Mängud

Monge kompleksjoonis. Monge'i meetod, multi-joonistus Punktprojektsioon, multi-joonistus

Loeng

Teema "Insenerigraafika"

Peatükk. 1 Kirjeldav geomeetria

Koostanud: Shagvaleeva.G.N.

Sissejuhatus.

Kirjeldavat geomeetriat nimetatakse ka kujutiste teooriaks. Kirjeldava geomeetria aineks on lamejoonisel ruumifiguuride kujutamise meetodite ning lamejoonisel ruumigeomeetriliste ülesannete lahendamise meetodite esitamine ja põhjendamine. Selles käsitletakse stereomeetrilisi (kolmemõõtmelisi) objekte nende objektide planimeetriliste (kahemõõtmeliste) kujutiste, projektsioonide abil.

Nad ütlevad, et joonistamine on tehnoloogia keel ja kirjeldav geomeetria on selle keele grammatika. Kirjeldav geomeetria on teoreetiline alus tehniliste jooniste koostamisel, mis on konkreetsete inseneritoodete terviklikud graafilised mudelid.

Kujutiste konstrueerimise reeglid, mis on sätestatud kirjeldavas geomeetrias, põhinevad projektsiooni meetod.

Kirjeldava geomeetria õpe aitab kaasa ruumilise kujutamise ja kujutlusvõime, konstruktiivse geomeetrilise mõtlemise arendamisele, ruumivormide ja nendevaheliste suhete analüüsi- ja sünteesivõime arendamisele. Erinevate geomeetriliste ruumiobjektide konstrueerimise meetodite valdamine, nende jooniste saamise meetodid graafiliste mudelite tasemel ning oskus lahendada nendel joonistel ruumiobjektide ja nende geomeetriliste omadustega seotud probleeme.

Kirjeldavale geomeetriale kui teadusele pani aluse prantsuse teadlane ja insener Gaspard Monge (1746-1818) oma töös “Kirjeldav geomeetria”, Pariis, 1795. Gaspard Monge andis üldise meetodi stereomeetriliste probleemide lahendamiseks geomeetriliste konstruktsioonide abil. tasapinnal, st joonisel, joonistustööriistade abil.

Aktsepteeritud nimetused.

A, B, C, D, -punktid on tähistatud ladina tähestiku suurtähtedega;

a, b, c, d - read - ladina tähestiku väiketähtedega;

p 1 - projektsioonide horisontaaltasand,

p 2 - projektsioonide esitasapind,

p 3 - projektsioonide profiiltasand,

p 4 , p 5 , ... - täiendavad projektsioonitasandid.

lennukid

Projektsiooniteljed - ladina tähestiku väiketähtedega: x, y ja z. Koordinaatide alguspunkt on arv 0.

Märgitakse punktide, joonte, tasandite projektsioonid: p 1-l ühe tõmbega, p 2-l kahe, p-l 3 - kolme löögiga.

p 1 - A I , B I , C I ,..., a I , b I , ... , a I , b I ,

p 2 - A II, B II, C II,..., a II, b II, ..., a II, b II,

p 3 - A III, B III, C III,..., a III, b III, ..., a III, b III.

Projektsioonide moodustumine.

1 Keskprojektsioon.

Keskprojektsioonaparaat koosneb projektsioonikeskmest S, projektsioonitasapinnast π, projitseerivatest kiirtest.

π 1 - projektsioonitasand

S - projektsioonikeskus

A, B, C - punktid ruumis

A", B", C" - punktide projektsioonid tasapinnale π"

Projektsioon on väljaulatuva kiire ja projektsioonitasandi lõikepunkt.

2. Paralleelprojektsioon.

Väljaulatuvad talad juhitakse paralleelselt S-ga ja üksteisega. Paralleelprojektsioonid jagunevad kald- ja ristkülikukujulisteks. Kaldprojektsiooni korral paiknevad kiired väljaulatuva tasandi suhtes nurga all.

Ristkülikukujulise projektsiooni korral on eenduvad kiired projektsioonitasandiga risti (joon. 1.3). Ristkülikukujuline projektsioon on tehniliste jooniste koostamisel põhiline projektsioonimeetod.

Ortogonaalprojektsiooni põhiomadused

1. Punkti projektsioon - on punkt;

2. Sirge projektsioon (üldjuhul) - on sirge või punkt (sirge on projektsioonitasandiga risti);

3. Kui punkt asub sirgel, siis selle punkti projektsioon kuulub sirge projektsiooni: А l ® A "l";

4. Kui kaks sirget ruumis on paralleelsed, siis on paralleelsed ka nende samanimelised projektsioonid: a || b ® a` || b`;

5. Kui kaks sirget ristuvad mingis punktis, siis nende samanimelised projektsioonid ristuvad selle punkti vastavas projektsioonis: m ∩ n = K ® m" ∩ n" = K";

6. Ühel sirgel või kahel paralleelsel sirgel paiknevate segmentide proportsionaalsus säilib ka nende projektsioonidel (joonis 1.3): AB: CD \u003d A "B": C "D"

7. Kui üks kahest vastastikku risti asetsevast sirgest on paralleelne projektsioonitasandiga, siis projitseeritakse täisnurk sellele tasapinnale täisnurga võrra (joonis 1.4).

Punkti või Monge graafikute kompleksjoonistus.

Praktikas levinuima kirjeldava geomeetria meetodi pakkus välja Gaspard Monge. See meetod põhineb ortogonaalsel disainil.

Punkti A ristkülikukujulist (või ristkülikukujulist) projektsiooni tasapinnale π 1 nimetatakse punktist A tasapinnale π 1 langetatud risti aluseks (joon. 1.5).

Sel juhul tasapinnal π 1 saadud joonis on pöördumatu, vastavus originaali A ja projektsiooni A " vahel on unikaalne ainult ühes suunas: originaalist projektsioonile. Originaal vastab ühele projektsioonile, originaaljoonis on üheselt defineeritud, kuid projektsiooni A" jaoks on sellele vastavaid lugematu arv originaale , nimelt kõik projektsioonijoone AA punktid". Täpne tõlge joonise keelest looduskeelde on võimatu. Seetõttu tutvustab Monge teine projektsioonitasand.

Riis. 1.6. Joonis 1. 7.

Joonisel fig. 6. näitab ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi.

Kombineerides nüüd tasapinnad π 1 ja π 2 nendesse ehitatud projektsioonidega, pöörates π 1 ümber X-telje 90 0 võrra nii, et eesmine pooltasapind π 1 langeb kokku alumise pooltasandiga π 2, saame keeruline punkti joonistamine või Monge diagramm. (joonis 1.7).

Ehitatud nende reeglite järgi projektsioonisuhtes paiknevatest projektsioonide paarist koosnev joonis on pööratav, see tähendab, et originaali ja joonise vastavus on mõlemas suunas üheselt mõistetav. Ehk siis joonis annab igakülgset infot originaali kohta. Selle teabe dešifreerimine on kirjeldava geomeetria teema.

Punkti keerulise joonise põhjal saame teha järgmised järeldused:

1. punkti kaks projektsiooni määravad täielikult ära punkti asukoha ruumis;

2. punktide projektsioonid asuvad alati projektsiooniteljega risti oleval ühendusjoonel.

Punktide projektsioone ühendavaid jooni nimetatakse sideliinideks ja neid kujutatakse pidevate õhukeste joontena.

Paljudes konstruktsioonides ja ülesannete lahendamisel osutub vajalikuks sisestada süsteemi π 1 (horisontaaltasand) π 2 (frontaaltasand) ja muud projektsioonitasandid. Nii π 1 kui ka π 1 suhtes risti olev tasapind on profiiltasapind. π 3 . Horisontaal- ja frontaaltasandi lõikejoon annab X-telje, horisontaal- ja profiiltasandi lõikejoon Y-telje ning frontaal- ja profiiltasandi lõikejoon Z-telje (joonis 1). . 8)

Punkti kompleksjoonise saamiseks on vaja paigutada kolm tasapinda ühte, mille jaoks “lõigame” Y-telje ja ühendame kolm põhiprojektsioonitasandit üheks (joon. 1. 9).

Kolmas projektsioon ei lisa originaali kohta uut teavet. See muudab olemasoleva teabe ainult paremini seeditavaks. (Joonis 1.10)

Kaugus punktist A tasapinnani π 3 (A A "") ruumis on näha joonisel ja see on võrdne kaugusega A "AY \u003d A" A Z \u003d A X 0 \u003d X

Kaugus punktist A tasapinnani π 2 (A A") ruumis on näha joonisel ja see on võrdne kaugusega A "AX \u003d A" "A Z \u003d A Y 0 \u003d Y

Kaugus punktist A tasapinnani π 1 (A A") ruumis on näha joonisel ja see on võrdne kaugusega A "AX \u003d A" "A Y \u003d A Z 0 \u003d Z

Näide. Koostage punktide A(10, 10,30), B(30,20,10) projektsioonid

Võistlevad punktid.

Punkte, mille puhul üks samanimeline projektsioonipaar langeb kokku (ja teised ei lange kokku), nimetatakse konkureerivateks punktideks.

Punktid asuvad ühel väljaulatuvas sirgel, mis on risti frontaalprojektsiooni tasapinnaga. Vaatesuund on näidatud noolega. Sel juhul on projektsioon B" vaatlejale lähemal kui A", ja π 2-l on projektsioon B"" nähtav ja projektsioon A"" on nähtamatu (joonis 1.12).

Mõiste " kõrgem madalam»

Punktid asuvad ühel väljaulatuvas sirgel, mis on risti horisontaalse projektsioonitasandiga. Vaatesuund on näidatud noolega. Sel juhul on projektsioon A "" vaatlejale lähemal kui B "" ja punktil π 1 on projektsioon A" nähtav ja projektsioon B" nähtamatu (joonis 1.13).

Monge diagramm või kompleksjoonis on joonis, mis koosneb kahest või enamast omavahel ühendatud geomeetrilise kujundi ortogonaalprojektsioonist.

Ruumipaigutuse kasutamine geomeetriliste kujundite ortogonaalsete projektsioonide kuvamiseks on ebamugav selle mahukuse tõttu ja ka seetõttu, et paberilehele ülekandmisel moonutatakse projitseeritud kujundi kuju ja suurust K-l ja W-l. lennukid.
Seetõttu kasutatakse ruumilise paigutuse joonisel oleva pildi asemel Monge'i diagrammi.

Monge'i diagramm saadakse ruumilise paigutuse teisendamisel, kombineerides H- ja W-tasandid frontaalprojektsioonitasandiga V:
- H-tasandi joondamiseks V-ga pöörake seda 90 kraadi ümber x-telje päripäeva. Joonisel selguse huvides lennuk H pööratud veidi alla 90 kraadise nurga all, samas kui telg y, mis kuulub horisontaalsele projektsioonitasapinnale, langeb pärast pöörlemist kokku teljega z;
- pärast horisontaaltasapinna joondamist pöörake ümber telje z samuti 90 kraadise nurga all profiiltasandi suhtes päripäeva liikumisele vastupidises suunas. Samal ajal telg y, mis kuulub projektsiooni profiiltasapinnale, langeb pärast pöörlemist kokku teljega x.

Pärast ümberkujundamist saab ruumiline paigutus joonisel näidatud kujul. Sellel joonisel on näidatud ka projektsioonitasandite põranda suhtelise asukoha järjestus, seega rekord V näitab, et Monge'i graafiku selles osas (piiratud telgede positiivse suunaga x ja z) meile lähemal on eesmise projektsioonitasandi vasakpoolne ülemine korrus V, selle taga on horisontaalprojektsioonitasandi tagumine vasak põrand H, millele järgneb profiiltasapinna ülemine tagumine korrus W.

Kuna tasapindadel pole piire, siis kombineeritud asendis (skeemil) neid piire ei näidata, pole vaja jätta projektsioonitasandite põranda asukohta näitavaid silte. Samuti on üleliigne meelde tuletada, kus on koordinaatide telgede negatiivne suund. Seejärel saab ruumilise paigutuse joonist asendav Monge'i diagramm oma lõplikul kujul joonisel näidatud kujul.

Monge'i süžeed saab teha järgmiselt:

- tavapärased joonistustööriistad ja -seadmed:
Joonistustööriistad;
Joonistamise tarvikud ja seadmed;
- Monge diagrammi koostamise (joonistamise) programmid: Joonise tegemine graafikaredaktoris.

Monge diagrammi kujunduse näitena pakume lahenduse võrdhaarse täisnurkse kolmnurga ABC konstrueerimise ülesandele:

— probleemi seisundi järgi teadaolev kuvatakse mustana;
- rohelises värvitoonis kuvatakse kõik ülesande lahenduseni viivad konstruktsioonid;
- otsitud ülesanded kuvatakse punaselt.
Vastavalt ülesande tingimusele on antud kolmnurga ABC(A`B`C`, A»B»…”) projektsioonid. Ülesande lahendamiseks on vaja leida puuduv projektsioon C.

Monge meetod, kompleksjoonistus.

Punktprojektsioonid, kompleksjoonistus.

Vastastikku risti projektsioonitasandid.

Ristkülikukujulise projektsiooni meetodid kahele ja kolmele

Ortograafilise projektsiooni omadused

Põhiline ja muutmatu omadused Ortogonaalprojektsiooni (invariandid) on järgmised:

1) punktprojektsioon - punkt;

2) sirge projektsioon - üldjuhul sirge; kui projektsiooni suund ühtib sirge suunaga, siis viimase projektsioon on punkt;

3) kui punkt kuulub sirgele, siis selle punkti projektsioon kuulub sirge projektsiooni.

4) paralleelsete sirgete projektsioonid on üksteisega paralleelsed;

5) sirglõikude suhe võrdub nende projektsioonide suhtega;

6) kahe paralleelse sirge lõikude suhe on võrdne nende projektsioonide suhtega;

7) kahe sirge lõikepunkti projektsioon on nende sirgete projektsioonide lõikepunkt;

8) kui sirge või lame kujund on paralleelne projektsioonide tasapinnaga, siis projitseeritakse need sellele tasapinnale moonutusteta;

9) kui täisnurga vähemalt üks külg on paralleelne projektsioonide tasandiga ja teine ei ole sellega risti, siis projitseeritakse täisnurk sellele tasapinnale täisnurgaks.

Kui informatsioon punkti kauguse kohta projektsioonitasapinna suhtes on antud mitte numbrimärgi, vaid teisele projektsioonitasandile ehitatud punkti teise projektsiooni abil, siis joonis nn. kahe pildiga või kõikehõlmav. Selliste jooniste koostamise põhiprintsiibid on välja toodud Gaspard Monge - 18. sajandi lõpu ja 19. sajandi alguse suur prantsuse geomeeter, 1789-1818. Pariisi kuulsa Polütehnilise Kooli üks asutajatest ja osaline mõõtude ja kaalude meetrilise süsteemi juurutamise töös.

Selliste kujutiste järk-järgult kogunenud eraldi reeglid ja tehnikad toodi süsteemi ja arendati välja G. Monge teoses "Geometrie descriptive".

Monge'i meetod ortogonaalprojektsiooniks kahele üksteisega risti olevale projektsioonitasandile oli ja jääb tehniliste jooniste koostamise peamiseks meetodiks.

Vastavalt G. Monge pakutud meetodile käsitleme ruumis kahte üksteisega risti asetsevat projektsioonitasapinda (joonis 6). Üks projektsioonitasapindadest P 1 asetatud horisontaalselt ja teine P 2 - vertikaalselt. P 1 - horisontaalne projektsioonitasand, P 2 - eesmine. Tasapinnad on lõpmatud ja läbipaistmatud.

Projektsioonitasandid jagavad ruumi neljaks kahetahuliseks nurgaks – veerandiks. Arvestades ortogonaalprojektsioone, eeldatakse, et vaatleja asub projektsioonitasanditest lõpmatult suurel kaugusel esimeses kvartalis.

