Kummist käevõrud

Vieta teoreem. Kasutamise näited. Kuidas lahendada võrrandeid Vieta teoreemi abil matemaatikas Vieta võrrandi valem

Matemaatikas on spetsiaalsed nipid, millega paljud ruutvõrrandid lahendatakse väga kiiresti ja ilma igasuguste eristajateta. Veelgi enam, korraliku väljaõppe korral hakkavad paljud ruutvõrrandi lahendama verbaalselt, sõna otseses mõttes "ühe pilguga".

Kahjuks kaasaegses koolimatemaatika kursuses selliseid tehnoloogiaid peaaegu ei uurita. Ja sa pead teadma! Ja täna käsitleme ühte neist tehnikatest - Vieta teoreemi. Esiteks tutvustame uut määratlust.

Ruutvõrrandit kujul x 2 + bx + c = 0 nimetatakse taandatuks. Pange tähele, et koefitsient x 2 juures on võrdne 1-ga. Koefitsientidele pole muid piiranguid.

x 2 + 7x + 12 = 0 on taandatud ruutvõrrand;
x 2 − 5x + 6 = 0 on samuti taandatud;
2x 2 − 6x + 8 = 0 - aga seda ei anta üldse, kuna koefitsient x 2 juures on 2.

Muidugi saab taandada mistahes ruutvõrrandi kujul ax 2 + bx + c = 0 – piisab, kui jagada kõik koefitsiendid arvuga a . Seda saame alati teha, kuna ruutvõrrandi definitsioonist tuleneb, et a ≠ 0.

Tõsi, need teisendused ei ole alati juurte leidmisel kasulikud. Veidi madalamal veendume, et seda tuleks teha ainult siis, kui kõik koefitsiendid lõplikus ruutvõrrandis on täisarvud. Praegu vaatame mõnda lihtsat näidet:

Ülesanne. Teisenda ruutvõrrand redutseeritud:

3x2 − 12x + 18 = 0;

−4x2 + 32x + 16 = 0;

1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;

2x2 + 7x − 11 = 0.

Jagame iga võrrandi muutuja x 2 koefitsiendiga. Saame:

3x 2 - 12x + 18 \u003d 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 \u003d 0 - jagas kõik 3-ga;
−4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - jagatud −4-ga;
1,5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - jagades 1,5-ga, muutusid kõik koefitsiendid täisarvudeks;
2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3,5x - 5,5 \u003d 0 - jagatud 2-ga. Sel juhul tekkisid osakoefitsiendid.

Nagu näete, võivad antud ruutvõrrandid sisaldada täisarvu koefitsiente isegi siis, kui algne võrrand sisaldas murde.

Nüüd sõnastame peamise teoreemi, mille jaoks võeti tegelikult kasutusele taandatud ruutvõrrandi kontseptsioon:

Vieta teoreem. Vaatleme redutseeritud ruutvõrrandit kujul x 2 + bx + c \u003d 0. Oletame, et sellel võrrandil on reaaljuured x 1 ja x 2. Sel juhul on tõesed järgmised väited:

x1 + x2 = −b. Teisisõnu, antud ruutvõrrandi juurte summa on võrdne muutuja x koefitsiendiga, mis on võetud vastupidise märgiga;

x 1 x 2 = c. Ruutvõrrandi juurte korrutis on võrdne vaba koefitsiendiga.

Näited. Lihtsuse huvides võtame arvesse ainult antud ruutvõrrandeid, mis ei vaja täiendavaid teisendusi:

x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; juured: x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 \u003d -15; juured: x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; juured: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.

Vieta teoreem annab meile lisateavet ruutvõrrandi juurte kohta. Esmapilgul võib see tunduda keeruline, kuid isegi minimaalse treeninguga õpid juuri "nägema" ja sõna otseses mõttes ära arvama mõne sekundiga.

Ülesanne. Lahenda ruutvõrrand:

x2 − 9x + 14 = 0;

x 2 - 12x + 27 = 0;

3x2 + 33x + 30 = 0;

−7x2 + 77x −210 = 0.

