Kuidas lahendada võrrandeid neljanda astme näidetega. Neljanda astme võrrand. Neljanda astme bikvadraatvõrrandite lahendamine
Varsti pärast seda, kui Cardano avaldas kuupvõrrandi lahendamise meetodi, leidsid tema õpilased ja järgijad viise, kuidas neljanda astme üldvõrrandit kuupvõrrandiks taandada. Tutvustame lihtsaimat meetodit, mis kuulub L. Ferrarile.
Meetodi esitamisel peate kasutama järgmist elementaarset lemmat.
Lemma. Selleks, et ruuttrinoom oleks lineaarse binoomi ruut, on vajalik ja piisav, et selle diskriminant oleks võrdne nulliga.
Tõestus. Vajadus. Laske . Siis Piisavus. Laske siis
Esitatud meetodi idee on esitada võrrandi vasak pool kahe ruudu erinevusena. Siis saab selle lagundada kaheks teise astme teguriks ja võrrandi lahendamine toob kaasa kahe ruutvõrrandi lahendamise. Eesmärgi saavutamiseks kujutlege vasakut külge järgmiselt:
Siin on y abitundmatu, mis tuleb valida nii, et nurksulgudes olev avaldis osutuks lineaarse binoomi ruuduks. Lemma kohaselt on see tingimuse täitmiseks vajalik ja piisav
See tingimus on y suhtes kolmanda astme võrrand. Pärast sulgude avamist teisendatakse see vormiks
Laskma olla üks selle võrrandi juurtest. Siis on tingimus täidetud, nii et see kehtib
mõne k ja I korral. Algvõrrand võtab kuju
Võrdsustades kõik tegurid nulliga, leiame algse võrrandi neli juurt.
Teeme veel ühe märkuse. Olgu esimese teguri juured ja teise teguri juured. Seejärel, lisades need võrdsused, saame selle
Seega oleme saanud abikuupvõrrandi juure avaldise neljanda astme algvõrrandi juurte järgi.
Näide. Lahenda võrrand. Vastavalt ülalkirjeldatud meetodile teisendame vasaku külje:
Nüüd paneme. Pärast moodustisi saame võrrandi
On lihtne mõista, et üks selle võrrandi juurtest on arv . Asendades selle algse võrrandi teisendatud vasakpoolsesse külge, saame:
Võrdsustades tegurid nulliga, saame
Mis puudutab neljandast astmest kõrgemaid võrrandeid, siis olid teada mõned suhteliselt erilise kujuga võrrandite klassid, mis võimaldasid algebralisi lahendusi radikaalides, st aritmeetiliste toimingute tulemuste ja juure eraldamise toimingu kujul. Kuid katsed leida lahendusi viienda ja kõrgema astme üldvõrranditele ebaõnnestusid kuni lõpuks 19. sajandi alguseni. Ruffini ja Abel ei tõestanud, et sedalaadi lahendus neljandast astmest kõrgemate üldvõrrandite jaoks on võimatu. Lõpuks, aastal 1830, õnnestus geniaalsel prantsuse matemaatikul E. Galois'l leida vajalikud ja piisavad tingimused (mida on üsna raske kontrollida) lahustavuse jaoks radikaalides spetsiaalselt antud võrrand. Samal ajal lõi Galois ja kasutas permutatsioonirühmade teooriat, mis oli tema aja jaoks uus.
Üldjuhul tehakse neljanda astme võrrandi lahendamine kõrgemate astmete võrrandite lahendamise meetoditega, näiteks Ferrari meetodiga või Horneri skeemi abil. Kuid mõnel 4. astme võrrandil on lihtsam lahendus.
Neljanda astme võrrandeid on mitut tüüpi, mille lahendamise meetodeid õpite allpool:
- Bikvadraatvõrrand $ax^4+bx^2+c=0$;
- Pöördvõrrandid kujul $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$;
- Võrrandid kujul $ax^4+b=0$.
Neljanda astme bikvadraatvõrrandite lahendamine
Bikvadraatvõrrandid $ax^4+bx^2+c=0$ taandatakse ruutvõrranditeks, asendades muutuja $x^2$ uuega, näiteks $y$. Pärast asendamist lahendatakse uus saadud võrrand ja seejärel asendatakse leitud muutuja väärtus võrrandisse $x^2=y$. Lahenduse tulemuseks on võrrandi $x^2=y$ juured.
Näide 1
Lahendage võrrand $x(x-1)(x-2)(x-3)=24$:
Laiendame polünoomi sulgusid:
$(x^2-3x)(x^2-3x+2)=24$
Sel kujul saab selgeks, et saame uue muutujana valida avaldise $y=x^2-3x$, asendame selle:
$y\cdot (y+2)=24$
Nüüd lahendame kaks ruutvõrrandit $x^2-3x=-4$ ja $x^2-3x=-6$.
Esimese võrrandi juured on $x_1(1,2)=4;-1$, teisel pole lahendeid.
4. astme pöördvõrrandite lahendamine
Need võrrandid kujul $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ kordavad koos oma koefitsientidega madalamat järku terminite puhul kõrgema astmega polünoomide kordajaid. Sellise võrrandi lahendamiseks jagage see kõigepealt $x^2$-ga:
$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0|:x^2$
$ax^2+bx+c+\frac(b)(x) + \frac(a)(x^2)=0$
$a(x^2+\frac(1)(x^2))+b(x+\frac(1)(x)) + c=0$
Seejärel asenda $(x+\frac(1)(x))$ uue muutujaga, siis $(x^2+\frac(1)(x^2))=y^2-2$, pärast asendamist saame järgnev ruutvõrrand:
$a(y^2-2)+by+c=0$
Pärast seda otsime võrrandite $x+\frac(1)(x)=y_1$ ja $x+\frac(1)(x)=y_2$ juured.
Sarnast meetodit kasutatakse pöördvõrrandite lahendamiseks kujul $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$.
Näide 2
Lahendage võrrand:
$3x^4-2x^3-9x^2-4x+12=0$
See võrrand on pöördvõrrand kujul $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$. Seetõttu jagame kogu võrrandi $x^2$-ga:
$3x^2-2x-9 \cdot \frac(2 \cdot 2)(x)+3 \cdot (\frac(2)(x))^2=0$
$3(x^2+\frac(4)(x^2))-2(x+\frac(2)(x)-9=0$
Asendame avaldise $x+\frac(2)(x)$: $3(y^2-4)-2y-9=0$
Arvutame selle võrrandi juured, need on võrdsed $y_1=3$ ja $y_2=-\frac(7)(3)$.
Vastavalt sellele on nüüd vaja lahendada kaks võrrandit $x+\frac(2)(x)=3$ ja $x+\frac(2)(x)=-\frac(7)(3)$. Esimese võrrandi lahendus on $x_1=1, x_2=2$, teisel võrrandil pole juuri.
Seetõttu on algse võrrandi juurteks $x_1=1, x_2=2$.
Võrrandid kujul $ax^4+b=0$
Seda tüüpi võrrandi juured leitakse lühendatud korrutusvalemite abil.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
Kõigepealt peate valikumeetodi abil leidma ühe juure. Tavaliselt on see vaba termini jagaja. Sel juhul arvu jagajad 12 on ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Alustame nende asendamist ükshaaval:
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ arv 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ arv -1 ei ole polünoomi juur
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ arv 2 on polünoomi juur
Oleme leidnud polünoomi 1 juurtest. Polünoomi juur on 2, mis tähendab, et algne polünoom peab olema jagatav x - 2. Polünoomide jagamiseks kasutame Horneri skeemi:
| 2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
| 2 |
Algse polünoomi koefitsiendid kuvatakse ülemisel real. Meie leitud juur asetatakse teise rea esimesse lahtrisse 2. Teine rida sisaldab jagamisel saadud polünoomi koefitsiente. Neid loetakse järgmiselt:
| Teise rea teise lahtrisse kirjutame numbri 2, lihtsalt liigutades seda esimese rea vastavast lahtrist. | ||||||||||||
| 2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
| 2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
| 2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
| 2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
Viimane number on jaotuse ülejäänud osa. Kui see on 0, siis oleme kõik õigesti arvutanud.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2) (2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
Kuid see pole veel lõpp. Võite proovida polünoomi samal viisil laiendada 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.
Jälle otsime juurt vaba termini jagajate hulgast. Numbrijagajad -6 on ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ arv 1 ei ole polünoomi juur
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ arv -1 ei ole polünoomi juur
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ arv 2 ei ole polünoomi juur
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ arv -2 on polünoomi juur
Kirjutame leitud juure oma Horneri skeemi ja alustame tühjade lahtrite täitmist:
| Kolmanda rea teise lahtrisse kirjutame numbri 2, lihtsalt teisaldades selle teise rea vastavast lahtrist. | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
Seega arvestasime algse polünoomi:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2) (x + 2) (2x 2 + 5x - 3)
Polünoom 2x 2 + 5x - 3 saab ka faktoriseerida. Selleks saab lahendada ruutvõrrandi läbi diskriminandi või otsida arvu jagajate hulgast juurt -3. Ühel või teisel viisil jõuame järeldusele, et selle polünoomi juur on arv -3
| Neljanda rea teise lahtrisse kirjutame numbri 2, lihtsalt teisaldades selle kolmanda rea vastavast lahtrist. | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
Seega jagasime algse polünoomi lineaarseteks teguriteks.
Descartes-Euleri lahendus
Pärast asendust saame võrrandi järgmisel kujul (seda nimetatakse "mittetäielikuks"):
y 4 + lky 2 + qy + r = 0 .Juured y 1 , y 2 , y 3 , y 4 sellisest võrrandist on võrdsed ühega järgmistest avaldistest:
kus märgikombinatsioonid on valitud nii, et on täidetud järgmine seos:
,
ja z 1 , z 2 ja z 3 on kuupvõrrandi juured
Ferrari lahendus
Peamine artikkel: Ferrari meetod
Esitame neljanda astme võrrandi kujul:
Ax 4 + Bx 3 + Cx 2 + Dx + E = 0,Selle lahenduse võib leida järgmistest väljenditest:
kui β = 0, lahendab u 4 + α u 2 + γ = 0 ja asendus 
, leiame juured: . 
, (sobib iga ruutjuure märk) , (kolm keerulist juurt, millest üks sobib) 
Kaks ± s peavad olema sama märgiga, ± t - on sõltumatud. Kõigi juurte leidmiseks tuleb märgiga kombinatsioonide jaoks leida x ± s ,± t = +,+ +,− jaoks −,+ jaoks −,−. Topeltjuured ilmuvad kaks korda, kolmekordsed juured kolm korda ja kvaternaarsed juured neli korda. Juurte järjekord sõltub sellest, milline kuupjuur U valitud. Vaata ka
- Lihtsasti lahendatavad 4. astme võrrandite tüübid: bikvadraatvõrrand, neljanda astme pöördvõrrand
Kirjandus
- Korn G., Korn T. (1974) Matemaatika käsiraamat.
Lingid
- Ferrari otsus
Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.
Vaadake, mis on "neljanda astme võrrand" teistes sõnaraamatutes:
neljanda astme võrrand- - [L.G. Sumenko. Inglise-vene infotehnoloogia sõnaraamat. M.: Riigiettevõte TsNIIS, 2003.] Teemad infotehnoloogiaüldiselt EN kvartsvõrrand … Tehniline tõlkija juhend
Nelja juure ja kolme kriitilise punktiga 4. astme polünoomi graafik. Neljanda astme võrrand matemaatikas on algebraline võrrand kujul: Neljas aste for algebralised võrrandid on kõrgeim... ... Wikipedia
Võrrandit kujul: anxn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0 = 0 nimetatakse pöördvõrdeliseks, kui selle koefitsiendid sümmeetrilistes positsioonides on võrdsed, st kui an − k = ak, kui k = 0, 1, ..., n. Sisu 1 Neljanda astme võrrand ... Wikipedia
Milles tundmatu termin on neljanda astmeni. Täielik vene keeles kasutusele võetud võõrsõnade sõnastik. Popov M., 1907. BIKVADRAATVÕRD. bis, kaks korda ja quadratum, ruut. Võrrand, mille suurim aste ... ... Vene keele võõrsõnade sõnastik
Koos aritmeetikaga on arvude ja arvude kaudu suuruste teadus üldiselt. Uurimata ühegi kindla, konkreetse suuruse omadusi, uurivad need mõlemad teadused abstraktsete suuruste omadusi kui selliseid, sõltumata... ... entsüklopeediline sõnaraamat F. Brockhaus ja I.A. Efron
Rakenduslike teadmiste kogum, mis võimaldab lennuinseneridel õppida aerodünaamika, tugevusprobleemide, mootoriehituse ja lennuki lennudünaamika (st teooria) valdkonnas, et luua uus lennuk või täiustada... ... Collieri entsüklopeedia
Vanim matemaatiline tegevus oli loendamine. Konto oli vajalik kariloomade jälgimiseks ja kaubavahetuse läbiviimiseks. Mõned primitiivsed hõimud loendasid esemete arvu, sobitades neid erinevate kehaosadega, peamiselt... ... Collieri entsüklopeedia
Tehnoloogia ajalugu perioodide ja piirkondade kaupa: neoliitikumirevolutsioon Egiptuse iidne tehnoloogia Teadus ja tehnoloogia Vana-India teadus ja tehnoloogia iidne Hiina Tehnoloogiad Vana-Kreeka Tehnoloogiad Vana-Rooma Islamimaailma tehnoloogiad... ... Wikipedia
Võrrand on matemaatiline seos, mis väljendab kahe algebralise avaldise võrdsust. Kui võrdsus kehtib selles sisalduvate tundmatute mis tahes lubatud väärtuste kohta, nimetatakse seda identiteediks; näiteks vormi suhe ... ... Collieri entsüklopeedia
Abel Ruffini teoreem väidab, et üldvõrrand võimsus at ei ole radikaalides lahendatav. Sisukord 1 Üksikasjad... Vikipeedia
Võrrandite kasutamine on meie elus laialt levinud. Neid kasutatakse paljudes arvutustes, konstruktsioonide ehitamisel ja isegi spordis. Inimene kasutas võrrandeid iidsetel aegadel ja sellest ajast alates on nende kasutamine ainult suurenenud. Seda tüüpi võrrandite lahendusi saab läbi viia kõrgema astme võrrandite lahendamise üldise skeemi järgi. Seda tüüpi võrranditel on lahendused radikaalides tänu Ferrari meetodile, mis võimaldab taandada lahendid kuupvõrrandiks. Kuid enamikul juhtudel saate polünoomi faktoriseerimisega võrrandile kiiresti lahenduse leida.
Oletame, et meile antakse neljanda astme binoomvõrrand:
Faktoriseerime polünoomi:
Määrame esimese ruuttrinoomi juured:
Määrame teise trinoomi juured:
Selle tulemusena on algsel võrrandil neli keerulist juurt:
Kust saab Internetis 4. astme võrrandeid lahendada?
Võrrandi saate lahendada meie veebisaidil https://site. Tasuta veebilahendaja võimaldab teil mõne sekundiga lahendada mis tahes keerukusega võrguvõrrandid. Kõik, mida pead tegema, on lihtsalt sisestada oma andmed lahendajasse. Samuti saate vaadata videojuhiseid ja saada teada, kuidas võrrandit lahendada meie veebisaidil. Kui teil on küsimusi, võite neid küsida meie VKontakte grupis http://vk.com/pocketteacher. Liituge meie grupiga, aitame teid alati hea meelega.
