korduvad meetodid. Kordusseoste üld- ja erilahendused Arvutage kordusseoste meetodil järje n determinandid
Suure hulga vaatlusandmetega X Lõplikud meetodid tõenäosusvõrrandi lahendamiseks toovad kaasa olulisi arvutusraskusi, mis on seotud vajadusega meeles pidada suurt hulka algandmeid ja arvutuste vahetulemusi. Sellega seoses pakuvad erilist huvi korduvad meetodid, mille puhul arvutatakse maksimaalse tõenäosuse hinnang järk-järgult suureneva täpsusega, iga samm on seotud uute vaatlusandmete hankimisega ja korduv protseduur on konstrueeritud nii, et see salvestab mälu võimalikult vähe andmeid eelmistest.sammud. Täiendav ja väga oluline eelis rekursiivsete meetodite praktilisest aspektist on valmisolek väljastada tulemus igal vaheetapil.
See muudab korduvate meetodite kasutamise otstarbekaks ka juhtudel, kus maksimaalse tõenäosuse võrrandi täpne lahend on võimalik saada lõpliku meetodiga ning muudab need veelgi väärtuslikumaks, kui pole võimalik leida täpset analüütilist avaldist maksimumi hindamiseks. tõenäosus.
Olgu vaatlusandmete hulk jada, mille kirjeldamiseks võtame kasutusele vektori . (Nagu alati, iga selle komponent võib omakorda olla vektor, juhusliku protsessi segment jne). Laskma olla tõenäosusfunktsioon ja
selle logaritm. Viimast saab alati kujutada kui
Ilma viimase väärtuseta vaatlusandmete kogumi logaritmiline tõenäosus ja
Väärtuse tingimusliku tõenäosustiheduse logaritm antud väärtuste ja korral.
Tõenäosusfunktsiooni logaritmi esitus (7.5.16) on aluseks maksimaalse tõenäosuse hinnangu arvutamiseks korduva protseduuri saamiseks. Vaatleme tavalist juhtumit. Sel juhul võib võrrandi lahendusena leida maksimaalse tõenäosuse hinnangu
mis erineb (7.1.6)-st ainult indeksi kasutuselevõtuga p y tõenäosusfunktsiooni logaritm.
Tähistame selle võrrandi lahendust, rõhutades, et see hinnang saadi vaatlusandmete kogumikust . Samamoodi tähistame võrrandi lahendusega andmestikust saadud maksimaalse tõenäosuse hinnangut.
Võrrandi (7.5.19) saab ümber kirjutada, võttes arvesse (7.5.16) järgmisel kujul:
Laiendame (7.5.20) vasakut külge Taylori seeriaks punkti läheduses. Kus
(7.5.22)
Funktsiooni gradientvektor punktis ; termin kaob, kuna , on eelmise tõenäosuse võrrandi lahendus (P - 1) samm:
Tõenäosusfunktsiooni logaritmi teise tuletise sümmeetriline maatriks punktis , võetuna vastupidise märgiga, on laienemise kirjutamata liikmetel ruutkeskne ja erinevuse suhtes kõrgem väiksus. Jättes need viimased tähelepanuta, saame maksimaalse tõenäosuse võrrandi järgmise ligikaudse lahendi:
kus on pöördmaatriks.
See lahendus esitatakse kordusseosena, mis määrab hinnangu järgmise väärtuse eelmise etapi hinnangu ja paranduse kaudu , sõltuvad otseselt ja eelneva hindamise kaudu olemasolevatest vaatlusandmetest. Parandus moodustatakse uue saadud väärtuse tingimusliku tõenäosustiheduse logaritmi gradiendi korrutisena X n punktis, mis on võrdne eelmise hinnanguga, kaalumaatriksile . Viimase määrab avaldis (7.5.23) ja see sõltub ka eelmise etapi hinnangust ning selle sõltuvus uutest vaatlusandmetest on täielikult määratud tingimusliku tõenäosustiheduse logaritmi vormiga.
Seose vorm (7.5.24) on väga sarnane (7.5.8), mis rakendab iteratiivset viisi maksimaalse tõenäosuse hinnangu arvutamiseks Newtoni meetodil. Kuid tegelikult erinevad need üksteisest oluliselt. Punktis (7.5.8) määratakse hinnangu eelmise väärtuse parandus kogu tõenäosusfunktsiooni logaritmi gradiendi suuruse järgi, mis sõltub alati kõigist olemasolevatest vaatlusandmetest , mis nõuab kogu populatsiooni meelespidamist. Vastavalt punktile (7.5.24) määrab paranduse gradiendi suurus, mis tingimusliku tõenäosustiheduse omaduste tõttu sõltub tegelikult ainult nendest väärtustest (), mis on tugevas statistilises seoses koos X n. See erinevus tuleneb eelmise lähenduse erivalikust, kuna vaatlusandmete kogumi põhjal leitud maksimaalse tõenäosuse hinnang on vähendatud ühe väärtuse võrra, ja see on eriti väljendunud sõltumatute väärtuste puhul (). Sel viimasel juhul
mille tõttu see sõltub ainult ja X n ja gradient pärineb ainult hinnangu eelmisest väärtusest ja uuest saadud väärtusest P- Seireandmete samm. Seetõttu ei ole sõltumatute väärtuste korral vektori moodustamiseks vaja salvestada muud teavet eelmisest etapist, välja arvatud hinnangu väärtus.
Samamoodi Markovi vaatlusandmete jada puhul ehk millal
vektor sõltub ainult , praegusest ja ühest eelnevast väärtusest Sel juhul on arvutamiseks vaja eelmisest sammust lisaks väärtusele meelde jätta ainult väärtus , kuid mitte kogu vaatlusandmete kogum, nagu iteratiivses protseduuris. Üldiselt võib arvutamisel olla vaja salvestada suurem arv eelmisi väärtusi (), kuid kuna on vaja arvestada ainult neid väärtusi, mis statistiliselt sõltuvad , on see arv peaaegu alati väiksem kui vaatlusandmete kogumi kogumaht. Seega, kui vektor kirjeldab ajajada, siis selle jada meeldejäävate liikmete arvu määrab selle korrelatsiooni aeg ja nende suhteline osakaal väheneb pöördvõrdeliselt n, nagu sõltumatute väärtuste puhul.
Vaatleme nüüd korduva seose (7.5.24) hulka kuuluva kaalumaatriksi struktuuri. Definitsiooni (7.5.23) kohaselt sõltub see termini olemasolust tulenevalt üldiselt kõikidest väärtustest, isegi sõltumatute väärtuste puhul, mis jätab kordusseost (7.5.24) ilma ühega seotud eelistest. eelmisest etapist salvestatud andmete hulga võimalik vähendamine. Maatriksi ligikaudseks määramiseks on mitu võimalust , mis selle puuduse parandavad.
Esimene neist põhineb hinnangu ja kahe järjestikuse väärtuse väikese erinevuse põhieelduse järjekindlamal kasutamisel, mis on kordusseose (7.5.24) saamise aluseks. See võimaldab meil saada sarnase kordusseose kaalumaatriksi jaoks Tõepoolest, kasutades väiksust punktist (7.5.23), saame
Tähistust tutvustades
(7.5.24) ja (7.5.25) põhjal saame vektori ja kaalumaatriksi korduvate seoste süsteemi
See süsteem koos algväärtustega määrab täielikult hinnangu väärtuse igal etapil, nõudes, et igaüks neist arvutaks praeguse vaadeldava väärtuse tingimusliku tõenäosustiheduse logaritmi teise tuletise gradiendi ja maatriksi. Algväärtused valitakse, võttes arvesse olemasolevaid a priori andmeid võimalike väärtuste ja parameetrite vahemiku kohta ning nende andmete puudumisel võetakse need nulliks (,).
Sõltumatute väärtuste puhul kirjeldab kordusseoste süsteem (7.5.27) ilmselgelt mitmemõõtmelist (dimensions ) Markovi juhuslikku protsessi, mille komponent koondub parameetri tegelikule väärtusele ja komponent Fisheri infomaatriksile (7.3. 8), kus on hinnangulise parameetri tegelik väärtus ja suureneb määramatult kui P. Süsteemil (7.5.27) on sarnased konvergentsi omadused üldisemates tingimustes, kui jada on ergoodiline.
Teine nimetatud meetoditest põhineb tõenäosusfunktsiooni logaritmi teise tuletise maatriksi asendamisel selle matemaatilise ootusega - Fisheri teabemaatriksiga, mille (7.5.16) arvesse võttes saab kirjutada järgmiselt:
kus sarnaselt (7.5.26)
Asendades maatriksi punktis (7.5.24) maatriksiga , saame korduva seose
Sakrisoni pakutud maksimaalse tõenäosuse hinnangute ligikaudseks arvutamiseks (originaalis sõltumatute identselt jaotatud , millal ja . See kordusseos on lihtsam kui süsteem (7.5.27), kuna optimaalne kaalumaatriks on asendatud selle matemaatilise ootusega , ja selle leidmiseks pole vaja olemasolevaid vaatlusandmeid, välja arvatud need, mis on koondunud hinnangu väärtusesse Samas on ilmne, et selline asendus tähendab vajadust täita lisanõue võrreldes (7.5.27) ), et teise tuletise maatriks oleks lähedane oma matemaatilisele ootusele.
Kui tõenäosustiheduse jaotus ja maatriks muutuvad sammuti, võib iga sammu otsene leidmine nõuda liiga palju arvutusi. Samal ajal võib tulemuste täpsuse täiendava vähenemise tõttu, mis on määratud väikeste erinevuste nulli võrra, jätkata maatriksi ligikaudse väärtuse korduvat arvutamist. Naastes selle ligikaudse väärtuse eelmise tähise juurde, saame teise kordussuhete süsteemi
Maatriksi matemaatiline ootus (Fisheri teabemaatriks ühe vaatluse jaoks), võetud punktis. See süsteem erineb süsteemist (7.5.27) selle poolest, et teine kordusseostest (7.5.31) ei hõlma otseselt vaatlusandmeid.
Kõik ülaltoodud kordusseoste süsteemid on täiesti täpsed, kui funktsioon sõltub ruutkeskmiselt ja lisaks ei sõltu ka teise tuletise maatriks. Tegelikult vastab see sõltumatute normaalselt jaotatud (mitte tingimata võrdselt) väärtustele tundmatu matemaatilise ootusega, mis on hinnanguline parameeter.
Kordusseoste süsteem (7.5.24) annab maksimaalse tõenäosuse võrrandi täpse lahendi palju laiemates tingimustes ainsa nõudega, et funktsioon sõltub ruutkeskmiselt . Sõltuvus on meelevaldne, mis vastab laiale populatsiooni tõenäosusjaotuste klassile nii sõltumatute kui ka sõltuvate väärtustega.
Lisaks vaadeldavatele üldmeetoditele on korduvas seoses (7.5.24) kaalukoefitsientide maatriksi valimiseks mitmeid meetodeid, mis on kohandatud ühe või teise konkreetse piiranguga. Lihtsaim neist on valik diagonaalmaatriksi kujul, nii et , ( ma on identiteedimaatriks), kus on arvuliste koefitsientide kahanev jada, mis on valitud sõltumata tõenäosusfunktsiooni omadustest samamoodi nagu Robinsi-Monroe stohhastilise lähenduse protseduuris, millest tuleb juttu järgmistes peatükkides.
Tuleb märkida, et kõik iteratiivsed või korduvad protseduurid maksimaalse tõenäosuse hinnangute leidmiseks on üldiselt ligikaudsed. Seetõttu tuleb nende protseduuride rakendamisest tulenevate hinnangute puhul üldiselt uuesti tõestada järjepidevust, asümptootilist efektiivsust ja asümptootilist normaalsust. Iteratiivsete protseduuride puhul on hinnangute vajalikud omadused tagatud sellega, et põhimõtteliselt annavad sellised protseduurid sobiva iteratsioonide arvuga lahenduse tõenäosusvõrrandile mis tahes etteantud täpsusega. Korduvate protseduuride jaoks, nagu (7.5.27), (7.5.30), (7.5.31) ja teised, on olemas spetsiaalsed tõendid. Samal ajal kehtestatakse lisaks regulaarsuse nõudele ka mõned lisanõuded:
Funktsiooni (7.2.2) käitumise kohta || erinevate väärtuste korral, et saavutada korduva protseduuri abil selle funktsiooni globaalne maksimum punktis, mis vastab parameetri tegelikule väärtusele;
Tõenäosusfunktsiooni logaritmi tuletiste teise hetke kasvu järjekorras suurte moodulväärtuste korral. Need nõuded tulenevad üldisematest tingimustest Markovi juhusliku protsessi komponentide või nende osade konvergentsi punktile, milleni üks või teine korduv protseduur viib.
Kokkuvõtteks märgime ka, et juhul, kui maksimaalse tõenäosuse võrrandil on täpne lahend, saab selle peaaegu alati esitada rekursiivsel kujul. Toome kaks lihtsat heterogeenset näidet. Seega elementaarne hinnang agregaadi normaalse juhusliku muutuja tundmatu matemaatilise ootuse kohta n selle valimi väärtused aritmeetilise keskmise kujul
on maksimaalse tõenäosuse hinnang ja seda saab esitada rekursiivsel kujul:
mille jaoks on kõige lihtsam erijuhtum (7.5.30).
Teine näide on ebaregulaarne maksimaalse tõenäosuse hinnang parameetrile - ristkülikukujulise jaotuse laius - alates (7.4.2), mida saab määrata ka kordusseosega
esialgse seisukorraga. See kordusseos on teist tüüpi: selle paremat poolt ei saa esitada eelmise hinnangu ja väikese paranduse summana, mis on selle näite ebakorrapärasuse tagajärg; sellel on aga kõik rekursiivse lähenemisviisi eelised: eelmisest etapist tuleb meeles pidada ainult ühte numbrit - hinnangut - ja see vähendab kõigi väärtuste võrdlemise asemel loendamist drastiliselt üheks võrdluseks.
Toodud näited illustreerivad korduvate meetodite eeliseid ka juhul, kui maksimaalse tõenäosuse võrrand võimaldab täpset lahendust, kuna tulemuse analüütilise esituse lihtsus ei ole identne selle saamise arvutusliku lihtsusega.
7.5.3. Üleminek pidevale ajale. Diferentsiaalvõrrandid maksimaalse tõenäosuse hinnangute jaoks
Vaatleme nüüd erijuhtumit, kus olemasolevad vaatlusandmed X neid ei kirjeldata näidispunktide komplektiga , vaid kujutavad endast osa mõne protsessi rakendamisest , olenevalt parameetritest , antud intervalli järgi , pealegi võib selle intervalli pikkus vaatluse käigus pikeneda (aeg t on muutuv).
Vaatlusandmete statistiliseks kirjeldamiseks võetakse sel juhul kasutusele tõenäosussuhte funktsionaal, mis on suvaliselt antud väärtuse juures olevate väärtuste kogumi tõenäosustiheduse ja sarnase tõenäosuse suhte piir , max. tihedus mingil fikseeritud väärtusel ja mõnel juhul, kui see lubab esitust, kus on juhuslik protsess, mis ei sõltu väärtuste kogumi tõenäosustihedusest, eeldusel, et . Tõenäosussuhte funktsionaalsuse kasutamine võimaldab kõrvaldada formaalsed raskused tõenäosustiheduse määramisel, mis tekivad üleminekul pidevale ajale.
Tõenäosussuhte funktsionaalse logaritmi võib esitada kui
kus on mingi intervallil funktsionaalne protsess. Mõnel juhul taandub funktsioon funktsiooniks, mis sõltub ainult väärtusest. Nii et kui
kus on teadaolev aja ja parameetrite funktsioon ning on delta-korrelatsiooniga juhuslik protsess ("valge" müra) spektraaltihedusega N o , valides nimetajaks tõenäosusjaotuse tõenäosussuhe X kell , meil on
Olgu - parameetri maksimaalse tõenäosuse hinnang, mis põhineb protsessi rakendamisel intervallil, st maksimaalse tõenäosuse võrrandi lahendus
Eristades selle võrrandi vasakpoolset külge aja suhtes, saame
Noodikirja tutvustamine
ja lahendades võrrandi (7.5.42) suhtes, saame maksimaalse tõenäosuse hinnangu diferentsiaalvõrrandi
Maatriks omakorda vastavalt (7.5.37) määratakse diferentsiaalvõrrandiga
Nii nagu diskreetsel juhul, saab maatriksi punktides (7.5.45), (7.5.47) asendada selle matemaatilise ootusega - Fisheri teabemaatriksi väärtusega ja diferentsiaalvõrrandiga (7.5.46) kaalumaatriksi jaoks - võrrandi järgi
kus sarnaselt diskreetse juhtumiga
Teise tuletise maatriksi matemaatiline ootus.
Diferentsiaalvõrrandite kogum (7.5.45), (7.5.46) või (7.5.45), (7.5.48) koos algtingimustega, mille valikul jääb kõik diskreetse juhtumi kohta öeldu kehtima, täielikult määrab maksimaalse tõenäosuse hinnangu mis tahes ajahetkel. Seda komplekti saab modelleerida sobivate, üldiselt öeldes, mittelineaarsete analoogseadmetega või sobiva ajaproovi võtmisega lahendada arvuti abil. Kokkuvõtteks märgime ära ühe nende võrrandite modifikatsiooni, mis võimaldab vältida vajadust maatriksi inverteerimiseks .
Noodikirja tutvustamine
, kus ma
ja vahekorra eristamine aja suhtes , kus ma on identiteedimaatriks, saame (7.5.46) abil diferentsiaalvõrrandi, mis määrab maatriksi otse:
(ja samamoodi, kui asendada ), mis koos võrrandiga (7.5.45)
määrab skoori , ilma maatriksi inversiooni nõudmata. Sel juhul toimub Riccati tüüpi diferentsiaalvõrrandi (7.5.51) suhtes üleminek lihtsaimalt lineaarselt diferentsiaalvõrrandilt (7.5.46) mittelineaarsele.
Kombinatoorsed arvutused lõplike hulkade kohta
Sissejuhatus kombinatoorikasse
Kombinatoorsete algoritmide teooria, mida sageli nimetatakse kombinatoorseteks arvutusteks, teemaks on arvutused diskreetsete matemaatiliste struktuuride põhjal. Selles teoorias pööratakse suurt tähelepanu diskreetse matemaatika probleemide lahendamise algoritmilisele lähenemisele, valikute loendi optimeerimisele ja kaalutavate lahenduste arvu vähendamisele.
Kombinatoorsete algoritmide valdkonda kuuluvad ülesanded, mis nõuavad lõpliku hulga elementide loendamist (hinnangut) või nende elementide erijärjekorras loetlemist (lisa B). Sel juhul kasutatakse laialdaselt tagastamisega elementide valimise protseduuri ja selle variante.
Loendusprobleeme on kahte tüüpi. Lihtsamal juhul antakse konkreetne komplekt ja seda nõutakse määrake elementide täpne arv temas. Üldjuhul on mingi parameetriga defineeritud hulkade perekond ja hulga kardinaalsus määratakse parameetri funktsioonina. Samal ajal on see sageli funktsiooni järjekorra piisav hinnang ja mõnikord vajate ainult selle kasvukiiruse hindamine. Näiteks kui vaadeldava hulga võimsus kasvab mõnes parameetris eksponentsiaalselt, siis võib sellest piisata, et loobuda pakutud lähenemisviisist probleemi uurimisel ilma erinevatesse detailidesse laskumata. Seda üldisemat tüüpi probleemi puhul rakendatakse asümptootiliste laienduste, kordussuhete ja genereerimisfunktsioonide protseduure.
Asümptootikumid
Asümptoot on spetsiaalne joon (enamasti sirgjoon), mis on vaadeldava kõvera piir.
Asümptootika on funktsioonide kasvukiiruste hindamise ja võrdlemise kunst. Nad ütlevad, et kl X®¥ funktsioon "käitub nagu X" või "suureneb samas tempos kui X"ja kl X®0 "käitub nagu 1/ x". Nad ütlevad, et "logi x juures x®0 ja mis tahes e>0 käituvad nagu x e ja mis n®¥ ei kasva kiiremini kui n logi n". Sellised ebatäpsed, kuid intuitiivselt selged avaldused on kasulikud funktsioonide võrdlemisel samamoodi nagu seosed<, £ и = при сравнивании чисел.
Määratleme kolm peamist asümptootilist seost.
Definitsioon 1. Funktsioon f(x) on samaväärne g(x) kell X® x0, siis ja ainult siis, kui =1.
Sel juhul öeldakse, et funktsioon on f(x) on asümptootiliselt võrdne funktsiooniga g(x) või mis f(x) kasvab samas tempos kui g(x).
2. definitsioon. f(x)=o( g(x)) kl x® x0, siis ja ainult siis, kui =0.
Nad ütlevad, et kl x® x 0 f(x) kasvab aeglasemalt kui g(x), või mis f(x) "seal on o-väike" alates g(x).
3. määratlus . f(x)=O( g(x)) kl x® x0, siis ja ainult siis, kui on olemas konstant C, mille puhul sup =C.
Sel juhul nad ütlevad seda f(x) ei kasva kiiremini kui g(x), või mida iganes x® x 0 f(x) "seal on suur O". g(x).
Suhe f(x)=g(x)+o(h(x)) kl x®¥ tähendab seda f(x)-g(x)=o(h(x)). Samamoodi f(x)=g(x)+O(h(x)) tähendab seda f(x)-g(x)=O(h(x)).
Avaldisi O( ) ja o( ) saab kasutada ka ebavõrdsuses. Näiteks ebavõrdsus x+o(x) £2 x juures x®0 tähendab seda mis tahes funktsiooni puhul f(x) selline, et f(x)=o(x), kell x®¥ x+f(x) £2 x kõigi piisavalt suurte väärtuste jaoks X.
Toome välja mõned kasulikud asümptootilised võrdsused.
Polünoom on asümptootiliselt võrdne selle kõrgeima liikmega:
juures x®¥; (4.1)
juures x®¥; (4.2)
juures x®¥ ja a k¹0. (4.3)
Täisarvude astmete summad rahuldavad seost:
juures n®¥. (4.4)
Seetõttu on meil eriti n®¥
Üldisemal juhul, kui n®¥ ja mis tahes täisarvu jaoks k³0
; (4.6)
. (4.7)
Korduvad suhted
Illustreerigem kordussuhete kontseptsiooni klassikalise probleemiga, mille Fibonacci püstitas ja uuris umbes 1200. aastal.
Fibonacci esitas oma probleemi loo küülikute populatsiooni kasvutempo kohta järgmiste eelduste alusel. Kõik algab ühest küülikupaarist. Iga küülikupaar muutub viljakaks (viljakaks) kuu aja pärast, misjärel sünnitab iga paar iga kuu uue küülikupaari. Küülikud ei sure kunagi ja nende paljunemine ei lõpe kunagi. Lase F n- küülikute paaride arv populatsioonis pärast n kuud ja koosnegu see populatsioon N n pesakonna paarid ja Peal“vanad” paarid, st. F n = N n + Peal. Seega toimuvad järgmisel kuul järgmised sündmused:
Vana elanikkond aastal ( n+1)-ndal hetk suureneb sündide arvu võrra sel ajal n, st. O n+1 = Peal + N n= F n;
Iga vana teatud ajahetkel n paar toodab ajal ( n+1) paar järglast, s.o. Nn+1= C n.
Järgmisel kuul korratakse seda mustrit:
O n+2 = O n+1+ Nn+1= Fn+1,
Nn+2=O n+1;
ühendades need võrdsused, saame Fibonacci kordumise seose:
O n+2 + Nn+2=Fn+1 + O n+1,
Fn+2 = Fn+1 + F n. (4.8)
Fibonacci jada algtingimuste valik ei ole oluline; selle jada olulised omadused määratakse korduva seosega (4.8). Tavaliselt usutakse F0=0, F1=1 (mõnikord F0=F1=1).
Kordusseos (4.8) on konstantsete koefitsientidega homogeensete lineaarsete kordussuhete erijuht:
x n = a 1 x n-1 + a 2 x n-2 +…a k x n-k, (4.9)
kus koefitsiendid a i ei sõltu n ja x 1, x2, …, x k loetakse antud.
Lahendamiseks (st leidmiseks) on olemas üldine meetod x n funktsioonina n) lineaarsed korduvad seosed konstantsete koefitsientidega. Vaatleme seda meetodit, kasutades näitena seost (4.8). Lahenduse leiame vormis
F n=crn (4.10)
püsivaga Koos ja r. Asendades selle avaldise (4.8), saame
cr + 2 = crn+ 1 + crn,
crn(rn-r-1)=0. (4.11)
See tähendab et F n=crn on lahendus, kui kumbki Koos=0 või r= 0 (ja seega F n = 0 kõigi jaoks n), ja ka (ja see on huvitavam juhtum) kui r 2 - r -1=0 ja konstant Koos meelevaldne. Siis järgneb (4.11) see
r= või r = . (4.12)
Arvu "1,618" tuntakse "kuldse" suhtena, sest iidsetest aegadest on arvatud, et kolmnurgal (ristkülikul), mille küljed on 1, on silmailu kõige meeldivamad proportsioonid.
Kahe homogeense lineaarse korduse lahendi summa on ilmselgelt samuti lahendus ja tegelikult võib näidata, et Fibonacci jada üldlahend on
F n= 
, (4.13)
kus on konstandid Koos ja koos' on määratud algtingimustega. Kui panna F 0 =0 ja F 1 =1, saame järgmise lineaarvõrrandisüsteemi:
, (4.14)
mille lahendus annab
c = -c" = . (4.15)
Lineaarsed korduvad seosed konstantsete koefitsientidega. Korduvusseoste põhimääratlused ja näited Tihti saab ühe kombinatoorse ülesande lahenduse taandada samalaadsete väiksema mõõtmega probleemide lahendamiseks mõne seose abil, mida nimetatakse korduvuseks ladinakeelsest sõnast recurrere - tagasi tulema. Seega võib keerulise ülesande lahenduse saada, kui leida järjestikku lahendus lihtsamatele probleemidele ja seejärel kordusseoste järgi ümber arvutada, et leida lahendus keerulisele probleemile. Korduv seos...
Jagage tööd sotsiaalvõrgustikes
Kui see töö teile ei sobi, on lehe allosas nimekiri sarnastest töödest. Võite kasutada ka otsingunuppu
Aranov Viktor Pavlovitš Diskreetne matemaatika. 2. jagu. Kombinatoorika elemendid.
5. loeng
Loengud 5. KORDUVATE SUHETE MEETOD
Loengu kava:
- Korduvate suhete põhimääratlused ja näited.
- Lineaarsed korduvad seosed konstantsete koefitsientidega. Valem
Binet.
- Korduvusseoste põhimääratlused ja näited
Sageli saab ühe kombinatoorse ülesande lahenduse taandada sarnaste madalama mõõtmega probleemide lahendamiseks, kasutades mingit seost nimega jõgi R rent (ladina sõnast korduvad - tagasi). Seega saab keerulisele probleemile lahenduse leida järjestikku lahenduse leidmisega lihtsamatele probleemidele ja edasi, n e kordussuhete järgi arvutades, leida lahendus keerulisele probleemile.
-nda järgu kordusseosarvujada elementide vahel nimetatakse vormi valemiks
(1)
Eraldi otsuskorduv seos on mis tahes järglane b seos, mis muudab suhte (1) identiteediks. Seos (1) im e konkreetseid lahendusi on lõpmatult palju, kuna esimesed elemendid on järjestikused O sti saab suvaliselt määrata. Näiteks jada on p e korduv suhe O lahendusi, kuna identiteet on olemas.
Nimetatakse -ndat järku kordusseost tavaline, kui see on a jaoks sõltub suvalistest konstantidest ja neid konstante valides saame seda teha hästi kuid saada sellele seosele mis tahes lahendus. Näiteks suhtarvude jaoks ja nii
(2)
üldine lahendus oleks
. (3)
Tõepoolest, on lihtne kontrollida, et jada (3) muudab seose (2) identiteediks. Seetõttu on vaja ainult näidata, et seose (2) iga lahendus suudab hästi vaid esindavad kujul (3). Kuid mis tahes lahendus sellele suhtele on ainulaadselt määratud. T väärtustega ja. Seetõttu peame tõestama, et iga arvu ja arvude korral on m a millised väärtused ja mida
Kuna sellel süsteemil on lahendus ja mis tahes väärtuste jaoks, on lahendus (3) tõepoolest seose (2) üldlahendus.