Proovime Vieta teoreemi järgi koefitsiendid kirja panna ja "arvame ära" juured:

x 2 − 9x + 14 = 0 on taandatud ruutvõrrand.
Vieta teoreemi järgi on meil: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. On lihtne näha, et juurteks on arvud 2 ja 7;
x 2 − 12x + 27 = 0 vähendatakse samuti.
Vieta teoreemi järgi: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Siit ka juured: 3 ja 9;
3x 2 + 33x + 30 = 0 – seda võrrandit ei vähendata. Kuid parandame selle nüüd, jagades võrrandi mõlemad pooled koefitsiendiga a \u003d 3. Saame: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
Lahendame Vieta teoreemi järgi: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ juured: −10 ja −1;
−7x 2 + 77x − 210 \u003d 0 - jällegi ei ole koefitsient x 2 juures 1, s.o. võrrand pole antud. Jagame kõik arvuga a = −7. Saame: x 2 - 11x + 30 = 0.
Vieta teoreemi järgi: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; nendest võrranditest on lihtne ära arvata juured: 5 ja 6.

Eeltoodud arutlusest on näha, kuidas Vieta teoreem lihtsustab ruutvõrrandite lahendamist. Ei mingeid keerulisi arvutusi, aritmeetilisi juuri ja murde. Ja isegi diskrimineerijat (vt õppetundi " Ruutvõrrandite lahendamine") me ei vajanud.

Loomulikult lähtusime kõigis oma mõtisklustes kahest olulisest eeldusest, mis reaalsete probleemide puhul üldiselt ei täitu:

Ruutvõrrand taandatakse, s.o. koefitsient x 2 juures on 1;
Võrrandil on kaks erinevat juurt. Algebra seisukohalt on antud juhul diskriminant D > 0 – tegelikult eeldame esialgu, et see ebavõrdsus on tõene.

Kuid tüüpiliste matemaatiliste ülesannete puhul on need tingimused täidetud. Kui arvutuste tulemuseks on "halb" ruutvõrrand (koefitsient x 2 juures erineb 1-st), on seda lihtne parandada - vaadake näiteid õppetunni alguses. Ma üldiselt vaikin juurtest: mis ülesanne see selline on, millele vastust pole? Muidugi on juured.

Seega on Vieta teoreemi järgi ruutvõrrandite lahendamise üldine skeem järgmine:

Taandage ruutvõrrand antud võrrandiks, kui seda pole ülesande tingimuses juba tehtud;
Kui ülaltoodud ruutvõrrandi koefitsiendid osutusid murdosadeks, lahendame diskriminandi kaudu. Võite isegi minna tagasi algse võrrandi juurde, et töötada "mugavamate" numbritega;
Täisarvuliste kordajate puhul lahendame võrrandi Vieta teoreemi abil;
Kui mõne sekundi jooksul ei olnud võimalik juuri ära arvata, hindame Vieta teoreemi ja lahendame diskriminandi kaudu.

Ülesanne. Lahendage võrrand: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Niisiis, meil on võrrand, mida ei taandata, sest koefitsient a \u003d 5. Jagage kõik 5-ga, saame: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Kõik ruutvõrrandi koefitsiendid on täisarvud – proovime seda lahendada Vieta teoreemi abil. Meil on: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. Sel juhul on juured kergesti äraarvatavad – need on 2 ja 5. Te ei pea lugema läbi diskriminandi.

Ülesanne. Lahendage võrrand: -5x 2 + 8x - 2,4 = 0.

Vaatame: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 - seda võrrandit ei redutseerita, jagame mõlemad pooled koefitsiendiga a = −5. Saame: x 2 - 1,6x + 0,48 \u003d 0 - võrrandi murdosakoefitsientidega.

Parem on pöörduda tagasi algse võrrandi juurde ja lugeda läbi diskriminandi: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2 ; x 2 \u003d 0,4.

Ülesanne. Lahendage võrrand: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Alustuseks jagame kõik koefitsiendiga a \u003d 2. Saame võrrandi x 2 + 5x - 300 \u003d 0.

See on taandatud võrrand, Vieta teoreemi järgi on meil: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 \u003d -300. Ruutvõrrandi juuri on antud juhul raske ära arvata – isiklikult "külmusin" tõsiselt ära, kui seda ülesannet lahendasin.

Peame otsima juuri diskriminandi kaudu: D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 . Kui te ei mäleta diskriminandi juurt, märgin lihtsalt, et 1225: 25 = 49. Seega 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 .

Nüüd, kui diskriminandi juur on teada, pole võrrandi lahendamine keeruline. Saame: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

Koolialgebra kursusel teist järku võrrandite lahendamise viise uurides arvestage saadud juurte omadustega. Nüüd tuntakse neid Vieta teoreemidena. Selle kasutamise näited on toodud käesolevas artiklis.

Ruutvõrrand

Teist järku võrrand on võrdsus, mis on näidatud alloleval fotol.

Siin on sümbolid a, b, c mõned arvud, mida nimetatakse vaadeldava võrrandi koefitsientideks. Võrdsuse lahendamiseks peate leidma x väärtust, mis muudavad selle tõeseks.

Pange tähele, et kuna x tõstetava võimsuse maksimaalne väärtus on kaks, siis on ka juurte arv üldjuhul kaks.

Seda tüüpi võrdõiguslikkuse lahendamiseks on mitu võimalust. Käesolevas artiklis käsitleme ühte neist, mis hõlmab niinimetatud Vieta teoreemi kasutamist.

Vieta teoreemi väide

Kuulus matemaatik Francois Viet (prantslane) märkas 16. sajandi lõpus erinevate ruutvõrrandite juurte omadusi analüüsides, et nende teatud kombinatsioonid rahuldavad konkreetseid seoseid. Eelkõige on need kombinatsioonid nende korrutis ja summa.

Vieta teoreem kehtestab järgmise: ruutvõrrandi juured annavad summeerimisel vastupidise märgiga võetud lineaar- ja ruutkordajate suhte ning nende korrutamisel saadakse vaba liikme ja ruutkordaja suhte. .

Kui võrrandi üldvorm on kirjutatud nii, nagu see on näidatud artikli eelmises jaotises oleval fotol, siis matemaatiliselt saab selle teoreemi kirjutada kahe võrdusena:

r 2 + r 1 \u003d -b/a;
r 1 x r 2 \u003d c / a.

Kus r 1 , r 2 on vaadeldava võrrandi juurte väärtus.

Neid kahte võrdsust saab kasutada mitmete väga erinevate matemaatikaülesannete lahendamiseks. Vieta teoreemi kasutamine näidetes koos lahendusega on toodud artikli järgmistes osades.

Ruutvõrrandi juurte ja kordajate vahel on lisaks juurvalemitele ka muid kasulikke seoseid, mis on antud Vieta teoreem. Selles artiklis esitame ruutvõrrandi Vieta teoreemi sõnastuse ja tõestuse. Järgmisena käsitleme teoreemi, mis on vastupidine Vieta teoreemile. Pärast seda analüüsime kõige iseloomulikumate näidete lahendusi. Lõpuks kirjutame üles Vieta valemid, mis määratlevad seose tegelike juurte vahel algebraline võrrand aste n ja selle koefitsiendid.

Leheküljel navigeerimine.

Vieta teoreem, sõnastus, tõestus

Ruutvõrrandi a x 2 +b x+c=0 vormi juurte valemitest, kus D=b 2 −4 a c, seosed x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Need tulemused on kinnitatud Vieta teoreem:

Teoreem.

Kui a x 1 ja x 2 on ruutvõrrandi a x 2 +b x+c=0 juured, siis võrdub juurte summa vastasmärgiga koefitsientide b ja a suhtega ja korrutisega juur võrdub koefitsientide c ja a suhtega, see tähendab .

Tõestus.

Tõestame Vieta teoreemi järgmise skeemi järgi: koostame ruutvõrrandi juurte summa ja korrutise teadaolevate juurvalemite abil, seejärel teisendame saadud avaldised ja veendume, et need on võrdsed −b /a ja c/a vastavalt.

Alustame juurte summast, koostame selle. Nüüd viime murrud ühise nimetaja juurde, meil on. Saadud murru lugejas , mille järel : . Lõpuks, pärast 2, saame . See tõestab Vieta teoreemi esimest seost ruutvõrrandi juurte summa kohta. Liigume teise juurde.

Koostame ruutvõrrandi juurte korrutise:. Murdude korrutamise reegli järgi võib viimase korrutise kirjutada kujul. Nüüd korrutame sulu lugejas oleva suuga, kuid seda toodet on kiirem ahendada ruutude erinevuse valem, Nii et. Seejärel, pidades meeles, teostame järgmise ülemineku. Ja kuna valem D=b 2 −4 a·c vastab ruutvõrrandi diskriminandile, siis saab b 2 −4·a·c asendada D asemel viimaseks murruks, saame . Pärast sulgude avamist ja sarnaste terminite vähendamist jõuame murduni ja selle vähendamine 4·a võrra annab . See tõestab Vieta teoreemi teist seost juurte korrutise kohta.

Kui jätame seletused välja, on Vieta teoreemi tõestus kokkuvõtlik:
,
.

Jääb vaid märkida, et kui diskriminant on võrdne nulliga, on ruutvõrrandil üks juur. Kui aga eeldada, et võrrandil on sel juhul kaks identset juurt, siis kehtivad ka Vieta teoreemi võrrandid. Tõepoolest, kui D=0 ruutvõrrandi juur on , siis ja , ning kuna D=0, st b 2 −4 a c=0 , kust b 2 =4 a c , siis .

Praktikas kasutatakse Vieta teoreemi kõige sagedamini seoses taandatud ruutvõrrandiga (kõrgeima koefitsiendiga a on 1) kujul x 2 +p·x+q=0 . Mõnikord on see formuleeritud just seda tüüpi ruutvõrranditele, mis ei piira üldistust, kuna iga ruutvõrrandi saab asendada samaväärse võrrandiga, jagades selle mõlemad osad nullist erineva arvuga a. Siin on Vieta teoreemi vastav sõnastus:

Teoreem.

Redutseeritud ruutvõrrandi juurte summa x 2 + p x + q \u003d 0 on võrdne koefitsiendiga punktis x, mis on võetud vastupidise märgiga, ja juurte korrutis on vaba liige, see tähendab x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 = q.

Teoreem on Vieta teoreemi pöördvõrdeline

Vieta teoreemi teine sõnastus, mis on toodud eelmises lõigus, näitab, et kui x 1 ja x 2 on taandatud ruutvõrrandi x 2 +p x+q=0 juured, siis seosed x 1 +x 2 = − p , x 1 x 2 = q. Seevastu kirjutatud seostest x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q järeldub, et x 1 ja x 2 on ruutvõrrandi x 2 +p x+q=0 juured. Teisisõnu, väide, mis on vastupidine Vieta teoreemile, on tõene. Sõnastame selle teoreemi kujul ja tõestame.

Teoreem.

Kui arvud x 1 ja x 2 on sellised, et x 1 +x 2 =−p ja x 1 x 2 =q, siis on x 1 ja x 2 taandatud ruutvõrrandi x 2 +p x+q=0 juured. .

Tõestus.

Pärast koefitsientide p ja q asendamist nende avaldises võrrandis x 2 +p x+q=0 läbi x 1 ja x 2 teisendatakse see samaväärseks võrrandiks.

Asendame saadud võrrandis x asemel arvu x 1, meil on võrdsus x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, mis iga x 1 ja x 2 korral on õige arvuline võrdus 0=0, kuna x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Seetõttu on x 1 võrrandi juur x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, mis tähendab, et x 1 on ekvivalentvõrrandi x 2 +p x+q=0 juur.

Kui võrrandis x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 asenda x asemel arv x 2, siis saame võrdsuse x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. See on õige võrrand, sest x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Seetõttu on x 2 ka võrrandi juur x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, ja seega võrrandid x 2 +p x+q=0 .

See lõpetab Vieta teoreemile vastupidise teoreemi tõestamise.

Näiteid Vieta teoreemi kasutamisest

On aeg rääkida Vieta teoreemi ja selle pöördteoreemi praktilisest rakendamisest. Selles alapeatükis analüüsime mitmete kõige tüüpilisemate näidete lahendusi.

Alustuseks rakendame Vieta teoreemile vastupidise teoreemi. Selle abil on mugav kontrollida, kas antud kaks arvu on antud ruutvõrrandi juured. Sel juhul arvutatakse nende summa ja vahe, misjärel kontrollitakse seoste kehtivust. Kui mõlemad seosed on täidetud, siis Vieta teoreemile vastupidise teoreemi alusel järeldatakse, et need arvud on võrrandi juured. Kui vähemalt üks seostest ei ole täidetud, ei ole need arvud ruutvõrrandi juured. Seda lähenemist saab kasutada ruutvõrrandite lahendamisel leitud juurte kontrollimiseks.

Näide.

Milline arvupaaridest 1) x 1 =−5, x 2 =3 või 2) või 3) on ruutvõrrandi 4 x 2 −16 x+9=0 juurte paar?

Lahendus.

Antud ruutvõrrandi 4 x 2 −16 x+9=0 koefitsiendid on a=4 , b=−16 , c=9 . Vieta teoreemi järgi peab ruutvõrrandi juurte summa olema võrdne −b/a, see tähendab 16/4=4 ja juurte korrutis peab olema võrdne c/a, see tähendab 9 /4.

Nüüd arvutame kõigis kolmes antud paaris olevate arvude summa ja korrutise ning võrdleme neid äsja saadud väärtustega.

Esimesel juhul on meil x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Saadud väärtus erineb 4-st, seetõttu ei saa täiendavat kontrollimist läbi viia, kuid teoreemi, Vieta teoreemi pöördväärtuse põhjal saame kohe järeldada, et esimene arvupaar ei ole antud ruutvõrrandi juurte paar. .

Liigume edasi teise juhtumi juurde. Siin on esimene tingimus täidetud. Kontrollime teist tingimust: , saadud väärtus erineb 9/4-st. Seetõttu ei ole teine arvupaar ruutvõrrandi juurte paar.

Jääb viimane juhtum. Siin ja . Mõlemad tingimused on täidetud, seega on need arvud x 1 ja x 2 antud ruutvõrrandi juurteks.

Vastus:

Teoreemi, Vieta teoreemi vastupidist, saab praktikas kasutada ruutvõrrandi juurte valimiseks. Tavaliselt valitakse antud ruutvõrrandi täisarvuliste koefitsientidega täisjuured, kuna muudel juhtudel on seda üsna raske teha. Samal ajal kasutavad nad seda, et kui kahe arvu summa on võrdne ruutvõrrandi teise koefitsiendiga, mis on võetud miinusmärgiga, ja nende arvude korrutis on võrdne vaba liikmega, siis on need arvud selle ruutvõrrandi juured. Käsitleme seda näitega.

Võtame ruutvõrrandi x 2 −5 x+6=0 . Et arvud x 1 ja x 2 oleksid selle võrrandi juured, peavad olema täidetud kaks võrdsust x 1 +x 2 \u003d 5 ja x 1 x 2 \u003d 6. Jääb üle valida sellised numbrid. Sel juhul on seda üsna lihtne teha: sellised arvud on 2 ja 3, kuna 2+3=5 ja 2 3=6 . Seega on 2 ja 3 selle ruutvõrrandi juured.

Vieta teoreemile vastupidine teoreem on eriti mugav redutseeritud ruutvõrrandi teise juure leidmiseks, kui üks juurtest on juba teada või ilmne. Sel juhul leitakse mis tahes seostest teine juur.

Näiteks võtame ruutvõrrandi 512 x 2 −509 x−3=0 . Siin on lihtne näha, et ühik on võrrandi juur, kuna selle ruutvõrrandi kordajate summa on null. Seega x 1 = 1. Teise juure x 2 võib leida näiteks seosest x 1 x 2 =c/a. Meil on 1 x 2 = −3/512 , kust x 2 = −3/512 . Seega oleme defineerinud ruutvõrrandi mõlemad juured: 1 ja −3/512.

On selge, et juurte valik on otstarbekas ainult kõige lihtsamatel juhtudel. Muudel juhtudel saab juurte leidmiseks rakendada ruutvõrrandi juurte valemeid läbi diskriminandi.

Teine teoreemi praktiline rakendus, Vieta teoreemi pöördväärtus, on ruutvõrrandite koostamine antud juurte x 1 ja x 2 jaoks. Selleks piisab, kui arvutada juurte summa, mis annab antud ruutvõrrandi vastasmärgiga kordaja x, ja juurte korrutis, mis annab vaba liikme.

Näide.

Kirjutage ruutvõrrand, mille juurteks on arvud −11 ja 23.

Lahendus.

Tähistame x 1 =−11 ja x 2 =23 . Arvutame nende arvude summa ja korrutise: x 1 + x 2 \u003d 12 ja x 1 x 2 \u003d −253. Seetõttu on need arvud antud ruutvõrrandi juurteks teise koefitsiendiga -12 ja vaba liikmega -253. See tähendab, et x 2 −12·x−253=0 on soovitud võrrand.

Vastus:

x 2 −12 x −253=0 .

Vieta teoreemi kasutatakse väga sageli ruutvõrrandite juurte märkidega seotud ülesannete lahendamisel. Kuidas on Vieta teoreem seotud taandatud ruutvõrrandi x 2 +p x+q=0 juurte märkidega? Siin on kaks asjakohast väidet:

Kui vaba liige q on positiivne arv ja ruutvõrrandil on reaaljuured, siis on need mõlemad positiivsed või mõlemad negatiivsed.
Kui vaba liige q on negatiivne arv ja kui ruutvõrrandil on reaaljuured, siis on nende märgid erinevad ehk teisisõnu üks juur on positiivne ja teine negatiivne.

Need väited tulenevad valemist x 1 x 2 =q, samuti positiivsete, negatiivsete ja erineva märgiga arvude korrutamise reeglitest. Mõelge nende rakendamise näidetele.

Näide.

R on positiivne. Diskriminandi valemi järgi leiame D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , avaldise r 2 väärtuse +8 on positiivne iga reaalse r korral, seega D>0 iga reaalse r korral. Seetõttu on algsel ruutvõrrandil parameetri r mis tahes tegelike väärtuste jaoks kaks juurt.

Nüüd uurime välja, millal on juurtel erinevad märgid. Kui juurte märgid on erinevad, siis on nende korrutis negatiivne ja Vieta teoreemi järgi on antud ruutvõrrandi juurte korrutis võrdne vaba liikmega. Seetõttu oleme huvitatud nendest r väärtustest, mille vaba liige r−1 on negatiivne. Seega, selleks, et leida meile huvi pakkuvad r väärtused, peame seda tegema lahendada lineaarne võrratus r-1<0 , откуда находим r<1 .

Vastus:

aadressil r<1 .

Vieta valemid

Eespool rääkisime Vieta ruutvõrrandi teoreemist ja analüüsisime selles väidetavaid seoseid. Kuid on valemeid, mis ühendavad mitte ainult ruutvõrrandite, vaid ka kuupvõrrandite, neljakordsete võrrandite ja üldiselt, algebralised võrrandid aste n. Neid nimetatakse Vieta valemid.

Kirjutame Vieta valemid vormi n astme algebralise võrrandi jaoks, eeldades, et sellel on n reaaljuurt x 1, x 2, ..., x n (nende hulgas võivad olla samad):

Hankige Vieta valemid võimaldavad polünoomifaktorisatsiooni teoreem, samuti võrdsete polünoomide määratlus kõigi neile vastavate koefitsientide võrdsuse kaudu. Seega on polünoom ja selle laienemine vormi lineaarseteks teguriteks võrdsed. Avades viimases korrutis olevad sulud ja võrdsustades vastavad koefitsiendid, saame Vieta valemid.

Täpsemalt, n=2 puhul oleme juba tuttavad Ruutvõrrandi Vieta valemid.

Kuupvõrrandi jaoks on Vieta valemitel vorm

Jääb üle vaid märkida, et Vieta valemite vasakul küljel on nn elementaar sümmeetrilised polünoomid.

Bibliograafia.

Algebra:õpik 8 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M. : Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovitš A.G. Algebra. 8. klass. Kell 14 1. osa. Õpik õppeasutuste õpilastele / A. G. Mordkovich. - 11. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Algebra ja matemaatilise analüüsi algus. 10. klass: õpik. üldhariduse jaoks institutsioonid: põhi- ja profiil. tasemed / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkatšova, N. E. Fedorova, M. I. Šabunin]; toim. A. B. Žižtšenko. - 3. väljaanne - M.: Valgustus, 2010.- 368 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Vieta teoreemi sõnastamine ja tõestamine ruutvõrrandite jaoks. Vieta pöördteoreem. Vieta teoreem kuupvõrrandite ja suvalise järjestusega võrrandite jaoks.

Sisu

Vaata ka: Ruutvõrrandi juured

Ruutvõrrandid

Vieta teoreem

Olgu ja tähistatakse taandatud ruutvõrrandi juuri
(1) .
Siis võrdub juurte summa vastupidise märgiga võetud koefitsiendiga. Juurte korrutis võrdub vaba terminiga:
;
.

Märkus mitme juure kohta

Kui võrrandi (1) diskriminant on null, on sellel võrrandil üks juur. Kuid selleks, et vältida tülikaid sõnastusi, on üldtunnustatud, et antud juhul on võrrandil (1) kaks mitmekordset või võrdset juurt:
.

Tõestus üks

Leiame võrrandi (1) juured. Selleks kasutage ruutvõrrandi juurte valemit:
;
;
.

Juurte summa leidmine:
.

Toote leidmiseks kasutame valemit:
.
Siis

.

Teoreem on tõestatud.

Tõestus kaks

Kui arvud ja on ruutvõrrandi (1) juured, siis
.
Avame sulgud.

.
Seega on võrrand (1) järgmisel kujul:
.
Võrreldes punktiga (1) leiame:
;
.

Teoreem on tõestatud.

Vieta pöördteoreem

Olgu suvalised arvud. Siis ja on ruutvõrrandi juured
,
kus
(2) ;
(3) .

Vieta pöördteoreemi tõestus

Mõelge ruutvõrrandile
(1) .
Peame tõestama, et kui ja , siis ja on võrrandi (1) juured.

Asendage (2) ja (3) punktiga (1):
.
Rühmitame võrrandi vasaku poole liikmed:
;
;
(4) .

Asendage punktis (4):
;
.

Asendage punktis (4):
;
.
Võrrand on täidetud. See tähendab, et arv on võrrandi (1) juur.

Teoreem on tõestatud.

Vieta teoreem täieliku ruutvõrrandi jaoks

Nüüd kaaluge täielikku ruutvõrrandit
(5) ,
kus , ja on mõned numbrid. Ja .

Jagame võrrandi (5) järgmisega:
.
See tähendab, et oleme saanud ülaltoodud võrrandi
,
kus; .

Siis on täieliku ruutvõrrandi Vieta teoreemil järgmine kuju.

Olgu ja tähistatakse täieliku ruutvõrrandi juuri
.
Seejärel määratakse juurte summa ja korrutis valemitega:
;
.

Vieta teoreem kuupvõrrandi jaoks

Samamoodi saame luua seoseid kuupvõrrandi juurte vahel. Mõelge kuupvõrrandile
(6) ,
kus , , , on mõned arvud. Ja .
Jagame selle võrrandi järgmisega:
(7) ,
kus , , .
Olgu , , võrrandi (7) (ja võrrandi (6)) juurteks. Siis

.

Võrreldes võrrandiga (7) leiame:
;
;
.

Vieta teoreem n-nda astme võrrandi jaoks

Samamoodi saab n-nda astme võrrandi jaoks leida seoseid juurte , , ... , , vahel
.

Vieta teoreem n-nda astme võrrandi jaoks on järgmisel kujul:
;
;
;

.

Nende valemite saamiseks kirjutame võrrandi järgmisel kujul:
.
Seejärel võrdsustame koefitsiendid punktis , , , ... ja võrdleme vaba liiget.

Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Matemaatika käsiraamat inseneridele ja kõrgkoolide üliõpilastele, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov jt, Algebra: õpik õppeasutuste 8. klassile, Moskva, Haridus, 2006.

Vaata ka:

Üks ruutvõrrandi lahendamise meetodeid on rakendus VIETA valemid, mis sai nime FRANCOIS VIETE järgi.

Ta oli kuulus advokaat ja teenis 16. sajandil Prantsuse kuninga juures. Vabal ajal õppis ta astronoomiat ja matemaatikat. Ta lõi ühenduse ruutvõrrandi juurte ja kordajate vahel.

Valemi eelised:

1 . Valemit rakendades leiate kiiresti lahenduse. Kuna teist kordajat ei pea ruutu sisestama, siis lahutage sellest 4ac, leidke diskriminant, asendage selle väärtus juurte leidmise valemis.

2 . Ilma lahenduseta saate määrata juurte tunnuseid, korjata juurte väärtusi.

3 . Olles lahendanud kahe plaadi süsteemi, pole juurte endi leidmine keeruline. Ülaltoodud ruutvõrrandis võrdub juurte summa teise miinusmärgiga koefitsiendi väärtusega. Juurte korrutis ülaltoodud ruutvõrrandis on võrdne kolmanda koefitsiendi väärtusega.

4 . Kirjutage etteantud juurte järgi ruutvõrrand ehk lahendage pöördülesanne. Näiteks kasutatakse seda meetodit teoreetilise mehaanika ülesannete lahendamisel.

5 . Valemit on mugav rakendada, kui juhtiv koefitsient on võrdne ühega.

Puudused:

1 . Valem ei ole universaalne.