Muinasjutud

Aritmeetilise progressiooni summa määramise valem. Aritmeetilise progressiooni summa. Aritmeetilise ja geomeetrilise progressiooni seos

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga…")

Aritmeetiline progressioon on arvude jada, milles iga arv on sama palju suurem (või väiksem) kui eelmine.

See teema tundub sageli keeruline ja arusaamatu. Kirjade indeksid n-s tähtaeg progressioonid, progressioonierinevused - see kõik on kuidagi segane, jah... Selgitame välja aritmeetilise progressiooni tähenduse ja kõik läheb kohe paremaks.)

Aritmeetilise progressiooni mõiste.

Aritmeetiline progressioon on väga lihtne ja selge mõiste. Kas teil on kahtlusi? Asjata.) Vaadake ise.

Kirjutan lõpetamata numbrite jada:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Kas saate seda sarja pikendada? Millised numbrid tulevad pärast viit? Kõik... uh..., ühesõnaga, kõik saavad aru, et järgmisena tulevad numbrid 6, 7, 8, 9 jne.

Teeme ülesande keerulisemaks. Annan teile lõpetamata numbrite jada:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Saate mustri püüda, seeriat pikendada ja nime anda seitsmes rea number?

Kui saite aru, et see arv on 20, siis palju õnne! Sa mitte ainult ei tundnud aritmeetilise progressiooni põhipunktid, kuid kasutas neid edukalt ka äris! Kui te pole sellest aru saanud, lugege edasi.

Tõlgime nüüd aistingute põhipunktid matemaatikasse.)

Esimene võtmepunkt.

Aritmeetiline progressioon käsitleb arvujadasid. See on alguses segane. Oleme harjunud võrrandeid lahendama, graafikuid joonistama ja kõike muud... Aga siin me laiendame seeriat, leiame seeria numbri...

See on korras. Lihtsalt progressioonid on esimene tutvus uue matemaatikaharuga. Jaotis kannab nime "Seeria" ja töötab spetsiaalselt numbrite ja avaldiste seeriatega. Harju sellega.)

Teine võtmepunkt.

Aritmeetilises progressioonis erineb mis tahes arv eelmisest sama palju.

Esimeses näites on see erinevus üks. Ükskõik, millise numbri te võtate, on see ühe võrra suurem kui eelmine. Teises - kolm. Iga number on eelmisest kolme võrra suurem. Tegelikult annab see hetk meile võimaluse mustrist aru saada ja järgnevaid numbreid arvutada.

Kolmas põhipunkt.

See hetk ei raba, jah... Aga see on väga-väga oluline. Siin ta on: Iga edenemisnumber on omal kohal. On esimene number, on seitsmes, on neljakümne viies jne. Kui segate need juhuslikult, muster kaob. Kaob ka aritmeetiline progressioon. Järele on jäänud vaid numbrite jada.

See on kogu asja mõte.

Muidugi sisse uus teema ilmuvad uued terminid ja nimetused. Sa pead neid teadma. Vastasel juhul ei saa te ülesandest aru. Näiteks peate otsustama midagi sellist:

Kirjutage üles aritmeetilise progressiooni (a n) kuus esimest liiget, kui a 2 = 5, d = -2,5.

Inspireeriv?) Tähed, mõned indeksid... Ja ülesanne, muide, ei saaks olla lihtsam. Peate lihtsalt mõistma mõistete ja nimetuste tähendust. Nüüd saame selle asja selgeks ja naaseme ülesande juurde.

Tingimused ja nimetused.

Aritmeetiline progressioon on arvude jada, milles iga number erineb eelmisest sama palju.

Seda kogust nimetatakse . Vaatame seda kontseptsiooni üksikasjalikumalt.

Aritmeetilise progressiooni erinevus.

Aritmeetilise progressiooni erinevus on summa, mille võrra mis tahes edenemisarv rohkem eelmine.

Üks oluline punkt. Palun pöörake sõnale tähelepanu "rohkem". Matemaatiliselt tähendab see, et iga progressiooniarv on lisades aritmeetilise progressiooni erinevus eelmisest numbrist.

Arvutamiseks ütleme teiseks seeria numbrid, peate esiteks number lisama just see aritmeetilise progressiooni erinevus. Arvutamiseks viies- vahe on vajalik lisama To neljas, noh jne.

Aritmeetilise progressiooni erinevus Võib olla positiivne, siis osutub seeria iga number tõeliseks rohkem kui eelmine. Seda progresseerumist nimetatakse suureneb. Näiteks:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Siin saadakse iga number lisades positiivne arv, +5 eelmisele.

Erinevus võib olla negatiivne, siis on seeria iga number vähem kui eelmine. Seda edenemist nimetatakse (te ei usu seda!) väheneb.

Näiteks:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Siin saadakse ka iga number lisades eelmisele, aga juba negatiivne arv, -5.

Muide, progresseerumisega töötades on väga kasulik kohe kindlaks teha selle olemus - kas see suureneb või väheneb. See aitab palju otsuses orienteeruda, oma vigu märgata ja need parandada enne, kui on liiga hilja.

Aritmeetilise progressiooni erinevus tähistatakse tavaliselt tähega d.

Kuidas leida d? Väga lihtne. See tuleb lahutada mis tahes arvust seerias eelmine number. Lahutage. Muide, lahutamise tulemust nimetatakse "erinevuseks".)

Määratleme näiteks d aritmeetilise progressiooni suurendamiseks:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Võtame reas suvalise arvu, mida tahame, näiteks 11. Lahutame sellest eelmine number need. 8:

See on õige vastus. Selle aritmeetilise progressiooni puhul on erinevus kolm.

Võite selle võtta mis tahes edenemisnumber, sest konkreetse progresseerumise jaoks d-alati sama. Vähemalt kuskil rea alguses, vähemalt keskel, vähemalt igal pool. Te ei saa võtta ainult esimest numbrit. Lihtsalt sellepärast, et kõige esimene number eelmist pole.)

Muide, seda teades d=3, on selle progressi seitsmenda numbri leidmine väga lihtne. Liidame viiendale arvule 3 – saame kuuenda, sellest saab 17. Kuuendale arvule liidame kolm, saame seitsmenda numbri – kakskümmend.

Defineerime d kahaneva aritmeetilise progressiooni jaoks:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Tuletan teile meelde, et olenemata märkidest, määrata d vaja suvalisest numbrist võta eelmine ära. Valige mis tahes edenemisnumber, näiteks -7. Tema eelmine number on -2. Seejärel:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Aritmeetilise progressiooni erinevus võib olla mis tahes arv: täisarv, murdosa, irratsionaalne, suvaline arv.

Muud terminid ja nimetused.

Iga seeria numbrit nimetatakse aritmeetilise progressiooni liige.

Iga progressiooni liige on oma number. Numbrid on rangelt korras, ilma igasuguste nippideta. Esimene, teine, kolmas, neljas jne. Näiteks progressioonis 2, 5, 8, 11, 14, ... kaks on esimene liige, viis on teine, üksteist on neljas, noh, saate aru...) Palun saage selgelt aru - numbrid ise võib olla absoluutselt ükskõik, terviklik, murdosa, negatiivne, mis iganes, aga numbrite nummerdamine- rangelt korras!

Kuidas edasiminekut sisse kirjutada üldine vaade? Pole probleemi! Iga seeria number on kirjutatud tähena. Aritmeetilise progressiooni tähistamiseks kasutatakse tavaliselt tähte a. Liikmenumbrit tähistab indeks all paremal. Kirjutame terminid eraldatuna komadega (või semikooloniga) järgmiselt:

1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1- see on esimene number, a 3- kolmas jne. Ei midagi uhket. Selle seeria võib lühidalt kirjutada järgmiselt: (a n).

Progresseerumine toimub lõplik ja lõpmatu.

Ülim progressioonil on piiratud arv liikmeid. Viis, kolmkümmend kaheksa, mida iganes. Aga see on lõplik arv.

Lõpmatu progressioon – sellel on lõpmatu arv liikmeid, nagu võite arvata.)

Lõpliku edenemise saate kirjutada sellise seeria kaudu, kõik terminid ja punkt lõpus:

1, 2, 3, 4, 5.

Või nii, kui liikmeid on palju:

1, 2, ... 14, 15.

Lühikirjes peate lisaks märkima liikmete arvu. Näiteks (kahekümnele liikmele) nii:

(a n), n = 20

Lõpmatu edenemise tunneb ära rea lõpus oleva ellipsi järgi, nagu selle õppetüki näidetes.

Nüüd saate ülesandeid lahendada. Ülesanded on lihtsad, ainult aritmeetilise progressiooni tähenduse mõistmiseks.

Aritmeetilise progressiooni ülesannete näited.

Vaatame üksikasjalikult ülaltoodud ülesannet:

1. Kirjutage välja aritmeetilise progressiooni (a n) kuus esimest liiget, kui a 2 = 5, d = -2,5.

Tõlgime ülesande arusaadavasse keelde. Antakse lõpmatu aritmeetiline progressioon. Selle edenemise teine number on teada: a 2 = 5. Progressi erinevus on teada: d = -2,5. Peame leidma selle edenemise esimese, kolmanda, neljanda, viienda ja kuuenda liikme.

Selguse huvides kirjutan üles seeria vastavalt ülesande tingimustele. Esimesed kuus terminit, kus teine termin on viis:

1, 5, 3, 4, 5, 6,...

a 3 = a 2 + d

Asendage väljendiga a 2 = 5 Ja d = -2,5. Ärge unustage miinust!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Kolmas ametiaeg osutus teisest väiksemaks. Kõik on loogiline. Kui arv on suurem kui eelmine negatiivne väärtus, mis tähendab, et arv ise on eelmisest väiksem. Progresseerumine väheneb. Olgu, võtame seda arvesse.) Me arvestame oma sarja neljandat perioodi:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Seega arvutati terminid kolmandast kuuendani. Tulemuseks on järgmine seeria:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Jääb üle leida esimene termin a 1 teada-tuntud teise järgi. See on samm teises suunas, vasakule.) Niisiis, aritmeetilise progressiooni erinevus d ei tohiks lisada a 2, A ära viima:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

See on kõik. Ülesande vastus:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Möödaminnes märgin, et me selle ülesande lahendasime korduv tee. See hirmutav sõna tähendab lihtsalt progressi liikme otsimist eelmise (kõrvaloleva) numbri järgi. Allpool vaatleme muid võimalusi progresseerumisega töötamiseks.

Sellest lihtsast ülesandest saab teha ühe olulise järelduse.

Pidage meeles:

Kui teame vähemalt ühte liiget ja aritmeetilise progressiooni erinevust, võime leida selle progressiooni mis tahes liikme.

Kas sa mäletad? See lihtne järeldus võimaldab teil lahendada enamiku selle teema koolikursuse probleeme. Kõik ülesanded on seotud kolme põhiparameetriga: aritmeetilise progressiooni liige, progressiooni erinevus, progressiooni liikme arv. Kõik.

Loomulikult ei tühistata kogu eelnevat algebrat.) Progressiooniga on seotud ebavõrdsused, võrrandid ja muud. Aga vastavalt progresseerumisele endale- kõik keerleb kolme parameetri ümber.

Näitena vaatame mõnda populaarset selleteemalist ülesannet.

2. Kirjutage lõplik aritmeetiline progressioon seeriana, kui n=5, d = 0,4 ja a 1 = 3,6.

Siin on kõik lihtne. Kõik on juba antud. Peate meeles pidama, kuidas aritmeetilise progressiooni liikmeid loendatakse, loendama ja üles kirjutama. Ülesande tingimustes on soovitatav mitte jätta märkamata sõnu: "lõplik" ja " n = 5". Et mitte arvestada enne, kui olete näost täiesti siniseks muutunud.) Selles protsessis on ainult 5 (viis) liiget:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Jääb üle vastus kirja panna:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Teine ülesanne:

3. Tehke kindlaks, kas arv 7 on aritmeetilise progressiooni (a n) liige, kui a 1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm... Kes teab? Kuidas midagi kindlaks teha?

Kuidas-kuidas... Pane edenemine seeria kujul kirja ja vaata, kas seal tuleb seitse või mitte! Me arvestame:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Nüüd on selgelt näha, et meid on alles seitse lipsas läbi vahemikus 6,5 kuni 7,7! Seitse ei pääsenud meie arvude seeriasse ja seetõttu ei kuulu seitse antud progressi.

Vastus: ei.

Ja siin on probleem, mis põhineb GIA tegelikul versioonil:

4. Kirjutatakse välja mitu aritmeetilise progressiooni järjestikust liiget:

...; 15; X; 9; 6; ...

Siin on sari, mis on kirjutatud ilma lõpu ja alguseta. Pole liikmenumbreid, pole vahet d. See on korras. Ülesande lahendamiseks piisab aritmeetilise progressiooni tähenduse mõistmisest. Vaatame ja vaatame, mis on võimalik teadma sellest sarjast? Mis on kolm peamist parameetrit?

Liikmete numbrid? Siin pole ühtegi numbrit.

Aga seal on kolm numbrit ja – tähelepanu! - sõna "järjekindel" seisukorras. See tähendab, et numbrid on rangelt korras, ilma lünkadeta. Kas selles reas on kaks? naaber teadaolevad numbrid? Jah mul on! Need on 9 ja 6. Seega saame arvutada aritmeetilise progressiooni erinevuse! Kuuest lahutada eelmine number, st. üheksa:

Jäänud on vaid pisiasjad. Mis number on X jaoks eelmine? Viisteist. See tähendab, et X on lihtsa liitmise teel kergesti leitav. Lisage aritmeetilise progressiooni erinevus 15-le:

See on kõik. Vastus: x=12

Järgmised probleemid lahendame ise. Märkus: need probleemid ei põhine valemitel. Puhtalt selleks, et mõista aritmeetilise progressiooni tähendust.) Kirjutame lihtsalt numbrite ja tähtede jada, vaatame ja mõtleme välja.

5. Leidke aritmeetilise progressiooni esimene positiivne liige, kui a 5 = -3; d = 1,1.

6. On teada, et arv 5,5 on aritmeetilise progressiooni liige (a n), kus a 1 = 1,6; d = 1,3. Määrake selle liikme arv n.

7. On teada, et aritmeetilises progressioonis a 2 = 4; a 5 = 15,1. Leia 3.

8. Kirjutatakse välja mitu aritmeetilise progressiooni järjestikust liiget:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Leidke tähega x tähistatud progressiooni liige.

9. Rong hakkas jaamast liikuma, suurendades ühtlaselt kiirust 30 meetrit minutis. Kui suur on rongi kiirus viie minuti pärast? Esitage oma vastus km/h.

10. On teada, et aritmeetilises progressioonis a 2 = 5; a 6 = -5. Leia 1.

Vastused (segaselt): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Kõik õnnestus? Hämmastav! Lisateavet saate aritmeetilist progressiooni juhtida kõrge tase, järgmistes õppetundides.

Kas kõik ei õnnestunud? Pole probleemi. Erijaotises 555 on kõik need probleemid tükkhaaval välja sorteeritud.) Ja loomulikult kirjeldatakse lihtsat praktilist tehnikat, mis toob selliste ülesannete lahenduse kohe selgelt, selgelt, ühe pilguga esile!

Muide, rongimõistatuses on kaks probleemi, mille otsa inimesed sageli komistavad. Üks on puhtalt edenemise mõttes ja teine on üldine matemaatika ja ka füüsika probleemide jaoks. See on mõõtmete tõlge ühelt teisele. See näitab, kuidas need probleemid tuleks lahendada.

Selles õppetükis vaatlesime aritmeetilise progressiooni elementaarset tähendust ja selle peamisi parameetreid. Sellest piisab peaaegu kõigi selle teemaga seotud probleemide lahendamiseks. Lisama d numbrite juurde, kirjuta seeria, kõik laheneb.

Sõrmelahendus sobib hästi väga lühikeste rea tükkide puhul, nagu selle õpetuse näidetes. Kui seeria on pikem, muutuvad arvutused keerulisemaks. Näiteks kui asendate küsimuse ülesandes 9 "viis minutit" peal "kolmkümmend viis minutit" probleem muutub oluliselt hullemaks.)

Ja on ka ülesandeid, mis on sisuliselt lihtsad, kuid arvutuslikult absurdsed, näiteks:

Antakse aritmeetiline progressioon (a n). Leidke 121, kui a 1 = 3 ja d = 1/6.

Mis siis, kas me lisame 1/6 mitu-mitu korda?! Kas sa saad ennast tappa!?

Saate.) Kui te ei tea lihtsat valemit, mille abil saate selliseid ülesandeid minutiga lahendada. See valem on järgmises õppetükis. Ja see probleem on seal lahendatud. Minuti pärast.)

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Aritmeetilise progressiooni ülesanded eksisteerisid juba iidsetel aegadel. Nad ilmusid ja nõudsid lahendust, kuna neil oli praktiline vajadus.

Niisiis, ühes papüüruses Iidne Egiptus", millel on matemaatiline sisu - Rhindi papüürus (19. sajand eKr) - sisaldab järgmist ülesannet: jagage kümme mõõtu leiba kümne inimese vahel tingimusel, et nende erinevus on üks kaheksandik mõõdust."

Ja iidsete kreeklaste matemaatilistes töödes on elegantseid aritmeetilise progressiooniga seotud teoreeme. Nii sõnastas Aleksandria Hypsicles (2. sajand, kes koostas palju huvitavaid probleeme ja lisas Eukleidese elementidele neljateistkümnenda raamatu) mõtte: „Aritmeetilises progressioonis, mis paarisarv terminite summa on 1/2 liikmete arvu ruudu võrra suurem kui 1. poole liikmete summa.

Jada on tähistatud tähega. Jada numbreid nimetatakse selle liikmeteks ja neid tähistatakse tavaliselt tähtedega koos indeksitega, mis näitavad selle liikme seerianumbrit (a1, a2, a3 ... loe: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" ja nii edasi ).

Jada võib olla lõpmatu või lõplik.

Mis on aritmeetiline progressioon? Selle all peame silmas seda, mis saadakse eelmise liikme (n) liitmisel sama arvuga d, mis on progressiooni erinevus.

Kui d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, siis loetakse see progressioon suurenevaks.

Aritmeetilist progressiooni nimetatakse lõplikuks, kui võtta arvesse ainult selle paar esimest liiget. Väga suure arvu liikmetega see juba on lõputu progress.

Iga aritmeetiline progressioon määratakse järgmise valemiga:

an =kn+b, samas kui b ja k on mõned arvud.

Vastupidine väide on täiesti tõsi: kui jada on antud sarnase valemiga, siis on see täpselt aritmeetiline progressioon, millel on järgmised omadused:

Iga progressiooni liige on eelmise ja järgneva liikme aritmeetiline keskmine.
Vastupidi: kui 2.-st alates on iga liige eelmise ja järgneva liikme aritmeetiline keskmine, s.o. kui tingimus on täidetud, on see jada aritmeetiline progressioon. See võrdsus on ka progresseerumise märk, mistõttu seda tavaliselt nimetatakse progresseerumise iseloomulikuks omaduseks.
Samamoodi on tõene seda omadust kajastav teoreem: jada on aritmeetiline progressioon ainult siis, kui see võrdsus on tõene jada mis tahes liikme puhul, alustades 2.-st.

Aritmeetilise progressiooni mis tahes nelja arvu iseloomulikku omadust saab väljendada valemiga an + am = ak + al, kui n + m = k + l (m, n, k on progressiooniarvud).

Aritmeetilises progressioonis võib mis tahes vajaliku (N-nda) liikme leida järgmise valemi abil:

Näiteks: aritmeetilise progressiooni esimene liige (a1) on antud ja võrdne kolmega ning erinevus (d) on võrdne neljaga. Peate leidma selle edenemise neljakümne viienda liikme. a45 = 1+4(45-1)=177

Valem an = ak + d(n - k) võimaldab määrata aritmeetilise progressiooni n-nda liikme läbi selle mis tahes k-nda liikme, eeldusel, et see on teada.

Aritmeetilise progressiooni liikmete summa (mis tähendab lõpliku progressiooni esimest n liiget) arvutatakse järgmiselt:

Sn = (a1+an) n/2.

Kui on teada ka 1. liige, on arvutamiseks mugav teine valem:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Aritmeetilise progressiooni summa, mis sisaldab n liiget, arvutatakse järgmiselt:

Arvutuste valemite valik sõltub ülesannete tingimustest ja lähteandmetest.

Mis tahes arvu loomulikud jadad, näiteks 1,2,3,...,n,...- lihtsaim näide aritmeetiline progressioon.

Lisaks aritmeetilisele progressioonile on olemas ka geomeetriline progressioon, millel on oma omadused ja omadused.

I. V. Jakovlev | Matemaatika materjalid | MathUs.ru

Aritmeetiline progressioon

Aritmeetiline progressioon on jada eritüüp. Seetõttu peame enne aritmeetilise (ja seejärel geomeetrilise) progressiooni määratlemist lühidalt arutlema numbrijada olulise kontseptsiooni üle.

Järjekord

Kujutage ette seadet, mille ekraanil kuvatakse üksteise järel teatud numbreid. Oletame, et 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : See arvude komplekt on täpselt jada näide.

Definitsioon. Numbrijada on arvude kogum, milles igale numbrile saab omistada kordumatu numbri (st seostada ühe naturaalarvuga)1. Kutsutakse numbrit numbriga n n-s tähtaeg järjestused.

Seega on ülaltoodud näites esimene arv 2, see on jada esimene liige, mida saab tähistada a1-ga; number viis on number 6 on jada viies liige, mida saab tähistada tähega a5. Üldiselt tähistatakse jada n-ndat liiget tähega (või bn, cn jne).

Väga mugav on olukord, kui jada n-nda liikme saab määrata mingi valemiga. Näiteks valem an = 2n 3 määrab jada: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Valem an = (1)n määrab jada: 1; 1; 1; 1; : : :

Mitte iga numbrikomplekt ei ole jada. Seega ei ole segment jada; see sisaldab "liiga palju" numbreid, et neid ümber nummerdada. Hulk R kõigist reaalarvud ei ole ka jada. Need faktid on tõestatud matemaatilise analüüsi käigus.

Aritmeetiline progressioon: põhimõisted

Nüüd oleme valmis defineerima aritmeetilise progressiooni.

Definitsioon. Aritmeetiline progressioon on jada, milles iga liige (alates teisest) on võrdne eelmise liikme ja mõne fikseeritud arvu (mida nimetatakse aritmeetilise progressiooni erinevuseks) summaga.

Näiteks jada 2; 5; 8; üksteist; : : : on aritmeetiline progressioon esimese liikmega 2 ja erinevusega 3. Jada 7; 2; 3; 8; : : : on aritmeetiline progressioon esimese liikmega 7 ja erinevusega 5. Jada 3; 3; 3; : : : on aritmeetiline progressioon, mille erinevus on võrdne nulliga.

Ekvivalentne definitsioon: jada an nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks, kui erinevus an+1 an on konstantne väärtus (sõltumatu n-st).

Aritmeetilist progressiooni nimetatakse suurenevaks, kui selle erinevus on positiivne, ja kahanevaks, kui erinevus on negatiivne.

1 Siin on täpsem määratlus: jada on komplektis määratletud funktsioon naturaalarvud. Näiteks reaalarvude jada on funktsioon f: N ! R.

Vaikimisi peetakse jadasid lõpmatuteks, see tähendab, et need sisaldavad lõpmatu arvu arve. Kuid keegi ei sega meid lõplike jadadega arvestamast; tegelikult võib iga lõplikku arvude hulka nimetada lõplikuks jadaks. Näiteks lõpujada on 1; 2; 3; 4; 5 koosneb viiest numbrist.

Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valem

On lihtne mõista, et aritmeetiline progressioon on täielikult määratud kahe numbriga: esimene liige ja erinevus. Seetõttu tekib küsimus: kuidas, teades esimest liiget ja erinevust, leida aritmeetilise progressiooni suvaline liige?

Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme jaoks vajalikku valemit pole keeruline saada. Laske an

aritmeetiline progressioon erinevusega d. Meil on:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
Eelkõige kirjutame:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
ja nüüd saab selgeks, et a valem on:
an = a1 + (n 1)d:

Ülesanne 1. Aritmeetilises progressioonis 2; 5; 8; üksteist; : : : leia n-nda liikme valem ja arvuta sajanda liige.

Lahendus. Vastavalt valemile (1) on meil:

an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Aritmeetilise progressiooni omadus ja märk

Aritmeetilise progressiooni omadus. Aritmeetilises progressioonis an mis tahes jaoks

Teisisõnu, iga aritmeetilise progressiooni liige (alates teisest) on tema naaberliikmete aritmeetiline keskmine.

	Tõestus. Meil on:
	a n 1 + a n+1		(an d) + (an + d)

mida nõutigi.

Üldisemalt, aritmeetiline progressioon an rahuldab võrdsust

a n = a n k + a n+k

mis tahes n > 2 ja loomuliku k korral< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Selgub, et valem (2) ei ole mitte ainult vajalik, vaid ka piisav tingimus, et jada oleks aritmeetiline progressioon.

Aritmeetiline progressioonimärk. Kui võrdus (2) kehtib kõigi n > 2 kohta, on jada an aritmeetiline progressioon.

Tõestus. Kirjutame valemi (2) ümber järgmiselt:

a n a n 1 = a n+1 a n:

Sellest näeme, et erinevus an+1 an ei sõltu n-st ja see tähendab täpselt, et jada an on aritmeetiline progressioon.

Aritmeetilise progressiooni omaduse ja märgi saab sõnastada ühe väite kujul; Mugavuse huvides teeme seda kolme numbri jaoks (see on olukord, mis probleemide korral sageli ette tuleb).

Aritmeetilise progressiooni iseloomustus. Kolm arvu a, b, c moodustavad aritmeetilise progressiooni siis ja ainult siis, kui 2b = a + c.

Ülesanne 2. (MSU, Majandusteaduskond, 2007) Kolm arvu 8x, 3 x2 ja 4 näidatud järjekorras moodustavad kahaneva aritmeetilise progressiooni. Leidke x ja märkige selle progressiooni erinevus.

Lahendus. Aritmeetilise progressiooni omaduse järgi on meil:

2(3x2) = 8x4, 2x2 + 8x10 = 0, x2 + 4x5 = 0, x = 1; x = 5:

Kui x = 1, siis saame kahaneva progressiooni 8, 2, 4 erinevusega 6. Kui x = 5, siis saame kasvava progressiooni 40, 22, 4; see juhtum ei sobi.

Vastus: x = 1, erinevus on 6.

Aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa

Legend räägib, et ühel päeval käskis õpetaja lastel leida arvude summa 1–100 ja istus vaikselt ajalehte lugema. Siiski ei möödunud paar minutitki, enne kui üks poiss ütles, et on probleemi lahendanud. See oli 9-aastane Carl Friedrich Gauss, hilisem üks ajaloo suurimaid matemaatikuid.

Väikese Gaussi idee oli järgmine. Lase

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Kirjutame selle summa vastupidises järjekorras:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

ja lisage need kaks valemit:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Iga sulgudes olev termin on võrdne 101-ga ja seega on selliseid termineid kokku 100

2S = 101 100 = 10100;

Kasutame seda ideed summa valemi tuletamiseks

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Valemi (3) kasulik modifikatsioon saadakse, kui asendame sellega n-nda liikme valemi an = a1 + (n 1)d:

		2a1 + (n 1)d

Ülesanne 3. Leidke kõigi 13-ga jaguvate positiivsete kolmekohaliste arvude summa.

Lahendus. Kolmekohalised arvud, mis on 13-kordsed, moodustavad aritmeetilise progressiooni, mille esimene liige on 104 ja erinevus on 13; Selle progresseerumise n-s liige on kujul:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Uurime välja, kui palju termineid meie edenemine sisaldab. Selleks lahendame ebavõrdsuse:

6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Seega on meie arengus 69 liiget. Valemi (4) abil leiame vajaliku summa:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Mõned inimesed suhtuvad sõna "edenemine" ettevaatusega, kuna see on jaotiste väga keeruline termin kõrgem matemaatika. Vahepeal on lihtsaim aritmeetiline progressioon taksomeetri töö (kus need veel olemas on). Ja aritmeetilise jada olemuse mõistmine (ja matemaatikas pole midagi tähtsamat kui "olemuse mõistmine") polegi nii keeruline, kui analüüsinud mõnda elementaarset mõistet.

Matemaatiline numbrijada

Numbrijada nimetatakse tavaliselt numbrite jadaks, millest igaühel on oma number.

a 1 on jada esimene liige;

ja 2 on jada teine liige;

ja 7 on jada seitsmes liige;

ja n on jada n-s liige;

Kuid mitte ükski suvaline arvude ja arvude kogum ei huvita meid. Keskendume oma tähelepanu numbrilisele jadale, milles n-nda liikme väärtus on seotud tema järgarvuga matemaatiliselt selgelt formuleeritava seosega. Teisisõnu: n-nda arvu arvväärtus on mingi n-i funktsioon.

a on arvjada liikme väärtus;

n on selle seerianumber;

f(n) on funktsioon, kus järjekorraarv arvjadas n on argument.

Definitsioon

Aritmeetiliseks progressiooniks nimetatakse tavaliselt arvjada, milles iga järgnev liige on sama arvu võrra suurem (väiksem) kui eelmine liige. Aritmeetilise jada n-nda liikme valem on järgmine:

a n - aritmeetilise progressiooni praeguse liikme väärtus;

a n+1 - järgmise arvu valem;

d - erinevus (teatud arv).

Lihtne on kindlaks teha, et kui erinevus on positiivne (d>0), on iga järgmine vaadeldava jada liige suurem kui eelmine ja selline aritmeetiline progressioon on kasvav.

Alloleval graafikul on lihtne mõista, miks numbrijada nimetatakse "suurendamiseks".

Juhtudel, kui erinevus on negatiivne (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Määratud liikme väärtus

Mõnikord on vaja määrata aritmeetilise progressiooni suvalise liikme a n väärtus. Seda saab teha, arvutades järjestikku aritmeetilise progressiooni kõigi liikmete väärtused, alustades esimesest kuni soovitud. See tee ei ole aga alati vastuvõetav, kui on vaja leida näiteks viietuhandik või kaheksamiljondikliikme väärtus. Traditsioonilised arvutused võtavad palju aega. Konkreetset aritmeetilist progressiooni saab aga uurida teatud valemite abil. Samuti on olemas valem n-nda liikme jaoks: aritmeetilise progressiooni mis tahes liikme väärtuse saab määrata progressiooni esimese liikme summana progressiooni erinevusega, korrutatuna soovitud liikme arvuga, mis on vähendatud üks.

Valem on universaalne progresseerumise suurendamiseks ja vähendamiseks.

Näide antud termini väärtuse arvutamisest

Lahendame järgmise aritmeetilise progressiooni n-nda liikme väärtuse leidmise ülesande.

Tingimus: on aritmeetiline progressioon parameetritega:

Jada esimene liige on 3;

Arvuridade erinevus on 1,2.

Ülesanne: peate leidma 214 termini väärtuse

Lahendus: antud termini väärtuse määramiseks kasutame valemit:

a(n) = a1 + d(n-1)

Asendades probleemiavalduse andmed avaldisesse, saame:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Vastus: jada 214. liige on võrdne 258,6-ga.

Selle arvutusmeetodi eelised on ilmsed - kogu lahendus ei võta rohkem kui 2 rida.

Teatud arvu terminite summa

Väga sageli on antud aritmeetilises seerias vaja kindlaks määrata mõne selle segmendi väärtuste summa. Selleks pole vaja ka iga termini väärtusi arvutada ja neid seejärel kokku liita. See meetod on rakendatav, kui terminite arv, mille summat on vaja leida, on väike. Muudel juhtudel on mugavam kasutada järgmist valemit.

Aritmeetilise progressiooni liikmete summa 1-st n-ni võrdub esimese ja n-nda liikme summaga, mis on korrutatud liikme arvuga n ja jagatud kahega. Kui valemis asendatakse n-nda liikme väärtus artikli eelmise lõigu avaldisega, saame:

Arvutamise näide

Näiteks lahendame probleemi järgmiste tingimustega:

Jada esimene liige on null;

Vahe on 0,5.

Probleem nõuab seeria tingimuste summa määramist vahemikus 56 kuni 101.

Lahendus. Kasutame progresseerumise suuruse määramiseks valemit:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Esiteks määrame progressiooni 101 liikme väärtuste summa, asendades meie probleemi antud tingimused valemiga:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525

Ilmselt tuleb 56.-st 101.-ni progresseerumise liikmete summa väljaselgitamiseks lahutada S 101-st S 55.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Seega on selle näite aritmeetilise progressiooni summa:

s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1782,5

Näide aritmeetilise progressiooni praktilisest rakendamisest

Artikli lõpus pöördume tagasi esimeses lõigus toodud aritmeetilise jada näite juurde - taksomeeter (taksoauto arvesti). Vaatleme seda näidet.

Takso (sisaldab 3 km sõitu) istumine maksab 50 rubla. Iga järgnev kilomeeter makstakse 22 rubla/km. Sõidukaugus on 30 km. Arvutage reisi maksumus.

1. Loobume esimesed 3 km, mille hind sisaldub maandumiskulus.

30 - 3 = 27 km.

2. Edasine arvutamine ei ole midagi muud kui aritmeetilise numbrirea sõelumine.

Liikmenumber – läbitud kilomeetrite arv (miinus kolm esimest).

Liikme väärtus on summa.

Selle ülesande esimene liige on 1 = 50 rubla.

Progressi erinevus d = 22 r.

meid huvitav number on aritmeetilise progressiooni (27+1) liikme väärtus - meetri näit 27. kilomeetri lõpus on 27,999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Suvaliselt pika perioodi kalendriandmete arvutused põhinevad teatud arvjadasid kirjeldavatel valemitel. Astronoomias on orbiidi pikkus geomeetriliselt sõltuv taevakeha kaugusest tähest. Lisaks kasutatakse erinevaid arvuridu edukalt statistikas ja muudes matemaatika rakendusvaldkondades.

Teine numbrijada tüüp on geomeetriline

Geomeetrilist progressiooni iseloomustavad suuremad muutused võrreldes aritmeetilise progressiooniga. Pole juhus, et poliitikas, sotsioloogias ja meditsiinis öeldakse, et konkreetse nähtuse, näiteks haiguse epideemia ajal, suure leviku kiiruse näitamiseks, et protsess areneb geomeetriline progressioon.

Geomeetrilise arvu jada N liige erineb eelmisest selle poolest, et see on korrutatud mingi konstantse arvuga - nimetaja, näiteks esimene liige on 1, nimetaja on vastavalt võrdne 2-ga, siis:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n = 5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - geomeetrilise progressiooni praeguse liikme väärtus;

b n+1 - geomeetrilise progressiooni järgmise liikme valem;

q on geomeetrilise progressiooni nimetaja (konstantne arv).

Kui aritmeetilise progressiooni graafik on sirgjoon, siis geomeetriline progressioon annab veidi teistsuguse pildi:

Nagu aritmeetika puhul, on geomeetrilisel progressioonil suvalise liikme väärtuse valem. Geomeetrilise progressiooni mis tahes n-s liige on võrdne esimese liikme ja progressi nimetaja korrutisega n astmeni, mida on vähendatud ühega:

Näide. Meil on geomeetriline progressioon, mille esimene liige on 3 ja progressiooni nimetaja on 1,5. Leiame progressiooni 5. liikme

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Spetsiaalse valemi abil arvutatakse ka teatud arvu terminite summa. Geomeetrilise progressiooni esimese n liikme summa on võrdne progressiooni n-nda liikme ja selle nimetaja korrutise ning progressiooni esimese liikme korrutise vahega, mis on jagatud nimetajaga, mis on vähendatud ühega: