Ruutvõrrandite suuline lahendamine ja Vieta teoreem. Vieta teoreem ruut- ja muude võrrandite jaoks Vieta teoreemi rakendamine
Selles loengus tutvume ruutvõrrandi juurte ja selle kordajate kurioossete seostega. Need seosed avastas esmakordselt prantsuse matemaatik Francois Viet (1540-1603).
Näiteks võrrandi Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0 korral võite selle juuri leidmata, kasutades Vieta teoreemi, kohe öelda, et juurte summa on , ja juurte korrutis on
st - 2. Ja võrrandi x 2 - 6x + 8 \u003d 0 puhul järeldame: juurte summa on 6, juurte korrutis on 8; muide, pole raske ära arvata, millega juured on võrdsed: 4 ja 2.
Vieta teoreemi tõestus. Ruutvõrrandi ax 2 + bx + c \u003d 0 juured x 1 ja x 2 leitakse valemitega
Kus D \u003d b 2 - 4ac on võrrandi diskriminant. Nende juurte maha panemine
saame
Nüüd arvutame juurte x 1 ja x 2 korrutise Meil on
Teine seos on tõestatud:
kommenteerida.
Vieta teoreem kehtib ka juhul, kui ruutvõrrandil on üks juur (st kui D \u003d 0), siis lihtsalt arvatakse, et sel juhul on võrrandil kaks identset juurt, millele ülaltoodud seoseid rakendatakse.
Vähendatud ruutvõrrandi x 2 + px + q \u003d 0 tõestatud seosed on eriti lihtsal kujul. Sel juhul saame:
x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
need. antud ruutvõrrandi juurte summa võrdub teise koefitsiendiga, mis on võetud vastupidise märgiga, ja juurte korrutis on võrdne vaba liikmega.
Vieta teoreemi kasutades saab ruutvõrrandi juurte ja kordajate vahel ka muid seoseid. Olgu näiteks x 1 ja x 2 taandatud ruutvõrrandi x 2 + px + q = 0 juured.
Vieta teoreemi põhieesmärk ei ole aga see, et see väljendaks ruutvõrrandi juurte ja kordajate vahelisi teatud seoseid. Palju olulisem on asjaolu, et Vieta teoreemi abil tuletatakse ruuttrinoomi faktoriseerimise valem, ilma milleta me edaspidi hakkama ei saa.
Tõestus. Meil on
Näide 1. Teguristage ruudu kolmik 3x 2 - 10x + 3.
Lahendus. Olles lahendanud võrrandi Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0, leiame ruuttrinoomi Zx 2 - 10x + 3 juured: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
Kasutades teoreemi 2, saame
Selle asemel on mõttekas kirjutada Zx - 1. Siis saame lõpuks Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1).
Pange tähele, et antud ruuttrinoomi saab faktoreerida ilma teoreemi 2 kasutamata, kasutades rühmitusmeetodit:
Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).
Kuid nagu näete, sõltub edu selle meetodi puhul sellest, kas leiame eduka rühmituse või mitte, samas kui esimese meetodi puhul on edu tagatud.
Näide 1. Vähenda fraktsiooni
Lahendus. Võrrandist 2x 2 + 5x + 2 = 0 leiame x 1 = - 2,
Võrrandist x2 - 4x - 12 = 0 leiame x 1 = 6, x 2 = -2. Sellepärast
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
Nüüd vähendame antud murdosa:
Näide 3. Avaldiste faktoriseerimine:
a) x4 + 5x 2 +6; b) 2x+-3
Lahendus.a) Toome sisse uue muutuja y = x 2 . See võimaldab meil antud avaldise ümber kirjutada ruudukujulise trinoomi kujul muutuja y suhtes, nimelt kujul y 2 + bу + 6.
Olles lahendanud võrrandi y 2 + bу + 6 \u003d 0, leiame ruutkolminoomi y 2 + 5y + 6 juured: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. Nüüd kasutame teoreemi 2; saame
y 2 + 5 a + 6 = (y + 2) (y + 3).
Jääb veel meeles pidada, et y \u003d x 2, st naaske antud avaldise juurde. Niisiis,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) Toome sisse uue muutuja y = . See võimaldab teil antud avaldise ümber kirjutada ruudukujulise trinoomi kujul muutuja y suhtes, nimelt kujul 2y 2 + y - 3. Olles lahendanud võrrandi
2y 2 + y - 3 \u003d 0, leiame ruutkolminoomi 2y 2 + y - 3 juured:
y 1 = 1, y 2 = . Lisaks saame teoreemi 2 abil:
Jääb veel meeles pidada, et y \u003d, st naaseb antud avaldise juurde. Niisiis,
Peatüki lõpus on mõned kaalutlused, mis on jällegi seotud Vieta teoreemiga või pigem vastupidise väitega:
kui arvud x 1, x 2 on sellised, et x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, siis on need arvud võrrandi juured
Seda väidet kasutades saate lahendada palju ruutvõrrandeid suuliselt, ilma tülikaid juurvalemeid kasutamata, samuti koostada ruutvõrrandid etteantud juurtega. Toome näiteid.
1) x 2 - 11x + 24 = 0. Siin x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Lihtne on arvata, et x 1 = 8, x 2 = 3.
2) x 2 + 11x + 30 = 0. Siin x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Lihtne on arvata, et x 1 = -5, x 2 = -6.
Pange tähele: kui võrrandi vaba liige on positiivne arv, siis on mõlemad juured kas positiivsed või negatiivsed; Seda on oluline juurte valimisel arvestada.
3) x 2 + x - 12 = 0. Siin x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Lihtne on arvata, et x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4.
Pange tähele: kui võrrandi vaba liige on negatiivne arv, siis on juured märgi poolest erinevad; Seda on oluline juurte valimisel arvestada.
4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. On hästi näha, et x = 1 rahuldab võrrandit, s.t. x 1 \u003d 1 - võrrandi juur. Kuna x 1 x 2 \u003d - ja x 1 \u003d 1, saame selle x 2 \u003d -.
5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Siin x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Kui pöörate tähelepanu asjaolule, et 2830 = 283. 10 ja 293 \u003d 283 + 10, siis saab selgeks, et x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 (nüüd kujutage ette, milliseid arvutusi tuleks teha selle ruutvõrrandi lahendamiseks standardvalemite abil).
6) Koostame ruutvõrrandi nii, et selle juurteks on arvud x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4. Tavaliselt moodustavad need sellistel juhtudel vähendatud ruutvõrrandi x 2 + px + q \u003d 0.
Meil on x 1 + x 2 \u003d -p, seega 8 - 4 \u003d -p, see tähendab p \u003d -4. Edasi x 1 x 2 = q, st. 8"(-4) = q, kust saame q = -32. Niisiis, p \u003d -4, q \u003d -32, mis tähendab, et soovitud ruutvõrrand on kujul x 2 -4x-32 \u003d 0.
Mis tahes täielik ruutvõrrand ax2 + bx + c = 0 võib meelde tuletada x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, kui jagame esmalt iga liikme koefitsiendiga a enne x2. Ja kui võtta kasutusele uus tähistus (b/a) = p ja (c/a) = q, siis saame võrrandi x 2 + pikslit + q = 0, mida matemaatikas nimetatakse redutseeritud ruutvõrrand.
Redutseeritud ruutvõrrandi juured ja koefitsiendid lk ja q omavahel seotud. See on kinnitatud Vieta teoreem, mis sai nime 16. sajandi lõpus elanud prantsuse matemaatiku Francois Vieta järgi.
Teoreem. Redutseeritud ruutvõrrandi juurte summa x 2 + pikslit + q = 0 võrdne teise koefitsiendiga lk, mis võetakse vastupidise märgiga, ja juurte korrutis - vabale terminile q.
Kirjutame need suhted järgmisel kujul:
Lase x 1 ja x2 redutseeritud võrrandi erinevad juured x 2 + pikslit + q = 0. Vastavalt Vieta teoreemile x1 + x2 = -p ja x 1 x 2 = q.
Selle tõestamiseks asendame võrrandis mõlemad juured x 1 ja x 2. Saame kaks tõelist võrdsust:
x 1 2 + px 1 + q = 0
x 2 2 + px 2 + q = 0
Lahutage esimesest võrdsusest teine. Saame: 
x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0
Laiendame kahte esimest terminit vastavalt ruutude erinevuse valemile:
(x 1 - x 2) (x 1 - x 2) + p (x 1 - x 2) = 0
Tingimuse järgi on juured x 1 ja x 2 erinevad. Seetõttu saame võrdsust vähendada (x 1 - x 2) ≠ 0 võrra ja väljendada p.
(x 1 + x 2) + p = 0;
(x 1 + x 2) = -p.
Esimene võrdsus on tõestatud.
Teise võrdsuse tõestamiseks asendame esimese võrrandiga
x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 koefitsiendi p asemel, selle võrdne arv on (x 1 + x 2):
x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0
Teisendades võrrandi vasakut külge, saame:
x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;
x 1 x 2 = q, mida tuli tõestada.
Vieta teoreem on hea, sest isegi ruutvõrrandi juuri teadmata saame arvutada nende summa ja korrutise .
Vieta teoreem aitab määrata antud ruutvõrrandi täisarvu juuri. Kuid paljudele õpilastele tekitab see raskusi, kuna nad ei tea selget tegevusalgoritmi, eriti kui võrrandi juurtel on erinevad märgid.
Seega on antud ruutvõrrandi kuju x 2 + px + q \u003d 0, kus x 1 ja x 2 on selle juured. Vieta teoreemi järgi x 1 + x 2 = -p ja x 1 x 2 = q.
Võime teha järgmise järelduse.
Kui võrrandis eelneb viimasele liikmele miinusmärk, siis juurtel x 1 ja x 2 on erinevad märgid. Lisaks on väiksema juure märk sama, mis võrrandi teise koefitsiendi märk.
Lähtudes sellest, et erinevate märkidega arvude liitmisel lahutatakse nende moodulid ja tulemuse ette asetatakse moodulis suurema arvu märk, tuleks toimida järgmiselt:
- määrake arvu q sellised tegurid, et nende erinevus oleks võrdne arvuga p;
- pane saadud arvudest väiksema ette võrrandi teise kordaja märk; teisel juurel on vastupidine märk.
Vaatame mõnda näidet.
Näide 1.
Lahendage võrrand x 2 - 2x - 15 = 0.
Lahendus.
Proovime seda võrrandit lahendada ülaltoodud reeglite abil. Siis võime kindlalt väita, et sellel võrrandil on kaks erinevat juurt, sest D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.
Nüüd valime kõigi arvu 15 tegurite (1 ja 15, 3 ja 5) hulgast need, mille vahe on 2. Need on numbrid 3 ja 5. Väiksema arvu ette paneme miinusmärgi , st. võrrandi teise kordaja märk. Seega saame võrrandi x 1 \u003d -3 ja x 2 \u003d 5 juured.
Vastus. x 1 = -3 ja x 2 = 5.
Näide 2.
Lahendage võrrand x 2 + 5x - 6 = 0.
Lahendus.
Kontrollime, kas sellel võrrandil on juured. Selleks leiame diskriminandi:
D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Võrrandil on kaks erinevat juurt.
Arvu 6 võimalikud tegurid on 2 ja 3, 6 ja 1. Paari 6 ja 1 puhul on erinevus 5. Selles näites on teise liikme koefitsiendil plussmärk, nii et väiksemal arvul on sama märk. Kuid enne teist numbrit on miinusmärk.
Vastus: x 1 = -6 ja x 2 = 1.
Vieta teoreemi saab kirjutada ka täieliku ruutvõrrandi jaoks. Nii et kui ruutvõrrand ax2 + bx + c = 0 on juured x 1 ja x 2 , siis nad rahuldavad võrdusi
x 1 + x 2 = -(b/a) ja x 1 x 2 = (c/a). Selle teoreemi rakendamine täisruutvõrrandis on aga üsna problemaatiline, kuna juurte olemasolul on vähemalt üks neist murdarv. Ja fraktsioonide valikuga töötamine on üsna keeruline. Kuid ikkagi on väljapääs.
Vaatleme täielikku ruutvõrrandit ax 2 + bx + c = 0. Korrutage selle vasak ja parem külg koefitsiendiga a. Võrrand saab kujul (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Nüüd võtame kasutusele uue muutuja, näiteks t = ax.
Sel juhul muutub saadud võrrand redutseeritud ruutvõrrandiks kujul t 2 + bt + ac = 0, mille juured t 1 ja t 2 (kui neid on) saab määrata Vieta teoreemi abil.
Sel juhul on algse ruutvõrrandi juured
x 1 = (t 1 / a) ja x 2 = (t 2 / a).
Näide 3.
Lahendage võrrand 15x 2 - 11x + 2 = 0.
Lahendus.
Koostame abivõrrandi. Korrutame võrrandi iga liikme 15-ga:
15 2 x 2 – 11 15 x + 15 2 = 0.
Teeme muudatuse t = 15x. Meil on:
t 2 – 11t + 30 = 0.
Vieta teoreemi kohaselt on selle võrrandi juured t 1 = 5 ja t 2 = 6.
Pöördume tagasi asendusse t = 15x:
5 = 15x või 6 = 15x. Seega x 1 = 5/15 ja x 2 = 6/15. Vähendame ja saame lõpliku vastuse: x 1 = 1/3 ja x 2 = 2/5.
Vastus. x 1 = 1/3 ja x 2 = 2/5.
Ruutvõrrandite lahendamise valdamiseks Vieta teoreemi abil peavad õpilased harjutama nii palju kui võimalik. See on täpselt edu saladus.
saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.
Ruutvõrrandi juurte ja kordajate vahel on lisaks juurvalemitele ka muid kasulikke seoseid, mis on antud Vieta teoreem. Selles artiklis esitame ruutvõrrandi Vieta teoreemi sõnastuse ja tõestuse. Järgmisena käsitleme teoreemi, mis on vastupidine Vieta teoreemile. Pärast seda analüüsime kõige iseloomulikumate näidete lahendusi. Lõpuks kirjutame üles Vieta valemid, mis määratlevad seose tegelike juurte vahel algebraline võrrand aste n ja selle koefitsiendid.
Leheküljel navigeerimine.
Vieta teoreem, sõnastus, tõestus
Ruutvõrrandi juurte valemitest a x 2 +b x+c=0 vormi , kus D=b 2 −4 a c , seosed x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Need tulemused on kinnitatud Vieta teoreem:
Teoreem.
Kui a x 1 ja x 2 on ruutvõrrandi a x 2 +b x+c=0 juured, siis võrdub juurte summa vastasmärgiga koefitsientide b ja a suhtega ja korrutisega juur võrdub koefitsientide c ja a suhtega, see tähendab .
Tõestus.
Tõestame Vieta teoreemi järgmise skeemi järgi: koostame ruutvõrrandi juurte summa ja korrutise teadaolevate juurvalemite abil, seejärel teisendame saadud avaldised ja veendume, et need on võrdsed −b /a ja c/a vastavalt.
Alustame juurte summast, koostame selle. Nüüd viime murrud ühise nimetaja juurde, meil on. Saadud murru lugejas , mille järel : . Lõpuks, pärast 2, saame . See tõestab Vieta teoreemi esimest seost ruutvõrrandi juurte summa kohta. Liigume teise juurde.
Koostame ruutvõrrandi juurte korrutise:. Murdude korrutamise reegli järgi võib viimase korrutise kirjutada kujul. Nüüd korrutame sulu lugejas oleva suuga, kuid seda toodet on kiirem ahendada ruutude erinevuse valem, Nii et. Seejärel, pidades meeles, teostame järgmise ülemineku. Ja kuna valem D=b 2 −4 a·c vastab ruutvõrrandi diskriminandile, siis saab b 2 −4·a·c asendada D asemel viimaseks murruks, saame . Pärast sulgude avamist ja sarnaste terminite vähendamist jõuame murduni ja selle vähendamine 4·a võrra annab . See tõestab Vieta teoreemi teist seost juurte korrutise kohta.
Kui jätame seletused välja, on Vieta teoreemi tõestus kokkuvõtlik:
,
.
Jääb vaid märkida, et kui diskriminant on võrdne nulliga, on ruutvõrrandil üks juur. Kui aga eeldada, et võrrandil on sel juhul kaks identset juurt, siis kehtivad ka Vieta teoreemi võrrandid. Tõepoolest, kui D=0 ruutvõrrandi juur on , siis ja , ning kuna D=0, st b 2 −4·a·c=0 , kust b 2 =4·a·c , siis .
Praktikas kasutatakse Vieta teoreemi kõige sagedamini seoses taandatud ruutvõrrandiga (kõrgeima koefitsiendiga a on 1) kujul x 2 +p·x+q=0 . Mõnikord on see sõnastatud just seda tüüpi ruutvõrranditele, mis ei piira üldistust, kuna iga ruutvõrrandi saab asendada samaväärse võrrandiga, jagades selle mõlemad osad nullist erineva arvuga a. Siin on Vieta teoreemi vastav sõnastus:
Teoreem.
Redutseeritud ruutvõrrandi juurte summa x 2 + p x + q \u003d 0 on võrdne koefitsiendiga punktis x, mis on võetud vastupidise märgiga, ja juurte korrutis on vaba liige, see tähendab x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 = q.
Teoreem on Vieta teoreemi pöördvõrdeline
Vieta teoreemi teine sõnastus, mis on toodud eelmises lõigus, näitab, et kui x 1 ja x 2 on taandatud ruutvõrrandi x 2 +p x+q=0 juured, siis seosed x 1 +x 2 = − p , x 1 x 2 = q. Seevastu kirjutatud seostest x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q järeldub, et x 1 ja x 2 on ruutvõrrandi x 2 +p x+q=0 juured. Teisisõnu, väide, mis on vastupidine Vieta teoreemile, on tõene. Sõnastame selle teoreemi kujul ja tõestame.
Teoreem.
Kui arvud x 1 ja x 2 on sellised, et x 1 +x 2 =−p ja x 1 x 2 =q, siis on x 1 ja x 2 taandatud ruutvõrrandi x 2 +p x+q=0 juured. .
Tõestus.
Pärast koefitsientide p ja q asendamist nende avaldises võrrandis x 2 +p x+q=0 läbi x 1 ja x 2 teisendatakse see samaväärseks võrrandiks.
Asendame saadud võrrandis x asemel arvu x 1, meil on võrdsus x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, mis iga x 1 ja x 2 korral on õige arvuline võrdus 0=0, kuna x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Seetõttu on x 1 võrrandi juur x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, mis tähendab, et x 1 on ekvivalentvõrrandi x 2 +p x+q=0 juur.
Kui võrrandis x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 asenda x asemel arv x 2, siis saame võrdsuse x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. See on õige võrrand, sest x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Seetõttu on x 2 ka võrrandi juur x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, ja seega võrrandid x 2 +p x+q=0 .
See lõpetab Vieta teoreemile vastupidise teoreemi tõestamise.
Näiteid Vieta teoreemi kasutamisest
On aeg rääkida Vieta teoreemi ja selle pöördteoreemi praktilisest rakendamisest. Selles alapeatükis analüüsime mitmete kõige tüüpilisemate näidete lahendusi.
Alustuseks rakendame Vieta teoreemile vastupidise teoreemi. Selle abil on mugav kontrollida, kas antud kaks arvu on antud ruutvõrrandi juured. Sel juhul arvutatakse nende summa ja vahe, misjärel kontrollitakse seoste kehtivust. Kui mõlemad seosed on täidetud, siis Vieta teoreemile vastupidise teoreemi alusel järeldatakse, et need arvud on võrrandi juured. Kui vähemalt üks seostest ei ole täidetud, ei ole need arvud ruutvõrrandi juured. Seda lähenemist saab kasutada ruutvõrrandite lahendamisel leitud juurte kontrollimiseks.
Näide.
Milline arvupaaridest 1) x 1 =−5, x 2 =3 või 2) või 3) on ruutvõrrandi 4 x 2 −16 x+9=0 juurte paar?
Lahendus.
Antud ruutvõrrandi 4 x 2 −16 x+9=0 koefitsiendid on a=4 , b=−16 , c=9 . Vieta teoreemi järgi peab ruutvõrrandi juurte summa olema võrdne −b/a, see tähendab 16/4=4 ja juurte korrutis peab olema võrdne c/a, see tähendab 9 /4.
Nüüd arvutame kõigis kolmes antud paaris olevate arvude summa ja korrutise ning võrdleme neid äsja saadud väärtustega.
Esimesel juhul on meil x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Saadud väärtus erineb 4-st, seetõttu ei saa täiendavat kontrollimist läbi viia, kuid teoreemi, Vieta teoreemi pöördväärtuse põhjal saame kohe järeldada, et esimene arvupaar ei ole antud ruutvõrrandi juurte paar. .
Liigume edasi teise juhtumi juurde. Siin on esimene tingimus täidetud. Kontrollime teist tingimust: , saadud väärtus erineb 9/4-st. Seetõttu ei ole teine arvupaar ruutvõrrandi juurte paar.
Jääb viimane juhtum. Siin ja . Mõlemad tingimused on täidetud, seega on need arvud x 1 ja x 2 antud ruutvõrrandi juurteks.
Vastus:
Teoreemi, Vieta teoreemi vastupidist, saab praktikas kasutada ruutvõrrandi juurte valimiseks. Tavaliselt valitakse antud ruutvõrrandi täisarvuliste koefitsientidega täisjuured, kuna muudel juhtudel on seda üsna raske teha. Samal ajal kasutavad nad seda, et kui kahe arvu summa on võrdne ruutvõrrandi teise koefitsiendiga, mis on võetud miinusmärgiga, ja nende arvude korrutis on võrdne vaba liikmega, siis need arvud on selle ruutvõrrandi juured. Käsitleme seda näitega.
Võtame ruutvõrrandi x 2 −5 x+6=0 . Et arvud x 1 ja x 2 oleksid selle võrrandi juured, peavad olema täidetud kaks võrdsust x 1 +x 2 \u003d 5 ja x 1 x 2 \u003d 6. Jääb üle valida sellised numbrid. Sel juhul on seda üsna lihtne teha: sellised arvud on 2 ja 3, kuna 2+3=5 ja 2 3=6 . Seega on 2 ja 3 selle ruutvõrrandi juured.
Vieta teoreemile vastupidine teoreem on eriti mugav redutseeritud ruutvõrrandi teise juure leidmiseks, kui üks juurtest on juba teada või ilmne. Sel juhul leitakse mis tahes seostest teine juur.
Näiteks võtame ruutvõrrandi 512 x 2 −509 x−3=0 . Siin on lihtne näha, et ühik on võrrandi juur, kuna selle ruutvõrrandi kordajate summa on null. Seega x 1 = 1. Teise juure x 2 võib leida näiteks seosest x 1 x 2 =c/a. Meil on 1 x 2 = −3/512 , kust x 2 = −3/512 . Seega oleme defineerinud ruutvõrrandi mõlemad juured: 1 ja −3/512.
On selge, et juurte valik on otstarbekas ainult kõige lihtsamatel juhtudel. Muudel juhtudel saab juurte leidmiseks rakendada ruutvõrrandi juurte valemeid läbi diskriminandi.
Teine teoreemi praktiline rakendus, Vieta teoreemi pöördväärtus, on ruutvõrrandite koostamine antud juurte x 1 ja x 2 jaoks. Selleks piisab, kui arvutada juurte summa, mis annab antud ruutvõrrandi vastasmärgiga kordaja x, ja juurte korrutis, mis annab vaba liikme.
Näide.
Kirjutage ruutvõrrand, mille juurteks on arvud −11 ja 23.
Lahendus.
Tähistame x 1 =−11 ja x 2 =23 . Arvutame nende arvude summa ja korrutise: x 1 + x 2 \u003d 12 ja x 1 x 2 \u003d −253. Seetõttu on need arvud antud ruutvõrrandi juurteks teise koefitsiendiga -12 ja vaba liikmega -253. See tähendab, et x 2 −12·x−253=0 on soovitud võrrand.
Vastus:
x 2 −12 x −253=0 .
Vieta teoreemi kasutatakse väga sageli ruutvõrrandite juurte märkidega seotud ülesannete lahendamisel. Kuidas on Vieta teoreem seotud taandatud ruutvõrrandi x 2 +p x+q=0 juurte märkidega? Siin on kaks asjakohast väidet:
- Kui vaba liige q on positiivne arv ja ruutvõrrandil on reaaljuured, siis on need mõlemad positiivsed või mõlemad negatiivsed.
- Kui vaba liige q on negatiivne arv ja kui ruutvõrrandil on reaaljuured, siis on nende märgid erinevad ehk teisisõnu üks juur on positiivne ja teine negatiivne.
Need väited tulenevad valemist x 1 x 2 =q, samuti positiivsete, negatiivsete ja erinevate märkidega arvude korrutamise reeglitest. Mõelge nende rakendamise näidetele.
Näide.
R on positiivne. Diskriminandi valemi järgi leiame D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , avaldise r 2 väärtuse +8 on positiivne iga reaalse r korral, seega D>0 iga reaalse r korral. Seetõttu on algsel ruutvõrrandil parameetri r mis tahes tegelike väärtuste jaoks kaks juurt.
Nüüd uurime välja, millal on juurtel erinevad märgid. Kui juurte märgid on erinevad, siis on nende korrutis negatiivne ja Vieta teoreemi järgi on antud ruutvõrrandi juurte korrutis võrdne vaba liikmega. Seetõttu oleme huvitatud nendest r väärtustest, mille vaba liige r−1 on negatiivne. Seega, selleks, et leida meile huvi pakkuvad r väärtused, peame seda tegema lahendada lineaarne võrratus r-1<0 , откуда находим r<1 .
Vastus:
aadressil r<1 .
Vieta valemid
Eespool rääkisime Vieta ruutvõrrandi teoreemist ja analüüsisime selles väidetavaid seoseid. Kuid on valemeid, mis ühendavad mitte ainult ruutvõrrandite, vaid ka kuupvõrrandite, neljakordsete võrrandite ja üldiselt, algebralised võrrandid aste n. Neid nimetatakse Vieta valemid.
Kirjutame Vieta valemid vormi n astme algebralise võrrandi jaoks, eeldades, et sellel on n reaaljuurt x 1, x 2, ..., x n (nende hulgas võivad olla samad): 
Hankige Vieta valemid võimaldavad polünoomifaktorisatsiooni teoreem, samuti võrdsete polünoomide määratlus kõigi neile vastavate koefitsientide võrdsuse kaudu. Seega on polünoom ja selle laienemine vormi lineaarseteks teguriteks võrdsed. Avades viimases korrutis olevad sulud ja võrdsustades vastavad koefitsiendid, saame Vieta valemid.
Täpsemalt, n=2 puhul oleme juba tuttavad Ruutvõrrandi Vieta valemid.
Kuupvõrrandi jaoks on Vieta valemitel vorm 
Jääb üle vaid märkida, et Vieta valemite vasakul küljel on nn elementaar sümmeetrilised polünoomid.
Bibliograafia.
- Algebra:õpik 8 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M. : Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovitš A.G. Algebra. 8. klass. Kell 14 1. osa. Õpik õppeasutuste õpilastele / A. G. Mordkovich. - 11. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Algebra ja matemaatilise analüüsi algus. 10. klass: õpik. üldhariduse jaoks institutsioonid: põhi- ja profiil. tasemed / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkatšova, N. E. Fedorova, M. I. Šabunin]; toim. A. B. Žižtšenko. - 3. väljaanne - M.: Valgustus, 2010.- 368 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Üks ruutvõrrandi lahendamise meetodeid on rakendus VIETA valemid, mis sai nime FRANCOIS VIETE järgi.
Ta oli kuulus advokaat ja teenis 16. sajandil Prantsuse kuninga juures. Vabal ajal õppis ta astronoomiat ja matemaatikat. Ta lõi ühenduse ruutvõrrandi juurte ja kordajate vahel.
Valemi eelised:
1 . Valemit rakendades leiate kiiresti lahenduse. Kuna teist kordajat ei pea ruutu sisestama, siis lahutage sellest 4ac, leidke diskriminant, asendage selle väärtus juurte leidmise valemis.
2 . Ilma lahenduseta saate määrata juurte tunnuseid, korjata juurte väärtusi.
3 . Olles lahendanud kahe plaadi süsteemi, pole juurte endi leidmine keeruline. Ülaltoodud ruutvõrrandis võrdub juurte summa teise miinusmärgiga koefitsiendi väärtusega. Juurte korrutis ülaltoodud ruutvõrrandis on võrdne kolmanda koefitsiendi väärtusega.
4 . Kirjutage etteantud juurte järgi ruutvõrrand ehk lahendage pöördülesanne. Näiteks kasutatakse seda meetodit teoreetilise mehaanika ülesannete lahendamisel.
5 . Valemit on mugav rakendada, kui juhtiv koefitsient on võrdne ühega.
Puudused:
1
. Valem ei ole universaalne.
Vieta teoreem 8. klass
Valem
Kui x 1 ja x 2 on antud ruutvõrrandi x 2 + px + q \u003d 0 juured, siis:
Näited
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - võrrandi x 2 juured - 2x - 3 \u003d 0.
P = -2, q = -3.
X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,
X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.
Pöördteoreem
Valem
Kui arvud x 1 , x 2 , p, q on ühendatud tingimustega:
Siis on x 1 ja x 2 võrrandi x 2 + px + q = 0 juured.
Näide
Koostame ruutvõrrandi selle juurte järgi:
X 1 \u003d 2 -? 3 ja x 2 \u003d 2 +? 3 .
P \u003d x 1 + x 2 = 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) = 4 - 3 \u003d 1.
Soovitud võrrand on kujul: x 2 - 4x + 1 = 0.
2.5 Vieta valem kõrgema astme polünoomide (võrrandite) jaoks
Vieta poolt ruutvõrrandite jaoks tuletatud valemid kehtivad ka kõrgema astme polünoomide puhul.
Olgu polünoom
P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n
Sellel on n erinevat juurt x 1 , x 2 …, x n .
Sel juhul on sellel vorm faktoriseerimine:
a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1) (x – x 2)… (x – x n)
Jagame selle võrrandi mõlemad osad 0 ≠ 0-ga ja laiendame esimeses osas olevaid sulgusid. Saame võrdsuse:
x n + ()x n -1 + ... + () = x n - (x 1 + x 2 + ... + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + x n) -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n
Kuid kaks polünoomi on identselt võrdsed siis ja ainult siis, kui samade astmete koefitsiendid on võrdsed. Sellest järeldub, et võrdsus
x 1 + x 2 + … + x n = -
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =
x 1 x 2 … x n = (-1) n
Näiteks kolmanda astme polünoomide jaoks
a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3
Meil on identiteedid
x 1 + x 2 + x 3 = -
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
x 1 x 2 x 3 = -
Ruutvõrrandite osas nimetatakse seda valemit Vieta valemiteks. Nende valemite vasakpoolsed osad on sümmeetrilised polünoomid antud võrrandi juurtest x 1 , x 2 ..., x n ja parempoolsed osad on väljendatud polünoomi koefitsiendiga.
2.6 Ruutudeks taandatavad võrrandid (kakskvadraadilised)
Neljanda astme võrrandid taandatakse ruutvõrranditeks:
ax 4 + bx 2 + c = 0,
nimetatakse kahekvadraadiliseks, pealegi a ≠ 0.
Piisab, kui panna sellesse võrrandisse x 2 \u003d y, seega
ay² + by + c = 0
leida saadud ruutvõrrandi juured
y 1,2 = 
Juurte x 1, x 2, x 3, x 4 kohe leidmiseks asenda y x-ga ja saad
x2 =
x 1,2,3,4 = 
.
Kui neljanda astme võrrandil on x 1, siis on sellel ka juur x 2 \u003d -x 1,
Kui on x 3, siis x 4 \u003d - x 3. Sellise võrrandi juurte summa on null.
2x 4 - 9x² + 4 = 0
Asendame võrrandi kahekvadraatiliste võrrandite juurte valemis:
x 1,2,3,4 = 
,
teades, et x 1 \u003d -x 2 ja x 3 \u003d -x 4, siis:
x 3,4 = 
Vastus: x 1,2 \u003d ± 2; x 1,2 =
2.7 Bikvadraatvõrrandite uurimine
Võtame bikvadraatvõrrandi
ax 4 + bx 2 + c = 0,
kus a, b, c on reaalarvud ja a > 0. Võttes kasutusele abitundmatu y = x², uurime selle võrrandi juuri ja kanname tulemused tabelisse (vt lisa nr 1)
2.8 Cardano valem
Kui kasutame kaasaegset sümboolikat, võib Cardano valemi tuletis välja näha järgmine:
x = 
See valem määrab kolmanda astme üldvõrrandi juured:
ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.
See valem on väga tülikas ja keeruline (sisaldab mitmeid keerulisi radikaale). See ei kehti alati, sest. väga raske täita.
F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...
Loetlege või valige 2-3 teksti hulgast kõige huvitavamad kohad. Seega oleme arvestanud valikkursuste loomise ja läbiviimise üldsätteid, mida arvestatakse algebra valikkursuse väljatöötamisel 9. klassile "Nelikvõrrandid ja võrratused parameetriga". II peatükk. Valikkursuse "Ruutvõrrandid ja võrratused parameetriga" läbiviimise metoodika 1.1. Kindral...
Lahendused numbrilistest arvutusmeetoditest. Võrrandi juurte määramiseks ei ole vaja teadmisi Abeli, Galois', Lie rühmade jt teooriatest ning kasutada spetsiaalset matemaatikaterminoloogiat: rõngad, väljad, ideaalid, isomorfismid jne. N-nda astme algebralise võrrandi lahendamiseks on vaja vaid ruutvõrrandi lahendamise ja kompleksarvust juurte eraldamise oskust. Juured saab määrata...
Füüsikaliste suuruste mõõtühikutega MathCAD süsteemis? 11. Kirjeldage üksikasjalikult teksti-, graafilisi ja matemaatilisi plokke. Loeng number 2. Lineaaralgebra ülesanded ja diferentsiaalvõrrandite lahendamine MathCAD keskkonnas Lineaaralgebra ülesannetes tekib peaaegu alati vajadus sooritada erinevaid tehteid maatriksitega. Maatriksi juhtpaneel asub matemaatika paneelil. ...
