Leidke võrgus joontega piiratud objekti ala. Kõverajoonelise trapetsi pindala on arvuliselt võrdne teatud integraaliga. Lahenduse valmimine võib välja näha selline
Sellest artiklist saate teada, kuidas integraalarvutuste abil leida joontega piiratud joonise pindala. Esimest korda puutume sellise probleemi sõnastamisega kokku keskkoolis, kui teatud integraalide õpe on just lõppenud ja on aeg alustada praktikas saadud teadmiste geomeetrilist tõlgendamist.
Niisiis, mida on vaja integraalide abil joonise pindala leidmise probleemi edukaks lahendamiseks:
- Oskus õigesti joonistada jooniseid;
- Oskus lahendada kindlat integraali, kasutades tuntud Newton-Leibnizi valemit;
- Võimalus "näha" tulusamat lahendust – s.t. aru saada, kuidas sel või teisel juhul on integreerimist mugavam läbi viia? Piki x-telge (OX) või y-telge (OY)?
- Noh, kus ilma õigete arvutusteta?) See hõlmab mõistmist, kuidas seda teist tüüpi integraale lahendada, ja õigeid arvulisi arvutusi.
Algoritm joontega piiratud joonise pindala arvutamise ülesande lahendamiseks:
1. Ehitame joonise. Soovitav on seda teha paberil puuris, suures mahus. Kirjutame iga graafiku kohale pliiatsiga selle funktsiooni nime. Graafikutele allkiri tehakse ainult edasiste arvutuste hõlbustamiseks. Pärast soovitud joonise graafiku saamist on enamikul juhtudel kohe selge, milliseid integreerimispiiranguid kasutatakse. Seega lahendame probleemi graafiliselt. Siiski juhtub, et piiride väärtused on murdosa või irratsionaalsed. Seetõttu saate teha täiendavaid arvutusi, minge teise sammu juurde.
2. Kui integreerimispiirid pole selgesõnaliselt paika pandud, siis leiame graafikute lõikepunktid üksteisega ja vaatame, kas meie graafiline lahendus ühtib analüütilise lahendusega.
3. Järgmisena peate joonist analüüsima. Sõltuvalt sellest, kuidas funktsioonide graafikud asuvad, on joonise pindala leidmiseks erinevad lähenemisviisid. Mõelge erinevatele näidetele joonise pindala leidmiseks integraalide abil.
3.1. Probleemi kõige klassikalisem ja lihtsam versioon on siis, kui peate leidma kõverjoonelise trapetsi pindala. Mis on kõverjooneline trapets? See on tasane kujund, mis on piiratud x-teljega (y=0), sirge x = a, x = b ja mis tahes pidev kõver intervallil alates a enne b. Samal ajal on see näitaja mittenegatiivne ega asu x-teljelt madalamal. Sel juhul on kõverjoonelise trapetsi pindala arvuliselt võrdne Newtoni-Leibnizi valemi abil arvutatud kindla integraaliga:
Näide 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Millised jooned määratlevad figuuri? Meil on parabool y = x2 - 3x + 3, mis asub telje kohal Oh, see ei ole negatiivne, sest kõik selle parabooli punktid on positiivsed. Järgmiseks antud sirgjooned x = 1 ja x = 3 mis kulgevad paralleelselt teljega OU, on joonise piirjooned vasakul ja paremal. Noh y = 0, ta on x-telg, mis piirab joonist altpoolt. Saadud joonis on varjutatud, nagu on näha vasakpoolsel joonisel. Sel juhul saate kohe alustada probleemi lahendamisega. Meie ees on lihtne näide kõverjoonelisest trapetsist, mille lahendame seejärel Newtoni-Leibnizi valemi abil.
3.2. Eelmises punktis 3.1 analüüsiti juhtumit, kui kõverjooneline trapets paikneb x-telje kohal. Mõelge nüüd juhtumile, kui ülesande tingimused on samad, välja arvatud see, et funktsioon asub x-telje all. Standardsele Newtoni-Leibnizi valemile lisatakse miinus. Kuidas sellist probleemi lahendada, kaalume edasi.
Näide 2 . Arvutage joontega piiratud kujundi pindala y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
Selles näites on meil parabool y=x2+6x+2, mis pärineb telje alt Oh, sirge x = -4, x = -1, y = 0. Siin y = 0 piirab soovitud figuuri ülalt. Otsene x = -4 ja x = -1 need on piirid, mille piires arvutatakse kindel integraal. Joonise pindala leidmise probleemi lahendamise põhimõte langeb peaaegu täielikult kokku näitega number 1. Ainus erinevus on see, et antud funktsioon ei ole positiivne ja kõik on ka intervallil pidev. [-4; -1] . Mida ei tähenda positiivne? Nagu jooniselt näha, on antud x-i piires oleval joonisel eranditult "negatiivsed" koordinaadid, mida peame ülesande lahendamisel nägema ja meeles pidama. Figuuri pindala otsime Newton-Leibnizi valemi abil, ainult alguses miinusmärgiga.
Artikkel ei ole lõpetatud.
Hakkame kaaluma topeltintegraali arvutamise tegelikku protsessi ja tutvume selle geomeetrilise tähendusega.
Topeltintegraal on arvuliselt võrdne lameda kujundi pindalaga (integratsioonipiirkond). See on topeltintegraali kõige lihtsam vorm, kui kahe muutuja funktsioon on võrdne ühega: .
Mõelgem kõigepealt probleemile üldiselt. Nüüd olete üllatunud, kui lihtne see tegelikult on! Arvutame joontega piiratud tasase kujundi pindala. Kindluse huvides eeldame, et intervallil . Selle joonise pindala on arvuliselt võrdne:
Kujutame ala joonisel:
Valime esimese võimaluse piirkonnast mööda hiilimiseks:
Sellel viisil:
Ja kohe oluline tehniline nipp: itereeritud integraale võib käsitleda eraldi. Kõigepealt sisemine integraal, seejärel välimine integraal. See meetod on väga soovitatav teekannud algajatele.
1) Arvutage sisemine integraal, samal ajal kui integreerimine toimub muutuja "y" kaudu:
Määramatu integraal on siin kõige lihtsam ja siis kasutatakse banaalset Newtoni-Leibnizi valemit, ainsa erinevusega, et integreerimise piirid ei ole numbrid, vaid funktsioonid. Esiteks asendasime ülemise piiri "y"-ga (antiderivatiivne funktsioon), seejärel alumine piir
2) Esimeses lõigus saadud tulemus tuleb asendada välisintegraaliga:
Kogu lahenduse kompaktsem märge näeb välja järgmine:
Saadud valem on täpselt töövalem lameda kujundi pindala arvutamiseks "tavalise" kindla integraali abil! Vaata õppetundi Pindala arvutamine kindla integraali abil, seal ta on igal sammul!
See on, pindala arvutamise probleem topeltintegraali abil veidi erinev ala leidmise probleemist kindla integraali abil! Tegelikult on need üks ja seesama!
Seetõttu ei tohiks raskusi tekkida! Ma ei käsitle väga palju näiteid, kuna tegelikult olete selle probleemiga korduvalt kokku puutunud.
Näide 9
Lahendus: Kujutame ala joonisel:
Valime järgmise piirkonna läbimise järjekorra:
Siin ja allpool ma ei hakka kirjeldama, kuidas ala läbida, sest esimene lõik oli väga üksikasjalik.
Sellel viisil:
Nagu ma juba märkisin, on algajatele parem itereeritud integraalid eraldi arvutada, järgin sama meetodit:
1) Esiteks, kasutades Newtoni-Leibnizi valemit, käsitleme sisemist integraali:
2) Esimeses etapis saadud tulemus asendatakse välimise integraaliga:
Punkt 2 on tegelikult lameda kujundi pindala leidmine kindla integraali abil.
Vastus:
Siin on nii rumal ja naiivne ülesanne.
Huvitav näide iseseisvast lahendusest:
Näide 10
Arvutage topeltintegraali abil tasapinnalise kujundi pindala, mis on piiratud joontega , ,
Lõpplahenduse näide tunni lõpus.
Näidetes 9-10 on palju tulusam kasutada alast möödasõidu esimest meetodit, uudishimulikud lugejad, muide, saavad ümbersõidu järjekorda muuta ja pindalasid arvutada teisel viisil. Kui te ei eksi, siis loomulikult saadakse samad pindala väärtused.
Kuid mõnel juhul on teine viis piirkonnast mööda hiilimiseks tõhusam ja noore nohiku käigu lõpetuseks kaalume sellel teemal veel paari näidet:
Näide 11
Arvutage topeltintegraali abil joontega piiratud tasapinnalise kujundi pindala.
Lahendus: ootame kahte tuulega parabooli, mis nende küljel lebavad. Pole vaja naeratada, sageli kohtab sarnaseid asju mitmes integraalis.
Kuidas on kõige lihtsam joonistada?
Esitame parabooli kahe funktsioonina:
- ülemine haru ja - alumine haru.
Samamoodi kujutame parabooli ülemise ja alumise haruna.
Joonise pindala arvutatakse topeltintegraali abil järgmise valemi järgi:
Mis juhtub, kui valime esimese võimaluse piirkonnast mööda minna? Esiteks tuleb see ala jagada kaheks osaks. Ja teiseks vaatleme seda kurba pilti: . Integraalid ei ole muidugi ülikeerulise tasemega, aga ... kehtib vana matemaatiline ütlus: kes on juurtega sõbralik, see ei vaja tasaarveldust.
Seetõttu väljendame tingimuses antud arusaamatusest pöördfunktsioonid:
Selle näite pöördfunktsioonide eeliseks on see, et need määravad kohe kogu parabooli ilma lehtede, tammetõrude, okste ja juurteta.
Teise meetodi kohaselt on ala läbimine järgmine:
Sellel viisil:
Nagu öeldakse, tunneta erinevust.
1) Tegeleme sisemise integraaliga:
Asendame tulemuse välimise integraaliga:
Muutuja "y" kohal integreerimine ei tohiks olla piinlik, kui seal oleks täht "zyu" - selle üle oleks suurepärane integreerida. Kuigi kes loeb tunni teist lõiku Kuidas arvutada pöördekeha ruumala, ta ei koge enam vähimatki piinlikkust integreerimisega "y" pärast.
Pöörake tähelepanu ka esimesele sammule: integrand on paaris ja integratsioonisegment on nulli suhtes sümmeetriline. Seetõttu saab segmenti poole võrra vähendada ja tulemust kahekordistada. Seda tehnikat kirjeldatakse tunnis üksikasjalikult. Tõhusad meetodid kindla integraali arvutamiseks.
Mida lisada…. Kõik!
Vastus:
Integreerimistehnika testimiseks võite proovida arvutada . Vastus peaks olema täpselt sama.
Näide 12
Arvutage topeltintegraali abil joontega piiratud tasapinnalise kujundi pindala
See on tee-seda-ise näide. Huvitav on märkida, et kui proovite kasutada esimest võimalust piirkonnast mööda minna, siis ei jagune kuju enam kaheks, vaid kolmeks osaks! Ja vastavalt saame kolm paari itereeritud integraale. Mõnikord juhtub.
Meistriklass on lõppenud ja on aeg liikuda edasi suurmeistri tasemele - Kuidas arvutada topeltintegraali? Lahendusnäited. Püüan teises artiklis mitte nii maniakaalne olla =)
Soovin teile edu!
Lahendused ja vastused:
Näide 2:Lahendus:
Joonistage ala joonisel:
Valime järgmise piirkonna läbimise järjekorra:
Sellel viisil:
Liigume edasi pöördfunktsioonide juurde:
Sellel viisil:
Vastus:
Näide 4:Lahendus:
Liigume edasi otseste funktsioonide juurde:
Teostame joonise:
Muudame ala läbimise järjekorda:
Vastus:
Piirkonna läbimise järjekord:
Sellel viisil:
1)
2)
Vastus:
Eelmises osas, mis oli pühendatud kindla integraali geomeetrilise tähenduse analüüsile, saime hulga valemeid kõverjoonelise trapetsi pindala arvutamiseks:
S (G) = ∫ a b f (x) d x pideva ja mittenegatiivse funktsiooni y = f (x) korral lõigul [ a ; b] ,
S (G) = - ∫ a b f (x) d x pideva ja mittepositiivse funktsiooni y = f (x) korral lõigul [ a ; b] .
Need valemid sobivad suhteliselt lihtsate ülesannete lahendamiseks. Tegelikult peame sageli töötama keerukamate kujunditega. Sellega seoses pühendame selle jaotise jooniste pindala arvutamise algoritmide analüüsile, mis on piiratud funktsioonidega selgesõnaliselt, st. nagu y = f(x) või x = g(y) .
TeoreemOlgu funktsioonid y = f 1 (x) ja y = f 2 (x) defineeritud ja pidevad lõigul [ a ; b ] ja f 1 (x) ≤ f 2 (x) mis tahes väärtuse x korral alates [ a ; b] . Siis näeb joontega x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) ja y \u003d f 2 (x) piiratud joonise G pindala arvutamise valem välja nagu S ( G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
Sarnast valemit saab kasutada joonise ala puhul, mis on piiratud joontega y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) ja x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Tõestus
Analüüsime kolme juhtumit, mille puhul valem kehtib.
Esimesel juhul, võttes arvesse pindala liiteomadust, on algse joonise G ja kõverjoonelise trapetsi G 1 pindalade summa võrdne joonise G 2 pindalaga. See tähendab et
Seetõttu S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x .
Viimase ülemineku saame teostada kindla integraali kolmanda omaduse abil.
Teisel juhul on võrdsus tõene: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Graafiline illustratsioon näeb välja selline:
Kui mõlemad funktsioonid on mittepositiivsed, saame: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . Graafiline illustratsioon näeb välja selline:
Liigume edasi üldjuhtumi käsitlemisele, kui y = f 1 (x) ja y = f 2 (x) lõikuvad teljega O x .
Lõikepunkte tähistame kui x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Need punktid katkestavad lõigu [ a ; b ] n osaks x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , kus α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Järelikult
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Viimase ülemineku saame teha kindla integraali viienda omaduse abil.
Illustreerime üldist juhtumit graafikul.
Valemit S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x võib lugeda tõestatuks.
Ja nüüd liigume edasi joontega y \u003d f (x) ja x \u003d g (y) piiratud kujundite pindala arvutamise näidete analüüsi juurde.
Võttes arvesse mõnda näidet, alustame graafiku koostamisega. Pilt võimaldab meil kujutada keerukaid kujundeid lihtsamate kujundite kombinatsioonidena. Kui teil on probleeme nendele graafikute ja jooniste joonistamisega, saate funktsiooni uurimise ajal uurida peamisi elementaarfunktsioone, funktsioonide graafikute geomeetrilist teisendust ja joonistamist.
Näide 1
On vaja kindlaks määrata joonise pindala, mida piiravad parabool y \u003d - x 2 + 6 x - 5 ja sirged y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4.
Lahendus
Joonistame jooned graafikule Descartes'i koordinaatsüsteemis.
Intervallil [ 1 ; 4] parabooli y = - x 2 + 6 x - 5 graafik asub sirge y = - 1 3 x - 1 2 kohal. Sellega seoses kasutame vastuse saamiseks varem saadud valemit, samuti kindla integraali arvutamise meetodit Newtoni-Leibnizi valemi abil:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Vastus: S (G) = 13
Vaatame keerukamat näidet.
Näide 2
On vaja arvutada joonise pindala, mis on piiratud joontega y = x + 2, y = x, x = 7.
Lahendus
Sel juhul on meil ainult üks sirge, mis on paralleelne x-teljega. See on x = 7. See eeldab, et peame ise leidma teise integratsioonipiiri.
Koostame graafiku ja paneme sellele ülesande tingimuses antud read.
Kui graafik on meie silme ees, saame hõlpsalt kindlaks teha, et integreerimise alumine piir on graafiku lõikepunkti abstsiss sirge y \u003d x ja poolparabooliga y \u003d x + 2. Abstsissi leidmiseks kasutame võrdusi:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G
Selgub, et lõikepunkti abstsiss on x = 2.
Juhime teie tähelepanu asjaolule, et joonise üldnäites ristuvad sirged y = x + 2, y = x punktis (2 ; 2) , mistõttu võivad sellised üksikasjalikud arvutused tunduda üleliigsed. Nii detailse lahenduse oleme siin pakkunud vaid seetõttu, et keerulisematel juhtudel ei pruugi lahendus nii ilmne olla. See tähendab, et sirgete lõikepunktide koordinaadid on parem alati analüütiliselt arvutada.
Intervallil [ 2 ; 7 ] funktsiooni y = x graafik asub funktsiooni y = x + 2 graafiku kohal. Pindala arvutamiseks kasutage valemit:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Vastus: S (G) = 59 6
Näide 3
On vaja arvutada joonise pindala, mis on piiratud funktsioonide y \u003d 1 x ja y \u003d - x 2 + 4 x - 2 graafikutega.
Lahendus
Joonistame graafikule jooned.
Määratleme integratsiooni piirid. Selleks määrame sirgete lõikepunktide koordinaadid, võrdsustades avaldised 1 x ja - x 2 + 4 x - 2 . Eeldusel, et x ei ole võrdne nulliga, muutub võrdus 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 võrdseks täisarvu koefitsientidega kolmanda astme võrrandiga - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 . Selliste võrrandite lahendamise algoritmi mälu saate värskendada, viidates jaotisele "Kuupvõrrandite lahendamine".
Selle võrrandi juur on x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Jagades avaldise - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 binoomarvuga x - 1, saame: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Ülejäänud juured leiame võrrandist x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3
Oleme leidnud intervalli x ∈ 1; 3 + 13 2 , kus G on suletud sinise joone kohal ja punase joone all. See aitab meil määrata kuju pindala:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Vastus: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Näide 4
On vaja arvutada joonise pindala, mis on piiratud kõverate y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 ja x-teljega.
Lahendus
Paneme kõik jooned graafikule. Funktsiooni y = - log 2 x + 1 graafiku saame graafikult y = log 2 x, kui asetame selle sümmeetriliselt ümber x-telje ja nihutame seda ühe ühiku võrra ülespoole. X-telje võrrand y \u003d 0.
Tähistame sirgete lõikepunktid.
Nagu jooniselt näha, ristuvad funktsioonide y \u003d x 3 ja y \u003d 0 graafikud punktis (0; 0) . Selle põhjuseks on asjaolu, et x \u003d 0 on võrrandi x 3 \u003d 0 ainus tegelik juur.
x = 2 on võrrandi - log 2 x + 1 = 0 ainus juur, seega funktsioonide y = - log 2 x + 1 ja y = 0 graafikud ristuvad punktis (2 ; 0) .
x = 1 on võrrandi x 3 = - log 2 x + 1 ainus juur. Sellega seoses ristuvad funktsioonide y \u003d x 3 ja y \u003d - log 2 x + 1 graafikud punktis (1; 1) . Viimane väide ei pruugi olla ilmne, kuid võrrandil x 3 \u003d - log 2 x + 1 ei saa olla rohkem kui üks juur, kuna funktsioon y \u003d x 3 kasvab rangelt ja funktsioon y \u003d - log 2 x + 1 väheneb rangelt.
Järgmine samm hõlmab mitut võimalust.
Valik number 1
Joonist G saame kujutada kahe abstsisstelje kohal paikneva kõverjoonelise trapetsi summana, millest esimene asub lõigul x ∈ 0 keskjoonest allpool; 1 ja teine on punase joone all lõigul x ∈ 1 ; 2. See tähendab, et pindala on võrdne S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Valik number 2
Joonist G saab esitada kahe kujundi erinevusena, millest esimene asub x-telje kohal ja sinise joone all lõigul x ∈ 0; 2 ja teine on punase ja sinise joone vahel lõigul x ∈ 1 ; 2. See võimaldab meil leida piirkonna järgmiselt:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
Sel juhul peate piirkonna leidmiseks kasutama valemit kujul S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Tegelikult saab kujundit piiravaid jooni esitada argumendi y funktsioonidena.
Lahendame võrrandid y = x 3 ja - log 2 x + 1 x suhtes:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Saame vajaliku ala:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Vastus: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Näide 5
On vaja arvutada joonise pindala, mis on piiratud joontega y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4.
Lahendus
Joonistage diagrammile joon punase joonega, mis on antud funktsiooniga y = x . Joonistage joon y = - 1 2 x + 4 sinisega ja joon y = 2 3 x - 3 mustaga.
Pange tähele ristumispunkte.
Leidke funktsioonide y = x ja y = - 1 2 x + 4 graafikute lõikepunktid:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i on võrrandi x 2 = 4 = 2 lahend, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 on võrrandi lahend ⇒ (4 ; 2) lõikepunkt i y = x ja y = - 1 2 x + 4
Leidke funktsioonide y = x ja y = 2 3 x - 3 graafikute lõikepunkt:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Kontrollige: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 on võrrandi ⇒ (9; 3) lahendus punkt ja lõikepunkt y = x ja y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 ei ole võrrandi lahendus
Leidke sirgete y = - 1 2 x + 4 ja y = 2 3 x - 3 lõikepunkt:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) lõikepunkt y = - 1 2 x + 4 ja y = 2 3 x - 3
Meetod number 1
Esitame soovitud kujundi pindala üksikute kujundite pindalade summana.
Siis on joonise pindala:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Meetod number 2
Algse joonise pindala võib esitada kahe ülejäänud joonise summana.
Seejärel lahendame joone võrrandi x jaoks ja alles pärast seda rakendame joonise pindala arvutamise valemit.
y = x ⇒ x = y 2 punane joon y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 must joon y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i
Seega on ala:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 a + 9 2 - - 2 a + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 a + 9 2 - y 2 p y = = ∫ 1 2 7 2 a - 7 2 d 2 + ∫ 3 3 2 a + 9 2 - y 2 y = = 7 4 a 2 - 7 4 a 1 2 + - y 3 3 + 3 a 2 4 + 9 2 a 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Nagu näete, väärtused ühtivad.
Vastus: S (G) = 11 3
Tulemused
Et leida joonise pindala, mis on piiratud antud joontega, peame joonistama tasapinnale jooned, leidma nende lõikepunktid ja rakendama ala leidmise valemit. Selles jaotises oleme vaadanud üle kõige levinumad ülesannete valikud.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
a)
Lahendus.
Otsuse esimene ja kõige olulisem hetk on joonise konstrueerimine.
Teeme joonise:
Võrrand y=0 määrab x-telje;
- x=-2 ja x=1 - sirge, paralleelne teljega OU;
- y \u003d x 2 +2 - parabool, mille harud on suunatud ülespoole, tipuga (0;2).
kommenteerida. Parabooli konstrueerimiseks piisab, kui leida selle lõikepunktid koordinaatide telgedega, s.t. panemine x=0 leidke ristmik teljega OU ja lahendades vastava ruutvõrrandi, leidke lõikekoht teljega Oh .
Parabooli tipu saab leida valemite abil:
Saate joonistada jooni ja punkthaaval.
Intervallil [-2;1] funktsiooni graafik y = x 2 +2 asub üle telje Ox , sellepärast:
Vastus: S \u003d 9 ruutühikut
Pärast ülesande täitmist on alati kasulik vaadata joonist ja aru saada, kas vastus vastab tõele. Sel juhul loendame "silma järgi" joonisel olevate lahtrite arvu - noh, umbes 9 kirjutatakse, see tundub olevat tõsi. On täiesti selge, et kui meil oleks näiteks vastus: 20 ruutühikut, siis ilmselgelt tehti kuskil viga - 20 lahtrit ei mahu ilmselgelt kõnealusele joonisele, kõige rohkem tosin. Kui vastus osutus eitavaks, siis oli ka ülesanne valesti lahendatud.
Mida teha, kui kõverjooneline trapets asub telje all Oh?
b) Arvutage joontega piiratud kujundi pindala y=-e x , x=1 ja koordinaatteljed.
Lahendus.
Teeme joonise.
Kui kõverjooneline trapets täiesti silla all Oh , siis selle pindala saab leida valemiga:
Vastus: S=(e-1) ruutühik" 1,72 ruutühik
Tähelepanu! Ärge ajage kahte tüüpi ülesandeid segamini:
1) Kui teil palutakse lahendada ainult kindel integraal ilma geomeetrilise tähenduseta, võib see olla negatiivne.
2) Kui teil palutakse leida figuuri pindala kindla integraali abil, siis on pindala alati positiivne! Seetõttu ilmub just vaadeldavas valemis miinus.
Praktikas asub kujund enamasti nii ülemisel kui alumisel pooltasandil.
koos) Leidke joontega piiratud tasapinnalise kujundi pindala y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.
Lahendus.
Kõigepealt peate tegema joonise. Üldiselt huvitab meid pindalaülesannetes joonise konstrueerimisel enim sirgete lõikepunktid. Leiame parabooli ja sirge lõikepunktid Seda saab teha kahel viisil. Esimene viis on analüütiline.
Lahendame võrrandi:
Seega integratsiooni alumine piir a=0 , integreerimise ülempiir b = 3 .
|
Ehitame etteantud sirged: 1. Parabool - tipp punktis (1;1); telje ristumiskoht Oh - punktid (0;0) ja (0;2). 2. Sirge - 2. ja 4. koordinaatnurga poolitaja. Ja nüüd Tähelepanu! Kui intervallil [ a;b] mingi pidev funktsioon f(x) suurem või võrdne mõne pideva funktsiooniga g(x), siis saab vastava joonise pindala leida valemiga: . Ja pole vahet, kus joonis asub - telje kohal või all, vaid oluline on, milline diagramm on KÕRGEM (teise diagrammi suhtes) ja kumb ALL. Vaadeldavas näites on ilmne, et lõigul asub parabool sirgest kõrgemal ja seetõttu tuleb sellest lahutada |
Joone on võimalik konstrueerida punkt-punkti haaval, samas kui lõimimise piirid selgitatakse välja justkui “iseenesest”. Sellegipoolest tuleb piiride leidmise analüütilist meetodit mõnikord siiski kasutada, kui näiteks graafik on piisavalt suur või keermestatud konstruktsioon ei toonud esile integreerimise piire (need võivad olla murdosalised või irratsionaalsed).
Soovitud figuuri piirab ülevalt parabool ja altpoolt sirgjoon.
Segmendil vastavalt vastavale valemile:
Vastus: S \u003d 4,5 ruutmeetrit
Igal kindlal integraalil (mis eksisteerib) on väga hea geomeetriline tähendus. Tunnis ütlesin, et kindel integraal on arv. Ja nüüd on aeg välja tuua veel üks kasulik fakt. Geomeetria seisukohalt on kindel integraal ALA.
See on, kindel integraal (kui see on olemas) vastab geomeetriliselt mõne kujundi pindalale. Vaatleme näiteks kindlat integraali . Integrand määrab tasapinnal teatud kõvera (soovi korral saab seda alati joonistada) ja kindel integraal ise on arvuliselt võrdne vastava kõverjoonelise trapetsi pindalaga.
Näide 1
See on tüüpiline ülesande avaldus. Otsuse esimene ja kõige olulisem hetk on joonise konstrueerimine. Pealegi tuleb joonis ehitada ÕIGE.
Plaani koostamisel soovitan järgmist järjekorda: esiteks parem on konstrueerida kõik read (kui neid on) ja ainult pärast- paraboolid, hüperboolid, muude funktsioonide graafikud. Funktsioonigraafikute koostamine on tulusam punkt punkti haaval, punktipõhise ehituse tehnika leiab võrdlusmaterjalist.
Sealt leiate ka materjali, mis on meie tunniga seoses väga kasulik - kuidas kiiresti parabooli ehitada.
Selle probleemi puhul võib lahendus välja näha selline.
Teeme joonise (pange tähele, et võrrand määrab telje):
Kurvilist trapetsi ma hauduma ei hakka, on ilmselge, mis alast siin jutt käib. Lahendus jätkub järgmiselt:
Segmendil paikneb funktsiooni graafik üle telje, sellepärast:
Vastus:
Kellel on raskusi kindla integraali arvutamise ja Newtoni-Leibnizi valemi rakendamisega, lugege loengut Kindel integraal. Lahendusnäited.
Pärast ülesande täitmist on alati kasulik vaadata joonist ja aru saada, kas vastus vastab tõele. Sel juhul loendame "silma järgi" joonisel olevate lahtrite arvu - noh, umbes 9 trükitakse, see näib olevat tõsi. On täiesti selge, et kui meil oleks, ütleme, vastus: 20 ruutühikut, siis ilmselgelt tehti kuskil viga - 20 lahtrit ilmselt ei mahu kõnealusele joonisele, kõige rohkem kümmekond. Kui vastus osutus eitavaks, siis oli ka ülesanne valesti lahendatud.
Näide 2
Arvutage joonise pindala, mis on piiratud joontega , ja teljega
See on tee-seda-ise näide. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.
Mida teha, kui kõverjooneline trapets asub telje all?
Näide 3
Arvutage joonise pindala, mis on piiratud joonte ja koordinaattelgedega.
Lahendus: teeme joonise:
Kui kõverjooneline trapets täiesti silla all, siis selle pindala saab leida valemiga:
Sel juhul:
Tähelepanu! Kahte tüüpi ülesandeid ei tohiks segi ajada:
1) Kui teil palutakse lahendada ainult kindel integraal ilma geomeetrilise tähenduseta, võib see olla negatiivne.
2) Kui teil palutakse leida figuuri pindala kindla integraali abil, siis on pindala alati positiivne! Seetõttu ilmub just vaadeldavas valemis miinus.
Praktikas paikneb joonis enamasti nii ülemisel kui alumisel pooltasandil ja seetõttu liigume lihtsamate kooliülesannete juurest edasi sisukamate näidete juurde.
Näide 4
Leidke tasapinnalise kujundi pindala, mis on piiratud joontega , .
Lahendus: kõigepealt peate tegema joonise. Üldiselt huvitab meid pindalaülesannetes joonise konstrueerimisel enim sirgete lõikepunktid. Leiame parabooli ja sirge lõikepunktid. Seda saab teha kahel viisil. Esimene viis on analüütiline. Lahendame võrrandi:
Seega integratsiooni alumine piir, integratsiooni ülempiir.
Võimalusel on parem seda meetodit mitte kasutada.
Punkthaaval on liine palju tulusam ja kiirem ehitada, samas kui integratsiooni piirid selgitatakse välja justkui “iseenesest”. Erinevate diagrammide punkt-punkti ehitustehnikat käsitletakse üksikasjalikult abis Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused. Sellegipoolest tuleb piiride leidmise analüütilist meetodit mõnikord siiski kasutada, kui näiteks graafik on piisavalt suur või keermestatud konstruktsioon ei toonud esile integreerimise piire (need võivad olla murdosalised või irratsionaalsed). Ja me kaalume ka sellist näidet.
Pöördume tagasi oma ülesande juurde: ratsionaalsem on kõigepealt konstrueerida sirge ja alles seejärel parabool. Teeme joonise:
Kordan, et punktkonstruktsiooniga selgitatakse integratsiooni piirid kõige sagedamini välja “automaatselt”.
Ja nüüd töövalem: Kui segmendil mingi pidev funktsioon suurem või võrdne mõnda pidevat funktsiooni, siis saab vastava joonise pindala leida valemiga:
Siin pole enam vaja mõelda, kus kujund asub - telje kohal või telje all ja jämedalt öeldes on oluline, milline diagramm on ÜLAL(teise graafiku suhtes), ja milline neist on ALL.
Vaadeldavas näites on ilmne, et lõigul asub parabool sirgest kõrgemal ja seetõttu tuleb sellest lahutada
Lahenduse valmimine võib välja näha järgmine:
Soovitud figuuri piirab ülevalt parabool ja altpoolt sirgjoon.
Vastus:
Tegelikult on alumise pooltasandi kõverjoonelise trapetsi pindala koolivalem (vt lihtsat näidet nr 3) valemi erijuhtum. Kuna telg on antud võrrandiga ja funktsiooni graafik asub telje all, siis
Ja nüüd paar näidet iseseisvaks lahenduseks
Näide 5
Näide 6
Leidke joontega ümbritsetud joonise pindala , .
Pindala arvutamise ülesannete lahendamise käigus teatud integraali abil juhtub mõnikord naljakas juhtum. Joonis tehti õigesti, arvutused olid õiged, kuid tähelepanematuse tõttu ... leidis vale kujundi ala, nõnda ajas su kuulekas sulane mitu korda sassi. Siin on tõsielu juhtum:
Näide 7
Arvutage joonise pindala, mis on piiratud joontega , , , .
Kõigepealt joonistame:
Joonis, mille ala peame leidma, on varjutatud sinisega.(vaadake hoolikalt seisukorda - kuidas figuur on piiratud!). Kuid praktikas juhtub tähelepanematuse tõttu sageli, et peate leidma roheliseks varjutatud figuuri ala!
See näide on kasulik ka selle poolest, et selles arvutatakse joonise pindala kahe kindla integraali abil. Tõesti:
1) Lõigul telje kohal on sirge graafik;
2) Telje kohal lõigul on hüperboolgraafik.
On üsna ilmne, et piirkondi saab (ja tuleks) lisada, seega:
Vastus:
Näide 8
Arvutage joontega piiratud kujundi pindala,
Esitame võrrandid "kooli" kujul ja teostame punkt-punkti joonise:
Jooniselt on näha, et meie ülempiir on “hea”: .
Aga mis on alumine piir? On selge, et see pole täisarv, aga mis? Võib olla ? Aga kus on garantii, et joonis on tehtud täiusliku täpsusega, see võib ka selguda. Või juur. Mis siis, kui me ei saanud graafikust üldse õiget?
Sellistel juhtudel tuleb kulutada lisaaega ja integreerimise piire analüütiliselt täpsustada.
Leiame sirge ja parabooli lõikepunktid.
Selleks lahendame võrrandi:
Järelikult,.
Edasine lahendus on triviaalne, peaasi, et asendustes ja märkides segadusse ei läheks, siin pole arvutused just kõige lihtsamad.
Segmendil vastavalt vastavale valemile:
Tunni kokkuvõttes käsitleme kahte ülesannet raskemaks.
Näide 9
Arvutage joonise pindala, mis on piiratud joontega , ,
Lahendus: joonistage see joonis joonisele.
Joonise punkthaaval ehitamiseks on vaja teada sinusoidi välimust (ja üldiselt on kasulik teada kõigi elementaarfunktsioonide graafikud), samuti mõned siinusväärtused, need leiate trigonomeetriline tabel. Mõnel juhul (nagu antud juhul) on lubatud konstrueerida skemaatiline joonis, millel tuleb põhimõtteliselt õigesti kuvada graafikud ja integreerimispiirid.
Integratsioonipiirangutega siin probleeme pole, need tulenevad otse tingimusest: - "x" muutub nullist "pi"-ks. Teeme järgmise otsuse:
Segmendil asub funktsiooni graafik telje kohal, seega:
(1) Tunnis on näha, kuidas siinused ja koosinused paarituteks astmeteks lõimitakse Trigonomeetriliste funktsioonide integraalid. See on tüüpiline tehnika, näpistame ära ühe siinuse.
(2) Kasutame vormis trigonomeetrilist põhiidentiteeti
(3) Muudame muutujat , siis:
Uued integratsiooni ümberjaotused:
Kes on asendustega tõesti halb, mine palun õppetundi Asendusmeetod määramata integraalis. Neile, kes pole kindlas integraalis asendusalgoritmiga väga selged, külastage lehte Kindel integraal. Lahendusnäited. Näide 5: Lahendus: nii:
Vastus:
Märge: pange tähele, kuidas võetakse kuubis oleva puutuja integraal, siin kasutatakse trigonomeetrilise põhiidentiteedi järeldust.
