Luuletused lastele

Lõpmatu geomeetriline progressioon. Geomeetriline progressioon. Näide koos lahendusega. Geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valem

Vaatleme teatud seeriat.

7 28 112 448 1792...

On täiesti selge, et selle mis tahes elemendi väärtus on täpselt neli korda suurem kui eelmine. See tähendab, et see seeria on edasiminek.

Geomeetriline progressioon on lõputu arvude jada. peamine omadus mis tähendab, et järgmine arv saadakse eelmisest, korrutades mingi kindla arvuga. Seda väljendatakse järgmise valemiga.

a z +1 =a z ·q, kus z on valitud elemendi number.

Vastavalt sellele z ∈ N.

Ajavahemik, mil koolis õpitakse geomeetrilist progressiooni, on 9. klass. Näited aitavad teil mõistet mõista:

0.25 0.125 0.0625...

Selle valemi põhjal võib progresseerumise nimetaja leida järgmiselt:

Ei q ega b z ei saa olla null. Samuti ei tohiks ükski progressi element olla võrdne nulliga.

Järelikult peate seeria järgmise arvu väljaselgitamiseks korrutama viimase q-ga.

Selle edenemise määramiseks peate määrama selle esimese elemendi ja nimetaja. Pärast seda on võimalik leida mis tahes järgnevaid termineid ja nende summat.

Sordid

Sõltuvalt q-st ja a 1-st jaguneb see edenemine mitmeks tüübiks:

Kui nii a 1 kui ka q on suuremad kui üks, siis on selline jada geomeetriline progressioon, mis kasvab iga järgneva elemendiga. Selle näide on esitatud allpool.

Näide: a 1 =3, q=2 – mõlemad parameetrid on suuremad kui üks.

Siis numbrijada võib kirjutada nii:

3 6 12 24 48 ...

Kui |q| on väiksem kui üks, st sellega korrutamine on samaväärne jagamisega, siis on sarnaste tingimustega progressioon kahanev geomeetriline progressioon. Selle näide on esitatud allpool.

Näide: a 1 =6, q=1/3 – a 1 on suurem kui üks, q on väiksem.

Seejärel saab numbrijada kirjutada järgmiselt:

6 2 2/3 ... - iga element on 3 korda suurem kui sellele järgnev element.

Vahelduv märk. Kui q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Näide: a 1 = -3, q = -2 – mõlemad parameetrid on väiksemad kui null.

Siis saab numbrijada kirjutada järgmiselt:

3, 6, -12, 24,...

Valemid

Geomeetriliste progressioonide mugavaks kasutamiseks on palju valemeid:

Z-termin valem. Võimaldab arvutada elemendi kindla numbri all ilma eelnevaid numbreid arvutamata.

Näide:q = 3, a 1 = 4. On vaja lugeda progressiooni neljas element.

Lahendus:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

Esimeste elementide summa, mille arv on võrdne z. Võimaldab arvutada jada kõigi elementide summa kunia zkaasa arvatud.

Alates (1-q) on nimetajas, siis (1 - q)≠ 0, seega ei ole q võrdne 1-ga.

Märkus: kui q = 1, siis on progressioon lõpmatult korduvate arvude jada.

Summa geomeetriline progressioon, näited:a 1 = 2, q= -2. Arvutage S5.

Lahendus:S 5 = 22 - arvutamine valemi abil.

Summa, kui |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Näide:a 1 = 2 , q= 0,5. Leia summa.

Lahendus:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Mõned omadused:

Iseloomulik omadus. Kui järgmine tingimus töötab iga jaoksz, siis antud arvuseeria on geomeetriline progressioon:

a z 2 = a z -1 · az+1

Samuti leitakse mis tahes arvu ruut geomeetrilises progressioonis, lisades antud jada mis tahes kahe teise arvu ruudud, kui need on sellest elemendist võrdsel kaugusel.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Kust- nende numbrite vaheline kaugus.

Elemendiderinevad q-süks kord.
Ka progressiooni elementide logaritmid moodustavad progressiooni, kuid aritmeetilise, see tähendab, et igaüks neist on teatud arvu võrra suurem kui eelmine.

Mõnede klassikaliste probleemide näited

Et paremini mõista, mis on geomeetriline progressioon, võivad abiks olla näited 9. klassi lahendustega.

Tingimused:a 1 = 3, a 3 = 48. Leiaq.

Lahendus: iga järgmine element on suurem kui eelmineq üks kord.Mõnda elementi on vaja väljendada teistega, kasutades nimetajat.

Seegaa 3 = q 2 · a 1

Asendamiselq= 4

Tingimused:a 2 = 6, a 3 = 12. Arvutage S 6.

Lahendus:Selleks leidke lihtsalt esimene element q ja asendage see valemis.

a 3 = q· a 2 , seega,q= 2

a 2 = q · a 1,Sellepärast a 1 = 3

S6 = 189

· a 1 = 10, q= -2. Leidke progressiooni neljas element.

Lahendus: selleks piisab neljanda elemendi väljendamisest läbi esimese ja läbi nimetaja.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Rakenduse näide:

Panga klient tegi sissemakse summas 10 000 rubla, mille alusel lisatakse kliendil igal aastal sellest 6% põhisummale. Kui palju raha on kontol 4 aasta pärast?

Lahendus: esialgne summa on 10 tuhat rubla. See tähendab, et aasta pärast investeeringu tegemist on kontol summa 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10000 1,06

Sellest lähtuvalt väljendatakse kontol olevat summat järgmise aasta pärast järgmiselt:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10 000

See tähendab, et igal aastal suureneb summa 1,06 korda. See tähendab, et 4 aasta pärast kontol olevate rahaliste vahendite hulga leidmiseks piisab, kui leida progressiooni neljas element, mille annab esimene element 10 tuhandega ja nimetaja 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Näited probleemidest, mis on seotud summade arvutamisega:

Geomeetrilist progressiooni kasutatakse mitmesugustes ülesannetes. Summa leidmise näite võib tuua järgmiselt:

a 1 = 4, q= 2, arvutaS 5.

Lahendus: kõik arvutamiseks vajalikud andmed on teada, need tuleb lihtsalt valemis asendada.

S 5 = 124

a 2 = 6, a 3 = 18. Arvuta esimese kuue elemendi summa.

Lahendus:

Geom. progresseerumisel on iga järgmine element q korda suurem kui eelmine, st summa arvutamiseks on vaja elementi teadaa 1 ja nimetajaq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Samamoodi peate leidmaa 1 , teadesa 2 Jaq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

>>Matemaatika: geomeetriline progressioon

Lugeja mugavuse huvides on see lõik üles ehitatud täpselt sama plaani järgi, mida järgisime eelmises lõigus.

1. Põhimõisted.

Definitsioon. Arvjada, mille kõik liikmed erinevad 0-st ja mille iga liige, alates teisest, saadakse eelmisest liikmest, korrutades selle sama arvuga, nimetatakse geomeetriliseks progressiooniks. Sel juhul nimetatakse arvu 5 geomeetrilise progressiooni nimetajaks.

Seega on geomeetriline progressioon arvuline jada (b n), mis on suhetega korduvalt määratletud

Kas on võimalik vaadata arvujada ja teha kindlaks, kas see on geomeetriline progressioon? Saab. Kui olete veendunud, et jada mis tahes liikme ja eelmise liikme suhe on konstantne, on teil geomeetriline progressioon.
Näide 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Näide 2.

See on geomeetriline progressioon, millel on
Näide 3.

See on geomeetriline progressioon, millel on
Näide 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

See on geomeetriline progressioon, milles b 1 - 8, q = 1.

Pange tähele, et see jada on ka aritmeetiline progressioon (vt näide 3 §-st 15).

