c (2) jaoks:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , ... , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Kombineerime maatriksi võrdsused üheks avaldiseks:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

See määrab seose kahe erineva aluse vektorite vahel.

Sama printsiipi kasutades on võimalik väljendada kõiki baasvektoreid e(1), e(2), . . . , e (3) läbi aluse c (1) , c (2) , . . . , c (n) :

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Anname järgmised määratlused:

Definitsioon 5

Maatriks c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) on üleminekumaatriks baasist e (1) , e (2) , . . . , e (3)

alusele c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Definitsioon 6

Maatriks e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) on üleminekumaatriks alustest c (1) , c (2) , . . . , c(n)

alusele e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Nendest võrdsustest on ilmne, et

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

need. üleminekumaatriksid on vastastikused.

Vaatame teooriat konkreetse näite abil.

Näide 7

Algandmed: baasist on vaja leida üleminekumaatriks

c (1) = (1, 2, 1) c (2) = (2, 3, 3) · c (3) = (3, 7, 1)

e (1) = (3, 1, 4) e (2) = (5, 2, 1) e (3) = (1, 1, -6)

Samuti tuleb näidata suvalise vektori x → koordinaatide vaheline seos antud alustes.

Lahendus

1. Olgu T üleminekumaatriks, siis on võrdus tõene:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Korrutage võrdsuse mõlemad pooled arvuga

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

ja saame:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Määratlege üleminekumaatriks:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Defineerime vektori x → koordinaatide vahelise seose:

Oletame, et aluses c (1) , c (2) , . . . , c (n) vektoril x → on koordinaadid x 1 , x 2 , x 3 , siis:

x = (x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1,

ja aluses e (1) , e (2) , . . . , e (3) koordinaadid on x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, siis:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Sest Kui nende võrduste vasakpoolsed küljed on võrdsed, saame võrdsustada ka paremad pooled:

(x 1, x 2, x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Korrutage mõlemad parempoolsed küljed arvuga

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

ja saame:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3 ) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Teisel pool

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Viimased võrdsused näitavad seost vektori x → koordinaatide vahel mõlemas aluses.

Vastus:üleminekumaatriks

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Vektori x → koordinaadid antud alustes on seotud seosega:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter