Kompleksarvudega jada. Keeruliste terminitega sari. Võimsuskompleksi seeria

463. Mis on võrratuste geomeetriline tähendus: 1) Re z > 0; 2) olen z< 0 ?

2. Keeruliste terminitega sari. Mõelge kompleksarvude järjestusele z 1 , z 2 , z 3, ..., kus z p = x p + iу p (p = 1, 2, 3, ...). Püsiv number c = a + bi helistas piir järjestused z 1 , z 2 , z 3 , ..., kui mõne suvaliselt väikese arvu korral δ>0 selline number on olemas N, Mida tähendab z lk numbritega n > N ebavõrdsust rahuldada \z lk-koos\< δ . Sel juhul nad kirjutavad .

Kompleksarvude jada piiri olemasolu vajalik ja piisav tingimus on järgmine: arv c=a+bi on kompleksarvude jada piir x 1 +iу 1, x 2 +iу 2, x 3 +iу 3, … kui ja ainult kui , .

(1)

mille liikmed on kompleksarvud, nimetatakse koonduv, Kui nth osasumma seeriast S n at p → ∞ kaldub teatud lõpliku piirini. Vastasel juhul nimetatakse seeriat (1). lahknev.

Seeria (1) läheneb siis ja ainult siis, kui reaalväärtustega jada koondub

(2) Uurige ridade konvergentsi See jada, mille liikmed moodustavad lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni, koondub. seetõttu koondub antud keeruliste terminitega jada absoluutselt. ^

474. Leidke seeria konvergentsi piirkond

19.4.1. Keeruliste terminitega numbriseeriad. Kõik konvergentsi põhimääratlused, koonduvate ridade omadused ja komplekssete ridade lähenemismärgid ei erine tegelikust juhtumist.

19.4.1.1. Põhimääratlused. Olgu meile antud kompleksarvude lõpmatu jada z 1 , z 2 , z 3 , …, z n , ….Arvu tegelik osa z n me tähistame a n , kujuteldav - b n

(need. z n = a n + i b n , n = 1, 2, 3, …).

Numbriseeria- vormi kirje.

Osalinesummadrida: S 1 = z 1 , S 2 = z 1 + z 2 , S 3 = z 1 + z 2 + z 3 , S 4 = z 1 + z 2 + z 3 + z 4 , …,

S n = z 1 + z 2 + z 3 + … + z n , …

Definitsioon. Kui on piir S rea osasummade jadad jaoks
, mis on õige kompleksarv, siis väidetakse, et seeria läheneb; number S kutsus seeria summa ja kirjuta S = z 1 + z 2 + z 3 + … + z n + ... või
.

Leiame osasummade tegelikud ja mõttelised osad:

S n = z 1 + z 2 + z 3 + … + z n = (a 1 + i b 1) + (a 2 + i b 2) + (a 3 + i b 3) + … + (a n + i b n ) = (a 1 + a 2 + a 3 +…+ a n ) +

Kus on sümbolid Ja näidatakse osasumma tegelikud ja mõttelised osad. Arvjada koondub siis ja ainult siis, kui selle reaal- ja imaginaarsetest osadest koosnevad jadad koonduvad. Seega koondub keeruliste terminitega jada siis ja ainult siis, kui selle reaal- ja kujuteldavatest osadest moodustatud jada koonduvad. Sellel väitel põhineb üks meetod keeruliste terminitega ridade konvergentsi uurimiseks.

Näide. Uurige seeriat lähenemise suhtes .

Paneme kirja mitu väljendi tähendust : siis väärtusi korratakse perioodiliselt. Reaalosade seeria: ; kujuteldavate osade seeria; mõlemad seeriad koonduvad (tinglikult), seega koondub esialgne seeria.

19.4.1.2. Absoluutne lähenemine.

Definitsioon. Rida helistas absoluutselt konvergentne, kui seeria läheneb
, mis koosneb selle liikmete absoluutväärtustest.

Nii nagu suvaliste terminitega arvuliste reaalridade puhul, on seda lihtne tõestada, kui jada läheneb
, siis seeriad tingimata ühtlustuvad (
, seega seeria, mille moodustavad sarja tegelikud ja väljamõeldud osad , täiesti nõus). Kui rida koondub ja seeria
lahkneb, siis seeria nimetatakse tinglikult koonduvaks.

Rida
- mittenegatiivsete terminitega seeria, seetõttu saate selle lähenemise uurimiseks kasutada kõiki teadaolevaid teste (võrdlusteoreemidest integraalse Cauchy testini).

Näide. Uurige seeriat lähenemise suhtes
.

Teeme rea mooduleid ():
. See seeria läheneb (Cauchy test
), nii et algseeria läheneb absoluutselt.

19.4. 1 . 3 . Konvergentsete ridade omadused. Keeruliste terminitega koonduvate ridade puhul kehtivad kõik reaaltingimustega seeria omadused:

Vajalik märk seeria lähenemisest. Konvergentse rea üldliige kipub olema null as
.

Kui seeria läheneb , siis seeria mis tahes ülejäänud osa läheneb.

Kui seeria läheneb, siis selle jäägi summa pärastn -termin kipub olema null as
.

Kui koonduva jada kõik liikmed korrutatakse sama arvugaKoos , siis seeria konvergents säilib ja summa korrutatakse arvugaKoos .

koonduvad seeriad (A ) ja (IN ) saab termini kaupa liita ja lahutada; saadud jada läheneb samuti ja selle summa on võrdne
.

Kui koonduva jada liikmed on suvaliselt rühmitatud ja igas sulgudes olevate liikmete summadest tehakse uus jada, siis ka see uus jada koondub ja selle summa on võrdne originaal seeria.

Kui jada läheneb absoluutselt, siis hoolimata sellest, kuidas selle tingimusi ümber paigutatakse, konvergents säilib ja summa ei muutu.

Kui read (A ) ja (IN ) lähenevad absoluutselt nende summadele
Ja
, siis nende korrutis suvalise terminite järjestusega läheneb samuti absoluutselt ja selle summa on võrdne
.

Vaata sümbolit W 1 + W 2 +…+ W n +…= (1), Kus W n = u n + i· v n (n = 1, 2, …) kutsutakse kompleksarvusid (kompleksarvude jadasid). kompleksarvude jada.

Numbrid W n (n = 1, 2, …) kutsutakse numbri liikmed, liige W n helistas sarja tavaline liige.

Vormi numbrid S n = W 1 + W 2 +…+ W n (2) (n = 1, 2, …) , kutsutakse seeria osalised summad (1).

Lõplik või lõpmatu piir S järjestused S n helistas selle seeria summa.

Kui piir S on lõplik, siis nimetatakse seeriat koonduv, kui piir on lõpmatu või seda pole üldse olemas, siis seeria lahknev.

Kui S seeriate summa (1), seejärel kirjuta
.

Lase
, A
. Ilmselgelt σ n = u 1 + u 2 +…+ u n , τ n = v 1 + v 2 +…+ v n. Kuidas me teame võrdsust
(S loomulikult) võrdub kahe võrdsusega
Ja
. Järelikult on ridade (1) lähenemine võrdne kahe reaalrea lähenemisega: Ja . Seetõttu kehtivad koonduvate kompleksridade puhul koonduvate arvuridade põhiomadused.

Näiteks keerukate seeriate puhul kehtib Cauchy kriteerium: seeria (1) koondub siis ja ainult siis, kui mõne puhul

et kõigi eesn > Nja mis taheslk= 1, 2, … ebavõrdsus kehtib.

See kriteerium viitab otseselt rea konvergentsi kriteeriumile: seeria (1) lähenemiseks on vajalik ja piisav, et selle ühine terminW n → 0 .

Konvergentsete ridade järgmised omadused on tõesed: kui read Ja lähenevad nende summadeleSJad, siis read
Ja
koonduvad vastavalt summadeleS ± dja λS .

Absoluutselt konvergentne kompleksarvude jada.

Kompleksarvude jada (1) kutsus absoluutselt konvergentne, kui seeria läheneb
(2).

Teoreem.

Iga kompleksarvude absoluutselt koonduv jada (1) läheneb.

Tõestus.

Ilmselgelt piisab, kui tuvastame, et seeria (1) puhul on Cauchy kriteeriumi tingimused ridade konvergentsi jaoks täidetud. Võtame ükskõik millise
. Seeriate (1) absoluutse konvergentsi tõttu koondub seeria (2). Seetõttu valitud jaoks

, et mis tahes n > N Ja p=1,2,… ebavõrdsus rahuldatakse
, Aga

, ja veelgi enam, ebavõrdsus rahuldatakse
igal juhul n > N Ja lk=1,2,… Järelikult on seeria (1) puhul täidetud Cauchy kriteeriumi kompleksrea konvergentsi tingimused. Seetõttu seeria (1) läheneb. Teoreem on tõsi.

Teoreem.

Selleks, et kompleksarvude jada (1) oli absoluutselt konvergentne, see on vajalik ja piisav reaalridade absoluutseks koondumiseks (3) ja (4), kusW n = u n + i· v n (n = 1, 2,…).

tõend,

tugineb järgmistele ilmsetele ebavõrdsustele

(5)

Vajadus. Olgu seeriad (1) koonduvad absoluutselt, näitame, et jada (3) ja (4) koonduvad absoluutselt, st jadad koonduvad
Ja
(6). Seeriate (1) absoluutsest lähenemisest järeldub, et seeria (2)
koondub, siis ebavõrdsuse (5) vasakpoolse külje tõttu koonduvad seeriad (6), st seeriad (3) ja (4) lähenevad absoluutselt.

Adekvaatsus. Olgu seeriad (3) ja (4) koonduvad absoluutselt, näitame, et seeria (1) koondub ka absoluutselt, st seeria (2) läheneb. Seeriate (3) ja (4) absoluutsest lähenemisest järeldub, et seeria (6) koonduvad, seega ka jada koondub
. Järelikult ebavõrdsuse (5) parema külje tõttu seeria (2) koondub, s.o. seeria (1) on absoluutselt konvergentne.

Seega on kompleksrea (1) absoluutne lähenemine võrdne reaalarvude ridade (3) ja (4) absoluutse lähenemisega. Seetõttu kehtivad absoluutselt koonduvate kompleksridade suhtes kõik reaalsete absoluutselt koonduvate arvuridade põhiomadused. Eelkõige absoluutselt koonduva kompleksrea puhul kehtib teoreem selle liikmete permutatsiooni kohta, s.t. tingimuste ümberkorraldamine absoluutselt koonduvas reas ei mõjuta ridade summat. Keerulise jada absoluutse konvergentsi kindlakstegemiseks võib kasutada mis tahes positiivsete ridade konvergentsi kriteeriumit.

Cauchy märk.

Olgu seeriatel (1) piirang
, siis kuiq < 1 , то ряд (1) абсолютно сходится, если q>1, siis seeria (1) lahkneb.

D'Alemberti märk.

Kui kompleksarvude seeriale (1) on piirang
, siis kuiq < 1 этот ряд абсолютно сходится, а если q> 1, siis seeria lahkneb.

Näide.

Uurige seeriat absoluutse konvergentsi suhtes
, Siin
.

Me leiame
. Ilmselgelt
=
=
. Seetõttu on seeria absoluutselt konvergentne.

Absoluutselt koonduvaid jadasid saab korrutada. Absoluutselt koonduva jada korrutis koondub. Kahe koonduva korrutis võib lahkneda.

Suurus: px

Alusta näitamist lehelt:

Ärakiri

1 8 Kompleksarvude jada Vaatleme arvujada kompleksarvudega kujul k a, (46) kus (a k) on antud numbrijada kompleksterminitega k Sarja (46) nimetatakse koonduvaks, kui selle osasummade S a k k jada (S) koondub Sel juhul jada (S) piirväärtust S nimetatakse jada (46) summaks seeriat a k nimetatakse rea kolmandaks jäägiks (46) Konvergentse k-seeria S S r ja lm r korral need ε > N, N: r< ε Для сходящегося ряда (46) необходимым и достаточным признаком его сходимости является критерий Коши: ряд (46) сходится тогда и только тогда, если ε >, N, N:a< ε p k k Vajalik tingimus ridade (46) konvergents on nõue lm a Tõepoolest, ridade (46) lähenemisest järeldub Cauchy kriteeriumi järgi, et ε >, N >, mis p puhul järeldub, et S S< ε Если сходится ряд ak k a (47) с действительными положительными членами, то очевидно, сходится и ряд (46), который в этом случае называется абсолютно сходящимся А для ряда (47) уже можно применить признаки Даламбера и Коши: ряд (47) сходится, если, начиная с a некоторого номера N соотношение l < a, N значит, сходится абсолютно ряд (46)), если a q <, N k ; и ряд (47) сходится (а,

2 9 Funktsiooniread ja nende omadused Ühtlane konvergents Weierstrassi teoreem Olgu komplekstasandi Z domeenis G defineeritud lõpmatu üheväärtuslike funktsioonide jada ((Z)). Avaldist kujul U U (48) nimetatakse Funktsionaalne jada (48) on konvergentne domeenis G, kui sellele vastav arvurida koondub G piirkonnas, siis selles piirkonnas on võimalik defineerida ühe väärtusega funktsioon. mille väärtus piirkonna G igas punktis on võrdne vastava arvurea (48) summaga piirkonnas G. Siis G, > k () U k()< ε Заметим, что в общем случае N зависит и от ε и от Определение Если ε >, N(ε), N(ε): ε, N (ε,), N(ε,) : täidetakse kohe piirkonnas G k U k< ε G, то ряд (48) называется равномерно сходящимся в k k Если остаток ряда обозначить r U, то тогда условие равномерной сходимости ряда (48) можем записать в виде: r < ε, N(ε), G Достаточным признаком равномерной сходимости ряда (48) является признак Вейерштрасса: Если всюду в области G члены функционального ряда (48) могут быть мажорированы членами некоторого абсолютно сходящегося числового ряда a, те

3 a U, G, (49) siis jada (48) koondub ühtlaselt N Tõepoolest, kuna jada a koondub, siis > (49) tõttu kehtib võrratus ε, > k k N G-s, nii et a< ε, U U a < ε при N, что и доказывает равномерную k k k k k k сходимость ряда (48) в области G Приведем некоторые теоремы о равномерно сходящихся рядах Они доказываются совершенно также, как соответствующие теоремы вещественного анализа и поэтому приведем их без доказательства Теорема 5 Если функции U непрерывны в области G, а ряд U сходится в этой области равномерно к функции, то также непрерывна в G Теорема 6 Если ряд (48) pidevad funktsioonid U koondub domeenis G ühtlaselt funktsioonile, siis saab selle funktsiooni integraali üle mis tahes tükkhaaval sujuva kõvera, mis asub täielikult domeenis G, arvutada seeria (48) terminipõhise integreerimise teel, siis teoreem 7 Kui domeenis G koonduva seeria U terminitel d U d U on selles valdkonnas pidevad tuletised ja seeria U koondub ühtlaselt G-s, siis saab seda seeriat U termini kaupa diferentseerida domeenis G ja U U, kus U on seeria summa

4 Funktsiooniridade jaoks terviklik analüüs on olemas Weierstrassi teoreem, mis võimaldab oluliselt tugevdada teoreemi reaalsest analüüsist tuntud funktsionaalse seeria terminite kaupa eristamise võimaluse kohta sirge l, jääb ühtlaselt koonduvaks ka pärast kõigi selle liikmete korrutamist funktsiooniga ϕ, mis on piiratud l-ga. Tõepoolest, sirgel l on ebavõrdsus ϕ () täidetud< M Тогда для остатков ρ и r рядов U и U ϕ справедливо соотношение ϕ U U r < M r ρ ϕ ε и, тк N, >N:r< и одновременно с ним ρ < ε, то этим доказано M высказанное утверждение Если сумма данного ряда есть S, то сумма ряда, полученного после умножения на ϕ, очевидно будет ϕ S Теорема 8 (Вейерштрасса) Если члены ряда - аналитические в некоторой области G функции и этот ряд сходится в области G равномерно, то его сумма также является функцией аналитической в G, ряд можно почленно дифференцировать и полученный ряд F равномерно сходится к () F Выберем любую внутреннюю точку области G и построим круг столь малого радиуса с центром в этой точке, чтобы он целиком лежал внутри G (рис) В силу равномерной сходимости данного ряда в G, G ρ Рис он, в частности, равномерно сходится на окружности этого круга Пусть - любая точка на Умножим ряд () () () () () (5) на величину Полученный ряд

5 koondub samuti ühtlaselt oma summale () () () () (), kuna funktsioon (5) on piiratud, kuna selle ringi punktide jaoks on ρ ringi raadius (pidage meeles: - siin on konstant) , vastavalt eeltoodule saab seeriat (5) integreerida termini kaupa: () d () d () d d π π π π Funktsioonide analüütilisuse tõttu saame neile rakendada Cauchy valemit, mille alusel millest saame () d π, (5) ja (5) parempoolsete ridade summa on ja seetõttu saame võrdsuse π () d Kuid funktsioon, on ühtlaselt koonduva summa analüütiliste ja seega pidevate funktsioonide seeria G-s. See tähendab, et parempoolne integraal on Cauchy tüüpi integraal ja seetõttu esindab see funktsiooni, mis on sisemiselt analüütiline ja eriti punktis Tk - mis tahes punktis Piirkond G, siis on tõestatud teoreemi esimene osa. Selle jada terminipõhise diferentseerimise võimalikkuse tõestamiseks on vaja seeria (5) korrutada sellega piiratud arvutusfunktsiooniga ja korrata saab tõestada, et analüütiliste funktsioonide seeriat saab diferentseerida lõpmatu arv kordi, samas leiame, et seeria koondub ühtlaselt ja selle summa on võrdne (k) (k)

6 vormi seeriat, kus astmerida Abeli ​​teoreem Üldfunktsionaalsete ridade väga oluline juhtum on astmerida (), (53) - mõned kompleksarvud ja - komplekstasandi fikseeritud punkt Rea (53) liikmed. on analüütilised funktsioonid kogu tasapinnal, seetõttu saab selle seeria omaduste uurimiseks rakendada eelmiste lõikude üldteoreeme, nagu neis tuvastati, on konvergentsipiirkonna määramiseks palju omadusi astmereast (53) osutub oluliseks järgnev teoreem 9. teoreem (Abel) Kui astmerida (53) koondub mingil hetkel, siis koondub see absoluutselt suvalises punktis, mis rahuldab tingimust ja seda ringis.< ρ, радиусом ρ, меньшим < сходится равномерно, ряд Δ Выберем произвольную точку, удовлетворяющую условию < Обозначим q сходимости ряда следовательно M >, et M, q< В силу vajalik funktsioon selle liikmed kipuvad olema nulli, kui, seega () M M q M, Siis, kus q< (54) Ряд справа в (54) бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем q < Тогда из (54) следует сходимость и рассматриваемого ряда

7 ρ< достаточно в силу признака Вейерштрасса (53) В круге построить сходящийся числовой ряд, можорирующий данный ряд в рассматриваемой области Очевидно, таковым является ряд ρ M, также представляющий собой сумму бесконечной geomeetriline progressioon nimetajaga, mis on väiksem kui ühtsus. Abeli ​​teoreemist saame tuletada mitmeid tagajärgi, mis on teatud määral analoogsed Abeli ​​teoreemiga astmeridade teoorias reaalanalüüsis Kui astmerida (53) lahkneb teatud punktis, siis see lahkneb kõigis punktides, mis rahuldab ebavõrdsust > Täpselt punktist punktini, kus seeria (53) koondub, kauguste ülemist piiri nimetatakse astmeridade lähenemisraadiuseks ja piirkonda<, называется кругом сходимости степенного ряда В точках границы ряд может как сходиться так и расходиться Пример Найти область сходимости ряда Δ Находим радиус сходимости по признаку Даламбера lm () и наш ряд сходится в круге < При <, те, исследуется особо В этом случае и, значит, областью абсолютной сходимости является

8 ρ< В круге любого радиуса ρ, меньшего чем радиус сходимости, степенной ряд (53) сходится равномерно 3 Внутри круга сходимости степенной ряд сходится к аналитической функции В самом деле, члены ряда u есть функции, аналитические на всей плоскости Z, ряд сходится в любой замкнутой подобласти круга сходимости Тогда по теореме Вейерштрасса сумма ряда есть аналитическая функция 4 Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз, причем радиус сходимости полученных рядов равен радиусу сходимости исходного ряда 5 Коэффициенты степенного ряда (53) находятся по формулам! () () (55) Доказательство этого факта приводится методами, аналогичными методам вещественного анализа Ряд Тейлора Теорема Тейлора Нули аналитических функций Итак степенной ряд внутри круга сходимости определяет некоторую аналитическую функцию Возникает вопрос: можно ли функции, аналитической внутри некоторого круга, сопоставить степенной ряд, сходящийся в этом круге к данной функции? < Теорема 9 (Тейлора) Функция, аналитическая внутри круга, может быть представлена в этом круге сходящимся степенным рядом, причем этот ряд определен однозначно

9 Vali suvaline punkt ringi ρ ρ seest< и построим окружность ρ точке радиусом < с центром в ρ (рис), содержащую точку внутри Такое построение возможно для любой точки внутри этого круга Так как < ρ, а внутри круга < Рис аналитична, то по формуле Коши имеем π ρ () d (56) Преобразуем подынтегральное выражение: (57) <, то < Так как Поэтому второй сомножитель справа в (57) можно представить как сумму степенного ряда (прогрессии), ту которая первый член есть, а знаменатель прогрессии есть Так как, те () () (58) ρ, то ряд (58) сходится равномерно по, так как он мажорируется сходящимся числовым рядом Подставляя (58) в (56) и интегрируя почленно, получаем ρ (< ρ)

10 Tutvustame tähistust () d () ρ π () d () π ρ () ja kirjutame ümber (59) valitud punktis koonduvate astmeridade kujul: (59) (6) () (6) ) Valemis (6) saab naabruskonna ρ asendada Cauchy teoreemiga mis tahes piirkonnas asuva suletud kontuuriga.< и содержащим точку внутри Так как - произвольная точка данной области, то отсюда следует, что ряд (6) сходится к круге ρ < этот ряд сходится равномерно Итак, функция всюду внутри круга < аналитическая внутри круга <, причем в разлагается в этом круге в сходящийся степенной ряд Коэффициенты разложения (6) на основании формулы Коши для производных аналитической функции имеет вид () d () π ρ () ()! (6) Для доказательства единственности разложения (6) допустим, что имеет еще место формула разложения (), (6)

11, kus oleks ka üks koefitsient<, поэтому на основании формулы (55) Ряд (6) сходящимся в круге () () (6) Тем самым единственность определения коэффициентов доказана Разложение функции, аналитической в круге! <, что совпадает с, в сходящийся степенной ряд (6), часто называется разложением Тейлора, а сам ряд (6) Рядом Тейлора Доказанная теорема устанавливает взаимнооднозначное соответствие между функцией, аналитической в окрестности некоторой точки и степенным рядом с центром в этой точке, это означает эквивалентность конкретной аналитической функции, как функции бесконечное число раз дифференцируемой и функцией, представимой в виде суммы степенного ряда G и Заметим, наконец, что, если функция является аналитической в области G - внутренняя точка, то радиус сходимости ряда Тейлора () () () этой функции не меньше расстояния от точки до! границы области G (имеется в виду ближайшее расстояние) Пример Разложить в ряд Тейлора по степеням Δ Эта функция является аналитической на всей комплексной плоскости за исключением точек, Поэтому в круге < функция может быть ± разложена в ряд Тейлора При условии < выражение рассматриваться как сумма бесконечно убывающей прогрессии может q, q < Поэтому

12 , < Пример 3 Найти разложение в ряд Тейлора в круге < Определение по формуле (6) здесь довольно затруднительно Поэтому, представим π Так как < и <, то, используя геометрическую, получаем q q, Используя показательную форму чисел и находим окончательно 4 s π (63) Тк расстояние от центра разложения до ближайших особых точек (те до границы аналитичности) есть, то радиус сходимости ряда (63) есть Рис X Y

13 4 4 3 Näide<, 4 3 < Ближайшей к центру разложения особой точкой является точка, до которой расстояние равно, поэтому В заключение приведем основные разложения: e (<)!! 3! cos! 4 3 4! ; (<)! ; s () m 3 3! 5 5! m m m!! (<) ()! ; m(m)(m)! ; l 3 3 () 4 (<) Если для аналитической функции (), то точка называется нулем аналитической функции В этом случае разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки имеет вид () () тк () Если в разложении функции окрестности точки и, следовательно, разложение имеет вид, в ряд Тейлора в,

14, siis nimetatakse punkti () (), (64) funktsiooni If nulliks, siis nulli nimetatakse järgu lihtsaks ehk kordsuseks Taylori seeria koefitsientide valemitest näeme, et kui punkt on järjekorras null, siis kus () () Laienduse (64) saab vormi ümber kirjutada, kuid () () () [ () ] () ϕ, ϕ () (), () ϕ ja selle jada lähenemisring on ilmselgelt sama, mis rea (64) See on ka tõene pöördväide, kus iga vormi funktsioon on täisarv, ϕ () ja nulljärku Näide 5 Punktid ± () ϕ, ϕ on punktis analüütiline, omab selles punktis kõrgeimat järku funktsiooni, tk () () e (4) ϕ 3 4 e on nullid ja (±) Näide 6 Leia funktsiooni 8 s nullijärk Laienda nimetajat astmetes: 3 3! 8 5 5! ! 5! 3! 5 5! ϕ

15 5 ϕ, kus ϕ, ja ϕ ning funktsiooni punkt 3!, seega punkt 5! ϕ on analüütiline ja on 5. järku null algse Laurent'i seeria ja selle konvergentsipiirkonna jaoks. Analüütilise funktsiooni laiendamine Laurent'i seeriaks Vaatleme seeriat kujul () kus on komplekstasandi fikseeritud punkt, (65) ) on mõned kompleksarvud. Seeriat (65) nimetatakse Laurent'i jadaks. Selleks esitame (65) kujul () () (66) () On selge, et piirkond rea (66) konvergents on (66) paremal küljel olevate terminite lähenemispiirkondade ühisosa. Seeria () lähenemispiirkond on ring, mille keskpunkt on teatud punktis. raadius ja eelkõige võib see olla võrdne nulli või lõpmatusega. See seeria läheneb mõnele kompleksmuutuja analüütilisele funktsioonile (),< (67)

16 Muutuja jada konvergentsipiirkonna määramiseks, pannes () () Siis on see jada asendusena - tavaline astmerida, mis läheneb oma lähenemisringis mingi kompleksi analüütilise funktsiooniga ϕ () muutuja Olgu saadud astmeridade lähenemisraadius r Siis ϕ,< r Возвращаясь к старой переменной и полагая ϕ () () (68), >r Siit järeldub, et seeria konvergentsipiirkond on ringist r väljapoole jääv piirkond, saame (69) () on Seega koondub iga (66) paremal küljel olev astmerida oma lähenemispiirkonnas vastav analüütiline funktsioon Kui r<, то существует общая область сходимости этих рядов круговое кольцо r < <, в которой ряд (65) сходится к аналитической функции (), r < < (7) Так как ряды (67) и (68) являются обычными степенными рядами, то в указанной области функция обладает всеми свойствами суммы степенного ряда Это означает, что ряд Лорана сходится внутри своего кольца сходимости к некоторой функции, аналитической в данном кольце

17 Kui r >, siis seeriatel (67) ja (68) puudub ühine lähenemispiirkond, seega ei koondu seeria (65) mitte kuhugi ühelegi funktsioonile. 7) ja näide 7 Laienda – rea põhiosa (65) () a)< < ; б) >; V)< < называется правильной частью или в ряд Лорана в кольцах: Во всех кольцах функция регулярна (аналитична) и поэтому может быть представлена рядом Лорана (доказательство этого факта в следующем пункте) Перепишем функцию в виде а) Так как <, то второе слагаемое есть сумма убывающей геометрической прогрессии Поэтому () Здесь главная часть состоит из одного слагаемого < б) в этом случае, поэтому () 3

18 Sellel laiendusel puudub tavaline osa< в) Для случая < функцию также надо привести к сходящейся геометрической прогрессии, но со знаменателем Это даст: 3 Заметим, что в главной части этого разложения присутствует одно слагаемое Возникает вопрос: можно ли функции аналитической в некотором круговом кольце, сопоставить ряд Лорана, сходящийся к этой функции в данном кольце? На этот вопрос отвечает Теорема Функция, аналитическая в круговом кольце < <, однозначно представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана дробь На Рис 3 Δ Зафиксируем произвольную точку внутри данного кольца и контурами окружности и с центром в, радиусы которых удовлетворяют условиям < < < < < (рис 3) Согласно формуле Коши для многосвязной области имеем π () d () выполняется неравенство q, можно представить в виде d (7) Поэтому

19 Teostame terminite kaupa integratsiooni punktis (7), mis on võimalik tänu ridade ühtlasele konvergentsile in, saame d π, (7) kus d π, (73) Kuna võrratus ei kehti , siis sarnaselt eelmisele on meil Siis selle seeria terminite kaupa integreerimise tulemusena punktis (7) saame π π d d, (d jaoks), (74) kus d π (75) ) Muutes (75) integreerimise suunda, saame

20 π () () d ()() d π, > (76) (73) ja (76) integrandide analüütilisuse tõttu ringikujulises rõngas< < в соответствии с теоремой Коши значения интегралов не изменятся при произвольной деформации контуров интегрирования в области аналитичности Это позволяет объединить формулы (73) и (76): π () d (), ±, ±, (77) где - произвольный замкнутый контур, лежащий в указанном кольце и содержащий точку внутри Возвратимся теперь к формуле (7), получим где коэффициенты () (), (78) () для всех определяются однообразной формулой (77) Так как - люба точка кольца < <, то отсюда следует, что ряд (78) сходится к внутри данного кольца причем в замкнутом кольце < < ряд сходится к равномерно Доказательство единственности разложения (78) опускаем Из полученных результатов следует, что областью сходимости ряда (78) Лорана является круговое кольцо < <, на границах которого имеется хотя бы по одной особой точке аналитической функции ряд (78), к которой сходится Замечание Формула (77) для определения коэффициентов разложения в ряд Лорана (78) не всегда практически удобна Поэтому часто прибегают к разложению рациональной дроби на простейшие с использованием геометрической прогрессии, а также используют разложение в ряд Тейлора элементарные функции Приведем примеры

21 Näide 8 Laiendage Laurent'i seeriat (need, kellel on võimsused) Y punkti ()() läheduses Δ-s Sel juhul konstrueerime kaks ringikujulist rõngast, mille keskpunkt on punktis (joonis 4): a) a ring "ilma keskpunktita"< < ; Рис 4 X б) внешность круга >Kõigis neis rõngastes on see analüütiline ja selle piiridel on ainsuse punktid. Laiendame funktsiooni võimsustes kõigis nendes piirkondades.< < ; ; [ () () () ] () < Этот ряд сходится, так как Так что ()() () () () (), ; >) Siin on 3, () () () () () on koonduv jada, kuna<

22 s Selle tulemusena ()() () () need, 3, 3 Näide 9 Laienda funktsiooni Δ Laurent'i seerias punkti naabruses Meil ​​on:, s s s cos cos s s! cos 4 () () 3 4! 3! () 5! () (s cos)!! 5

Teema Kompleksarvude jada Vaatleme kujuga kompleksarvudega arvujada k ak. Sarja nimetatakse koonduvaks, kui selle osasummade S a k k jada S koondub. Veelgi enam, jada piir S

Teema Funktsionaalne kompleksseeria Määratlus. Kui k, N, N U k G koondub domeenis G korraga, siis nimetatakse rida ühtlaseks

LOENG N37. Analüütiliste funktsioonide seeria. Analüütilise funktsiooni laiendamine astmereaks. Taylori seeria. Laurenti seeria.. Analüütilise funktsiooni laiendamine astmereaks..... Taylori seeria.... 3. Analüütilise funktsiooni laiendamine

Mooduli teema Funktsionaaljadad ja jadad Jadade ja seeriate ühtlase konvergentsi omadused Võimseeria Loeng Funktsionaaljadade ja jadade definitsioonid Ühtlane

7. loeng Taylori ja Laurenti seeria 7. Taylori seeria Selles osas näeme, et astmerea ja analüütilise funktsiooni mõisted määratlevad sama objekti: mis tahes positiivse lähenemisraadiusega astmerida

Matemaatiline analüüs Sektsioon: Keerulise muutuja funktsioonide teooria Teema: Seeriad komplekstasandil Lektor O.V 217 9. Jada komplekstasandil 1. Arvjada Olgu jada antud

5 Astmete jada 5 Astmete jada: definitsioon, lähenemispiirkond Funktsionaalne jada kujul (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) kus, a, a, K, a ,k on mõnda arvu, mida nimetatakse astmeridadeks

Föderaalne Haridusagentuur Moskva Riiklik Geodeesia ja Kartograafia Ülikool (MIIGAIK) ISESEISEVSE TÖÖ METOODILISED JUHISED JA ÜLESANDED kursusel KÕRGEMATEMAATIKA Numbriline

Funktsionaaljada Loengud 7-8 1 Konvergentsi ala 1 Funktsionaalreaks nimetatakse seeriat kujul u () u () u () u (), 1 2 u () kus funktsioonid on defineeritud teatud intervallil. . Kõigi punktide kogum

LOENG N38. Analüütilise funktsiooni käitumine lõpmatuses. Eripunktid. Funktsiooni jäägid..punkti naabrus lõpmatuses.....Laurent'i laienemine punkti naabruses lõpmatuses.... 3.Käitumine

VENEMAA FÖDERATSIOONI HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM Riiklik Uurimistöö Nižni Novgorodi Riiklik Ülikool NI Lobatševski NP Semerikova AA Dubkov AA Hartšova ANALÜÜTILISTE FUNKTSIOONIDE RIIGID

Valgevene Vabariigi Haridusministeerium EE "Vitebski Riiklik Tehnikaülikool" Teema. "Read" teoreetilise ja rakendusmatemaatika osakond. välja töötatud Assoc. E.B. Dunina. Põhiline

V.V. Zhuk, A.M. Kamachkin 1 Power seeria. Konvergentsi raadius ja lähenemisintervall. Konvergentsi olemus. Integratsioon ja eristumine. 1.1 Lähenemisraadius ja lähenemisvahemik. Funktsionaalne vahemik

Teema Laurent seeria ja selle lähenemispiirkond. Vaatleme jada kujul n C n n C n n n n C n n, kus on komplekstasandi fikseeritud punkt ja on mõned kompleksarvud. C n Seda seeriat nimetatakse Laurent'i seeriaks.

LOENG N 7. Võimseeriad ja Taylori seeriad.. Jõuridad..... Taylori seeriad.... 4. Mõnede elementaarfunktsioonide laiendamine Taylori ja Maclaurini seeriateks.... 5 4. Jõuridade rakendamine... 7. Võimsus

Matemaatiline analüüs Sektsioon: Arv- ja funktsionaalrea Teema: Jõuridad. Funktsiooni laiendamine võimsusseeriaks Lektor Rozhkova S.V. 3 34. Astmete jada Astmete jada on astmete jada

4 Analüütiliste funktsioonide jada 4. Funktsionaaljada Olgu Ω C ja f n: Ω C. Funktsioonide jada (f n ) koondub punkt-suunas funktsioonile f: Ω C, kui iga z Ω lim n f n(z) = f(z).

Funktsionaaljada Funktsionaaljada, selle summa ja funktsionaalsuse valdkond o Olgu reaal- või kompleksarvude domeenis Δ antud funktsioonide jada (k 1 Funktsionaalne jada nimetatakse

Loengud koostas dotsent Musina MV Definitsioon Vormi avaldis Arv- ja funktsionaaljada Arvurida: põhimõisted (), kus nimetatakse arvuseeriaks (või lihtsalt jadaks) Arvud, seeria liikmed (sõltub

Arvurida Arvujada Def Arvujada on arvuline funktsioon, mis on defineeritud naturaalarvude hulgas x - jada x =, x =, x =, x =, üldliige,

Peatükk Poorrida a a a Vormi a a a a () jada nimetatakse astmeridadeks, kus, a, on konstandid, mida nimetatakse jada koefitsientideks. Mõnikord peetakse silmas ka üldisema kujuga astmerida: a a(a) a(a). a(a) (), kus

8. loeng Seeria ja ainsuse punktid. Laurent sari. Eraldatud ainsuse punktid. 6. Jada ja ainsuse punktid 6.7. Laurent'i seeria teoreem (P. Laurent): Kui funktsioon f() on ringis r analüütiline< a < R r R то она может быть разложена

Föderaalne Haridusagentuur Föderaalne Riiklik Professionaalse Kõrghariduse Õppeasutus LÕUNA FÖDERAALÜLIKOOL R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaja metoodika

Teema 9 Astmete jada Astmete jada on funktsionaalne jada kujul, kus arvud... on jada koefitsiendid ja jada laienduspunkti.,...,... R... nimetatakse keskpunkt Võimsusseeria Astmete jada üldtermin

4 Funktsiooniseeria 4 Põhidefinitsioonid Olgu lõpmatu funktsioonide jada definitsiooni ühise domeeniga X u), u (), K, u (),K (DEFINITSIOON Avaldis u) + u () + K + u () +

3. loeng Taylori ja Maclaurini seeria Astmete ridade rakendamine Funktsioonide laiendamine astmeridadeks Taylori ja Maclaurini seeriad Rakenduste jaoks on oluline, et antud funktsiooni oleks võimalik laiendada astmereaks, need funktsioonid

6. loeng Funktsiooni laiendamine astmereaks Laienduse unikaalsus Taylori ja Maclaurini seeriaks Mõne elementaarfunktsiooni astmereaks laiendamine Astmete jada rakendamine Eelmistes loengutes

Metallurgiateaduskond Kõrgema matemaatika osakond RANKS Metoodilised juhised Novokuznetsk 5 Föderaalne Haridusagentuur Riiklik erialane kõrgharidusasutus

Laurent'i seeriad Üldisemat tüüpi astmeridadeks on nii positiivseid kui ka negatiivseid astmeid z z 0 sisaldavad jadad. Sarnaselt Taylori seeriatega on neil oluline roll analüütiliste funktsioonide teoorias.

Jada Arvurida Üldmõisted Definitsioon Kui iga naturaalarv on teatud seaduse järgi seotud teatud arvuga, siis nummerdatud arvude hulka nimetatakse arvujadaks,

S A Lavrenchenko wwwlwrecekoru Loeng Funktsionaalrea kontseptsioon Varem uurisime arvuridu ehk seeria liikmed olid arvud Nüüd liigume edasi funktsionaalridade uurimise juurde, st.

Teema Laurent seeria ja selle lähenemispiirkond. Laurent'i jadaks nimetatakse jada kujul, kus C (z z) n = C (z z) n + n n n= n= z tasapinnast, kompleksi C n fikseeritud punktist. C n (z z) n= - mingi kompleks

Loeng. Funktsionaalne seeria. Funktsionaalrea definitsioon Funktsionaalseteks nimetatakse jada, mille liikmed on x funktsioonid: u = u (x) + u + K+ u + K = Andes x-ile teatud väärtuse x, saame

SERIATEooriA Seeriateooria on matemaatilise analüüsi kõige olulisem komponent ja leiab nii teoreetilisi kui ka arvukalt praktilisi rakendusi. Seal on numbrilised ja funktsionaalsed seeriad.

Lähenemisraadiuse definitsioon. Astmete jada on funktsionaalne jada kujul c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () kus c 0, c, c 2,.. ., c, ... C nimetatakse võimsuskoefitsientideks

MOSKVA RIIK TEHNILINE ÜLIKOOLI TSIVIILLENNUD V.M. Ljubimov, E.A. Žukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Shurinovi MATEMAATIKA KÄSIRAAMAT distsipliini ja kontrolltööde õppimiseks

82 4. Jaotis 4. Funktsionaalsed ja võimsusseeriad 4.2. 3. õppetund 4.2. 3. õppetund 4.2.. Funktsiooni laiendamine Taylori seeriasse DEFINITSIOON 4.2.. Olgu funktsioon y = f(x) mõnes naabruses lõpmatult diferentseeruv

Loeng. Jõuseeria. Harmooniline analüüs; seeria ja Fourier' teisendus. Ortogonaalsuse omadus.8. Üldfunktsionaalsed jadad 8.. Funktsioonidest kõrvalehoidmine Seeriat U + U + U nimetatakse funktsionaalseteks, kui see

Starkov V.N. Orienteerumisloengu materjalid Küsimus 9. Analüütiliste funktsioonide laiendamine astmeridadeks Definitsioon. Vormi funktsionaalne jada ((... (..., kus komplekskonstandid (rea koefitsiendid

Sgups Kõrgema matemaatika osakond Metoodilised juhised standardarvutuste tegemiseks “Seeria” Novosibirsk 006 Teatud teoreetilist teavet Arvurida Olgu u ; u ; u ; ; u ; on lõpmatu arv

E okupatsioon. Taylori seeria. Jõuridade summeerimine Mat. analüüs, appl. matemaatika, 3. semester Leia funktsiooni laiendus astmereaks astmetes, arvuta astmerea lähenemisraadius: A f()

Peatükk Sari Mingi arvujada liikmete summa formaalne tähistus Arvuridu nimetatakse arvujadadeks Summa S nimetatakse jada osasummadeks Kui on piirmäär S, S, siis seeria

Praktiline tund 8 Jäägid 8 Jäägi määratlus 8 Jääkide arvutamine 8 Logaritmiline jääk 8 Jäägi määratlus Olgu funktsiooni isoleeritud ainsuse punkt isoleeritud ainsuses Jäägi analüütiline

~ ~ PKP Kompleksmuutuja funktsiooni tuletis PKP Cauchy-Riemanni tingimused regulaarsuse mõiste PKP Kompleksarvu kujutis ja vorm PKP tüüp: kus kahe muutuja reaalfunktsioon on reaalne

METOODILISED JUHEND KÕRGEMA MATEMAATIKA KURSUSE ARVUTUSÜLESANDEKS „TARIDIFFERENTSIAALVÕRDENDITE SARJA KAHEKORDSELT INTEGRAALID” OSA TEEMA SARJA Sisukord Sari Arvurida Konvergents ja lahknemine

Föderaalne Haridusagentuur Arhangelski Riiklik Tehnikaülikool Ehitusteaduskond RANKS Juhised iseseisva töö ülesannete täitmiseks Arhangelsk

KOMPLEKSMUUTUVA TEHTEARVUTUSE FUNKTSIOONIDE TEOORIA ELEMENTID Selle teema õppimise tulemusena peab õpilane õppima: leidma kompleksarvu trigonomeetrilised ja eksponentsiaalsed vormid vastavalt

Matemaatiline analüüs Osa 3. Numbrilised ja funktsionaalread. Mitu integraali. Väljateooria. õpik N.D. Vysk MATI-RGTU im. K.E. Tsiolkovski kõrgmatemaatika osakond MATEMAATILINE ANALÜÜS

Loeng 3. Mahaarvamised. Põhiteoreem jääkide kohta Funktsiooni f() jääk isoleeritud ainsuse punktis a on kompleksarv, mis võrdub integraali f() 2 väärtusega, mis on võetud piki ringjoont positiivses suunas i

Numbri- ja võimsusseeria Õppetund. Numbriseeria. Sarja summa. Konvergentsi märgid.. Arvutage ridade summa. 6 Lahendus. Lõpmatu geomeetrilise progressiooni q liikmete summa on võrdne, kus q on progressiooni nimetaja.

S A Lavrenchenko wwwlawreceoru Loeng Funktsioonide esitus Taylori seeria järgi Üks kasulik piir Viimases loengus töötati välja järgmine strateegia: funktsioonirea esindatavuse piisava tingimusega

M. V. Deikalova PÕHJALIK ANALÜÜS Eksami küsimused (rühm MX-21, 215) Esimese kollokviumi küsimused 1 1. Kompleksmuutuja funktsiooni diferentseeritavus punktis. Cauchy-Riemanni (D'Alembert-Euler) tingimused.

Valik Ülesanne Arvuta funktsiooni väärtus, anna vastus algebralisel kujul: a sh ; b l Lahendus a Kasutame trigonomeetrilise siinuse ja hüperboolse siinuse seose valemit: ; sh -s Hangi

Loeng Arvurida Konvergentsi märgid Arvurida Konvergentsi märgid Numbrijada + + + + lõpmatut avaldist, mis koosneb lõpmatu ühe terminitest, nimetatakse arvuseeriaks Numbrid,

4. Funktsionaalne jada, lähenemispiirkond Funktsionaalrea () lähenemispiirkond on argumentide väärtuste kogum, mille jaoks see seeria koondub. Funktsiooni (2) nimetatakse jada osasummaks;

3. loeng Skalaarvõrrandi lahendi olemasolu ja kordumatuse teoreem Ülesande püstitus Peamine tulemus Vaatleme Cauchy ülesannet d f () d =, () = Funktsioon f (,) on defineeritud tasandi G piirkonnas (,

VENEMAA FÖDERATSIOONI HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM KAASAN RIIKLIK ARHITEKTUURI- JA EHITUSÜLIKOOL Kõrgema matemaatika osakond ARVU- JA FUNKTSIONAALNE SARJA

(funktsionaalse jada astmeridade konvergentsi domeen konvergentsi intervalli leidmise järjekord - konvergentsi intervalli näite raadius näited) Olgu antud lõpmatu funktsioonide jada, Funktsionaalne

S A Lavrenchenko wwwlawrecekoru Loeng Funktsioonide esitamine astmeridade kaupa Sissejuhatus Funktsioonide esitamine astmeridade kaupa on kasulik järgmiste probleemide lahendamisel: - funktsioonide integreerimine

E okupatsioon. Jõuseeria. Taylori seeria matemaatika. analüüs, appl. matemaatika, 3. semester Leia astmeridade konvergentsiraadius d'Alemberti kriteeriumi abil: (89 () n n (n!)) p (n +)! n = Taylori seeria f(x)

VENEMAA FÖDERAATSIOONI HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM LIITRIIGI EELARVE KÕRGE KÕRGHARIDUSASUTUS “SAMARA RIIKLIK LENNUÜLIKOOL”

RESID. Numbriseeria. Põhidefinitsioonid Olgu antud lõputu arvude jada Avaldis (lõpmatu summa) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i=. numbriseeria. Numbrid

KASANI RIIKLIKÜLIK Matemaatilise statistika osakond ARVISERIA Haridus- ja metoodiline käsiraamat KAZAN 008 Avaldatud Kaasani ülikooli teadus- ja metoodikanõukogu sektsiooni otsusega

Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium VA Volkov INTEGRAALNE FOURIER SERIES Hariduslik elektrooniline tekstiväljaanne Erialade üliõpilastele 4865 Elektroonika ja füüsiliste paigaldiste automatiseerimine;

џ. Arvjada mõiste. Olgu antud arvude jada a, a 2,..., a,... Arvurida on avaldis a = a + a 2 +... + a +... (.) Arvud a, a 2,.. ., a,... nimetatakse sarja liikmeteks, a

Metoodiline arendus TFKP ülesannete lahendamine Kompleksarvud Tehted kompleksarvudega Komplekstasand Kompleksarvu saab esitada algebralises ja trigonomeetrilises eksponentsiaalis

Siberian Mathematical Journal juuli august 2005. 46. köide, 4 UDC 517.53 FUNKTSIOON A. G. Lipchinsky ÜKSEKSEST PUNKTIEST ERALDATUD sõlmedes INTERPOLAATSIOONI MURUDE KONVERGENTSIOONID.

MOSCOW AUTOMOBILE AND ROAD State TECHNICAL UNIVERSITY (MADI) AA ZLENKO, SA IZOTOVA, LA MALYSHEVA RIIGITAB METOODIKAJUHENDI iseseisvaks tööks matemaatikas MOSCOW AUTOMOBILE and ROAD STATE UNIVERSITY

Kasutades standardmeetodeid, kuid teise näitega jõudsime ummikusse.

Mis on raskus ja kus võib tõrge olla? Paneme seebi köie kõrvale, analüüsime rahulikult põhjuseid ja tutvume praktiliste lahendustega.

Esimene ja kõige tähtsam: valdaval enamusel juhtudel on seeria konvergentsi uurimiseks vaja kasutada mõnda tuttavat meetodit, kuid seeria üldtermin on täis nii keerulist täidist, et pole üldse ilmne, mida sellega teha . Ja sa lähed ringi: esimene märk ei tööta, teine ​​ei tööta, kolmas, neljas, viies meetod ei tööta, siis visatakse mustandid kõrvale ja kõik algab uuesti. Tavaliselt on see tingitud kogemuste puudumisest või lünkadest muudes matemaatilise analüüsi valdkondades. Eriti kui jookseb järjestuse piirid ja pealiskaudselt lahti võetud funktsioonide piirangud, siis läheb raskeks.

Ehk siis inimene lihtsalt ei näe teadmiste või kogemuste puudumise tõttu vajalikku otsustusmeetodit.

Vahel on süüdi ka “varjutus”, kui näiteks rea ühtlustumiskriteerium ei täitu, aga teadmatuse, tähelepanematuse või hooletuse tõttu langeb see silmist. Ja see tuleb välja nagu selles loos, kus matemaatikaprofessor lahendas metsikute korduvate jadade ja arvuridade abil laste ülesande =)

Parimate traditsioonide kohaselt kohe elavad näited: read ja nende sugulased - ei nõustu, kuna see on teoreetiliselt tõestatud järjestuse piirid. Tõenäoliselt raputavad nad esimesel semestril 1-2-3-leheküljelise tõestuse jaoks hinge välja, kuid nüüd piisab sellest, et näidata seeria ühtlustamiseks vajaliku tingimuse ebaõnnestumist, viidates teadaolevatele faktidele. . Kuulus? Kui õpilane ei tea, et n-s juur on ülivõimas asi, siis ütleme, et seeria viib ta ummikusse. Kuigi lahendus on nagu kaks korda kaks: , s.t. arusaadavatel põhjustel lähevad mõlemad sarjad lahku. Tagasihoidlikust kommentaarist “need piirid on teoreetiliselt tõestatud” (või isegi selle puudumisest üldse) piisab testiks täiesti, arvutused on ju üsna rasked ja kindlasti ei kuulu need numbriridade sektsiooni.

Ja pärast järgmiste näidete uurimist üllatab teid paljude lahenduste lühidus ja läbipaistvus:

Näide 1

Uurige seeria konvergentsi

Lahendus: kõigepealt kontrollime täitmist vajalik lähenemise kriteerium. See ei ole formaalsus, vaid suurepärane võimalus käsitleda näidet "väikese verevalamisega".

“Sündmuskoha ülevaatus” viitab lahknevale seeriale (üldistatud harmoonilise jada juhtum), kuid taas tekib küsimus, kuidas arvestada lugejas logaritmi?

Ülesannete ligikaudsed näited tunni lõpus.

Pole haruldane, kui peate läbi viima kaheetapilise (või isegi kolmeastmelise) arutluskäigu:

Näide 6

Uurige seeria konvergentsi

Lahendus: Kõigepealt tegeleme hoolikalt lugeja jaburusega. Jada – piiratud: . Seejärel:

Võrdleme oma seeriat sarjaga. Äsja saadud topeltvõrratuse tõttu kehtib kõigi "en" puhul järgmine:

Nüüd võrrelge seeriaid lahknevate harmooniliste seeriatega.

Murru nimetaja vähem murdosa nimetaja, seega murdosa ise – rohkem murde (kui see pole selge, kirjutage paar esimest terminit üles). Seega mis tahes "en" jaoks:

See tähendab, et võrdluse põhjal on seeria lahkneb koos harmooniliste seeriatega.

Kui nimetajat veidi muuta: , siis on põhjenduse esimene osa sarnane: . Kuid seeria lahknevuse tõestamiseks saame kasutada ainult võrdluskriteeriumit, kuna ebavõrdsus on vale.

Konvergentsete seeriatega on olukord “peegeldatud”, see tähendab, et näiteks seeria puhul saab kasutada mõlemat võrdluskriteeriumi (ebavõrdsus on tõene), kuid seeria puhul ainult piiravat kriteeriumi (võrratus on väär).

Jätkame oma metsiku looduse safarit, kus silmapiiril terendab kari graatsilisi ja lopsakaid antiloope:

Näide 7

Uurige seeria konvergentsi

Lahendus: konvergentsi vajalik kriteerium on täidetud ja me esitame endale taas klassikalise küsimuse: mida teha? Meie ees on midagi, mis meenutab koonduvat jada, kuid siin pole selget reeglit - sellised assotsiatsioonid on sageli petlikud.

Sageli, aga mitte seekord. Kasutades piirav võrdluskriteerium Võrdleme oma seeriat koonduva seeriaga. Limiidi arvutamisel kasutame imeline piir , kus as lõpmatult väike seisab:

koondub koos kõrval .

Selle asemel, et kasutada tavalist kunstlikku korrutamise ja kolmega jagamise tehnikat, võis esialgu teha võrdluse koonduva jadaga.
Kuid siinkohal on soovitatav teha reservatsioon, et üldmõiste konstantne tegur ei mõjuta seeria konvergentsi. Ja järgmise näite lahendus on kujundatud täpselt selles stiilis:

Näide 8

Uurige seeria konvergentsi

Näidis õppetunni lõpus.

Näide 9

Uurige seeria konvergentsi

Lahendus: eelmistes näidetes kasutasime siinuse piiritust, kuid nüüd on see omadus mängust väljas. Suurem murdosa nimetaja kasvu järjekord, kui lugeja, seega, kui siinuse argument ja kogu ühine termin lõpmatult väike. Lähenemise vajalik tingimus, nagu te aru saate, on täidetud, mis ei võimalda meil oma tööst kõrvale hiilida.

Teeme luure: vastavalt tähelepanuväärne samaväärsus , visake siinus mõttes ära ja hankige seeria. No nii ja naa...

Teeme otsuse:

Võrdleme uuritavat seeriat lahkneva seeriaga. Kasutame piiravat võrdluskriteeriumi:

Asendame lõpmatu väikese samaväärsega: at .

Saadakse nullist erinev lõplik arv, mis tähendab, et uuritav jada lahkneb koos harmooniliste seeriatega.

Näide 10

Uurige seeria konvergentsi

See on näide, mille saate ise lahendada.

Selliste näidete puhul edasiste toimingute kavandamisel aitab siinus, arcsinus, puutuja ja arctangensi mõtteline kõrvalejätmine palju kaasa. Kuid pidage meeles, et see võimalus on olemas ainult siis, kui lõpmatult väike argument, mitte kaua aega tagasi sattusin ühe provokatiivse sarja peale:

Näide 11

Uurige seeria konvergentsi
.

Lahendus: Siin pole mõtet kasutada arctangensi piirangut ja samaväärsus ka ei tööta. Lahendus on üllatavalt lihtne:


Uuritav sari lahkneb, kuna ridade konvergentsi vajalik kriteerium ei ole täidetud.

Teine põhjus"Probleem ülesandega" seisneb selles, et tavaline liige on üsna keerukas, mis põhjustab tehnilisi raskusi. Jämedalt öeldes, kui eespool käsitletud sarjad kuuluvad kategooriasse "kes teab", siis need kuuluvad kategooriasse "kes teab". Tegelikult nimetatakse seda keeruliseks "tavalises" tähenduses. Mitte igaüks ei suuda õigesti lahendada mitut savanni faktoriaali, kraadi, juuri ja muid elanikke. Suurimad probleemid on loomulikult faktoriaalid:

Näide 12

Uurige seeria konvergentsi

Kuidas tõsta faktoriaal võimsuseks? Kergesti. Vastavalt võimsustega toimingute reeglile on vaja toote iga tegur tõsta astmeni:

Ja muidugi tähelepanu ja veelkord tähelepanu d’Alemberti märk ise toimib traditsiooniliselt:

Seega uuritav sari koondub.

Tuletan teile meelde ebakindluse kõrvaldamise ratsionaalset tehnikat: kui see on selge kasvu järjekord lugeja ja nimetaja - pole vaja kannatada ja sulgusid avada.

Näide 13

Uurige seeria konvergentsi

Metsaline on väga haruldane, kuid seda esineb ja oleks ebaõiglane seda kaameraobjektiiviga ignoreerida.

Mis on faktoriaal topelthüüumärgiga? Faktoriaal "lõpetab" positiivsete paarisarvude korrutise:

Samamoodi "lõhib" faktoriaal positiivsete paaritute arvude korrutise:

Analüüsige, mis vahe on ja

Näide 14

Uurige seeria konvergentsi

Ja selles ülesandes proovige mitte segi ajada kraadidega, tähelepanuväärsed samaväärsused Ja imelised piirid.

Lahenduste ja vastuste näidised tunni lõpus.

Kuid õpilast ei toida ainult tiigrid - ka kavalad leopardid saavad oma saagile jälile:

Näide 15

Uurige seeria konvergentsi

Lahendus: konvergentsi vajalik kriteerium, piirav kriteerium ning D’Alemberti ja Cauchy testid kaovad peaaegu silmapilkselt. Kuid kõige hullem on see, et meid korduvalt aidanud ebavõrdsuse märk on jõuetu. Tõepoolest, võrdlemine lahknevate seeriatega on ebavõrdsuse tõttu võimatu vale - logaritmi kordaja suurendab ainult nimetajat, vähendades murdosa ennast murdosa suhtes. Ja veel üks ülemaailmne küsimus: miks me oleme alguses kindlad, et meie seeria peab tingimata lahknema ja seda tuleb võrrelda mõne lahkneva seeriaga? Mis siis, kui ta üldse läbi saab?

Integreeritud funktsioon? Vale integraal kutsub esile leinava meeleolu. Nüüd, kui meil vaid tüli oleks … siis jah. Lõpeta! Nii sünnivad ideed. Koostame lahenduse kahes etapis:

1) Kõigepealt uurime ridade konvergentsi . Me kasutame lahutamatu omadus:

Integrand pidev peal

Seega sari lahkneb koos vastava ebaõige integraaliga.

2) Võrdleme oma seeriaid lahknevate seeriatega . Kasutame piiravat võrdluskriteeriumi:

Saadakse nullist erinev lõplik arv, mis tähendab, et uuritav jada lahkneb koos järgmisega .

Ja sellises otsuses pole midagi ebatavalist ega loomingulist – nii tulebki otsustada!

Teen ettepaneku koostada ise järgmine kaheetapiline protseduur:

Näide 16

Uurige seeria konvergentsi

Mõne kogemusega õpilane näeb enamasti kohe, kas seeria läheneb või lahkneb, kuid juhtub, et kiskja maskeerib end osavalt põõsastes:

Näide 17

Uurige seeria konvergentsi

Lahendus: esmapilgul pole üldse selge, kuidas see sari käitub. Ja kui meie ees on udu, siis on loogiline alustada seeria konvergentsi vajaliku tingimuse jämedast kontrollist. Ebakindluse kõrvaldamiseks kasutame uppumatut korrutamise ja jagamise meetod selle konjugeeritud väljendiga:

Vajalik lähenemise märk ei töötanud, kuid tõi meie Tambovi seltsimehe päevavalgele. Teostatud teisenduste tulemusena saadi samaväärne seeria , mis omakorda meenutab kangesti koonduvat seeriat.

Paneme kirja lõpplahenduse:

Võrdleme seda seeriat koonduva seeriaga. Kasutame piiravat võrdluskriteeriumi:

Korrutage ja jagage konjugaadi avaldisega:

Saadakse nullist erinev lõplik arv, mis tähendab, et uuritav jada koondub koos kõrval .

Mõned võisid küsida, kust tulid hundid meie Aafrika safarile? Ei tea. Tõenäoliselt tõid nad selle. Teie saate hankida järgmise trofee naha:

Näide 18

Uurige seeria konvergentsi

Näidislahendus tunni lõpus

Ja lõpuks veel üks mõte, mis paljudel õpilastel on meeleheitel: Kas me ei peaks seeriate konvergentsi jaoks kasutama haruldasemat testi?? Raabe test, Abeli ​​test, Gaussi test, Dirichlet test ja muud tundmatud loomad. Idee töötab, kuid reaalsetes näidetes rakendatakse seda väga harva. Isiklikult olen kõigi praktikaaastate jooksul ainult kasutanud Raabe märk, kui miski standardarsenalist ei aidanud. Kordan täielikult oma ekstreemse otsingu kulgu:

Näide 19

Uurige seeria konvergentsi

Lahendus: Kahtlemata d'Alemberti märk. Arvutuste käigus kasutan aktiivselt kraadide omadusi, samuti teine ​​imeline piir:

Nii palju sinust. D'Alemberti märk ei andnud vastust, kuigi miski ei ennustanud sellist tulemust.

Pärast teatmeteoses tuhnimist leidsin teoreetiliselt tõestatud vähetuntud piiri ja rakendasin tugevamat radikaalset Cauchy testi:

Siin on teile kaks. Ja mis kõige tähtsam, on täiesti ebaselge, kas seeria läheneb või lahkneb (minu jaoks äärmiselt harv olukord). Vajalik võrdlusmärk? Ilma suurema lootuseta – isegi kui ma lugeja ja nimetaja kasvujärjekorra hoomamatult välja mõtlen, ei taga see veel tasu.

See on täielik daam, aga kõige hullem on see, et rida tuleb lahendada. Vaja. Lõppude lõpuks on see esimene kord, kui ma alla annan. Ja siis meenus mulle, et tundusid olevat veel mingid tugevamad märgid. Minu ees ei olnud enam hunt, leopard ega tiiger. See oli tohutu elevant, kes lehvitas oma suurt tüve. Ma pidin granaadiheitja üles võtma:

Raabe märk

Mõelge positiivsele arvuseeriale.
Kui on piir , See:
a) Kui rida lahkneb. Lisaks võib saadud väärtus olla null või negatiivne
b) Kui rida koondub. Eelkõige koondub seeria kell .
c) Millal Raabe märk vastust ei anna.

Koostame limiidi ning lihtsustame murru hoolikalt ja hoolikalt:


Jah, pilt on pehmelt öeldes ebameeldiv, aga ma ei imesta enam sellistest piiridest appi võttes L'Hopitali reeglid, ja esimene mõte, nagu hiljem selgus, osutus õigeks. Aga algul keerutasin ja keerasin limiiti “tavalisi” meetodeid kasutades umbes tund aega, aga ebakindlus ei tahtnud kuidagi kaduda. Ja ringides kõndimine, nagu kogemus näitab, on tüüpiline märk sellest, et on valitud vale lahendus.

Tuli pöörduda vene rahvatarkuse poole: "Kui muu ei aita, lugege juhiseid." Ja kui ma avasin Fichtenholtzi 2. köite, avastasin oma suureks rõõmuks uurimuse identsest sarjast. Ja siis järgis lahendus eeskuju.