Näide 1. Fibonacci numbrid.Aastal 1202 kuulus Itaalia matemaatik Le O Pisa nardo, kes on paremini tuntud oma hüüdnime Fibonacci ( Fib o nacci – lühendatult filius Bonacci , st Bonacci poeg), kirjutati raamat " Liber abacci "(" Raamat ja ha aabitsa kohta"). See raamat on jõudnud meieni oma teises versioonis, mis pärineb aastast 1228. Vaatleme ühte paljudest selles raamatus esitatud probleemidest.
Küülikupaar toob kord kuus kahe küüliku (emane ja isane) järglase jne. ja kui vastsündinud küülikud, kaks kuud pärast sündi, kannavad juba järglasi. Kui palju küülikuid ilmub e res aasta, kui aasta alguses oli üks paar küülikuid?
Probleemi olukorrast järeldub, et kuu aja pärast on kaks paari küülikuid. Kaks kuud hiljem Ma olen järglasi annab ainult esimene küülikupaar ja sina saad 3 paari. A veel kuu pärast annavad järglasi nii algne küülikupaar kui ka kaks kuud tagasi ilmunud küülikupaar. Seega tuleb kokku 5 paari küülikuid jne.
Märgitakse küülikute paaride arvuga kuude pärast alates r algusest O Jah. Siis on kuude pärast neid paare ja veel palju vastsündinud paare. O näod, kui palju neid kuu lõpus oli, ehk siis paare rohkem. Seega on olemas r e praegune suhe
. (4)
Kuna, siis leiame järjestikku: jne Need numbrid moodustavad jada
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,…,
helistas Fibonacci ja selle liikmete lähedal - Fibonacci numbrid. Neil on mitmeid imelisi omadusi. Fibonacci numbrid on seotud järgmise kombinaatoriga aga keeruline ülesanne.
Leidke nende kahendsõnade arv, mille pikkus ei ületa kahte 1-st d rida.
Nimetagem neid sõnuõige ja tähistage nende arvu . Jagame nende tavaliste sõnade hulga kahte klassi: nulliga lõppevad ja ühega lõppevad sõnad. Tähistame nende klasside sõnade arvu ja T vastutav. Vastavalt liitmise reeglile
(5)
Ilmselgelt moodustavad nulliga lõppeva sõna esimesed märgid tavalise pikkusega sõna ehk teisisõnu, nulliga lõppevate korrapärase pikkusega sõnade hulga ja korrapärase pikkusega sõnade hulga vahel on bijektsioon, st.
Kui kehtiva pikkusega sõna lõpeb ühega, peab selle sõna eelmine märk olema null ja esimesed märgid peavad moodustama kehtiva pikkusega sõna. Nagu ka eelmisel juhul, on meil jällegi bijektsioon ühega lõppevate tavaliste sõnade hulga ja pikkusega tavasõnade hulga vahel. Seega. . Valemist (5) saame rekursiivse seose Umbes
. (6)
Kordumise seose kasutamiseks on see selleks arvutuseks vajalik Koos kõigi eelmiste väärtuste muutmine. Näiteks kui me peame teadma reeglite arvu b 10 tähemärgi pikkused sõnad, siis leiate selle, täites järjestikku järgmise tabeli b nägu:
Tabel 1
Esimesed kaks väärtust leitakse otse (-sõnad 0 ja 1; - sõnad 000, 010, 101) ja ülejäänud - valemiga (6).
Näide 2 Mitteassotsiatiivse prügikastiga avaldises sulgude paigutamise probleem operatsiooni. Olgu “” mingi kahendtehte. Kaaluge sisse s väljend, milles sümbol tähistab mingit binaarset mitteseotust a aktiivne tegevus. Kui palju erinevaid sulgude paigutamise viise on selles s raz e nii?
Mitteassotsiatiivse operatsiooni näide on vektorkorrutis. Teine näide on tavaline arvutis tehtav liitmine ja korrutamine. Koos ja et iga arvu esitus arvutimälus on piiratud teatud n numbrite arv, iga toimingu sooritamisel tekib tõrge ja m Nende vigade eeldatav tulemus sõltub sulgude paigutusest. Lase - masina null . See tähendab et. Siis samas.
Tähistagem sulgude paigutamise võimalike viiside arvu. Siis
Nimetame toimingut tinglikult tooteks. Suvalise jaoks jagame kõik sulgude paigutamise viisid klassidesse, sealhulgas -ndas klassis viisid, kuidas a chala, esimese ja viimase operandi korrutis arvutatakse teatud kaugusega a uued sulgud ja seejärel arvutatakse nende korrutis:
(7)
kus.
Definitsiooni järgi on esimeste operandide arvutamiseks sulgude paigutamise viiside arv võrdne, viimane - . Tootereegli järgi korralduste arv O külg avaldise (4) jaoks on võrdne. Vastavalt liitmise reeglile
, (8)
Näiteks, .
- Konstantsete koefitsientidega lineaarsed kordusseosed
Olgu seose (1) funktsioon sirge th noa
, (9)
kus on mõned numbrid. Selliseid suhteid nimetatakse lineaarsed suhted -ndat järku lahendused konstantsete koefitsientidega.
Uurime esmalt üksikasjalikult teist järku seoseid ja seejärel jätkame o-ga b praegune sündmus. Kell , Valemist (9) saame
, . (10)
Nende seoste lahendus põhineb järgmistel kergesti tõestatavatel väidetel ja niyakh.
Lemma 1. Laskma olema lahendus seose (10) ja olla suvaline arv. Siis on ka järjekord lahendatud ja söö seda vahekorda.
Lemma 2. Olgu lahendused O lahendused (10). Siis on ka järjekord Ma olen on selle suhte lahendus.
Need kaks lihtsat lemmat viivad järgmise olulise järelduseni. kühvel P kõigi võimalike jadade olemasolu puhkeoperatsioonidega R Dinaatiline liitmine ja skalaariga korrutamine moodustab vektorruumi. kühvel P jadade arv, mis on seose (10) lahendid, mis on koos O võitlema selle ruumi alamruumiga. Kõigi võimalike ruumide ümbritsev ruum O jadad on lõpmatu mõõtmega, kuid lineaarse korduva lahenduste alamruum T seosel on lõplik mõõde, mis on võrdne võrrandi järjekorraga ja nii.
Lemma 3. Korduva seose (10) lahendusruumi mõõde on võrdne kahega.
Lemmast 3 järeldub, et võrrandi (12) kõigi lahendite määramiseks on vaja leida kaks lineaarselt sõltumatut lahendit. Igasugune muu lahendus on b on nende põhilahenduste lineaarne kombinatsioon.
Mõelge esimest järku kordumise seosele
, (11)
kus on konstant.
Kui, siis alates (11) oleme
, (12)
see tähendab, et esimest järku rekursiivse võrrandi lahendus on geomeetriline progressioon.
Teist järku kordusseose lahendust otsime ka kujul (12). Seejärel, asendades (12) väärtusega (9), saame
. (13)
=0 jaoks on meil nulllahendus, mis ei paku huvi. Arvestades, jagame viimase suhte järgmisega:
(14)
Seega on geomeetriline progressioon (12) kordusseose (10) lahendus, kui progressiooni nimetaja on ruutvõrrandi juur e niya (14). Seda võrrandit nimetatakseiseloomulik võrrandkorduva koo eest t kandmine (9).
Põhilahenduste konstrueerimine oleneb juurtest ja tunnusvõrrandist (14).
- (). Sel juhul on meil kaks lahendust ja mis l ja tundmatu simsid. Selle kontrollimiseks näitame seda valemist
(15)
sobiva konstantide valikuga võib saada seose (10) mis tahes lahendi. Kaaluge meelevaldset lahendust. Valime konstandid ja nii et ja jaoks:
(16)
Lineaarse süsteemi determinant (16)
seetõttu on süsteemil unikaalne lahendus, mis tähendab, et valem (15) on üldine р e seos (10).
- . Mitme juure korral on tunnusvõrrand (13) kujul või. Siis ja suhte jaoks (10) lk O saame võrrandi, mis annab kaks põhilahendit ja. Üldine lahendus on kujutatud kujul
. (17)
Kolmandat järku seose (9) korral esinevad väited, mis on sarnased 2. järku võrrandite puhul vaadeldavatele väidetele.
- Võrrandi (9) kõigi lahendite hulk on pr alamruum O kõigi jadade ruum.
- Selle ruumi mõõde on võrdne, see tähendab, et iga lahendus on üheselt määratud selle esimeste väärtustega.
- Lahenduste alamruumi aluse määramiseks tunnus e võrrand
. (18)
Polünoom
(19)
helistas iseloomulik polünoomrekursiivne seos (9).
- Kui tunnusvõrrandil on erinevad juured, siis korduva seose (9) üldlahend on kujul
. (20)
Lahenduse antud algväärtuste korral konstandid n a süsteemist välja minema
- Kui on iseloomuliku kordsusvõrrandi juur, siis seosel (9) on järgmised lahendid
Olgu tunnusvõrrandil (18) juured: ,…, kordused koos O vastutustundlikult, ..., pealegi. Siis iseloomulik komplekt O mõiste ja seose (9) üldlahendus on kujutatud kui
Näide 3. Bineti valem . Seadkem ülesandeks saada valem h jaoks eksplitsiitsel kujul ja istus Fibonacci. Selleks leiame kordusseosele (4) lahenduse tingimusel, et. Koostame tunnusvõrrandi, leiame selle juured ja leiame üldlahenduse. Konstandid ja definitsioonid e lim algtingimustest: . Siis kas
, (21)
kus on kuldlõik. Valemit (21) nimetatakse Bineti valem . Kus. Bineti valemist järeldub, et.
Muud seotud tööd, mis võivad teile huvi pakkuda.vshm> |
|||
| 3792. | Suhtarvude ratsionaalsus ettevõtte varades | 113,83 KB | |
| Bilanss on finantsaruannete peamine vorm. See iseloomustab organisatsiooni varalist ja finantsseisundit aruandekuupäeval. Bilansis kajastatakse kõigi raamatupidamiskontode saldosid aruandekuupäeval. Need näitajad on bilansis toodud kindlas grupeeringus. | |||
| 8407. | pidev meetod | 17,82 KB | |
| Objektimeetodil öeldakse olevat muutumatuse (konstantsuse) omadus, kui pärast selle teostamist objekti olek ei muutu. Kui te ei kontrolli muutumatuse omadust, siis selle pakkumine sõltub täielikult meetodi oskusest. programmeerija. Kui muutumatu meetod tekitab täitmise ajal kõrvalisi efekte, võib tulemus olla kõige ootamatum ning sellise koodi silumine ja hooldamine on väga keeruline. | |||
| 13457. | Faasitasandi meetod | 892.42KB | |
| Faasitasandi meetodit rakendas mittelineaarsete süsteemide uurimisel esmakordselt prantsuse teadlane Henri Poincaré. Selle meetodi peamine eelis on mittelineaarse süsteemi liikumiste analüüsi täpsus ja nähtavus. Meetod on kvalitatiivne | |||
| 2243. | VÕIMALIKUD JUHISTE MEETOD | 113,98 KB | |
| Võimalike MRI suundade meetodi idee seisneb selles, et igas järjestikuses punktis on laskumissuund, nii et punkti liigutamine selles suunas teatud vahemaa ulatuses ei riku probleemi piiranguid. Vektoriga määratud suunda nimetatakse võimalikuks suunaks punktis, kui piisavalt väike liikumine suunast ei vii punkti väljapoole lubatud pinda m. Ilmselt kui on hulga sisepunkt, siis mis tahes suund selles suunas punkt on võimalik. Võimalik... | |||
| 12947. | HARMOONILINE LINEARISEERIMISE MEETOD | 338,05 KB | |
| Pöördudes otse harmoonilise lineariseerimismeetodi poole, eeldame, et uuritav mittelineaarne süsteem taandatakse joonisel näidatud kujule. Mittelineaarsel elemendil võib olla mis tahes omadus seni, kuni see on integreeritav ilma teist tüüpi katkestusteta. Selle muutuja teisendus näiteks surnud tsooniga mittelineaarse elemendiga on näidatud joonisel fig. | |||
| 2248. | Graafiline meetod LLP lahendamiseks | 219,13 KB | |
| Selle ala sees ja piiril asuvad punktid on kehtivad tasapinnad. Nimelt on lõigu AB kõik punktid ülesande optimaalsed plaanid, millel saavutatakse lineaarvormi maksimaalne väärtus. Järjestikuse plaani täiustamise meetod Meetod põhineb ülesannete plaanide kogumi nurgapunktide järjestatud loetlemisel lineaarse kuju suurendamise või vähendamise suunas ja sisaldab kolme olulist punkti. Esiteks määratakse kindlaks baasjoone arvutamise meetod. | |||
| 7113. | Harmoonilise lineariseerimise meetod | 536,48 KB | |
| Harmoonilise lineariseerimise meetod Kuna see meetod on ligikaudne, on saadud tulemused tõelähedased ainult siis, kui on täidetud teatud eeldused: Mittelineaarne süsteem peaks sisaldama ainult ühte mittelineaarsust; Süsteemi lineaarne osa peaks olema madalpääsfilter, mis summutab piirtsüklis esinevaid kõrgemaid harmoonilisi; Meetod on rakendatav ainult autonoomsete süsteemide jaoks. Uurime süsteemi vaba liikumist ehk liikumist nullist erineval algtingimustel välismõjude puudumisel.... | |||
| 10649. | Indeksi analüüsimeetod | 121,13KB | |
| üksikud indeksid. Üldised koondindeksid. Keskmised teisendatud indeksid. Struktuurinihkete muutuva ja konstantse koostisega indeksid. | |||
| 12914. | Vähima ruudu meetod | 308,27KB | |
| Olgu see teoreetilistest kaalutlustest teada. Seetõttu võime öelda, et meie ülesanne on tõmmata sirgjoon parimal võimalikul viisil. Eeldame, et kogu viga peitub selles. Valime kaalutlustest soovitud koefitsiendid, et juhuslik liitmine oleks väikseim. | |||
| 9514. | Arvestusmeetod | 1002.23KB | |
| Raamatupidamine rahunki, et їх pobudova. Vіn sladєtsya z mitmeid elementіv golovnі z yakikh: dokumentatsioon; inventar; rahunki; alamrekord; hindamine; arvutus; tasakaal; mõistlikkus. Rahunki raamatupidamine kajastatud varade ja kohustuste esinemise eest. Raamatupidamine rahunki, et їх pobudova. | |||
KORDUVAD SUHTED
KORDUVAD SUHTED
(lat. recur-rens, perekonna käände recurrentis - tagasipöördumine) - sama tüüpi f-d, mis ühendavad teatud üksteisele järgnevat jada (see võib olla arvujada, f-tsioon jne ). Sõltuvalt R.-ga seotud objektide olemusest võivad need seosed olla algebralised, funktsionaalsed, diferentsiaal-, integraal- jne.
Naib. tuntud klassi R. s. on korduvad funktsioonid erifunktsioonid. Jah, selleks silindrilised funktsioonid Z m (x)P. Koos. välja nägema
Need võimaldavad funktsiooni järgi Z m0 (x) leida funktsioone Z m (x)at T= T 0 b 1, T 0 b 2 jne või näiteks funktsioonide väärtuste järgi 
mingil hetkel X 0 . 0 leida (numbrilistes arvutustes) mis tahes funktsiooni väärtuse
Samal hetkel (siin m 0 - mis tahes reaalarv).
Dr. oluline klass R. s. esitage arvukalt järjestikuste lähenduste meetodeid (vt. iteratsioonimeetod); siin on meetodid teooria häired.
Kvantmehaanikas on veel üht tüüpi R. s., mis ühendab vektoreid Hilberti olekuruumis. Näiteks statsionaarsed harmooniad, ostsillaatorid on parameetrilised mittenegatiivsete täisarvudega. Vastavad vektorid, mida tähistatakse , kus n- terve, erinevatega n saab loomisoperaatorite tegevusega üksteiselt hankida a + ja hävitamine a:
Neid seoseid saab lahendada, väljendades mis tahes vektorit (madalaima energiaga olek, h = 0):
Selle konstruktsiooni üldistus on esitus teine kvantimine kvantstatistikas. mehaanika ja kvantväljateooria (vt Fock ruum).
Tüüpiline näide R. s. statistikas mehaanika - Bogolyubovi ahela moodustavate osajaotusfunktsioonide võrrandid (vt. Bogoljubovi võrrandid); teadmised sellistest f-sioonidest võimaldavad teil leida kogu termodünaamika. süsteemi omadused.
Kvantväljateoorias dünaamika. sisaldas näiteks Greeni funktsioonid. Nende arvutamiseks erinevad lähendused, kõige sagedamini - häirete teooria arvutused. Alternatiivne lähenemine põhineb integro-diferentsiaalil Dysoni võrrandid, mis on R. s.: kahepunktilise Greeni funktsiooni võrrand sisaldab neljapunktilist jne. Sarnaselt Bogoljubovi võrrandiga saab seda süsteemi lahendada ainult ahela "katkestamisega" ("katkestuse" koht valitakse tavaliselt füüsilistest kaalutlustest ja määrab tulemuseks ).
Teist tüüpi R. s. kvantvälja teoorias - Identiteetide hord teooriates kalibreerimisväljad. Need identiteedid esindavad ka integro-diferentsiaalsuhete ahelat, mis ühendab Greeni funktsioone dets. välisjoonte arv p on teooria gabariidi invariantsi tagajärg. Need mängivad määravat rolli kalibreerimissümmeetria kontrollimisel protseduuri ajal renormaliseerimine.
Lõpuks on see ka korduv protseduur: igal etapil (igas järgmises tsüklis) vastutingimused, saadud vähemate silmustega diagrammide arvutamisel (üksikasju vt R operatsioon).A. M. Malokostov.
Füüsiline entsüklopeedia. 5 köites. - M.: Nõukogude entsüklopeedia. Peatoimetaja A. M. Prohhorov. 1988 .
Vaadake, mis on "RECURRENT RELATIONS" teistes sõnaraamatutes:
korduvad suhted- - [L.G. Sumenko. Inglise vene infotehnoloogia sõnaraamat. M .: GP TsNIIS, 2003.] Teemad infotehnoloogia üldiselt EN kordussuhted ... Tehnilise tõlkija käsiraamat
- (Weberi funktsioonid) üldnimetus erifunktsioonidele, mis on diferentsiaalvõrrandite lahendused, mis saadakse matemaatilise füüsika võrrandite muutujate eraldamise meetodi rakendamisel, näiteks Laplace'i võrrand, võrrand ... ... Wikipedia
Või on Josephuse riim tuntud matemaatiline probleem, millel on ajaloolised varjundid. Ülesanne põhineb legendil, et Yodfati linna kaitsnud Josephus Flaviuse salk ei tahtnud alistuda roomlaste kõrgematele jõududele, kes blokeerisid koopa. ... ... Wikipedia
Pafnutõ Lvovitš Tšebõšev Matemaatikas nimetatakse reaalpolünoomide lõpmatut jada ortogonaalseteks polünoomideks ... Wikipedia
See artikkel tehakse ettepanek kustutada. Põhjuste selgitus ja vastav arutelu on leitavad Vikipeedia lehelt: Kustutatakse / 22. november 2012. Arutelu käigus ... Vikipeedia
Padovani jada on täisarvuline jada P(n), millel on algväärtused ja lineaarne kordusseos. P(n) esimesed väärtused on 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265 ... Vikipeedia
Kindla kujuga hermiidi polünoomid on polünoomide jada ühes reaalses muutujas. Hermiidi polünoomid tekivad tõenäosusteoorias, kombinatoorikas ja füüsikas. Need polünoomid on oma nime saanud Charles Hermite'i järgi. Sisu 1 ... ... Vikipeedia
- (Besseli funktsioonid) Besseli võrrandi lahendused Zv(z), kus parameeter (indeks) v on suvaline reaal- või kompleksarv. Rakendustes kohtab sageli võrrandit, mis sõltub neljast parameetrist: mille lahendused on väljendatud C... Füüsiline entsüklopeedia
Lineaaralgebralise süsteemi lahendamise meetod. võrrandid A x= b hermiitliku mitteainsuse maatriksiga A. Otsestest meetoditest on see kõige tõhusam arvutis realiseerituna. Meetodi arvutusskeem põhineb üldiselt hermiitlikul faktorisatsioonil ... ... Matemaatiline entsüklopeedia
Modifitseeritud Besseli funktsioonid on puhtalt kujuteldava argumendi Besseli funktsioonid. Kui asendame diferentsiaal-Besseli võrrandis väärtusega, saab see kujul Seda võrrandit nimetatakse modifitseeritud Besseli võrrandiks ... Wikipedia
Kordumise seos on käsk k , kui see võimaldab f(n+k) väljendada f(n), f(n+1), …, f(n+k-1) kaudu.
Näide.
f(n+2)=f(n)f(n+1)-3f 2 (n+1)+1 on teist järku kordusseos.
f(n+3)=6f(n)f(n+2)+f(n+1) on kolmandat järku korduv seos.
Kui on antud k-ndat järku korduv seos, siis võib seda rahuldada lõpmatult palju jadasid, kuna jada esimest k elementi saab seada suvaliselt - nende vahel seoseid pole. Kui aga on antud esimene k liiget, on kõik muud elemendid üheselt määratud.
