Vieta teoreem. Näited lahendustest. Vieta teoreem ruutvõrrandite ja muude võrrandite jaoks Ruutvõrrandite lahendamine Vieta teoreemi näidete abil

Vieta teoreemi sõnastamine ja tõestamine ruutvõrrandite jaoks. Vieta pöördteoreem. Vieta teoreem kuupvõrrandite ja suvalise järjestusega võrrandite jaoks.

Sisu

Vaata ka: Ruutvõrrandi juured

Ruutvõrrandid

Vieta teoreem

Olgu ja tähistatakse taandatud ruutvõrrandi juuri
(1) .
Siis on juurte summa võrdne koefitsiendiga , mis võetakse vastupidise märgiga. Juurte korrutis võrdub vaba terminiga:
;
.

Märkus mitme juure kohta

Kui võrrandi (1) diskriminant on null, on sellel võrrandil üks juur. Kuid selleks, et vältida tülikaid sõnastusi, on üldtunnustatud, et antud juhul on võrrandil (1) kaks mitmekordset või võrdset juurt:
.

Tõestus üks

Leiame võrrandi (1) juured. Selleks rakendage ruutvõrrandi juurte valemit:
;
;
.

Leidke juurte summa:
.

Toote leidmiseks kasutage valemit:
.
Siis

.

Teoreem on tõestatud.

Tõestus kaks

Kui arvud on ruutvõrrandi (1) juured, siis
.
Sulgude avamine.

.
Seega on võrrand (1) järgmisel kujul:
.
Võrreldes punktiga (1) leiame:
;
.

Teoreem on tõestatud.

Vieta pöördteoreem

Olgu suvalised arvud. Siis ja on ruutvõrrandi juured
,
Kus
(2) ;
(3) .

Vieta vastupidise teoreemi tõestus

Mõelgem ruutvõrrand
(1) .
Peame tõestama, et kui ja , siis ja on võrrandi (1) juured.

Asendame (2) ja (3) punktiga (1):
.
Rühmitame terminid võrrandi vasakule küljele:
;
;
(4) .

Asendame (4):
;
.

Asendame (4):
;
.
Võrrand kehtib. See tähendab, et arv on võrrandi (1) juur.

Teoreem on tõestatud.

Vieta teoreem täieliku ruutvõrrandi jaoks

Nüüd kaaluge täielikku ruutvõrrandit
(5) ,
kus , ja on mõned numbrid. Enamgi veel.

Jagame võrrandi (5) järgmisega:
.
See tähendab, et saime antud võrrandi
,
Kus; .

Siis on Vieta teoreem täieliku ruutvõrrandi jaoks järgmine.

Olgu ja tähistatakse täieliku ruutvõrrandi juuri
.
Seejärel määratakse juurte summa ja korrutis valemitega:
;
.

Vieta teoreem kuupvõrrandi jaoks

Sarnaselt saame luua seoseid kuupvõrrandi juurte vahel. Mõelge kuupvõrrandile
(6) ,
kus , , , on mõned arvud. Enamgi veel.
Jagame selle võrrandi järgmisega:
(7) ,
Kus , , .
Olgu , , võrrandi (7) (ja võrrandi (6)) juurteks. Siis

.

Võrreldes võrrandiga (7) leiame:
;
;
.

Vieta teoreem n-nda astme võrrandi jaoks

Samamoodi saab leida seoseid võrrandi , , ... , , vahel n aste
.

Vieta teoreem jaoks n-ndad võrrandid kraadil on järgmine vorm:
;
;
;

.

Nende valemite saamiseks kirjutame võrrandi järgmiselt:
.
Seejärel võrdsustame , , , ... koefitsiendid ja võrdleme vaba liiget.

Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, matemaatika käsiraamat inseneridele ja üliõpilastele, “Lan”, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov jt, Algebra: õpik 8. klassile üldharidusasutustes, Moskva, Haridus, 2006.

Vaata ka:

Vieta teoreem (täpsemalt teoreem teoreemi vastupidine Vieta) võimaldab teil vähendada ruutvõrrandite lahendamise aega. Peate lihtsalt teadma, kuidas seda kasutada. Kuidas õppida Vieta teoreemi abil ruutvõrrandeid lahendama? See pole keeruline, kui sellele veidi järele mõelda.

Nüüd räägime ainult taandatud ruutvõrrandi lahendamisest, kasutades Vieta teoreemi. Samuti on võimalik Vieta teoreemi abil lahendada ruutvõrrandid, mis pole antud, kuid vähemalt üks juurtest ei ole täisarv. Neid on raskem ära arvata.

Vieta teoreemi pöördteoreem ütleb: kui arvud x1 ja x2 on sellised, et

siis x1 ja x2 on ruutvõrrandi juured

Ruutvõrrandi lahendamisel Vieta teoreemi abil on võimalikud ainult 4 võimalust. Kui arutluskäik meelde tuleb, saate väga kiiresti õppida leidma terveid juuri.

I. Kui q on positiivne arv,

see tähendab, et juured x1 ja x2 on sama märgiga arvud (kuna ainult samade märkidega arvude korrutamine annab positiivse arvu).

k.a. Kui -p on positiivne arv, (vastavalt lk<0), то оба корня x1 и x2 — positiivsed numbrid(kuna lisasime sama märgiga numbrid ja saime positiivse arvu).

I.b. Kui -p on negatiivne arv, (vastavalt p>0), siis on mõlemad juured negatiivsed arvud (liisime sama märgiga arvud ja saime negatiivse arvu).

II. Kui q on negatiivne arv,

see tähendab, et juurtel x1 ja x2 on erinevad märgid (arvude korrutamisel saadakse negatiivne arv ainult siis, kui tegurite märgid on erinevad). Sel juhul pole x1+x2 enam summa, vaid vahe (lõppkokkuvõttes numbrite liitmisel erinevad märgid lahutame suuremast moodulist väiksema). Seetõttu näitab x1+x2, kui palju erinevad juured x1 ja x2, st kui palju on üks juur teisest suurem (absoluutväärtuses).

II.a. Kui -p on positiivne arv, (st lk<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Kui -p on negatiivne arv, (p>0), siis suurem (mooduli) juur on negatiivne arv.

Vaatleme ruutvõrrandite lahendamist Vieta teoreemi abil näidete abil.

Lahendage antud ruutvõrrand Vieta teoreemi abil:

Siin q=12>0, seega on juured x1 ja x2 sama märgiga arvud. Nende summa on -p=7>0, seega mõlemad juured on positiivsed arvud. Valime täisarvud, mille korrutis on 12. Need on 1 ja 12, 2 ja 6, 3 ja 4. Paari 3 ja 4 summa on 7. See tähendab, et 3 ja 4 on võrrandi juured.

Selles näites q=16>0, mis tähendab, et juured x1 ja x2 on sama märgiga arvud. Nende summa on -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Siin q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, siis on suurem arv positiivne. Nii et juured on 5 ja -3.

q = -36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

François Viète (1540-1603) – matemaatik, kuulsate Viète'i valemite looja

Vieta teoreem vajalik ruutvõrrandite kiireks lahendamiseks (lihtsate sõnadega).

Täpsemalt siis Vieta teoreem on, et antud ruutvõrrandi juurte summa on võrdne teise koefitsiendiga, mis võetakse vastupidise märgiga, ja korrutis on võrdne vaba liikmega. See omadus on igal redutseeritud ruutvõrrandil, millel on juured.

Vieta teoreemi kasutades saate ruutvõrrandid lihtsalt valiku teel lahendada, nii et ütleme "aitäh" sellele matemaatikule, mõõk käes, meie õnneliku 7. klassi eest.

Vieta teoreemi tõestus

Teoreemi tõestamiseks saab kasutada tuntud juurvalemeid, tänu millele koostame ruutvõrrandi juurte summa ja korrutise. Alles pärast seda saame veenduda, et need on võrdsed ja vastavalt .

Oletame, et meil on võrrand: . Sellel võrrandil on järgmised juured: ja . Tõestame, et .

Ruutvõrrandi juurte valemite järgi:

1. Leidke juurte summa:

Vaatame seda võrrandit, kuidas saime selle täpselt nii:

= .

Samm 1. Murdude taandamine ühiseks nimetajaks selgub:

= = .

2. samm. Meil on murdosa, kus peame sulgud avama:

Vähendame murdosa 2 võrra ja saame:

Oleme tõestanud ruutvõrrandi juurte summa seose Vieta teoreemi abil.

2. Leidke juurte korrutis:

= = = = = .

Tõestame seda võrrandit:

Samm 1. Murdude korrutamiseks on reegel, mille kohaselt korrutame selle võrrandi:

Nüüd tuletame meelde ruutjuure määratlust ja arvutame:

= .

