Kummist käevõrud

Leidke võrgust ridadevaheline ala. Sirgetega y=f(x), x=g(y) piiratud joonise pindala leidmine. Lameda kõvera kaare pikkus

Olgu funktsioon mittenegatiivne ja pidev intervallil . Seejärel, vastavalt teatud integraali geomeetrilisele tähendusele, kõverjoonelise trapetsi pindala, mis on piiratud ülalt selle funktsiooni graafikuga, altpoolt teljega , vasakult ja paremalt sirgjoontega ja (vt joonis 2). ) arvutatakse valemiga

Näide 9 Leidke joonega piiratud kujundi pindala ja telg.

Lahendus. Funktsioonigraafik on parabool, mille oksad on suunatud allapoole. Ehitame selle (joonis 3). Integreerimise piiride määramiseks leiame sirge (parabooli) lõikepunktid teljega (sirge). Selleks lahendame võrrandisüsteemi

Saame: , kus , ; Järelikult, ,.

Riis. 3

Joonise pindala leitakse valemiga (5):

Kui funktsioon on segmendil mittepositiivne ja pidev, siis on kõverjoonelise trapetsi pindala, mis on altpoolt piiratud selle funktsiooni graafikuga, ülalt teljega, vasakult ja paremalt sirgjoontega ja , arvutatakse valemiga

. (6)

Kui funktsioon on lõigul pidev ja muudab märki lõplikul arvul punktidel, siis on varjutatud joonise pindala (joonis 4) võrdne vastavate kindlate integraalide algebralise summaga:

Riis. neli

Näide 10 Arvutage joonise pindala, mis on piiratud funktsiooni telje ja graafikuga.

Riis. 5

Lahendus. Teeme joonise (joon. 5). Soovitud pindala on alade summa ja . Leiame kõik need valdkonnad. Esiteks määrame süsteemi lahendamise kaudu integratsiooni piirid Saame , . Järelikult:

;

Seega on varjutatud joonise pindala

(ruutühikut).

Riis. 6

Olgu lõpuks, kõverjooneline trapets on ülalt ja alt piiratud segmendi pidevate funktsioonide graafikutega ja ,
ja vasakul ja paremal - sirge ja (joonis 6). Seejärel arvutatakse selle pindala valemiga

. (8)

Näide 11. Leidke joonise ala, mis on ümbritsetud joontega ja .

Lahendus. See joonis on näidatud joonisel fig. 7. Arvutame selle pindala valemi (8) abil. Lahendades võrrandisüsteemi leiame , ; Järelikult, ,. Segmendis on meil: . Seetõttu võtame valemis (8) kui x, ja nagu - . Saame:

(ruutühikut).

Keerulisemad pindalade arvutamise ülesanded lahendatakse, jagades joonise mittelõikuvateks osadeks ja arvutades kogu joonise pindala nende osade pindalade summana.

Riis. 7

Näide 12. Leidke joonise pindala, mis on piiratud joontega , , .

Lahendus. Teeme joonise (joon. 8). Seda kujundit võib pidada kõverjooneliseks trapetsiks, mis on altpoolt piiratud teljega, vasakult ja paremalt - sirgjoontega ning ülalt - funktsioonide ja graafikutega. Kuna joonist piiravad ülalt kahe funktsiooni graafikud, siis selle pindala arvutamiseks jagame selle sirge kujundi kaheks osaks (1 on sirgete ja lõikepunkti abstsiss). Iga nende osade pindala leitakse valemiga (4):

(ruutühikud); (ruutühikut). Järelikult:

(ruutühikut).

Riis. kaheksa

X= j( juures)

Riis. 9

Kokkuvõtteks märgime, et kui kõverjoonelist trapetsi piiravad sirged ja , telg ja pidev kõveral (joonis 9), siis leitakse selle pindala valemiga

Revolutsiooni keha maht

Laske kõverjoonelisel trapetsil, mis on piiratud lõigul, teljel ja sirgjoontega pideva funktsiooni graafikuga, ja pöörleb ümber telje (joon. 10). Seejärel arvutatakse valemi abil saadud pöördekeha maht

. (9)

Näide 13 Arvutage keha ruumala, mis saadakse hüperbooli, sirgjoonte ja teljega piiratud kõverjoonelise trapetsi telje ümber pööramisel.

Lahendus. Teeme joonise (joon. 11).

Probleemi tingimusest tuleneb, et . Valemiga (9) saame

Riis. kümme

Riis. üksteist

Ümber telje pöörlemisel saadud keha ruumala OU kõverjooneline trapets, mis on piiratud sirgjoontega y = c ja y = d, telg OU ja segmendil pideva funktsiooni graafik (joonis 12), määratakse valemiga

. (10)

X= j( juures)

Riis. 12

Näide 14. Arvutage ümber telje pöörlemisel saadud keha ruumala OU kõverjooneline trapets, mis on piiratud joontega X 2 = 4juures, y= 4, x = 0 (joonis 13).

Lahendus. Vastavalt ülesande tingimusele leiame integreerimise piirid: , . Valemi (10) abil saame:

Riis. 13

Lameda kõvera kaare pikkus

Olgu võrrandiga antud kõver, kus , asetseb tasapinnal (joonis 14).

Riis. neliteist

Definitsioon. Kaare pikkus on piir, milleni sellesse kaaresse kantud polüliini pikkus kaldub, kui polüliini lülide arv kaldub lõpmatuseni, ja suurima lüli pikkus kipub nullini.

Kui funktsioon ja selle tuletis on lõigul pidevad, siis arvutatakse kõvera kaare pikkus valemiga

. (11)

Näide 15. Arvutage nende punktide vahele jääva kõvera kaare pikkus, mille jaoks .

Lahendus. Probleemi olukorrast, mis meil on . Valemi (11) abil saame:

4. Valed integraalid
lõpmatute integratsioonipiirangutega

Kindla integraali kontseptsiooni juurutamisel eeldati, et on täidetud kaks järgmist tingimust:

a) integratsiooni piirid a ja on lõplikud;

b) integrand on piiratud lõiguga .

Kui vähemalt üks neist tingimustest ei ole täidetud, kutsutakse integraal sobimatu.

Vaatleme esmalt ebaõigeid integraale, millel on lõpmatu integratsioonipiir.

Definitsioon. Olgu siis funktsioon defineeritud ja pidev intervallil ja paremal piiramata (joon. 15).

Kui vale integraal koondub, on see ala lõplik; kui vale integraal lahkneb, on see ala lõpmatu.

Riis. viisteist

Lõpmatu integratsiooni alampiiriga ebaõige integraal defineeritakse sarnaselt:

. (13)

See integraal läheneb, kui võrdsuse (13) paremal poolel olev piir on olemas ja on lõplik; vastasel juhul öeldakse, et integraal on lahknev.

Kahe lõpmatu integratsioonipiiranguga vale integraal defineeritakse järgmiselt:

, (14)

kus с on intervalli mis tahes punkt. Integraal koondub ainult siis, kui mõlemad integraalid koonduvad võrdsuse (14) paremal poolel.

;

G) = [vali nimetajas täisruut: ] = [asendamine:

] =

Seega vale integraal läheneb ja selle väärtus on võrdne .

Sisestage funktsioon, mille integraali soovite leida

Kalkulaator pakub kindlate integraalide DETAILNE lahendust.

See kalkulaator lahendab funktsiooni f(x) kindla integraali antud ülemise ja alumise piiriga.

Näited

Kraadi kasutamisega
(ruut ja kuubik) ja murrud

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Ruutjuur

ruut(x)/(x + 1)

kuupjuur

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Siinuse ja koosinuse kasutamine

2*sin(x)*cos(x)

Arcsine

X*artsin(x)

Kaarkoosinus

x*arccos(x)

Logaritmi rakendamine

X*log(x, 10)

naturaallogaritm

Eksponent

Tg(x)*sin(x)

Kotangent

Ctg(x)*cos(x)

Irratsionaalsed murded

(ruut(x) – 1)/ruut(x^2 – x – 1)

Arktangent

X*arctg(x)

Kaare puutuja

X*arсctg(x)

Hüberboolne siinus ja koosinus

2*sh(x)*ch(x)

Hüberboolne puutuja ja kotangent

ctgh(x)/tgh(x)

Hüberboolne arkosiin ja arkosiin

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Hüberboolne arkotangens ja arkotangens

X^2*arctgh(x)*arctgh(x)

Avaldiste ja funktsioonide sisestamise reeglid

Avaldised võivad koosneda funktsioonidest (tähistused on esitatud tähestikulises järjekorras): absoluutne (x) Absoluutne väärtus x
(moodul x või |x|) arccos (x) Funktsioon - kaarekoosinus x arccosh(x) Kaarkoosinus hüperboolne alates x arcsin(x) Arcsine alates x arcsinh(x) Arksiin hüperboolne alates x arctg(x) Funktsioon – kaartangens alates x arctgh(x) Kaartangens on hüperboolne alates x e e arv, mis on ligikaudu võrdne 2,7-ga exp (x) Funktsioon – astendaja alates x(mis on e^x) log(x) või log(x) naturaalne logaritm x
(Et saada log7(x), peate sisestama log(x)/log(7) (või näiteks for log10(x)=log(x)/log(10)) pi Arv on "Pi", mis on ligikaudu võrdne 3,14-ga sin(x) Funktsioon – siinus x cos(x) Funktsioon – koosinus x sinh(x) Funktsioon – hüperboolne siinus x sularaha (x) Funktsioon – hüperboolne koosinus x sqrt(x) Funktsioon on ruutjuur x sqr(x) või x^2 Funktsioon – ruut x tg(x) Funktsioon – puutuja alates x tgh(x) Funktsioon – hüperboolne puutuja x cbrt(x) Funktsioon on kuupjuur x

Avaldistes saate kasutada järgmisi toiminguid: Reaalarvud sisestage vormi 7.5 , mitte 7,5 2*x- korrutamine 3/x- jagunemine x^3- astendamine x + 7- lisamine x - 6- lahutamine
Teised omadused: korrus (x) Funktsioon – ümardamine x alla (näide korrus(4,5)==4,0) lagi (x) Funktsioon – ümardamine xüles (näide lagi(4,5)==5,0) märk (x) Funktsioon – märk x erf(x) Veafunktsioon (või tõenäosusintegraal) Laplace (x) Laplace'i funktsioon

Figuuri pindala arvutamine See on võib-olla üks piirkonnateooria kõige keerulisemaid probleeme. Kooligeomeetrias õpetatakse leidma geomeetriliste põhikujundite pindalasid nagu näiteks kolmnurk, romb, ristkülik, trapets, ring jne. Tihti tuleb aga tegeleda keerukamate kujundite pindalade arvutamisega. Just selliste ülesannete lahendamisel on väga mugav kasutada integraalarvutust.

Definitsioon.

Kurviline trapets kutsutakse mõni kujund G, mis on piiratud sirgetega y = f(x), y = 0, x = a ja x = b ning funktsioon f(x) on pidev lõigul [a; b] ja ei muuda sellel olevat märki (joonis 1). Kõverajoonelise trapetsi pindala võib tähistada tähega S(G).

Funktsiooni f(x) kindel integraal ʃ a b f(x)dx, mis on pidev ja mittenegatiivne lõigul [a; b] ja on vastava kõverjoonelise trapetsi pindala.

See tähendab, et joonise G pindala leidmiseks, mis on piiratud joontega y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a ja x \u003d b, on vaja arvutada kindel integraal ʃ a b f (x) dx.

Sellel viisil, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Kui funktsioon y = f(x) ei ole positiivne [a; b], siis saab kõverjoonelise trapetsi pindala leida valemiga S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Näide 1

Arvutage joonise pindala, mis on piiratud joontega y \u003d x 3; y = 1; x = 2.

Lahendus.

Antud jooned moodustavad joonise ABC, mida näidatakse viirutusega riis. 2.

Soovitud pindala on võrdne kõverjoonelise trapetsi DACE ja ruudu DABE pindalade vahega.

Kasutades valemit S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), leiame integratsiooni piirid. Selleks lahendame kahe võrrandi süsteemi:

(y \u003d x 3,
(y = 1.

Seega on meil x 1 \u003d 1 - alumine piir ja x \u003d 2 - ülempiir.

Niisiis, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (ruutühikud).

Vastus: 11/4 ruutmeetrit. ühikut

Näide 2

Arvutage joonise pindala, mis on piiratud joontega y \u003d √x; y = 2; x = 9.

Lahendus.

Antud jooned moodustavad joonise ABC, mis on ülalt piiratud funktsiooni graafikuga

y \u003d √x ja altpoolt funktsiooni y \u003d 2 graafikut. Saadud joonist näidatakse viirutusega riis. 3.

Soovitud pindala on võrdne S = ʃ a b (√x - 2). Leiame integreerimise piirid: b = 9, a leidmiseks lahendame kahe võrrandi süsteemi:

(y = √x,
(y = 2.

Seega on x = 4 = a alumine piir.

Niisiis, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (ruutühikud).

Vastus: S = 2 2/3 ruutmeetrit. ühikut

Näide 3

Arvutage joonise pindala, mis on piiratud joontega y \u003d x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0.

Lahendus.

Joonistame funktsiooni y \u003d x 3 - 4x x ≥ 0 korral. Selleks leiame tuletise y ':

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0, kui х = ±2/√3 ≈ 1,1 on kriitilised punktid.

Kui joonistada kriitilised punktid reaalteljele ja asetada tuletise märgid, saame, et funktsioon väheneb nullist 2/√3 ja suureneb 2/√3 pluss lõpmatuseni. Siis x = 2/√3 on miinimumpunkt, funktsiooni y minimaalne väärtus on min = -16/(3√3) ≈ -3.

Määrame graafiku lõikepunktid koordinaattelgedega:

kui x \u003d 0, siis y \u003d 0, mis tähendab, et A (0; 0) on Oy telje lõikepunkt;

kui y \u003d 0, siis x 3 - 4x \u003d 0 või x (x 2 - 4) \u003d 0 või x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, kust x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (ei sobi, kuna x ≥ 0).

Punktid A(0; 0) ja B(2; 0) on graafiku lõikepunktid Ox-teljega.

Antud jooned moodustavad OAB joonise, mida näidatakse viirutusega riis. neli.

Kuna funktsioon y \u003d x 3 - 4x võtab (0; 2) negatiivse väärtuse, siis

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Meil on: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4, kust S = 4 ruutmeetrit. ühikut

Vastus: S = 4 ruutmeetrit. ühikut

Näide 4

Leidke joonise pindala, mida piiravad parabool y \u003d 2x 2 - 2x + 1, sirged x \u003d 0, y \u003d 0 ja selle parabooli puutuja punktis, mille abstsiss on x 0 \u003d 2.

Lahendus.

Esiteks koostame parabooli y \u003d 2x 2 - 2x + 1 puutuja võrrandi punktis, mille abstsiss on x₀ \u003d 2.

Kuna tuletis y' = 4x - 2, siis x 0 = 2 korral saame k = y'(2) = 6.

Leidke puutepunkti ordinaat: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Seetõttu on puutuja võrrandi vorm: y - 5 \u003d 6 (x - 2) või y \u003d 6x - 7.

Ehitame joontega piiratud joonise:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y = 6x - 7.

Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parabool. Lõikepunktid koordinaattelgedega: A(0; 1) - Oy teljega; Ox teljega - ristumispunkte pole, sest võrrandil 2x 2 - 2x + 1 = 0 pole lahendeid (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, see tähendab, et parabooli punkti B tipul on koordinaadid B (1/2; 1/2).

Niisiis, joonis, mille pindala määratakse, on näidatud viirutusega riis. 5.

Meil on: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.

Leidke punkti D koordinaadid tingimusest:

6x - 7 = 0, st. x \u003d 7/6, siis DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.

Leiame kolmnurga DBC pindala valemiga S ADBC = 1/2 · DC · BC. Sellel viisil,

S ADBC = 1/2 5/6 5 = 25/12 ruutmeetrit. ühikut

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (ruutühikud).

Lõpuks saame: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC \u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (ruutühikud).

Vastus: S = 1 1/4 ruutmeetrit. ühikut

Vaatasime näiteid üle etteantud joontega piiratud kujundite pindalade leidmine. Selliste ülesannete edukaks lahendamiseks peate suutma ehitada tasapinnal sirgeid ja funktsioonide graafikuid, leida sirgete lõikepunkte, rakendada pindala leidmiseks valemit, mis eeldab teatud integraalide arvutamise oskust ja oskusi.

saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.

Lahendus.

Otsuse esimene ja kõige olulisem hetk on joonise konstrueerimine.

Teeme joonise:

Võrrand y=0 määrab x-telje;

- x=-2 ja x=1 - sirge, paralleelne teljega OU;

- y \u003d x 2 +2 - parabool, mille harud on suunatud ülespoole, tipuga (0;2).

kommenteerida. Parabooli konstrueerimiseks piisab, kui leida selle lõikepunktid koordinaatide telgedega, s.t. panemine x=0 leidke ristmik teljega OU ja lahendades vastava ruutvõrrandi, leidke lõikekoht teljega Oh .

Parabooli tipu saab leida valemite abil:

Saate joonistada jooni ja punkthaaval.

Intervallil [-2;1] funktsiooni graafik y = x 2 +2 asub üle telje Ox , sellepärast:

Vastus: S \u003d 9 ruutühikut

Pärast ülesande täitmist on alati kasulik vaadata joonist ja aru saada, kas vastus vastab tõele. Sel juhul loendame "silma järgi" joonisel olevate lahtrite arvu - noh, umbes 9 kirjutatakse, see tundub olevat tõsi. On täiesti selge, et kui meil oleks näiteks vastus: 20 ruutühikut, siis ilmselgelt tehti kuskil viga - 20 lahtrit ei mahu ilmselgelt kõnealusele joonisele, kõige rohkem tosin. Kui vastus osutus eitavaks, siis oli ka ülesanne valesti lahendatud.

Mida teha, kui kõverjooneline trapets asub telje all Oh?

b) Arvutage joontega piiratud kujundi pindala y=-e x , x=1 ja koordinaatteljed.

Lahendus.

Teeme joonise.

Kui kõverjooneline trapets täiesti silla all Oh , siis selle pindala saab leida valemiga:

Vastus: S=(e-1) ruutühik" 1,72 ruutühik

Tähelepanu! Ärge ajage kahte tüüpi ülesandeid segamini:

1) Kui teil palutakse lahendada ainult kindel integraal ilma geomeetrilise tähenduseta, võib see olla negatiivne.

2) Kui teil palutakse leida figuuri pindala kindla integraali abil, siis on pindala alati positiivne! Seetõttu ilmub just vaadeldavas valemis miinus.

Praktikas asub kujund enamasti nii ülemisel kui alumisel pooltasandil.

koos) Leidke joontega piiratud tasapinnalise kujundi pindala y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Lahendus.

Kõigepealt peate tegema joonise. Üldiselt huvitab meid pindalaülesannetes joonise konstrueerimisel enim sirgete lõikepunktid. Leiame parabooli ja sirge lõikepunktid Seda saab teha kahel viisil. Esimene viis on analüütiline.

Lahendame võrrandi:

Seega integratsiooni alumine piir a=0 , integreerimise ülempiir b = 3 .

Ehitame etteantud sirged: 1. Parabool - tipp punktis (1;1); telje ristumiskoht Oh - punktid (0;0) ja (0;2). 2. Sirge - 2. ja 4. koordinaatnurga poolitaja. Ja nüüd Tähelepanu! Kui intervallil [ a;b] mingi pidev funktsioon f(x) suurem või võrdne mõne pideva funktsiooniga g(x), siis saab vastava joonise pindala leida valemiga: .

Ja pole vahet, kus joonis asub - telje kohal või all, vaid oluline on, milline diagramm on KÕRGEM (teise diagrammi suhtes) ja kumb ALL. Vaadeldavas näites on ilmne, et lõigul asub parabool sirgest kõrgemal ja seetõttu tuleb sellest lahutada

Joone on võimalik konstrueerida punkt-punkti haaval, samas kui lõimimise piirid selgitatakse välja justkui “iseenesest”. Sellegipoolest tuleb piiride leidmise analüütilist meetodit mõnikord siiski kasutada, kui näiteks graafik on piisavalt suur või keermestatud konstruktsioon ei toonud esile integreerimise piire (need võivad olla murdosalised või irratsionaalsed).

Soovitud figuuri piirab ülevalt parabool ja altpoolt sirgjoon.

Segmendil vastavalt vastavale valemile:

Vastus: S \u003d 4,5 ruutmeetrit

Arvutage joontega piiratud kujundi pindala.

Lahendus.

Leiame antud sirgete lõikepunktid. Selleks lahendame võrrandisüsteemi:

Antud sirgete lõikepunktide abstsisside leidmiseks lahendame võrrandi:

Leiame: x 1 = -2, x 2 = 4.

Niisiis, need sirged, mis on parabool ja sirgjoon, ristuvad punktides A(-2; 0), B(4; 6).

Need jooned moodustavad suletud joonise, mille pindala arvutatakse ülaltoodud valemi abil:

Newtoni-Leibnizi valemi järgi leiame:

Leidke ellipsiga piiratud ala pindala.

Lahendus.

I kvadrandi ellipsi võrrandist saame . Siit saame valemi järgi

Rakendame asendust x = a patt t, dx = a cos t dt. Uued integratsiooni piirid t = α ja t = β määratakse võrranditest 0 = a patt t, a = a patt t. Saab panna α = 0 ja β = π /2.

Leiame nõutavast pinnast neljandiku

Siit S = pab.

Leidke joontega piiratud kujundi pindalay = - x 2 + x + 4 jay = - x + 1.

Lahendus.

Leidke sirgete lõikepunktid y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, võrdsustades joonte ordinaate: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 või x 2 - 2x- 3 = 0. Leia juured x 1 = -1, x 2 = 3 ja neile vastavad ordinaadid y 1 = 2, y 2 = -2.

Joonise pindala valemit kasutades saame

Leidke parabooliga ümbritsetud alay = x 2 + 1 ja otsenex + y = 3.

Lahendus.

Võrrandisüsteemi lahendamine

leida ristumispunktide abstsissid x 1 = -2 ja x 2 = 1.

Eeldusel y 2 = 3 - x ja y 1 = x 2 + 1, saadud valemi põhjal

Arvutage Bernoulli lemniskaadi pindalar 2 = a 2 cos 2 φ .

Lahendus.

Polaarkoordinaatide süsteemis on joonise pindala, mis on piiratud kõvera kaarega r = f(φ ) ja kaks polaarraadiust φ 1 = ʅ ja φ 2 = ʆ , väljendatakse integraaliga

Kõvera sümmeetria tõttu määrame kõigepealt ühe neljandiku soovitud pindalast

Seega on kogupindala S = a 2 .

Arvutage astroidi kaare pikkusx 2/3 + y 2/3 = a 2/3 .

Lahendus.

Kirjutame astroidi võrrandi kujule

(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .

Paneme x 1/3 = a 1/3 kulu t, y 1/3 = a 1/3 patt t.

Siit saame astroidi parameetrilised võrrandid

x = a cos 3 t, y = a patt 3 t, (*)

kus 0 ≤ t ≤ 2π .

Kõvera (*) sümmeetriat silmas pidades piisab, kui leida neljandiku kaare pikkusest L parameetri muutusele vastav t 0 kuni π /2.

Saame

dx = -3a cos 2 t patt t dt, dy = 3a patt 2 t cos t dt.

Siit leiame

Saadud avaldise integreerimine vahemikus 0 kuni π /2, saame

Siit L = 6a.

Leidke Archimedese spiraaliga piiratud alar = aφ ja kaks raadiusvektorit, mis vastavad polaarnurkadeleφ 1 jaφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Lahendus.

Kõveraga piiratud ala r = f(φ ) arvutatakse valemiga , kus α ja β - polaarnurga muutumise piirid.

Seega saame

(*)

Alates (*) järeldub, et ala, mis on piiratud polaartelje ja Archimedese spiraali esimese pöördega ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

Samamoodi leiame ala, mis on piiratud polaartelje ja Archimedese spiraali teise pöördega ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Nõutav pindala on võrdne nende alade erinevusega

Arvutage ümber telje pöörlemisel saadud keha ruumalaOx paraboolidega piiratud kujundy = x 2 jax = y 2 .

Lahendus.

Lahendame võrrandisüsteemi

ja saada x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, kust kõverate lõikepunktid O(0; 0), B(üksteist). Nagu jooniselt näha, on pöördekeha soovitud ruumala võrdne ümber telje pöörlemisel tekkinud kahe ruumala vahega Ox kõverjoonelised trapetsid OCBA ja ODBA:

Arvutage teljega piiratud pindalaOx ja sinusoidy = pattx segmentide kohta: a); b) .

Lahendus.

a) Lõigul funktsioon sin x säilitab märgi ja seega valemiga , eeldades y= patt x, leiame

b) Lõigul funktsioon sin x muudab märki. Ülesande õigeks lahendamiseks on vaja segment jagada kaheks ja [ π , 2π ], millest igaühes säilitab funktsioon oma märgi.

Vastavalt märkide reeglile on lõigul [ π , 2π ] ala on võetud miinusmärgiga.

Selle tulemusena on soovitud ala võrdne

Määrake ellipsi pöörlemisel saadud pinnaga piiratud keha ruumalaümber suurteljea .

Lahendus.

Arvestades, et ellips on sümmeetriline koordinaattelgede suhtes, piisab, kui leida ümber telje pöörlemisel tekkiva ruumala Ox ala OAB, võrdub ühe neljandikuga ellipsi pindalast ja kahekordistage tulemust.

Tähistagem läbi pöördekeha mahtu V x; siis on meil valemi põhjal , kus 0 ja a- punktide abstsissid B ja A. Ellipsi võrrandist leiame . Siit

Seega on nõutav maht võrdne . (Kui ellips pöörleb ümber väiketelje b, keha maht on )

Leidke paraboolidega piiratud alay 2 = 2 px jax 2 = 2 py .

Lahendus.

Esiteks leiame paraboolide lõikepunktide koordinaadid, et määrata integreerimisintervall. Algsed võrrandid teisendades saame ja . Võrdsustades need väärtused, saame või x 4 - 8lk 3 x = 0.

x 4 - 8lk 3 x = x(x 3 - 8lk 3) = x(x - 2lk)(x 2 + 2px + 4lk 2) = 0.