Kasutades kordusseost ja algusliikmeid, saab järjestuse liikmed ükshaaval välja kirjutada ja varem või hiljem saame mõne selle liikme. Kui aga on vaja teada ainult ühte kindlat jada liiget, siis ei ole ratsionaalne kõiki eelnevaid välja arvutada. Sel juhul on mugavam omada n-nda liikme arvutamise valem.
Kordumise seose lahendus kutsutakse välja mis tahes jada, mille puhul antud seos kehtib identselt.
Näide. Jada 2, 4, 8, …, 2 n on lahendiks seosele f(n+2)=3∙f(n+1) – 2∙f(n).
Tõestus. Jada ühine liige on f(n)=2 n . Seega f(n+2)= 2n+2, f(n+1)= 2n+1. Iga n puhul kehtib identsus 2 n+2 =3∙2 n+1 – 2∙2 n. Seega jada 2 n asendamisel valemiga f(n+2)=3f(n+1) – 2f(n) täidetakse seos identselt. Seega on 2 n näidatud seose lahendus.
Korduva seose lahendus k-ndat järjekorda kutsutakse üldine, kui see sõltub k suvalisest konstandist α 1 , α 2 , … α k ja neid konstante valides võib saada selle seose mis tahes lahendi.
Näide. Kordumise seos on antud: f(n+2)=5f(n+1)-6f(n). Tõestame, et selle üldlahend on kujul: f(n)= α 2 n + β3 n .
1. Esmalt tõestame, et jada f(n)=α 2 n + β3 n on kordusseose lahendus. Asendage see jada kordusrelatsiooniga.
f(n)= α 2 n + β 3 n, seega f(n+1)= (α 2 n+1 + β 3 n +1), f(n+2)= α 2 n+2 + β 3 n +2, siis
5f(n+1)-6f(n)=5∙(α 2 n+1 + β 3 n +1)-6∙(α 2 n + β 3 n)= α (5 2 n+1 –6 2 n)+ β (5 3 n +1 –6 3 n)= = α2 n ∙ (10–6)+ β 3 n ∙ (15 – 6) = α 2 n+2 + β 3 n +2 = f( n+2).
Kordusseos kehtib, seetõttu on α 2 n + β 3 n selle kordusseose lahendus.
2. Tõestame, et seose f(n+2)=5f(n+1)–6f(n) mis tahes lahendit saab kirjutada f(n)= α 2 n + β 3 n . Kuid iga teist järku kordumise seose lahendus määratakse unikaalselt jada kahe esimese liikme väärtuste järgi. Seetõttu piisab, kui näidata, et iga a=f(1) ja b=f(2) korral on α ja β nii, et 2 α +3 β =a ja 4 α +9 β =b. On lihtne näha, et võrrandisüsteemil on lahendus mis tahes a ja b väärtuste jaoks.
Seega on f(n)= α 2 n + β 3 n korduva seose f(n+2)=5f(n+1)–6f(n) üldlahend.
Konstantsete koefitsientidega lineaarsed kordusseosed
Kordusseoste lahendamisel puuduvad üldised reeglid, kuid on sageli esinev kordusseoste klass, mille lahendamiseks on teada algoritm. Need on lineaarsed korduvad seosed konstantsete koefitsientidega, st. tüübi suhted:
f(n+k)=c1 f(n+k-1)+c2 f(n+k-2)+…+c k f(n).
Leiame esimest järku konstantsete koefitsientidega üldise lineaarse kordumise seose lahenduse.
Esimest järku konstantsete koefitsientidega lineaarne kordusseos on kujul: f(n+1)=c f(n).
Olgu f(1)=a, siis f(2)=c∙f(1)=c∙a, f(3)=c∙f(2)=c 2 ∙a, sarnaselt f(4)=c 3 ∙a ja nii edasi, pange tähele, et f(n)=cn -1 ∙f(1).
Tõestame, et jada c n -1 ∙f(1) on esimest järku kordusseoste lahend. f(n)=c n -1 ∙f(1), seega f(n+1)=c n f(1). Asendades selle avaldise seosega, saame identiteedi c n f(1)=с∙ c n -1 ∙f(1).
Vaatleme nüüd üksikasjalikumalt lineaarsed kordussuhted konstantsete teist järku koefitsientidega , see tähendab vormi suhteid
f(n+2)=C1∙f(n+1)+C2∙f(n). (*).
Pange tähele, et kõik kaalutlused kehtivad ka kõrgemat järku suhete puhul.
Lahenduse omadused:
1) Kui jada x n on lahendus (*), siis on ka jada a∙x n lahendus.
Tõestus.
x n on (*) lahendus, seega x n +2 =C 1 x n +1 +C 2 x n . Korrutame võrdsuse mõlemad pooled a-ga. Saame a∙x n +2 =a∙(С 1 ∙x n +1 +С 2 ∙x n)= С 1 ∙a∙x n +1 +С 2 ∙a∙x n . See tähendab, et ax n on lahendus (*).
2) Kui jadad x n ja y n on lahendid (*), siis on ka jada x n +y n lahendus.
Tõestus.
x n ja y n on lahendid, seega kehtivad järgmised identiteedid:
x n +2 \u003d C 1 x n +1 + C 2 x n.
y n +2 =C 1 y n +1 +C 2 y n .
Lisame kaks võrdsust termini kaupa:
xn +2 +yn +2 =С 1 ∙xn +1 +С 2 ∙xn + С 1 ∙yn +1 +С 2 ∙yn = С 1 ∙(xn +1 + yn +1)+С 2 ∙(xn +yn). See tähendab, et x n +y n on (*) lahendus.
3) Kui r 1 on ruutvõrrandi r 2 =С 1 r+С 2 lahend, siis jada (r 1) n on seose (*) lahend.
r 1 on ruutvõrrandi r 2 =C 1 r+C 2 lahend, seega (r 1) 2 =C 1 r 1 +C 2 . Korrutame võrdsuse mõlemad pooled arvuga (r 1) n . Hangi
r 1 2 r 1 n \u003d (C 1 r 1 + C 2) r n.
r 1 n +2 \u003d C 1 r 1 n +1 + C 2 r 1 n.
See tähendab, et jada (r 1) n on (*) lahendus.
Nendest omadustest järeldub lahenduse viis lineaarsed kordussuhted teist järku konstantsete koefitsientidega:
1. Koostage iseloomulik (ruut)võrrand r 2 =C 1 r+C 2 . Leiame selle juured r 1, r 2. Kui juured on erinevad, siis on üldlahend f(n)= ar 1 n +βr 2 n .
2. Leidke koefitsiendid a ja β. Olgu f(0)=a, f(1)=b. Võrrandisüsteem
on lahendus mis tahes a ja b jaoks. Need lahendused on
Ülesanne . Leiame Fibonacci jada ühise liikme valemi.
Lahendus .
Iseloomulik võrrand on kujul x 2 \u003d x + 1 või x 2 -x-1 \u003d 0, selle juured on arvud, mis tähendab, et üldlahendil on vorm f (n) \u003d 
. Nagu on hästi näha, järeldub algtingimustest f(0)=0, f(1)=1, et a=-b=1/Ö5 ja sellest tulenevalt on Fibonacci jada üldlahend kujul :
.
Üllataval kombel võtab see avaldis kõigi n loomulike väärtuste jaoks täisarvulisi väärtusi.