3. samm. Tuletagem meelde ruutvõrrandi diskriminanti: . Seetõttu asendame D (diskriminant) asemel viimase murruga, siis selgub:

= .

4. samm. Avage sulud ja lisage murdudele sarnased terminid:

5. samm. Lühendame "4a" ja saame .

Seega oleme Vieta teoreemi abil tõestanud seose juurte korrutisega.

TÄHTIS!Kui diskriminant on null, on ruutvõrrandil ainult üks juur.

Teoreem on vastupidine Vieta teoreemile

Kasutades Vieta teoreemi pöördteoreemi, saame kontrollida, kas meie võrrand on õigesti lahendatud. Teoreemi enda mõistmiseks peate seda üksikasjalikumalt kaaluma.

Kui numbrid on sellised:

Ja siis on need ruutvõrrandi juured.

Vieta pöördteoreemi tõestus

Samm 1.Asendame võrrandis selle koefitsientide avaldised:

2. samm.Teisendame võrrandi vasaku külje:

3. samm. Leiame võrrandi juured ja selleks kasutame omadust, et korrutis on võrdne nulliga:

Või . Kust see tuleb: või .

Näited lahendustega Vieta teoreemi abil

Näide 1

Harjutus

Leia ruutvõrrandi juurte summa, korrutis ja ruutude summa ilma võrrandi juuri leidmata.

Lahendus

Samm 1. Meenutagem diskrimineerivat valemit. Asendame tähtede oma numbritega. See tähendab, , – see asendab , ja . See tähendab:

Selgub:

Title=" Renderdab QuickLaTeX.com" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}

Avaldagem juurte ruutude summat nende summa ja korrutise kaudu:

Vastus

7; 12; 25.

Näide 2

Harjutus

Lahenda võrrand. Kuid ärge kasutage ruutvõrrandi valemeid.

Lahendus

Sellel võrrandil on juured, mille diskriminant (D) on suurem kui null. Vastavalt Vieta teoreemile on selle võrrandi juurte summa võrdne 4-ga ja korrutis on 5. Esiteks määrame arvu jagajad, mille summa on 4. Need on arvud “ 5" ja "-1". Nende korrutis on 5 ja nende summa on 4. See tähendab, et Vieta teoreemi pöördteoreemi kohaselt on nad selle võrrandi juured.

Vastus

JA Näide 4

Harjutus

Kirjutage võrrand, kus iga juur on kaks korda suurem kui võrrandi vastav juur:

Lahendus

Vieta teoreemi järgi on selle võrrandi juurte summa võrdne 12-ga ja korrutis = 7. See tähendab, et kaks juurt on positiivsed.

Uue võrrandi juurte summa on võrdne:

Ja töö.

Vieta teoreemile vastupidise teoreemi järgi on uuel võrrandil järgmine kuju:

Vastus

Tulemuseks on võrrand, mille iga juur on kaks korda suurem:

Niisiis, vaatasime, kuidas võrrandit Vieta teoreemi abil lahendada. Seda teoreemi on väga mugav kasutada, kui lahendate ruutvõrrandite juurte märke sisaldavaid ülesandeid. See tähendab, et kui valemis olev vaba liige on positiivne arv ja kui ruutvõrrandil on reaaljuured, võivad need mõlemad olla negatiivsed või positiivsed.

Ja kui vaba liige on negatiivne arv ja kui ruutvõrrandil on reaaljuured, on mõlemad märgid erinevad. See tähendab, et kui üks juur on positiivne, on teine ​​juur ainult negatiivne.

Kasulikud allikad:

1. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. Algebra 8. klass: Moskva “Valgustus”, 2016 – 318 lk.
2. Rubin A.G., Chulkov P.V – õpik Algebra 8. klass: Moskva “Balass”, 2015 – 237 lk.
3. Nikolsky S. M., Potopav M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. – Algebra 8. klass: Moskva “Valgustus”, 2014 – 300

Vieta teoreem, Vieta pöördvalem ja näited mannekeenide lahendustega värskendatud: 22. novembril 2019: Teaduslikud artiklid.Ru

Kaheksandas klassis tutvustatakse õpilastele ruutvõrrandeid ja nende lahendamist. Samal ajal, nagu kogemus näitab, kasutab enamik õpilasi täielike ruutvõrrandite lahendamisel ainult ühte meetodit - ruutvõrrandi juurte valemit. Heade peast arvutamise oskustega õpilaste jaoks on see meetod selgelt irratsionaalne. Tihti peavad õpilased ruutvõrrandi lahendama ka keskkoolis ja seal on lihtsalt kahju diskriminandi arvutamisele aega kulutada. Minu arvates tuleks ruutvõrrandite uurimisel rohkem aega ja tähelepanu pöörata Vieta teoreemi rakendamisele (A.G. Mordkovich Algebra-8 programmi järgi on teema „Vieta teoreem. Ruutarvu lagunemine“ läbimiseks ette nähtud vaid kaks tundi. trinomiaalne lineaarseteks teguriteks).

Enamikus algebraõpikutes on see teoreem sõnastatud taandatud ruutvõrrandi jaoks ja väidab, et kui võrrandil on juured ja , siis võrdsused , , on nende jaoks täidetud. Seejärel sõnastatakse väide, mis on vastupidine Vieta teoreemile, ja pakutakse selle teema praktiseerimiseks mitmeid näiteid.

Võtame konkreetsed näited ja jälgime lahenduse loogikat Vieta teoreemi abil.

Näide 1. Lahenda võrrand.

Oletame, et sellel võrrandil on juured, nimelt ja . Seejärel peavad Vieta teoreemi kohaselt võrdsused kehtima samaaegselt:

Pange tähele, et juurte korrutis on positiivne arv. See tähendab, et võrrandi juured on sama märgiga. Ja kuna juurte summa on samuti positiivne arv, järeldame, et võrrandi mõlemad juured on positiivsed. Pöördume uuesti juurte toote juurde. Oletame, et võrrandi juurteks on positiivsed täisarvud. Siis saab õige esimese võrdsuse saada ainult kahel viisil (kuni tegurite järjekorrani): või . Kontrollime pakutud arvupaaride puhul Vieta teoreemi teise väite teostatavust: . Seega rahuldavad arvud 2 ja 3 mõlemat võrdsust ja on seetõttu antud võrrandi juured.

Vastus: 2; 3.

Toome esile arutluse peamised etapid ülaltoodud ruutvõrrandi lahendamisel Vieta teoreemi abil:

pane kirja Vieta teoreemi väide

(*)

• määrake võrrandi juurte märgid (Kui korrutis ja juurte summa on positiivsed, siis on mõlemad juured positiivsed arvud. Kui juurte korrutis on positiivne arv ja juurte summa on negatiivne, siis Mõlemad juured on negatiivsed arvud. juurte summa on väiksem kui null, siis suurema mooduliga juur on negatiivne arv);
• vali täisarvude paarid, mille korrutis annab tähistuses õige esimese võrdsuse (*);
• leitud arvupaaride hulgast vali paar, mis tähises (*) teise võrrandisse asendamisel annab õige võrdsuse;
• märkige oma vastuses võrrandi leitud juured.

Toome veel mõned näited.

Näide 2: lahendage võrrand .

Lahendus.

Olgu ja on antud võrrandi juured. Seejärel märgime Vieta teoreemi järgi, et korrutis on positiivne ja summa on negatiivne arv. See tähendab, et mõlemad juured on negatiivsed arvud. Valime tegurite paarid, mis annavad korrutiseks 10 (-1 ja -10; -2 ja -5). Teine numbripaar annab kokku -7. See tähendab, et arvud -2 ja -5 on selle võrrandi juured.

Vastus: -2; -5.

Näide 3: lahendage võrrand .

Lahendus.

Olgu ja on antud võrrandi juured. Seejärel märgime Vieta teoreemi järgi, et korrutis on negatiivne. See tähendab, et juured on erineva märgiga. Ka juurte summa on negatiivne arv. See tähendab, et suurima mooduliga juur on negatiivne. Valime tegurite paarid, mis annavad tootele -10 (1 ja -10; 2 ja -5). Teine numbripaar annab kokku -3. See tähendab, et arvud 2 ja -5 on selle võrrandi juured.

Vastus: 2; -5.

Pange tähele, et Vieta teoreemi saab põhimõtteliselt formuleerida täieliku ruutvõrrandi jaoks: kui ruutvõrrand on juured ja , siis võrdsused , , on nende jaoks täidetud. Selle teoreemi rakendamine on aga üsna problemaatiline, kuna täielikus ruutvõrrandis on vähemalt üks juurtest (muidugi kui on) murdarv. Ja töö murdude valimisega on pikk ja raske. Kuid ikkagi on väljapääs.

Vaatleme täielikku ruutvõrrandit . Korrutage võrrandi mõlemad pooled esimese koefitsiendiga A ja kirjutage võrrand kujule . Toome sisse uue muutuja ja saame redutseeritud ruutvõrrandi, mille juured ja (kui see on olemas) on leitavad Vieta teoreemi abil. Siis on algvõrrandi juurteks . Pange tähele, et redutseeritud abivõrrandi loomine on väga lihtne: teine ​​koefitsient säilib ja kolmas koefitsient võrdub korrutisega ac. Teatud oskusega loovad õpilased kohe abivõrrandi, leiavad Vieta teoreemi abil selle juured ja näitavad antud tervikvõrrandi juured. Toome näiteid.

Näide 4: lahendage võrrand .

Koostame abivõrrandi ja kasutades Vieta teoreemi, leiame selle juured. See tähendab, et algvõrrandi juured .

Vastus: .

Näide 5: lahendage võrrand .

Abivõrrandil on vorm . Vieta teoreemi järgi on selle juured . Algvõrrandi juurte leidmine .

Vastus: .

Ja veel üks juhtum, kui Vieta teoreemi rakendamine võimaldab teil verbaalselt leida täieliku ruutvõrrandi juured. Seda pole raske tõestada arv 1 on võrrandi juur , kui ja ainult kui. Võrrandi teine ​​juur leitakse Vieta teoreemiga ja on võrdne . Teine väide: nii et arv –1 on võrrandi juur vajalik ja piisav. Siis on võrrandi teine ​​juur Vieta teoreemi järgi võrdne . Samasuguseid väiteid saab sõnastada ka taandatud ruutvõrrandi jaoks.

Näide 6: lahendage võrrand.

Pange tähele, et võrrandi koefitsientide summa on null. Niisiis, võrrandi juured .

Vastus: .

Näide 7. Lahenda võrrand.

Selle võrrandi koefitsiendid vastavad omadusele (tõepoolest, 1-(-999)+(-1000)=0). Niisiis, võrrandi juured .

Vastus: ..

Vieta teoreemi rakendusnäited

Ülesanne 1. Lahenda etteantud ruutvõrrand Vieta teoreemi abil.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Ülesanne 2. Lahendage täielik ruutvõrrand, minnes abivähendatud ruutvõrrandile.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Ülesanne 3. Lahenda ruutvõrrand omaduse abil.

Koolialgebra kursusel teist järku võrrandite lahendamise meetodeid uurides arvestatakse saadud juurte omadusi. Praegu tuntakse neid Vieta teoreemina. Selle kasutamise näited on toodud käesolevas artiklis.

Ruutvõrrand

Teist järku võrrand on võrdsus, mis on näidatud alloleval fotol.

Siin on sümbolid a, b, c mõned arvud, mida nimetatakse vaadeldava võrrandi kordajateks. Võrdsuse lahendamiseks peate leidma x väärtused, mis muudavad selle tõeseks.

Pange tähele, et kuna maksimaalne võimsus, milleni saab x-i tõsta, on kaks, siis on ka juurte arv üldjuhul kaks.

Seda tüüpi võrdsuste lahendamiseks on mitu võimalust. Käesolevas artiklis käsitleme ühte neist, mis hõlmab nn Vieta teoreemi kasutamist.

Vieta teoreemi sõnastus

Kuulus matemaatik Francois Viète (prantsuse keel) märkas 16. sajandi lõpus erinevate ruutvõrrandite juurte omadusi analüüsides, et nende teatud kombinatsioonid rahuldavad konkreetseid seoseid. Eelkõige on need kombinatsioonid nende korrutis ja summa.

Vieta teoreem kehtestab järgmise: ruutvõrrandi juured annavad summeerimisel vastandmärgiga võetud lineaar- ja ruutkordajate suhte ning nende korrutamisel saadakse vaba liikme ja ruutkordaja suhte. .

Kui võrrandi üldvorm on kirjutatud nii, nagu on näidatud artikli eelmises jaotises oleval fotol, siis matemaatiliselt saab selle teoreemi kirjutada kahe võrrandi kujul:

• r2 + r1 = -b/a;
• r 1 x r 2 = c / a.

Kus r 1, r 2 on kõnealuse võrrandi juurte väärtus.

Ülaltoodud kahte võrdsust saab kasutada mitmete erinevate matemaatikaülesannete lahendamiseks. Vieta teoreemi kasutamine näidetes koos lahendustega on toodud artikli järgmistes osades.