Näide 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

See on geomeetriline progressioon, milles b 1 = 2, q = -1.

Ilmselt on geomeetriline progressioon kasvav jada, kui b 1 > 0, q > 1 (vt näide 1) ja kahanev jada, kui b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Et näidata, et jada (b n) on geomeetriline progressioon, on mõnikord mugav kasutada järgmist tähistust:

Ikoon asendab fraasi "geomeetriline progressioon".
Märgime ühte kummalist ja samal ajal üsna ilmset geomeetrilise progressiooni omadust:
Kui jada on geomeetriline progressioon, siis ruutude jada, s.o. on geomeetriline progressioon.
Teises geomeetrilises progressioonis on esimene liige võrdne ja võrdne q 2-ga.
Kui geomeetrilises progressioonis jätame kõrvale kõik b n järgnevad terminid, saame lõpliku geomeetrilise progressiooni
Selle jaotise järgmistes lõikudes käsitleme geomeetrilise progressiooni kõige olulisemaid omadusi.

2. Geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valem.

Mõelge geomeetrilisele progressioonile nimetaja q. Meil on:

Pole raske arvata, et mis tahes arvu n puhul on võrdsus tõene

See on geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valem.

kommenteerida.

Kui olete eelmise lõigu olulise märkuse läbi lugenud ja sellest aru saanud, proovige valemit (1) tõestada matemaatilise induktsiooni meetodil, nagu seda tehti aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valemiga.

Kirjutame ümber geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemi

ja tutvustame tähistust: Saame y = mq 2 või täpsemalt,
Argument x sisaldub eksponendis, seega nimetatakse seda funktsiooni eksponentsiaalfunktsiooniks. See tähendab, et geomeetrilist progressiooni võib pidada naturaalarvude hulgal N määratletud eksponentsiaalfunktsiooniks. Joonisel fig. 96a kujutab funktsiooni graafikut joonisel fig. 966 - funktsioonigraafik Mõlemal juhul on meil eraldatud punktid (abstsissidega x = 1, x = 2, x = 3 jne), mis asuvad kindlal kõveral (mõlemad joonised näitavad sama kõverat, ainult erineva asukohaga ja erinevas mõõtkavas kujutatud). Seda kõverat nimetatakse eksponentsiaalkõveraks. Loe lähemalt eksponentsiaalne funktsioon ja selle graafikast tuleb juttu 11. klassi algebra kursusel.

Tuleme tagasi eelmise lõigu näidete 1-5 juurde.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . See on geomeetriline progressioon, mille korral b 1 = 1, q = 3. Koostame n-nda liikme valem
2) See on geomeetriline progressioon, mille jaoks loome n-nda liikme valemi

See on geomeetriline progressioon, millel on Koostame n-nda liikme valemi
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . See on geomeetriline progressioon, mille korral b 1 = 8, q = 1. Koostame n-nda liikme valem
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... See on geomeetriline progressioon, milles b 1 = 2, q = -1. Koostame n-nda liikme valemi

Näide 6.

Arvestades geomeetrilist progressiooni

Kõikidel juhtudel põhineb lahendus geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemil

a) Pannes n = 6 geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemisse, saame

b) Meil on

Kuna 512 = 2 9, saame n - 1 = 9, n = 10.

d) Meil on

Näide 7.

Geomeetrilise progressiooni seitsmenda ja viienda liikme vahe on 48, progressiooni viienda ja kuuenda liikme summa on samuti 48. Leidke selle progressiooni kaheteistkümnes liige.

Esimene aste. Matemaatilise mudeli koostamine.

Probleemi tingimused võib lühidalt kirjutada järgmiselt:

Kasutades geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemit, saame:
Siis saab ülesande teise tingimuse (b 7 - b 5 = 48) kirjutada kui

Ülesande kolmanda tingimuse (b 5 + b 6 = 48) saab kirjutada järgmiselt

Selle tulemusena saame kahest võrrandist koosneva süsteemi kahe muutujaga b 1 ja q:

mis koos ülalkirjeldatud tingimusega 1) esindab ülesande matemaatilist mudelit.

Teine faas.

Koostatud mudeliga töötamine. Võrdsustades süsteemi mõlema võrrandi vasakpoolsed küljed, saame:

(jagasime võrrandi mõlemad pooled nullist erineva avaldisega b 1 q 4).

Võrrandist q 2 - q - 2 = 0 leiame q 1 = 2, q 2 = -1. Asendades väärtuse q = 2 süsteemi teise võrrandisse, saame
Asendades väärtuse q = -1 süsteemi teise võrrandisse, saame b 1 1 0 = 48; sellel võrrandil pole lahendeid.

Niisiis, b 1 =1, q = 2 – see paar on koostatud võrrandisüsteemi lahendus.

Nüüd saame üles kirjutada ülesandes käsitletud geomeetrilise progressiooni: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ....

Kolmas etapp.

Vastus probleemiküsimusele. Peate arvutama b 12. Meil on

Vastus: b 12 = 2048.

3. Lõpliku geomeetrilise progressiooni liikmete summa valem.

Olgu antud lõplik geomeetriline progressioon

Tähistame S n-ga selle liikmete summa, s.o.

Tuletame selle summa leidmise valemi.

Alustame kõige lihtsamast juhtumist, kui q = 1. Siis koosneb geomeetriline progressioon b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn n arvust, mis on võrdne b 1 -ga, s.o. progresseerumine näeb välja nagu b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Nende arvude summa on nb 1.

Olgu nüüd q = 1 S n leidmiseks rakendame tehistehnikat: teostame avaldise S n q mõned teisendused. Meil on:

Teisenduste sooritamisel kasutasime esiteks geomeetrilise progressiooni definitsiooni, mille järgi (vt kolmas arutluskäik); teiseks liideti ja lahutati, mistõttu väljendi tähendus muidugi ei muutunud (vt neljas arutluskäik); kolmandaks kasutasime geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemit:

Valemist (1) leiame:

See on geomeetrilise progressiooni n liikme summa valem (juhul, kui q = 1).

Näide 8.

Antud lõplik geomeetriline progressioon

a) progressiooni tingimuste summa; b) selle liikmete ruutude summa.

b) Eespool (vt lk 132) oleme juba märkinud, et kui geomeetrilise progressiooni kõik liikmed on ruudus, siis saame geomeetrilise progressiooni esimese liikmega b 2 ja nimetajaga q 2. Seejärel arvutatakse uue progressiooni kuue liikme summa

Näide 9.

Leidke geomeetrilise progressiooni 8. liige, mille jaoks

Tegelikult oleme tõestanud järgmise teoreemi.

Arvjada on geomeetriline progressioon siis ja ainult siis, kui selle iga liikme ruut, välja arvatud esimene teoreem (ja viimane, lõpliku jada puhul), on võrdne eelneva ja järgneva liikme korrutisega (a geomeetrilise progressiooni iseloomulik omadus).

Masterwebist

22.09.2018 22:00

Geomeetriline progressioon koos aritmeetilise progressiooniga on oluline arvurida, mida õpitakse kooli algebra kursusel 9. klassis. Selles artiklis vaatleme geomeetrilise progressiooni nimetajat ja seda, kuidas selle väärtus mõjutab selle omadusi.

Geomeetrilise progressiooni definitsioon

Esiteks anname selle numbrirea definitsiooni. Sellist seeriat nimetatakse geomeetriliseks progressiooniks ratsionaalsed arvud, mis saadakse selle esimese elemendi järjestikuse korrutamisel konstantse arvuga, mida nimetatakse nimetajaks.

Näiteks arvud reas 3, 6, 12, 24, ... on geomeetriline progressioon, sest kui korrutada 3 (esimene element) 2-ga, saad 6. Kui korrutate 6 2-ga, saate 12 ja nii edasi.

Vaadeldava jada liikmeid tähistatakse tavaliselt sümboliga ai, kus i on täisarv, mis näitab elemendi arvu reas.

Ülaltoodud progressiooni definitsiooni saab matemaatilises keeles kirjutada järgmiselt: an = bn-1 * a1, kus b on nimetaja. Seda valemit on lihtne kontrollida: kui n = 1, siis b1-1 = 1 ja saame a1 = a1. Kui n = 2, siis an = b * a1 ja jõuame taas kõnealuse arvujada definitsioonini. Sarnast arutlust saab jätkata ka suurte n väärtuste puhul.

Geomeetrilise progressiooni nimetaja

Arv b määrab täielikult, mis tähemärki kogu numbriseeria saab. Nimetaja b võib olla positiivne, negatiivne või suurem või väiksem kui üks. Kõik ülaltoodud valikud viivad erinevate jadadeni:

b > 1. Ratsionaalarvude jada kasvab. Näiteks 1, 2, 4, 8, ... Kui element a1 on negatiivne, siis kogu jada suureneb ainult absoluutväärtuses, kuid väheneb sõltuvalt numbrite märgist.
b = 1. Sageli ei nimetata seda juhtumit progressiooniks, kuna on olemas tavaline identsete ratsionaalarvude jada. Näiteks -4, -4, -4.

Summa valem

Enne konkreetsete probleemide käsitlemist, kasutades vaadeldava progressitüübi nimetajat, tuleks esitada selle esimese n elemendi summa jaoks oluline valem. Valem näeb välja selline: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Selle avaldise saate ise hankida, kui arvestada progressi terminite rekursiivset jada. Pange tähele ka seda, et ülaltoodud valemis piisab suvalise arvu terminite summa leidmiseks ainult esimese elemendi ja nimetaja teadmisest.

Lõpmatult kahanev järjestus

Eespool selgitati, mis see on. Nüüd, teades Sn valemit, rakendame seda sellele arvuseeriale. Kuna iga arv, mille moodul ei ületa 1, kipub nulli, kui seda tõstetakse suurtele astmetele, st b∞ => 0, kui -1

Kuna erinevus (1 - b) on alati positiivne, olenemata nimetaja väärtusest, määrab lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni S∞ summa märk üheselt selle esimese elemendi a1 märgiga.

Vaatame nüüd mitmeid probleeme, kus näitame, kuidas omandatud teadmisi konkreetsete numbrite puhul rakendada.

Ülesanne nr 1. Tundmatute progressioonielementide ja summa arvutamine

Arvestades geomeetrilist progressiooni, on progressiooni nimetaja 2 ja selle esimene element on 3. Millega võrdub selle 7. ja 10. liige ning mis on selle seitsme algelemendi summa?

Probleemi tingimus on üsna lihtne ja hõlmab ülaltoodud valemite otsest kasutamist. Niisiis, elemendi arvu n arvutamiseks kasutame avaldist an = bn-1 * a1. 7. elemendi jaoks on meil: a7 = b6 * a1, asendades teadaolevad andmed, saame: a7 = 26 * 3 = 192. Teeme sama 10. liikmega: a10 = 29 * 3 = 1536.

Kasutame summa jaoks üldtuntud valemit ja määrame selle väärtuse seeria esimese 7 elemendi jaoks. Meil on: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Ülesanne nr 2. Progressi suvaliste elementide summa määramine

Olgu -2 võrdne geomeetrilise progressiooni bn-1 * 4 nimetajaga, kus n on täisarv. On vaja kindlaks määrata selle seeria 5.–10. elemendi summa, kaasa arvatud.

Esitatud probleemi ei saa teadaolevate valemite abil otse lahendada. Seda saab lahendada kahe erineva meetodi abil. Teema esituse lõpetamiseks esitame mõlemad.

1. meetod. Idee on lihtne: peate arvutama esimeste liikmete kaks vastavat summat ja seejärel lahutama teisest ühest. Arvutame väiksema summa: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Nüüd arvutame suurema summa: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Pange tähele, et viimases avaldises liideti ainult 4 liiget, kuna 5. on juba ülesande tingimuste kohaselt arvutatava summa sees. Lõpuks võtame erinevuse: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Meetod 2. Enne arvude asendamist ja loendamist saate saada valemi vaadeldava jada m ja n liikme vahelise summa kohta. Teeme täpselt sama, mis meetodis 1, ainult et kõigepealt töötame summa sümboolse esitusega. Meil on: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Saadud avaldisesse saate asendada teadaolevad arvud ja arvutada lõpptulemuse: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Ülesanne nr 3. Mis on nimetaja?

Olgu a1 = 2, leidke geomeetrilise progressiooni nimetaja, eeldusel, et selle lõpmatu summa on 3 ja on teada, et see on kahanev arvude jada.

Ülesande tingimuste põhjal pole raske ära arvata, millist valemit selle lahendamiseks kasutada. Muidugi, progresseerumise summa lõpmatult väheneb. Meil on: S∞ = a1 / (1 - b). Kust me väljendame nimetaja: b = 1 - a1 / S∞. Jääb teadaolevad väärtused asendada ja saada vajalik arv: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 või -0,333 (3). Saame seda tulemust kvalitatiivselt kontrollida, kui meeles pidada, et seda tüüpi jada puhul ei tohiks moodul b ületada 1. Nagu näha, |-1 / 3|

Ülesanne nr 4. Numbrirea taastamine

Olgu antud arvurea 2 elementi, näiteks 5. võrdub 30 ja 10. 60. Nende andmete põhjal on vaja rekonstrueerida kogu seeria, teades, et see rahuldab geomeetrilise progressiooni omadusi.

Ülesande lahendamiseks tuleb esmalt kirjutada igale teadaolevale terminile vastav avaldis. Meil on: a5 = b4 * a1 ja a10 = b9 * a1. Nüüd jagage teine avaldis esimesega, saame: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Siit määrame nimetaja, võttes ülesandepüstitusest tuntud terminite suhte viienda juure, b = 1,148698. Asendame saadud arvu ühe tuntud elemendi avaldisega, saame: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Geomeetriline progressioon on arvjada, mille esimene liige on nullist erinev ja iga järgnev liige on võrdne eelmise liikmega, mis on korrutatud sama nullist erineva arvuga.

Geomeetriline progressioon on tähistatud b1,b2,b3, …, bn, … .

Geomeetrilise vea mis tahes liikme suhe selle eelmise liikmega on võrdne sama arvuga, st b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = …. See tuleneb otseselt aritmeetilise progressiooni definitsioonist. Seda arvu nimetatakse geomeetrilise progressiooni nimetajaks. Tavaliselt tähistatakse geomeetrilise progressiooni nimetajat tähega q.

Monotoonne ja pidev järjestus

Üks geomeetrilise progressiooni määramise viise on määrata selle esimene liige b1 ja geomeetrilise vea q nimetaja. Näiteks b1=4, q=-2. Need kaks tingimust määravad geomeetrilise progressiooni 4, -8, 16, -32, ….

Kui q>0 (q ei võrdu 1-ga), siis progresseerumine on monotoonne jada. Näiteks jada 2, 4,8,16,32, ... on monotoonselt kasvav jada (b1=2, q=2).

Kui geomeetrilise vea nimetaja on q=1, siis on kõik geomeetrilise progressiooni liikmed omavahel võrdsed. Sellistel juhtudel öeldakse, et progresseerumine on pidev järjestus.

Geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valem

Selleks, et arvujada (bn) oleks geomeetriline progressioon, on vajalik, et iga selle liige, alates teisest, oleks naaberliikmete geomeetriline keskmine. See tähendab, et on vaja täita järgmine võrrand
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), iga n>0 korral, kus n kuulub hulka naturaalarvud N.

Geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valem on järgmine:

bn=b1*q^(n-1),

kus n kuulub naturaalarvude hulka N.

Geomeetrilise progressiooni esimese n liikme summa valem

Geomeetrilise progressiooni esimese n liikme summa valem on järgmine:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1), kus q ei ole 1.

Vaatame lihtsat näidet:

Geomeetrilises progressioonis b1=6, q=3, n=8 leida Sn.

S8 leidmiseks kasutame geomeetrilise progressiooni esimese n liikme summa valemit.

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19 680.

Aritmeetilised ja geomeetrilised progressioonid

Teoreetiline teave

Teoreetiline teave

	Aritmeetiline progressioon	Geomeetriline progressioon
Definitsioon	Aritmeetiline progressioon a n on jada, milles iga liige, alates teisest, on võrdne samale arvule lisatud eelmise liikmega d (d- progresseerumise erinevus)	Geomeetriline progressioon b n on nullist erinevate arvude jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelmise liikmega korrutatuna sama arvuga q (q- progresseerumise nimetaja)
Kordumise valem	Igasuguse loomuliku jaoks n a n + 1 = a n + d	Igasuguse loomuliku jaoks n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Valemi n-s tähtaeg	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
Iseloomulik omadus
Esimese n liikme summa

Ülesannete näited koos kommentaaridega

1. harjutus

Aritmeetilises progressioonis ( a n) a 1 = -6, a 2

Vastavalt n-nda liikme valemile:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 p

Tingimuse järgi:

a 1= -6, siis a 22= -6 + 21 d.

On vaja leida progressioonide erinevus:

d = a 2- a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Vastus: a 22 = -48.

2. ülesanne

Leidke geomeetrilise progressiooni viies liige: -3; 6;...

1. meetod (kasutades n-liikmelist valemit)

Geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemi järgi:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Sest b 1 = -3,

2. meetod (kasutades korduvat valemit)

Kuna progressiooni nimetaja on -2 (q = -2), siis:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Vastus: b 5 = -48.

3. ülesanne

Aritmeetilises progressioonis ( a n ) a 74 = 34; a 76= 156. Leidke selle progressiooni seitsmekümne viies liige.

Aritmeetilise progressiooni korral on iseloomulikul omadusel vorm .

Seetõttu:

Asendame andmed valemiga:

Vastus: 95.

4. ülesanne

Aritmeetilises progressioonis ( a n ) a n= 3n - 4. Leidke esimese seitsmeteistkümne liikme summa.

Aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa leidmiseks kasutatakse kahte valemit:

Millist neist on sel juhul mugavam kasutada?

Tingimuse järgi on algse progressiooni n-nda liikme valem teada ( a n) a n= 3n - 4. Saate kohe leida a 1, Ja a 16 leidmata d. Seetõttu kasutame esimest valemit.

Vastus: 368.

5. ülesanne

Aritmeetilises progressioonis ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Leidke progressiooni kahekümne teine liige.

Vastavalt n-nda liikme valemile:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21 p.

Tingimusel, kui a 1= -6, siis a 22= -6 + 21 p. On vaja leida progressioonide erinevus:

d = a 2- a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Vastus: a 22 = -48.

6. ülesanne

Kirjutatakse mitu järjestikust geomeetrilise progressiooni liiget:

Leidke x-ga tähistatud progressiooni liige.

Lahendamisel kasutame n-nda liikme valemit b n = b 1 ∙ q n - 1 geomeetriliste progressioonide jaoks. Progressiooni esimene tähtaeg. Progressiooni q nimetaja leidmiseks tuleb võtta ükskõik milline progressiooni antud liige ja jagada eelmisega. Meie näites saame võtta ja jagada. Saame, et q = 3. Asendame valemis n asemel 3, kuna on vaja leida antud geomeetrilise progressiooni kolmas liige.

Asendades leitud väärtused valemisse, saame: