Kaks on võrdsed. Kaks võrdset vastast mängivad malet. Samaväärsed teisendused. Valemite lihtsustamine
Definitsioon. Kahte võrrandit f 1 (x) = g 1 (x) ja f 2 (x) = g 2 (x) nimetatakse ekvivalentseteks, kui nende juurte hulgad on samad.
Näiteks võrrandid x 2 - 9 = 0 ja (2 X + 6)(X- 3) = 0 on samaväärsed, kuna mõlema juurteks on arvud 3 ja -3. Võrrandid (3 X + 1)-2 = x 2- + 1 ja x 2+ 1 = 0, kuna mõlemal pole juuri, st. nende juurte komplektid on samad.
Definitsioon. Võrrandi asendamist samaväärse võrrandiga nimetatakse ekvivalentteisenduseks.
Uurime nüüd, millised teisendused võimaldavad saada ekvivalentseid võrrandeid.
1. teoreem. Olgu võrrand f(x) ja g(x) antud võtteplatsil ja h(x) on samas komplektis määratletud avaldis. Siis võrrandid f(x) = g(x)(1) ja f(x) + h(x) =g(x) + h(x) (2) on samaväärsed.
Tõestus. Tähistage T 1 - võrrandi (1) lahenduste komplekt ja läbi T 2 - võrrandi (2) lahendite hulk. Siis on võrrandid (1) ja (2) samaväärsed, kui T 1 \u003d T 2. Selle kontrollimiseks on vaja näidata, et mis tahes juur T 1 on võrrandi (2) juur ja vastupidi, mis tahes juur T 2 on võrrandi (1) juur.
Lase numbril aga on võrrandi (1) juur. Siis a? T 1 ja kui asendada võrrandiga (1), muudab selle tõeliseks arvuliseks võrduseks f(a) = g(a), ja väljend h(x) teisendab numbriliseks avaldiseks h(a), mis on võtteplatsil mõistlik x. Lisage tõelise võrdsuse mõlemad pooled f(a) = g(a) numbriline avaldis h(a). Tõeliste arvvõrduste omaduste järgi saame tõelise arvulise võrdsuse f(a) + h(a) =g(a) + h(a), mis näitab, et aga on võrrandi (2) juur.
Niisiis, on tõestatud, et iga võrrandi (1) juur on ühtlasi ka võrrandi (2) juur, st. T 1 alates T2.
Lase nüüd aga - võrrandi (2) juur. Siis aga? T2 ja kui asendada võrrandiga (2), muudab selle tõeliseks arvuliseks võrduseks f(a) + h(a) =g(a) + h(a). Lisame selle võrdsuse mõlemale osale numbriline avaldis - h(a), saame tõelise arvulise võrdsuse f(x) = g(x), mis näitab, et number aga - võrrandi (1) juur.
Niisiis, on tõestatud, et iga võrrandi (2) juur on ühtlasi võrrandi (1) juur, st. T2 alates T 1 .
Sest T 1 alates T 2 Ja T 2 alates T 1 siis võrdsete hulkade definitsiooni järgi T 1= T 2, mis tähendab, et võrrandid (1) ja (2) on samaväärsed.
Seda teoreemi saab sõnastada erinevalt: kui definitsioonipiirkonnaga võrrandi mõlemad pooled X lisame sama avaldise muutujaga, mis on määratletud samas hulgas, siis saame uue võrrandi, mis on samaväärne antud võrrandiga.
Sellest teoreemist tulenevad tagajärjed, mida kasutatakse võrrandite lahendamisel:
1. Kui liidame võrrandi mõlemale poolele sama arvu, saame võrrandi, mis on samaväärne antud võrrandiga.
2. Kui suvaline termin (arvuline avaldis või muutujaga avaldis) viiakse võrrandi ühest osast teise, muutes liikme märgi vastupidiseks, siis saame võrrandi, mis on samaväärne antud võrrandiga.
2. teoreem. Olgu võrrand f(x) = g(x) võtteplatsil seatud X Ja h(x) – avaldis, mis on määratletud samas komplektis ja mis ei kao ühegi väärtuse puhul X paljudelt x. Siis võrrandid f(x) = g(x) Ja f(x) h(x) =g(x) h(x) on samaväärsed.
Selle teoreemi tõestus on sarnane teoreemi 1 tõestusega.
2. teoreemi saab sõnastada erinevalt: kui võrrandi mõlemad pooled domeeniga X korrutada sama avaldisega, mis on defineeritud samas hulgas ja ei kao sellel, siis saame uue võrrandi, mis on samaväärne antud võrrandiga.
Sellest teoreemist järeldub: kui mõlemad võrrandi osad korrutada (või jagada) sama arvuga, mis ei ole null, siis saame võrrandi, mis on samaväärne antud arvuga.
Võrrandite lahendamine ühe muutujaga
Lahenda võrrand 1- x/3 = x/6, x ? R ja põhjendage kõiki teisendusi, mida me lahendusprotsessis teostame.
| Transformatsioonid | Konversiooni põhjendus |
| 1. Toome võrrandi vasakul ja paremal küljel olevad avaldised ühisele nimetajale: (6-2 X)/ 6 = X/6 | Sooritas võrrandi vasakul küljel oleva avaldise identse teisenduse. |
| 2. Loobu ühisnimetajast: 6-2 X = X | Korrutasime võrrandi mõlemad osad 6-ga (Teoreem 2), saime võrrandi, mis on samaväärne antud võrrandiga. |
| 3. Viime avaldise -2x vastupidise märgiga võrrandi paremale poole: 6 = X+2X. | Kasutasime teoreemi 1 järeldust ja saime võrrandi, mis on samaväärne eelmisega ja seega ka antud võrrandiga. |
| 4. Sarnased terminid esitame võrrandi paremal küljel: 6 = 3 X. | Sooritas avaldise identse teisenduse. |
| 5. Jagage võrrandi mõlemad pooled 3-ga: X = 2. | Kasutasime teoreemi 2 järeldust, saime võrrandi, mis on samaväärne eelmisega ja seega ka sellega |
Kuna kõik selle võrrandi lahendamisel tehtud teisendused olid samaväärsed, võib väita, et 2 on selle võrrandi juur.
Kui võrrandi lahendamise käigus ei ole teoreemide 1 ja 2 tingimused täidetud, võib tekkida juurte kadu või ilmneda kõrvalised juured. Seetõttu on võrrandi teisenduste tegemisel lihtsama saamiseks oluline jälgida, et need viiksid võrrandini, mis on samaväärne antud võrrandiga.
Mõelge näiteks võrrandile x(x - 1) = 2x, x? R. Jagame mõlemad osad X, saame võrrandi X - 1 = 2, kust X= 3, st sellel võrrandil on üks juur – arv 3. Aga kas see on tõsi? Lihtne on näha, et kui selles võrrandis muutuja asemel X asendada 0, muutub see tõeliseks arvuliseks võrrandiks 0 (0 - 1) = 2 0. Ja see tähendab, et 0 on selle võrrandi juur, mille me teisendusi sooritades kaotasime. Analüüsime neid. Esimese asjana jagasime võrrandi mõlemad pooled X, need. korrutatud avaldisega1/ x, kuid kl X= Oh, sellel pole mõtet. Järelikult me ei täitnud teoreemi 2 tingimust, mis viis juure kadumiseni.
Veendumaks, et selle võrrandi juurte hulk koosneb kahest arvust 0 ja 3, esitame teise lahenduse. Liigutame avaldist 2 X paremalt vasakule: x(x- 1) - 2x \u003d 0. Võtame võrrandi vasakpoolsest servast välja sulud X ja andke sarnased terminid: x(x - 3) = 0. Kahe teguri korrutis on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui vähemalt üks neist on võrdne nulliga, seega x= 0 või X- 3 = 0. Siit saame, et selle võrrandi juured on 0 ja 3.
Elementaarmatemaatikas teoreetiline alus võrrandite lahendamine on seos komponentide ja tegevuste tulemuste vahel. Näiteks lahendades võrrandi ( X 9):24 = 3 on õigustatud järgmiselt. Kuna dividendis on tundmatu, tuleb dividendi leidmiseks korrutada jagaja jagatisega: X 9 = 24 3 või X 9 = 72.
Tundmatu teguri leidmiseks peate jagama toote teadaoleva teguriga: x = 72:9 või x = 8, seega on selle võrrandi juur number 8.
Harjutused
1 . Määrake, millised järgmistest kirjetest on ühe muutujaga võrrandid:
aga) ( X-3) 5 = 12 X; d) 3 + (12-7) 5 = 16;
b) ( X-3) 5 = 12; e) ( X-3) y =12X;
sisse) ( X-3) 17 + 12; e) x 2 - 2x + 5 = 0.
2. 2. võrrand X 4 + 4X 2 -6 = 0 on antud komplektis naturaalarvud. Selgitage, miks arv 1 on selle võrrandi juur, kuid 2 ja -1 ei ole selle juured.
3. Võrrandis ( X+ ...)(2X + 5) - (X - 3)(2X+ 1) = 20 üks number kustutatakse ja asendatakse punktidega. Leidke kustutatud arv, kui teate, et selle võrrandi juur on arv 2.
4. Sõnastage tingimused, mille korral:
a) arv 5 on võrrandi juur f(x) = g(x);
b) arv 7 ei ole võrrandi juur f(x) = g(x).
5. Määrake, millised järgmistest võrrandipaaridest on reaalarvude hulgas samaväärsed:
a) 3 + 7 X\u003d -4 ja 2 (3 + 7l X) = -8;
6)3 + 7X= -4 ja 6 + 7 X = -1;
c) 3 + 7 X= -4 ja l X + 2 = 0.
6. Sõnasta võrrandi ekvivalentsuseose omadused. Milliseid neist kasutatakse võrrandi lahendamisel?
7. Lahendage võrrandid (kõik need on antud reaalarvude hulgal) ja põhjendage kõiki nende lihtsustamise käigus tehtud teisendusi:
a)(7 x+4)/2 – x = (3x-5)/2;
b) x –(3x-2)/5 = 3 – (2x-5)/3;
aastal 2- X)2-X (X + 1,5) = 4.
8. Õpilane lahendas võrrandi 5 X + 15 = 3 X+ 9 järgmiselt: pange vasakpoolsesse sulgudesse number 5 ja paremale küljele number 3, saadi võrrandi 5 (x+ 3) = 3(X+ 3) ja seejärel jagage mõlemad osad avaldisteks X+ 3. Sain võrrandi 5 = 3 ja jõudsin järeldusele, et sellel võrrandil pole juuri. Kas õpilasel on õigus?
9. Lahenda võrrand 2/(2- x) – ½ = 4/((2- x)x); X? R. Kas arv 2 on selle võrrandi juur?
10. Lahendage võrrandid, kasutades komponentide ja toimingute tulemuste vahelist seost:
aga) ( X+ 70) 4 = 328; c) (85 X + 765): 170 = 98;
b) 560: ( X+ 9) - 56; G) ( X - 13581):709 = 306.
11. Lahendage ülesandeid aritmeetilisel ja algebralisel viisil:
a) Esimesel riiulil on 16 raamatut rohkem kui teisel. Kui eemaldada igalt riiulilt 3 raamatut, siis on esimesel riiulil poolteist korda rohkem raamatuid kui teisel. Mitu raamatut on igal riiulil?
b) Jalgrattur läbis kogu tee laagripaigast jaamani, mis võrdub 26 km, 1 tunni ja 10 minutiga. Selle aja esimesed 40 minutit sõitis ta sama kiirusega ja ülejäänud aja - 3 km/h väiksema kiirusega. Leidke jalgratturi kiirus teekonna esimesel etapil.
Matemaatika avatud tund "Bernoulli skeem. Ülesannete lahendamine Bernoulli ja Laplace'i skeemi abil"
Didaktika: oskuste ja oskuste omandamine Bernoulli skeemiga töötamiseks tõenäosuste arvutamiseks.
Arendab: teadmiste praktikas rakendamise oskuste arendamine, õpilaste funktsionaalse mõtlemise kujundamine ja arendamine, võrdlemise, analüüsi ja sünteesi oskuste arendamine, paaristöötamise oskused, erialase sõnavara laiendamine.
Kuidas seda mängu mängida:
Hariduslik: aine vastu huvi kasvatamine läbi praktiline kasutamine teooria, õpilaste õppematerjali teadliku omastamise saavutamine, meeskonnas töötamise oskuse kujundamine, arvutiterminite õige kasutamine, huvi teaduse vastu, austus tulevase elukutse vastu.
Teaduslikud teadmised: B
Tunni tüüp: kombineeritud tund:
- eelmistes klassides käsitletud materjali koondamine;
- temaatiline, info-probleemtehnoloogia;
- selles tunnis õpitud materjali üldistamine ja kinnistamine.
Õppemeetod: selgitav - näitlik, problemaatiline.
Teadmiste kontroll: frontaalküsitlus, probleemide lahendamine, esitlus.
Tunni materiaalne ja tehniline varustus. arvuti, multimeediaprojektor.
Metoodiline tugi: teatmematerjalid, esitlus tunni teemal, ristsõna.
Tundide ajal
1. Korraldusmoment: 5 min.
(tervitamine, rühma valmisolek tunniks).
2. Teadmiste kontroll:
Kontrollige küsimusi otse slaididelt: 10 min.
- jaotise "Tõenäosusteooria" määratlused
- peatüki "Tõenäosusteooria" põhikontseptsioon
- milliseid sündmusi "tõenäosusteooria" uurib
- juhuslikule sündmusele iseloomulik
- Tõenäosuste klassikaline määratlus
Kokkuvõtteid tehes. 5 minutit.
3. Ülesannete lahendamine ridades: 5 min.
Ülesanne 1. Visatakse täringut. Kui suur on tõenäosus saada paarisarv, mis on väiksem kui 5?
Ülesanne 2. Karbis on üheksa ühesugust raadiolampi, millest kolm olid kasutusel. Meister pidi tööpäeva jooksul seadmete remontimiseks kaasa võtma kaks raadiotoru. Kui suur on tõenäosus, et kasutati mõlemat lampi?
Ülesanne 3. Kolmes kinosaalis on kolm erinevat filmi. Tõenäosus, et 1. saali kassas on teatud tunniks pileteid, on 0,3, 2. saali kassas - 0,2 ja 3. saali kassas - 0,4. Kui suur on tõenäosus, et antud tunnil on võimalik osta pilet vähemalt ühele filmile?
4. Tahvlilt probleemide lahendamise kontrollimine. Pealekandmine 1. 5 min.
5. järeldus probleemide lahendamise kohta:
Sündmuse toimumise tõenäosus on iga ülesande puhul sama: m ja n - konst
6. Eesmärgi seadmine läbi ülesande: 5 min.
Ülesanne. Kaks võrdset maletajat mängivad malet. Kui suur on tõenäosus võita kaks mängu neljast?
Kui suur on tõenäosus võita kolm mängu kuuest (viike ei võeta arvesse)?
küsimus. Mõelge ja nimetage, mis vahe on selle ülesande küsimuste ja eelmiste ülesannete küsimuste vahel?
Arutledes, võrdledes, saavuta vastus: küsimustes on m ja n erinevad.
7. Tunni teema:
Sündmuse toimumise tõenäosuse arvutamine k korda n-st katsest p-const.
Kui tehakse katseid, mille puhul sündmuse A toimumise tõenäosus igas katses ei sõltu teiste katsete tulemustest, siis nimetatakse selliseid katseid sündmuse A suhtes sõltumatuteks. Katsed, millest igaühes määratakse sündmuse A toimumise tõenäosus. sündmus on sama.
Bernoulli valem. Tõenäosus, et n sõltumatus katses, millest igaühes on sündmuse toimumise tõenäosus võrdne p (0 või 2. liide Bernoulli valem, kus k,n-väikesed arvud, kus q = 1-p Lahendus: Mängivad võrdsed maletajad, seega on võidu tõenäosus p=1/2; seega on ka q kaotamise tõenäosus 1/2. Kuna võidutõenäosus on kõigis mängudes konstantne ja pole vahet, millises järjekorras mängud võidetakse, on rakendatav Bernoulli valem. 5 minutit Leidke tõenäosus, et võidetakse kaks mängu neljast: Leidke tõenäosus, et kuuest mängust võidetakse kolm: Kuna P4 (2) > P6 (3), on tõenäolisem võita kaks mängu neljast kui kolm mängu kuuest. Leidke tõenäosus, et sündmus A toimub täpselt 70 korda 243 katses, kui selle sündmuse toimumise tõenäosus igas katses on 0,25. k=70, n=243 See tähendab, et k ja n on suured arvud. See tähendab, et Bernoulli valemi järgi on raske arvutada. Sellistel juhtudel kasutatakse kohalikku Laplace'i valemit: 3. liide x positiivsete väärtuste jaoks on toodud 4. liites; x negatiivsete väärtuste jaoks kasutage sama tabelit ja = . 1. Kaks võrdset mängijat mängivad mängu, milles viigid on välistatud. Kui suur on tõenäosus, et esimene mängija võidab: a) üks mäng kahest? b) kaks neljast? c) kolm kuuest? Vastus: aga) ; b) ; sisse) 3. Lõika AB eraldatud punktiga FROM vahekorras 2:1. Sellel lõigul visatakse juhuslikult neli punkti. Leidke tõenäosus, et kaks neist asuvad punktist C vasakul ja kaks on paremal. Vastus: 4. Leidke tõenäosus, et sündmus A toimub täpselt 70 korda 243 katses, kui selle sündmuse toimumise tõenäosus igas katses on 0,25. Vastus: . 5. Poisi saamise tõenäosus on 0,515. Leidke tõenäosus, et 100 vastsündinu vahel jagunevad poisid ja tüdrukud võrdselt. Vastus: 0,0782 6. Pood sai 500 pudelit klaasanumas. Tõenäosus, et mõni pudel transpordi käigus katki läheb, on 0,003. Leia tõenäosus, et poodi saab katkiseid pudeleid: a) täpselt kaks; b) vähem kui kaks; c) vähemalt kaks; d) vähemalt üks. Vastus: a) 0,22; b) 0,20; c) 0,80; d) 0,95 7. Autotehas toodab 80% autodest ilma oluliste defektideta. Kui suur on tõenäosus, et tehasest autobörsile tulnud 600 auto hulgas on vähemalt 500 oluliste defektideta autot? Vastus: 0,02. 8. Mitu korda tuleb münti visata, et tõenäosusega 0,95 võid eeldada, et vapi suhteline sagedus kaldub tõenäosusest kõrvale R\u003d 0,5 vapi välimust ühe mündiviskega mitte rohkem kui 0,02 võrra? Vastus: n ≥ 2401. 9. Sündmuse toimumise tõenäosus 100 sõltumatu sündmuse puhul on konstantne ja võrdne lk=0,8. Leia tõenäosus, et sündmus leiab aset: a) vähemalt 75 ja maksimaalselt 90 korda; b) vähemalt 75 korda; c) mitte rohkem kui 74 korda. Vastus: a B C) . 10. Sündmuse toimumise tõenäosus igas sõltumatus katses on 0,2. Leia, millist sündmuse suhtelise esinemissageduse kõrvalekallet selle tõenäosusest võib oodata 5000 katse puhul tõenäosusega 0,9128. Vastus: 11. Mitu korda tuleb münti visata, et tõenäosusega 0,6 võiks eeldada vapi ilmumise suhtelise sageduse kõrvalekaldumist tõenäosusest. lk=0,5 ei ole absoluutväärtuses suurem kui 0,01. Vastus: n = 1764. 12. Iga 10 000 sõltumatu katse puhul on sündmuse toimumise tõenäosus 0,75. Leidke tõenäosus, et sündmuse suhteline esinemissagedus erineb selle tõenäosusest absoluutväärtuses mitte rohkem kui 0,01 võrra. Vastus: . 13. Sündmuse toimumise tõenäosus igas sõltumatus katses on 0,5. Leidke katsete arv n, mille puhul võib tõenäosusega 0,7698 eeldada, et sündmuse toimumise suhteline sagedus erineb selle tõenäosusest absoluutväärtuses mitte rohkem kui 0,02 võrra. Definitsioon. Loogika algebra kaks valemit A ja B helistas samaväärne kui nad võtavad valemites sisalduvate elementaarlausete mis tahes väärtuste kogumi jaoks samad loogilised väärtused. Valemite samaväärsust tähistatakse märgi ja tähistusega A IN tähendab, et valemid A ja B on samaväärsed. Näiteks järgmised valemid on samaväärsed: Vormel A nimetatakse identselt tõene (või tautoloogia), kui see võtab kõigi selles sisalduvate muutujate väärtuste jaoks väärtuse 1. Näiteks valemid on samuti tõesed ,
. Valem AGA helistas identselt vale, kui see võtab kõigi selles sisalduvate muutujate väärtuste jaoks väärtuse 0. Näiteks valem on identselt vale. On selge, et ekvivalentsuhe on refleksiivne, sümmeetriline ja transitiivne. Samaväärsuse ja samaväärsuse mõistete vahel on järgmine seos: kui valemid AGA Ja IN on samaväärsed, siis valem AGA IN- tautoloogia ja vastupidi, kui valem AGA IN- tautoloogia, seejärel valemid AGA Ja IN on samaväärsed. Loogika algebra olulisemad ekvivalentsused võib jagada kolme rühma. 1. Põhivõrdsused: Tõestame üht neeldumisseadust. Mõelge valemile .
Kui see valem aga= 1, siis ilmselt ja samas kahe tõese propositsiooni konjunktsioon. Laske nüüd valemis A x = 0. Kuid siis on konjunktsioonitehte definitsiooni järgi sidesõna väär ja sidesõna .
Seega kõigil juhtudel valemi väärtused AGA sobitada väärtustega aga, ning seetõttu AGA x. 2. Ekvivalentsid, mis väljendavad mõnda loogikatehet teistega: On selge, et ekvivalendid 5 ja 6 saadakse vastavalt ekvivalentidest 3 ja 4, kui võtta eitused viimase mõlemast osast ja kasutada topelteituste eemaldamise seadust. Seega vajavad esimesed neli ekvivalenti tõestust. Tõestame neist kahte: esimest ja kolmandat. Kuna samade loogiliste väärtuste eest X Ja juures on tõesed valemid , , , siis on tõene ka side Lase nüüd X Ja juures neil on erinevad loogilised väärtused. Siis on samaväärsus ja üks kahest implikatsioonist või väärad. Samal ajal on vale ja side Vaatleme samaväärsust 3. Kui X Ja juures võta samal ajal tõelisi väärtusi, siis on side tõene x&y ja sidesõna vale eitus. Samal ajal on mõlemad ja ja valed ning seetõttu on ka disjunktsioon väär .
Olgu nüüd vähemalt üks muutujatest X või juures võtab väärtuse false. Siis tekib vale side x&y ja selle tõeline eitamine. Samal ajal on vähemalt ühe muutuja eitus tõene ja seetõttu on tõene ka disjunktsioon .
Seetõttu on kõigil juhtudel samaväärsuse 3 mõlemad osad samad loogilised väärtused. Ekvivalentsid 2 ja 4 on tõestatud sarnaselt. Selle rühma ekvivalentsustest järeldub, et loogikaalgebra mis tahes valemit saab asendada sellega samaväärse valemiga, mis sisaldab ainult kahte loogikatehet: konjunktsiooni ja eitust või disjunktsiooni ja eitust. Loogikatehete edasine välistamine ei ole võimalik. Seega, kui kasutada ainult sidesõna, siis juba selline valem nagu eitus X ei saa väljendada sideoperaatoriga. Siiski on tehteid, millega saab väljendada ükskõik millist viiest kasutatavast loogilisest operatsioonist. Selline operatsioon on näiteks operatsioon "Schaefferi insult". Seda operatsiooni sümboliseeritakse x|y ja see määratakse järgmise tõesuse tabeliga: Ilmselgelt on samaväärsused: 2) x&y (x|y)|(x|y). Nendest kahest ekvivalentsusest järeldub, et loogika algebra mis tahes valemit saab asendada samaväärse valemiga, mis sisaldab ainult tehtet "Schaefferi löök". Pange tähele, et. Samamoodi saab operatsiooni sisse viia 3. Ekvivalentsid, mis väljendavad loogika algebra põhiseadusi: 1. x&y y&x - sidesõna kommutatiivsus. 2. x juures y X- disjunktsiooni kommutatiivsus. 3. x& (y&z) (x & y) & z- Sidesõna assotsiatiivsus. 4. X(yz )
(X y) z on disjunktsiooni assotsiatiivsus. 5. x& (y z) (x&y) (x&z)- konjunktsiooni distributiivsus disjunktsiooni suhtes. 6. X (y&z) (X y)& (x z )
- disjunktsiooni distributiivsus konjunktsiooni suhtes. Tõestame loetletud seadustest viimast. Kui X= 1, siis on valemid tõesed X (y& z), X y, x z .
Kuid siis on ka side õigeks (X y)& (x z ).
Seega, kl X= 1 samaväärse 6 mõlemad osad omavad samu loogilisi väärtusi (tõene). Lase nüüd x = 0. Siis X (y&z) y&z, x juures juures Ja x z z ,
ja seetõttu ka side X (y&z) y&z. Seega on siin ekvivalentsuse 6 mõlemad osad samaväärsed sama valemiga y&z, ja seetõttu võtavad samad tõeväärtused. § 5. Valemite ekvivalentteisendused Kasutades rühmade I, II ja III ekvivalente, on võimalik valemi või valemi osa asendada samaväärse valemiga. Selliseid valemite teisendusi nimetatakse samaväärne. Ekvivalentseid teisendusi kasutatakse samaväärsuse tõestamiseks, valemite viimiseks etteantud kujule, valemite lihtsustamiseks. Valem AGA peetakse samaväärsest valemist lihtsamaks IN, kui see sisaldab vähem tähti, siis vähem loogilisi tehteid. Sel juhul asendatakse tehte ekvivalentsus ja implikatsioon tavaliselt disjunktsiooni ja konjunktsiooni tehtega ning eitust nimetatakse elementaarlauseteks. Vaatleme mõnda näidet. 1. Tõesta samaväärsust Kasutades I, II ja III rühma ekvivalente 2.
Valemi lihtsustamine Kirjutame samaväärsete valemite ahela: 3. Tõesta valemi identset tõesust Kirjutame samaväärsete valemite ahela: Boole algebra III rühma ekvivalentsused ütlevad, et loogikaalgebral on konjunktsiooni ja disjunktsiooni tehte suhtes kommutatiivsed ja assotsiatiivsed seadused ning disjunktsiooni suhtes konjunktsiooni jaotusseadus; samad seadused toimuvad ka arvude algebras. Seetõttu saate loogika algebra valemite kaudu teha samu teisendusi, mida tehakse arvude algebras (sulgude avamine, sulgude sulgemine, ühisteguri sulgud). Kuid loogika algebras on võimalikud ka muud ekvivalentide kasutamisel põhinevad teisendused: See funktsioon võimaldab meil jõuda kaugeleulatuvate üldistusteni. Kaaluge mittetühja komplekti M mis tahes laadi elemendid ( x,y,z,...} ,
mis defineerib seose "=" (võrdne) ja kolme operatsiooniga: "+" (liitmine), "" (korrutamine) ja "-" (eitamine), lähtudes järgmistest aksioomidest: Kommutatiivsed seadused: 1a. x + y = y + x, 1b. X y = y X. Ühingu seadused: 2a. x + (y + z)= (x + y) + z, 2b. X (at z) = (x y) z. Levitamise seadused: 3a. (x + y) z = (x z ) + (y G) 3b. (x y) + z = (x+z) (y + z). Idempotentsuse seadused: 4a. x + x = x, 4b. X x = x. Topelteituse seadus: De Morgani seadused: 6a. ,
6b .
. Absorptsiooniseadused: 7a. x + (y X)= X, 7b. X (y + x) = x. Selline paljusus M helistas Boole'i algebra. Kui põhielementide all x, y, z, ... tähendada väiteid vastavalt tehte "+", "", "-" all disjunktsioon, konjunktsioon, eitus ja pidada võrdusmärki samaväärsuse märgiks, siis nagu tuleneb rühmade I, II ja III ekvivalentsusest. , on kõik Boole'i algebra aksioomid täidetud. Nendel juhtudel, kui teatud aksioomide süsteemi jaoks on võimalik valida konkreetsed objektid ja konkreetsed seosed nende vahel nii, et kõik aksioomid on täidetud, ütleme, et tõlgendus(või mudel) see aksioomide süsteem. Seega on loogika algebra Boole'i algebra tõlgendus. Boole'i algebral on ka teisi tõlgendusi. Näiteks kui põhielementide all x, y, z, ... komplektid M keskmised hulgad, vastavalt tehte "+", "", "-" liit, ristmik, täiend ja võrdusmärgi all - hulkade võrdusmärk, siis jõuame hulkade algebrani. Lihtne on kontrollida, kas hulkade algebras on täidetud kõik Boole'i algebra aksioomid. Boole'i algebra erinevate tõlgenduste hulgas on tehnilist laadi tõlgendusi. Ühte neist arutatakse allpool. Nagu näidatakse, mängib see kaasaegses automatiseerimises olulist rolli. Loogika algebra funktsioonid Nagu juba märgitud, sõltub loogika algebra valemi tähendus täielikult selles valemis sisalduvate väidete tähendustest. Seetõttu on loogika algebra valem selles sisalduvate elementaarlausete funktsioon. Näiteks valem on funktsioon kolm muutujat f(x,y,z). Selle funktsiooni eripäraks on asjaolu, et selle argumendid võtavad ühe kahest väärtusest: null või üks, samas kui funktsioon võtab ka ühe kahest väärtusest: null või üks. Definitsioon. Algebra loogiline funktsioon ha muutujad (või Boole'i funktsioon) Kutsutakse n muutuja funktsiooni, kus iga muutuja saab kaks väärtust: 0 ja 1 ning samal ajal võib funktsioon võtta ainult ühe kahest väärtusest: 0 või 1. On selge, et loogika algebra identselt tõesed ja identselt valed valemid on konstantsed funktsioonid ja kaks ekvivalentset valemit väljendavad sama funktsiooni. Uurime välja, kui palju on n muutuja funktsioonide arv. Ilmselgelt saab iga loogikalgebra funktsiooni (nagu ka loogika algebra valemit) defineerida tõetabeli abil, mis sisaldab 2 n rida. Seetõttu võtab iga n muutuja funktsioon 2n väärtust, mis koosnevad nullidest ja ühtedest. Seega on n muutuja funktsioon täielikult määratud nullide ja ühtede väärtuste hulgaga pikkusega 2 n. (Nulli ja ühtede kogumite koguarv pikkusega 2 n on võrdne . Seega on erinevate väärtuste hulk loogika algebra funktsioonid P muutujad on võrdne . Eelkõige on ühe muutuja neli erinevat funktsiooni ja kahe muutuja kuusteist erinevat funktsiooni. Paneme kirja kõik loogikaalgebra funktsioonid Ja kaks muutujat. Vaatleme tõesuse tabelit ühe muutuja erinevate funktsioonide jaoks. Ilmselgelt näeb see välja selline: Sellest tabelist järeldub, et ühe muutuja kaks funktsiooni on konstantsed: f 1 (x)= 1, f 4 (x) = 0 ja f 2 (x) X, Ja f 3 (x) .
Kahe muutuja kõigi võimalike funktsioonide tõesuse tabel on järgmine: f i = f i (x, y) On selge, et nende funktsioonide analüütilisi avaldisi saab kirjutada järgmiselt. Jaotis 2. Valemite loogiline ekvivalentsus. Propositsioonialgebra valemite normaalvormid Ekvivalentsuseos Tõelisuse tabelite abil saab määrata, milliste sisendmuutujate tõeväärtuste komplektide all saab valem tõese või vale väärtuse (nagu ka väide, millel on vastav loogiline struktuur), millised valemid on tautoloogiad. või vastuolusid ja ka kindlaks teha, kas kaks antud valemit samaväärne. Loogikas öeldakse, et kaks lauset on samaväärsed, kui mõlemad on tõesed või mõlemad valed. Sõna "samaaegselt" on selles fraasis mitmetähenduslik. Seega on lausete "Homme on teisipäev" ja "Eile oli pühapäev" puhul see sõna otseses tähenduses: esmaspäeval on mõlemad tõesed ja ülejäänud nädalal mõlemad valed. võrrandite jaoks " x = 2"Ja" 2x = 4» "samaaegselt" tähendab "muutuja samade väärtustega". Ennustused “Homme sajab” ja “Ei ole tõsi, et homme ei saja” saavad samaaegselt kinnitust (osuvad tõeks) või ei kinnita (osuvad valeks). Sisuliselt on tegemist sama prognoosiga, väljendatuna kahel erineval kujul, mida saab esitada valemitega X Ja . Need valemid võtavad samaaegselt väärtuse "true" või väärtuse "false". Kontrollimiseks piisab tõetabeli koostamisest: Näeme, et tõeväärtused esimeses ja viimases veerus on samad. Selliseid valemeid ja ka neile vastavaid lauseid peetakse loomulikult samaväärseteks. Valemeid F 1 ja F 2 nimetatakse ekvivalentseteks, kui nende ekvivalent on tautoloogia. Kahe valemi samaväärsus on kirjutatud järgmiselt: (loe: valem F1 on samaväärne valemiga F2). Valemite ekvivalentsuse kontrollimiseks on kolm võimalust: 1) teha nende ekvivalent ja kontrollida tõesuse tabelit, kas tegemist on tautoloogiaga; 2) koosta iga valemi kohta tõesuse tabel ja võrdle lõpptulemusi; kui samade muutujaväärtuste kogumite veergudes
mõlema valemi tõeväärtused on võrdsed, siis on valemid samaväärsed; 3) samaväärsete teisenduste abil. Näide 2.1: Uuri välja, kas valemid on samaväärsed: 1) , ; 2) , . 1) Kasutame samaväärsuse määramiseks esimest meetodit, st selgitame välja, kas valemite samaväärsus on tautoloogia. Teeme valemite samaväärsuse: . Saadud valem sisaldab kahte erinevat muutujat ( AGA Ja IN) ja 6 operatsiooni: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; viis); 6). See tähendab, et vastavas tõesuse tabelis on 5 rida ja 8 veergu: Tõdetabeli viimasest veerust on näha, et koostatud ekvivalentsus on tautoloogia ja seetõttu . 2) Et teada saada, kas valemid ja on samaväärsed, kasutame teist meetodit, st koostame iga valemi kohta tõesuse tabeli ja võrdleme viimaseid veerge. ( kommenteerida. Teise meetodi tõhusaks kasutamiseks on vajalik, et kõik koostatud tõetabelid algaksid ühtemoodi, st muutujate väärtuste komplektid olid vastavates ridades samad
.) Valemis on kaks erinevat muutujat ja 2 tehet, mis tähendab, et vastavas tõesuse tabelis on 5 rida ja 4 veergu: Valemis on kaks erinevat muutujat ja 3 tehtet, mis tähendab, et vastavas tõesuse tabelis on 5 rida ja 5 veergu: Võrreldes koostatud tõepäratabelite viimaseid veerge (kuna tabelid algavad samamoodi, võime muutujate väärtuste komplekte ignoreerida), näeme, et need ei ühti ja seetõttu pole valemid samaväärsed (). Avaldis ei ole valem (kuna sümbol " " ei viita ühelegi loogilisele toimingule). See väljendab suhtumine valemite vahel (nagu ka arvude võrdsust, sirgete paralleelsust jne). Ekvivalentsuseose omaduste teoreem kehtib: Teoreem 2.1. Propositsioonialgebra valemite ekvivalentsus: 1) refleksiivselt: ; 2) sümmeetriliselt: kui , siis ; 3) transitiivselt: kui ja , siis . Loogika seadused Propositsiooniloogika valemite ekvivalente nimetatakse sageli loogika seadused. Loetleme neist olulisemad: 1. - identiteediseadus. 2. - välistatud keskkoha seadus 3. - vastuolu seadus 4. - disjunktsioon nulliga 5. - side nulliga 6. - disjunktsioon ühikuga 7. - ühendus ühikuga 8. - topelteituse seadus 9. - sidesõna kommutatiivsus 10. – disjunktsiooni kommutatiivsus 11. - sidesõna assotsiatiivsus 12. - disjunktsiooni assotsiatiivsus 13. – sidesõna distributiivsus 14. – distributiivne disjunktsioon 15. - idempotentsuse seadused 16. 17. 18. 19. 20. - seadused, mis väljendavad samaväärsust muude loogikatehete kaudu Loogikaseadusi kasutatakse keeruliste valemite lihtsustamiseks ja valemite ühesuguse tõesuse või vääruse tõestamiseks. Samaväärsed teisendused. Valemite lihtsustamine Kui ekvivalentsetes valemites asendame igal pool mõne muutuja asemel sama valemi, siis vastsaadud valemid osutuvad samuti asendusreegli järgi ekvivalentseteks. Sel viisil saab igast ekvivalentsusest saada suvalise arvu uusi ekvivalente. Näide 1: Kui De Morgani seaduses selle asemel X asendaja , asemel Y asendaja , siis saame uue ekvivalenti . Saadud samaväärsuse kehtivust on lihtne kontrollida tõesuse tabeli abil. Kui mõni valem, mis on valemi osa F, asendatakse valemiga samaväärse valemiga, siis on saadud valem samaväärne valemiga F. Seejärel saame näite 2 valemi jaoks teha järgmised asendused: - topelteituse seadus; - De Morgani seadus; - topelteituse seadus; – assotsiatiivsuse seadus; Ekvivalentsuseose transitiivsuse omaduse järgi võime seda väita Nimetatakse ühe valemi asendamist teisega, samaväärsega samaväärne teisendus
valemid. Under lihtsustamine
valemid, mis ei sisalda implikatsiooni- ja ekvivalentsusmärke, mõistavad samaväärset teisendust, mis viib valemini, mis ei sisalda mitteelementaarvalemite eitusi (eriti topelteitusi) või sisaldab kokku vähem side- ja disjunktsioonimärke kui originaal. üks. Näide 2.2: Lihtsustame valemit Esimeses etapis rakendasime seadust, mis muudab implikatsiooni disjunktsiooniks. Teises etapis rakendati kommutatiivset seadust. Kolmandas etapis rakendati idempotentsuse seadust. Neljandal - De Morgani seadus. Ja viiendal - kahekordse eituse seadus. Märkus 1. Kui teatud valem on tautoloogia, siis on iga sellega samaväärne valem ka tautoloogia. Seega saab teatud valemite identse tõesuse tõestamiseks kasutada ka ekvivalentseid teisendusi. Selleks tuleb see valem taandada samaväärsete teisendustega ühele valemitest, mis on tautoloogiad. Märkus 2. Mõned tautoloogiad ja ekvivalentsused on kombineeritud paarideks (vastuoluseadus ja alternatiivsete, kommutatiivsete, assotsiatiivsete seaduste jne seadus). Nendes kirjavahetustes on nn duaalsuse põhimõte
. Nimetatakse kahte valemit, mis ei sisalda implikatsiooni ja ekvivalentsuse märke kahekordne
, kui igaüks neist saab teiselt, asendades märgid vastavalt . Duaalsuse põhimõte ütleb järgmist: Teoreem 2.2: Kui kaks valemit, mis ei sisalda implikatsiooni- ja ekvivalentsusmärke, on samaväärsed, siis on samaväärsed ka nende duaalvalemid. normaalsed vormid normaalne vorm on süntaktiliselt ühemõtteline viis antud funktsiooni rakendava valemi kirjutamiseks. Kasutades tuntud loogikaseadusi, saab mis tahes valemi teisendada vormi samaväärseks valemiks Näide 2.3: Suurtes valemites või mitme teisendusega on kombeks sidemärk ära jätta (analoogiliselt korrutusmärgiga): . Näeme, et pärast teostatud teisendusi on valem kolme konjunktsiooni disjunktsioon. Seda vormi nimetatakse disjunktiivne normaalvorm
(DNF). DNF-i üksikut elementi nimetatakse elementaarne side
või koostisüksus. Samamoodi saab iga valemi taandada samaväärseks valemiks, mis on elementide konjunktsioon, millest igaüks on loogiliste muutujate disjunktsioon koos eitusmärgiga või ilma. See tähendab, et iga valemi saab taandada vormi samaväärseks valemiks Näide 2.4: CNF-i üksikut elementi nimetatakse elementaarne disjunktsioon
või nulli koostisosa. Ilmselgelt on igal valemil lõpmatult palju DNF-e ja CNF-e. Näide 2.5: Leiame valemi jaoks mitu DNF-i Täiuslikud normaalvormid SDNF (perfect DNF) on selline DNF, milles iga elementaarside sisaldab kõiki elementaarlauseid või nende eitusi ühe korra, elementaarsidendeid ei korrata. SKNF (perfect CNF) on selline CNF, milles iga elementaardisjunktsioon sisaldab kõik elementaarlaused või nende eitused ühe korra, elementaardisjunktsioonid ei kordu. Näide 2.6: 1) – SDNF 2) 1 – SKNF Sõnastame SDNF-i (SKNF) iseloomulikud tunnused. 1) Kõik disjunktsiooni (konjunktsiooni) liikmed on erinevad; 2) Iga sidesõna (disjunktsiooni) kõik liikmed on erinevad; 3) Ükski konjunktsioon (disjunktsioon) ei sisalda nii muutujat kui ka selle eitust; 4) Iga konjunktsioon (disjunktsioon) sisaldab kõiki algses valemis sisalduvaid muutujaid. Nagu näeme, vastavad omadused (aga mitte vormid!) duaalsuse definitsioonile, seega piisab ühest vormist arusaamiseks, et õppida mõlemat saama. SDNF-i (SKNF) on lihtne saada DNF-ist (CNF) samaväärsete teisenduste abil. Kuna ka täiuslike normaalvormide saamise reeglid on duaalsed, siis analüüsime üksikasjalikult SMNF-i saamise reeglit ja sõnastame SKNF-i iseseisva saamise reegli, kasutades duaalsuse definitsiooni. Üldreegel valemi redutseerimiseks SDNF-iks samaväärsete teisenduste abil on järgmine:
Selleks, et anda valem F, mis ei ole SDNF-ile identselt vale, piisab: 1) tuua see mõnda DNF-i; 2) eemaldada muutujat sisaldavad disjunktsiooni liikmed koos selle eitusega (olemasolul); 3) samade disjunktsiooni liikmete hulgast (olemasolul) eemaldada kõik peale ühe; 4) eemaldama iga sidesõna kõik identsed liikmed peale ühe (kui neid on); 5) kui mõni sidesõna ei sisalda muutujat algses valemis sisalduvate muutujate hulgast, lisada sellele sidesõnale termin ja rakendada vastavat distributsiooniseadust; 6) kui saadud disjunktsioon sisaldab samu termineid, kasutage ettekirjutust 3. Saadud valem on selle valemi SDNF. Näide 2.7: Leiame valemi jaoks SDNF ja SKNF Kuna selle valemi DNF on juba leitud (vt näide 2.5), alustame SDNF-i hankimisega: 2) saadud disjunktsioonis ei ole muutujaid koos nende eitustega; 3) disjunktsioonis ei ole identseid liikmeid; 4) üheski konjunktsioonis ei ole identseid muutujaid; 5) esimene elementaarkonjunktsioon sisaldab kõiki algses valemis sisalduvaid muutujaid ja teisel elementaarkonjunktsioonil puudub muutuja z, seega lisame sellele termini ja rakendame distributsiooniseadust: ; 6) on hästi näha, et disjunktsioonis esinesid samad mõisted, seega eemaldame ühe (retsept 3); 3) eemaldage üks identsetest disjunktsioonidest: 4) ülejäänud disjunktsioonides puuduvad identsed terminid; 5) ükski elementaardisjunktsioon ei sisalda kõiki algses valemis sisalduvaid muutujaid, seega täiendame neid kõiki sidesõnaga : ; 6) tekkivas konjunktsioonis pole identseid disjunkte, seega on leitud konjunktiivivorm täiuslik. Kuna SKNF-i ja SDNF-i agregaadis on valemid F 8 liiget, siis suure tõenäosusega leitakse nad õigesti. Igal rahuldaval (ümberlükataval) valemil on üks SDNF ja üks SKNF. Tautoloogial pole SKNF-i ja vastuolul pole SDNF-i.8. Ülesanne.
9. Koostage ülesande lahendamise algoritm: 5 min.
10. Ülesande lahendamine analüüsiga tahvli juures. Lisa 5. 10 min.
11. Tunniinfo kokkuvõtte tegemine ettekannete kaudu
.
Seetõttu on antud juhul mõlemal ekvivalentsuse osal samad tõeväärtused.. Seega on antud juhul mõlemal ekvivalentsuse osal samad loogilised väärtused.x y x|y
.
.
.
x f 1 (x)
f 2 (x)
f 3 (x)
f 3 (x)
1
x
y
f1
f2
f 3
f4
f5
f6
f7
f 8
f9
f 10
f 11
f 12
f 13
f 14
f 15
f 16
X
1
0
1
0
1
0
AGA
IN
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
AGA
IN
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
AGA
IN
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
; 
- neeldumisseadused
; 
- De Morgani seadused
on seadus, mis väljendab implikatsiooni disjunktsiooni kaudu
- kontrapositsiooni seadus
on idempotentsuse seadus.
.
.
, kus ja igaüks on kas muutuja või muutuja eitus või muutujate või nende eituste konjunktsioon. Teisisõnu, mis tahes valemi saab taandada lihtsa standardvormi samaväärseks valemiks, mis on elementide disjunktsioon, millest igaüks on erinevate loogiliste muutujate konjunktsioon, kas eitusmärgiga või ilma.
, kus ja igaüks on kas muutuja või muutuja eitus või muutujate või nende eituste disjunktsioon. Seda vormi nimetatakse konjunktiivne normaalvorm
(KNF).
.
.
;
