Muinasjutud

Koonuse mõiste. Koonus kui geomeetriline kujund Kui pikk on koonuse generatriks

Mis väljuvad ühest punktist (koonuse tipust) ja mis läbivad tasast pinda.

Juhtub, et koonus on kehaosa, millel on piiratud maht ja mis saadakse iga segmendi kombineerimisel, mis ühendab tasase pinna tippu ja punkte. Viimane antud juhul on koonuse alus, ja väidetavalt toetub koonus sellele alusele.

Kui koonuse alus on hulknurk, on see juba nii püramiid .

Ringikujuline koonus- see on keha, mis koosneb ringist (koonuse põhi), punktist, mis ei asu selle ringi tasapinnas (koonuse ülaosa ja kõik segmendid, mis ühendavad koonuse ülaosa koonuse punktidega alus).

Nimetatakse lõike, mis ühendavad koonuse tippu ja alusringi punkte koonuse moodustamine. Koonuse pind koosneb alus- ja külgpinnast.

Külgpind on õige n- koonusesse kirjutatud süsinikpüramiid:

S n =½P n l n,

Kus Pn- püramiidi aluse ümbermõõt ja l n- apoteem.

Samal põhimõttel: tüvikoonuse külgpinna jaoks, millel on alusraadiused R 1, R 2 ja moodustamine l saame järgmise valemi:

S=(R1 +R2)l.

Sirged ja kaldus ümmargused koonused võrdse põhja ja kõrgusega. Nendel kehadel on sama maht:

Koonuse omadused.

Kui aluse pindala on piiratud, tähendab see, et koonuse mahul on ka piir ja see on võrdne aluse kõrguse ja pindala korrutise kolmanda osaga.

Kus S- baaspind, H- kõrgus.

Seega on igal koonusel, mis toetub sellele alusele ja mille tipp asub alusega paralleelsel tasapinnal, võrdne maht, kuna nende kõrgused on samad.

Iga piiratava mahuga koonuse raskuskese asub veerandi kõrgusel alusest.
Täisnurkse ringkoonuse tipu ruuminurka saab väljendada järgmise valemiga:

Kus α - koonuse avanemisnurk.

Sellise koonuse külgpindala, valem:

ja kogupindala (st külgpinna ja aluse pindalade summa) valem:

S = πR(l+R),

Kus R- aluse raadius, l— generatriksi pikkus.

Ringikujulise koonuse ruumala, valem:

Kärbitud koonuse (mitte ainult sirge või ringikujulise) puhul maht, valem:

Kus S 1 Ja S 2- ülemise ja alumise aluse pindala,

h Ja H- kaugused ülemise ja alumise aluse tasapinnast tipuni.

Tasapinna ristumiskoht parempoolse ringkoonusega on üks koonuslõikudest.

Selles õppetükis tutvume sellise kujundiga nagu koonus. Uurime koonuse elemente ja selle lõikude tüüpe. Ja me saame teada, millise kujundiga on koonul palju ühiseid omadusi.

Joonis 1. Koonusekujulised esemed

Maailmas on tohutult palju asju koonuse kujuga. Sageli me ei pane neid tähelegi. Teetööde eest hoiatavad teekoonused, losside ja majade katused, jäätisekoonused – kõik need objektid on koonusekujulised (vt joon. 1).

Riis. 2. Täisnurkne kolmnurk

Vaatleme suvalist täisnurkset kolmnurka, millel on jalad ja (vt joon. 2).

Riis. 3. Sirge ringikujuline koonus

Pöörates etteantud kolmnurka ümber ühe jala (üldsust kaotamata, olgu selleks jalg), kirjeldab hüpotenuus pinda ja jalg kirjeldab ringi. Nii saadakse keha, mida nimetatakse parempoolseks ringikujuliseks koonuseks (vt joonis 3).

Riis. 4. Käbide tüübid

Kuna me räägime sirgest ringikujulisest koonusest, siis ilmselt on olemas nii kaudne kui ka mitteringikujuline? Kui koonuse alus on ring, kuid tipp ei ole projitseeritud selle ringi keskmesse, siis nimetatakse sellist koonust kaldkoonuks. Kui alus ei ole ring, vaid suvaline kujund, siis nimetatakse sellist keha mõnikord ka koonuseks, kuid loomulikult mitte ringikujuliseks (vt joonis 4).

Seega jõuame taas analoogiani, mis on meile juba tuttav silindritega töötamisel. Tegelikult on koonus midagi püramiidi sarnast, lihtsalt püramiidi põhjas on hulknurk ja koonusel (mida me käsitleme) on ring (vt joonis 5).

Koonuse sees olevat pöörlemistelje segmenti (meie puhul on see jalg) nimetatakse koonuse teljeks (vt joonis 6).

Riis. 5. Koonus ja püramiid

Riis. 6. - koonuse telg

Riis. 7. Koonuse alus

Teise jala () pöörlemisel tekkivat ringi nimetatakse koonuse põhjaks (vt joonis 7).

Ja selle jala pikkus on koonuse aluse raadius (või lihtsamalt öeldes koonuse raadius) (vt joonis 8).

Riis. 8. - koonuse raadius

Riis. 9. - koonuse ülaosa

Pöördteljel paikneva pöörleva kolmnurga teravnurga tippu nimetatakse koonuse tipuks (vt joon. 9).

Riis. 10. - koonuse kõrgus

Koonuse kõrgus on koonuse tipust risti selle põhjaga tõmmatud segment (vt joonis 10).

Siin võib tekkida küsimus: kuidas siis pöörlemistelje segment erineb koonuse kõrgusest? Tegelikult langevad need kokku ainult sirge koonuse korral, kaldkoonust vaadates märkad, et tegemist on kahe täiesti erineva segmendiga (vt joon. 11).

Riis. 11. Kõrgus kaldus koonuses

Läheme tagasi sirge koonuse juurde.

Riis. 12. Koonuse generaatorid

Segmente, mis ühendavad koonuse tippu selle aluse ringi punktidega, nimetatakse koonuse generaatoriteks. Muide, kõik parempoolse koonuse generatriksid on üksteisega võrdsed (vt joonis 12).

Riis. 13. Looduslikud koonuselaadsed esemed

Kreeka keelest tõlgituna tähendab konos "männikäbi". Looduses on piisavalt objekte, millel on käbi kuju: kuusk, mägi, sipelgapesa jne (vt joon. 13).

Aga oleme harjunud, et koonus on sirge. Sellel on võrdsed generatriksid ja selle kõrgus langeb kokku teljega. Sellist koonust nimetasime sirgeks koonuks. Kooli geomeetriakursustel peetakse tavaliselt sirgeid koonuseid ja vaikimisi parempoolseks ringikujuliseks koonuseks. Kuid me oleme juba öelnud, et pole mitte ainult sirgeid, vaid ka kaldus koonuseid.

Riis. 14. Ristlõige

Pöördume tagasi sirgete koonuste juurde. “Lõika” koonus teljega risti oleva tasapinnaga (vt joonis 14).

Mis kujund jääb lõikele? Muidugi on see ring! Pidagem meeles, et tasapind kulgeb teljega risti ja seega paralleelselt alusega, mis on ring.

Riis. 15. Kaldlõik

Nüüd kallutame järk-järgult lõiketasapinda. Siis hakkab meie ring järk-järgult muutuma üha piklikumaks ovaaliks. Kuid ainult seni, kuni lõiketasapind põrkub alusringiga (vt joon. 15).

Riis. 16. Sektsioonide tüübid porgandi näitel

Kellele meeldib eksperimentaalselt maailma avastada, saab selles veenduda porgandi ja noa abil (proovige porgandist erinevate nurkade alt viile lõigata) (vt joonis 16).

Riis. 17. Koonuse telglõik

Koonuse lõiku selle telge läbiva tasapinna järgi nimetatakse koonuse telglõikeks (vt joonis 17).

Riis. 18. Võrdhaarne kolmnurk - läbilõikeline kujund

Siin saame täiesti erineva läbilõikekuju: kolmnurga. See kolmnurk on võrdhaarne (vt joonis 18).

Selles tunnis õppisime tundma silindripinda, silindrite liike, silindri elemente ja silindri sarnasust prismaga.

Koonuse generatriks on 12 cm ja kaldus aluse tasapinna suhtes 30 kraadise nurga all. Leidke koonuse aksiaalne ristlõikepindala.

Lahendus

Vaatleme vajalikku aksiaalset lõiku. See on võrdhaarne kolmnurk, mille küljed on 12 kraadi ja aluse nurk on 30 kraadi. Seejärel saate jätkata erinevatel viisidel. Või võite joonistada kõrguse, leida selle (pool hüpotenuusist, 6), seejärel aluse (kasutades Pythagorase teoreemi) ja seejärel pindala.

Riis. 19. Probleemi illustratsioon

Või leidke kohe nurk tipus - 120 kraadi - ja arvutage pindala külgede poolkorrutis ja nendevahelise nurga siinus (vastus on sama).

Geomeetria. Õpik 10-11 klassile. Atanasyan L.S. ja teised 18. väljaanne. - M.: Haridus, 2009. - 255 lk.
Geomeetria 11. klass, A.V. Pogorelov, M.: Haridus, 2002
Geomeetria töövihik 11. klass, V.F. Butuzov, Yu.A. Glazkov

Yaklass.ru ().
Uztest.ru ().
Bitclass.ru ().

Kodutöö

) - keha eukleidilises ruumis, mis saadakse kõigi ühest punktist lähtuvate kiirte kombineerimisel ( tipud koonus) ja läbides tasase pinna. Mõnikord on koonus sellise keha osa, millel on piiratud maht ja mis saadakse tasapinnalise pinna (viimast nimetatakse antud juhul nn. alus koonus ja koonust nimetatakse kaldu selle alusel). Kui koonuse alus on hulknurk, on selline koonus püramiid.

Entsüklopeediline YouTube

1 / 4

✪ Kuidas teha paberist koonust.

Subtiitrid

Seotud määratlused

Nimetatakse tippu ja aluse piiri ühendavat lõiku koonuse generatrix.
Koonuse generaatorite ühendust nimetatakse generatrix(või pool) koonuse pind. Koonuse moodustav pind on kooniline pind.
Tipust aluse tasapinnaga risti langenud lõiku (nagu ka sellise lõigu pikkust) nimetatakse koonuse kõrgus.
Koonuse nurk- nurk kahe vastandliku generatriksi vahel (nurk koonuse tipus, koonuse sees).
Kui koonuse põhjas on sümmeetriakese (näiteks see on ring või ellips) ja koonuse tipu ortogonaalprojektsioon aluse tasapinnale langeb kokku selle keskpunktiga, siis nimetatakse koonust nn. otsene. Sel juhul nimetatakse sirgjoont, mis ühendab aluse ülaosa ja keskpunkti koonuse telg.
Kaldus (kaldu) koonus - koonus, mille tipu ortogonaalne projektsioon alusele ei lange kokku selle sümmeetriakeskmega.
Ringikujuline koonus- koonus, mille alus on ring.
Sirge ringikujuline koonus(sageli nimetatakse lihtsalt koonuseks) saab saada täisnurkse kolmnurga pööramisel ümber jalga sisaldava joone (see joon tähistab koonuse telge).
Ellipsil asuvat koonust nimetatakse vastavalt parabooliks või hüperbooliks elliptilised, paraboolne Ja hüperboolne koonus(kahe viimase helitugevus on lõpmatu).
Koonuse osa, mis asub aluse ja alusega paralleelse tasapinna vahel ning asub tipu ja aluse vahel, nimetatakse nn. kärbitud koonus, või kooniline kiht.

Omadused

Kui aluse pindala on lõplik, siis on ka koonuse ruumala lõplik ja võrdub ühe kolmandikuga aluse kõrguse ja pindala korrutisest.

V = 1 3 S H , (\kuvastiil V=(1 \üle 3)SH,)

Kus S- baaspind, H- kõrgus. Seega on kõik koonused, mis toetuvad antud alusele (piiratud pindalaga) ja mille tipp asub alusega paralleelsel tasapinnal, võrdse ruumalaga, kuna nende kõrgused on võrdsed.

Iga lõpliku ruumalaga koonuse raskuskese asub veerandi kõrgusel alusest.
Täisnurkse ringkoonuse tipu ruuminurk on võrdne

2 π (1 − cos ⁡ α 2) , (\displaystyle 2\pi \left(1-\cos (\alpha \over 2)\right),) kus α on koonuse avanemisnurk.

Sellise koonuse külgpind on võrdne

S = π Rl , (\displaystyle S=\pi Rl,)

ja kogupindala (st külgpinna ja aluse pindalade summa)

S = π R (l + R), (\displaystyle S=\pi R(l+R),) Kus R- baasi raadius, l = R 2 + H 2 (\displaystyle l=(\sqrt (R^(2)+H^(2))))- generatrixi pikkus.

Ringikujulise (mitte tingimata sirge) koonuse ruumala on võrdne

V = 1 3 π R 2 H. (\displaystyle V=(1 \üle 3)\pi R^(2)H.)

Kärbitud koonuse (mitte tingimata sirge ja ringikujulise) puhul on maht võrdne:

V = 1 3 (H S 2 − h S 1) , (\kuvastiil V=(1 \üle 3)(HS_(2)-hS_(1)),)

kus S 1 ja S 2 on vastavalt ülemise (ülaosale kõige lähemal) ja alumise aluse alad, h Ja H- kaugused vastavalt ülemise ja alumise aluse tasapinnast tipuni.

Tasapinna ristumiskoht parempoolse ringkoonusega on üks koonuslõigetest (mitte-mandunud juhtudel - ellips, parabool või hüperbool, olenevalt lõiketasandi asukohast).

Koonuse võrrand

Võrrandid, mis määratlevad täisnurkse koonuse külgpinna avanemisnurgaga 2Θ, tipu alguspunktis ja teljega ühtiva teljega Oz :

Sfäärilises koordinaatide süsteemis koordinaatidega ( r, φ, θ) :

θ = Θ. (\displaystyle \theta =\Theta.)

Silindrilises koordinaatide süsteemis koordinaatidega ( r, φ, z) :

z = r ⋅ ctg ⁡ Θ (\displaystyle z=r\cdot \operaatorinimi (ctg) \Theta ) või r = z ⋅ tan ⁡ Θ . (\displaystyle r=z\cdot \operaatorinimi (tg) \Theta .)

Descartes'i koordinaatide süsteemis koos koordinaatidega (x, y, z) :

z = ± x 2 + y 2 ⋅ võrevoodi ⁡ Θ . (\displaystyle z=\pm (\sqrt (x^(2)+y^(2)))\cdot \operaatorinimi (ctg) \Theta .) See võrrand kanoonilisel kujul on kirjutatud kui

kus on konstandid a, Koos määratakse proportsiooni järgi c / a = cos ⁡ Θ / sin ⁡ Θ . (\displaystyle c/a=\cos \Theta /\sin \Theta .) See näitab, et parempoolse ringikujulise koonuse külgpind on teist järku pind (seda nimetatakse kooniline pind). Üldiselt toetub teist järku kooniline pind ellipsile; sobivas Descartes'i koordinaatsüsteemis (telg Oh Ja OU paralleelselt ellipsi telgedega, koonuse tipp ühtib alguspunktiga, ellipsi kese asub teljel Oz) selle võrrandil on vorm

x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 0, (\displaystyle (\frac (x^(2))(a^(2)))+(\frac (y^(2))( b^(2)))-(\frac (z^(2))(c^(2)))=0,)

ja a/c Ja b/c võrdne ellipsi pooltelgedega. Kõige üldisemal juhul, kui koonus toetub suvalisele tasasele pinnale, saab näidata, et koonuse külgpinna võrrand (mille tipp on alguspunktis) on antud võrrandiga f (x, y, z) = 0, (\displaystyle f(x,y,z)=0,) kus on funktsioon f (x, y, z) (\displaystyle f(x,y,z)) on homogeenne, st rahuldab tingimust f (α x , α y , α z) = α n f (x , y , z) (\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha ^(n)f(x,y ,z)) mis tahes reaalarvu α korral.

Skaneeri

Parempoolse ringikujulise koonuse kui pöörlemiskeha moodustab ühe jala ümber pöörlev täisnurkne kolmnurk, kus h- koonuse kõrgus aluse keskpunktist tipuni - on täisnurkse kolmnurga jalg, mille ümber toimub pöörlemine. Täisnurkse kolmnurga teine jalg r- raadius koonuse põhjas. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on l- koonuse moodustamine.

Koonuse skaneerimise loomiseks saab kasutada ainult kahte kogust r Ja l. Aluse raadius r määrab arengus koonuse aluse ringi ja koonuse külgpinna sektori määrab külgpinna generatriks l, mis on külgpinna sektori raadius. Sektori nurk φ (\displaystyle \varphi) koonuse külgpinna kujunemisel määratakse valemiga:

φ = 360° ( r/l) .

Koonus (täpsemalt ümmargune koonus) on keha, mis koosneb ringist - koonuse alusest, punktist, mis ei asu selle ringi tasapinnas - koonuse tipust ja kõigist koonuse tippu ühendavatest segmentidest. aluse punktidega (joonis 1) Joonelõike, mis ühendavad koonuse ülaosa aluse ringi punktidega, nimetatakse koonuse generaatoriteks. Kõik koonuse generaatorid on üksteisega võrdsed. Koonuse pind koosneb alus- ja külgpinnast.
Riis. 1
Koonust nimetatakse sirgeks, kui koonuse tippu aluse keskpunktiga ühendav sirgjoon on risti aluse tasapinnaga. Visuaalselt võib sirget ringikujulist koonust kujutada kehana, mis saadakse täisnurkse kolmnurga pööramisel ümber oma jala kui telje (joonis 2).
Riis. 2
Koonuse kõrgus on risti, mis langeb selle tipust aluse tasapinnani. Sirge koonuse korral langeb kõrguse põhi kokku aluse keskpunktiga. Parempoolse ringikujulise koonuse telg on sirgjoon, mis sisaldab selle kõrgust.
Koonuse läbilõige selle tippu läbiva tasandi järgi on võrdhaarne kolmnurk, mille küljed moodustavad koonuse (joon. 3). Eelkõige on võrdhaarne kolmnurk koonuse telglõik. See on lõik, mis läbib koonuse telge (joonis 4).
Riis. 3 Joon. 4

Koonuse pindala
Koonuse külgpinda, nagu silindri külgpinda, saab pöörata tasapinnale, lõigates seda mööda ühte generatritest (joon. 2, a, b). Koonuse külgpinna arendus on ringikujuline sektor (joon. 2.6), mille raadius võrdub koonuse generatriksiga ja sektori kaarepikkus on koonuse aluse ümbermõõt.
Koonuse külgpinna pindala peetakse selle arengupiirkonnaks. Avaldame koonuse külgpinna pindala S selle generatriksi l ja aluse r raadiuse kaudu.
Ringikujulise sektori pindala - koonuse külgpinna areng (joonis 2) - on võrdne (Pl2a)/360, kus a on kaare ABA astme mõõt", seega
Sside = (Pl2a)/360. (*)
Avaldame a l ja r kaudu. Kuna kaare ABA" pikkus on võrdne 2Pr (koonuse aluse ümbermõõt), siis 2Pr = Pla/180, kust a=360r/l. Asendades selle avaldise valemiga (*), saame:
Sside = Prl. (**)
Seega on koonuse külgpinna pindala võrdne poole aluse ja generaatori ümbermõõdu korrutisega.
Koonuse kogupindala on külgpinna ja aluse pindalade summa. Koonuse kogupinna pindala Scon arvutamiseks saadakse valem: Scon = Pr (l + r). (***)

Frustum
Võtame suvalise koonuse ja joonistame selle teljega risti lõiketasandi. See tasapind lõikub koonusega ringikujuliselt ja jagab koonuse kaheks osaks. Üks osadest on koonus ja teist nimetatakse kärbitud koonuseks. Algkoonuse alust ja selle koonuse tasapinnaga lõikamisel saadud ringi nimetatakse tüvikoonuse alusteks ning nende keskpunkte ühendavat lõiku tüvikoonuse kõrguseks.

Koonilise pinna osa, mis piirab kärbikoonust, nimetatakse selle külgpinnaks ja aluste vahele jäävaid koonilise pinna generaatorite segmente nimetatakse tüvikoonuse generaatoriteks. Kõik kärbikoonuse generaatorid on üksteisega võrdsed (tõesta seda ise).
Tüvikoonuse külgpinna pindala on võrdne poole aluste ringide ja generaatori pikkuste summa korrutisega: Sside = П (r + r1) l.

Lisainfo koonuse kohta
1. Geoloogias on mõiste “ventilaator”. See on pinnavorm, mis on tekkinud mäestikujõgede poolt mäejalamile või laugemasse laiemasse orgu kantud kivimite (veeris, kruus, liiv) kuhjumisel.
2. Bioloogias on mõiste “kasvukoonus”. See on taimede võrse ja juure ots, mis koosneb hariduskoe rakkudest.
3. “Käbid” on prosobranch alamklassi merimolluskite perekond. Kest on kooniline (2–16 cm), erksavärviline. Käbisid on üle 500 liigi. Nad elavad troopikas ja subtroopikas, on röövloomad ja neil on mürgine nääre. Käbide hammustus on väga valus. Surmajuhtumid on teada. Karpe kasutatakse kaunistuste ja suveniiridena.
4. Statistika järgi sureb Maal igal aastal välgulöögist 6 inimest 1 miljoni elaniku kohta (sagedamini lõunapoolsetes riikides). Seda ei juhtuks, kui igal pool oleks piksevardad, kuna tekib turvakoonus. Mida kõrgem on piksevarras, seda suurem on sellise koonuse maht. Mõned inimesed püüavad end puu alla laotuste eest peita, kuid puu ei ole juht, sellele kogunevad laengud ja puu võib olla pingeallikaks.
5. Füüsikas kohtatakse mõistet “täisnurk”. See on palliks lõigatud koonusekujuline nurk. Ruuminurga ühik on 1 steradiaan. 1 steradiaan on ruuminurk, mille ruudu raadius on võrdne selle sfääri osa pindalaga, mille see välja lõikab. Kui asetame sellesse nurka 1 kandela (1 küünal) valgusallika, saame valgusvoo 1 luumen. Filmikaamera või prožektori valgus levib koonuse kujul.