Kuidas leida lõigu pikkust, kui koordinaadid on teada. Lõigu keskkoha koordinaatide leidmine, näited, lahendused. Koordinaatide meetod ruumis

Selles artiklis räägime segmendi keskkoha koordinaatide leidmisest selle otste koordinaatide järgi. Esmalt anname vajalikud mõisted, seejärel saame valemid lõigu keskkoha koordinaatide leidmiseks ning kokkuvõttes käsitleme lahendusi tüüpilistele näidetele ja probleemidele.

Leheküljel navigeerimine.

Segmendi keskkoha mõiste.

Lõigu keskpunkti mõiste tutvustamiseks vajame lõigu ja selle pikkuse määratlusi.

Lõigu mõiste antakse gümnaasiumi viienda klassi matemaatikatundides järgmiselt: kui võtta kaks suvalist mittekattuvat punkti A ja B, kinnitada neile joonlaud ja tõmmata joon punktist A punkti B (või punktist B). kuni A), siis saame segment AB(või segment B A). Punkte A ja B kutsutakse segmendi otsad. Peaksime meeles pidama, et segment AB ja segment BA on sama segment.

Kui lõiku AB on otstest mõlemas suunas lõpmatult pikendatud, siis saame sirgjoon AB(või otsene VA). Lõik AB on punktide A ja B vahele jääv sirge AB osa. Seega on lõik AB punktide A, B ja punktide A ja B vahel paikneva sirge AB kõigi punktide kogum. Kui võtame punktide A ja B vahel asuva sirge AB suvalise punkti M, siis öeldakse, et punkt M valetab segmendil AB.

Segmendi pikkus AB on punktide A ja B vaheline kaugus antud skaalal (pikkusühiku segment). Lõigu AB pikkus tähistatakse kui .

Definitsioon.

Punkt C nimetatakse segmendi keskpaik AB, kui see asub lõigul AB ja on selle otstest samal kaugusel.

See tähendab, et kui punkt C on lõigu AB keskpunkt, siis asub see sellel ja.

Edasi on meie ülesandeks leida lõigu AB keskkoha koordinaadid, kui punktide A ja B koordinaadid on antud koordinaatjoonel või ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis.

Lõigu keskpunkti koordinaat koordinaatjoonel.

Olgu meile antud koordinaatjoon Ox ja sellel kaks mittekattuvat punkti A ja B, mis vastavad reaalarvudele ja . Olgu punkt C lõigu AB keskpunkt. Leiame punkti C koordinaadi.

Kuna punkt C on lõigu AB keskpunkt, siis on võrdsus tõene. Jaotises, mis käsitleb kaugust punktist koordinaatjoone punktini, näitasime, et punktide vaheline kaugus on võrdne nende koordinaatide erinevuse mooduliga, seega . Siis või . Võrdsusest leidke koordinaatjoonelt lõigu AB keskpunkti koordinaat: - see on võrdne poolega lõigu otste koordinaatide summast. Teisest võrdsusest saame , mis on võimatu, kuna võtsime punktid A ja B, mis ei lange kokku.

Niisiis, otstega lõigu AB keskpunkti koordinaadi leidmise valem ja sellel on kuju .

Lõigu keskpunkti koordinaadid.

Tutvustame tasapinnal ristkülikukujulist Descartes'i koordinaatide süsteemi Оxyz. Olgu meile antud kaks punkti ja ja me teame, et punkt C on lõigu AB keskpunkt. Leiame koordinaadid ja punktid C.

Ehituselt sirge paralleelsed kui ka paralleelsed jooned , seega poolt Thalese teoreem segmentide AC ja CB võrdsusest järgib segmentide võrdsust ja , samuti segmentide ja . Seetõttu on punkt lõigu keskpunkt ja lõigu keskpunkt. Seejärel selle artikli eelmise lõigu alusel Ja .

Nende valemite abil saab arvutada ka lõigu AB keskkoha koordinaadid juhul, kui punktid A ja B asuvad ühel koordinaatteljel või sirgel, mis on risti ühe koordinaatteljega. Jätkem need juhtumid kommentaarideta ja toome graafilised illustratsioonid.

Sellel viisil, lõigu AB keskpunkt tasapinnal, mille otsad on punktides ja millel on koordinaadid .

Lõigu keskkoha koordinaadid ruumis.

Olgu kolmemõõtmelises ruumis ja kahes punktis kasutusele võetud ristkülikukujuline koordinaatsüsteem Oxyz Ja . Saame valemid punkti C koordinaatide leidmiseks, mis on lõigu AB keskpunkt.

Vaatleme üldist juhtumit.

Olgu ja on punktide A, B ja C projektsioonid vastavalt koordinaattelgedele Ox, Oy ja Oz.

Thalese teoreemi järgi on punktid seega lõikude keskpunktid vastavalt. Seejärel (vt selle artikli esimest lõiku). Nii et saime valemid lõigu keskkoha koordinaatide arvutamiseks selle ruumiotste koordinaatidest.

Neid valemeid saab kasutada ka juhtudel, kui punktid A ja B asuvad ühel koordinaatteljel või sirgel, mis on risti ühe koordinaatteljega, ja ka siis, kui punktid A ja B asuvad ühel koordinaattasandil või ühe koordinaatteljega paralleelne tasapind.tasandid.

Lõigu keskkoha koordinaadid selle otste raadiusvektorite koordinaatide kaudu.

Lõigu keskkoha koordinaatide leidmise valemeid on lihtne saada vektorite algebrale viidates.

Olgu tasapinnal ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem Oxy ja punkt C on lõigu AB keskpunkt koos ja .

Vastavalt vektorite tehte geomeetrilisele definitsioonile on võrdsus (punkt C on vektoritele ehitatud rööpküliku diagonaalide lõikepunkt ja punkt C on rööpküliku diagonaali keskpunkt). Artiklis vektori koordinaadid ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis saime teada, et punkti raadiusvektori koordinaadid on võrdsed selle punkti koordinaatidega, seega . Seejärel, pärast vastavate toimingute sooritamist vektoritega koordinaatides , on meil . Kuidas järeldada, et punktil C on koordinaadid .

Täiesti samamoodi saab lõigu AB keskkoha koordinaadid leida selle ruumiotste koordinaatide kaudu. Sel juhul, kui C on segmendi AB keskpunkt ja , siis on meil .

Lõigu keskkoha koordinaatide leidmine, näited, lahendused.

Paljude ülesannete puhul tuleb lõigu keskpunkti koordinaatide leidmiseks kasutada valemeid. Vaatleme kõige iseloomulikumate näidete lahendusi.

Alustame näitega, mis vajab ainult valemi rakendamist.

Näide.

Tasapinnal on antud kahe punkti koordinaadid . Leia lõigu AB keskpunkti koordinaadid.

Lahendus.

Olgu punkt C lõigu AB keskpunkt. Selle koordinaadid on võrdsed punktide A ja B vastavate koordinaatide poolsummadega:

Seega on lõigu AB keskpunktil koordinaadid.

Kui puudutate märkmikulehte hästi teritatud pliiatsiga, jääb sinna jälg, mis annab aimu asjast. (joonis 3).

Märgistame paberilehele kaks punkti A ja B. Neid punkte saab ühendada erinevate joontega (joonis 4). Ja kuidas ühendada punkte A ja B lühima joonega? Seda saab teha joonlaua abil (joonis 5). Saadud rida nimetatakse segment.

Punkt ja joon – näited geomeetrilised kujundid.

Punkte A ja B kutsutakse segmendi otsad.

On üks segment, mille otsteks on punktid A ja B. Seetõttu tähistatakse lõiku, kirjutades üles punktid, mis on selle otsad. Näiteks segment joonisel 5 on tähistatud kahel viisil: AB või BA. Loe: "segment AB" või "segment BA".

Joonisel 6 on näidatud kolm segmenti. Lõigu AB pikkus on 1 cm, see asetatakse lõigusse MN täpselt kolm korda ja lõiku EF täpselt 4 korda. Me ütleme seda segmendi pikkus MN on 3 cm ja segmendi EF pikkus on 4 cm.

Samuti on tavaks öelda: "segment MN on 3 cm", "segment EF on 4 cm". Nad kirjutavad: MN = 3 cm, EF = 4 cm.

Mõõtsime segmentide MN ja EF pikkused üks segment, mille pikkus on 1 cm Segmentide mõõtmiseks saate valida muu pikkuse ühikud, näiteks: 1 mm, 1 dm, 1 km. Joonisel 7 on segmendi pikkus 17 mm. Seda mõõdetakse ühe segmendiga, mille pikkus on 1 mm, kasutades jaotustega joonlauda. Samuti saab joonlaua abil ehitada (joonistada) etteantud pikkusega segmendi (vt joonis 7).

Üleüldse, segmendi mõõtmine tähendab loendamist, mitu ühikusegmenti sinna mahub.

Lõigu pikkusel on järgmine omadus.

Kui lõigule AB on märgitud punkt C, on lõigu AB pikkus võrdne lõikude AC ja CB pikkuste summaga(joonis 8).

Nad kirjutavad: AB = AC + CB.

Joonisel 9 on kujutatud kaks segmenti AB ja CD. Need segmendid langevad üksteise peale asetamisel kokku.

Kaht segmenti nimetatakse võrdseks, kui need kattuvad üksteise peale asetatuna.

Seega on lõigud AB ja CD võrdsed. Nad kirjutavad: AB = CD.

Võrdsed lõigud on võrdse pikkusega.

Kahest ebavõrdsest segmendist loeme pikema pikkusega segmendi suuremaks. Näiteks joonisel 6 on segment EF suurem kui segment MN.

Lõigu AB pikkust nimetatakse vahemaa punktide A ja B vahel.

Kui mitu segmenti on paigutatud nii, nagu on näidatud joonisel 10, siis saadakse geomeetriline kujund, mis on nn. katkendlik joon. Pange tähele, et kõik segmendid joonisel 11 ei moodusta katkendjoont. Arvatakse, et segmendid moodustavad katkendliku joone, kui esimese segmendi ots langeb kokku teise segmendi lõpuga ja teise segmendi teine ​​ots kattub kolmanda lõpuga jne.

Punktid A, B, C, D, E − polüliini tipud ABCDE, punktid A ja E − katkendlikud jooned, ja segmendid AB, BC, CD, DE on selle lingid(vt joonis 10).

Katkestatud joone pikkus on kõigi selle linkide pikkuste summa.

Joonisel 12 on kujutatud kaks katkendjoont, mille otsad langevad kokku. Selliseid katkendlikke jooni nimetatakse suletud.

Näide 1 . Lõik BC on 3 cm väiksem kui lõik AB, mille pikkus on 8 cm (joonis 13). Leia lõigu AC pikkus.

Lahendus. Meil on: eKr \u003d 8 - 3 \u003d 5 (cm).

Kasutades lõigu pikkuse omadust, saame kirjutada AC = AB + BC. Seega AC = 8 + 5 = 13 (cm).

Vastus: 13 cm.

Näide 2 . On teada, et MK = 24 cm, NP = 32 cm, MP = 50 cm (joon. 14). Leidke lõigu NK pikkus.

Lahendus. Meil on: MN = MP − NP.

Seega MN = 50 − 32 = 18 (cm).

Meil on: NK = MK − MN.

Seega NK = 24 − 18 = 6 (cm).

Vastus: 6 cm.

Pikkus, nagu juba märgitud, on näidatud mooduli märgiga.

Kui on antud kaks tasandi punkti ja, saab segmendi pikkuse arvutada valemiga

Kui on antud kaks punkti ruumis ja, siis saab lõigu pikkuse arvutada valemiga

Märge:Valemid jäävad õigeks, kui vahetada vastavad koordinaadid: ja , kuid esimene variant on standardsem

Näide 3

Lahendus: vastavalt vastavale valemile:

Vastus:

Selguse huvides teen joonise

jaotis - see ei ole vektor, ja te ei saa seda muidugi kuhugi liigutada. Lisaks, kui täidate joonise mõõtkavas: 1 ühik. \u003d 1 cm (kaks tetradilahtrit), siis saab vastust kontrollida tavalise joonlauaga, mõõtes otseselt segmendi pikkust.

Jah, lahendus on lühike, kuid selles on paar olulist punkti, mida tahaksin selgitada:

Esiteks määrame vastuses mõõtme: "ühikud". Tingimusel pole kirjas, MIS see on, millimeetrites, sentimeetrites, meetrites või kilomeetrites. Seetõttu on üldine sõnastus matemaatiliselt pädev lahendus: "ühikud" - lühendatult "ühikud".

Teiseks kordame koolimaterjali, mis on kasulik mitte ainult käsitletava probleemi jaoks:

pööra tähelepanu oluline tehniline nipp – kordaja juure alt välja võtmine. Arvutuste tulemusena saime tulemuse ja hea matemaatiline stiil hõlmab teguri juure alt välja võtmist (võimalusel). Protsess näeb üksikasjalikumalt välja järgmine: Muidugi ei tee vastuse vormile jätmine viga – aga kindlasti on see viga ja kaalukas argument õpetaja nipet-näpet.

Siin on muud levinud juhtumid:

Sageli saadakse piisavalt suur arv näiteks juure alla. Kuidas sellistel juhtudel olla? Kalkulaatoris kontrollime, kas arv jagub 4-ga:. Jah, see oli täielikult jagatud, seega: . Või äkki saab arvu jälle 4-ga jagada? . Sellel viisil: . Arvu viimane number on paaritu, seega pole kolmandat korda 4-ga jagamine ilmselgelt võimalik. Proovin jagada üheksaga: . Tulemusena:
Valmis.

Väljund: kui juure alla saame täiesti mitteeraldatava arvu, siis proovime teguri juure alt välja võtta - kalkulaatoril kontrollime, kas arv jagub arvuga: 4, 9, 16, 25, 36, 49, jne.

Erinevate ülesannete lahendamise käigus leitakse sageli juured, püüdke alati juure alt faktoreid välja tõmmata, et vältida väiksemat punktisummat ja tarbetuid sekeldusi oma lahenduste viimistlemisel vastavalt õpetaja märkusele.

Kordame samaaegselt juurte ja muude jõudude ruudustamist:

Üldkujul kraadidega toimingute reeglid leiate algebra kooliõpikust, kuid arvan, et kõik või peaaegu kõik on juba toodud näidetest selge.

Iseseisva lahenduse ülesanne ruumisegmendiga:

Näide 4

Antud punktid ja . Leidke lõigu pikkus.

Lahendus ja vastus tunni lõpus.

Segmendi pikkust saab määrata erineval viisil. Lõigu pikkuse leidmiseks piisab, kui on olemas joonlaud või tead arvutamiseks spetsiaalseid valemeid.

Joone pikkus joonlauaga

Selleks rakendame tasapinnale ehitatud lõigule millimeetrijaotusega joonlaua, mille alguspunkt peab olema joondatud joonlaua skaala nulliga. Seejärel peaksite sellel skaalal märkima selle lõigu lõpp-punkti asukoha. Saadud skaala tervete jaotuste arv on lõigu pikkus, väljendatuna cm-des ja mm-des.

Tasapinnaline koordinaatide meetod

Kui lõigu (x1; y1) ja (x2; y2) koordinaadid on teada, tuleks selle pikkus arvutada järgmiselt. Teise punkti tasapinna koordinaatidest tuleks lahutada esimese punkti koordinaadid. Tulemuseks peaks olema kaks numbrit. Kõik need numbrid tuleb ruudus panna ja seejärel leida nende ruutude summa. Saadud arvust tuleks eraldada ruutjuur, mis on punktide vaheline kaugus. Kuna need punktid on segmendi otsad, on see väärtus selle pikkus.

Vaatleme näidet, kuidas leida lõigu pikkus koordinaatide järgi. Seal on kahe punkti koordinaadid (-1;2) ja (4;7). Punktide koordinaatide erinevuse leidmisel saame järgmised väärtused: x = 5, y = 5. Saadud numbrid on segmendi koordinaadid. Seejärel paneme iga arvu ruutudesse ja leiame tulemuste summa, mis on 50. Sellest arvust eraldame ruutjuure. Tulemuseks on: 5 juurt 2-st. See on segmendi pikkus.

Kosmose koordinaatide meetod

Selleks mõelge, kuidas leida vektori pikkust. Temast saab Eukleidilise ruumi segment. See leitakse peaaegu samamoodi kui segmendi pikkus tasapinnal. Vektori konstrueerimine toimub erinevatel tasapindadel. Kuidas leida vektori pikkust?

1. Leidke vektori koordinaadid, selleks peate selle lõpp-punkti koordinaatidest lahutama selle alguspunkti koordinaadid.
2. Pärast seda peate vektori iga koordinaadi ruudu kandma.
3. Seejärel lisage koordinaatide ruudud.
4. Vektori pikkuse leidmiseks tuleb võtta ruutjuur koordinaatide ruutude summast.

Vaatleme arvutusalgoritmi näite abil. On vaja leida vektori AB koordinaadid. Punktidel A ja B on järgmised koordinaadid: A (1;6;3) ja B (3;-1;7). Vektori algus asub punktis A, lõpp asub punktis B. Seega on selle koordinaatide leidmiseks vaja lahutada punkti A koordinaadid punkti B koordinaatidest: (3 - 1; -1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7;4).

Nüüd paneme iga koordinaadi ruutu ja liidame: 4+49+16=69. Lõpuks eraldab antud arvu ruutjuure. Seda on raske eraldada, seetõttu kirjutame tulemuse järgmiselt: vektori pikkus võrdub 69 juurega.

Kui teile pole oluline segmentide ja vektorite pikkust ise arvutada, vaid vajate lihtsalt tulemust, võite kasutada näiteks seda veebikalkulaatorit.

Nüüd, olles uurinud neid meetodeid ja kaalunud esitatud näiteid, saate hõlpsalt leida segmendi pikkuse mis tahes ülesandes.

segment kutsuda sirge osa, mis koosneb kõigist selle sirge punktidest, mis asuvad nende kahe punkti vahel – neid nimetatakse lõigu otsteks.

Vaatleme esimest näidet. Olgu koordinaattasandil teatud lõik antud kahe punktiga. Sel juhul saame selle pikkuse leida Pythagorase teoreemi rakendades.

Niisiis joonistage koordinaatsüsteemis segment selle otste etteantud koordinaatidega(x1; y1) Ja (x2; y2) . teljel X Ja Y langeb lõigu otstest risti. Märkige punasega lõigud, mis on algse lõigu projektsioonid koordinaatteljel. Pärast seda kanname projektsioonisegmendid paralleelselt segmentide otstega. Saame kolmnurga (ristkülikukujuline). Selle kolmnurga hüpotenuus on lõik AB ise ja selle jalad on ülekantud projektsioonid.

Arvutame nende projektsioonide pikkused. Nii et teljel Y projektsiooni pikkus on y2-y1 , ja teljel X projektsiooni pikkus on x2-x1 . Rakendame Pythagorase teoreemi: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . Sel juhul |AB| on segmendi pikkus.

Kui kasutate seda skeemi segmendi pikkuse arvutamiseks, ei saa te segmenti isegi ehitada. Nüüd arvutame, milline on lõigu pikkus koordinaatidega (1;3) Ja (2;5) . Rakendades Pythagorase teoreemi, saame: |AB|² = (2–1)² + (5–3)² = 1 + 4 = 5 . Ja see tähendab, et meie segmendi pikkus on võrdne 5:1/2 .

Mõelge segmendi pikkuse leidmiseks järgmisele meetodile. Selleks peame teadma mõne süsteemi kahe punkti koordinaate. Kaaluge seda võimalust, kasutades kahemõõtmelist Descartes'i koordinaatsüsteemi.

Seega on kahemõõtmelises koordinaatsüsteemis antud segmendi äärmiste punktide koordinaadid. Kui tõmmata läbi nende punktide sirgjooned, peavad need olema koordinaatteljega risti, siis saame täisnurkse kolmnurga. Algne segment on saadud kolmnurga hüpotenuus. Kolmnurga jalad moodustavad segmente, nende pikkus võrdub hüpotenuusi projektsiooniga koordinaattelgedele. Pythagorase teoreemi põhjal järeldame: antud lõigu pikkuse leidmiseks tuleb leida projektsioonide pikkused kahel koordinaatteljel.

Leidke projektsiooni pikkused (X ja Y) algne segment koordinaattelgedele. Arvutame need, leides punktide koordinaatide erinevuse piki eraldi telge: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .

Arvutage lõigu pikkus AGA , selleks leiame ruutjuure:

A = √(X²+Y²) = √((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

Kui meie segment asub punktide vahel, mille koordinaadid 2;4 Ja 4;1 , siis on selle pikkus vastavalt võrdne √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .