Klassiväline tund - numbrimoodul. Arvu absoluutväärtus. Lõpetage õppetükid – teadmiste hüpermarket Mittenegatiivse arvu moodul on mittenegatiivne arv

Tunni eesmärgid

Tutvustada koolilastele sellist matemaatilist mõistet nagu arvu moodul;
Õpetada koolinoortele arvude moodulite leidmise oskusi;
Tugevdada õpitud materjali erinevate ülesannete täitmisega;

Ülesanded

Tugevdada laste teadmisi arvude mooduli kohta;
Kontrollige kontrolltööülesandeid lahendades, kuidas õpilased on õpitud materjali omandanud;
Jätkata huvi tekitamist matemaatikatundide vastu;
Kasvatada koolilastes loogilist mõtlemist, uudishimu ja visadust.

Tunniplaan

1. Arvu mooduli üldmõisted ja definitsioon.
2. Mooduli geomeetriline tähendus.
3. Arvu moodul ja selle omadused.
4. Arvu moodulit sisaldavate võrrandite ja võrratuste lahendamine.
5. Ajalooline teave mõiste "arvu moodul" kohta.
6. Ülesanne käsitletava teema teadmiste kinnistamiseks.
7. Kodutöö.

Üldmõisted arvu mooduli kohta

Arvu moodulit nimetatakse tavaliselt arvuks endaks, kui sellel ei ole negatiivset väärtust või sama arv on negatiivne, kuid vastupidise märgiga.

See tähendab, et mittenegatiivse reaalarvu a moodul on arv ise:

Ja negatiivse reaalarvu x moodul on vastupidine arv:

Salvestuses näeb see välja järgmine:

Arusaadavama mõistmise huvides toome näite. Nii näiteks on arvu 3 moodul 3 ja ka arvu -3 moodul on 3.

Sellest järeldub, et arvu moodul tähendab absoluutväärtust, see tähendab selle absoluutväärtust, kuid arvestamata selle märki. Veelgi lihtsamalt öeldes on vaja tähis numbrilt eemaldada.

Arvu moodulit saab määrata ja see näeb välja selline: |3|, |x|, |a| jne.

Nii näiteks tähistatakse arvu 3 moodulit |3|.

Samuti tuleb meeles pidada, et arvu moodul ei ole kunagi negatiivne: |a|≥ 0.

|5| = 5, |-6| = 6, |-12,45| = 12.45 jne.

Mooduli geomeetriline tähendus

Arvu moodul on kaugus, mida mõõdetakse ühikuliste segmentidena lähtepunktist punktini. See määratlus näitab moodulit geomeetrilisest vaatepunktist.

Võtame koordinaatide sirge ja määrame sellele kaks punkti. Vastagu need punktid sellistele numbritele nagu −4 ja 2.

Nüüd pöörame sellele joonisele tähelepanu. Näeme, et koordinaatjoonel näidatud punkt A vastab numbrile -4 ja kui vaatate hoolikalt, näete, et see punkt asub võrdluspunktist 0 4 ühikulise segmendi kaugusel. Sellest järeldub, et segmendi OA pikkus võrdub nelja ühikuga. Sel juhul on segmendi OA pikkus, see tähendab arv 4, arvu -4 moodul.

Sel juhul tähistatakse ja kirjutatakse arvu moodul järgmiselt: |−4| = 4.

Nüüd võtame ja määrame koordinaatjoonele punkti B.

See punkt B vastab numbrile +2 ja, nagu näeme, asub see lähtepunktist kahe ühiku segmendi kaugusel. Sellest järeldub, et segmendi OB pikkus võrdub kahe ühikuga. Sel juhul on number 2 arvu +2 moodul.

Salvestisel näeb see välja järgmine: |+2| = 2 või |2| = 2.

Nüüd teeme kokkuvõtte. Kui võtta mõni tundmatu arv a ja määrata see koordinaatsirgele punktiks A, siis antud juhul on kaugus punktist A lähtepunktini ehk lõigu OA pikkus täpselt arvu "a moodul" ”.

Kirjalikult näeb see välja järgmine: |a| = OA.

Arvu moodul ja selle omadused

Proovime nüüd esile tõsta mooduli omadused, kaalume kõiki võimalikke juhtumeid ja kirjutame need kirjasõnaliste väljendite abil:

Esiteks on arvu moodul mittenegatiivne arv, mis tähendab, et positiivse arvu moodul on võrdne arvu endaga: |a| = a, kui a > 0;

Teiseks on vastandarvudest koosnevad moodulid võrdsed: |a| = |–a|. See tähendab, et see omadus ütleb meile, et vastandarvudel on alati võrdsed moodulid, nagu ka koordinaatjoonel, kuigi neil on vastandarvud, on nad võrdluspunktist samal kaugusel. Sellest järeldub, et nende vastandarvude moodulid on võrdsed.

Kolmandaks on nullmoodul võrdne nulliga, kui see arv on null: |0| = 0, kui a = 0. Siin võime kindlalt väita, et nullmoodul on definitsiooni järgi null, kuna see vastab koordinaatjoone alguspunktile.

Mooduli neljas omadus on see, et kahe arvu korrutise moodul on võrdne nende arvude moodulite korrutisega. Vaatame nüüd lähemalt, mida see tähendab. Kui järgime definitsiooni, siis teie ja mina teame, et arvude a ja b korrutise moodul on võrdne a b või −(a b), kui a b ≥ 0 või – (a b), kui a b on suurem kui 0. B salvestamisel näeb see välja järgmine: |a b| = |a| |b|.

Viies omadus on see, et arvude jagatise moodul on võrdne nende arvude moodulite suhtega: |a: b| = |a| : |b|.

Ja numbrimooduli järgmised omadused:

Arvu moodulit hõlmavate võrrandite ja võrratuste lahendamine

Arvumooduliga ülesannete lahendamist alustades tuleb meeles pidada, et sellise ülesande lahendamiseks on vaja mooduli märk paljastada, kasutades teadmisi omadustest, millele see ülesanne vastab.

