Kaardid

Funktsiooni graafiku koostamine näidete mooduliga. Lineaarfunktsiooni graafikud moodulitega. Parempoolse muutuja juhtum

Erdnigorjajeva Marina

See töö on 8. klassis mingi teema valikainena õppimise tulemus. Siin on näidatud graafikute geomeetrilised teisendused ja nende rakendamine moodulitega graafikute koostamisel. Tutvustatakse mooduli mõistet ja selle omadusi. Näidatakse, kuidas koostada moodulitega graafikuid mitmel viisil: kasutades teisendusi ja lähtudes mooduli kontseptsioonist Projekti teema on matemaatikakursuse üks raskemaid, puudutab valikainetes käsitletavaid küsimusi ja on. õppis süvamatemaatikaga klassides. Sellised ülesanded on aga antud GIA teises osas, ühtses riigieksamil. See töö aitab teil mõista, kuidas koostada graafikuid mitte ainult lineaarsete, vaid ka muude funktsioonide (ruut-, pöördvõrdeline jne) moodulitega. Töö aitab valmistuda riigieksamiks ja ühtseks riigieksamiks.

Lae alla:

Eelvaade:

Esitluse eelvaadete kasutamiseks looge Google'i konto ja logige sisse: https://accounts.google.com

Slaidi pealdised:

Lineaarfunktsiooni graafikud moodulitega Töö autor Erdnigorjajeva Marina, MKÜ "Kamyshovskaya OOSH" 8. klassi õpilane Juhendaja Gorjajeva Zoja Erdnigorjajevna, matemaatikaõpetaja MCOU "Kamyshovskaya OOSH" lk. Kamõševo, 2013

Projekti eesmärk: vastata küsimusele, kuidas koostada moodulite abil lineaarfunktsioonide graafikuid. Projekti eesmärgid: tutvuda selleteemalise kirjandusega. Uurida graafikute geomeetrilisi teisendusi ja nende rakendamist moodulitega graafikute koostamisel. Uurige mooduli mõistet ja selle omadusi. Õppige moodulitest erinevatel viisidel graafikuid koostama.

Otsene proportsionaalsus Otsene proportsionaalsus on funktsioon, mida saab määrata valemiga kujul y=kx, kus x on sõltumatu muutuja, k on nullist erinev arv.

Joonistame funktsiooni y = x x 0 2 y 0 2

Graafikute geomeetriline teisendus Reegel nr 1 Funktsiooni y = f (x) + k graafik - lineaarne funktsioon - saadakse funktsiooni y = f (x) graafiku paralleelsel ülekandmisel + k ühiku võrra üles mööda O y telg, kui k> 0 või |- k| ühikut allapoole O y telge punktis k

Koostame graafikud y=x+3 y=x-2

Reegel nr 2 Funktsiooni y=kf(x) graafik saadakse funktsiooni y = f (x) graafiku venitamisel piki O y telge a kordades a>1 ja tihendades seda piki O y telge a korda 09. slaidil

Koostame graafiku y=x y= 2 x

Reegel nr 3 Funktsiooni y = - f (x) graafik saadakse graafiku y = f (x) sümmeetrilisel kuvamisel O x telje suhtes

Reegel nr 4 Funktsiooni y = f (- x) graafik saadakse funktsiooni y = f (x) graafiku sümmeetrilisel kuvamisel O y telje suhtes

Reegel nr 5 Funktsiooni y=f(x+c) graafik saadakse funktsiooni y=f(x) graafiku paralleelsel ülekandmisel mööda O x telge paremale, kui c 0.

Koostame graafikud y=f(x) y=f(x+2)

Mooduli definitsioon Mittenegatiivse arvu a moodul on võrdne arvuga a endaga; Negatiivse arvu a moodul on võrdne selle positiivse positiivse arvuga -a. Või |a|=a, kui a ≥0 |a|=-a, kui a

Koostatakse moodulitega lineaarfunktsioonide graafikud: geomeetriliste teisenduste kasutamine mooduli definitsiooni laiendamise teel.

Reegel nr 6 Funktsiooni y=|f(x)| graafik saadakse järgmiselt: graafiku y=f(x) O x telje kohal asuv osa säilib; O x telje all olev osa kuvatakse sümmeetriliselt O x telje suhtes.

Joonistage funktsioon y=-2| x-3|+4 Konstruktsioon y ₁=| x | Ehitame y₂= |x - 3 | → paralleeltõlge +3 ühiku võrra piki Ox-telge (nihutamine paremale) Konstruktsioon y ₃ =+2|x-3| → venitada piki O-telge y 2 korda = 2 y₂ Ehitame y ₄ =-2|x-3| → sümmeetria x-telje suhtes = - y₃ Ehitame y₅ =-2|x-3|+4 → paralleeltranslatsioon +4 ühiku võrra piki O-telge y (nihe ülespoole) = y ₄ +4

Funktsiooni y =-2|x-3|+4 graafik

Funktsiooni y= 3|x|+2 y₁=|x| graafik y₂=3|x|= 3 y₁ → venitamine 3 korda y₃=3|x| +2= y₄+2 → nihutage 2 ühikut üles

Reegel nr 7 Funktsiooni y=f(| x |) graafik saadakse funktsiooni y=f(x) graafikust järgmiselt: Kui x > 0, säilib funktsiooni graafik ja sama osa graafikust kuvatakse sümmeetriliselt O y telje suhtes

Joonistage funktsioon y = || x-1 | -2 |

Y₁= |x| y₂=|x-1| y₃ = y₂-2 y₄ = |y₃| Y=||x-1|-2|

Funktsiooni y=│f(│x│)│ graafiku koostamise algoritm konstrueerib funktsiooni y=f(│x│) graafiku. seejärel jäta muutmata kõik koostatud graafiku osad, mis asuvad x-telje kohal. osad, mis asuvad x-telje all, kuvatakse sümmeetriliselt selle telje suhtes.

Y=|2|x|-3| Konstruktsioon: a) y=2x-3, kui x>0, b) y=-2x-3 x puhul, slaid 26

Reegel nr 8 sõltuvusgraafik | y|=f(x) saadakse funktsiooni y=f(x) graafikult, kui kõik punktid, mille jaoks f(x) > 0 on säilinud ja need on ka abstsisstelje suhtes sümmeetriliselt üle kantud.

Koostage tasandi punktide hulk, mille ristkoordinaadid x ja y vastavad võrrandile |y|=||x-1|-1|.

| y|=||x-1| -1| koostame kaks graafikut 1) y=||x-1|-1| ja 2) y =-|| x-1|-1| y₁=|x| y₂=| x-1 | → nihutage piki Ox-telge paremale 1 ühiku võrra y₃ = | x -1 |- 1= → nihuta 1 ühiku võrra alla y ₄ = || x-1|- 1| → graafiku punktide sümmeetria, mille puhul y₃ 0 O x suhtes

Võrrandi |y|=||x-1|-1| graafik saame järgmiselt: 1) koostame funktsiooni y=f(x) graafiku ja jäta muutmata selle osa, kus y≥0 2) kasutades sümmeetriat Ox-telje suhtes, konstrueerida y-le vastav graafiku teine osa

Joonistage funktsioon y =|x | − | 2 − x | . Lahendus. Siin on mooduli märk kahes erinevas terminis ja see tuleb eemaldada. 1) Leia alammoodulavaldiste juured: x=0, 2-x=0, x=2 2) Määra intervallidele märgid:

Funktsiooni graafik

Kokkuvõte Projekti teema on matemaatikakursuse üks raskemaid teemasid, mis puudutab valikainetes käsitletavaid küsimusi ning seda õpitakse matemaatikakursuse süvaõppe tundides. Sellegipoolest on sellised ülesanded antud GIA teises osas. See töö aitab teil mõista, kuidas koostada graafikuid mitte ainult lineaarsete funktsioonide, vaid ka muude funktsioonide (ruut-, pöördvõrdelised jne) moodulitega. Töö aitab valmistuda riigieksamiks ja ühtseks riigieksamiks ning võimaldab saada matemaatikas kõrgeid hindeid.

Kirjandus Vilenkin N.Ya. , Zhokhov V.I.. Matemaatika. Õpik 6. klass Moskva. Kirjastus “Mnemosyne”, 2010 Vilenkin N.Ya., Vilenkin L.N., Survillo G.S. ja teised. 8. klass: hariv. Juhend matemaatika süvaõppega õpilastele ja klassidele. - Moskva. Valgustus, 2009 Gaidukov I.I. "Absoluutne väärtus." Moskva. Valgustus, 1968. Gursky I.P. "Funktsioonid ja graafikud." Moskva. Valgustus, 1968. Yashchina N.V. Mooduleid sisaldavate graafikute koostamise tehnikad. Ajakiri "Matemaatika koolis", nr 3, 1994 Lasteentsüklopeedia. Moskva. “Pedagoogika”, 1990. Dynkin E.B., Molchanova S.A. Matemaatika ülesanded. M., “Teadus”, 1993. Petrakov I.S. Matemaatikaklubid 8.-10. M., "Valgustus", 1987. Galitsky M.L. jm. ülesannete kogumik algebras 8.-9. klassile: Õpik matemaatika süvaõppega õpilastele ja klassidele. – 12. väljaanne. – M.: Haridus, 2006. – 301 lk. Makrychev Yu.N., Mindyuk N.G. Algebra: 9. klassi kooliõpiku lisapeatükid: matemaatika süvaõppega koolide ja klasside õpilastele mõeldud õpik / Toimetanud G.V. – M.: Haridus, 1997. – 224 lk. Sadykina N. Moodulimärki sisaldavate graafikute ja sõltuvuste konstrueerimine / Matemaatika. - nr 33. – 2004. – lk.19-21 .. Kostrikina N.P “Kõrgendatud raskusastmega probleemid 7-9 klassi algebrakursusel”... Moskva: Haridus, 2008.

Ärakiri

1 6.-11. klassi õpilaste õppe- ja uurimistööde piirkondlik teaduslik ja praktiline konverents “Matemaatika rakendus- ja põhiküsimused” Matemaatika õppimise metoodilised aspektid Moodulit sisaldavate funktsioonide graafikute koostamine Gabova Angela Jurjevna, 10. klass, MOBU “Gümnaasium 3 ” Kudymkar, Pikuleva Nadežda Ivanovna, munitsipaalharidusasutuse “Gümnaasium 3” matemaatikaõpetaja, Kudymkar Perm, 2016

2 Sisu: Sissejuhatus...3 lk I. Põhiosa...6 lk 1.1Ajalooline taust..6 lk 2.Funktsioonide põhidefinitsioonid ja omadused lk 2.1 Ruutfunktsioon..7 lk 2.2 Lineaarfunktsioon.. .8 lk. 2.3 Murdratsionaalfunktsioon 8 lk 3. Mooduliga graafikute koostamise algoritmid.. 9 p 3.2 Mooduliga graafikute koostamise algoritm...9 lk mis sisaldavad “pesastatud mooduleid” valemis.10 lk 3.4 Algoritm kujuga y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b...13 p 3.5 Algoritm ruutväärtuse graafikute koostamiseks mooduliga funktsioon.14 lk 3.6 Mooduliga murdratsionaalfunktsiooni joonistamine. 15 lk. 4. Ruutfunktsiooni graafiku muutused olenevalt absoluutväärtuse märgi asukohast..17p. II. Järeldus...26 lk III. Kasutatud kirjanduse ja allikate loetelu...27 lk IV. Lisa....28lk. 2

3 Sissejuhatus Funktsioonide graafikute koostamine on koolimatemaatika üks huvitavamaid teemasid. Meie aja suurim matemaatik Israel Moiseevich Gelfand kirjutas: "Graafikute koostamise protsess on viis valemite ja kirjelduste muutmiseks geomeetrilisteks kujutisteks. See graafik on vahend valemite ja funktsioonide nägemiseks ning nende funktsioonide muutumise nägemiseks. Näiteks kui see on kirjutatud y =x 2, siis näete kohe parabooli; kui y = x 2-4, näete nelja ühiku võrra langetatud parabooli; kui y = -(x 2 4), siis näete, et eelmine parabool on alla keeratud. See valemi ja selle geomeetrilise tõlgenduse kohese nägemise võimalus on oluline mitte ainult matemaatika, vaid ka teiste ainete õppimisel. See on oskus, mis jääb teie juurde kogu eluks, näiteks rattaga sõitmine, trükkimine või autojuhtimine. Moodulitega võrrandite lahendamise alused saadi 6.-7. Valisin selle konkreetse teema, sest usun, et see nõuab sügavamat ja põhjalikumat uurimist. Soovin saada rohkem teadmisi arvude moodulist, erinevatest absoluutväärtuse märki sisaldavate graafikute koostamise viisidest. Kui moodulmärk sisaldub joonte, paraboolide ja hüperboolide "standardsetes" võrrandites, muutuvad nende graafikud ebatavaliseks ja isegi ilusaks. Selliste graafikute koostamise õppimiseks peate valdama põhifiguuride koostamise tehnikaid, samuti teadma ja mõistma kindlalt arvu mooduli määratlust. Kooli matemaatika kursusel ei käsitleta mooduliga graafikuid piisavalt põhjalikult, mistõttu tekkis soov sel teemal oma teadmisi täiendada ja oma uurimistööd läbi viia. Ilma mooduli definitsiooni teadmata on võimatu koostada isegi kõige lihtsamat absoluutväärtust sisaldavat graafikut. Moodulimärgiga avaldisi sisaldavate funktsioonigraafikute iseloomulik tunnus on 3

4 on keerdude olemasolu nendes punktides, kus mooduli märgi all olev avaldis märki muudab. Töö eesmärk: käsitleda lineaarsete, ruut- ja murdratsionaalfunktsioonide graafiku koostamist, mis sisaldab muutujat moodulmärgi all. Eesmärgid: 1) Uurida kirjandust lineaar-, ruut- ja murdratsionaalfunktsioonide absoluutväärtuse omaduste kohta. 2) Uurida muutusi funktsioonigraafikutes sõltuvalt absoluutväärtuse märgi asukohast. 3) Õppige võrrandeid joonistama. Õppeobjekt: lineaar-, ruut- ja murdratsionaalfunktsioonide graafikud. Uurimisobjekt: muutused lineaar-, ruut- ja murdratsionaalfunktsioonide graafikus sõltuvalt absoluutväärtuse märgi asukohast. Minu töö praktiline tähendus seisneb: 1) antud teemal omandatud teadmiste kasutamises, samuti nende süvendamises ja rakendamises teiste funktsioonide ja võrrandite puhul; 2) uurimisoskuste kasutamisel edasises õppetegevuses. Asjakohasus: Graafilised ülesanded on traditsiooniliselt üks raskemaid teemasid matemaatikas. Meie lõpetajad seisavad silmitsi riigieksami ja ühtse riigieksami eduka sooritamise probleemiga. Uurimisprobleem: moodulmärki sisaldavate funktsioonide graafikute koostamine GIA teisest osast. Uurimishüpotees: ülesannete lahendamise metoodika kasutamine GIA teises osas, mis on välja töötatud üldiste meetodite alusel moodulmärki sisaldavate funktsioonide graafikute koostamiseks, võimaldab õpilastel neid ülesandeid lahendada 4

5 teadlikult valida ratsionaalseim lahendusviis, rakendada erinevaid lahendusviise ja sooritada edukamalt riigieksam. Töös kasutatud uurimismeetodid: 1. Selleteemalise matemaatilise kirjanduse ja internetiavaruste analüüs. 2. Uuritava materjali paljunemine. 3. Kognitiivne ja otsiv tegevus. 4.Andmete analüüs ja võrdlemine probleemidele lahenduste otsimisel. 5. Hüpoteeside püstitamine ja nende kontrollimine. 6. Matemaatiliste faktide võrdlemine ja üldistamine. 7. Saadud tulemuste analüüs. Selle töö kirjutamisel kasutati järgmisi allikaid: Interneti-ressursid, OGE testid, matemaatiline kirjandus. 5

6 I. Põhiosa 1.1 Ajalooline taust. 17. sajandi esimesel poolel hakkas tekkima idee funktsioonist kui ühe muutuja sõltuvusest teisest. Nii kujutasid prantsuse matemaatikud Pierre Fermat () ja Rene Descartes () funktsiooni ette kui punkti ordinaadi sõltuvust kõveralt selle abstsissil. Ja inglise teadlane Isaac Newton () mõistis funktsiooni kui liikuva punkti koordinaati, mis muutub sõltuvalt ajast. Mõiste "funktsioon" (ladina keelest funktsiooni täitmine, täitmine) võttis esmakordselt kasutusele saksa matemaatik Gottfried Leibniz(). Ta seostas funktsiooni geomeetrilise kujutisega (funktsiooni graafik). Seejärel pidasid seda funktsiooni analüütiliseks väljendiks Šveitsi matemaatik Johann Bernoulli() ja Peterburi Teaduste Akadeemia liige, kuulus 18. sajandi matemaatik Leonard Euler(). Euleril on ka üldine arusaam funktsioonist kui ühe muutuja sõltuvusest teisest. Sõna "moodul" pärineb ladinakeelsest sõnast "modulus", mis tähendab "mõõtmist". See on polüsemantiline sõna (homonüüm), millel on palju tähendusi ja mida kasutatakse mitte ainult matemaatikas, vaid ka arhitektuuris, füüsikas, tehnoloogias, programmeerimises ja muudes täppisteadustes. Arhitektuuris on see algne mõõtühik, mis määratakse antud arhitektuurilise struktuuri jaoks ja mida kasutatakse selle koostisosade mitme suhte väljendamiseks. Tehnoloogias on see erinevates tehnoloogiavaldkondades kasutatav termin, millel pole universaalset tähendust ja mis on mõeldud erinevate koefitsientide ja suuruste tähistamiseks, näiteks haardemoodul, elastsusmoodul jne. 6

7 Mahumoodul (füüsikas) on materjali normaalpinge ja suhtelise pikenemise suhe. 2. Funktsioonide põhidefinitsioonid ja omadused Funktsioon on üks olulisemaid matemaatilisi mõisteid. Funktsioon on muutuja y sõltuvus muutujast x nii, et muutuja x iga väärtus vastab muutuja y ühele väärtusele. Funktsiooni määramise meetodid: 1) analüütiline meetod (funktsioon määratakse matemaatilise valemi abil); 2) tabelimeetod (funktsioon määratakse tabeli abil); 3) kirjeldav meetod (funktsioon täpsustatakse sõnalise kirjeldusega); 4) graafiline meetod (funktsioon määratakse graafiku abil). Funktsiooni graafik on koordinaattasandi kõigi punktide kogum, mille abstsissid on võrdsed argumendi väärtusega ja ordinaadid on võrdsed funktsiooni vastavate väärtustega. 2.1 Ruutfunktsioon Funktsiooni, mis on defineeritud valemiga y = ax 2 + in + c, kus x ja y on muutujad ning parameetrid a, b ja c on mis tahes reaalarvud ning a = 0, nimetatakse ruutarvuks. Funktsiooni y=ax 2 +in+c graafik on parabool; parabooli sümmeetriatelg y=ax 2 +in+c on sirge, a>0 korral on parabooli “harud” suunatud ülespoole,<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7

8 (ühe muutuja funktsioonide jaoks). Lineaarfunktsioonide peamine omadus: funktsiooni juurdekasv on võrdeline argumendi juurdekasvuga. See tähendab, et funktsioon on otsese proportsionaalsuse üldistus. Lineaarfunktsiooni graafik on sirgjoon, kust selle nimi pärineb. See puudutab ühe reaalmuutuja reaalfunktsiooni. 1) Kui sirgjoon moodustab abstsisstelje positiivse suunaga teravnurga. 2) Kui sirge moodustab nürinurga x-telje positiivse suunaga. 3) on sirge ja ordinaattelje lõikepunkti ordinaatnäitaja. 4) Millal, sirge läbib alguspunkti. , 2.3 Murdratsionaalfunktsioon on murd, mille lugeja ja nimetaja on polünoomid. Sellel on vorm kus, polünoomid suvalises arvus muutujates. Erijuhtum on ühe muutuja ratsionaalsed funktsioonid:, kus ja on polünoomid. 1) Iga avaldis, mille saab muutujatest nelja aritmeetilise tehte abil, on ratsionaalne funktsioon. 8

9 2) Ratsionaalfunktsioonide hulk on aritmeetiliste tehtete ja kompositsioonitehte all suletud. 3) Iga ratsionaalset funktsiooni saab esitada lihtmurdude summana - seda kasutatakse analüütilises integratsioonis.. , 3. Mooduliga graafikute koostamise algoritmid 3.1 Mooduli definitsioon Reaalarvu a moodul on arv a ise, kui see on mittenegatiivne ja a vastas olev arv, kui a on negatiivne. a = 3.2 Algoritm mooduliga lineaarfunktsiooni graafiku koostamiseks Funktsioonide y = x graafikute koostamiseks peate teadma, et positiivse x korral on meil x = x. See tähendab, et argumendi positiivsete väärtuste korral langeb graafik y=x kokku graafikuga y=x, see tähendab, et see graafiku osa on kiir, mis väljub algpunktist abstsisstelje suhtes 45-kraadise nurga all. . Kell x< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9

10 Ehitamiseks võtame punktid (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2). Nüüd koostame graafiku y= x-1. Kui A on punkt graafikul y= x koordinaatidega (a; a), siis graafiku punkt y= x-1, millel on sama Y-ordinaadi väärtus. olema punkt A1(a+1; a). Teise graafiku selle punkti saab esimese graafiku punktist A(a; a), nihutades paralleelselt Ox-teljega paremale. See tähendab, et funktsiooni y= x-1 kogu graafik saadakse funktsiooni y= x graafikust, nihutades paralleelselt Ox-teljega 1 võrra paremale. Koostame graafikud: y= x-1 Ehitamiseks , võtke punktid (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1). 3.3 Funktsioonide graafikute koostamine, mis sisaldavad valemis “pesastatud mooduleid” Vaatleme konstrueerimisalgoritmi konkreetse näite abil Koostage funktsiooni graafik: 10

11 y=i-2-ix+5ii 1. Koostage funktsiooni graafik. 2. Kuvame alumise pooltasandi graafiku ülespoole sümmeetriliselt OX-telje suhtes ja saame funktsiooni graafiku. üksteist

12 3. Kuvame funktsiooni graafiku sümmeetriliselt OX-telje suhtes allapoole ja saame funktsiooni graafiku. 4. Kuvame funktsiooni graafiku sümmeetriliselt OX-telje suhtes allapoole ja saame funktsiooni graafiku 5. Kuvame funktsiooni graafiku OX-telje suhtes ja saame graafiku. 12

13 6. Selle tulemusena näeb funktsiooni graafik välja selline 3.4. Algoritm funktsioonide graafikute koostamiseks kujul y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b. Eelmises näites oli moodulimärkide paljastamine üsna lihtne. Kui moodulite summasid on rohkem, siis on problemaatiline arvestada kõiki võimalikke alammoodulavaldiste märkide kombinatsioone. Kuidas sel juhul koostada funktsiooni graafik? Pange tähele, et graafik on katkendlik joon, mille tippude abstsissid on -1 ja 2. Kui x = -1 ja x = 2, on alammoodulavaldised võrdsed nulliga. Praktikas oleme jõudnud lähemale selliste graafikute koostamise reeglile: Funktsiooni graafik kujul y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b on katkendlik joon, millel on lõpmatu äärmuslik lüli. Sellise katkendjoone konstrueerimiseks piisab, kui on teada kõik selle tipud (tippude abstsissid on alamoodulavaldiste nullid) ja üks kontrollpunkt vasakul ja paremal lõpmatul lingil. 13

14 Probleem. Joonistage funktsioon y = x + x 1 + x + 1 ja leidke selle väikseim väärtus. Lahendus: 1. Submodulaarsete avaldiste nullid: 0; -1; Polüliini tipud (0; 2); (-13); (1; 3) (asendame alammooduli avaldiste nullid võrrandisse) 3 Kontrollpunkt paremal (2; 6), vasakul (-2; 6). Ehitame graafiku (joonis 7), funktsiooni väikseim väärtus on Algoritm ruutfunktsiooni graafiku koostamiseks mooduliga Funktsioonigraafikute teisendamise algoritmide koostamine. 1. Funktsiooni y= f(x) graafiku koostamine. Mooduli määratluse järgi on see funktsioon jagatud kaheks funktsiooniks. Järelikult koosneb funktsiooni y= f(x) graafik kahest graafikust: y= f(x) paremal pooltasandil, y= f(-x) vasakul pooltasandil. Selle põhjal saab sõnastada reegli (algoritmi). Funktsiooni y= f(x) graafik saadakse funktsiooni y= f(x) graafikust järgmiselt: x 0 korral graafik säilib ja x juures< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14

15 3. Funktsiooni y= f(x) graafiku koostamiseks tuleb kõigepealt koostada funktsiooni y= f(x) graafik x> 0 jaoks, seejärel x jaoks.< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15

16 Selle graafiku saamiseks peate lihtsalt nihutama eelnevalt saadud graafikut kolm ühikut paremale. Pange tähele, et kui murdosa nimetaja sisaldaks avaldist x + 3, siis nihutaksime graafikut vasakule: Nüüd peame funktsiooni graafiku saamiseks kõik ordinaadid korrutama kaks ühikut: Viimane asi, mida peame tegema, on konstrueerida antud funktsiooni graafik, kui see on moodulmärgi all. Selleks peegeldame sümmeetriliselt ülespoole kogu graafi osa, mille ordinaadid on negatiivsed (see osa, mis jääb x-teljest allapoole): Joon. 4 16

17 4.Muudatused ruutfunktsiooni graafikus sõltuvalt absoluutväärtuse märgi asukohast. Koostage funktsiooni y = x 2 - x -3 graafik 1) Kuna x = x punktis x 0, langeb vajalik graaf kokku parabooliga y = 0,25 x 2 - x - 3. Kui x<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. b) Seetõttu lõpetan konstruktsiooni x jaoks<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17

18 Joon. 4 Funktsiooni y = f (x) graafik langeb kokku argumendi mittenegatiivsete väärtuste hulgal oleva funktsiooni y = f (x) graafikuga ja on selle suhtes sümmeetriline argumendi telje suhtes. OU argumendi negatiivsete väärtuste komplekti kohta. Tõestus: Kui x 0, siis f (x) = f (x), s.o. argumendi mittenegatiivsete väärtuste hulgal langevad funktsioonide y = f (x) ja y = f (x) graafikud kokku. Kuna y = f (x) on paarisfunktsioon, on selle graafik op-võimendi suhtes sümmeetriline. Seega saab funktsiooni y = f (x) graafiku saada funktsiooni y = f (x) graafikust järgmiselt: 1. koostada funktsiooni y = f (x) graafik x>0 korral; 2. X jaoks<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. X jaoks<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х

19 Kui x 2 - x -6<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 ja sümmeetriliselt peegeldunud osa y = f(x) punktis y<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, siis f (x) = f (x), mis tähendab selles osas, et funktsiooni y = f (x) graafik langeb kokku funktsiooni enda graafikuga y = f (x). Kui f(x)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19

20 Joonis 5 Järeldus: Funktsiooni y= f(x) graafiku koostamine 1. Funktsiooni y=f(x) graafiku koostamine; 2. Piirkondades, kus graafik asub alumisel pooltasandil, st kus f(x)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20

21 Uurimistöö funktsiooni y = f (x) graafikute koostamisel Absoluutväärtuse definitsiooni ja eelnevalt käsitletud näidete abil koostame funktsiooni graafikud: y = 2 x - 3 y = x 2-5 x y = x 2 -2 ja tee järeldused. Funktsiooni y = f (x) graafiku koostamiseks peate: 1. Koostama funktsiooni y = f (x) graafiku, kui x>0. 2. Ehitage graafiku teine osa, st peegeldage konstrueeritud graafikut sümmeetriliselt op-võimendi suhtes, sest See funktsioon on ühtlane. 3. Teisendage saadud graafiku alumisel pooltasandil paiknevad lõigud ülemiseks pooltasandiks sümmeetriliselt OX-telje suhtes. Koostage funktsiooni y = 2 x - 3 graafik (1. meetod mooduli määramiseks) 1. Konstrueerige y = 2 x - 3, 2 x - 3 korral > 0, x >1,5 s.t. X< -1,5 и х>1,5 a) y = 2x - 3, x>0 korral b) x korral<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 b) x jaoks<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) Ehitame sirge, mis on sümmeetriline op-võimendi telje suhtes konstrueeritud sirgjoonega. 3) Kuvan alumisel pooltasandil paiknevad graafiku lõigud sümmeetriliselt OX-telje suhtes. Mõlemat graafikut võrreldes näeme, et need on samad. 21

22 Ülesannete näited Näide 1. Vaatleme funktsiooni y = x 2 6x +5 graafikut. Kuna x on ruudus, siis olenemata arvu x märgist, on see pärast ruudustamist positiivne. Sellest järeldub, et funktsiooni y = x 2-6x +5 graafik on identne funktsiooni y = x 2-6x +5 graafikuga, st. funktsiooni graafik, mis ei sisalda absoluutväärtuse märki (joonis 2). Joonis 2 Näide 2. Vaatleme funktsiooni y = x 2 6 x +5 graafikut. Kasutades arvu mooduli definitsiooni, asendame valemi y = x 2 6 x +5 Nüüd tegeleme meile tuttava tükipõhise sõltuvuse määramisega. Koostame graafiku järgmiselt: 1) koostame parabooli y = x 2-6x +5 ja teeme ringiga osa, mis on 22

23 vastab x mittenegatiivsetele väärtustele, st. Oy teljest paremal asuv osa. 2) konstrueerime samal koordinaattasandil parabooli y = x 2 +6x +5 ja teeme ringiga selle osa, mis vastab x negatiivsetele väärtustele, s.o. Oy teljest vasakul asuv osa. Paraboolide ringiga ümbritsetud osad moodustavad koos funktsiooni y = x 2-6 x +5 graafiku (joonis 3). Joonis 3 Näide 3. Vaatleme funktsiooni y = x 2-6 x +5 graafikut. Sest võrrandi y = x 2 6x +5 graafik on sama mis ilma moodulmärgita funktsiooni graafik (seda käsitletakse näites 2), sellest järeldub, et funktsiooni y = x 2 6 x +5 graafik on identne funktsiooni y = x 2 6 x +5 graafikule, mida vaadeldakse näites 2 (joonis 3). Näide 4. Koostame funktsiooni y = x 2 6x +5 graafiku. Selleks koostame funktsiooni y = x 2-6x graafiku. Funktsiooni y = x 2-6x graafiku saamiseks peate parabooli iga punkti asendama negatiivse ordinaadiga sama abstsissiga punktiga, kuid vastupidise (positiivse) ordinaadiga. Teisisõnu, parabooli osa, mis asub x-telje all, tuleb asendada selle suhtes x-telje suhtes sümmeetrilise joonega. Sest peame koostama funktsiooni y = x 2-6x +5 graafiku, siis funktsiooni graafikut, milleks pidasime y = x 2-6x, tuleb lihtsalt piki y-telge tõsta 5 ühiku võrra ülespoole (joonis 4). ). 23

24 Joonis 4 Näide 5. Joonistame funktsiooni y = x 2-6x+5. Selleks kasutame tuntud tükkhaaval funktsiooni. Leiame funktsiooni y = 6x +5 6x + 5 = 0 nullpunktid at. Vaatleme kahte juhtumit: 1) Kui, siis on võrrand kujul y = x 2 6x -5. Konstrueerime selle parabooli ja teeme ringiga selle osa, kus. 2) Kui, siis on võrrand kujul y = x 2 + 6x +5. Seisame selle parabooli ja teeme ringjoonega selle osa, mis asub koordinaatidega punktist vasakul (joonis 5). 24

25 Joon.5 Näide6. Koostame funktsiooni y = x 2 6 x +5 graafiku. Selleks koostame funktsiooni y = x 2-6 x +5 graafiku. Selle graafiku koostasime näites 3. Kuna meie funktsioon on täielikult moodulmärgi all, siis funktsiooni y = x 2 6 x +5 graafiku koostamiseks vajame funktsiooni y = x 2 graafiku iga punkti Negatiivse ordinaadiga 6 x + 5 tuleks asendada sama abstsissiga punktiga, kuid vastupidise (positiivse) ordinaadiga, s.t. parabooli osa, mis asub allpool Ox-telge, tuleb asendada selle suhtes sümmeetrilise joonega Ox-telje suhtes (joonis 6). Joon.6 25

26 II Kokkuvõte „Matemaatilist teavet saab oskuslikult ja kasulikult kasutada ainult siis, kui seda valdatakse loovalt, nii et õpilane näeb ise, kuidas ta selleni võiks ise jõuda. A.N. Kolmogorov. Need probleemid pakuvad suurt huvi üheksanda klassi õpilastele, kuna need on OGE testides väga levinud. Funktsioonide andmegraafikute koostamise võimalus võimaldab teil eksami edukamalt sooritada. Prantsuse matemaatikud Pierre Fermat () ja Rene Descartes () kujutasid funktsiooni ette kui punkti ordinaadi sõltuvust kõveralt selle abstsissist. Ja inglise teadlane Isaac Newton () mõistis funktsiooni kui liikuva punkti koordinaati, mis muutub sõltuvalt ajast. 26

27 III Kasutatud kirjanduse ja allikate loetelu 1. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Algebra ülesannete kogumik 8.-9. klassile: Õpik. käsiraamat kooliõpilastele. ja edasijõudnute klassid uurinud Matemaatika 2. väljaanne. M.: Valgustus, Dorofejev G.V. Algebra. Funktsioonid. Andmete analüüs. 9. klass: m34 Hariduslik. üldharidusõppeks. asutamine 2. väljaanne, stereotüüp. M.: Bustard, Solomonik V.S. Matemaatika küsimuste ja probleemide kogumik M.: "Kõrgkool", Yashchenko I.V. GIA. Matemaatika: tavaeksamivalikud: Optsioonidest.m.: “Rahvuskasvatus”, lk. 5. Jaštšenko I.V. OGE. Matemaatika: tavaeksamivalikud: Optsioonidest.m.: “Rahvuskasvatus”, lk. 6. Jaštšenko I.V. OGE. Matemaatika: standardsed eksamivalikud: Optsioonidest.m.: “Rahvusharidus”, koos

28 Lisa 28

29 Näide 1. Joonistage funktsioon y = x 2 8 x Lahendus. Määrame funktsiooni paarsuse. Funktsiooni y(-x) väärtus on sama mis y(x) väärtus, seega on see funktsioon paaris. Siis on selle graafik sümmeetriline Oy telje suhtes. Joonistame funktsiooni y = x 2 8x + 12 x 0 jaoks ja kuvame graafiku sümmeetriliselt Oy suhtes negatiivse x korral (joonis 1). Näide 2. Järgmine graafik kujul y = x 2 8x See tähendab, et funktsiooni graafik saadakse järgmiselt: koostage funktsiooni y = x 2 8x + 12 graafik, jätke graafiku osa, mis asub ülalpool. Ox telg on muutumatu ja graafiku osa, mis asub abstsisstelje all ja on härja telje suhtes sümmeetriliselt kuvatud (joonis 2). Näide 3. Funktsiooni y = x 2 8 x + 12 graafiku joonistamiseks viiakse läbi teisenduste kombinatsioon: y = x 2 8x + 12 y = x 2 8 x + 12 y = x 2 8 x Vastus: Joonis 3. Näide 4 Avaldis mooduli märgi all, muudab märki punktis x=2/3. Kell x<2/3 функция запишется так: 29

30 x>2/3 korral kirjutatakse funktsioon järgmiselt: See tähendab, et punkt x=2/3 jagab meie koordinaattasandi kaheks alaks, millest ühes (paremal) ehitame funktsiooni ja teise (vasakul) ehitame funktsiooni graafiku: Näide 5 Järgmine Graafik on samuti katki, kuid sellel on kaks murdepunkti, kuna see sisaldab kahte avaldist mooduli märkide all: Vaatame, millistes punktides muudavad alammooduli avaldised märki: järjesta alammoodulavaldiste märgid koordinaatjoonele: 30

31 Laiendame mooduleid esimesel intervallil: Teisel intervallil: Kolmandal intervallil: Seega on meil intervallil (- ; 1,5] graaf, mis on kirjutatud esimese võrrandiga, intervallil teise võrrandiga kirjutatud graafik ja intervallil)