Kaardid

Tere üliõpilane. Kuidas leida DE konkreetne lahendus ligikaudu seeria abil? read. Põhimõisted. Vajalik lähenemise märk

jõuseeria.

Kasutades võimsusjadasid, on võimalik integreerida diferentsiaalvõrrandeid.

Vaatleme vormi lineaarset diferentsiaalvõrrandit:

Kui kõik koefitsiendid ja selle võrrandi parem pool laiendatakse teatud intervalliga koonduvateks jõuseeria, siis on sellele võrrandile mingis väikeses nullpunkti naabruses lahendus, mis vastab algtingimustele.

Seda lahendust saab esitada võimsusrea abil:

Lahenduse leidmiseks jääb üle määrata tundmatud konstandid c i.

Seda probleemi saab lahendada määramatute koefitsientide võrdlemise meetod. Asendame soovitud funktsiooni kirjaliku avaldise algsesse diferentsiaalvõrrandisse, sooritades kõik vajalikud toimingud astmeridadega (diferentseerimine, liitmine, lahutamine, korrutamine jne)

Seejärel võrdsustame koefitsiendid samadel kraadidel X võrrandi vasakul ja paremal küljel. Selle tulemusena saame algtingimusi arvesse võttes võrrandisüsteemi, millest määrame järjestikku koefitsiendid c i.

Pange tähele, et see meetod on rakendatav ka mittelineaarsete diferentsiaalvõrrandite jaoks.

Näide. Leia algtingimustega võrrandile lahendus y(0)=1, y’(0)=0.

Otsime võrrandile lahendust kujul

Asendame saadud avaldised algsesse võrrandisse:

Siit saame:

………………

Me saame asendades esialgsed tingimused soovitud funktsiooni ja selle esimese tuletise avaldisteks:

Lõpuks saame:

Diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks seeria abil on veel üks meetod. Seda nimetatakse järjestikuse diferentseerimise meetod.

Vaatame sama näidet. Otsime lahendust diferentsiaalvõrrandile tundmatu funktsiooni laienduse kujul Maclaurini seerias.

Kui antud algtingimused y(0)=1, y’(0)=0 asendada algsesse diferentsiaalvõrrandisse, saame selle

Pärast saadud väärtuste asendamist saame:

Fourier seeria.

(Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830) – prantsuse matemaatik)

Trigonomeetriline seeria.

Definitsioon. Trigonomeetriline seeria nimetatakse vormi seeriaks:

või lühidalt

Reaalarvud a i, b i nimetatakse trigonomeetriliste ridade koefitsientideks.

Kui ülaltoodud tüüpi jada koondub, siis on selle summa perioodiline funktsioon perioodiga 2p, sest funktsioonid sin nx ja cos nx ka perioodilised funktsioonid perioodiga 2p.

Laske trigonomeetrilistel jadadel koonduda ühtlaselt lõigul [-p; p] ja seetõttu perioodilisuse tõttu igal lõigul ja selle summa on võrdne f(x).

Määrame selle seeria koefitsiendid.

Selle probleemi lahendamiseks kasutame järgmisi võrdusi:

Nende võrduste kehtivus tuleneb nende rakendamisest integrandi suhtes trigonomeetrilised valemid. Lisateavet leiate jaotisest Trigonomeetriliste funktsioonide integreerimine.

Sest funktsiooni f(x) on pidev intervallil [-p; p], siis on olemas integraal

See tulemus saadakse tänu sellele, et.

Siit saame:

Samamoodi korrutame funktsiooni jada laienduse avaldise patuga nx ja integreerida vahemikus -p kuni p.

Saame:

Koefitsiendi avaldis a 0 on koefitsientide väljendamise erijuhtum a n.

Seega, kui funktsioon f(x)– perioodi 2p mis tahes perioodiline funktsioon, pidev intervallil [-p; p] või millel on sellel lõigul piiratud arv esimest tüüpi katkestuspunkte, siis koefitsiendid

eksisteerivad ja neid kutsutakse Fourier koefitsiendid funktsiooni jaoks f(x).

Definitsioon. Fourier' lähedal funktsiooni jaoks f(x) nimetatakse trigonomeetriliseks jadaks, mille koefitsiendid on Fourier koefitsiendid. Kui funktsiooni Fourier' jada f(x) koondub sellele kõigis selle järjepidevuse punktides, siis ütleme, et funktsioon f(x) laieneb Fourier-seeriaks.

Fourier' jadades on piisavalt märke lagunevusest.

Teoreem. (Dirichlet' teoreem) Kui funktsiooni f(x) periood on 2p ja lõigul

[-p;p] on pidev või sellel on piiratud arv esimest tüüpi katkestuspunkte ja lõik

[-p;p] saab jagada lõplikuks arvuks segmentideks nii, et igas neist on funktsioon f(x) monotoonne, siis funktsiooni f(x) Fourier' jada koondub kõigi x väärtuste korral, ja funktsiooni f(x) pidevuspunktides on selle summa võrdne f(x) ja katkestuspunktides on selle summa võrdne , s.t. piirväärtuste aritmeetiline keskmine vasakul ja paremal. Sel juhul koondub funktsiooni f(x) Fourier' jada ühtlaselt igale lõigule, mis kuulub funktsiooni f(x) pidevusintervalli.

Kutsutakse funktsiooni f(x), mille puhul on täidetud Dirichlet' teoreemi tingimused tükkhaaval monotoonne segmendil [-p;p].

Teoreem. Kui funktsiooni f(x) periood on 2p, siis lisaks f(x) ja selle tuletis f’(x) – pidevad funktsioonid intervallil [-p;p] või sellel intervallil on lõplik arv esimest tüüpi katkestuspunkte, siis funktsiooni f(x) Fourier' jada koondub kõigi x väärtuste korral ja punktides pidevus selle summa on võrdne f(x) ja katkestuspunktides on see võrdne . Sel juhul koondub funktsiooni f(x) Fourier' jada ühtlaselt igale lõigule, mis kuulub funktsiooni f(x) pidevuse intervalli.

Funktsiooni, mis vastab selle teoreemi tingimustele, nimetatakse tükkhaaval – sile segmendil [-p;p].

Mitteperioodilise funktsiooni Fourier-rea laiendus.

Mitteperioodilise funktsiooni Fourier' jadaks laiendamise probleem ei erine põhimõtteliselt perioodilise funktsiooni laiendamisest Fourier' jadaks.

Ütleme funktsiooni f(x) on antud intervallil ja on sellel intervallil tükkhaaval monotoonne. Vaatleme suvalist perioodilist tükkhaaval monotoonset funktsiooni f 1 (x) perioodiga 2T ³ ïb-aï, mis langeb kokku funktsiooniga f(x) segmendil .

a - 2T a a b a+2T a + 4T x

Seega funktsioon f(x) on lisatud. Nüüd funktsioon f 1 (x) laieneb Fourier-seeriaks. Selle jada summa lõigu kõigis punktides ühtib funktsiooniga f(x), need. võime eeldada, et funktsioon f(x) laiendati segmendi Fourier-seeriaks.

Seega, kui funktsioon f(x) on antud intervallil, mis on võrdne 2p-ga, ei erine see perioodilise funktsiooni jadalaiendist. Kui segment, millel funktsioon on antud, on väiksem kui 2p, siis laiendatakse funktsioon intervalli (b, a + 2p), nii et säilivad Fourier' jadaks laiendamise tingimused.

Üldiselt võib antud juhul antud funktsiooni jätkamist 2p pikkusele lõigule (intervallile) teostada lõpmatul arvul viisidel, seega on saadud seeriate summad erinevad, kuid need ühtivad antud jadaga. funktsioon f(x) segmendil.

Fourier seeria paaris- ja paaritu funktsioonide jaoks.

Märgime paaris- ja paaritu funktsioonide järgmisi omadusi:

2) Kahe paaris ja paaritu funktsiooni korrutis on paarisfunktsioon.

3) Paaritu ja paaritu funktsioonide korrutis on paaritu funktsioon.

Nende omaduste kehtivust saab paaris- ja paaritu funktsioonide definitsiooni põhjal lihtsalt tõestada.

Kui f(x) on paaris perioodiline funktsioon perioodiga 2p, mis rahuldab Fourier' reas laienemise tingimusi, siis võime kirjutada:

Seega kirjutatakse paarisfunktsiooni jaoks Fourier' jada:

Samamoodi saame paaritu funktsiooni jaoks Fourier' seeria laienduse:

Näide. Laiendage Fourier' jadaks perioodiline funktsioon perioodiga T = 2p intervallil [-p;p].

Antud funktsioon on paaritu, seetõttu otsime Fourier' koefitsiente kujul:

Definitsioon. Fourier' jada ortogonaalsel funktsioonisüsteemil j 1 (x), j 2 (x), …, jn (x) nimetatakse jadaks kujul:

mille koefitsiendid määratakse järgmise valemiga:

Kus f(x)= on lõigul ühtlaselt koonduva jada summa piki ortogonaalset funktsioonisüsteemi. f(x) – mis tahes funktsioon, mis on pidev või millel on piiratud arv esimest tüüpi katkestuspunkte lõigul.

Ortonormaalse funktsioonisüsteemi korral määratakse koefitsiendid:

Kui kasutate arvutiversiooni " Kõrgem matemaatika kursus” on võimalik käivitada programm, mis laiendab suvalise funktsiooni Fourier' jadaks.

Taylori seeria. Maclaurin seeria

Olgu punkti läheduses lõpmatu arv kordi diferentseeruv funktsioon, st. omab mis tahes järjestust tuletisi. Funktsiooni Taylori jada punktis on astmerida

Seeria (1.8) erijuhul nimetatakse Maclaurini seeriaks:

Tekib küsimus: millistel juhtudel langeb punkti läheduses lõpmatu arv kordi diferentseeritud funktsiooni Taylori seeria funktsiooniga kokku?

Võib esineda juhtumeid, kus funktsiooni Taylori jada koondub, kuid selle summa ei ole võrdne

Esitame piisava tingimuse funktsiooni Taylori rea lähenemiseks sellele funktsioonile.

Teoreem 1.4: kui mingis intervallis on funktsioonil suvalist järku tuletisi ja kõik need on absoluutväärtuses piiratud sama arvuga, s.t. siis koondub selle funktsiooni Taylori seeria mis tahes selle intervalli jaoks, st. on võrdsus

Selleks, et teha kindlaks, kas see võrdsus kehtib lähenemisintervalli otstes, on vaja eraldi uuringuid.

Tuleb märkida, et kui funktsiooni laiendada astmereaks, siis see seeria on selle funktsiooni Taylori (Maclaurin) seeria ja see laiendus on ainulaadne.

Diferentsiaalvõrrandid

Tavaline diferentsiaalvõrrand Argumendifunktsiooni n-ndat järku nimetatakse vormi seoseks

kus on tema argumentide antud funktsioon.

Selle matemaatiliste võrrandite klassi nimetuses rõhutab termin “diferentsiaal”, et need hõlmavad tuletisi (diferentseerumise tulemusena tekkinud funktsioone); termin "tavaline" näitab, et soovitud funktsioon sõltub ainult ühest reaalsest argumendist.

Tavaline diferentsiaalvõrrand ei pruugi selgesõnaliselt sisaldada soovitud funktsiooni ja selle tuletisi argumenti, kuid kõrgeim tuletis peab sisalduma n-ndat järku võrrandis.

Näiteks,

A) - esimest järku võrrand;

B) - kolmandat järku võrrand.

Tavaliste diferentsiaalvõrrandite kirjutamisel kasutatakse sageli tuletisi diferentsiaalide tähistusi:

B) - teist järku võrrand;

D) - esimest järku võrrand, mis pärast samaväärse vormiga jagamist moodustab järgmise võrrandi:

Funktsiooni nimetatakse tavalise diferentsiaalvõrrandi lahendiks, kui sellesse asendades muutub see identiteediks.

Ühe võrrandit rahuldava funktsiooni leidmine ühel või teisel meetodil, näiteks valikul, ei tähenda selle lahendamist. Tavalise diferentsiaalvõrrandi lahendamine tähendab kõigi funktsioonide leidmist, mis võrrandisse asendamisel moodustavad identiteedi. Võrrandi (1.10) jaoks moodustatakse selliste funktsioonide perekond suvaliste konstantide abil ja seda nimetatakse n-ndat järku tavalise diferentsiaalvõrrandi üldlahenduseks ning konstantide arv langeb kokku võrrandi järjekorraga: Üldlahend ei pruugi Lahendust nimetatakse tavaliselt võrrandi (1.10) üldintegraaliks.

Määrates üldlahenduses või üldises integraalis kõigile suvalistele konstantidele mõned lubatud väärtused, saame teatud funktsiooni, mis ei sisalda enam suvalisi konstante. Seda funktsiooni nimetatakse võrrandi (1.10) osalahendiks või osaintegraaliks. Suvaliste konstantide väärtuste ja seega ka konkreetse lahenduse leidmiseks kasutatakse võrrandile (1.10) erinevaid lisatingimusi. Näiteks nn algtingimusi saab määrata aadressil:

Algtingimuste (1.11) paremal küljel on toodud funktsiooni ja tuletiste arvväärtused ning koguarv algtingimused on võrdne määratletud suvaliste konstantide arvuga.

Ülesannet võrrandile (1.10) algtingimustel põhineva konkreetse lahenduse leidmiseks nimetatakse Cauchy probleemiks.

Diferentsiaalvõrrandite integreerimine seeria abil

Üldjuhul on esimest järku tavalisele diferentsiaalvõrrandile (ODE) täpse lahenduse leidmine selle integreerimise teel võimatu. Pealegi pole see ODE-süsteemi puhul teostatav. See asjaolu viis loomiseni suur number ligikaudsed meetodid ODE-de ja nende süsteemide lahendamiseks. Ligikaudsete meetodite hulgas võib eristada kolme rühma: analüütiline, graafiline ja numbriline. Muidugi on selline liigitus teatud määral meelevaldne. Näiteks Euleri katkendjoonte graafiline meetod on ühe diferentsiaalvõrrandi numbrilise lahendamise meetodi aluseks.

ODE-de integreerimine võimsusridade abil on ligikaudne analüütiline meetod, mida tavaliselt rakendatakse vähemalt teist järku lineaarvõrrandite puhul. Lihtsuse huvides piirdume muutuvate koefitsientidega lineaarse homogeense teist järku ODE-ga

Märkus: vormis saab esitada üsna laia funktsioonide klassi

kus on mingid konstandid. Seda avaldist nimetatakse astmeseeriaks.

Oletame, et funktsioone saab laiendada intervalliga koonduvateks seeriateks:

Kehtib järgnev teoreem (jättes välja tõestuse, esitame ainult selle sõnastuse).

Teoreem 1.5: kui funktsioonidel on vorm (1.13), siis saab ODE (1.12) mis tahes lahendit esitada astmereana, mis koondub järgmisele:

See teoreem mitte ainult ei võimalda esitada lahendust astmerea kujul, vaid, mis kõige tähtsam, õigustab seeriate (1.14) lähenemist. Lihtsuse huvides paneme sisse (1.13) ja (1.14) ning otsime vormilt ODE (1.12) lahendust

Asendades (1.15) väärtusega (1.12), saame võrdsuse

(1.16) täitmiseks on vajalik, et iga kraadi koefitsient oleks võrdne nulliga.

Sellest tingimusest saame lõpmatu lineaarse süsteemi algebralised võrrandid

millest saab järjestikku leida, kas väärtused seatakse ja (ODE (1.12) Cauchy ülesande puhul on need algtingimustesse kaasatud).

Kui funktsioonid on ratsionaalsed, s.t.

kus on polünoomid, siis nende punktide läheduses, kus astmerea kujul olevat lahendit ei pruugi olla, ja kui see on olemas, võib see lahkneda kõikjal, välja arvatud punkt. Seda asjaolu teadis L. Euler, kes pidas esimest järku võrrandit

See võrrand on täidetud astmereaga

Siiski pole raske näha, et see sari erineb ühegi puhul

ODE lahendust lahknevate astmeridade kujul nimetatakse formaalseks.

KASAHSTANI VABARIIGI HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM

Põhja-Kasahstani Riiklik Ülikool

neid. M. Kozybajeva

Infotehnoloogiate teaduskond

matemaatika osakond

Kursusetööd kaitstud

reitinguga "___________"

"___"___________ aasta 2013

pea osakond____________

A. Tadžigitov

KURSUSE töö matemaatikas

"DIFERENTSIAALVÕRDENDITE INTEGREERIMINE

KASUTAMINE POWER SERIES"

PEA: Valeeva M.B. ___________

Petropavlovsk 2013

ADAPTA

Berilgen kurstyk zhumysta qatarlarmen zhane diferentsiaalid tendemelermen baylanysty theorylyk suraktar karastyrylgan. Diferentsiaalid еңdemенің integralдауынн мысалDERы zhәne manңағаз қаторлARDың көмімін ка piisavрылған.

MÄRKUS

Selles kursusetöö Käsitletakse seeriate ja diferentsiaalvõrranditega seotud teoreetilisi küsimusi. Vaadeldakse näiteid diferentsiaalvõrrandite integreerimisest astmeridade abil.

antud tööd käsitletakse teoreetiliste küsimustena, mis on seotud seeriate ja diferentsiaalvõrranditega. Vaadeldakse näiteid integreerimise osadiferentsiaalvõrrandite kohta, kasutades astmerida.

SISSEJUHATUS

SARJADE JA DIFERENTSIAALVÕRDENDITEGA SEOTUD PÕHIMÕISTED

1 rida. Põhimõisted. Vajalik lähenemise märk

2 Power seeria. Võimseeria omadused

3 Taylor Row. Maclaurin seeria

4 Diferentsiaalvõrrandid

5 Diferentsiaalvõrrandite integreerimine jada abil

NÄITED POWER SERIA KASUTAMISE KOHTA DIFERENTSIAALVÕRDENDITE INTEGREERIMISEL

1 Õhuline võrrand

2 Besseli võrrand

3 Integratsiooni näited

4 Maple'i integreerimise näited

KOKKUVÕTE

SISSEJUHATUS

Mõiste "diferentsiaalvõrrand" pärineb Leibnizilt (1676, avaldatud 1684). Diferentsiaalvõrrandite uurimise algus ulatub Leibnizi ja Newtoni aegadesse, kelle töödes uuriti esimesi selliste võrranditeni viivaid probleeme. Leibniz, Newton, vennad J. ja I. Bernoulli töötasid välja meetodid tavaliste diferentsiaalvõrrandite integreerimiseks. Universaalse meetodina kasutati diferentsiaalvõrrandite integraalide laiendusi astmeridadeks.

Tänapäeval nõuab arvutusmeetodite laialdane kasutuselevõtt teaduses, mis on seotud suure võimsusega arvutusvahendite tulekuga, matemaatika erinevate harude ja eriti tavaliste diferentsiaalvõrrandite teooria osade tähtsuse ümberhindamist. Praegu on kasvanud diferentsiaalvõrrandite lahendite kvalitatiivse uurimise meetodite, aga ka lahenduste ligikaudse leidmise meetodite tähtsus.

Paljude diferentsiaalvõrrandite lahendusi ei väljendata elementaarfunktsioonides ega kvadratuurides. Nendel juhtudel kasutatakse diferentsiaalvõrrandite integreerimiseks ligikaudseid meetodeid. Üks selline meetod on võrrandi lahendi esitamine astmereana; selle rea lõplike liikmete arvu summa on ligikaudu võrdne soovitud lahendusega. See määrab valitud uurimisteema asjakohasuse.

Käesoleva töö eesmärk: näidata astmeridade meetodi kasutamist diferentsiaalvõrrandite integreerimisel.

Uurimuse objektiks on diferentsiaalvõrrandite integreerimise protsess astmeridade meetodil.

Uurimuse teemaks on diferentsiaalvõrrandite astmeridade kaupa integreerimise vormid, meetodid ja vahendid.

Vastavalt eesmärgile saab sõnastada selle töö peamised eesmärgid:

Vaadake üle seeriate ja diferentsiaalvõrranditega seotud põhimõisted.

Analüüsige diferentsiaalvõrrandite integreerimise meetodit astmeridade abil.

Erinevate probleemide lahendamiseks rakendage võimsusseeria meetodit.

Töö ülesehitus: tiitelleht, tööülesande vorm, referaat, sisu, sissejuhatus, põhiosa, järeldus, kirjanduse loetelu.

Töö põhiosa koosneb kahest peatükist. Esimeses peatükis tutvustatakse seeriate, astmeridade, Taylori seeriate ja diferentsiaalvõrrandite mõisteid. Teises peatükis vaadeldakse näiteid diferentsiaalvõrrandite integreerimisest astmeridade kaupa.

Töö teoreetilise osa uurimiseks kasutati kasutatud kirjanduse loetelus märgitud õppekirjanduse ja perioodika materjale.

Töö maht: 26 lk.

1. SARJADE JA DIFERENTSIAALVÕRDENDITEGA SEOTUD PÕHIMÕISTED

1,1 rida. Põhimõisted. Vajalik lähenemise märk

Matemaatilistes rakendustes, aga ka mõne majanduse, statistika ja muude valdkondade ülesannete lahendamisel arvestatakse lõpmatu arvu terminitega summasid. Siin anname definitsiooni, mida selliste summade all mõeldakse.

Olgu antud lõpmatu arvujada. Numbriseeria või lihtsalt jada on vormi avaldis (summa).

,(1.1)

numbreid nimetatakse rea liikmeteks – ühiseks või n-s tähtaeg rida.

Seeria (1.1) defineerimiseks piisab, kui määrata seeria n-nda liikme arvutamise loomuliku argumendi funktsioon selle arvu järgi

Näide 1.1. Laske . Rida

(1.2)

nimetatakse harmoonilisteks seeriateks.

Seeria (1.1) tingimustest moodustame numbrijada osalised summad Kus - rea esimeste liikmete summa, mida nimetatakse n-ndaks osasummaks, s.o.

(1.3)

Numbrite jada piiramatu arvu suurenemisega võib see:

) omama lõplikku piiri;

) ei oma lõplikku piiri (piir ei eksisteeri või on võrdne lõpmatusega).

Jada (1.1) nimetatakse koonduvaks, kui selle osasummade jadal (1.3) on lõplik piir, s.t.

Sel juhul nimetatakse arvu seeriate summaks (1.1) ja kirjutatakse

Jada (1.1) nimetatakse lahknevaks, kui selle osasummade jadal ei ole lõplikku piiri. Lahknevale seeriale summat ei määrata.

Seega on koonduva jada (1.1) summa leidmise probleem võrdne selle osasummade jada piiri arvutamisega.

Teoreemi tõestus tuleneb sellest, et , ja kui

S on siis seeriate (1.1) summa

Tingimus (1.4) on vajalik, kuid mitte piisav tingimus ridade ühtlustamiseks. See tähendab, et kui seeria ühine liige kipub olema null, ei tähenda see, et seeria läheneb. Näiteks harmooniliste jadate jaoks (1.2)

see aga lahkneb.

Järeldus (piisav märk rea lahknemisest): kui seeria ühine liige ei kipu nulli, siis see jada lahkneb.

Näide 1.2. Uurige seeriat lähenemise suhtes

Selle seeria jaoks Seetõttu on see seeria erinev.

1.1 1.2 Jõuseeria. Võimseeria omadused

Power seeriad on funktsionaalsete seeriate erijuht.

Jõuseeria on vormi funktsionaalne jada

siin on konstantsed reaalarvud, mida nimetatakse astmeridade koefitsientideks;

Mingi konstantne arv;

Muutuja, mis võtab väärtused reaalarvude hulgast.

Kui astmerida (1.5) võtab kuju

(1.6)

Jada astmetes (1.5) nimetatakse astmete jadaks. seeriad, mis võivad läheneda või lahkneda.

Astumusrea lähenemispiirkond on väärtuste kogum, mille juures astmerida koondub.

Teoreem 1.2 (Abeli teoreem): kui astmerida (1.6) läheneb punktile, siis koondub see absoluutselt kõikide väärtuste puhul, mis rahuldavad ebavõrdsust, aga kui jada (1.6) lahkneb hetkel, siis lahkneb see kõigi ebavõrdsust rahuldavate väärtuste puhul

Abeli teoreem annab selge ettekujutuse astmerea lähenemispiirkonna struktuurist.

Teoreem 1.3: astmeridade (1.6) lähenemispiirkond langeb kokku ühega järgmistest intervallidest:

) ; 2) ; 3) ; 4) ,

kus on mõni mittenegatiivne tegelik arv või

Arvu nimetatakse lähenemisraadiuseks, intervalli nimetatakse astmerea (1,6) lähenemisvahemikuks.

Kui siis konvergentsi intervall esindab kogu arvurida

Kui siis konvergentsi intervall degenereerub punktini

Märkus: kui on astmerea (1.2) lähenemisintervall, siis - astmeridade (1.5) lähenemisintervall.

Teoreemist 1.3 järeldub, et astmerea (1.6) konvergentsipiirkonna praktiliselt leidmiseks piisab selle lähenemisraadiuse leidmisest ja selle rea konvergentsi küsimuse täpsustamisest lähenemisintervalli otstes, s.o. juures ja

Astumusrea lähenemisraadiuse saab leida ühe järgmistest valemitest:

d'Alemberti valem:

Cauchy valem:

Näide 1.3. Leidke astmeridade lähenemisraadius, lähenemisintervall ja lähenemispiirkond

Leiame valemi abil selle jada lähenemisraadiuse

Meie puhul

Järelikult on selle rea lähenemisintervallil selline vorm

Uurime ridade konvergentsi lähenemisintervalli otstes.

mis lahkneb nagu harmooniline jada.

Kui astmerida muutub arvuseeriaks

See on vahelduv jada, mille tingimused absoluutväärtuses vähenevad ja

Seetõttu Leibnizi kriteeriumi järgi see arvurida koondub.

Seega on intervall antud astmerea lähenemispiirkond.

Positiivne jada (1.6) on lähenemisvahemikus defineeritud funktsioon, st.

Siin on mõned funktsiooni omadused:

Omadus 1. Funktsioon on pidev mis tahes konvergentsivahemikku kuuluvas segmendis

Omadus 2. Funktsioon on intervallil diferentseeruv ja selle tuletise saab leida rea (1.6) terminite kaupa diferentseerimise teel, s.o.

kõigi jaoks

Omadus 3. Funktsiooni määramatu integraali kõigi jaoks on võimalik saada seeriate (1.6) terminipõhise integreerimise teel, s.o.

kõigi jaoks

Tuleb märkida, et astmerea terminite kaupa diferentseerimisel ja integreerimisel selle lähenemisraadius ei muutu, küll aga võib muutuda lähenemine intervalli otstes.

Ülaltoodud omadused kehtivad ka võimsusseeriate (1,5) puhul.

Näide 1.4. Mõelge võimsussarjadele

Selle seeria konvergentsipiirkond, nagu on näidatud näites 1.3, on intervall

Eristagem seda seeriat terminite kaupa:

(1.7)

Uurime selle seeria käitumist lähenemisintervalli otstes.

See arvurida lahkneb, kuna vajalik konvergentsikriteerium ei ole täidetud

mida pole olemas.

Kui astmerida (1.7) muutub arvuseeriaks

mis samuti lahkneb, kuna vajalik konvergentsikriteerium ei ole täidetud.

Sellest tulenevalt on esialgsete astmeridade terminite haaval diferentseerimisel saadud astmeridade konvergentsi piirkond muutunud ja ühtib intervalliga .

1.3 Taylori seeria. Maclaurin seeria

Olgu punkti läheduses lõpmatu arv kordi diferentseeruv funktsioon, s.t. omab mis tahes järjestust tuletisi. Funktsiooni Taylori jada punktis on astmerida

(1.8)

Seeria (1.8) erijuhul nimetatakse Maclaurini seeriaks:

Tekib küsimus: millistel juhtudel langeb punkti läheduses lõpmatu arv kordi diferentseeritud funktsiooni Taylori seeria funktsiooniga kokku?

Võib esineda juhtumeid, kus funktsiooni Taylori jada koondub, kuid selle summa ei ole võrdne

Esitame piisava tingimuse funktsiooni Taylori rea lähenemiseks sellele funktsioonile.

Teoreem 1.4: kui intervallis funktsioonil on mis tahes järku tuletised ja kõik need on absoluutväärtuses piiratud sama arvuga, s.t. siis selle funktsiooni Taylori seeria koondub mis tahes selle intervalli jaoks need. on võrdsus

Et teha kindlaks, kas see võrdsus kehtib lähenemisintervalli otstes, on vaja eraldi uuringuid.

Tuleb märkida, et kui funktsiooni laiendada astmereaks, siis see seeria on selle funktsiooni Taylori (Maclaurin) seeria ja see laiendus on ainulaadne.

1.4 Diferentsiaalvõrrandid

Tavaline n-ndat järku diferentsiaalvõrrand argumentfunktsiooni jaoks on vormi seos

kus on tema argumentide antud funktsioon.

Tavaline diferentsiaalvõrrand ei pruugi selgesõnaliselt sisaldada soovitud funktsiooni ja selle tuletisi argumenti, kuid kõrgeim tuletis peab sisalduma n-ndat järku võrrandis.

Näiteks,

A) - esimest järku võrrand;

B) - kolmandat järku võrrand.

Tavaliste diferentsiaalvõrrandite kirjutamisel kasutatakse sageli tuletisi diferentsiaalide tähistusi:

IN) - teist järku võrrand;

G) - esimest järku võrrand, mis pärast samaväärse vormiga jagamist moodustab järgmise võrrandi:

Funktsiooni nimetatakse tavalise diferentsiaalvõrrandi lahendiks, kui sellesse asendades muutub see identiteediks.

Algtingimuste (1.11) paremal küljel on määratud funktsiooni ja tuletiste arvväärtused ning algtingimuste koguarv on võrdne määratletud suvaliste konstantide arvuga.

Ülesannet võrrandile (1.10) algtingimustel põhineva konkreetse lahenduse leidmiseks nimetatakse Cauchy probleemiks.

1.5 Diferentsiaalvõrrandite integreerimine jada abil

Üldjuhul on esimest järku tavalisele diferentsiaalvõrrandile (ODE) täpse lahenduse leidmine selle integreerimise teel võimatu. Pealegi pole see ODE-süsteemi puhul teostatav. See asjaolu tõi kaasa suure hulga ligikaudsete meetodite loomise ODE-de ja nende süsteemide lahendamiseks. Ligikaudsete meetodite hulgas võib eristada kolme rühma: analüütiline, graafiline ja numbriline. Muidugi on selline liigitus teatud määral meelevaldne. Näiteks Euleri katkendjoonte graafiline meetod on ühe diferentsiaalvõrrandi numbrilise lahendamise meetodi aluseks.

(1.12)

Märkus: vormis saab esitada üsna laia funktsioonide klassi

kus on mingid konstandid. Seda avaldist nimetatakse astmeseeriaks.

Oletame, et funktsioone saab laiendada intervalliga koonduvateks seeriateks:

Kehtib järgnev teoreem (jättes välja tõestuse, esitame ainult selle sõnastuse).

Teoreem 1.5: kui funktsioonidel on vorm (1.13), siis saab ODE (1.12) mis tahes lahendit esitada astmereana, mis koondub järgmisele:

(1.14)

(1.15)

Asendades (1.15) väärtusega (1.12), saame võrdsuse

(1.16) täitmiseks on vajalik, et iga kraadi koefitsient oleks võrdne nulliga.

Sellest tingimusest saame lõpmatu lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi

millest saame järjestikku leida, kui määrame väärtused ja (ODE (1.12) Cauchy probleemi puhul) sisalduvad need algtingimustes ).

Kui funktsioonid on ratsionaalsed, s.t.

See võrrand on täidetud astmereaga

Siiski pole raske näha, et see sari erineb ühegi puhul

ODE lahendust lahknevate astmeridade kujul nimetatakse formaalseks.

2. NÄITED POISSERIADE KASUTAMISEKS DIFERENTSIAALVÕRDENDITE INTEGRERIMISEL

Õhuline võrrand

Airy võrrandi lahendus

Otsime astmerea (1.15) kujul. Siis saab kuju võrdsus (1,16).

Koefitsient on võrdne Seega, kui koefitsient on võrdne nulliga, leiame, et koefitsient on võrdne Siit

Sellest valemist saame

Samamoodi leiame

Koefitsiendid jäävad ebakindlaks. Lahenduste põhisüsteemi leidmiseks seadsime esmalt paika ja siis vastupidi. Esimesel juhul on meil

ja teises

Teoreemi 1.5 alusel koonduvad need jadad igal pool arvureal

Funktsioone nimetatakse Airy funktsioonideks. Suurte väärtuste korral kirjeldatakse nende funktsioonide asümptootilist käitumist valemitega

Nende funktsioonide graafikud on näidatud joonisel 1.

Pilt 1

Piiramatu suurenemisega lähenevad Airy võrrandi mis tahes lahendi nullid üksteisele piiritult lähemale, mis ilmneb nende lahendite asümptootilisest esitusest, kuid pole sugugi ilmne Airy funktsioonide esitamisest konvergentse võimsuse kujul. seeria. Sellest järeldub, et meetodist ODE-le lahenduse leidmiseks seeria abil on üldiselt vähe kasu. rakendatud probleemid, ja juba lahenduse esitamine seeria kujul raskendab saadud lahenduse kvalitatiivsete omaduste analüüsimist.

2.1 Besseli võrrand

Lineaarne diferentsiaalvõrrand muutuvate koefitsientidega, millel on kuju

nimetatakse Besseli võrrandiks.

Otsime võrrandile (2.1) lahendust üldistatud astmeridade kujul, s.o. teatud määral steppide sarja tooted:

(2.2)

Asendades võrrandi (2.1) üldistatud astmete jada ja võrdsustades võrrandi vasakpoolses servas iga astme koefitsiendid nulliga, saame süsteemi

Eeldades, et sellest süsteemist leiame süsteemi teisest võrrandist Let The ja võrrandist, mis annab väärtused 3,5,7,..., järeldame, et paarisarvuliste koefitsientide korral saame avaldised

Asendades leitud koefitsiendid seeriateks (2.2), saame lahenduse

kus koefitsient jääb meelevaldseks.

Kõik koefitsiendid määratakse sarnaselt ainult juhul, kui see ei ole võrdne täisarvuga. Seejärel saab lahenduse, asendades eelmise lahenduse väärtuse järgmisega:

Saadud võimsusread koonduvad kõigi väärtuste jaoks, mis on D'Alemberti kriteeriumi alusel hõlpsasti kindlaks määratud. Lahendused ja on lineaarselt sõltumatud, kuna nende suhe ei ole konstantne.

Lahendus korrutatud konstandiga nimetatakse esimest tüüpi Besseli funktsiooniks (või silindriliseks funktsiooniks) ja seda tähistatakse sümboliga Lahendus on tähistatud

Üldtunnustatud konstandi valik hõlmab gammafunktsiooni, mille määrab vale integraal:

Seega ühine otsus võrrand (2.1), kui see ei võrdu täisarvuga, on kujul kus ja on suvalised konstandid.

2.2 Integratsiooni näited

Juhtudel, kui võrrand nõuab Cauchy probleemi lahendamist algtingimustes, saab lahendust otsida Taylori seeria abil:

kus leidub veel tuletisi järjestikune diferentseerimine algne võrrand ja asendamine diferentseerimise tulemuseks väärtuste ja kõigi muude leitud järgnevate tuletiste asemel. Samamoodi saab Taylori seeria abil integreerida kõrgemat järku võrrandeid.

Näide 2.1. Ligikaudu integreerige võrrand Taylori seeria abil, võttes laienduse esimesed kuus nullist erinevat liiget.

Algtingimuste võrrandist leiame Seda võrrandit eristades saame järjestikku

Tähenduste uskumine ja kasutamine leiame järjekindlalt, et nõutud lahendusel on vorm

Näide 2.2. Leidke laienduse neli esimest (nullist erinevat) liiget. Ja

Asendades leitud väärtused seeriateks (2.3), saame soovitud lahenduse määratud täpsusega:

2.3 Maple'i integreerimise näited

Maple'i diferentsiaalvõrranditele analüütiliste lahenduste leidmiseks kasutage käsku dsolve(eq,var,options), kus eq on diferentsiaalvõrrand, var on tundmatud funktsioonid, valikud on parameetrid. Parameetrid võivad näidata probleemi lahendamise meetodit, näiteks vaikimisi otsitakse analüütilist lahendust: tüüp=täpne. Diferentsiaalvõrrandite koostamisel kasutatakse tuletise tähistamiseks käsku diff, näiteks diferentsiaalvõrrand kirjutatakse kujul: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

Et leida ligikaudne lahendus diferentsiaalvõrrandile astmeseeria kujul, tuleb käsus dsolve määrata muutujate järel parameeter type=series (või lihtsalt seeria). Selleks, et näidata lagunemise järjekorda, s.o. Dekomponeerimise teostamise astme järjekorrale peaks eelnema käsk dsolve, sisestades järjestuse definitsiooni käsu Order:=n abil.

Kui diferentsiaalvõrrandile otsitakse üldist lahendust astmerea laienduse kujul, siis leitud laienduse astmetel olevad koefitsiendid sisaldavad funktsiooni tundmatuid väärtusi nullis ja selle tuletisi jne. Väljundreal saadud avaldis on kujuga, mis sarnaneb soovitud lahenduse laiendamisega Maclaurini seerias, kuid erinevate võimsuste koefitsientidega. Konkreetse lahenduse eraldamiseks tuleb määrata algtingimused jne ning nende algtingimuste arv peab ühtima vastava diferentsiaalvõrrandi järjekorraga.

Laiendus astmeseeriaks on seeriatüüpi, nii et selle seeriaga edasiseks töötamiseks tuleks see teisendada polünoomiks, kasutades käsku convert(%,polynom) ja seejärel valida saadud avaldise parem pool rhs( %) käsk.

> kond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, (D2)(y)(0)=1;

> dsolve((de,cond),y(x));

> y1:=rhs(%):

> dsolve((de,cond),y(x),seeria);

Märkus: jada kujul oleva diferentsiaalvõrrandi lahendi tüüp on jada, seega sellise lahenduse edasiseks kasutamiseks (arvutused või joonistamine) tuleb see teisendada käsuga convert polünoomiks.

diferentsiaalvõrrandi seeria aste

> teisenda(%,polünom): y2:=rhs(%):

> p1:=diagramm(y1, x=-3..3, paksus=2, värvus=must):

> p2:=diagramm(y2, x=-3..3, joonelaad=3, paksus=2, värv=must):

> with(plots): kuva(p1,p2);

Jooniselt 2 on näha, et täpse lahenduse parim lähendus astmerea kaupa saavutatakse ligikaudu intervallis

Joonis 2

KOKKUVÕTE

Kursusetöös püstitatud eesmärgid saavutati täielikult, lahendati järgmised ülesanded:

Määratletakse jada- ja diferentsiaalvõrranditega seotud põhimõisted.

Vaadeldakse diferentsiaalvõrrandite integreerimise meetodit astmeridade abil.

Selle teemaga seotud probleemid on lahendatud.

Käesolevas kursusetöös on materjal läbi uuritud ja süstematiseeritud õpilastele kasutamiseks iseseisev õppimine meetod diferentsiaalvõrrandite integreerimiseks astmeridade abil. Käsitletakse jada- ja diferentsiaalvõrrandite mõisteid. Ligikaudsed arvutused tehti seeriate abil.

Töö on kasutatav õppevahendina tehnika ja matemaatika erialade üliõpilastele.

Töö tulemused võivad olla aluseks edasistele uuringutele.

KASUTATUD VIITED

1 Tricomi F. Diferentsiaalvõrrandid. Tõlge inglise keelest. - M.: Bukinist, 2003. - 352 lk.

Vlasova B. A., Zarubin B. S., Kuvyrkin G. N. Matemaatilise füüsika ligikaudsed meetodid: õpik ülikoolidele. - M.: MSTU kirjastus im. N. E. Bauman, 2001. - 700 lk.

Budak B. M. Fomin S. V. Mitu integraali ja seeriat. - M.: Fizmatlit, 2002. - 512 lk.

Demidovich B.P. Probleemide ja harjutuste kogumik matemaatiline analüüs. - M.: Kirjastus Mosk. CheRo ülikool, 2000. - 624 s.

Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. jne Kogu kõrgem matemaatika: õpik. T. 3. - M.: Kirjastuse toimetus URSS, 2005. - 240 lk.

Yablonsky A. I., Kuznetsov A. V., Shilkina E. I. jt Kõrgem matemaatika: üldkursus: õpik. - M.: Kõrgem. kool, 2000.- 351 lk.

Malakhov A. N., Maksyukov N. I., Nikishkin V. A. Kõrgem matemaatika. - M.: EAOI, 2008. - 315 lk.

Markov L. N., Razmyslovich G. P. Kõrgem matemaatika. Osa 2. Matemaatilise analüüsi alused ja diferentsiaalvõrrandite elemendid. - M.: Amalfeya, 2003. - 352 lk.

Agafonov S. A., Saksa A. D., Muratova T. V. Diferentsiaalvõrrandid. - M.: MSTU kirjastus im. N.E. Bauman, 2004. - 352 lk.

Coddington E. A., Levinson N. Tavaliste diferentsiaalvõrrandite teooria. - M.: Amalfeya, 2001. - 475 lk.

Fikhtengolts G. M. Diferentsiaal- ja integraalarvutuse kursus. T. 2. - M.: Fizmatlit, 2001. - 810 lk.

Kuidas leida DE konkreetne lahendus ligikaudu seeria abil?

Jätkates seeriateooria praktiliste rakenduste uurimist, vaatleme veel üht levinud probleemi, mille nime näete pealkirjas. Ja selleks, et mitte tunda end kogu tunni jooksul muruniidukina, mõistame kohe ülesande olemust. Kolm küsimust ja kolm vastust:

Mida on vaja leida? Diferentsiaalvõrrandi erilahendus. Vihje ridade vahel sosistab, et selleks hetkeks on soovitatav vähemalt aru saada, mis see on diferentsiaalvõrrand ja mis on tema lahendus.

KUIDAS seda lahendust vaja on? Ligikaudu - kasutades seeriat.

Ja kolmas loogiline küsimus: miks umbes? Ma käsitlesin seda küsimust juba klassis. Euleri ja Runge-Kutta meetodid, aga kordamine ei tee paha. Olles spetsiifika pooldaja, pöördun tagasi kõige lihtsama juurde diferentsiaalvõrrand. Esimeses difuusorite loengus leidsime selle üldlahenduse (eksponentsiaalide komplekt) ja algtingimusele vastava konkreetse lahenduse. Funktsiooni graafik on kõige levinum joon, mida on lihtne joonisel kujutada.

Aga see on elementaarne juhtum. Praktikas on väga palju diferentsiaalvõrrandeid, mida ei saa analüütiliselt täpselt lahendada (vähemalt praegu tuntud meetoditega). Teisisõnu, ükskõik kuidas sellist võrrandit väänata, ei ole seda võimalik integreerida. Ja konks on selles üldlahendus (tasapinna joonte perekond) võib eksisteerida. Ja siis tulevad appi arvutusmatemaatika meetodid.

Kohtume oma rõõmuga!

Tüüpiline ülesanne on sõnastatud järgmiselt:

… , mis rahuldab esialgse tingimuse, kujul kolm (harvemini - neli või viis) nullist erinevad terminid Taylori seeria.

Vajalik konkreetne lahendus laiendatakse sellesse seeriasse vastavalt tuntud valemile:

Ainus asi on see, et tähe “ef” asemel kasutatakse siin “igrek” (nii juhtub).

Idee ja tähendus on samuti tuttavad: mõne hajuti jaoks ja teatud tingimustel (me ei lasku teooriasse) ehitatud astmerida läheneb soovitud konkreetsele lahendusele. See tähendab, et mida rohkem seeria liikmeid arvestame, seda täpsemalt vastab vastava polünoomi graafik funktsiooni graafikule.

Tuleb märkida, et ülaltoodu kehtib kõige lihtsamate juhtumite kohta. Teeme sama poti kohta lihtsa lasteuuringu:

Näide 1

Leidke diferentsiaalvõrrandi ligikaudu osaline lahendus, mis rahuldab algtingimust Taylori seeria nelja esimese nullist erineva liikme kujul.

Lahendus: selle ülesande tingimustes teisendatakse seetõttu üldine Taylori valem järgmiseks erijuhtum Maclaurini seeria laiendus:

Natuke ette vaadates ütlen, et praktilistes ülesannetes on see kompaktsem seeria palju levinum.

Sisestage mõlemad töövalemid oma teatmeteosesse.

Mõistame tähendusi. Lahenduse etapid on mugav nummerdada:

0) Sammul null kirjutame üles väärtuse, mis on alati tingimusest teada. Märkmikus on soovitav punktide lõpptulemustele ring teha, et need oleksid selgelt nähtavad ega läheks lahendusse kaduma. Tehnilistel põhjustel on mul mugavam need paksus kirjas esile tõsta. Pealegi, Pange tähele, et see väärtus ei ole null! Nõuab ju tingimus nelja leidmist nullist erinev sarja liikmed.

1) Arvutame. Selleks asendage teadaolev väärtus algse võrrandi paremale küljele "y" asemel:

2) Arvutame . Kõigepealt leiame teine tuletis:

Asendame eelmises lõigus leitud väärtuse paremasse serva:

Meil on juba kolm nullist erinevat laiendustingimust, vajame veel ühte:

Näide 2

Leia diferentsiaalvõrrandi ligikaudu osaline lahendus , mis rahuldab algtingimuse Taylori seeria kolme esimese nullist erineva liikme kujul.

Lahendus algab standardlausega:

Seetõttu:

Nüüd leiame järjestikku väärtused - kuni saadakse kolm nullist erinev tulemus. Kui teil veab, erinevad need nullist – see on ideaalne juhtum minimaalse töömahuga.

Lõikame lahenduspunktid maha:

0) Tingimuste järgi. Siin on esimene edu.

1) Arvutame. Esmalt lahendame algse võrrandi esimese tuletise suhtes, st väljendame . Asendame teadaolevad väärtused paremasse serva:

Saime rooli ja see pole hea, kuna oleme huvitatud nullist erinev tähendusi. Siiski null - sama tulemus, millele me ei unusta ringi tõmmata või muul viisil esile tõsta.

2) Leidke teine tuletis ja asendage teadaolevad väärtused paremasse serva:

Teine on "ei ole null".

3) Leidke teise tuletise tuletis:

Üldjoontes meenutab ülesanne mõneti Naerislugu, kui vanaisa, vanaema ja tütretütar kutsuvad appi putuka, kassi vms. Ja tegelikult väljendatakse iga järgnevat tuletist selle "eelkäijate" kaudu.

Asendame teadaolevad väärtused paremasse serva:

Kolmas nullist erinev väärtus. Nad tõmbasid naeri välja.

Asendage hoolikalt ja hoolikalt meie valemis "paksud" numbrid:

Vastus: konkreetse lahenduse soovitud ligikaudne laiendus:

Vaadeldavas näites oli teisel kohal ainult üks null ja see polegi nii hull. Üldiselt võib nulle esineda nii palju kui soovite ja kõikjal. Kordan, et väga oluline on need esile tõsta koos nullist erineva tulemusega, et mitte segadusse sattuda viimases etapis vahetustes.

Ole hea – bagel on esimesel kohal:

Näide 3

Leidke algtingimusele vastava diferentsiaalvõrrandi ligikaudu osaline lahendus Taylori seeria kolme esimese nullist erineva liikme kujul.

Ligikaudne näide ülesandest tunni lõpus. Algoritmi punktid ei pruugi olla nummerdatud (jättes näiteks sammude vahele tühjad read), kuid algajatel soovitan rangest mallist kinni pidada.

Vaadeldav ülesanne nõuab kõrgendatud tähelepanu – kui teete mis tahes sammul vea, läheb ka kõik muu valesti! Seetõttu peaks teie selge pea töötama nagu kellavärk. Kahjuks see pole nii integraalid või difuusorid, mida saab usaldusväärselt lahendada ka väsinud olekus, kuna need võimaldavad teostada tõhusat kontrolli.

Praktikas on see palju tavalisem Maclaurini seeria laiendus:

Näide 4

Lahendus: põhimõtteliselt saab kohe kirjutada Maclaurini laienemine, kuid akadeemilisem on alustada probleemi vormistamist üldjuhtumiga:

Diferentsiaalvõrrandi konkreetse lahenduse laiendamine algtingimusel on järgmine:

Sel juhul seega:

0) Tingimuste järgi.

No mis sa teha saad... Loodame, et nulle on vähem.

1) Arvutame. Esimene tuletis on juba kasutusvalmis. Asendame väärtused:

2) Leiame teise tuletise:

Ja asendame selle:

Asjad läksid hästi!

3) Otsige üles. Panen selle väga üksikasjalikult kirja:

Pange tähele, et tuletistele kehtivad tavalised algebrareeglid: sarnaste terminite toomine viimases etapis ja korrutise kirjutamine astmena: (ibid.).

Asendagem kõik, mis on omandatud seljatagava tööga:

Sünnib kolm nullist erinevat väärtust.

Asendame "paksud" numbrid Maclaurini valemiga, saades seeläbi konkreetse lahenduse ligikaudse laienduse:

Vastus:

Sest sõltumatu otsus:

Näide 5

Esitage ligikaudu antud algtingimusele vastav diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus astmerea kolme esimese nullist erineva liikme summana.

Tunni lõpus näidiskujundus.

Nagu näete, on probleem konkreetse laienemisega Maclaurin seeria osutus isegi raskemaks kui üldine juhtum. Vaadeldava ülesande keerukus, nagu äsja nägime, ei seisne mitte niivõrd lagunemises endas, kuivõrd eristamise raskustes. Pealegi tuleb mõnikord leida 5-6 tuletist (või isegi rohkem), mis suurendab eksimise ohtu. Ja õppetunni lõpus pakun paar keerukama ülesannet:

Näide 6

Lahendage diferentsiaalvõrrand, kasutades konkreetse lahenduse laiendamist Maclaurini seeriaks, piirdudes seeria kolme esimese nullist erineva liikmega

Lahendus: meil on teist järku difuur, kuid see praktiliselt ei muuda asja. Vastavalt tingimusele palutakse meil kohe kasutada Maclaurini seeriat, mida me kasutamata ei jäta. Paneme tuttava laienduse kirja, võttes igaks juhuks veel termineid:

Algoritm töötab täpselt samamoodi:

0) – tingimuse järgi.

1) – vastavalt tingimusele.

2) Lahendame algse võrrandi teise tuletise suhtes: .

Ja asendame:

Esimene nullist erinev väärtus

Klõpsake tuletisinstrumentidel ja tehke asendused:

Asendame ja:

Asendame:

Teine nullist erinev väärtus.

5) – tee ääres esitame sarnaseid tuletisi.

Asendame:

Lõpuks. Siiski võib see olla hullem.

Seega on soovitud konkreetse lahenduse ligikaudne laiendus:

Valgevene Vabariigi Haridusministeerium

Haridusasutus

"Mogilevski Riiklik Ülikool nime saanud A.A. Kulešova"

MAiVT osakond

Diferentsiaalvõrrandite lahenduste koostamine jada abil

Kursuse töö

Lõpetanud: 3. kursuse B rühma õpilane

Füüsika-matemaatikateaduskond

Yuskaeva Alexandra Maratovna

Teadusnõustaja:

Morozov Nikolai Porfirievitš

MOGILEV, 2010

Sissejuhatus

1. Kõrgema järgu diferentsiaalvõrrandid

1.1. N-ndat järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi mõiste

2. Diferentsiaalvõrrandite integreerimine jada abil

2.1. Diferentsiaalvõrrandite integreerimine astmeridade abil.

2.2. Diferentsiaalvõrrandite integreerimine üldistatud võimsusridade abil.

3. Üldistatud võimsusridade kasutamise erijuhud diferentsiaalvõrrandite integreerimisel.

3.1. Besseli võrrand.

3.2. Hüpergeomeetriline võrrand või Gaussi võrrand.

4. Tavaliste diferentsiaalvõrrandite integreerimise meetodi rakendamine jada kasutades praktikas.

Järeldus

Kirjandus

Sissejuhatus

Üldjuhul on esimest järku tavalisele diferentsiaalvõrrandile täpse lahenduse leidmine selle integreerimise teel võimatu. Pealegi pole see tavaliste diferentsiaalvõrrandite süsteemi puhul teostatav. See asjaolu tõi kaasa suure hulga ligikaudsete meetodite loomise tavaliste diferentsiaalvõrrandite ja nende süsteemide lahendamiseks. Ligikaudsete meetodite hulgas võib eristada kolme rühma: analüütiline, graafiline ja numbriline. Muidugi on selline liigitus teatud määral meelevaldne. Näiteks Euleri katkendjoonte graafiline meetod on ühe diferentsiaalvõrrandi numbrilise lahendamise meetodi aluseks.

Tavaliste diferentsiaalvõrrandite integreerimine astmeridade abil on ligikaudne analüütiline meetod, mida tavaliselt rakendatakse vähemalt teist järku lineaarvõrrandite puhul.

Analüütilised meetodid leiate diferentsiaalvõrrandite kursusest. Esimest järku võrrandite jaoks (eraldatavate muutujatega, homogeensed, lineaarsed jne), aga ka teatud tüüpi kõrgemat järku võrrandite jaoks (näiteks lineaarsed konstantsete koefitsientidega) on võimalik saada lahendusi valemite kujul analüütiliste teisenduste kaudu.

Töö eesmärgiks on analüüsida üht ligikaudset analüütilist meetodit, näiteks tavaliste diferentsiaalvõrrandite integreerimist jadade abil ning nende rakendamist diferentsiaalvõrrandite lahendamisel.

Kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandid

Tavaline n-ndat järku diferentsiaalvõrrand on vormi seos

kus F on tema argumentide teadaolev funktsioon, mis on määratletud teatud domeenis;

x - sõltumatu muutuja;

y on määratava muutuja x funktsioon;

y’, y”, …, y (n) - funktsiooni y tuletised.

Sel juhul eeldatakse, et y (n) on tegelikult diferentsiaalvõrrandis kaasatud. Funktsiooni F muud argumendid ei pruugi selles seoses selgesõnaliselt osaleda.

Iga funktsiooni, mis rahuldab antud diferentsiaalvõrrandit, nimetatakse selle lahendiks või integraaliks. Diferentsiaalvõrrandi lahendamine tähendab kõigi selle lahenduste leidmist. Kui vajaliku funktsiooni y jaoks on võimalik saada valem, mis annab kõik antud diferentsiaalvõrrandi lahendid ja ainult need, siis ütleme, et oleme leidnud selle üldlahenduse ehk üldintegraali.

N-ndat järku diferentsiaalvõrrandi üldlahend sisaldab n suvalist konstanti c 1, c 2,..., c n ja sellel on kuju.

1.1. Lineaarse diferentsiaalvõrrandi mõisten- järjekorras

N-ndat järku diferentsiaalvõrrandit nimetatakse lineaarseks, kui see on suuruste hulga y, y’, ..., y (n) suhtes esimese astmega. Seega on n-ndat järku lineaarne diferentsiaalvõrrand järgmine:

kus on teada x pidevad funktsioonid.

Seda võrrandit nimetatakse mittehomogeenseks lineaarvõrrandiks või võrrandiks parem pool. Kui võrrandi parem pool on identselt võrdne nulliga, siis lineaarvõrrand nimetatakse homogeenseks diferentsiaallineaarvõrrandiks ja sellel on vorm

Kui n on võrdne 2-ga, saame teist järku lineaarvõrrandi, mis kirjutatakse järgmiselt: Nii nagu n-ndat järku lineaarvõrrand, võib ka teist järku võrrand olla homogeenne () ja ebahomogeenne.

Diferentsiaalvõrrandite integreerimine jadade abil.

Tavalise diferentsiaalvõrrandi, mis on üle esimest järku muutuvate koefitsientidega, lahendusi ei väljendata alati elementaarfunktsioonide kaudu ja sellise võrrandi integreerimist taandatakse harva kvadratuurideks.

2.1. Diferentsiaalvõrrandite integreerimine astmeridade abil.

Kõige tavalisem meetod nende võrrandite integreerimiseks on soovitud lahenduse esitamine astmeridade kujul. Vaatleme muutuvate koefitsientidega teist järku võrrandeid

Märkus1. Vormis saab esitada üsna laia funktsioonide klassi

kus on mõned konstandid. Seda avaldist nimetatakse astmeseeriaks. Kui selle väärtused on võrdsed funktsiooni vastavate väärtustega mis tahes intervalli x jaoks (x 0 - T; x 0 + T), nimetatakse sellist seeriat selles intervallis konvergentseks.

Oletame, et funktsioonid a(x), b(x) on võrrandi (2.1) analüütilised funktsioonid intervallil (x 0 - T; x 0 + T), T > 0, s.o. laiendatakse võimsussarjadeks:

Kehtib järgnev teoreem (jättes välja tõestuse, esitame ainult selle sõnastuse).

Teoreem_1. Kui funktsioonid a(x), b(x) on kujul (2.2), siis võib tavalise diferentsiaalvõrrandi (2.1) mis tahes lahendit y(x) esitada koonduvana kui |x - x 0 |< Т степенного ряда:

See teoreem mitte ainult ei võimalda esitada lahendust astmerea kujul, vaid, mis kõige tähtsam, õigustab seeriate (2.3) konvergentsi.

Sellise esituse algoritm on järgmine. Mugavuse huvides paneme (2.2) ja (2.3) väärtused x 0 = 0 ning otsime tavalisele diferentsiaalvõrrandile (2.1) lahenduse kujul

Asendades (2.4) väärtusega (2.1), saame võrdsuse

(2.5) täitmiseks on vajalik, et iga võimsuse x koefitsient oleks võrdne nulliga. Sellest tingimusest saame lõpmatu lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi

………………………………………….

…………………………………………………………………. .

Saadud lõpmatust lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemist võib järjestikku leida, ..., kui seada väärtused ja (tavalise diferentsiaalvõrrandi (2.1) Cauchy ülesande puhul) saab sisestada algtingimused = , =).

Kui funktsioonid a(x), b(x) on ratsionaalsed, s.t. , b , kus on polünoomid, siis punktide läheduses, kus või, astmerea kujul olevat lahendit ei pruugi eksisteerida ja kui see on olemas, võib see lahkneda kõikjal, välja arvatud punktis x = 0. See asjaolu oli teada L. Eulerile , kes käsitles esimest järku võrrandit

See võrrand on täidetud astmereaga

Siiski pole raske näha, et see sari erineb ühegi puhul. Tavalise diferentsiaalvõrrandi lahendust lahkneva astmerea kujul nimetatakse formaalseks.

Üks ilmekamaid ja arusaadavamaid näiteid selle integreerimismeetodi kasutamisest on Airy võrrandid või

Kõik selle võrrandi lahendid on x-i terved funktsioonid. Seejärel otsime Airy võrrandile lahendust astmerea (2.4) kujul. Siis saab võrdsus (2.5) kuju

Seadke koefitsient igal astmel x võrdseks nulliga. Meil on

……………………………

X nullkraadi koefitsient on võrdne 2y 2. Järelikult y 2 = 0. Siis koefitsiendi võrdsusest nulliga leiame = . Koefitsient on võrdne. Siit.

Sellest valemist saame

Koefitsiendid jäävad ebakindlaks. Lahenduste põhisüsteemi leidmiseks seame esmalt = 1, = 0 ja siis vastupidi. Esimesel juhul on meil

ja teises

Teoreemi_1 põhjal on need jadad koonduvad kõikjal arvureal.

Funktsioone ja nimetatakse Airy funktsioonideks. Suurte x väärtuste korral kirjeldatakse nende funktsioonide asümptootilist käitumist järgmiste valemitega ja.

Nende funktsioonide graafikud on näidatud joonisel fig. 2.1. Leiame, et x piiramatu suurenemise korral lähenevad Airy võrrandi mis tahes lahendi nullid lõputult üksteisele lähemale, mis ilmneb ka nende lahendite asümptootilisest esitusest, kuid pole sugugi ilmne Airy funktsioonide esitusest koonduvate astmeridade vorm. Sellest järeldub, et seeria abil tavalisele diferentsiaalvõrrandile lahenduse otsimise meetod on rakendusülesannete lahendamisel üldiselt vähe kasulik ning juba lahenduse esitamine reana muudab analüüsimise keeruliseks. saadud lahuse kvalitatiivsed omadused.

2.2. Diferentsiaalvõrrandite integreerimine üldistatud võimsusridade abil.

Seega, kui võrrandis (2.1) on funktsioonid a(x), b(x) ratsionaalsed, siis punkte, kus või nimetatakse võrrandi (2.1) singulaarseteks punktideks.

Teist järku võrrandi jaoks

milles a(x), b(x) on analüütilised funktsioonid vahemikus |x - x 0 |< а, точка х = 0 является особой точкой, лишь только один из коэффициентов а 0 или b 0 в разложении функций а(х) и b(х) в степенной ряд отличен от нуля. Это пример простейшей особой точки, так называемой регулярной особой точки (или особой точки первого рода).

Ainsuse punkti x = x 0 läheduses ei pruugi astmerea kujul lahendusi eksisteerida, lahendusi tuleb otsida üldistatud astmerea kujul:

kus λ ja …, () tuleb määrata.

Teoreem_2. Selleks, et võrrandil (2.6) oleks ainsuse punkti x = x 0 naabruses vähemalt üks konkreetne lahendus üldistatud astmerea kujul (2.7), piisab sellest, et see võrrand on kujul

Need on koonduvad astmeridad ja koefitsiendid ei ole samal ajal võrdsed nulliga, sest vastasel juhul ei ole punkt x = x 0 eripunkt ja on kaks lineaarselt sõltumatut lahendit, holomorfsed punktis x = x 0 . Veelgi enam, kui võrrandi (2,7') koefitsientide seeriad (2,7”) lähenevad piirkonnas | x - x 0 |< R, то и ряд, входящий в решение (2.7), заведомо сходится в той же области.

Vaatleme võrrandit (2.6), kui x > 0. Asendades selle võrrandiga x 0 = 0 avaldise (2.7), saame

Võrdsustades koefitsiendid x astmetel nulliga, saame korduva võrrandisüsteemi:

……..........................……………………………………………. (2.8)

kus märgitud

Kuna siis peab λ võrrandit täitma

mida nimetatakse defineerivaks võrrandiks. Olgu selle võrrandi juured. Kui erinevus ei ole täisarv, siis suvalise täisarvu k > 0 korral, mis tähendab, et näidatud meetodi abil on võimalik võrrandile (2.6) koostada kaks lineaarselt sõltumatut lahendit:

Kui erinevus on täisarv, saate ülaltoodud meetodiga konstrueerida ühe lahenduse üldistatud jada kujul. Teades seda lahendust, saate Liouville-Ostrogradsky valemi abil leida teise lineaarselt sõltumatu lahenduse:

Samast valemist järeldub, et lahendust saab otsida vormist

(arv A võib olla võrdne nulliga).

Üldistatud võimsusridade kasutamise erijuhud diferentsiaalvõrrandite integreerimisel.

3.1. Besseli võrrand.

Besseli võrrand on matemaatikas ja selle rakendustes üks olulisemaid diferentsiaalvõrrandeid. Besseli võrrandi lahendused, mis moodustavad selle põhifunktsioonide süsteemi, ei ole elementaarfunktsioonid. Kuid need on laiendatud astmeridadeks, mille koefitsiendid arvutatakse üsna lihtsalt.

Vaatleme Besseli võrrandit üldkujul:

Paljud matemaatilise füüsika probleemid on taandatud sellele võrrandile.

Kuna võrrand ei muutu x asendamisel -x-ga, piisab x mittenegatiivsete väärtuste arvestamisest. Ainus ainsuse punkt on x=0. Määrav võrrand, mis vastab väärtusele x=0, on . Kui 0, siis on defineerival võrrandil kaks juurt: ja. Leiame sellele võrrandile lahenduse üldistatud astmeridade kujul

siis, asendades y, y" ja y" algses võrrandis, saame

Seega, vähendades, oleme

Selle võrdsuse identseks kehtimiseks peavad koefitsiendid võrranditele vastama

Leiame defineeriva võrrandi λ = n juurele vastav lahend. Asendades λ = n viimaste võrdustega, näeme, et saame võtta mis tahes arvu peale nulli, arv = 0 ja kui k = 2, 3, ... saame

Seega kõigi m = 0, 1, 2, … korral.

Seega on leitud kõik koefitsiendid, mis tähendab, et võrrandi (3.1) lahend kirjutatakse kujule

Tutvustame funktsiooni

nimetatakse Euleri gammafunktsiooniks. Arvestades, mida ja mida täisarvude jaoks ning valides ka suvalise konstandi, kirjutatakse see kujul

nimetatakse esimest tüüpi n-ndat järku Besseli funktsiooniks.

Besseli võrrandi teine konkreetne lahendus, lineaarselt sõltumatu, otsides vormis

At määramise võrranditel on vorm

Eeldusel, et leiame

Kokkuleppeliselt ei ole n täisarv, seega väljendatakse kõiki paarisarvudega koefitsiente üheselt järgmiselt:

Seega

Eeldusel, et esindame kujul y 2 (x).

nimetatakse negatiivse indeksiga esimest tüüpi Besseli funktsiooniks.

Seega, kui n ei ole täisarv, siis on kõik algse Besseli võrrandi lahendid lineaarsed kombinatsioonid Besseli funktsioonid ja: .

3.2. Hüpergeomeetriline võrrand või Gaussi võrrand.

Hüpergeomeetriline võrrand (või Gaussi võrrand) on võrrand kujul

kus α, β, γ on reaalarvud.

Punktid on võrrandi ainsuspunktid. Mõlemad on regulaarsed, kuna nende punktide läheduses on normaalkujul kirjutatud Gaussi võrrandi koefitsiendid

võib esitada üldistatud astmeridana.

Veendume selles korraks. Tõepoolest, seda märgates

võrrandi (3.2) saab kirjutada kujul

See võrrand on võrrandi erijuhtum

ja siin on punkt x=0 Gaussi võrrandi korrapärane ainsuse punkt.

Koostagem Gaussi võrrandi lahendite fundamentaalne süsteem ainsuse punkti x=0 läheduses.

Punktile x=0 vastav defineeriv võrrand on kujul

Selle juured ja nende erinevus ei ole täisarv.

Seetõttu on ainsuse punkti x=0 läheduses võimalik konstrueerida fundamentaalne lahenduste süsteem üldistatud astmeridade kujul

millest esimene vastab defineeriva võrrandi nulljuurele ja on tavaline astmerida, nii et lahend on holomorfne ainsuse punkti x=0 naabruses. Teine lahendus on ilmselgelt mitteholomorfne punktis x=0. Konstrueerigem esmalt konkreetne lahend, mis vastab defineeriva võrrandi nulljuurele.

Niisiis, me otsime võrrandi (3.2) konkreetset lahendust kujul

Asendades (3.3) väärtusega (3.2), saame

Võrdsustades vaba termini nulliga, saame.

Las see olla, siis saame aru.

Võrdsustades koefitsiendi nulliga, leiame:

Seetõttu on nõutav konkreetne lahendus järgmine:

Parempoolset seeriat nimetatakse hüpergeomeetriliseks jadaks, kuna kui α=1, β=γ muutub see geomeetriliseks progressiooniks

Teoreemi_2 kohaselt koondub seeria (3.4) kujule |x|<1, так же как и ряд (3.5), и, следовательно, представляет в этом интервале решение уравнения (3.2).

Teisel konkreetsel lahendusel on vorm:

Määramata koefitsientide meetodi leidmise asemel asendame Gaussi võrrandis soovitud funktsiooni valemiga

Saame Gaussi võrrandi

milles parameetrite α, β ja γ rolli mängivad ja.

Seega, konstrueerides selle võrrandi osalahendi, mis vastab defineeriva võrrandi nulljuurele ja asendades selle (3.6), saame selle Gaussi võrrandi teise osalahendi kujul:

Gaussi võrrandi (3.2) üldlahendus on järgmine:

Kasutades Gaussi võrrandi konstrueeritud põhilahenduste süsteemi ainsuse punkti x=0 naabruses, saab hõlpsasti konstrueerida selle võrrandi põhilahenduste süsteemi ainsuse punkti x=1 naabruses, mis on samuti regulaarne. ainsuse punkt.

Selleks viime meile huvipakkuva ainsuse punkti x = 1 punkti t = 0 ja koos sellega ainsuse punkti x = 0 punkti t = 1, kasutades sõltumatu muutuja x = 1 lineaarset asendust. - t.

Selle asendusega selles Gaussi võrrandis saame tulemuse

See on Gaussi võrrand parameetritega. Selle naabruses on |t|<1 особой точки t = 0 фундаментальную систему решений

Tulles tagasi muutuja x juurde, st seades t = 1 - x, saame algse Gaussi võrrandi lahendite põhimõttelise süsteemi punkti läheduses | x - 1|< 1 особой точки х = 1

Gaussi võrrandi (3.2) üldlahend selles piirkonnas on

Tavaliste diferentsiaalvõrrandite integreerimise meetodi rakendamine jada kasutades praktikas.

Näide_1. (nr 691) Arvutage seeria paar esimest koefitsienti (kuni koefitsiendini x 4 (kaasa arvatud)) algtingimustega

Algtingimustest järeldub, et nüüd leiame ülejäänud koefitsiendid:

Näide_2. (nr 696) Arvutage seeria esimesed koefitsiendid (kuni koefitsiendini x 4 (kaasa arvatud)) algtingimustega

Lahendus: Otsime võrrandile lahendust kujul

Asendame saadud avaldised algsesse võrrandisse:

Esitades paremat poolt astmereana ja võrdsustades võrrandi mõlemal poolel x samade astmete koefitsiendid, saame:

Kuna tingimuse järgi on vaja arvutada jada koefitsiendid kuni koefitsiendini x 4 juures, siis piisab koefitsientide arvutamisest.

Algtingimustest järeldub, et ja 2. Nüüd leiame ülejäänud koefitsiendid:

Järelikult kirjutatakse võrrandi lahend kujul

Näide_3. (Nr 700) Leia lineaarselt sõltumatud lahendid võrrandi astmeridade kujul. Võimalusel väljendage saadud seeriate summat elementaarfunktsioonide abil.

Lahendus. Otsime võrrandile lahendust rea kujul

Diferentseerides selle seeria kaks korda ja asendades selle võrrandiga, saame

Kirjutame saadud võrrandisse seeria paar esimest liiget:

Võrdsustades koefitsiendid x võrdsetel astmetel nulliga, saame võrrandisüsteemi määramiseks:

………………………………….

Nendest võrranditest leiame

Oletame, et siis on ainult koefitsiendid erinevad nullist. Me saame sellest aru

On konstrueeritud üks võrrandi lahend

Teise, leitud lahendusest lineaarselt sõltumatu lahenduse saame eeldades. Siis erinevad ainult koefitsiendid nullist:

Seeriad, mis esindavad ja koonduvad mis tahes x väärtuse jaoks ning on analüütilised funktsioonid. Seega on kõik algse võrrandi lahendused analüütilised funktsioonid kõigi x väärtuste jaoks. Kõik lahendused on väljendatud valemiga, kus C 1, C 2 on suvalised konstandid:

Kuna saadud seeriate summat saab elementaarfunktsioonide abil hõlpsasti väljendada, kirjutatakse see järgmiselt:

Näide_4. (nr 711) Lahendage võrrand 2x 2 y" + (3x - 2x 2)y" - (x + 1)y = 0.

Lahendus. Punkt x = 0 on selle võrrandi korrapärane ainsuse punkt. Koostame defineeriva võrrandi: Selle juured on λ 1 = 1/2 ja λ 2 = - 1. Otsime lahenduse algsele võrrandile, mis vastab kujule juurele λ = λ 1

Asendades algsesse võrrandisse, on meil

Siit, võrra vähendades, saame

Võrdsustades koefitsiendid x samadel astmetel, on meil võrrandid määramiseks:

Seadistus y 0 = 1, leiame

Seega

Otsime juurele λ = λ 2 vastava algvõrrandi lahendit kujul

Asendades selle avaldise algsesse võrrandisse ja võrdsustades koefitsiendid x samade astmetega, saame või paneme y 0 = 1, leiame

Kirjutame algvõrrandi üldlahenduse kujul, kus ja on suvalised konstandid.

Järeldus

Tundmatuid funktsioone sisaldavate võrrandite ja nende tuletisi esimesest kõrgemate astmete või mõnel keerulisemal viisil lahendamine on sageli väga keeruline.

Viimastel aastatel on sellised diferentsiaalvõrrandid pälvinud üha enam tähelepanu. Kuna võrrandite lahendid on sageli väga keerulised ja lihtsate valemite abil raskesti esitatavad, siis on oluline osa kaasaegsest teooriast pühendatud nende käitumise kvalitatiivsele analüüsile, s.t. meetodite väljatöötamine, mis võimaldavad ilma võrrandit lahendamata öelda midagi olulist lahenduste olemuse kohta tervikuna: näiteks, et need kõik on piiratud või perioodilised või sõltuvad teatud viisil koefitsiendid.

Kursusetöö käigus viidi läbi diferentsiaalvõrrandite võimsuse ja üldistatud astmeridade abil integreerimise meetodi analüüs.

Kirjandus:

Matveev N.V. Tavaliste diferentsiaalvõrrandite integreerimise meetodid. Ed. 4., rev. ja täiendav Minsk, “Kõrgeim. kool”, 1974. - 768 lk. haigega.
Agafonov S.A., Saksa A.D., Muratova T.V. Diferentsiaalvõrrandid: õpik. ülikoolidele / Toim. B.C. Zarubina, A.P. Krischenko. - 3. väljaanne, stereotüüp. -M.: Kirjastus MSTU im. N.E. Bauman, 2004. - 352 lk.
Bugrov Ya S., Nikolsky S. M. Kõrgem matemaatika. T.3: Diferentsiaalvõrrandid. Mitu integraali. read. Kompleksmuutuja funktsioonid: Õpik. ülikoolidele: 3 köites / Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky; Ed. V. A. Sadovnichy. — 6. trükk, stereotüüp. — M.: Bustard, 2004. —— 512 lk.: ill.
Samoleinko A. M., Krivosheya S. A., Perestyuk N. A. Diferentsiaalvõrrandid: näited ja probleemid. Õpik toetust. - 2. väljaanne, muudetud. - M.: Kõrgem. kool, 1989. - 383 lk.: ill.
Filippov A.F. Diferentsiaalvõrrandite ülesannete kogu. Õpik käsiraamat ülikoolidele. - M.: Fizmatizd, 1961. - 100 lk.: ill.

Lae alla: Teil pole juurdepääsu failide allalaadimiseks meie serverist.