Variatsioonimeetod lineaarvõrrandite jaoks. Kõrgemate astmete lineaarsete mittehomogeensete diferentsiaalvõrrandite lahendus Lagrangi meetodil. Sotsiaalsed muutused. Riik ja kirik
Mittehomogeense lahendamiseks kasutatakse suvaliste konstantide variatsiooni meetodit diferentsiaalvõrrandid... See tund on mõeldud neile õpilastele, kes on teemaga enam -vähem kursis. Kui alles alustate DU -ga tutvumist, s.t. Kui olete teekann, soovitan alustada esimesest õppetunnist: Esimese astme diferentsiaalvõrrandid. Näited lahendustest... Ja kui olete juba lõpetamas, siis visake ära võimalik eelarvamus, et meetod on keeruline. Sest see on lihtne.
Millistel juhtudel kasutatakse suvaliste konstantide muutmise meetodit?
1) Lahendamiseks võib kasutada suvalise konstandi muutmise meetodit 1. järgu lineaarne ebaühtlane DE... Kuna võrrand on esimese järgu, siis on ka konstant (konstant) üks.
2) Mõne lahendamiseks kasutatakse suvaliste konstantide muutmise meetodit teise astme lineaarsed ebahomogeensed võrrandid... Siin on kaks konstanti erinevad.
On loogiline eeldada, et õppetund koosneb kahest lõigust…. Kirjutasin selle ettepaneku ja mõtlesin 10 minutit valusalt, mis muud nutikat jama lisada sujuvaks üleminekuks praktilistele näidetele. Kuid millegipärast pole pärast pühi mõtteid, kuigi ta ei tundunud midagi kuritarvitavat. Seetõttu läheme otse esimese lõigu juurde.
Suvalise konstandi variatsioonimeetod
lineaarse ebahomogeense esimese järgu võrrandi jaoks
Enne suvalise konstandi varieerimismeetodi kaalumist on soovitatav artikliga tutvuda Esimese astme lineaarsed diferentsiaalvõrrandid... Selles tunnis harjutasime esimene lahendus 1. järgu ebaühtlane DE. Seda esimest lahendust, tuletan teile meelde, nimetatakse asendamise meetod või Bernoulli meetod(mitte segi ajada Bernoulli võrrand!!!)
Nüüd kaalume teine lahendus- suvalise konstandi muutmise meetod. Toon vaid kolm näidet ja võtan need ülaltoodud õppetundist. Miks nii vähe? Sest tegelikult on lahendus teisel viisil väga sarnane esimese lahendusega. Lisaks kasutatakse minu tähelepanekute kohaselt suvaliste konstantide muutmise meetodit harvemini kui asendusmeetodit.
Näide 1
(Erinevus tunni näitest 2 1. järgu lineaarne ebahomogeenne DE)
Lahendus: See võrrand on lineaarne ebahomogeenne ja sellel on tuttav vorm: 
Esimene samm on lahendada lihtsam võrrand: 
See tähendab, et me rumalalt nullime parema külje - selle asemel, et kirjutada null.
Võrrand Ma helistan abivõrrand.
Selles näites peate lahendama järgmise abivõrrandi:
Enne meid eraldatav võrrand mille lahendus (loodetavasti) pole teile enam keeruline: 
Seega: 
- abivõrrandi üldlahendus.
Teises etapis asendada mõnel konstantne veel tundmatu funktsioon, mis sõltub "x" -ist:
Siit ka meetodi nimi - me muudame konstandi. Teise võimalusena võib konstant olla mingi funktsioon, mille peame nüüd leidma.
V originaal ebahomogeenne võrrand asendame:
Asendaja ja 
võrrandisse :
Kontrollmoment - kaks vasakpoolset terminit tühistatakse... Kui seda ei juhtu, peaksite otsima ülaltoodud viga.
Asendamise tulemusena saadakse eraldatavate muutujatega võrrand. Eraldage muutujad ja integreerige.
Milline õnnistus, ka eksponendid vähenevad:
Lisage leitud funktsioonile "normaalne" konstant:
Peal viimane etapp pidage meeles meie asendamist:
Funktsioon just leitud!
Nii et üldine lahendus on järgmine: 
Vastus:ühine otsus: 
Kui prindite välja kaks lahendust, märkate hõlpsalt, et mõlemal juhul leidsime samad integraalid. Ainus erinevus on lahenduse algoritmis.
