Kui on ette nähtud reegel, mille kohaselt on tasandi iga punktiga M (või mõne tasandi osaga) seotud teatud arv u, siis öeldakse, et tasapinnal (või tasandi osal) "punktifunktsioon on täpsustatud”; funktsiooni spetsifikatsioon on sümboolselt väljendatud võrdsusega kujul u=f(M). Punktiga M seotud arvu u nimetatakse selle funktsiooni väärtuseks punktis M. Näiteks kui A on tasapinna fikseeritud punkt, M on suvaline punkt, siis kaugus A-st M-ni on punkti M funktsioon. Sel juhul f(m)=AM .

Olgu antud mingi funktsioon u=f(M) ja samas tutvustatakse koordinaatsüsteemi. Seejärel määratakse suvaline punkt M koordinaatidega x, y. Vastavalt sellele määratakse selle funktsiooni väärtus punktis M koordinaatidega x, y või, nagu öeldakse, u=f(M) on kahe muutuja x ja y funktsioon. Kahe muutuja x ja y funktsiooni tähistatakse sümboliga f(x; y): kui f(M)=f(x;y), siis valemit u=f(x; y) nimetatakse selle väljenduseks. funktsioon valitud koordinaatsüsteemis. Niisiis, eelmises näites f(M)=AM; kui tutvustame Descartes'i ristkülikukujulist koordinaatide süsteemi, mille alguspunkt on punktis A, saame selle funktsiooni avaldise:

u=sqrt(x^2 + y^2)

ÜLESANNE 3688 Antud on funktsioon f (x, y)=x^2–y^2–16.

Antud funktsioon f (x, y)=x^2–y^2–16. Määrake selle funktsiooni avaldis uues koordinaatsüsteemis, kui koordinaatteljed on pööratud –45 kraadise nurga võrra.

Parameetriliste joonte võrrandid

Tähistame tähtedega x ja y mingi punkti M koordinaate; Vaatleme argumendi t kahte funktsiooni:

x=φ(t), y=ψ(t) (1)

Kui t muutub, siis üldiselt muutuvad väärtused x ja y, seega liigub punkt M. Nimetatakse võrrandeid (1). parameetrilised joonvõrrandid, mis on punkti M trajektoor; argumenti t nimetatakse parameetriks. Kui parameetri t saab võrranditest (1) välja jätta, siis saame punkti M trajektoori võrrandi kujul

Vormi F võrdsus (x, y) = 0 nimetatakse võrrandiks kahes muutujas x, y, kui see ei kehti kõigi arvupaaride puhul x, y. Nad ütlevad kahte numbrit x = x 0 , y=y 0, täitma mõnda vormivõrrandit F(x, y)=0, kui neid arve muutujate asemel asendades X Ja juures võrrandis kaob selle vasak pool.

Antud sirge võrrand (määratud koordinaatsüsteemis) on kahe muutujaga võrrand, mis on rahuldatud iga sellel sirgel asuva punkti koordinaatidega ja mitte kõigi sellel mitte asuvate punktide koordinaatidega.

Alljärgnevas on avaldise “antud sirge võrrand” asemel F(x, y) = 0" ütleme sageli lühidalt: antud rida F (x, y) = 0.

Kui on antud kahe sirge võrrandid F(x, y) = 0 Ja Ф(x, y) = Q, siis süsteemi ühislahendus

annab kõik nende ristumispunktid. Täpsemalt, iga arvupaar, mis on selle süsteemi ühislahendus, määrab ühe lõikepunktidest.

*) Juhtudel, kui koordinaatide süsteemi ei nimetata, eeldatakse, et see on ristkülikukujuline.

157. Punkte antakse *) M 1 (2; - 2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Määrake, millised avaldatud punktid asuvad võrrandiga määratletud sirgel X+ y = 0, ja millised ei valeta selle peal. Milline sirge on selle võrrandiga määratletud? (Joonista see joonisele.)

158. Võrrandiga defineeritud sirgel X 2 +y 2 =25, leidke punktid, mille abstsissid on võrdsed järgmiste arvudega: a) 0, b) - 3, c) 5, d) 7; Leidke samalt sirgelt punktid, mille ordinaadid on võrdsed järgmiste arvudega: e) 3, f) - 5, g) - 8. Millise sirge määrab see võrrand? (Joonista see joonisele.)

159. Tehke kindlaks, millised sirged on määratud järgmiste võrranditega (konstrueerige need joonisele):

1) x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x- 2 = 0; 4) x+ 3 = 0;

5) y-5 = 0; 6) y+ 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0;

9) x 2 - xy = 0; 10) xy+ y2 = 0; üksteist) x 2 - y 2 = 0; 12) xy= 0;

13) y 2 - 9 = 0; 14) xy 2 - 8xy+15 = 0; 15) y2 +5y+4 = 0;

16) X 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y =|x|; 18) x =|juures|; 19)y + |x|=0;

20) x +|juures|= 0; 21)y =|X- 1|; 22) y = |x+ 2|; 23) X 2 + juures 2 = 16;

24) (x-2) 2 +(y-1) 2 =16; 25) (x+ 5) 2 +(y- 1) 2 = 9;

26) (X - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 +(y + 3) 2 = 1; 28) (x -3) 2 + y 2 = 0;

29) X 2 + 2y 2 = 0; 30) 2X 2 + 3y 2 + 5 = 0

31) (x- 2) 2 + (y + 3) 2 + 1=0.

160. Antud read:

1)X+ y = 0; 2)x - y = 0; 3) x 2 + y 2 - 36 = 0;

4) x 2 +y 2 -2x==0; 5) x 2 +y 2 + 4x-6y-1 =0.

Määrake, milline neist läbib päritolu.

161. Antud read:

1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x- 3) 2 + (y+ 4) 2 = 25;

3) (x+ 6) 2 + (y - 3) 2 = 25; 4) ( x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9;

5) x 2 +y 2 - 12x + 16y = 0; 6) x 2 +y 2 - 2x + 8juures+ 7 = 0;

7) x 2 +y 2 - 6x + 4y + 12 = 0.

Leidke nende lõikepunktid: a) teljega Oh; b) teljega OU.

162.Leia kahe sirge lõikepunktid;

1)X 2 +y 2 = 8, x-y = 0;

2) X 2 +y 2 -16x+4juures+18 = 0, x + y= 0;

3) X 2 +y 2 -2x+4juures -3 = 0, X 2 + y 2 = 25;

4) X 2 +y 2 -8x+10±40 = 0, X 2 + y 2 = 4.

163. Punktid on antud polaarkoordinaatide süsteemis

M 1 (1; ), M 2 (2; 0), M 3 (2; )

M 4 (
;) Ja M 5 (1; )

Määrake, millised neist punktidest asuvad polaarkoordinaatides  = 2 cos  võrrandiga määratletud sirgel ja millised ei asu sellel. Millise sirge määrab see võrrand? (Joonista see joonisele:)

164. Võrrandiga  = määratud sirgel , leida punktid, mille polaarnurgad on võrdsed järgmiste arvudega: a) ,b) - , c) 0, d) . Milline sirge on selle võrrandiga määratletud?

(Ehitage see joonisele.)

165.Võrrandiga  = määratletud sirgel , leidke punktid, mille polaarraadiused on võrdsed järgmiste arvudega: a) 1, b) 2, c)
. Milline sirge on selle võrrandiga määratletud? (Ehitage see joonisele.)

166. Tee kindlaks, millised sirged on polaarkoordinaatides määratud järgmiste võrranditega (konstrueeri need joonisele):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin ; 8) patt  = 9) patt  =

167. Ehitage joonisele järgmised Archimedese spiraalid:

1)  = 5, 2)  = 5; 3)  = ; 4) р = -1.

168. Ehitage joonisele järgmised hüperboolsed spiraalid:

1)  = ; 2) = ; 3) = ; 4) = - .

169. Ehitage joonisele järgmised logaritmilised spiraalid:

,
.

170. Määrake nende lõikude pikkused, millesse Archimedese spiraal lõikab

poolusest väljuv kiir, mis kaldub polaartelje suhtes nurga all
. Tee joonistus.

171. Archimedese spiraalil
sain aru KOOS, mille polaarraadius on 47. Määrake, mitu osa see spiraal lõikab punkti polaarraadiust KOOS, Tee joonis.

172. Hüperboolsel spiraalil
leida punkt R, mille polaarraadius on 12. Koostage joonis.

173. Logaritmilisel spiraalil
leia punkt Q, mille polaarraadius on 81. Tee joonis.

Olgu  tasapinnal antud Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatsüsteem Oxy ja mingi sirge L.

Definitsioon. Võrrand F(x;y)=0 (1) helistas sirge võrrandL(antud koordinaatsüsteemi suhtes), kui seda võrrandit rahuldavad sirgel L asuva mis tahes punkti x ja y koordinaadid, mitte joonel L mitteolevate punktide x ja y koordinaadid.

See. joon lennukis on punktide (M(x;y)) asukoht, mille koordinaadid vastavad võrrandile (1).

Võrrand (1) määratleb L-joone.

Näide. Ringjoone võrrand.

Ring– punktide hulk, mis on antud punktist võrdsel kaugusel M 0 (x 0,y 0).

Punkt M 0 (x 0,y 0) – ringi keskpunkt.

Mis tahes punkti M(x;y) jaoks, mis asub ringil, on kaugus MM 0 =R (R=const)

MM 0 ==R

(x-x 0 ) 2 +(oooh 0 ) 2 =R 2 –(2) – raadiusega R ringi võrrand, mille keskpunkt on punktis M 0 (x 0,y 0).

Sirge parameetriline võrrand.

Olgu sirgel L olevate punktide x ja y koordinaadid väljendatud parameetriga t:

(3) – sirge parameetriline võrrand DSC-s

kus funktsioonid (t) ja (t) on parameetri t suhtes pidevad (selle parameetri teatud varieerumisvahemikus).

Jättes võrrandist (3) välja parameetri t, saame võrrandi (1).

Käsitleme sirget L kui teed, mida läbib mingi seaduse järgi pidevalt liikuv materiaalne punkt. Olgu muutuja t mingist alghetkest loetud aega. Siis kujutab liikumisseaduse täpsustus liikuva punkti koordinaatide x ja y täpsustust kui aja t pidevaid funktsioone x=(t) ja y=(t).

Näide. Tuletame parameetrilise võrrandi raadiusega r>0 ringile, mille keskpunkt on alguspunktis. Olgu M(x,y) selle ringi suvaline punkt ja t raadiusvektori ja Ox-telje vaheline nurk, loendatuna vastupäeva.

Siis x=r cos x y=r sin t. (4)

Võrrandid (4) on vaadeldava ringi parameetrilised võrrandid. Parameeter t võib võtta mis tahes väärtuse, kuid selleks, et punkt M(x,y) saaks ühe korra ringi ümber käia, on parameetri muutuse vahemik piiratud poollõiguga 0t2.

Kvadrutades ja võrrandid (4) liites saame ringjoone (2) üldvõrrandi.

2. Polaarkoordinaatide süsteem (psc).

Valime L-telje ( polaartelg) ja määrake selle telje punkt O ( poolus). Iga tasapinna punkt on üheselt määratletud polaarkoordinaatidega ρ ja φ, kus

ρ – polaarraadius, võrdne kaugusega punktist M pooluseni O (ρ≥0);

φ – nurk vektori suuna vahel OM ja L-telg ( polaarnurk). M(ρ ; φ )

Joonvõrrand UCS-is võib kirjutada:

ρ=f(φ) (5) sirge eksplitsiitne võrrand UCS-is

F=(ρ; φ) (6) kaudne joonvõrrand UCS-is

Punkti ristkoordinaatide ja polaarkoordinaatide vaheline seos.

(x;y) (ρ ; φ ) Kolmnurgast OMA:

tan φ=(nurga taastamineφ teadaoleva järgitekib puutujavõttes arvesse, millises kvadrandis punkt M asub).(ρ ; φ )(x;y). x = ρcosφ,y=ρsinφ

Näide . Leia punktide M(3;4) ja P(1;-1) polaarkoordinaadid.

Kui M:=5, φ=arctg (4/3). P puhul: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

Lamedate joonte klassifikatsioon.

Definitsioon 1. Liini nimetatakse algebraline, kui mõnes Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis, kui see on defineeritud võrrandiga F(x;y)=0 (1), milles funktsioon F(x;y) on algebraline polünoom.

2. definitsioon. Iga mittealgebraline sirge nimetatakse transtsendentaalne.

3. määratlus. Algebralist sirget nimetatakse järjekorrasn, kui mõnes Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on see sirge määratud võrrandiga (1), milles funktsioon F(x;y) on n-nda astme algebraline polünoom.

Seega on n-ndat järku sirge sirge, mis on defineeritud mõnes Descartes'i ristkülikukujulises süsteemis n-astme algebralise võrrandiga kahe tundmatuga.

Definitsioonide 1,2,3 õigsuse tuvastamisele aitab kaasa järgmine teoreem.

Teoreem(dokument lk 107). Kui mõnes Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on sirge määratud n-astme algebralise võrrandiga, siis mis tahes muus Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis määratakse see sirge sama astme n algebralise võrrandiga.

Sihtmärk: Mõelge tasapinna sirge mõistele, tooge näiteid. Sirge definitsioonist lähtuvalt tutvustage tasapinnal oleva sirge võrrandi mõistet. Mõelge sirgjoonte tüüpidele, tooge näiteid ja sirgjoone määratlemise meetodeid. Tugevdage sirgjoone võrrandi tõlkimise võimet üldine vaade nurkkoefitsiendiga sirgjoone võrrandisse “lõikudes”.

1. Tasapinna sirge võrrand.
2. Tasapinna sirgjoone võrrand. Võrrandite tüübid.
3. Sirge määramise meetodid.

1. Olgu x ja y kaks suvalist muutujat.

Definitsioon: Nimetatakse seost kujul F(x,y)=0 võrrand , kui see ei vasta ühelegi arvude x ja y paarile.

Näide: 2x + 7a - 1 = 0, x 2 + y 2 - 25 = 0.

Kui võrdus F(x,y)=0 kehtib mis tahes x, y korral, siis on F(x,y) = 0 identsus.

Näide: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

Nad ütlevad, et arvud x on 0 ja y on 0 võrrandit rahuldama , kui nende asendamisel selles võrrandis muutub see tõeliseks võrduseks.

Kõige olulisem kontseptsioon analüütiline geomeetria on sirge võrrandi mõiste.

Definitsioon: Antud sirge võrrand on võrrand F(x,y)=0, mis on rahuldatud kõigi sellel sirgel asuvate punktide koordinaatidega, mitte aga ühegi sellel sirgel mitte asuva punkti koordinaatidega.

Võrrandiga y = f(x) defineeritud sirget nimetatakse f(x) graafikuks. Muutujaid x ja y nimetatakse hetkekoordinaatideks, kuna need on muutuva punkti koordinaadid.

Mõned näiteid ridade määratlused.

1) x – y = 0 => x = y. See võrrand määratleb sirge:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => punktid peavad vastama kas võrrandile x - y = 0 või võrrandile x + y = 0, mis vastab tasapinnal ristuvate sirgjoonte paar, mis on koordinaatnurkade poolitajad:

3) x 2 + y 2 = 0. See võrrand on täidetud ainult ühe punktiga O(0,0).

2. Definitsioon: Iga tasapinna sirget saab määrata esimest järku võrrandiga

Ax + Wu + C = 0,

Pealegi ei ole konstandid A ja B korraga võrdsed nulliga, s.t. A 2 + B 2 ¹ 0. Seda esimest järku võrrandit nimetatakse sirge üldvõrrand.

Sõltuvalt konstantide A, B ja C väärtustest on võimalikud järgmised erijuhud:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – sirgjoon läbib alguspunkti

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) – sirge, mis on paralleelne Ox-teljega

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – Oy teljega paralleelne sirgjoon

B = C = 0, A ¹ 0 – sirgjoon ühtib Oy teljega

A = C = 0, B ¹ 0 – sirgjoon langeb kokku Ox-teljega

Sirge võrrandit saab esitada erineval kujul, olenevalt antud lähtetingimustest.

Nurgakoefitsiendiga sirge võrrand.

Kui sirge Ax + By + C = 0 üldvõrrand taandatakse järgmisele kujule:

ja tähistage , siis nimetatakse saadud võrrandit sirge võrrand kaldega k.

Segmentides sirgjoone võrrand.

Kui sisse üldvõrrand sirgjoon Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, siis –С-ga jagades saame: või, kus

Geomeetriline tähendus koefitsient on see koefitsient A on sirge ja Ox-telje lõikepunkti koordinaat ja b– sirge ja Oy telje lõikepunkti koordinaat.

Sirge normaalvõrrand.

Kui võrrandi Ax + By + C = 0 mõlemad pooled jagatakse kutsutud arvuga normaliseeriv tegur, siis saame

xcosj + ysinj - p = 0 – sirge normaalvõrrand.

Normaliseeriva teguri märk ± tuleb valida nii, et m×С< 0.

p on alguspunktist sirgele langetatud ristsi pikkus ja j on nurk, mille see risti moodustab Ox-telje positiivse suunaga.

3. Sirge võrrand punkti ja kalde abil.

Olgu sirge nurkkoefitsient võrdne k-ga, sirge läbib punkti M(x 0, y 0). Siis leitakse sirge võrrand valemiga: y – y 0 = k(x – x 0)

Kaht punkti läbiva sirge võrrand.

Olgu ruumis antud kaks punkti M 1 (x 1, y 1, z 1) ja M 2 (x 2, y 2, z 2), siis neid punkte läbiva sirge võrrand on:

Kui mõni nimetajatest on null, tuleb vastav lugeja määrata nulliga.

Tasapinnal on ülaltoodud sirgjoone võrrand lihtsustatud:

kui x 1 ¹ x 2 ja x = x 1, kui x 1 = x 2.

Murd = k nimetatakse kalle sirge.

Võrrandit kujul F(x, y) = 0 nimetatakse võrrandiks kahe muutujaga x, y, kui see ei ole tõene kõikide arvude x, y paaride puhul. Nad ütlevad, et kaks arvu x = x 0, y = y 0 vastavad mõnele võrrandile kujul F(x, y) = 0, kui nende arvude asendamisel võrrandisse muutujate x ja y asemel muutub selle vasak pool nulliks. .

Antud sirge võrrand (määratud koordinaatsüsteemis) on kahe muutujaga võrrand, mis on rahuldatud iga sellel sirgel asuva punkti koordinaatidega ja mitte kõigi sellel mitte asuvate punktide koordinaatidega.

Järgnevalt ütleme avaldise "arvestades sirge F(x, y) = 0 võrrandit" asemel sageli lühidalt: antud sirgele F(x, y) = 0.

Kui on antud kahe sirge võrrandid: F(x, y) = 0 ja Ф(x, y) = 0, siis süsteemi liitlahend

F(x,y) = 0, Ф(x, y) = 0

annab kõik nende ristumispunktid. Täpsemalt, iga arvupaar, mis on selle süsteemi ühislahendus, määrab ühe lõikepunktidest,

157. Antud punktid *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M6 (3; -2). Määrake, millised antud punktidest asuvad võrrandiga x + y = 0 määratletud sirgel ja millised ei asu sellel. Milline sirge on selle võrrandiga määratletud? (Joonista see joonisele.)

158. Leia võrrandiga x 2 + y 2 = 25 määratletud sirgelt punktid, mille abstsissid on võrdsed järgmiste arvudega: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; Leia samalt sirgelt punktid, mille ordinaadid on võrdsed järgmiste arvudega: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Milline sirge on selle võrrandiga määratletud? (Joonista see joonisele.)

159. Määrake, millised sirged on määratud järgmiste võrranditega (konstrueerige need joonisel): 1)x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x-2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) y-5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy = 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 = 0; 12) xy = 0; 13) y 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y 2 + võrra + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x 2 + 3a 2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.

160. Antud read: l)x + y = 0; 2)x - y = 0; 3) x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y = 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Määrake, millised neist läbivad alguspunkti.

161. Antud read: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Leidke nende lõikepunktid: a) Ox-teljega; b) Oy teljega.

162. Leia kahe sirge lõikepunktid:

1) x 2 + y 2 - 8; x - y = 0;

2) x 2 + y 2 - 16x + 4 a + 18 = 0; x + y = 0;

3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;

4) x 2 + y 2 - 8 a + 10 a + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.

163. Polaarkoordinaatide süsteemis on punktid M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) ja M 5 (1; 2/3π). Määrake, millised neist punktidest asuvad polaarkoordinaatides võrrandiga p = 2cosΘ määratletud sirgel ja millised ei asu sellel. Millise sirge määrab see võrrand? (Joonista see joonisele.)

164. Võrrandiga p = 3/cosΘ defineeritud sirgelt leidke punktid, mille polaarnurgad on võrdsed järgmiste arvudega: a) π/3, b) - π/3, c) 0, d) π/6. Milline sirge on selle võrrandiga määratletud? (Ehitage see joonisele.)

165. Leia võrrandiga p = 1/sinΘ määratletud sirgelt punktid, mille polaarraadiused on võrdsed järgmiste arvudega: a) 1 6) 2, c) √2. Milline sirge on selle võrrandiga määratletud? (Ehitage see joonisele.)

166. Määrake, millised sirged on polaarkoordinaatides määratud järgmiste võrranditega (konstrueerige need joonisel): 1) p = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) p cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.

167. Ehitage joonisele järgmised Archimedese spiraalid: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p = -Θ/π.

168. Koostage joonisel järgmised hüperboolsed spiraalid: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) p = π/Θ; 4) p= - π/Θ

169. Ehitage joonisel järgmised logaritmilised spiraalid: 1) p = 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ.

170. Määrake nende lõikude pikkused, millesse Archimedese spiraal p = 3Θ on lõigatud poolusest väljuva ja polaartelje suhtes nurga Θ = π/6 all oleva kiirga. Tee joonis.

171. Archimedese spiraalil p = 5/πΘ võetakse punkt C, mille polaarraadius on 47. Määrake, mitu osa see spiraal lõikab punkti C polaarraadiuse. Koostage joonis.

172. Leidke hüperboolsel spiraalil P = 6/Θ punkt P, mille polaarraadius on 12. Koostage joonis.

173. Leidke logaritmilisel spiraalil p = 3 Θ punkt P, mille polaarraadius on 81. Koostage joonis.