Kes tutvustas tuletist? Mis on tuletisfunktsiooni definitsioon ja tähendus? Funktsiooni tuletise geomeetriline tähendus punktis
Ülesanne B9 annab funktsiooni või tuletise graafiku, mille põhjal peate määrama ühe järgmistest suurustest:
- tuletise väärtus mingil hetkel x 0,
- Maksimaalsed või minimaalsed punktid (äärmuspunktid),
- Suurenevate ja kahanevate funktsioonide intervallid (monotoonsuse intervallid).
Selles ülesandes esitatud funktsioonid ja tuletised on alati pidevad, muutes lahenduse palju lihtsamaks. Vaatamata sellele, et ülesanne kuulub sektsiooni matemaatiline analüüs, on see isegi kõige nõrgemate õpilaste võimaluste piires, kuna siin pole vaja sügavaid teoreetilisi teadmisi.
Tuletise, ekstreemumipunktide ja monotoonsusintervallide väärtuse leidmiseks on lihtsad ja universaalsed algoritmid – neid kõiki käsitletakse allpool.
Loe ülesande B9 tingimused hoolikalt läbi, et vältida rumalaid vigu: vahel tuleb ette üsna pikki tekste, kuid olulisi tingimusi, mis mõjutavad lahenduse käiku, on vähe.
Tuletisväärtuse arvutamine. Kahe punkti meetod
Kui ülesandele on antud funktsiooni f(x) graaf, mis puutub seda graafikut mingis punktis x 0 ja selles punktis on vaja leida tuletise väärtus, rakendatakse järgmist algoritmi:
- Leidke puutujagraafikult kaks "adekvaatset" punkti: nende koordinaadid peavad olema täisarvud. Tähistame need punktid kui A (x 1 ; y 1) ja B (x 2 ; y 2). Kirjutage koordinaadid õigesti - see on lahenduse võtmepunkt ja iga siin tehtud viga viib vale vastuseni.
- Teades koordinaate, on lihtne arvutada argumendi Δx = x 2 − x 1 juurdekasvu ja funktsiooni Δy = y 2 − y 1 juurdekasvu.
- Lõpuks leiame tuletise D = Δy/Δx väärtuse. Teisisõnu, peate jagama funktsiooni juurdekasvu argumendi juurdekasvuga - ja see on vastus.
Märgime veel kord: punkte A ja B tuleb otsida just puutujalt, mitte aga funktsiooni f(x) graafikult, nagu sageli juhtub. Puutejoon peab tingimata sisaldama vähemalt kahte sellist punkti - vastasel juhul ei formuleerita ülesannet õigesti.
Vaatleme punkte A (-3; 2) ja B (-1; 6) ning leidke juurdekasvud:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
Leiame tuletise väärtuse: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Ülesanne. Joonisel on kujutatud funktsiooni y = f(x) graafik ja selle puutuja punktis, mille abstsiss on x 0. Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x 0 .
Vaatleme punkte A (0; 3) ja B (3; 0), leidke juurdekasvud:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
Nüüd leiame tuletise väärtuse: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Ülesanne. Joonisel on kujutatud funktsiooni y = f(x) graafik ja selle puutuja punktis, mille abstsiss on x 0. Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x 0 .
Mõelge punktidele A (0; 2) ja B (5; 2) ning leidke juurdekasv:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Jääb üle leida tuletise väärtus: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Viimasest näitest saame sõnastada reegli: kui puutuja on paralleelne OX-teljega, on funktsiooni tuletis puutepunktis null. Sel juhul ei pea te isegi midagi loendama – vaadake lihtsalt graafikut.
Maksimaalsete ja miinimumpunktide arvutamine
Mõnikord annab ülesanne B9 funktsiooni graafiku asemel tuletise graafiku ja nõuab funktsiooni maksimum- või miinimumpunkti leidmist. Selles olukorras on kahepunkti meetod kasutu, kuid on veel üks, veelgi lihtsam algoritm. Esiteks määratleme terminoloogia:
- Punkti x 0 nimetatakse funktsiooni f(x) maksimumpunktiks, kui selle punkti mõnes naabruses kehtib järgmine võrratus: f(x 0) ≥ f(x).
- Punkti x 0 nimetatakse funktsiooni f(x) miinimumpunktiks, kui selle punkti mõnes naabruses kehtib järgmine võrratus: f(x 0) ≤ f(x).
Tuletisgraafikul maksimaalse ja minimaalse punkti leidmiseks järgige lihtsalt neid samme:
- Joonistage tuletisgraafik ümber, eemaldades kogu mittevajaliku teabe. Nagu praktika näitab, segavad mittevajalikud andmed ainult otsust. Seetõttu märgime koordinaatide teljele tuletise nullid - ja kõik.
- Leia tuletise märgid nullidevahelistel intervallidel. Kui mingi punkti x 0 puhul on teada, et f'(x 0) ≠ 0, siis on võimalikud ainult kaks võimalust: f'(x 0) ≥ 0 või f'(x 0) ≤ 0. Tuletise märk on algse joonise järgi lihtne määrata: kui tuletisgraafik asub OX-telje kohal, siis f'(x) ≥ 0. Ja vastupidi, kui tuletisgraafik asub OX-telje all, siis f'(x) ≤ 0.
- Jällegi kontrollime tuletise nulle ja märke. Kui märk muutub miinusest plussiks, on miinimumpunkt. Ja vastupidi, kui tuletise märk muutub plussist miinusesse, on see maksimumpunkt. Loendamine toimub alati vasakult paremale.
See skeem töötab ainult pidevate funktsioonide puhul – ülesandes B9 teisi pole.
Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud intervallil [−5; 5]. Leia sellel lõigul funktsiooni f(x) miinimumpunkt.
Vabaneme ebavajalikust infost ja jätame ainult piirid [−5; 5] ja tuletise nullid x = −3 ja x = 2,5. Märkame ka märke:
Ilmselt muutub punktis x = −3 tuletise märk miinusest plussiks. See on miinimumpunkt.
Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud intervallil [−3; 7]. Leidke sellel lõigul funktsiooni f(x) maksimaalne punkt.
Joonistame graafiku ümber, jättes alles ainult piirid [−3; 7] ning tuletise x = −1,7 ja x = 5 nullid. Märgime saadud graafikule tuletise märgid. Meil on:
Ilmselgelt muutub punktis x = 5 tuletise märk plussist miinusesse – see on maksimumpunkt.
Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud intervallil [−6; 4]. Leia lõiku [−4 kuuluva funktsiooni f(x) maksimumpunktide arv; 3].
Ülesande tingimustest järeldub, et piisab, kui vaadelda ainult seda osa graafist, mis on piiratud lõiguga [−4; 3]. Seetõttu koostame uue graafiku, millele märgime ainult piirid [−4; 3] ja selle sees oleva tuletise nullid. Nimelt punktid x = −3,5 ja x = 2. Saame:
Sellel graafikul on ainult üks maksimumpunkt x = 2. Just selles punktis muutub tuletise märk plussist miinusesse.
Väike märkus mittetäisarvuliste koordinaatidega punktide kohta. Näiteks viimases ülesandes vaadeldi punkti x = −3,5, kuid sama eduga saame võtta x = −3,4. Kui probleem on õigesti koostatud, ei tohiks sellised muudatused vastust mõjutada, kuna punktid "ilma kindla elukohata" ei osale otseselt probleemi lahendamisel. Muidugi ei tööta see trikk täisarvuliste punktidega.
Suurenevate ja kahanevate funktsioonide intervallide leidmine
Sellise ülesande puhul, nagu ka maksimum- ja miinimumpunktid, tehakse ettepanek kasutada tuletisgraafikut, et leida alad, kus funktsioon ise suureneb või väheneb. Esiteks määratleme, mis on suurenemine ja kahanemine:
- Funktsioon f(x) kasvab lõigul, kui selle lõigu mis tahes kahe punkti x 1 ja x 2 puhul on tõene järgmine väide: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Teisisõnu, mida suurem on argumendi väärtus, seda suurem on funktsiooni väärtus.
- Funktsiooni f(x) nimetatakse lõigul kahanevaks, kui selle lõigu mis tahes kahe punkti x 1 ja x 2 puhul on tõene järgmine väide: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Need. Suurem argumendi väärtus vastab väiksemale funktsiooni väärtusele.
Sõnastame piisavad tingimused suurendamiseks ja kahanemiseks:
- Selleks, et pidev funktsioon f(x) suureneb lõigul , piisab, kui selle tuletis segmendi sees on positiivne, s.t. f’(x) ≥ 0.
- Selleks, et pidev funktsioon f(x) väheneks lõigul , piisab, kui selle tuletis segmendi sees on negatiivne, s.t. f’(x) ≤ 0.
Aktsepteerigem neid väiteid ilma tõenditeta. Nii saame suurenemise ja kahanemise intervallide leidmise skeemi, mis on paljuski sarnane äärmuspunktide arvutamise algoritmiga:
- Eemaldage kogu mittevajalik teave. Tuletise algses graafikus huvitavad meid eelkõige funktsiooni nullid, seega jätame alles need.
- Märgi tuletise märgid nullide vahele. Kui f’(x) ≥ 0, siis funktsioon suureneb ja kus f’(x) ≤ 0, siis see väheneb. Kui probleem seab muutujale x piirangud, märgime need täiendavalt uuele graafikule.
- Nüüd, kui me teame funktsiooni käitumist ja piiranguid, jääb üle arvutada ülesandes nõutav kogus.
Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud intervallil [−3; 7.5]. Leia funktsiooni f(x) vähenemise intervallid. Oma vastuses märkige nendes intervallides sisalduvate täisarvude summa.
Nagu ikka, joonistame graafiku ümber ja märgime piirid [−3; 7,5], samuti tuletise x = −1,5 ja x = 5,3 nullid. Seejärel märgime ära tuletise märgid. Meil on:
Kuna tuletis on intervallil (−1,5) negatiivne, on see kahaneva funktsiooni intervall. Jääb kokku liita kõik selles intervallis olevad täisarvud:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud intervallil [−10; 4]. Leia funktsiooni f(x) suurenemise intervallid. Oma vastuses märkige neist suurima pikkus.
Vabaneme ebavajalikust teabest. Jätame ainult piirid [−10; 4] ja tuletise nullid, mida seekord oli neli: x = −8, x = −6, x = −3 ja x = 2. Märgistame tuletise märgid ja saame järgmise pildi:
Meid huvitavad suureneva funktsiooni intervallid, s.o. selline, kus f’(x) ≥ 0. Graafikul on kaks sellist intervalli: (−8; −6) ja (−3; 2). Arvutame nende pikkused:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Kuna peame leidma intervallidest suurima pikkuse, siis kirjutame vastuseks üles väärtuse l 2 = 5.
Olgu funktsioon määratletud punktis ja mõnes selle naabruses. Anname argumendile sellise juurdekasvu, et punkt jääks funktsiooni määratluspiirkonda. Seejärel suurendatakse funktsiooni.
MÄÄRATLUS. Funktsiooni tuletis punktis nimetatakse selles punktis oleva funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiriks, at (kui see piir on olemas ja on lõplik), s.t.
Tähistage: ,,,.
Funktsiooni tuletis paremal (vasakul) asuvas punktis helistas
(kui see piir on olemas ja on lõplik).
Tähistatakse: , – tuletis paremal asuvas punktis,
, on tuletis vasakpoolses punktis.
Ilmselt on järgmine teoreem tõene.
TEOREEM. Funktsioonil on tuletis punktis siis ja ainult siis, kui selles punktis eksisteerivad paremal ja vasakul oleva funktsiooni tuletised ja on omavahel võrdsed. enamgi veel
Järgnev teoreem loob seose funktsiooni tuletise olemasolu punktis ja funktsiooni pidevuse vahel selles punktis.
TEOREEM (vajalik tingimus funktsiooni tuletise olemasoluks punktis). Kui funktsioonil on mingis punktis tuletis, siis funktsioon selles punktis on pidev.
TÕEND
Las see eksisteerib. Siis
,
kus on lõpmatult väike at.
Kommenteeri
funktsiooni tuletis ja tähistada
funktsiooni diferentseerimine .
GEOMEETRILINE JA FÜÜSIKALINE TÄHEND
1) Tuletise füüsiline tähendus. Kui funktsioon ja selle argumendid on füüsikalised kogused, siis tuletis on muutuja muutumise kiirus muutuja suhtes punktis. Näiteks kui on ajahetkel läbitud vahemaa, siis selle tuletis on kiirus ajahetkel. Kui on ajahetkel juhi ristlõiget läbiv elektrienergia hulk, siis on elektrihulga muutumise kiirus ajahetkel, s.o. voolutugevus ajahetkel.
2) Tuletise geomeetriline tähendus.
Olgu mõni kõver, punkt kõveral. 
Nimetatakse iga sirget, mis lõikub vähemalt kahte punkti sekant .
Punkti kõvera puutuja nimetatakse sekandi piirasendiks, kui punkt kaldub, liikudes mööda kõverat.
Definitsioonist on ilmne, et kui mingis punktis eksisteerib kõvera puutuja, siis on see ainus
Vaatleme kõverat (st funktsiooni graafikut). Olgu sellel punktis mittevertikaalne puutuja. Selle võrrand: (punkti läbiva ja nurgakoefitsiendiga sirge võrrand). 
Kalde määratluse järgi
kus on sirge kaldenurk telje suhtes.
Laskma olema kaldenurk sekant telje suhtes, kus. Kuna on puutuja, siis millal
Seega
Seega saime selle kätte – funktsiooni graafiku puutuja nurgategur punktis(funktsiooni tuletise geomeetriline tähendus punktis). Seetõttu saab punktis kõvera puutuja võrrandi kirjutada kujule
Kommenteeri . Nimetatakse sirgjoont, mis läbib punkti, mis on risti kõverale punktis tõmmatud puutujaga punkti kõvera suhtes normaalne . Kuna ristsirgete nurkkoefitsiendid on seotud seosega, on normaalvõrrand kõvera punktis kujul
, Kui.
Kui , siis on kõvera puutuja punktis kujul
ja normaalne.
TANGENT- JA NORMAALVÕRDED
Tangensi võrrand
Olgu funktsioon antud võrrandiga y=f(x), peate kirjutama võrrandi puutuja punktis x 0. Tuletise definitsioonist:
y/(x)=limΔ x→0Δ yΔ x
Δ y=f(x+Δ x)−f(x).
Võrrand puutuja funktsiooni graafikule: y=kx+b (k,b=konst). Tuletise geomeetrilisest tähendusest: f/(x 0)=tgα= k Sest x 0 ja f(x 0)∈ sirge, siis võrrand puutuja on kirjutatud järgmiselt: y−f(x 0)=f/(x 0)(x−x 0) või
y=f/(x 0)· x+f(x 0)−f/(x 0)· x 0.
Normaalvõrrand
Tavaline- on sellega risti puutuja(vt pilti). Selle põhjal:
tgβ= tg(2π−α)= ctgα=1 tgα=1 f/(x 0)
Sest normaalse kaldenurk on nurk β1, siis on meil:
tgβ1= tg(π−β)=− tgβ=−1 f/(x).
Punkt ( x 0,f(x 0))∈ normaalne, on võrrand järgmisel kujul:
y−f(x 0)=−1f/(x 0)(x−x 0).
TÕEND
Las see eksisteerib. Siis
,
kus on lõpmatult väike at.
Kuid see tähendab, et see on punktis pidev (vt pidevuse geomeetrilist määratlust). ∎
Kommenteeri . Funktsiooni pidevus punktis ei ole piisav tingimus selle funktsiooni tuletise olemasoluks punktis. Näiteks funktsioon on pidev, kuid sellel pole punktis tuletist. Tõesti,
ja seetõttu ei eksisteeri.
Ilmselgelt on vastavus mõnes komplektis defineeritud funktsioon. Nad kutsuvad teda funktsiooni tuletis ja tähistada
Funktsiooni tuletisfunktsiooni leidmise operatsiooni nimetatakse funktsiooni diferentseerimine .
Summa ja vahe tuletis
Olgu antud funktsioonid f(x) ja g(x), mille tuletised on meile teada. Näiteks võite võtta ülalpool käsitletud elementaarfunktsioonid. Seejärel leiate nende funktsioonide summa ja erinevuse tuletise:
(f + g)' = f ' + g'
(f - g)' = f ' - g'
Seega on kahe funktsiooni summa (erinevus) tuletis võrdne tuletiste summaga (erinevus). Tingimusi võib olla rohkem. Näiteks (f + g + h)’ = f’ + g’ + h’.
Rangelt võttes pole algebras "lahutamise" mõistet. On olemas mõiste "negatiivne element". Seetõttu saab erinevuse f − g ümber kirjutada summaks f + (−1) g ja siis jääb järele ainult üks valem - summa tuletis.
Artikli sisu
DERIVAAT– funktsiooni tuletis y = f(x), antud teatud intervalliga ( a, b) punktis x Seda intervalli nimetatakse piiriks, milleni funktsiooni juurdekasvu suhe kaldub f siinkohal argumendi vastavale juurdekasvule, kui argumendi juurdekasv kipub olema null.
Tuletis on tavaliselt tähistatud järgmiselt:
Laialdaselt kasutatakse ka muid nimetusi:
Vahetu kiirus.
Olgu punkt M liigub sirgjooneliselt. Kaugus s liikuv punkt, mis loetakse mingist algasendist M 0 , oleneb ajast t, st. s on aja funktsioon t: s= f(t). Lase mingil ajahetkel t liikuv punkt M oli eemal s algasendist M 0 ja mõnel järgmisel hetkel t+D t leidis end olukorrast M 1 - distantsil s+D s algsest positsioonist ( vaata pilti.).
Seega teatud aja jooksul D t vahemaa s muudetud summa D võrra s. Sel juhul ütlevad nad, et ajaintervalli D jooksul t suurusjärk s sai juurdekasvu D s.
Keskmine kiirus ei saa kõigil juhtudel täpselt iseloomustada punkti liikumiskiirust M teatud ajahetkel t. Kui näiteks keha intervalli D alguses t liikus väga kiiresti ja lõpus väga aeglaselt, siis ei suuda keskmine kiirus peegeldada punkti liikumise näidatud tunnuseid ja anda aimu selle tegelikust liikumise kiirusest hetkel t. Tegeliku kiiruse täpsemaks väljendamiseks keskmise kiiruse abil peate võtma lühema ajaperioodi D t. Kõige täielikumalt iseloomustab punkti liikumiskiirust hetkel t piir, milleni keskmine kiirus D-s kaldub t® 0. Seda piirangut nimetatakse praeguseks kiiruseks:
Seega nimetatakse liikumiskiirust antud hetkel tee juurdekasvu suhte D piiriks s aja juurdekasvuks D t, kui ajakasv kipub olema null. Sest
Tuletise geomeetriline tähendus. Funktsiooni graafiku puutuja.
Puutejoonte konstrueerimine on üks neist probleemidest, mis viis diferentsiaalarvutuse sünnini. Esimene avaldatud Leibnizi diferentsiaalarvutusega seotud töö kandis pealkirja Uus maksimumide ja miinimumide ning puutujate meetod, mille puhul ei ole takistuseks murd- ega irratsionaalsed suurused, ning selle jaoks spetsiaalne arvutus.
Olgu kõver funktsiooni graafik y =f(x) ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis ( cm. riis.).
Mingil väärtusel x funktsioon on oluline y =f(x). Need väärtused x Ja y kõvera punkt vastab M 0(x, y). Kui argument x anda juurdekasv D x, siis argumendi uus väärtus x+D x vastab uuele funktsiooni väärtusele y+ D y = f(x + D x). Kõvera vastav punkt on punkt M 1(x+D x,y+D y). Kui joonistad sekanti M 0M 1 ja tähistatud j-ga nurk, mille moodustab põik telje positiivse suunaga Ox, on jooniselt kohe selge, et .
Kui nüüd D x kipub nulli, siis punkt M 1 liigub mööda kõverat, lähenedes punktile M 0 ja nurk j muutub D-ga x. Kell Dx® 0 kaldub nurk j teatud piirini a ja punkti läbiv sirge M 0 ja x-telje positiivse suunaga komponent, nurk a, on soovitud puutuja. Selle kalle on:
Seega f´( x) = tga
need. tuletisväärtus f´( x) antud argumendi väärtuse jaoks x võrdub funktsiooni graafiku puutuja poolt moodustatud nurga puutujaga f(x) vastavas punktis M 0(x,y) positiivse telje suunaga Ox.
Funktsioonide eristatavus.
Definitsioon. Kui funktsioon y = f(x) on punktis tuletis x = x 0, siis on funktsioon selles punktis diferentseeritav.
Tuletist omava funktsiooni pidevus. Teoreem.
Kui funktsioon y = f(x) on mingil hetkel eristatav x = x 0, siis on see selles punktis pidev.
Seega ei saa funktsioonil olla tuletist katkestuspunktides. Vastupidine järeldus on vale, s.t. sellest, et mingil hetkel x = x 0 funktsioon y = f(x) on pidev, ei tähenda, et see on selles punktis diferentseeritav. Näiteks funktsioon y = |x| jätkuv kõigile x(–Ґ x x = 0 ei oma tuletist. Siinkohal pole graafikul puutujat. On parem- ja vasak puutuja, kuid need ei lange kokku.
Mõned teoreemid diferentseeruvate funktsioonide kohta. Teoreem tuletise juurtest (Rolle teoreem). Kui funktsioon f(x) on lõigul pidev [a,b], on selle segmendi kõigis sisemistes punktides ja otstes eristatav x = a Ja x = b läheb nulli ( f(a) = f(b) = 0), siis segmendi [ a,b] on vähemalt üks punkt x= Koos, a c b, milles tuletis fў( x) läheb nulli, st. fў( c) = 0.
Lõpliku juurdekasvu teoreem (Lagrange'i teoreem). Kui funktsioon f(x) on pidev intervallil [ a, b] ja on eristatav selle segmendi kõigis sisemistes punktides, seejärel segmendi sees [ a, b] on vähemalt üks punkt Koos, a c b see
f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).
Teoreem kahe funktsiooni juurdekasvu suhte kohta (Cauchy teoreem). Kui f(x) Ja g(x) – segmendil on kaks pidevat funktsiooni [a, b] ja diferentseeruvad selle segmendi kõigis sisemistes punktides ja gў( x) ei kao kuhugi selle segmendi sees, siis segmendi sees [ a, b] on selline punkt x = Koos, a c b see
Erinevate tellimuste tuletised.
Laske funktsioonil y =f(x) on mõnel intervallil diferentseeruv [ a, b]. Tuletisväärtused f ў( x), sõltuvad üldiselt x, st. tuletis f ў( x) on ka funktsioon x. Selle funktsiooni eristamisel saame funktsiooni nn teise tuletise f(x), mis on tähistatud f ўў ( x).
Tuletis n- funktsiooni järjekord f(x) nimetatakse tuletise (esimest järku) tuletiseks n- 1- th ja seda tähistatakse sümboliga y(n) = (y(n– 1))ў.
Erinevate tellimuste diferentsiaalid.
Funktsioonide diferentsiaal y = f(x), Kus x– sõltumatu muutuja, jah dy = f ў( x)dx, mõni funktsioon x, aga alates x sõltuda võib ainult esimene tegur f ў( x), teine tegur ( dx) on sõltumatu muutuja juurdekasv x ja see ei sõltu selle muutuja väärtusest. Sest dy on funktsioon alates x, siis saame määrata selle funktsiooni diferentsiaali. Funktsiooni diferentsiaali diferentsiaali nimetatakse selle funktsiooni teist diferentsiaaliks või teist järku diferentsiaaliks ja seda tähistatakse d 2y:
d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .
Diferentsiaal n- esimest järku nimetatakse diferentsiaali esimeseks diferentsiaaliks n- 1- järjekord:
d n a = d(dn–1y) = f(n)(x)dx(n).
Osaline tuletis.
Kui funktsioon ei sõltu mitte ühest, vaid mitmest argumendist x i(i varieerub vahemikus 1 kuni n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), siis võetakse diferentsiaalarvutuses kasutusele osatuletise mõiste, mis iseloomustab mitme muutuja funktsiooni muutumise kiirust, kui muutub näiteks ainult üks argument, x i. 1. järku osatuletis suhtes x i on defineeritud kui tavaline tuletis ja eeldatakse, et kõik argumendid v.a x i, hoidke püsivaid väärtusi. Osatuletiste puhul võetakse kasutusele tähistus
Sel viisil defineeritud 1. järku osatuletistel (samade argumentide funktsioonidena) võivad omakorda olla ka osatuletised, need on teist järku osatuletised jne. Selliseid erinevatest argumentidest võetud tuletisi nimetatakse segateks. Sama järku pidevad segatuletised ei sõltu diferentseerumisjärjekorrast ja on omavahel võrdsed.
Anna Chugainova
(\large\bf Funktsiooni tuletis)
Mõelge funktsioonile y=f(x), määratud intervallil (a, b). Lase x- intervalli mis tahes fikseeritud punkt (a, b), A Δx- suvaline arv, mille väärtus on x+Δx kuulub samuti intervalli (a, b). See number Δx nimetatakse argumendi juurdekasvuks.
Definitsioon. Funktsiooni juurdekasv y=f(x) punktis x, mis vastab argumendi juurdekasvule Δx, helistame numbrile
Δy = f(x+Δx) - f(x).
Me usume seda Δx ≠ 0. Mõelge antud fikseeritud punktile x funktsiooni juurdekasvu suhe selles punktis vastava argumendi juurdekasvuga Δx
Nimetame seda seost erinevussuhteks. Alates väärtusest x me loeme fikseerituks, on erinevuse suhe argumendi funktsioon Δx. See funktsioon on määratletud kõigi argumentide väärtuste jaoks Δx, mis kuulub punkti mõnda piisavalt väikesesse naabruskonda Δx=0, välja arvatud punkt ise Δx=0. Seega on meil õigus käsitleda küsimust määratud funktsiooni piiri olemasolust at Δx → 0.
Definitsioon. Funktsiooni tuletis y=f(x) antud kindlas punktis x nimetatakse piiriks at Δx → 0 erinevus suhe, see tähendab
Eeldusel, et see piirang on olemas.
Määramine. y'(x) või f'(x).
Tuletise geomeetriline tähendus: funktsiooni tuletis f(x) sel hetkel x võrdne telje vahelise nurga puutujaga Ox ja selle funktsiooni graafiku puutuja vastavas punktis:
f'(x 0) = \tgα.
Tuletise mehaaniline tähendus: Teekonna tuletis aja suhtes on võrdne punkti sirgjoonelise liikumise kiirusega:
Sirge puutuja võrrand y=f(x) punktis M 0 (x 0 ,y 0) võtab vormi
y-y 0 = f'(x 0) (x-x 0).
Kõvera normaal mingil hetkel on risti puutujaga samas punktis. Kui f′(x 0)≠ 0, siis joone normaalvõrrand y=f(x) punktis M 0 (x 0 ,y 0) on kirjutatud nii:
Funktsiooni diferentseeritavuse mõiste
Laske funktsioonil y=f(x) määratletud teatud ajavahemiku jooksul (a, b), x- mõni fikseeritud argumendi väärtus sellest intervallist, Δx- argumendi mis tahes juurdekasv, mis vastab argumendi väärtusele x+Δx ∈ (a, b).
Definitsioon. Funktsioon y=f(x) nimetatakse antud punktis diferentseeruvaks x, kui juurdekasv Δy seda funktsiooni punktis x, mis vastab argumendi juurdekasvule Δx, saab esitada kujul
Δy = A Δx + αΔx,
Kus A- mõni number, mis ei sõltu Δx, A α - argument funktsioon Δx, mis on lõpmatult väike Δx → 0.
Kuna kahe lõpmatult väikese funktsiooni korrutis αΔx on lõpmata vähe rohkem kõrge järjekord, kuidas Δx(3 lõpmatu väikese funktsiooni omadus), siis saame kirjutada:
Δy = A Δx +o(Δx).
Teoreem. Selleks, et funktsioon y=f(x) oli antud punktis eristatav x, on vajalik ja piisav, et sellel on selles punktis lõplik tuletis. Kus A=f′(x), see on
Δy = f′(x) Δx +o(Δx).
Tuletise leidmise operatsiooni nimetatakse tavaliselt diferentseerimiseks.
Teoreem. Kui funktsioon y=f(x) x, siis on see selles punktis pidev.
Kommenteeri. Funktsiooni järjepidevusest y=f(x) sel hetkel x, üldiselt ei järgne funktsiooni diferentseeritavust f(x) sel hetkel. Näiteks funktsioon y=|x|- pidev mingis punktis x=0, kuid sellel pole tuletist.
Diferentsiaalfunktsiooni mõiste
Definitsioon. Funktsioonide diferentsiaal y=f(x) nimetatakse selle funktsiooni tuletise ja sõltumatu muutuja juurdekasvu korrutist x:
dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.
Funktsiooni jaoks y=x saame dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, see on dx=Δx- sõltumatu muutuja diferentsiaal on võrdne selle muutuja juurdekasvuga.
Seega saame kirjutada
dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx
Diferentsiaal dy ja juurdekasv Δy funktsioonid y=f(x) sel hetkel x, mõlemad vastavad samale argumendi juurdekasvule Δx, üldiselt ei ole üksteisega võrdsed.
Diferentsiaali geomeetriline tähendus: funktsiooni diferentsiaal on võrdne selle funktsiooni graafiku puutuja ordinaadi juurdekasvuga argumendi suurendamisel Δx.
Eristamise reeglid
Teoreem. Kui iga funktsiooni u(x) Ja v(x) antud punktis diferentseeruv x, siis nende funktsioonide summa, vahe, korrutis ja jagatis (jagatis tingimusel, et v(x)≠ 0) on ka selles punktis diferentseeritavad ja valemid kehtivad:
Mõelge keerukale funktsioonile y=f(φ(x))≡ F(x), Kus y=f(u), u=φ(x). Sel juhul u helistas vahepealne argument, x - sõltumatu muutuja.
Teoreem. Kui y=f(u) Ja u=φ(x) on nende argumentide diferentseeruvad funktsioonid, siis kompleksfunktsiooni tuletis y=f(φ(x)) eksisteerib ja võrdub selle funktsiooni korrutisega vaheargumendi ja vaheargumendi tuletisega sõltumatu muutuja suhtes, s.o.
Kommenteeri. Kompleksfunktsiooni jaoks, mis on kolme funktsiooni superpositsioon y=F(f(φ(x))), on diferentseerimisreeglil vorm
y′ x = y′ u u′ v v′ x,
kus on funktsioonid v=φ(x), u=f(v) Ja y=F(u)- nende argumentide eristatavad funktsioonid.
Teoreem. Laske funktsioonil y=f(x) suureneb (või väheneb) ja on punkti mõnes naabruses pidev x 0. Lisaks olgu see funktsioon näidatud punktis diferentseeritav x 0 ja selle tuletis sellel hetkel f′(x 0) ≠ 0. Siis mõnes vastava punkti naabruses y 0 =f(x 0) pöördväärtus on defineeritud y=f(x) funktsiooni x=f -1 (y), ja näidatud pöördfunktsioon on vastavas punktis diferentseeritav y 0 =f(x 0) ja selle tuletise jaoks siinkohal y valem kehtib
Tuletisinstrumentide tabel
Esimese diferentsiaali kuju muutumatus
Vaatleme kompleksfunktsiooni diferentsiaali. Kui y=f(x), x=φ(t)- nende argumentide funktsioonid on diferentseeritavad, siis funktsiooni tuletis y=f(φ(t)) väljendatakse valemiga
y′t = y′xx′t.
A-prioor dy=y′ t dt, siis saame
dy = y't dt = y'x · x't dt = y'x (x't dt) = y'x dx,
dy = y′ x dx.
Niisiis, oleme tõestanud
Funktsiooni esimese diferentsiaali kuju muutumatuse omadus: nagu juhul, kui argument x on sõltumatu muutuja ja juhul, kui argument x ise on uue muutuja, diferentsiaali, diferentseeritav funktsioon dy funktsioonid y=f(x) on võrdne selle funktsiooni tuletisega, mis on korrutatud argumendi diferentsiaaliga dx.
Diferentsiaali rakendamine ligikaudsetes arvutustes
Oleme näidanud, et erinevus dy funktsioonid y=f(x), üldiselt ei võrdu juurdekasvuga Δy seda funktsiooni. Küll aga täpsusega kuni lõpmatuseni väike funktsioon kõrgem väiksusaste kui Δx, kehtib ligikaudne võrdsus
Δy ≈ dy.
Suhet nimetatakse selle võrdsuse võrdsuse suhteliseks veaks. Sest Δy-dy=o(Δx), siis selle võrrandi suhteline viga muutub vähenedes nii väikeseks, kui soovitakse |Δх|.
Võttes arvesse, et Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, saame f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx või
f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.
See ligikaudne võrdsus lubab veaga o(Δx) asendamise funktsioon f(x) punkti väikeses naabruses x(st väikeste väärtuste jaoks Δx) argumendi lineaarfunktsioon Δx, seistes paremal küljel.
Kõrgemat järku tuletisväärtpaberid
Definitsioon. Funktsiooni teine tuletis (või teist järku tuletis). y=f(x) nimetatakse selle esimese tuletise tuletiseks.
Funktsiooni teise tuletise tähistus y=f(x):
Teise tuletise mehaaniline tähendus. Kui funktsioon y=f(x) kirjeldab materiaalse punkti sirgjoonel liikumise seadust, siis teist tuletist f"(x) võrdne liikuva punkti kiirendusega ajahetkel x.
Kolmas ja neljas tuletis määratakse sarnaselt.
Definitsioon. n tuletis (või tuletis n-th order) funktsioonid y=f(x) nimetatakse selle tuletiseks n-1 tuletis:
y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.
Nimetused: y"", y IV, y V jne.
Tuletise geomeetriline tähendus
|
KÕVERA PUTUJA MÄÄRATLUS Kõvera puutuja y=ƒ(x) punktis M nimetatakse läbi punkti tõmmatud sekandi piirasendiks M ja sellega külgnev punkt M 1 kõver, eeldusel, et punkt M 1 läheneb määramatult piki kõverat punktini M. TULETISE GEOMEETRILINE TÄHENDUS Funktsiooni tuletis y=ƒ(x) punktis X 0 on arvuliselt võrdne telje kaldenurga puutujaga Oh kõvera puutuja y=ƒ(x) punktis M (x 0; ƒ (x 0)). |
VARIATION DOTIC TO CURVE Punktidega kõver y=ƒ(x) täpselt M nimetatakse läbi punkti tõmmatud sirge piirasendiks M ja järgmine punkt temaga M 1 kõver, mõistuse jaoks, mis mõte M 1 kõver läheneb paratamatult punktile M. GEOMEETRILINE ZMIST POKHIDNOI Sarnased funktsioonid y=ƒ(x) täpselt x 0 arvuliselt võrdne kalde puutujaga telje suhtes Oh dotic, läbi viidud kõveraks y=ƒ(x) täpselt M (x 0; ƒ (x 0)). |
Tuletise praktiline tähendus
Mõelgem, mida see suurus, mille leidsime mingi funktsiooni tuletiseks, praktiliselt tähendab.
Esiteks, tuletis- see on diferentsiaalarvutuse põhimõiste, mis iseloomustab funktsiooni muutumise kiirust antud punktis.
Mis on "muutuse määr"? Kujutagem ette funktsiooni f(x) = 5. Olenemata argumendi (x) väärtusest ei muutu selle väärtus mitte mingil moel. See tähendab, et selle muutumise määr on null.
Nüüd kaaluge funktsiooni f(x) = x. X tuletis on võrdne ühega. Tõepoolest, on lihtne märgata, et iga argumendi (x) ühe võrra muutmisel suureneb ka funktsiooni väärtus ühe võrra.
Saadud teabe seisukohalt vaatame nüüd lihtsate funktsioonide tuletisi tabelit. Selle põhjal saab kohe selgeks füüsiline tähendus funktsiooni tuletise leidmine. Selline arusaam peaks lihtsustama praktiliste probleemide lahendamist.
Seega, kui tuletis näitab funktsiooni muutumise kiirust, siis topelttuletis näitab kiirendust.
2080.1947