Midagi keerulisemat, kommenteerin teist näidet:
Näide 2
Leidke diferentsiaalvõrrandi üldine lahendus 
(Erinevus tunni näitest 8 1. järgu lineaarne ebahomogeenne DE)
Lahendus: Toome vormi võrrandi :
Nullime parema külje ja lahendame abivõrrandi:
Abivõrrandi üldlahendus:
Mittehomogeenses võrrandis teeme asenduse:
Vastavalt toodete eristamise reeglile: 
Asendaja ja algsesse ebahomogeensesse võrrandisse:
Kaks vasakpoolset terminit tühistatakse, mis tähendab, et oleme õigel teel: 
Me integreerime osade kaupa. Osade kaupa integreerimise valemi maitsvat tähte on lahenduses juba kasutatud, seega kasutame näiteks tähti "a" ja "be":
Meenutame nüüd teostatud asendust:
Vastus:ühine otsus:
Ja üks näide isetegemise lahendusest:
Näide 3
Leidke diferentsiaalvõrrandile konkreetne lahendus, mis vastab antud algtingimusele.
,
(Erinevus tunni näitest 4 1. järgu lineaarne ebahomogeenne DE)
Lahendus:
See DE on lineaarne ebahomogeenne. Kasutame suvaliste konstantide variatsiooni meetodit. Lahendame abivõrrandi:
Eraldage muutujad ja integreerige: 
Ühine otsus: 
Mittehomogeenses võrrandis asendame: 
Teeme asendamise: 
Nii et üldine lahendus on järgmine: 
Leiame konkreetse lahenduse, mis vastab antud algtingimusele: 
Vastus: privaatne lahendus:
Tunni lõpus olev lahendus võib olla ligikaudne näide ülesande lõpetamiseks.
Suvaliste konstantide variatsioonimeetod
lineaarse ebahomogeense teise järgu võrrandi jaoks
pidevate koefitsientidega
Kuulsime sageli arvamust, et teise järgu võrrandi suvaliste konstantide muutmise meetod ei ole lihtne. Kuid ma arvan järgmist: tõenäoliselt tundub see meetod paljudele keeruline, kuna see pole nii tavaline. Kuid tegelikult pole erilisi raskusi - otsuse käik on selge, läbipaistev, arusaadav. Ja ilus.
Meetodi valdamiseks on soovitav, et oleks võimalik lahendada ebahomogeenseid teise järgu võrrandeid, valides konkreetse lahenduse parema külje kujul. Seda meetodit käsitletakse üksikasjalikult artiklis. Teise järgu ebahomogeenne DE... Tuletame meelde, et teise järgu lineaarne ebahomogeenne võrrand konstantsete koefitsientidega on järgmine:
Valikumeetod, mida ülaltoodud õppetükis kaaluti, töötab ainult piiratud arvul juhtudel, kui polünoomid, astendajad, siinused ja koosinused on paremal küljel. Aga mida teha, kui paremal on näiteks murd, logaritm, puutuja? Sellises olukorras tuleb appi konstantide muutmise meetod.
Näide 4
Leidke teise astme diferentsiaalvõrrandi üldlahendus 
Lahendus: Selle võrrandi paremal küljel on murdosa, seega võime kohe öelda, et konkreetse lahenduse valimise meetod ei tööta. Kasutame suvaliste konstantide variatsiooni meetodit.
Miski ei tähenda äikest, lahenduse algus on täiesti tavaline:
Leia ühine otsus vastav homogeenne võrrandid: 
Koostame ja lahendame iseloomuliku võrrandi: 
- saadakse konjugaatkompleksi juured, seega on üldine lahendus järgmine:
Pöörake tähelepanu üldlahenduse kirjele - kui sulgud on olemas, siis laiendame neid.
Nüüd teeme praktiliselt sama trikki nagu esimese järgu võrrandi puhul: muudame konstandeid, asendades need tundmatute funktsioonidega. See on, üldine lahendus heterogeensele otsime võrrandeid kujul:
Kus - veel tundmatud funktsioonid.
See näeb välja nagu olmejäätmete prügila, kuid nüüd sorteerime kõik.
Funktsioonide tuletised toimivad tundmatutena. Meie eesmärk on tuletisinstrumentide leidmine ning leitud tuletisinstrumendid peavad vastama nii süsteemi esimesele kui ka teisele võrrandile.
Kust tulevad "mängud"? Kurg toob need. Vaatame varem saadud üldist lahendust ja kirjutame üles:
Leiame tuletised:
Kui vasakpoolsed osad on korrastatud. Mis on paremal?
Kas antud juhul on algse võrrandi parem pool:
Koefitsient on teise derivaadi koefitsient:
Praktikas peaaegu alati ja meie näide pole erand.
Kõik on selge, nüüd saate süsteemi luua: 
Süsteem on tavaliselt otsustatud Crameri valemite järgi kasutades tavalist algoritmi. Ainus erinevus on see, et numbrite asemel on meil funktsioonid.
Leiame süsteemi peamise määraja: 
Kui olete unustanud, kuidas määraja "kahekaupa" ilmneb, vaadake õppetundi Kuidas determinanti arvutada? Link viib häbiplatsile =)
Niisiis: see tähendab, et süsteemil on ainulaadne lahendus.
Leidke tuletis: 
Kuid see pole veel kõik, seni oleme leidnud ainult tuletisinstrumendi.
Funktsioon ise taastatakse integratsiooniga:
Tegeleme teise funktsiooniga: 
Siin lisame "normaalse" konstandi
Lahenduse viimases etapis tuletame meelde, millisel kujul otsisime ebahomogeense võrrandi üldlahendust? Sellises:
Otsitavad funktsioonid on just leitud! 
Jääb vaid asendada ja vastus kirja panna:
Vastus:ühine otsus:
Põhimõtteliselt võiks sulgusid vastuses laiendada.
Vastuse täielik kontrollimine toimub vastavalt standardsele skeemile, mida arutati tunnis Teise järgu ebahomogeenne DE... Kuid kontrollimine ei ole lihtne, kuna on vaja leida üsna rasked tuletisinstrumendid ja teha tülikas asendamine. See on ebameeldiv omadus, kui tegelete sellise difusiooniga.
Näide 5
Lahendage diferentsiaalvõrrand, muutes suvalisi konstandeid
See on näide ise tehtud lahendusest. Tegelikult on parem pool ka murdosa. Tuletame meelde trigonomeetrilist valemit, muide, seda tuleb rakendada lahenduse käigus.
Suvaliste konstantide varieerimismeetod on kõige mitmekülgsem meetod. Nad suudavad lahendada kõik võrrandid, mis on lahendatud konkreetse lahenduse valimise meetodil vastavalt parempoolsele küljele... Tekib küsimus, miks mitte kasutada ka seal suvaliste konstantide muutmise meetodit? Vastus on ilmne: privaatse lahenduse valik, mida tunnis kaaluti Teise astme ebahomogeensed võrrandid, kiirendab lahendust oluliselt ja lühendab kirjutamist - pole kuradit määravate tegurite ja integraalidega.
Kaaluge kahte näidet Cauchy probleem.
Näide 6
Leidke diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus, mis vastab antud algtingimustele
, 
Lahendus: Jälle murdosa ja astendaja huvitavas kohas.
Kasutame suvaliste konstantide variatsiooni meetodit.
Leia ühine otsus vastav homogeenne võrrandid: 
- saadakse erinevad tegelikud juured, seega on üldine lahendus järgmine:
Üldine lahendus heterogeensele otsime võrrandeid kujul :, kus - veel tundmatud funktsioonid.
Koostame süsteemi:
Sel juhul:
,
Leidke tuletisi: 
, 
Seega: 
Lahendame süsteemi Crameri valemite abil:
, mis tähendab, et süsteemil on ainulaadne lahendus.
Taastame funktsiooni, integreerides:
Siin kasutatud funktsiooni diferentsiaalmärgi alla viimise meetod.
Taastame teise funktsiooni, integreerides: 
Selline integraal on lahendatud muutuva asendamise meetod:
Asendusest endast väljendame järgmist:
Seega: 
Selle integraali võib leida täieliku ruudu valiku meetod, kuid näidetes erinevustega eelistan murdosa laiendada määramata koefitsientide meetod:
Mõlemad funktsioonid on leitud:
Selle tulemusena on ebahomogeense võrrandi üldine lahendus järgmine:
Leiame konkreetse lahenduse, mis vastab algtingimustele .