1. harjutus

Näiteks kui mooduli märgi all on avaldis, mis sõltub muutujast, siis tuleks moodulit laiendada vastavalt definitsioonile:

Muidugi tuleb probleemide lahendamisel ette juhtumeid, kus moodul paljastatakse unikaalselt. Kui näiteks võtame

Siin näeme, et selline avaldis mooduli märgi all on mittenegatiivne x ja y mis tahes väärtuste korral.

Või näiteks võtame

, näeme, et see mooduli avaldis ei ole positiivne ühegi z väärtuse puhul.

2. ülesanne

Teie ees kuvatakse koordinaatjoon. Sellel real on vaja märkida numbrid, mille moodul on 2.

Lahendus

Kõigepealt peame joonistama koordinaatjoone. Teate juba, et selleks peate esmalt sirgel valima lähtepunkti, suuna ja mõõtühiku lõigu. Järgmiseks peame paigutama punktid lähtepunktist, mis on võrdsed kahe ühikulise segmendi kaugusega.

Nagu näete, on koordinaatide sirgel kaks sellist punkti, millest üks vastab numbrile -2 ja teine ​​​​arvule 2.

Ajalooline teave arvude mooduli kohta

Mõiste “moodul” pärineb ladinakeelsest nimetusest modulus, mis tähendab “mõõta”. Selle termini võttis kasutusele inglise matemaatik Roger Cotes. Kuid moodulmärk võeti kasutusele tänu saksa matemaatikule Karl Weierstrassile. Kirjutamisel tähistatakse moodulit järgmise sümboliga: | |.

Küsimused materjali teadmiste kinnistamiseks

Tänases õppetükis tutvusime sellise mõistega nagu arvu moodul ja nüüd kontrollime, kuidas olete seda teemat valdanud, vastates esitatud küsimustele:

1. Kuidas nimetatakse arvu, mis on positiivse arvu vastand?
2. Kuidas nimetatakse arvu, mis on negatiivse arvu vastand?
3. Nimetage arv, mis on nulli vastand. Kas selline number on olemas?
4. Nimetage arv, mis ei saa olla arvu moodul.
5. Defineeri arvu moodul.

Kodutöö

1. Teie ees on numbrid, mis tuleb järjestada moodulite kahanevas järjekorras. Kui täidate ülesande õigesti, saate teada selle inimese nime, kes võttis matemaatikas esmakordselt kasutusele mõiste "moodul".

2. Joonistage koordinaatjoon ja leidke kaugus punktidest M (-5) ja K (8) lähtepunktini.

Õppeained > Matemaatika > Matemaatika 6. klass

Sõbrad, täna pole tatti ega sentimentaalsust. Selle asemel saadan teid ilma küsimusteta lahingusse 8.-9. klassi algebrakursuse ühe hirmuäratavama vastasega.

Jah, sa said kõigest õigesti aru: me räägime ebavõrdsusest mooduliga. Vaatame nelja põhitehnikat, mille abil õpid lahendama umbes 90% sellistest probleemidest. Aga ülejäänud 10%? Noh, neist räägime eraldi tunnis :)

Enne kui hakkan mõnda tehnikat analüüsima, tahaksin teile siiski meelde tuletada kahte fakti, mida peate juba teadma. Vastasel juhul on oht, et te ei saa tänase õppetunni materjalist üldse aru.

Mida sa juba teadma pead

Captain Obviousness näib vihjavat, et mooduliga ebavõrdsuse lahendamiseks peate teadma kahte asja:

1. Kuidas ebavõrdsused lahendatakse;
2. Mis on moodul?

Alustame teise punktiga.

Mooduli määratlus

Siin on kõik lihtne. Määratlusi on kaks: algebraline ja graafiline. Alustuseks - algebraline:

Definitsioon. Arvu $x$ moodul on kas arv ise, kui see ei ole negatiivne, või sellele vastav arv, kui algne $x$ on endiselt negatiivne.

See on kirjutatud nii:

\[\left| x \right|=\left\( \begin (joonda) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end (joonda) \right.\]

Lihtsamalt öeldes on moodul "arv ilma miinuseta". Ja just selles duaalsuses (mõnes kohas ei pea algse numbriga midagi tegema, teistes aga tuleb mingi miinus eemaldada) peitubki algajate õpilaste kogu raskus.

Samuti on olemas geomeetriline määratlus. Kasulik on ka teada, aga selle poole pöördume vaid keerukatel ja mõnel erijuhtudel, kus geomeetriline lähenemine on mugavam kui algebraline (spoiler: tänapäeval mitte).

Definitsioon. Olgu numbrireale märgitud punkt $a$. Seejärel moodul $\left| x-a \right|$ on kaugus punktist $x$ punktini $a$ sellel sirgel.

Kui joonistate pildi, saate midagi sellist:

Graafilise mooduli määratlus

Ühel või teisel viisil järgneb mooduli määratlusest selle võtmeomadus kohe: arvu moodul on alati mittenegatiivne suurus. See fakt on punane niit, mis läbib kogu meie tänase narratiivi.

Ebavõrdsuse lahendamine. Intervall meetod

Vaatame nüüd ebavõrdsust. Neid on väga palju, kuid meie ülesanne on praegu lahendada neist vähemalt kõige lihtsamad. Need, mis taandavad lineaarseks ebavõrdsuseks, samuti intervallmeetodiks.

Mul on sellel teemal kaks suurt õppetundi (muide, väga, VÄGA kasulikud - soovitan neid uurida):

1. Ebavõrdsuse intervallmeetod (eriti vaadake videot);
2. Murdratsionaalne ebavõrdsus on väga mahukas õppetund, kuid pärast seda pole teil enam küsimusi.

Kui sa seda kõike tead, kui lause "liigume ebavõrdsusest võrrandile" ei tekita sinus ebamäärast soovi end vastu seina lüüa, siis oled valmis: tere tulemast tunni peateema juurde :)

1. Vormi “Moodul on väiksem kui funktsioon” ebavõrdsused

See on üks levinumaid probleeme moodulitega. On vaja lahendada vormi ebavõrdsus:

\[\left| f\right| \ltg\]

Funktsioonid $f$ ja $g$ võivad olla mis tahes, kuid tavaliselt on need polünoomid. Sellise ebavõrdsuse näited:

\[\begin(joonda) & \left| 2x+3 \parem| \lt x+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\vasak| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(joonda)\]

Neid kõiki saab lahendada sõna otseses mõttes ühes reas vastavalt järgmisele skeemile:

\[\left| f\right| \lt g\Paremnool -g \lt f \lt g\quad \left(\Paremnool \vasak\( \begin(joonda) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(joonda) \parem.\parem)\]

On lihtne näha, et saame moodulist lahti, kuid vastutasuks saame topeltvõrratuse (või, mis on sama, kahe võrratuse süsteemi). Kuid see üleminek võtab arvesse absoluutselt kõiki võimalikke probleeme: kui mooduli all olev arv on positiivne, siis meetod töötab; kui negatiivne, töötab see endiselt; ja isegi kõige ebaadekvaatsema funktsiooniga $f$ või $g$ asemel töötab meetod ikkagi.

Loomulikult tekib küsimus: kas see ei saaks olla lihtsam? Kahjuks pole see võimalik. See on kogu mooduli mõte.

Siiski piisab filosofeerimisest. Lahendame paar probleemi:

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\left| 2x+3 \parem| \lt x+7\]

Lahendus. Niisiis, meie ees on klassikaline ebavõrdsus kujul "moodul on väiksem" - pole isegi midagi teisendada. Töötame vastavalt algoritmile:

\[\begin(joonda) & \left| f\right| \lt g\Paremnool -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \parem| \lt x+7\Paremnool -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(joonda)\]

Ärge kiirustage avama sulgusid, millele eelneb "miinus": on täiesti võimalik, et kiirustate tõttu teete solvava vea.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin (joonda) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(joonda) \right.\]

\[\left\( \begin (joonda) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end (joonda) \right.\]

\[\left\( \begin(joonda) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(joonda) \right.\]

Probleem taandus kahele elementaarsele ebavõrdsusele. Märgime nende lahendused paralleelsetel arvsirgetel:

Paljude ristmik

Nende hulkade ristumiskoht on vastus.

Vastus: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Lahendus. See ülesanne on veidi keerulisem. Esiteks isoleerime mooduli, nihutades teist liiget paremale:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \parem| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Ilmselgelt on meil jällegi ebavõrdsus kujul “moodul on väiksem”, seega vabaneme moodulist juba tuntud algoritmi abil:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Nüüd tähelepanu: keegi ütleb, et ma olen kõigi nende sulgudega natuke pervert. Kuid lubage mul teile veel kord meelde tuletada, et meie peamine eesmärk on õigesti lahendada ebavõrdsus ja saada vastus. Hiljem, kui olete kõik selles õppetükis kirjeldatu suurepäraselt omandanud, saate seda ise oma soovi järgi moonutada: avada sulud, lisada miinuseid jne.

Alustuseks vabaneme lihtsalt vasakpoolsest topeltmiinusest:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\left(x+1 \right)\]

Nüüd avame kõik topeltvõrratuse sulud:

Liigume edasi kahekordse ebavõrdsuse juurde. Seekord on arvutused tõsisemad:

\[\left\( \begin(joona) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(joonda) \paremale.\]

\[\left\( \begin(joona) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( joondada)\paremale.\]

Mõlemad ebavõrdsused on ruutsuurused ja neid saab lahendada intervallmeetodi abil (sellepärast ma ütlen: kui te ei tea, mis see on, siis on parem mitte mooduleid veel võtta). Liigume edasi esimeses võrratuses oleva võrrandi juurde:

\[\begin(joonda) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\lõpp(joonda)\]

Nagu näete, on väljundiks mittetäielik ruutvõrrand, mida saab elementaarselt lahendada. Vaatame nüüd süsteemi teist ebavõrdsust. Seal peate rakendama Vieta teoreemi:

\[\begin(joonda) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\lõpp(joonda)\]

Märgime saadud arvud kahele paralleelsele sirgele (esimese võrratuse jaoks eraldi ja teise jaoks eraldi):

Jällegi, kuna me lahendame võrratuste süsteemi, huvitab meid varjutatud hulkade ristumiskoht: $x\in \left(-5;-2 \right)$. See on vastus.

Vastus: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Arvan, et pärast neid näiteid on lahendusskeem äärmiselt selge:

1. Eraldage moodul, liigutades kõik teised liikmed ebavõrdsuse vastasküljele. Seega saame ebavõrdsuse kujul $\left| f\right| \ltg$.
2. Lahendage see ebavõrdsus, vabanedes moodulist vastavalt ülalkirjeldatud skeemile. Ühel hetkel on vaja liikuda topeltvõrdsusest kahe sõltumatu avaldise süsteemile, millest kumbagi saab juba eraldi lahendada.
3. Lõpuks jääb üle vaid ristuda nende kahe sõltumatu väljendi lahendused - ja ongi kõik, me saame lõpliku vastuse.

Sarnane algoritm on olemas ka järgmist tüüpi võrratuste jaoks, kui moodul on funktsioonist suurem. Siiski on paar tõsist "aga". Räägime nüüd nendest "agadest".

2. Vormi "Moodul on suurem kui funktsioon" ebavõrdsused

Need näevad välja sellised:

\[\left| f\right| \gtg\]

Sarnane eelmisele? Tundub. Ja ometi lahendatakse selliseid probleeme hoopis teistmoodi. Formaalselt on skeem järgmine:

\[\left| f\right| \gt g\Paremnool \left[ \begin(joonda) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(joonda) \right.\]

Teisisõnu käsitleme kahte juhtumit:

1. Esiteks me lihtsalt ignoreerime moodulit ja lahendame tavalise ebavõrdsuse;
2. Seejärel sisuliselt laiendame moodulit miinusmärgiga ja seejärel korrutame võrratuse mõlemad pooled −1-ga, samal ajal kui mul on märk.

Sel juhul on valikud kombineeritud nurksuluga, s.t. Meie ees on kahe nõude kombinatsioon.

Pange tähele veel kord: see ei ole süsteem, vaid seega tervik vastuses on hulgad pigem kombineeritud kui ristuvad. See on põhimõtteline erinevus eelmisest punktist!

Üldiselt on paljud õpilased ametiühingute ja ristumiskohtadega täiesti segaduses, nii et lahendame selle probleemi lõplikult:

• "∪" on ametiühingu märk. Tegelikult on see stiliseeritud täht “U”, mis tuli meile inglise keelest ja on lühend sõnast “Union”, st. "Assotsiatsioonid".
• "∩" on ristmiku märk. See jama ei tulnud kuskilt, vaid ilmus lihtsalt "∪" kontrapunktina.

Et oleks veelgi lihtsam meeles pidada, tõmba prillide tegemiseks lihtsalt nendele siltidele jalad (ära nüüd süüdista mind narkomaania ja alkoholismi propageerimises: kui õpid seda õppetundi tõsiselt, siis oled juba narkosõltlane):

Erinevus hulkade lõike ja ühenduse vahel

Vene keelde tõlgituna tähendab see järgmist: liit (kogu) sisaldab elemente mõlemast komplektist, seega ei ole see mingil juhul väiksem kui kummaski; kuid ristmik (süsteem) hõlmab ainult neid elemente, mis on samaaegselt nii esimeses kui ka teises hulgas. Seetõttu ei ole hulkade ristumiskoht kunagi suurem kui lähtehulk.

Nii sai selgemaks? See on suurepärane. Liigume edasi praktika juurde.

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\left| 3x+1 \parem| \gt 5-4x\]

Lahendus. Toimime vastavalt skeemile:

\[\left| 3x+1 \parem| \gt 5-4x\Paremnool \vasak[ \begin(joonda) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(joonda) \ õige.\]

Lahendame iga ebavõrdsuse populatsioonis:

\[\left[ \begin(joona) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(joonda) \right.\]

\[\left[ \begin(joona) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(joonda) \right.\]

\[\left[ \begin (joonda) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end (joonda) \right.\]

Märgime iga saadud komplekti numbrireal ja ühendame need seejärel:

Komplektide liit

On üsna ilmne, et vastus on $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Vastus: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \parem| \gt x\]

Lahendus. Noh? Mitte midagi – kõik on sama. Liigume mooduliga ebavõrdsusest kahe võrratuse hulka:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \parem| \gt x\Paremnool \vasak[ \begin(joonda) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(joonda) \paremale.\]

Me lahendame iga ebavõrdsuse. Kahjuks ei ole sealsed juured väga head:

\[\begin(joonda) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\lõpp(joonda)\]

Teine ebavõrdsus on samuti veidi metsik:

\[\begin(joonda) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\lõpp(joonda)\]

Nüüd peate need numbrid märkima kahele teljele - iga ebavõrdsuse jaoks üks telg. Punkte tuleb aga märkida õiges järjekorras: mida suurem number, seda kaugemale punkt paremale liigub.

Ja siin ootab meid ees seadistus. Kui kõik on selge numbritega $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (esimese numbri lugejas olevad terminid murdosa on väiksemad kui teise lugeja liikmed, seega on ka summa väiksem), arvudega $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21)(2)$ ei teki ka raskusi (positiivne number ilmselgelt negatiivsem), siis viimase paariga pole kõik nii selge. Kumb on suurem: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ või $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Sellele küsimusele antud vastusest sõltub punktide paigutus numbritel ja tegelikult ka vastus.

Nii et võrdleme:

\[\begin(maatriks) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(maatriks)\]

Isoleerisime juure, saime ebavõrdsuse mõlemale poolele mittenegatiivsed arvud, nii et meil on õigus mõlemale poolele ruudu panna:

\[\begin(maatriks) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(maatriks)\]

Ma arvan, et $4\sqrt(13) \gt 3 $, seega $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, paigutatakse telgede viimased punktid järgmiselt:

Inetute juurte juhtum

Lubage mul teile meelde tuletada, et lahendame hulka, nii et vastuseks on liit, mitte varjutatud kogumite ristumiskoht.

Vastus: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Nagu näete, töötab meie skeem suurepäraselt nii lihtsate kui ka väga raskete probleemide korral. Selle lähenemisviisi ainus "nõrk koht" on see, et peate irratsionaalseid numbreid õigesti võrdlema (ja uskuge mind: need pole ainult juured). Kuid võrdlusküsimustele pühendatakse eraldi (ja väga tõsine) õppetund. Ja liigume edasi.

3. Ebavõrdsused mittenegatiivsete "sabadega"

Nüüd jõuame kõige huvitavama osani. Need on vormi ebavõrdsused:

\[\left| f\right| \gt \left| g\right|\]

Üldiselt on algoritm, millest me nüüd räägime, õige ainult mooduli jaoks. See töötab kõigis ebavõrdsustes, kus vasakul ja paremal on garanteeritud mittenegatiivsed avaldised:

Mida nende ülesannetega peale hakata? Lihtsalt mäleta:

Mittenegatiivsete “sabadega” ebavõrdsuse korral saab mõlemat poolt tõsta ükskõik millisele loomulikule jõule. Täiendavaid piiranguid ei tule.

Esiteks tunneme huvi ruudustamise vastu - see põletab mooduleid ja juuri:

\[\begin(joona) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\lõpp(joonda)\]

Ärge ajage seda segamini ruudu juure võtmisega:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Kui õpilane unustas mooduli installida, tehti lugematul hulgal vigu! Kuid see on täiesti erinev lugu (need on justkui irratsionaalsed võrrandid), nii et me ei hakka sellesse praegu laskuma. Lahendame paar probleemi paremini:

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\left| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Lahendus. Paneme kohe tähele kahte asja:

1. See ei ole range ebavõrdsus. Arvureal olevad punktid torgatakse.
2. Ebavõrdsuse mõlemad pooled on ilmselgelt mittenegatiivsed (see on mooduli omadus: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Seetõttu saame moodulist vabanemiseks ja ülesande lahendamiseks tavalise intervallimeetodi abil ruudustada ebavõrdsuse mõlemad pooled:

\[\begin(joona) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\lõpp(joonda)\]

Viimases etapis tegin veidi pettust: muutsin terminite järjestust, kasutades ära mooduli ühtlust (tegelikult korrutasin avaldise $1-2x$ -1-ga).

\[\begin(joona) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ right)\right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(joonda)\]

Lahendame intervallmeetodil. Liigume võrratuse juurest võrrandi juurde:

\[\begin(joona) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\lõpp(joonda)\]

Leitud juured märgime numbrireale. Veel kord: kõik punktid on varjutatud, sest algne ebavõrdsus pole range!

Moodulimärgist vabanemine

Tuletan meelde neile, kes on eriti kangekaelsed: võtame märgid viimasest võrratusest, mis pandi kirja enne võrrandi juurde liikumist. Ja me värvime samas ebavõrdsuses nõutavad alad üle. Meie puhul on see $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, nüüd on kõik läbi. Probleem on lahendatud.

Vastus: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\left| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \parem|\]

Lahendus. Teeme kõike ühtemoodi. Ma ei kommenteeri – vaadake lihtsalt toimingute järjekorda.

Ruudu see:

\[\begin(joona) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) |. ((x)^(2))+3x+4 \parem|)^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \paremal))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ parem))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \parem)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(joonda)\]

Intervall meetod:

\[\begin(joona) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Paremnool x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Paremnool D=16-40 \lt 0\Paremnool \varnothing . \\\lõpp(joonda)\]

Arvureal on ainult üks juur:

Vastus on terve intervall

Vastus: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.

Väike märkus viimase ülesande kohta. Nagu üks mu õpilane täpselt märkis, on selle ebavõrdsuse mõlemad alammooduli avaldised ilmselgelt positiivsed, seega võib mooduli märgi ilma tervist kahjustamata jätta.

Aga see on hoopis teine ​​mõtlemise tase ja teistsugune lähenemine – seda võib tinglikult nimetada tagajärgede meetodiks. Selle kohta - eraldi õppetükis. Liigume nüüd tänase õppetunni viimase osa juurde ja vaatame universaalset algoritmi, mis alati töötab. Isegi siis, kui kõik eelnevad lähenemised olid jõuetud :)

4. Valikute loendamise meetod

Mis siis, kui kõik need tehnikad ei aita? Kui ebavõrdsust ei saa taandada mittenegatiivseteks sabadeks, kui moodulit pole võimalik isoleerida, kui üldiselt on valu, kurbus, melanhoolia?

Siis tuleb sündmuskohale kogu matemaatika „raskekahurvägi” – toore jõu meetod. Seoses mooduliga ebavõrdsusega näeb see välja järgmine:

1. Kirjutage välja kõik alammooduli avaldised ja määrake need võrdseks nulliga;
2. Lahendage saadud võrrandid ja märkige ühele arvureale leitud juured;
3. Sirge jagatakse mitmeks osaks, mille sees igal moodulil on fikseeritud märk ja seepärast on see unikaalne;
4. Lahendage ebavõrdsus igal sellisel lõigul (usaldusväärsuse huvides võite eraldi arvestada etapis 2 saadud juured-piirid). Kombineerige tulemused - see on vastus :)

Niisiis, kuidas? Nõrk? Lihtsalt! Ainult pikaks ajaks. Vaatame praktikas:

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\left| x+2 \parem| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3) (2)\]

Lahendus. See jama ei taandu ebavõrdsusele nagu $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ või $\left| f\right| \lt \left| g \right|$, seega tegutseme edasi.

Kirjutame välja submodulaarsed avaldised, võrdsustame need nulliga ja leiame juured:

\[\begin(joona) & x+2=0\Paremnool x=-2; \\ & x-1=0\Paremnool x=1. \\\lõpp(joonda)\]

Kokku on meil kaks juurt, mis jagavad numbrirea kolmeks osaks, milles iga moodul ilmub kordumatult:

Arvrea jagamine alammodulaarsete funktsioonide nullidega

Vaatame iga jaotist eraldi.

1. Olgu $x \lt -2$. Siis on mõlemad submodulaarsed avaldised negatiivsed ja algne ebavõrdsus kirjutatakse ümber järgmiselt:

\[\begin(joona) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(joonda)\]

Meil on üsna lihtne piirang. Lõikame selle esialgse eeldusega, et $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(joonda) \right.\Paremnool x\in \varnothing \]

Ilmselgelt ei saa muutuja $x$ olla samaaegselt väiksem kui −2 ja suurem kui 1,5. Selles valdkonnas lahendusi pole.

1.1. Vaatleme eraldi piirjuhtumit: $x=-2$. Asendame selle arvu algse ebavõrdsusega ja kontrollime: kas see on tõsi?

\[\begin(joona) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) \ \ & 0 \lt \left| -3\parem|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Paremnool \varnothing . \\\lõpp(joonda)\]

On ilmne, et arvutuste ahel on viinud meid vale ebavõrdsuseni. Seetõttu on ka algne ebavõrdsus väär ja $x=-2$ ei sisaldu vastuses.

2. Olgu nüüd $-2 \lt x \lt 1 $. Vasakpoolne moodul avaneb juba “plussiga”, parem aga ikkagi “miinusmärgiga”. Meil on:

\[\begin(joonda) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(joonda)\]

Jällegi ristume algse nõudega:

\[\left\( \begin(joona) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(joonda) \right.\Rightnarrow x\in \varnothing \]

Ja jällegi on lahenduste hulk tühi, kuna puuduvad arvud, mis on mõlemad väiksemad kui −2,5 ja suuremad kui −2.

2.1. Ja jälle erijuhtum: $x=1$. Asendame algse ebavõrdsusega:

\[\begin(joona) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\paremal| \lt \left| 0 \parem|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Paremnool \varnothing . \\\lõpp(joonda)\]

Sarnaselt eelmisele “erijuhtumile” ei sisaldu vastuses selgelt arv $x=1$.

3. Rea viimane osa: $x \gt 1$. Siin avatakse kõik moodulid plussmärgiga:

\[\begin(joona) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(joonda)\ ]

Ja jälle ristame leitud hulga algse piiranguga:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(joonda) \right.\Paremnool x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Lõpuks ometi! Oleme leidnud intervalli, mis on vastuseks.

Vastus: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Lõpetuseks üks märkus, mis võib päästa teid rumalatest vigadest tõeliste probleemide lahendamisel:

Moodulitega ebavõrdsuse lahendused kujutavad tavaliselt arvureal pidevaid hulki – intervalle ja segmente. Eraldatud punktid on palju vähem levinud. Ja veelgi harvemini juhtub, et lahenduse piir (lõigu lõpp) langeb kokku vaadeldava vahemiku piiriga.

Järelikult, kui vastuses ei sisaldu piire (sama “erijuhud”), siis nendest piiridest vasakule ja paremale jäävaid alasid vastuses peaaegu kindlasti ei arvestata. Ja vastupidi: piir sisestati vastusesse, mis tähendab, et mõned alad selle ümber on ka vastused.

Pidage seda lahenduste ülevaatamisel meeles.

Selles õppetükis vaadeldakse reaalarvu mooduli kontseptsiooni ja tutvustatakse mõningaid selle põhimääratlusi, millele järgneb näited, mis demonstreerivad nende erinevate definitsioonide kasutamist.

Teema:Reaalarvud

Õppetund:Reaalarvu moodul

1. Mooduli definitsioonid

Vaatleme sellist mõistet kui reaalarvu moodulit, sellel on mitu määratlust.

Definitsioon 1. Nimetatakse kaugust koordinaatjoone punktist nullini mooduli number, mis on selle punkti koordinaat (joonis 1).

Näide 1. . Pange tähele, et vastandarvude moodulid on võrdsed ja mittenegatiivsed, kuna see on kaugus, kuid see ei saa olla negatiivne ja kaugus nulli sümmeetrilistest arvudest lähtepunktini on võrdne.

2. definitsioon. .

Näide 2. Vaatleme üht eelmises näites püstitatud probleemi, et demonstreerida kasutusele võetud definitsioonide samaväärsust. , nagu näeme, negatiivse arvuga mooduli märgi all, selle ette teise miinuse lisamine annab mittenegatiivse tulemuse, nagu tuleneb mooduli definitsioonist.

Tagajärg. Kahe punkti vahelise kauguse, mille koordinaadid on koordinaatjoonel, leiate järgmiselt sõltumata punktide suhtelisest asukohast (joon. 2).

2. Mooduli põhiomadused

1. Mis tahes arvu moodul on mittenegatiivne

2. Toote moodul on moodulite korrutis

3. Jagatismoodul on moodulite jagatis

3. Probleemide lahendamine

Näide 3. Lahenda võrrand.

Lahendus. Kasutame teise mooduli määratlust: ja kirjutage meie võrrand mooduli avamise erinevate võimaluste võrrandisüsteemi kujul.

Näide 4. Lahenda võrrand.

Lahendus. Sarnaselt eelmise näite lahendusega saame, et .

Näide 5. Lahenda võrrand.

Lahendus. Lahendame mooduli esimese definitsiooni järelduse kaudu: . Kujutame seda arvuteljel, võttes arvesse, et soovitud juur jääb punktist 3 2 kaugusele (joonis 3).

Joonise põhjal saame võrrandi juured: , kuna selliste koordinaatidega punktid asuvad punktist 3 2 kaugusel, nagu võrrandis nõutud.

Vastus. .

Näide 6. Lahenda võrrand.

Lahendus. Võrreldes eelmise ülesandega on ainult üks komplikatsioon - see on see, et koordinaatteljel arvude vahelise kauguse järelduse sõnastusega pole täielikku sarnasust, kuna mooduli märgi all on plussmärk, mitte miinus. märk. Kuid selle nõutavale vormile viimine pole keeruline, mida me ka teeme:

Kujutame seda arvuteljel sarnaselt eelmisele lahendusele (joonis 4).

Võrrandi juured .

Vastus. .

Näide 7. Lahenda võrrand.

Lahendus. See võrrand on veidi keerulisem kui eelmine, sest tundmatu on teisel kohal ja miinusmärgiga, lisaks on sellel ka numbriline kordaja. Esimese probleemi lahendamiseks kasutame ühte mooduli atribuutidest ja saame:

Teise ülesande lahendamiseks teeme muutujate muudatuse: , mis viib meid lihtsaima võrrandini . Mooduli teise definitsiooni järgi . Asendage need juured asendusvõrrandiga ja saate kaks lineaarset võrrandit:

Vastus. .

4. Ruutjuur ja moodul

Üsna sageli tekivad juurtega seotud probleemide lahendamisel moodulid ja peaksite pöörama tähelepanu olukordadele, milles need tekivad.

Selle identiteedi esmapilgul võivad tekkida küsimused: "miks on seal moodul?" ja "miks on identiteet vale?" Selgub, et teisele küsimusele saame tuua lihtsa vastunäite: kui see peab olema tõene, siis mis on samaväärne, kuid see on vale identiteet.

Pärast seda võib tekkida küsimus: "kas selline identiteet ei lahenda probleemi?", kuid selle ettepaneku kohta on ka vastunäide. Kui see peaks olema tõsi, siis on see samaväärne, kuid see on vale identiteet.

Seega, kui me mäletame, et mittenegatiivse arvu ruutjuur on mittenegatiivne arv ja mooduli väärtus on mittenegatiivne, saab selgeks, miks ülaltoodud väide on tõene:

.

Näide 8. Arvutage avaldise väärtus.

Lahendus. Selliste ülesannete puhul on oluline mitte kohe mõtlematult tüvest lahti saada, vaid kasutada ülalmainitud identiteeti, sest .

Koosneb positiivsetest (looduslikest) arvudest, negatiivsetest arvudest ja nullist.

Kõik negatiivsed arvud ja ainult need on väiksemad kui null. Arvureal asuvad negatiivsed arvud nullist vasakul. Nende jaoks, nagu ka positiivsete arvude puhul, on defineeritud järjestusseos, mis võimaldab võrrelda üht täisarvu teisega.

Iga naturaalarvu jaoks n on üks ja ainult üks negatiivne arv, tähistatud -n, mis täiendab n nulli: n + (− n) = 0 . Mõlemale numbrile helistatakse vastupidineüksteisele. Täisarvu lahutamine a võrdub selle lisamisega selle vastandiga: -a.

Negatiivsete arvude omadused

Negatiivsed arvud järgivad peaaegu samu reegleid kui naturaalarvud, kuid neil on mõned eripärad.

Ajalooline sketš

Kirjandus

• Vygodsky M. Ya. Algmatemaatika käsiraamat. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
• Glazer G.I. Matemaatika ajalugu koolis. - M.: Haridus, 1964. - 376 lk.

Lingid

Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.

• Hoolimatu kahju tekitamine
• Neotroopsed

Vaadake, mis on "mittenegatiivne arv" teistes sõnaraamatutes:

Päris number- Reaal- ehk reaalarv on matemaatiline abstraktsioon, mis tekkis vajadusest mõõta ümbritseva maailma geomeetrilisi ja füüsikalisi suurusi, samuti teha selliseid toiminguid nagu juurte eraldamine, logaritmide arvutamine, lahendamine... ... Wikipedia

tavaliselt väike mittenegatiivne täisarv- Osa kodeeringust, mis esindab piiramata mittenegatiivse täisarvu väärtusi, kuid kus väikesed väärtused esinevad sagedamini (ITU T X.691). Teemad...... Tehniline tõlkija juhend

PÄRIS NUMBER- reaalarv, positiivne arv, negatiivne arv või null. Arvarvu mõiste tekkis ratsionaalarvu mõiste laiendamisel. Vajadus selle laiendamise järele tuleneb nii matemaatika praktilisest kasutamisest... ... Matemaatiline entsüklopeedia

algarv- Algarv on naturaalarv, millel on täpselt kaks erinevat naturaaljagajat: üks ja ta ise. Kõiki teisi naturaalarve, välja arvatud üks, nimetatakse liitarvudeks. Seega on kõik naturaalarvud suuremad kui üks... ... Wikipedia

naturaalarv- ▲ täisarvu väljendav, reaal-, naturaalarvu mittenegatiivne täisarv; väljendab üksikute tervikobjektide arvu, milles l. täitematerjalid; tähistab reaalsete tervikobjektide arvu; arvude väljendamine. neli... Vene keele ideograafiline sõnaraamat

Kümnend- Kümnend on teatud tüüpi murd, mis on viis reaalarvude esitamiseks kujul, kus murru märk on kas või koma, mis eraldab täisarvu ja arvu murdosa. .. ... Vikipeedia Vikipeedia

ShMO juht
matemaatikaõpetajad _______Kalashnikova Zh.YuValdade eelarveline õppeasutus
"Keskkool nr 89"
Temaatilised kontrolltööd matemaatikas 6. klassidele
õpiku järgi I.I. Zubareva ja A.G. Mordkovitš
Koostanud: matemaatikaõpetajad:
Kalašnikova Žanna Jurjevna
Stolbova Ljudmila Antonovna
ZATO Seversk
2016. aasta
Sisu
Test nr 1………………………………………………………………………………………….3-6
Test nr 2…………………………………………………………………………………………….7-10
Test nr 3……………………………………………………………………………………………………………….11-14
Vastused………………………………………………………………………………………………………………..15
Test nr 1 “Positiivsed ja negatiivsed arvud”
valik 1
Sisestage negatiivne murdarv:
-165
38
-7.92
67 Kirjeldage sündmust "Koordinaadikiirele on märgitud arv -5,5"
Usaldusväärne
Võimatu
Juhuslik

Milline neljast arvust on suurim?
8,035
80,35
0,8035
803,5
Milline punkt asub koordinaatsirgel punktist O (0) paremal?
M (-4)
E (-15)
K (15)
D(-1,2)
Öösel oli õhutemperatuur -5°C. Päeval oli termomeeter juba +3 °C. Kuidas on õhutemperatuur muutunud?
Suurendatud 8o võrra
2o võrra vähenenud
Suurendatud 2o võrra
8o võrra vähenenud
Koordinaadijoonele on märgitud punkt x(-2) – sümmeetriakese. Märkige sellel sirgel punkti x suhtes sümmeetriliselt paiknevate punktide koordinaadid.

(-1) ja (1)
(-1) ja (1)
(3) ja (-3)
(0) ja (-4)
Millised punktid koordinaatjoonel ei ole sümmeetrilised alguspunkti suhtes – punkt O (0).
B(-5) ja C(5)
D(0,5) ja E(-0,5)
M(-3) ja K(13)
A(18) ja X(-18)
Mis on arvude 0,316+0,4 summa?
0,356
0,716
4,316
0,32
Arvutage 25% 0,4-st.
0,1
0,001
10
100
Arvutage vahe 9100 ja 0,03
0,05
0,6
9,03
350 2. võimalus
Sisestage negatiivne murdarv.
8,63
-1045
913-0,2
Kirjeldage sündmust "Koordinaadikiirele on märgitud number 7".
Juhuslik
Võimatu
Usaldusväärne
Milline number on väikseim?
15,49
154,9
1,549
1549
Milline punktidest asub punktist O(0) vasakul asuval koordinaatjoonel.
A(-0,5)
AT 6)
M(0,5)
K(38)
Päeval näitas termomeeter +5°C, õhtul -2°C. Kuidas on õhutemperatuur muutunud?
Suurendatud 3o võrra
Vähenes 7o võrra
3o võrra vähenenud
Suurenenud 7o võrra
Sümmeetriakese on märgitud koordinaatjoonele - punkt A(-3). Märkige sellel sirgel punkti A suhtes sümmeetriliselt paiknevate punktide koordinaadid.

(-2) ja (2)
(0) ja (-5)
(-6) ja (1)
(-1) ja (-5)
Millised koordinaatjoone punktid ei ole sümmeetrilised alguspunkti suhtes - punkt O(0).
A(6) ja B(-6)
C(12) ja D(-2)
M(-1) ja K(1)
X (-9) ja Y (9)
Mis on arvude 0,237 ja 0,3 summa?
0,24
3,237
0,537
0,267
Arvutage 20% 0,5-st
10
0,1
0,2
0,01
Arvutage vahe 0,07 ja 31001250,5
1
425Katse nr 2. Arvu absoluutväärtus. Vastandlikud numbrid.
valik 1
Milline antud arvudest on väikseima mooduliga
-11
1013-4,196
-4,2
Määrake vale võrrand
85=-85
-1,9=1,9
35= 3558=-58 Mittenegatiivse arvu moodul on mittenegatiivne arv. Kas see väide on tõsi?
Jah
Ei
Milline neist arvudest on vastupidine arvule -34?43-43-3434Mis on avaldise -(-m) väärtus, kui m = -15
+15
-15
Arvutage avaldise väärtus: -2,5∙4--919
-10
1
-1
Lahendage võrrand: x=40-40
40
40 või -40
Millised täisarvud asuvad arvude 2,75 ja 3,9 vahelisel koordinaatjoonel?
-2, -1, 1, 2
-1, 0, 1, 2, 3
-1, 0, 1, 2, 3, 4
-2, -1, 0, 1, 2, 3
Kas ebavõrdsus -30>-50 on tõsi?
Ei
Loetlege kõik täisarvud x, kui x≤30, 1, 2
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
1, 2, 3
2. võimalus
Millisel arvul on suurim moodul?
-0,6
-50,603
493550,530
Määrake vale võrrand
-1,5=1,512=12-117=117-325=-325Kas negatiivse arvu moodul võib olla negatiivne arv
Jah
Ei

Milline neist arvudest on 124 vastand?
-24
24
-124124Mis on avaldise –(-k) väärtus, kui k = -9
-9
+9
Arvutage avaldise väärtus: 2,5:-0,5+1,250
15
-2,5
2,5
Lahendage võrrand x=100100
-100
100 või -100
Millised täisarvud paiknevad arvude 1 ja - vahelisel koordinaatjoonel 4.5
-4, -3, -2, -1, 0
-3, -2, -1
-5, -4, -3, -2, -1
-4, -3, -2, -1, 1
Kas ebavõrdsus -25 on tõsi?<-10?
Jah
Ei
Loetlege kõik täisarvud x, kui x≤44, 3, 2
0, 1, 2, 3
1, 2, 3, 4
0, 1, 2, 3, 4
Test nr 3. Numbrite võrdlus
valik 1
Milline ebavõrdsustest on vale?
-20 > 2
0 < -1
-16 > -7
-5 < -3

-320 -920>
<
=
Kas on tõsi, et arv 0 on suurem kui ükskõik milline negatiivne arv?
Jah
Ei
Arv a ei ole negatiivne. Kuidas saab seda väidet ebavõrdsusena kirjutada?
a<0a≤0a≥0a>0Märkige antud arvudest suurim.
0,16
-3018-0,4
0,01
Milliste x loomulike väärtuste korral on võrratus x≤44, 3, 2 tõene?
1 , 2, 3, 4
4, 3, 2, 1
0, 1, 2, 3
Milliste y täisarvude puhul on võrratus y tõene?<-2?0
-1
0, -1, 1
Selliseid väärtusi pole
Numbrid -6; -3,8; -115; 0.8 asub:
Kahanevas järjekorras
Kasvavas järjekorras
Korrastuses
Raadios kõlas ilmateade: sooja on oodata -20 °C-ni. Kirjelda seda sündmust:
Võimatu
Usaldusväärne
Juhuslik
2. võimalus
Milline ebavõrdsustest on tõsi?
-5 > 0
6 < -17
-34 > -40
-9 < -63
Milline märk tuleb nende murdude vahele kirjutada, et ebavõrdsus oleks tõene?
-1315 -715<
>
=
Kas on tõsi, et arv 0 on väiksem kui ükskõik milline negatiivne arv?
Jah
Ei
Arv x ei ole suurem kui null. Kuidas saab seda väidet ebavõrdsusena kirjutada?
x≥0x>0x<0x≤0Укажите наименьшее из данных чисел.
-5,92
1,7
-1000
35 Milliste a loomulike väärtuste puhul on ebavõrdsus a≤3 tõene?1, 2, 3
0, 1, 2, 3
1, 2
0, 1, 2
Milliste m täisarvude puhul on võrratus m tõene?<-4?-3, -2, -1
0, -1, -2, -3, 1, 2, 3
0
Selliseid väärtusi pole
Numbrid 1,2; -1,2; -427; -100 asub:
Korrastuses
Kasvavas järjekorras
Kahanevas järjekorras
Punkt A(5) on märgitud koordinaatjoonele. Sellele sirgele märgiti juhuslikult veel üks punkt B. Selle koordinaadiks osutus 5. Kirjeldage seda sündmust.
Juhuslik
Usaldusväärne
Võimatu
Vastused
Katse nr 1 Katse nr 2
Ei. 1. võimalus 2. valik
1 3 4
2 2 3
3 4 3
4 3 1
5 1 2
6 4 4
7 3 2
8 2 3
9 1 2
10 4 1
Ei. 1. võimalus 2. valik
1 3 2
2 1 4
3 1 2
4 4 3
5 2 1
6 3 4
7 3 3
8 4 1
9 1 2
10 2 4

Test nr 3
Ei. 1. võimalus 2. valik
1 4 3
2 1 2
3 1 2
4 3 4
5 1 3
6 2 1
7 4 4
8 2 3