Joonis 6. Kahe projektsioonitasandi ruumimudel

Projektsioonitasandite lõikejoont nimetatakse tavaliselt koordinaatteljeks ja seda tähistatakse x 21 . Kuna need tasapinnad on läbipaistmatud, on vaatlejale nähtavad ainult need geomeetrilised objektid, mis asuvad samas esimeses kvartalis. Määratud projektsioonidest koosneva tasapinnalise joonise saamiseks tasapind P 1 kombain ümber telje pööramise teel x 12 korteriga P 2 (joonis 6). Tavaliselt nimetatakse projektsioonijoonist, millel projektsioonitasandid koos kõigega, mis on kujutatud, teatud viisil üksteisega kombineerituna. Monge diagramm(Prantsuse Epure – joonistus.) Või kompleksjoonis.

Monge meetod, kompleksjoonistus. - mõiste ja liigid. Kategooria "Monge meetod, keeruline joonistamine" klassifikatsioon ja omadused. 2017, 2018.

Geomeetrilise objekti projektsioon ühele tasapinnale, mida me varem käsitlesime, ei anna täielikku ja ühemõttelist ettekujutust geomeetrilise objekti kujust. Seetõttu arvestage vähemalt kahe üksteisega risti asetseva tasandi projektsiooni (joonis 1.2), millest üks asub horisontaalselt ja teine vertikaalselt.

Vaatamata selgusele on joonisel 1.2 näidatud joonisega töötamine ebamugav, kuna sellel olev horisontaaltasapind on näidatud moonutatult. Mugavam on teostada joonisel erinevaid konstruktsioone, kus projektsioonitasandid asuvad samas tasapinnas, nimelt joonise tasapinnas. Selleks on vaja pöörata horisontaaltasapind ümber OX-telje 90 ° võrra ja ühendada see esiosaga nii, et horisontaaltasapinna esipõrand läheb alla ja tagumine üles. Selle meetodi pakkus välja G. Monge.

Riis. 1.2. Monge diagrammi konstruktsioon:

a) ruumipilt punkti A projektsioonide asukohast; b) tasapinnaline pilt punkti A projektsioonide asukohast.

Seetõttu nimetatakse sellisel viisil saadud joonist (joonis 1.2, b) Monge diagrammiks või kompleksjooniseks.

Tavaliselt ei piisa kahest projektsioonist, et saada täielikku pilti kõnealusest geomeetrilisest objektist. Seetõttu tehakse ettepanek võtta kasutusele kolmas projektsioonitasand, mis on kahe esimesega risti (joon. 1. 3, a).

Riis. 1.3. Kolmepildilise kompleksjoonise koostamine (monge diagramm):

a) projektsioonitasandite ruumimudel; b) kolmepildiline kompleksjoonis.

Siis lennuk P 1 nimetatakse horisontaalseks projektsioonitasandiks, P 2- projektsioonide esitasapind (kuna see asub meie ees piki esiosa), P 3- projektsioonide profiiltasand (asub vaatleja suhtes profiilis). Vastavalt A 1- punkti horisontaalprojektsioon A, A 2- punkti frontaalprojektsioon A, A 3- punkti profiilprojektsioon A.

teljed Oh, OY, OZ nimetatakse projektsioonitelgedeks. Need on sarnased Descartes'i koordinaatsüsteemi koordinaattelgedega, ainsa erinevusega, et telg Oh on positiivse suunaga mitte paremale, vaid vasakule. Nüüd on ühe tasapinna (joonise tasapinna) projektsioonide saamiseks vaja laiendada ka projektsioonide profiiltasapinda, et see langeks kokku frontaalsega. Selleks tuleb seda telje ümber pöörata 90 ° oz ja pöörake tasapinna esiosa paremale ja tagumine pool vasakule. Selle tulemusena saame kolme pildiga kompleksse joonise (monge plots), mis on näidatud joonisel fig. 1.3, b. Kuna telg OY avaneb koos kahe tasapinnaga P 1 ja P 3, siis kompleksjoonisel on see kujutatud kaks korda.

Sellest tuleneb projektsioonide suhte oluline reegel. Nimelt tuginedes joonisele fig. 1.3, a matemaatilisel kujul võib selle kirjutada järgmiselt: A 1 A x \u003d OA y \u003d A z A 3. Seetõttu kõlab see tekstilises vormis järgmiselt: kaugus punkti horisontaalsest projektsioonist teljeni Oh on võrdne kaugusega määratud punkti profiilprojektsioonist teljeni OZ. Seejärel saate punkti mis tahes kahest projektsioonist konstrueerida kolmanda. Punkti horisontaal- ja frontaalprojektsioon Aühendab vertikaalse sideliini ning esi- ja profiilprojektsioonid - horisontaalsed.

Kuna kompleksjoonis on tasapinnaliselt volditud ruumimudel, ei saa sellel kujutada projitseeritud punkti (v.a juhul, kui selle asukoht langeb kokku ühe projektsiooniga). Sellest lähtuvalt tuleks meeles pidada, et kompleksjoonisel ei opereerita mitte geomeetriliste objektide endi, vaid nende projektsioonidega.

Vaatamata selgusele on joonisel 1.2 näidatud joonisega töötamine ebamugav, kuna sellel olev horisontaaltasapind on näidatud moonutatult. Mugavam on teostada joonisel erinevaid konstruktsioone, kus projektsioonitasandid asuvad samas tasapinnas, nimelt joonise tasapinnas. Selleks on vaja horisontaaltasapinda ümber OX-telje pöörata 90 ja kombineerida eesmisega nii, et horisontaaltasapinna esipõrand läheb alla ja tagumine üles. Selle meetodi pakkus välja G. Monge.

Riis. 1.2. Monge diagrammi konstruktsioon:

a) ruumipilt punkti A projektsioonide asukohast; b) tasapinnaline pilt punkti A projektsioonide asukohast.

Seetõttu nimetatakse sellisel viisil saadud joonist (joonis 1.2, b) Monge diagrammiks või kompleksjooniseks.

Riis. 1.3. Kolmepildilise kompleksjoonise koostamine (monge diagramm):

a) projektsioonitasandite ruumimudel; b) kolmepildiline kompleksjoonis.

Siis lennuk P 1 nimetatakse horisontaalseks projektsioonitasandiks, P 2 - projektsioonide esitasapind (kuna see asub meie ees piki esiosa), P 3 - projektsioonide profiiltasand (asub vaatleja suhtes profiilis). Vastavalt A 1 - punkti horisontaalprojektsioon A, A 2 - punkti frontaalprojektsioon A, A 3 - punkti profiilprojektsioon A.

teljed oh, ohY, oz nimetatakse projektsioonitelgedeks. Need on sarnased Descartes'i koordinaatsüsteemi koordinaattelgedega, ainsa erinevusega, et telg Oh on positiivse suunaga mitte paremale, vaid vasakule. Nüüd on ühe tasapinna (joonise tasapinna) projektsioonide saamiseks vaja laiendada ka projektsioonide profiiltasapinda, et see langeks kokku frontaalsega. Selleks tuleb seda pöörata 90 ümber telje oz ja pöörake tasapinna esiosa paremale ja tagumine pool vasakule. Selle tulemusena saame kolme pildiga kompleksse joonise (monge plots), mis on näidatud joonisel fig. 1.3, b. Kuna telg OY avaneb koos kahe tasapinnaga P 1 ja P 3 , siis kompleksjoonisel on see kujutatud kaks korda.

Sellest tuleneb projektsioonide suhte oluline reegel. Nimelt tuginedes joonisele fig. 1.3, a matemaatilisel kujul võib selle kirjutada järgmiselt: A 1 A x = OA y = A z A 3 . Seetõttu kõlab see tekstilises vormis järgmiselt: kaugus punkti horisontaalsest projektsioonist teljeni Oh on võrdne kaugusega määratud punkti profiilprojektsioonist teljeni OZ. Seejärel saate punkti mis tahes kahest projektsioonist konstrueerida kolmanda. Punkti horisontaal- ja frontaalprojektsioon Aühendab vertikaalse sideliini ning esi- ja profiilprojektsioonid - horisontaalsed.