Tehniliselt toimub lahenduse otsimine tavapärasel viisil, mida käsitleti artiklis Teise järgu ebahomogeensed diferentsiaalvõrrandid.
Oodake, nüüd leiame leitud ühise lahenduse tuletise:
Siin on selline häbi. Seda pole vaja lihtsustada, lihtsam on kohe võrrandisüsteemi koostada. Vastavalt esialgsetele tingimustele :
Asendage konstantide leitud väärtused 
üldlahenduseks:
Vastuseks võib logaritme veidi kokku pakkida.
Vastus: privaatne lahendus: 
Nagu näete, võivad raskused tekkida integraalides ja tuletistes, kuid mitte suvaliste konstantide varieerimismeetodi algoritmis. Mitte mina ei hirmutanud sind, see on kogu Kuznetsovi kogu!
Lõdvestuseks viimane, lihtsam näide isetegemise lahendusest:
Näide 7
Lahendage Cauchy probleem
, 
Näide on lihtne, kuid loominguline, kui teete süsteemi, vaadake seda enne otsustamist tähelepanelikult ;-),
Selle tulemusena on üldine lahendus järgmine:
Leiame konkreetse lahenduse, mis vastab algtingimustele .
Asendame konstantide leitud väärtused üldlahenduseks:
Vastus: privaatne lahendus:
Vaatleme nüüd lineaarset ebahomogeenset võrrandit
. (2)
Olgu y 1, y 2, .., y n lahenduste põhisüsteem ja vastava homogeense võrrandi L (y) = 0 üldlahendus. Sarnaselt esimese järgu võrranditega otsime lahendit võrrandile (2) kujul
. (3)
Veendume, et sellisel kujul lahendus on olemas. Selleks asendame funktsiooni võrrandisse. Selle funktsiooni võrrandisse asendamiseks leiame selle tuletised. Esimene tuletis on 
. (4)
Teise tuletisinstrumendi arvutamisel ilmuvad (4) paremale küljele neli terminit, kolmanda tuletisinstrumendi arvutamisel kaheksa terminit jne. Seetõttu eeldatakse edasiste arvutuste hõlbustamiseks, et esimene liige punktis 4 on null. Seda silmas pidades on teine tuletis 
. (5)
Samadel põhjustel nagu varem, seadsime punktis (5) ka esimese mõiste võrdseks nulliga. Lõpuks on n -d tuletis 
. (6)
Asendades tuletisinstrumentide saadud väärtused algsesse võrrandisse, on meil 
. (7)
(7) teine liige on null, kuna funktsioonid y j, j = 1,2, .., n on vastava homogeense võrrandi L (y) = 0 lahendid. Kombineerides eelmisega, saame funktsioonide C "j (x) leidmiseks algebraliste võrrandite süsteemi 
(8)
Selle süsteemi determinant on vastava homogeense võrrandi L (y) = 0 lahendite y 1, y 2, .., y n põhisüsteemi Wronskii determinant ja pole seega null. Seetõttu on süsteemile (8) ainulaadne lahendus. Olles selle leidnud, saame funktsioonid C "j (x), j = 1,2, ..., n ja seega C j (x), j = 1,2, ..., n Nende asendamine väärtused (3), saame lahendi lineaarsele ebahomogeensele võrrandile.
Kirjeldatud meetodit nimetatakse suvalise konstandi muutmise meetodiks või Lagrange'i meetodiks.
Näide # 1. Leidke võrrandi y "" + 4y " + 3y = 9e -3 x üldlahendus. Kaaluge vastavat homogeenset võrrandit y" " + 4y" + 3y = 0. Selle iseloomuliku võrrandi r 2 + 4r + 3 = juured 0 on võrdne -1 ja - 3. Seetõttu koosneb homogeense võrrandi lahenduste põhisüsteem funktsioonidest y 1 = e - x ja y 2 = e -3 x. Otsime ebahomogeense võrrandi lahendust kujul y = C 1 (x) e - x + C 2 (x) e -3 x. Tuletiste C "1, C" 2 leidmiseks koostame võrrandisüsteemi (8)
C '1 e -x + C' 2 e -3x = 0
-C ′ 1 e -x -3C ′ 2 e -3x = 9e -3x
mille lahendamist leiame, Integreerides saadud funktsioone, meil on 
Lõpuks saame
Näide # 2. Lahendage teise järgu lineaarsed diferentsiaalvõrrandid konstantsete koefitsientidega suvaliste konstantide variatsiooni meetodil: 
y (0) = 1 + 3ln3
y ’(0) = 10 ln3
Lahendus:
See diferentsiaalvõrrand viitab konstantsete koefitsientidega lineaarsetele diferentsiaalvõrranditele.
Otsime võrrandile lahendust kujul y = e rx. Selleks koostame konstantsete koefitsientidega lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi iseloomuliku võrrandi:
r 2-6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4
Karakteristliku võrrandi juured: r 1 = 4, r 2 = 2
Järelikult koosneb lahenduste põhisüsteem funktsioonidest: y 1 = e 4x, y 2 = e 2x
Homogeense võrrandi üldlahendus on järgmine: y = C 1 e 4x + C 2 e 2x
Otsige konkreetset lahendust suvalise konstandi variatsiooni meetodil.
Tuletiste C "i leidmiseks koostame võrrandisüsteemi:
C '1 e 4x + C' 2 e 2x = 0
C ′ 1 (4e 4x) + C ′ 2 (2e 2x) = 4 / (2 + e -2x)
Väljendage C "1 esimesest võrrandist:
C "1 = -c2e -2x
ja asendada teises. Selle tulemusena saame:
C "1 = 2 / (e 2x + 2e 4x)
C "2 = -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
Integreerime saadud funktsioonid C "i:
C1 = 2ln (e -2x +2) -e -2x + C * 1
C 2 = ln (2e 2x +1) - 2x + C * 2
Kuna y = C 1 e 4x + C 2 e 2x, siis kirjutame saadud avaldised kujul:
C 1 = (2ln (e -2x +2) -e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln (e -2x +2) -e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln (2e 2x +1) - 2x + C * 2) e 2x = e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
Seega on diferentsiaalvõrrandi üldlahendus järgmine:
y = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
või
y = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x
Otsime konkreetse lahenduse:
y (0) = 1 + 3ln3
y ’(0) = 10 ln3
Asendades leitud võrrandi x = 0, saame:
y (0) = 2 ln (3) - 1 + ln (3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Leidke saadud üldlahenduse esimene tuletis:
y ’= 2e 2x (2C 1 e 2x +C 2 -2x +4 e 2x ln (e -2x +2) +ln (2e 2x +1) -2)
Asendades x = 0, saame:
y ’(0) = 2 (2C 1 + C 2 +4 ln (3) + ln (3) -2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln (3) -4 = 10 ln3
Saame kahe võrrandi süsteemi:
3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln (3) -4 = 10ln3
või
C * 1 + C * 2 = 2
4C 1 + 2C 2 = 4
või
C * 1 + C * 2 = 2
2C 1 + C2 = 2
Kus: C1 = 0, C * 2 = 2
Privaatne lahendus kirjutatakse järgmiselt:
y = 2e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + 2 e 2x
Kaalutakse meetodit konstantsete koefitsientidega lineaarsete ebahomogeensete diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks Lagrange'i konstantide varieerimismeetodi abil. Lagrange'i meetodit saab kasutada ka lineaarsete mittehomogeensete võrrandite lahendamisel, kui homogeense võrrandi põhisüsteem on teada.
SisuVaata ka:
Lagrange'i meetod (konstantide variatsioon)
Vaatleme lineaarset ebahomogeenset diferentsiaalvõrrandit, mille konstantsed koefitsiendid on suvaline n-nda järjekord:
(1)
.
Konstandi variatsioonimeetod, mida kaalusime esimese järgu võrrandi puhul, on rakendatav ka kõrgema järgu võrrandite puhul.
Lahendus viiakse läbi kahes etapis. Esimeses etapis viskame parema külje ära ja lahendame homogeense võrrandi. Selle tulemusena saame lahenduse, mis sisaldab n suvalist konstandit. Teises etapis muudame konstante. See tähendab, et me arvame, et need konstandid on sõltumatu muutuja x funktsioonid ja leiame nende funktsioonide vormi.
Kuigi me kaalume siin konstantsete koefitsientidega võrrandeid, kuid Lagrange'i meetod on rakendatav ka lineaarsete mittehomogeensete võrrandite lahendamisel... Selleks peab aga tundma homogeense võrrandi lahenduste põhisüsteemi.
Samm 1. Homogeense võrrandi lahendamine
Nagu esimese järgu võrrandite puhul, otsime kõigepealt homogeense võrrandi üldist lahendust, võrdsustades ebahomogeense parema külje nulliga:
(2)
.
Sellise võrrandi üldine lahendus on järgmine:
(3)
.
Siin on suvalised konstandid; - n lineaarselt sõltumatut lahendit homogeensele võrrandile (2), mis moodustavad selle võrrandi lahenduste põhisüsteemi.
Samm 2. Konstantide varieerimine - konstantide asendamine funktsioonidega
Teises etapis käsitleme konstandite varieerumist. Teisisõnu, me asendame konstandid sõltumatu muutuja x funktsioonidega:
.
See tähendab, et otsime lahendust algsele võrrandile (1) järgmisel kujul:
(4)
.
Kui asendame (4) väärtuseks (1), saame n -i funktsioonide jaoks ühe diferentsiaalvõrrandi. Lisaks saame neid funktsioone seostada täiendavate võrranditega. Seejärel saate n võrrandi, mille põhjal saate määrata n funktsiooni. Täiendavaid võrrandeid saab koostada mitmel viisil. Kuid me teeme seda nii, et lahendusel oleks kõige lihtsam vorm. Selleks tuleb diferentseerimise ajal võrdsustada funktsioonide tuletisi sisaldavad terminid nulliga. Näitame seda.
Pakutud lahenduse (4) asendamiseks algsesse võrrandisse (1) peame leidma vormis (4) kirjutatud funktsiooni esimese n järgu tuletised. Me eristame (4), rakendades summa ja toote eristamise reegleid:
.
Rühmitame liikmed. Esiteks kirjutame välja tingimused tuletisinstrumentidega ja seejärel - tingimused tuletisinstrumentidega:
.
Esitame funktsioonidele esimese tingimuse:
(5.1)
.
Siis on esimese tuletise avaldis seoses lihtsama vormiga:
(6.1)
.
Leidke teine tuletis samal viisil:
.
Seadkem funktsioonidele teine tingimus:
(5.2)
.
Siis
(6.2)
.
Jne. Lisatingimustes seadsime funktsioonide tuletisi sisaldavad tingimused nulliks.
Seega, kui valite funktsioonide jaoks järgmised täiendavad võrrandid:
(5.k) ,
siis on esimestel tuletisinstrumentidel kõige lihtsam vorm:
(6.k) .
Siin.
Leidke n -d tuletis:
(6.n)
.
Asendage algne võrrand (1):
(1)
;
.
Võtame arvesse, et kõik funktsioonid vastavad võrrandile (2):
.
Seejärel annab sisaldavate terminite summa nulli. Selle tulemusena saame:
(7)
.
Selle tulemusena saime tuletisinstrumentide jaoks lineaarsete võrrandite süsteemi:
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7 ′) .
Selle süsteemi lahendamisel leiame tuletiste väljendeid funktsioonina x. Integreerides saame:
.
Siin on konstandid, mis ei sõltu enam x -st. Asendades (4), saame algse võrrandi üldlahenduse.
Pange tähele, et me pole kusagil kasutanud asjaolu, et koefitsiendid a i on tuletisinstrumentide väärtuste määramiseks konstantsed. Sellepärast Lagrange'i meetod on rakendatav mis tahes lineaarsete ebahomogeensete võrrandite lahendamiseks kui homogeense võrrandi (2) lahenduste põhisüsteem on teada.
Näited
Lahendage võrrandid konstantide muutmise meetodil (Lagrange).
Näited lahendustest >>>
Kõrgema astme võrrandite lahendamine Bernoulli meetodil
Konstantsete koefitsientidega kõrgema järgu lineaarsete mittehomogeensete diferentsiaalvõrrandite lahendus lineaarse asendamise teel
Loeng 44. Teise järgu lineaarsed ebahomogeensed võrrandid. Meelevaldsete konstandite varieerimismeetod. Teise järgu lineaarsed ebahomogeensed võrrandid konstantsete koefitsientidega. (spetsiaalne parem pool).
Sotsiaalsed muutused. Riik ja kirik.
Enamlaste sotsiaalpoliitikat dikteeris suuresti nende klassikäsitlus. 10. novembri 1917. aasta dekreediga hävitati mõisasüsteem, kaotati revolutsioonieelsed auastmed, tiitlid ja autasud. Kohtunike valitavus on kindlaks tehtud; viidi läbi tsiviilriikide ilmalikustamine. Kehtestati tasuta haridus ja arstiabi (31. oktoobri 1918 dekreet). Naistele anti meestega võrdsed õigused (16. ja 18. detsembri 1917. aasta dekreedid). Abielu määrusega kehtestati tsiviilabielu institutsioon.
Rahvakomissaride Nõukogu 20. jaanuari 1918. aasta määrusega eraldati kirik riigist ja haridussüsteemist. Suurem osa kiriku varast on konfiskeeritud. Moskva ja kogu Venemaa patriarh Tikhon (valitud 5. novembril 1917) 19. jaanuaril 1918 anatematiseeriti Nõukogude võim ja kutsus üles võitlema enamlaste vastu.
Mõelge teise astme lineaarsele ebahomogeensele võrrandile
Sellise võrrandi üldlahenduse ülesehituse määrab järgmine teoreem:
Teoreem 1. Mittehomogeense võrrandi (1) üldlahendust esitatakse selle võrrandi mõne konkreetse lahendi ja vastava homogeense võrrandi üldlahenduse summana
Tõestus... On vaja tõestada, et summa
on võrrandi (1) üldlahendus. Tõestame kõigepealt, et funktsioon (3) on lahendus võrrandile (1).
Summa asendamine võrrandiga (1) selle asemel kl, saab olema
Kuna võrrandile (2) on lahendus, on esimeste sulgude avaldis võrdne nulliga. Kuna võrrandile (1) on lahendus, on avaldis teistes sulgudes võrdne f (x)... Seetõttu on võrdsus (4) identiteet. Seega on teoreemi esimene osa tõestatud.
Tõestame teist väidet: avaldis (3) on üldine võrrandi (1) lahendus. Peame tõestama, et sellesse avaldis olevad suvalised konstandid saab valida nii, et algtingimused oleksid täidetud:
mis iganes numbrid x 0, y 0 ja (kui ainult x 0 võeti piirkonnast, kus funktsioonid toimivad a 1, 2 ja f (x) pidev).
Märkamine, mida saab vormis esindada. Seejärel, lähtudes tingimustest (5), on meil
Lahendame selle süsteemi ja määratleme C 1 ja C 2... Kirjutame süsteemi ümber järgmiselt:
Pange tähele, et selle süsteemi determinant on funktsioonide Wronski determinant kell 1 ja kell 2 punktis x = x 0... Kuna need funktsioonid on hüpoteesi järgi lineaarselt sõltumatud, ei ole Vronsky determinant võrdne nulliga; seetõttu on süsteemil (6) kindel lahendus C 1 ja C 2, st. selliseid väärtusi on C 1 ja C 2, mille valem (3) määrab etteantud tingimustele vastava võrrandi (1) lahenduse. Q.E.D.
Pöördume ebahomogeense võrrandi konkreetsete lahenduste leidmise üldise meetodi poole.
Kirjutame homogeense võrrandi (2) üldlahenduse
Otsime konkreetset lahendust mittehomogeensele võrrandile (1) kujul (7), arvestades C 1 ja C 2 mõningaid seni tundmatuid funktsioone NS.
Eristame võrdsust (7):
Valime vajalikud funktsioonid C 1 ja C 2 nii et võrdsus
Kui seda lisatingimust arvesse võtta, võtab esimene tuletis vormi
Kui nüüd seda väljendit eristada, leiame:
Asendades võrrandi (1), saame
Esimeses kahes sulgus olevad väljendid kaovad, sest y 1 ja y 2- homogeense võrrandi lahendused. Järelikult võtab vormi viimane võrdsus
Seega on funktsioon (7) funktsioonide ebahomogeense võrrandi (1) lahendus C 1 ja C 2 vastama võrranditele (8) ja (9). Koostame võrrandite süsteemi võrranditest (8) ja (9).
Kuna selle süsteemi determinant on lineaarselt sõltumatute lahenduste Wronski determinant y 1 ja y 2 võrrand (2), siis pole see võrdne nulliga. Seetõttu leiame süsteemi lahendades kindlate funktsioonidena NS:
Selle süsteemi lahendamisel leiame, kust integratsiooni tulemusena saame. Järgmisena asendame leitud funktsioonid valemiga, saame mittehomogeense võrrandi üldlahenduse, kus on suvalised konstandid.
