Kooliks valmistumine

Kuidas õppida lahendama aritmeetilist progressiooni. Algebra: Aritmeetilised ja geomeetrilised progressioonid. Aritmeetilise progressiooni summa

Näiteks jada \(2\); \(5\); \(8\); \(üksteist\); \(14\)... on aritmeetiline progressioon, kuna iga järgnev element erineb eelmisest kolme võrra (saab eelmisest kolme liites):

Selles progressioonis on erinevus \(d\) positiivne (võrdne \(3\)) ja seetõttu on iga järgmine liige suurem kui eelmine. Selliseid progressioone nimetatakse suureneb.

Samas võib ka \(d\) olla negatiivne arv. Näiteks, aritmeetilises progressioonis \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progresseerumise vahe \(d\) võrdub miinus kuuega.

Ja sel juhul on iga järgmine element väiksem kui eelmine. Neid progressioone nimetatakse väheneb.

Aritmeetiline progressiooni tähistus

Edenemist tähistab väike ladina täht.

Arve, mis moodustavad progressiooni, nimetatakse liikmed(või elemendid).

Neid tähistatakse aritmeetilise progressioonina sama tähega, kuid numbrilise indeksiga, mis on võrdne elemendi numbriga järjekorras.

Näiteks aritmeetiline progressioon \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) koosneb elementidest \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) ja nii edasi.

Teisisõnu, progressi jaoks \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Aritmeetilise progressiooniülesannete lahendamine

Põhimõtteliselt on ülaltoodud teave juba piisav peaaegu kõigi aritmeetilise progressiooniprobleemide lahendamiseks (kaasa arvatud OGE-s pakutavad).

Näide (OGE). Aritmeetiline progressioon antud tingimustega \(b_1=7; d=4\). Otsige üles \(b_5\).
Lahendus:

Vastus: \(b_5=23\)

Näide (OGE). Aritmeetilise progressiooni kolm esimest liiget on antud: \(62; 49; 36…\) Leidke selle progressiooni esimese negatiivse liikme väärtus.
Lahendus:

	Meile antakse jada esimesed elemendid ja teame, et see on aritmeetiline progressioon. See tähendab, et iga element erineb naabrist sama numbri võrra. Uurime välja, milline, lahutades järgmisest elemendist eelmise: \(d=49-62=-13\).
	Nüüd saame taastada oma arengu (esimese negatiivse) elemendini, mida vajame.
	Valmis. Võite kirjutada vastuse.

Vastus: \(-3\)

Näide (OGE). Antud aritmeetilise progressiooni mitu järjestikust elementi: \(…5; x; 10; 12,5...\) Leia tähega \(x\) tähistatud elemendi väärtus.
Lahendus:

	\(x\) leidmiseks peame teadma, kui palju erineb järgmine element eelmisest ehk teisisõnu progresseerumise erinevus. Leiame selle kahe teadaoleva naaberelemendi järgi: \(d=12,5-10=2,5\).
	Ja nüüd leiame lihtsalt selle, mida otsime: \(x=5+2.5=7.5\).
	Valmis. Võite kirjutada vastuse.

Vastus: \(7,5\).

Näide (OGE). Aritmeetiline progressioon määratakse järgmiste tingimustega: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Leidke selle progressiooni esimese kuue liikme summa.
Lahendus:

Peame leidma progressiooni esimese kuue liikme summa. Kuid me ei tea nende tähendusi, meile antakse ainult esimene element. Seetõttu arvutame esmalt väärtused ükshaaval, kasutades meile antud:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
Ja kui oleme välja arvutanud kuus vajalikku elementi, leiame nende summa.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Vajalik summa on leitud.

Vastus: \(S_6=9\).

Näide (OGE). Aritmeetilises progressioonis \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Leidke selle edenemise erinevus.
Lahendus:

Vastus: \(d=7\).

Aritmeetilise progressiooni olulised valemid

Nagu näete, saab paljusid aritmeetilise progressiooni ülesandeid lahendada lihtsalt peamise mõistmisega - et aritmeetiline progressioon on arvude ahel ja iga järgnev element selles ahelas saadakse, lisades sama arvu eelmisele ( progresseerumise erinevus).

Kuid mõnikord tuleb ette olukordi, kus "peapealt" otsustamine on väga ebamugav. Näiteks kujutage ette, et kõige esimeses näites peame leidma mitte viienda elemendi \(b_5\), vaid kolmesaja kaheksakümne kuuenda \(b_(386)\). Kas peaksime lisama neli \(385\) korda? Või kujutage ette, et eelviimases näites peate leidma esimese seitsmekümne kolme elemendi summa. Sa oled väsinud loendamisest...

Seetõttu ei lahenda nad sellistel puhkudel asju “peapeale”, vaid kasutavad aritmeetiliseks progressiooniks tuletatud spetsiaalseid valemeid. Ja peamised neist on progressiooni n-nda liikme valem ja \(n\) esimeste liikmete summa valem.

\(n\)-nda liikme valem: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kus \(a_1\) on progressiooni esimene liige;
\(n\) – nõutava elemendi number;
\(a_n\) – progressi liige numbriga \(n\).

See valem võimaldab meil kiiresti leida isegi kolmesajanda või miljonilise elemendi, teades ainult esimest ja progressiooni erinevust.

Näide. Aritmeetiline progressioon määratakse tingimustega: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Otsige üles \(b_(246)\).
Lahendus:

Vastus: \(b_(246)=1850\).

Esimese n liikme summa valem: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kus

\(a_n\) – viimane summeeritud liige;

Näide (OGE). Aritmeetiline progressioon määratakse tingimustega \(a_n=3,4n-0,6\). Leidke selle progressiooni esimeste \(25\) liikmete summa.
Lahendus:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Esimese kahekümne viie liikme summa arvutamiseks peame teadma esimese ja kahekümne viienda liikme väärtust. Meie progressioon on antud n-nda liikme valemiga sõltuvalt selle arvust (vt täpsemalt). Arvutame esimese elemendi, asendades ühe \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Nüüd leiame kahekümne viienda liikme, asendades \(n\) asemel kakskümmend viis.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Noh, nüüd saame lihtsalt vajaliku summa arvutada.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Vastus on valmis.

Vastus: \(S_(25)=1090\).

Esimeste terminite summa \(n\) jaoks saate teise valemi: peate lihtsalt \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) asemel asenda selle valem \(a_n=a_1+(n-1)d\). Saame:

Esimese n liikme summa valem: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kus

\(S_n\) – \(n\) esimese elemendi nõutav summa;
\(a_1\) – esimene summeeritud liige;
\(d\) – progresseerumise vahe;
\(n\) – elementide arv kokku.

Näide. Leidke aritmeetilise progressiooni esimeste \(33\)-ex liikmete summa: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Lahendus:

Vastus: \(S_(33)=-231\).

Keerulisemad aritmeetilised progressiooniülesanded

Nüüd on sul kõik olemas vajalikku teavet peaaegu kõigi aritmeetilise progressiooniülesannete lahendamiseks. Lõpetagem teema, kaaludes probleeme, mille puhul peate mitte ainult valemeid rakendama, vaid ka veidi mõtlema (matemaatikas võib see olla kasulik ☺)

Näide (OGE). Leidke progressiooni kõigi negatiivsete liikmete summa: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Lahendus:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Ülesanne on väga sarnane eelmisele. Hakkame lahendama sama asja: kõigepealt leiame \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Nüüd tahaksin asendada \(d\) summa valemis... ja siit tuleb välja väike nüanss - me ei tea \(n\). Teisisõnu, me ei tea, kui palju termineid tuleb lisada. Kuidas teada saada? Mõelgem. Me lõpetame elementide lisamise, kui jõuame esimese positiivse elemendini. See tähendab, et peate välja selgitama selle elemendi numbri. Kuidas? Kirjutame üles valemi aritmeetilise progressiooni mis tahes elemendi arvutamiseks: \(a_n=a_1+(n-1)d\) meie juhtumi jaoks.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Peame \(a_n\) olema suuremad kui null. Uurime välja, mis \(n\) see juhtub.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(\|:0,3\)		Jagame ebavõrdsuse mõlemad pooled arvuga \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Kanname üle miinus ühe, unustamata märke vahetada
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Arvutame...
\(n> 65 333…\)		...ja selgub, et esimese positiivse elemendi arv on \(66\). Vastavalt sellele on viimasel negatiivsel \(n=65\). Igaks juhuks kontrollime seda.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Seega peame lisama esimesed \(65\) elemendid.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Vastus on valmis.

Vastus: \(S_(65)=-630,5\).

Näide (OGE). Aritmeetiline progressioon määratakse tingimustega: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Leidke summa elemendist \(26\) kuni \(42\) (kaasa arvatud).
Lahendus:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Selles ülesandes peate leidma ka elementide summa, kuid alustades mitte esimesest, vaid \(26\)-ndast. Selliseks juhuks meil valemit ei ole. Kuidas otsustada? See on lihtne – et saada summa \(26\)-ndast \(42\)-ndani, peate esmalt leidma summa \(1\)-ndast kuni \(42\)-ndani ja seejärel lahutama sellest summa esimesest \(25\)-ndani (vt pilti).
	Meie progressiooni \(a_1=-33\) ja erinevuse \(d=4\) jaoks (lõppkokkuvõttes lisame järgmise leidmiseks neli eelmisele elemendile). Seda teades leiame esimeste \(42\)-y elementide summa.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Nüüd esimeste \(25\) elementide summa.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Ja lõpuks arvutame vastuse.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Vastus: \(S=1683\).

Aritmeetilise progressiooni jaoks on veel mitu valemit, mida me selles artiklis ei arvestanud nende vähese praktilise kasulikkuse tõttu. Siiski saate neid hõlpsalt leida.

Arvujada mõiste eeldab, et iga naturaalarv vastab mõnele reaalväärtusele. Selline arvude jada võib olla kas suvaline või omada teatud omadusi – progressiooni. Viimasel juhul saab jada iga järgneva elemendi (liikme) arvutada eelmise abil.

Aritmeetiline progressioon on arvväärtuste jada, milles selle naaberliikmed erinevad üksteisest sama numbri võrra (kõikidel seeria elementidel, alates teisest, on sarnane omadus). See arv – eelmise ja järgneva termini erinevus – on konstantne ja seda nimetatakse progresseerumise erinevuseks.

Progressi erinevus: määratlus

Vaatleme jada, mis koosneb j väärtustest A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j kuulub hulka naturaalarvud N. Aritmeetiline progressioon on oma definitsiooni järgi jada, milles a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) ) – a(j-1) = d. Väärtus d on selle progresseerumise soovitud erinevus.

d = a(j) – a(j-1).

Esiletõstmine:

Kasvav progressioon, sel juhul d > 0. Näide: 4, 8, 12, 16, 20, ...
Progresseerumine väheneb, seejärel d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Erinevuste progresseerumine ja selle suvalised elemendid

Kui on teada progressiooni 2 suvalist liiget (i-s, k-s), saab antud jada erinevuse määrata seose alusel:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, mis tähendab d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Progressiooni erinevus ja selle esimene tähtaeg

See avaldis aitab määrata tundmatut väärtust ainult juhul, kui jadaelemendi number on teada.

Progressi vahe ja selle summa

Progressiooni summa on selle liikmete summa. Selle esimese j elemendi koguväärtuse arvutamiseks kasutage sobivat valemit:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, kuid kuna a(j) = a(1) + d(j – 1), siis S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(–1))/2)*j.

Matemaatikas on oma ilu, nagu maalil ja luulelgi.

Vene teadlane, mehaanik N.E. Žukovski

Väga levinud ülesanded sisseastumiseksamid matemaatikas on aritmeetilise progressiooni mõistega seotud probleemid. Selliste ülesannete edukaks lahendamiseks peate omama häid teadmisi aritmeetilise progressiooni omadustest ja omama teatud oskusi nende rakendamisel.

Tuletame esmalt meelde aritmeetilise progressiooni põhiomadusi ja esitame olulisemad valemid, selle kontseptsiooniga seotud.

Definitsioon. Numbrite jada, milles iga järgnev termin erineb eelmisest sama numbri võrra, nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks. Pealegi numbernimetatakse progresseerumise erinevuseks.

Aritmeetilise progressiooni jaoks kehtivad järgmised valemid:

, (1)

Kus. Valemit (1) nimetatakse aritmeetilise progressiooni üldliikme valemiks ja valem (2) tähistab aritmeetilise progressiooni peamist omadust: progressiooni iga liige langeb kokku tema naaberliikmete aritmeetilise keskmisega ja .

Pange tähele, et just selle omaduse tõttu nimetatakse vaadeldavat progressiooni "aritmeetiliseks".

Ülaltoodud valemid (1) ja (2) on üldistatud järgmiselt:

(3)

Summa arvutamiseks esiteks aritmeetilise progressiooni liikmedtavaliselt kasutatakse valemit

(5) kus ja .

Kui võtame arvesse valemit (1), siis valemist (5) järeldub

Kui tähistame , siis

Kus. Kuna , on valemid (7) ja (8) vastavate valemite (5) ja (6) üldistus.

Eriti , valemist (5) järeldub, Mida

Enamikule õpilastest on vähe teada aritmeetilise progressiooni omadus, mis on sõnastatud järgmise teoreemi kaudu.

Teoreem. Kui siis

Tõestus. Kui siis

Teoreem on tõestatud.

Näiteks , teoreemi kasutades, seda saab näidata

Vaatleme tüüpilisi näiteid probleemide lahendamisest teemal “Aritmeetiline progressioon”.

Näide 1. Las olla. Leia .

Lahendus. Rakendades valemit (6), saame . Alates ja , siis või .

Näide 2. Olgu see kolm korda suurem ja jagatisega jagamisel on tulemus 2 ja jääk 8. Määrake ja .

Lahendus. Näite tingimustest järgneb võrrandisüsteem

Kuna , , ja , siis võrrandisüsteemist (10) saame

Selle võrrandisüsteemi lahendus on ja .

Näide 3. Otsige, kas ja.

Lahendus. Vastavalt valemile (5) on meil või . Kuid kasutades omadust (9), saame .

Alates ja , siis võrdsusest võrrand järgneb või .

Näide 4. Leia, kui.

Lahendus.Vastavalt valemile (5) on meil

Kuid teoreemi kasutades saame kirjutada

Siit ja valemist (11) saame .

Näide 5. Arvestades: . Leia .

Lahendus. Sellest ajast. Siiski, seetõttu.

Näide 6. Laske , ja . Leia .

Lahendus. Kasutades valemit (9), saame . Seega, kui , siis või .

Alates ja siis siin on võrrandisüsteem

Mille lahendamisel saame ja .

Võrrandi loomulik juur on .

Näide 7. Otsige, kas ja.

Lahendus. Kuna valemi (3) järgi on meil see , siis ülesandetingimustest tuleneb võrrandisüsteem

Kui asendame väljendisüsteemi teise võrrandisse, siis saame või .

Juured ruutvõrrand on Ja .

Vaatleme kahte juhtumit.

1. Laske siis . Alates ja , siis .

Sel juhul on meil valemi (6) kohaselt

2. Kui , siis , ja

Vastus: ja.

Näide 8. On teada, et ja. Leia .

Lahendus. Võttes arvesse valemit (5) ja näite tingimust, kirjutame ja .

See tähendab võrrandisüsteemi

Kui me korrutame süsteemi esimese võrrandi 2-ga ja lisame selle seejärel teisele võrrandile, saame

Vastavalt valemile (9) on meil. Sellega seoses tuleneb (12) või .

Alates ja , siis .

Vastus:.

Näide 9. Otsige, kas ja.

Lahendus. Alates , ja tingimuse järgi , siis või .

Valemist (5) on teada, Mida . Sellest ajast.

Seega, siin on lineaarvõrrandi süsteem

Siit saame ja . Võttes arvesse valemit (8), kirjutame .

Näide 10. Lahenda võrrand.

Lahendus. Alates antud võrrand sellele järgneb. Oletame, et , , ja . Sel juhul .

Valemi (1) järgi võime kirjutada või .

Kuna , siis on võrrandil (13) ainus sobiv juur .

Näide 11. Leidke maksimaalne väärtus tingimusel, et ja .

Lahendus. Alates , siis vaadeldav aritmeetiline progressioon väheneb. Sellega seoses saab avaldis maksimaalse väärtuse, kui see on progresseerumise minimaalse positiivse liikme arv.

Kasutame valemit (1) ja fakti, see ja . Siis saame selle või .

Alates , siis või . Küll aga selles ebavõrdsusessuurim naturaalarv, Sellepärast .

Kui , ja väärtused asendatakse valemiga (6), saame .

Vastus:.

Näide 12. Määrake kõigi kahekohaliste naturaalarvude summa, mille jagamisel arvuga 6 jääb jääk 5.

Lahendus. Tähistame kõigi kahekohaliste naturaalarvude hulgaga, s.o. . Järgmisena konstrueerime alamhulga, mis koosneb nendest hulga elementidest (arvudest), mille jagamisel arvuga 6 saadakse jääk 5.

Lihtne paigaldada, Mida . Ilmselgelt et hulga elemendidmoodustavad aritmeetilise progressiooni, milles ja .

Hulga kardinaalsuse (elementide arvu) kindlaksmääramiseks eeldame, et . Kuna ja , tuleneb see valemist (1) või . Võttes arvesse valemit (5), saame .

Ülaltoodud näited probleemide lahendamisest ei saa mingil juhul väita, et need on ammendavad. See artikkel on kirjutatud analüüsi põhjal kaasaegsed meetodid lahendusi tüüpilised ülesanded antud teemal. Aritmeetilise progressiooniga seotud ülesannete lahendamise meetodite põhjalikumaks uurimiseks on soovitatav viidata soovitatava kirjanduse loetelule.

1. Matemaatika ülesannete kogu kolledžisse astujatele / Toim. M.I. Scanavi. – M.: Rahu ja haridus, 2013. – 608 lk.

2. Suprun V.P. Matemaatika gümnasistidele: lisalõigud kooli õppekava. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 lk.

3. Medynsky M.M. Algmatemaatika täiskursus ülesannetes ja harjutustes. 2. raamat: Numbrite järjestused ja progressid. – M.: Editus, 2015. – 208 lk.

Kas teil on endiselt küsimusi?

Juhendajalt abi saamiseks registreeruge.

veebilehel, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link algallikale.

Aritmeetilise progressiooni summa.

Aritmeetilise progressiooni summa on lihtne asi. Nii tähenduses kui valemis. Aga sellel teemal on igasuguseid ülesandeid. Põhilisest kuni üsna soliidseni.

Kõigepealt mõistame summa tähendust ja valemit. Ja siis me otsustame. Enda rõõmuks.) Summa tähendus on lihtne nagu moo. Aritmeetilise progressiooni summa leidmiseks peate lihtsalt hoolikalt lisama kõik selle tingimused. Kui neid termineid on vähe, saate lisada ilma valemiteta. Aga kui on palju, või palju... lisamine on tüütu.) Sel juhul tuleb appi valem.

Summa valem on lihtne:

Mõelgem välja, millised tähed valemis sisalduvad. See selgitab asju palju.

S n - aritmeetilise progressiooni summa. Lisamise tulemus kõik liikmed, koos esiteks Kõrval viimane. See on tähtis. Need lähevad täpselt kokku Kõik liikmeid järjest, ilma vahele jätmata. Ja täpselt, alustades esiteks. Selliste probleemide korral nagu kolmanda ja kaheksanda liikme summa või viienda kuni kahekümnenda liikme summa leidmine valmistab valemi otsene rakendamine pettumuse.)

a 1 - esiteks progressi liige. Siin on kõik selge, see on lihtne esiteks rea number.

a n- viimane progressi liige. Sarja viimane number. Pole just väga tuttav nimi, aga kogusele kandes sobib väga hästi. Siis näete ise.

n - viimase liikme number. Oluline on mõista, et valemis see arv langeb kokku lisatud terminite arvuga.

Määratleme mõiste viimane liige a n. Keeruline küsimus: milline liige seda teeb viimane kui antakse lõputu aritmeetiline progressioon?)

Et vastata enesekindlalt, peate mõistma aritmeetilise progressiooni põhitähendust ja... lugege ülesanne hoolikalt läbi!)

Aritmeetilise progressiooni summa leidmise ülesandes ilmub alati (otseselt või kaudselt) viimane liige, mida tuleks piirata. Muidu lõplik, konkreetne summa lihtsalt ei eksisteeri. Lahenduse jaoks pole vahet, kas progressioon on antud: lõplik või lõpmatu. Pole tähtis, kuidas see antakse: arvude jada või n-nda liikme valem.

Kõige tähtsam on mõista, et valem toimib progressiooni esimesest liikmest numbriga liikmeni n. Tegelikult näeb valemi täisnimi välja selline: aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa. Nende päris esimeste liikmete arv, s.o. n, määrab ainult ülesanne. Ülesandes on kogu see väärtuslik teave sageli krüptitud, jah... Aga pole midagi, allolevates näidetes avaldame need saladused.)

Näited ülesannetest aritmeetilise progressiooni summa kohta.

Esiteks, kasulikku teavet:

Aritmeetilise progressiooni summat hõlmavate ülesannete peamine raskus seisneb valemi elementide õiges määramises.

Ülesande kirjutajad krüpteerivad piiritu fantaasiaga just need elemendid.) Peaasi, et siin ei pea kartma. Elementide olemuse mõistmisel piisab nende lihtsalt dešifreerimisest. Vaatame mõnda näidet üksikasjalikumalt. Alustame ülesandega, mis põhineb tõelisel GIA-l.

1. Aritmeetilise progressiooni annab tingimus: a n = 2n-3,5. Leidke selle esimese 10 liikme summa.

Tubli töö. Lihtne.) Mida peame teadma summa määramiseks valemi abil? Esimene liige a 1, viimane ametiaeg a n, jah viimase liikme number n.

Kust ma saan viimase liikme numbri? n? Jah, just seal, tingimusel! See ütleb: leidke summa esimesed 10 liiget. No mis numbriga see tuleb? viimane, kümnes liige?) Te ei usu seda, tema number on kümnes!) Seetõttu selle asemel a n asendame valemiga a 10, ja selle asemel n- kümme. Kordan, viimase liikme arv langeb kokku liikmete arvuga.

Jääb kindlaks teha a 1 Ja a 10. Seda on lihtne arvutada n-nda liikme valemi abil, mis on antud ülesande avalduses. Ei tea, kuidas seda teha? Osalege eelmises õppetunnis, ilma selleta pole võimalust.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Oleme välja selgitanud aritmeetilise progressiooni summa valemi kõigi elementide tähenduse. Jääb vaid need asendada ja lugeda:

See on kõik. Vastus: 75.

Teine ülesanne, mis põhineb GIA-l. Natuke keerulisem:

2. Antud aritmeetiline progressioon (a n), mille erinevus on 3,7; a 1 = 2,3. Leidke selle esimese 15 liikme summa.

Kirjutame kohe summa valemi:

See valem võimaldab meil leida mis tahes termini väärtuse selle numbri järgi. Otsime lihtsat asendust:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Jääb kõik elemendid asendada aritmeetilise progressiooni summa valemis ja arvutada vastus:

Vastus: 423.

Muide, kui summa valemis asemel a n Asendame lihtsalt valemi n-nda liikmega ja saame:

Esitame sarnased ja saame aritmeetilise progressiooni liikmete summa jaoks uue valemi:

Nagu näete, pole see siin vajalik n-s tähtaeg a n. Mõnes ülesandes on see valem suureks abiks, jah... Selle valemi võib meeles pidada. Või võite selle lihtsalt õigel ajal tagasi võtta, nagu siin. Lõppude lõpuks peate alati meeles pidama summa valemit ja n-nda liikme valemit.)

Nüüd ülesanne lühikese krüptimise vormis):

3. Leidke kõigi positiivsete summa kahekohalised numbrid, kolme kordne.

Vau! Ei teie esimene liige, ei viimane ega üldse edasiminek... Kuidas elada!?

Peate mõtlema oma peaga ja tõmbama tingimusest välja kõik aritmeetilise progressiooni summa elemendid. Me teame, mis on kahekohalised arvud. Need koosnevad kahest arvust.) Millisest kahekohalisest numbrist saab esiteks? 10, arvatavasti.) A viimane asi kahekohaline number? 99 muidugi! Kolmekohalised tulevad talle järele...

Kolme kordsed... Hm... Need on arvud, mis jaguvad kolmega, siin! Kümme ei jagu kolmega, 11 ei jagu... 12... jagub! Niisiis, midagi on ilmnemas. Saate juba vastavalt ülesande tingimustele seeria üles kirjutada:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Kas see seeria on aritmeetiline progressioon? Kindlasti! Iga termin erineb eelmisest rangelt kolme võrra. Kui lisada terminile 2 või 4, siis ütleme, et tulemus, s.t. uus arv ei jagu enam 3-ga. Saate kohe määrata aritmeetilise progressiooni erinevuse: d = 3. See tuleb kasuks!)

Seega võime julgelt üles kirjutada mõned edenemise parameetrid:

Mis numbriks saab? n viimane liige? Kes arvab, et 99, see saatuslikult eksib... Numbrid lähevad alati järjest, aga meie liikmed hüppavad üle kolme. Need ei sobi kokku.

Siin on kaks lahendust. Üks võimalus on ülitöökatele. Saate üles kirjutada edenemise, terve arvude jada ja näpuga liikmete arvu kokku lugeda.) Teine võimalus on mõtlikutele. Peate meeles pidama n-nda liikme valemit. Kui rakendame valemit oma probleemile, leiame, et 99 on progressiooni kolmekümnes liige. Need. n = 30.

Vaatame aritmeetilise progressiooni summa valemit:

Vaatame ja rõõmustame.) Tõmbasime probleemipüstitusest välja kõik vajaliku summa arvutamiseks:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Jääb vaid elementaarne aritmeetika. Asendame arvud valemis ja arvutame:

Vastus: 1665

Teine populaarsete mõistatuste tüüp:

4. Antud aritmeetiline progressioon:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Leidke terminite summa kahekümnendast kuni kolmekümne neljani.

Vaatame summa valemit ja... ärritume.) Valem, tuletan meelde, arvutab summa esimesest liige. Ja ülesandes peate arvutama summa alates kahekümnendast... Valem ei tööta.

Muidugi võite kogu edenemise seeriana välja kirjutada ja lisada termineid vahemikus 20 kuni 34. Aga... see on kuidagi rumal ja võtab kaua aega, eks?)

On elegantsem lahendus. Jagame oma sarja kaheks osaks. Esimene osa saab olema esimesest ametiajast kuni üheksateistkümnendani. Teine osa - kahekümnest kolmekümne neljani. On selge, et kui arvutame esimese osa tingimuste summa S 1-19, liidame selle teise osa tingimuste summaga S 20-34, saame esimesest liikmest kolmekümne neljandani progressiooni summa S 1-34. Nagu nii:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Sellest näeme, et leia summa S 20-34 saab teha lihtsa lahutamise teel

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Arvesse võetakse mõlemad paremal pool olevad summad esimesest liige, s.o. standardsumma valem on neile üsna rakendatav. Alustame?

Protsessi parameetrid eraldame probleemiavaldusest:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Esimese 19 ja esimese 34 liikme summade arvutamiseks vajame 19. ja 34. liiget. Arvutame need n-nda liikme valemi abil, nagu ülesandes 2:

a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Ei jää midagi järele. 34 termini summast lahutage 19 termini summa:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Vastus: 262,5

Üks oluline märkus! Selle probleemi lahendamiseks on väga kasulik nipp. Otsese arvutamise asemel mida vajate (S 20-34), me loendasime midagi, mida justkui poleks vaja – S 1-19. Ja siis nad otsustasid S 20-34, jättes kogu tulemusest ebavajaliku kõrvale. Selline "kõrvade petmine" päästab teid sageli kurjadest probleemidest.)

Selles tunnis vaatlesime ülesandeid, mille puhul piisab aritmeetilise progressiooni summa tähenduse mõistmisest. Noh, sa pead teadma paari valemit.)

Praktilised nõuanded:

Mis tahes aritmeetilise progressiooni summaga ülesande lahendamisel soovitan sellest teemast kohe välja kirjutada kaks peamist valemit.

N-nda perioodi valem:

Need valemid ütlevad teile kohe, mida otsida ja millises suunas mõelda, et probleemi lahendada. Aitab.

Ja nüüd iseseisva lahenduse ülesanded.

5. Leia kõigi kahekohaliste arvude summa, mis ei jagu kolmega.

Lahe?) Vihje on peidetud märkuses ülesandele 4. Noh, ülesanne 3 aitab.

6. Aritmeetilise progressiooni annab tingimus: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Leidke selle esimese 24 liikme summa.

Ebatavaline?) See on korduv valem. Selle kohta saate lugeda eelmises õppetükis. Ärge ignoreerige linki, selliseid probleeme leidub sageli Riigi Teaduste Akadeemias.

7. Vasja kogus puhkuseks raha. Koguni 4550 rubla! Ja otsustasin kinkida oma lemmikinimesele (endale) paar päeva õnne). Elage ilusti ilma endale midagi keelamata. Kulutage esimesel päeval 500 rubla ja igal järgmisel päeval kulutage 50 rubla rohkem kui eelmisel päeval! Kuni raha otsa saab. Mitu päeva õnne Vasyal oli?

Kas see on raske?) Aitab ülesande 2 lisavalem.

Vastused (segaselt): 7, 3240, 6.

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Niisiis, istume maha ja hakkame numbreid kirjutama. Näiteks:
Võite kirjutada mis tahes numbreid ja neid võib olla nii palju kui soovite (meie puhul on neid). Ükskõik kui palju numbreid me kirjutame, saame alati öelda, milline neist on esimene, kumb teine ja nii kuni viimaseni, see tähendab, et me saame need nummerdada. See on näide numbrijadast:

Numbrite jada
Näiteks meie jada jaoks:

Määratud number on spetsiifiline ainult ühele jada numbrile. Teisisõnu, jadas pole kolme sekundilist numbrit. Teine number (nagu ka th number) on alati sama.
Numbriga arvu nimetatakse jada kolmandaks liikmeks.

Tavaliselt kutsume kogu jada mõne tähega (näiteks) ja selle jada iga liige on sama täht, mille indeks on võrdne selle liikme numbriga: .

Meie puhul:

Oletame, et meil on arvujada, milles külgnevate arvude erinevus on sama ja võrdne.
Näiteks:

jne.
Seda arvujada nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks.
Mõiste "edenemine" võttis Rooma autor Boethius kasutusele juba 6. sajandil ja seda mõisteti laiemas tähenduses lõpmatu arvujadana. Nimetus "aritmeetika" kanti üle pidevate proportsioonide teooriast, mida uurisid iidsed kreeklased.

See on numbrijada, mille iga liige on võrdne samale arvule lisatud eelmisega. Seda arvu nimetatakse aritmeetilise progressiooni erinevuseks ja see tähistatakse.

Proovige kindlaks teha, millised arvujadad on aritmeetiline progressioon ja millised mitte:

a)
b)
c)
d)

Sain aru? Võrdleme oma vastuseid:
On aritmeetiline progressioon - b, c.
Ei ole aritmeetiline progressioon - a, d.

Pöördume tagasi antud progressiooni () juurde ja proovime leida selle th liikme väärtust. Olemas kaks viis selle leidmiseks.

1. Meetod

Saame lisada edenemisnumbri eelmisele väärtusele, kuni jõuame progressiooni th liikmeni. Hea, et meil pole palju kokkuvõtet – ainult kolm väärtust:

Seega on kirjeldatud aritmeetilise progressiooni th liige võrdne.

2. Meetod

Mis siis, kui meil oleks vaja leida progressiooni th liikme väärtus? Summeerimine võtaks meil rohkem kui ühe tunni ja pole tõsiasi, et me arvude liitmisel vigu ei teeks.
Muidugi on matemaatikud välja mõelnud viisi, et aritmeetilise progressiooni erinevust ei ole vaja eelnevale väärtusele lisada. Vaadake joonistatud pilti lähemalt... Kindlasti olete juba märganud teatud mustrit, nimelt:

Näiteks vaatame, millest selle aritmeetilise progressiooni liikme väärtus koosneb:

Teisisõnu:

Püüdke sel viisil ise leida antud aritmeetilise progressiooni liikme väärtus.

Kas sa arvutasid? Võrrelge oma märkmeid vastusega:

Pange tähele, et saite täpselt sama arvu, mis eelmises meetodis, kui lisasime järjestikku eelmisele väärtusele aritmeetilise progressiooni tingimused.
Proovime seda valemit “depersonaliseerida” – toome selle sisse üldine vorm ja saame:

Aritmeetilise progressiooni võrrand.

Aritmeetiline progressioon võib suureneda või väheneda.

Kasvav- progressioonid, milles iga järgmine termini väärtus on suurem kui eelmine.
Näiteks:

Langevad- progressioonid, milles iga järgmine termini väärtus on väiksem kui eelmine.
Näiteks:

Tuletatud valemit kasutatakse aritmeetilise progressiooni nii kasvavate kui ka kahanevate liikmete liikmete arvutamisel.
Kontrollime seda praktikas.
Meile antakse aritmeetiline progressioon, mis koosneb järgmistest arvudest: Kontrollime, milline on selle aritmeetilise progressiooni th number, kui kasutame selle arvutamiseks meie valemit:

Sellest ajast:

Seega oleme veendunud, et valem toimib nii kahanevas kui ka suurenevas aritmeetilises progressioonis.
Proovige ise leida selle aritmeetilise progressiooni th ja th liiget.

Võrdleme tulemusi:

Aritmeetilise progressiooni omadus

Teeme ülesande keerulisemaks – tuletame aritmeetilise progressiooni omaduse.
Oletame, et meile antakse järgmine tingimus:
- aritmeetiline progressioon, leidke väärtus.
Lihtne, ütlete ja hakkate loendama juba tuttava valemi järgi:

Las, ah, siis:

Täiesti õigus. Selgub, et kõigepealt leiame, siis lisame selle esimesele numbrile ja saame otsitava. Kui progresseerumist kujutavad väikesed väärtused, siis pole selles midagi keerulist, aga mis siis, kui tingimuses antakse meile numbrid? Nõus, arvutustes on võimalik viga teha.
Mõelge nüüd, kas seda probleemi on võimalik ühe sammuga lahendada mis tahes valemi abil? Muidugi jah, ja see on see, mida me nüüd püüame välja tuua.

Tähistame aritmeetilise progressiooni nõutavat liiget nii, et selle leidmise valem on meile teada - see on sama valem, mille tuletasime alguses:
, Siis:

edenemise eelmine tähtaeg on:
edenemise järgmine tähtaeg on:

Võtame kokku edenemise eelmised ja järgnevad tingimused:

Selgub, et progressiooni eelneva ja järgneva liikme summa on nende vahel paikneva progressiooniliikme topeltväärtus. Teisisõnu, teadaolevate eelnevate ja järjestikuste väärtustega progressiooniliikme väärtuse leidmiseks peate need liitma ja jagama.

Täpselt nii, meil on sama number. Kinnitame materjali. Arvutage edenemise väärtus ise, see pole sugugi keeruline.

Hästi tehtud! Teate progresseerumisest peaaegu kõike! Jääb välja selgitada ainult üks valem, mille legendi järgi tuletas hõlpsasti üks kõigi aegade suurimaid matemaatikuid, "matemaatikute kuningas" - Karl Gauss...

Kui Carl Gauss oli 9-aastane, andis õpetaja, kes oli hõivatud teiste klasside õpilaste tööde kontrollimisega, tunnis järgmise ülesande: "Arvutage kõigi naturaalarvude summa alates kuni (teistel allikatel kuni) kaasa arvatud." Kujutage ette õpetaja üllatust, kui üks tema õpilastest (see oli Karl Gauss) andis minut hiljem ülesandele õige vastuse, samas kui enamik juraka klassikaaslasi sai pärast pikki arvutusi vale tulemuse...

Noor Carl Gauss märkas teatud mustrit, mida on lihtne märgata ka teie.
Oletame, et meil on aritmeetiline progressioon, mis koosneb -ndast liikmest: Peame leidma aritmeetilise progressiooni nende liikmete summa. Muidugi saame kõik väärtused käsitsi kokku liita, aga mis siis, kui ülesanne nõuab selle liikmete summa leidmist, nagu Gauss otsis?

Kujutagem meile antud edenemist. Vaadake esiletõstetud numbreid lähemalt ja proovige nendega sooritada erinevaid matemaatilisi tehteid.

Kas olete seda proovinud? Mida sa märkasid? Õige! Nende summad on võrdsed

Öelge nüüd, kui palju selliseid paare meile antud progressioonis kokku on? Muidugi täpselt pool kõigist numbritest, see tähendab.
Lähtudes asjaolust, et aritmeetilise progressiooni kahe liikme summa on võrdne ja sarnased paarid on võrdsed, saame, et kogusumma on võrdne:
.
Seega on mis tahes aritmeetilise progressiooni esimeste liikmete summa valem järgmine:

Mõnes ülesandes me ei tea ndat liiget, kuid teame progresseerumise erinevust. Proovige asendada th liikme valem summa valemiga.
Mis sa said?

Hästi tehtud! Nüüd pöördume tagasi Carl Gaussile esitatud ülesande juurde: arvutage ise, millega võrdub th-st algavate arvude summa ja th-st algavate arvude summaga.

Kui palju sa said?
Gauss leidis, et terminite summa on võrdne ja liikmete summa. Kas nii otsustasite?

Tegelikult tõestas aritmeetilise progressiooni liikmete summa valemit juba 3. sajandil Vana-Kreeka teadlane Diophantus ja kogu selle aja jooksul kasutasid vaimukad inimesed täielikult aritmeetilise progressiooni omadusi.
Näiteks kujutage ette Iidne Egiptus ja selle aja suurim ehitusprojekt - püramiidi ehitamine... Pildil on selle üks pool.

Kus siin areng on, ütlete? Vaadake hoolikalt ja leidke püramiidi seina igas reas liivaplokkide arvust muster.

Miks mitte aritmeetiline progressioon? Arvutage, mitu plokki on vaja ühe seina ehitamiseks, kui alusele asetatakse klotsid. Loodan, et te ei loe sõrmega üle monitori liigutades, mäletate viimast valemit ja kõike, mida me aritmeetilise progressiooni kohta rääkisime?

Sel juhul näeb edenemine välja järgmine: .
Aritmeetilise progressiooni erinevus.
Aritmeetilise progressiooni liikmete arv.
Asendame oma andmed viimastesse valemitesse (arvutame plokkide arvu kahel viisil).

1. meetod.

2. meetod.

Ja nüüd saate monitoril arvutada: võrrelda saadud väärtusi meie püramiidis olevate plokkide arvuga. Sain aru? Hästi tehtud, olete omandanud aritmeetilise progressiooni n-nda liikme summa.
Muidugi ei saa te aluse plokkidest püramiidi ehitada, aga millest? Proovige arvutada, kui palju liivatelliseid on selle tingimusega seina ehitamiseks vaja.
Kas said hakkama?
Õige vastus on plokid:

Koolitus

Ülesanded:

Maša on suveks vormi saamas. Iga päev suurendab ta kükkide arvu. Mitu korda teeb Maša kükki nädalas, kui ta tegi kükki esimesel treeningul?
Mis on kõigis sisalduvate paaritute arvude summa.
Palkide hoiustamisel laovad logijad need nii, et iga pealmine kiht sisaldab ühe palgi vähem kui eelmises. Mitu palki on ühes müüritises, kui müüritise vundamendiks on palk?

Vastused:

Määratleme aritmeetilise progressiooni parameetrid. Sel juhul
(nädalad = päevad).
Vastus: Kahe nädala pärast peaks Masha tegema kükke üks kord päevas.
Esiteks paaritu number, viimane number.
Aritmeetilise progressiooni erinevus.
Paaritute arvude arv on pooleks, kuid kontrollime seda fakti aritmeetilise progressiooni kolmanda liikme leidmise valemi abil:
Numbrid sisaldavad paarituid numbreid.
Asendame olemasolevad andmed valemiga:
Vastus: Kõigis sisalduvate paaritute arvude summa on võrdne.
Meenutagem püramiidide probleemi. Meie puhul a , kuna iga pealmine kiht väheneb ühe palgi võrra, siis kokku on kihte hunnik, st.
Asendame andmed valemiga:
Vastus: Müüritises on palgid.

Võtame selle kokku

- numbrijada, milles külgnevate arvude erinevus on sama ja võrdne. See võib suureneda või väheneda.
Valemi leidmine Aritmeetilise progressiooni th liige kirjutatakse valemiga - , kus on arvude arv progressioonis.
Aritmeetilise progressiooni liikmete omadus- - kus on edenevate arvude arv.
Aritmeetilise progressiooni liikmete summa võib leida kahel viisil:

, kus on väärtuste arv.

ARITMEETILINE PROGRESSIOONI. KESKMINE TASE

Numbrite jada

Istume maha ja hakkame mõnda numbrit kirjutama. Näiteks:

Võite kirjutada mis tahes numbreid ja neid võib olla nii palju kui soovite. Aga me saame alati öelda, kumb on esimene, kumb teine ja nii edasi, see tähendab, et me saame need nummerdada. See on näide numbrijadast.

Numbrite jada on numbrite komplekt, millest igaühele saab määrata kordumatu numbri.

Teisisõnu, iga arvu saab seostada kindla naturaalarvuga ja kordumatu numbriga. Ja me ei määra seda numbrit ühelegi teisele selle komplekti numbrile.

Numbriga arvu nimetatakse jada liikmeks.

Tavaliselt kutsume kogu jada mõne tähega (näiteks) ja selle jada iga liige on sama täht, mille indeks on võrdne selle liikme numbriga: .

On väga mugav, kui jada th liikme saab määrata mõne valemiga. Näiteks valem

määrab järjestuse:

Ja valem on järgmine jada:

Näiteks aritmeetiline progressioon on jada (esimene liige on siin võrdne ja erinevus on). Või (, erinevus).

N-nda perioodi valem

Nimetame korduvaks valemit, milles th liikme väljaselgitamiseks peate teadma eelmist või mitut eelmist:

Et leida selle valemi abil näiteks progressiooni th liiget, peame arvutama eelmised üheksa. Näiteks lase. Seejärel:

Kas nüüd on selge, mis valem on?

Igal real, mille me lisame, korrutatuna mõne arvuga. Milline? Väga lihtne: see on praeguse liikme number miinus:

Nüüd on palju mugavam, eks? Kontrollime:

Otsustage ise:

Leidke aritmeetilises progressioonis n-nda liikme valem ja sajanda liige.

Lahendus:

Esimene tähtaeg on võrdne. Mis vahe on? Siin on, mida:

(Seetõttu nimetatakse seda erinevuseks, kuna see on võrdne progressiooni järjestikuste liikmete erinevusega).

Niisiis, valem:

Siis on sajas liige võrdne:

Mis on kõigi naturaalarvude summa alates kuni?

Legendi järgi arvutas suur matemaatik Carl Gauss 9-aastase poisina selle summa välja mõne minutiga. Ta märkas, et esimese ja viimase arvu summa on võrdne, teise ja eelviimase summa on sama, kolmanda ja lõpust 3. summa on sama jne. Kui palju selliseid paare kokku on? See on õige, täpselt pool kõigist numbritest, see tähendab. Niisiis,

Mis tahes aritmeetilise progressiooni esimeste liikmete summa üldvalem on järgmine:

Näide:
Leia kõigi kahekohaliste kordajate summa.

Lahendus:

Esimene selline number on see. Iga järgmine number saadakse eelmisele numbrile liitmise teel. Seega moodustavad meid huvitavad arvud aritmeetilise progressiooni esimese liikme ja erinevusega.

Selle edenemise th liikme valem:

Mitu liiget on progressioonis, kui need kõik peavad olema kahekohalised?

Väga lihtne: .

Edenemise viimane tähtaeg on võrdne. Siis summa:

Vastus:.

Nüüd otsustage ise:

Iga päev jookseb sportlane rohkem meetreid kui eelmisel päeval. Mitu kilomeetrit kokku jookseb ta nädalas, kui jooksis esimesel päeval km m?
Jalgrattur läbib iga päev rohkem kilomeetreid kui eelmisel päeval. Esimesel päeval sõitis ta km. Mitu päeva peab ta kilomeetri läbimiseks sõitma? Mitu kilomeetrit ta oma reisi viimasel päeval läbib?
Külmiku hind kaupluses langeb igal aastal sama palju. Tehke kindlaks, kui palju külmiku hind igal aastal langes, kui rubla eest müüki pandud, kuus aastat hiljem müüdi see rubla eest.

Vastused:

Siin on kõige olulisem aritmeetilise progressiooni äratundmine ja selle parameetrite määramine. Sel juhul (nädalad = päevad). Peate määrama selle progresseerumise esimeste tingimuste summa:
.
Vastus:
Siin on antud: , tuleb leida.
Ilmselt peate kasutama sama summa valemit nagu eelmises ülesandes:
.
Asendage väärtused:
Juur ilmselgelt ei sobi, seega vastus on.
Arvutame viimase päeva jooksul läbitud tee, kasutades th liikme valemit:
(km).
Vastus:
Arvestades: . Leia:.
See ei saaks olla lihtsam:
(hõõruda).
Vastus:

ARITMEETILINE PROGRESSIOONI. LÜHIDALT PEAMISEST

See on numbrijada, milles külgnevate arvude erinevus on sama ja võrdne.

Aritmeetiline progressioon võib olla suurenev () ja vähenev ().

Näiteks:

Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme leidmise valem

kirjutatakse valemiga, kus on järjestikuste arvude arv.

Aritmeetilise progressiooni liikmete omadus

See võimaldab teil hõlpsasti leida progressiooni liiget, kui selle naaberliikmed on teada – kus on progressioonis olevate arvude arv.

Aritmeetilise progressiooni liikmete summa

Summa leidmiseks on kaks võimalust:

Kus on väärtuste arv.

Ülejäänud 2/3 ARTIKLID ON SAADAVAL AINULT YOUCLEVER TUDENGIDELE!

Hakka YouCleveri õpilaseks,

Valmistuda ühtseks riigieksamiks või matemaatika ühtseks riigieksamiks hinnaga “tass kohvi kuus”,

Ja saate ka piiramatu juurdepääsu õpikule "YouClever", ettevalmistusprogrammile (töövihikule) "100gia", piiramatult katse ühtne riigieksam ja OGE, 6000 probleemi lahenduste ja muude teenuste analüüsiga YouClever ja 100gia.