Ali riyaziyyatda tənliklər çoxhədlilərin rasional kökləri. Hornerin sxemi. Cəbr tənliyinin köklərinin əsas xassələri Cəbri tənliklərin təxmini həlli üçün Lobaçevski-Qreff üsulu
Səhifə 1
Kvadrat tənliklər
Müasir cəbrdə kvadrat tənlik formanın tənliyidir
əmsallar haradadır 
istənilən real ədədlər və 
Natamam kvadrat tənlik formanın tənliyidir
Misal a) 
Beləliklə, tənliyin iki kökü var: 
Misal b)
Həll
Tənliyin iki kökü var: 
Misal ilə) 
Həll
Tənliyin iki kökü var: 
Misal d)
Həll
Tənliyin həqiqi kökləri yoxdur.
Misal e) 
Həll
Bu tənlik həm də natamam kvadrat tənlikdir, həmişə bir kökə malikdir;
Kvadrat tənlikləri həll edərkən istifadə edə bilərsiniz müxtəlif yollarla faktorizasiya. Beləliklə, tənliyi həll edərkən bümumi çarpanın tətbiqi üsulundan istifadə edilmişdir. Başqa bir yol var - qruplaşdırma üsulu.
Həll.
Cavab: 
Eyni tənliyi bir çox yolla həll etmək olar. Nümunə ilə onlardan bəzilərinə nəzər salaq kvadrat tənlik
I üsul
Kvadrat üçbucağını nəzərdən keçirək 
Əvvəllər termini təmsil edərək qruplaşdırma metodundan istifadə edərək onu faktorlara ayıraq 
kimi 
Bizdə var
Bu o deməkdir ki, verilmiş tənliyi yenidən formada yazmaq olar
Bu tənliyin iki kökü var: 
II
yol
. Kvadrat üçhəssalı nəzərdən keçirin və mükəmməl kvadratı təcrid etmək üsulundan istifadə edərək onu faktorlarla ayırın; Əvvəlcə 3-cü termini fərq kimi təqdim edək 
. Bizdə var
Kvadratların fərqi düsturundan istifadə edərək əldə edirik
Beləliklə, trinomialın kökləri
III yol - qrafik.
Tənliklərin həlli üçün qrafik metodu nəzərdən keçirək
Tənliyi həll edin
quraq funksiyanın qrafiki 
Vertex koordinatları:
Parabolanın oxu düzdür 
Absis oxunda parabolanın oxuna nisbətən simmetrik olan iki nöqtəni götürək, məsələn, nöqtələr 
Bu nöqtələrdə funksiyanın qiymətini tapaq 
Nöqtələr vasitəsilə 
və parabolanın yuxarı hissəsi 
Funksiyanın qrafikini quraq.
Beləliklə, tənliyin kökləri parabolanın absis oxu ilə kəsişmə nöqtələrinin absisləridir, yəni.
Tənliyin qrafik həllinin başqa variantını nəzərdən keçirək
Tənliyi formada yazaq 
Bir koordinat sistemində funksiyaların qrafiklərini quraq 
Beləliklə, tənliyin kökləri qurulmuş qrafiklərin kəsişmə nöqtələrinin absisləridir.
Orijinal tənliyi tənliyi yenidən təşkil etməklə daha bir neçə yolla həll etmək olar 
ağla 
və ya mənzərəyə 
Sonra funksiyalar təqdim edilir, qrafiklər qurulur və qurulmuş funksiyaların qrafiklərinin kəsişmə nöqtələrinin absisləri tapılır.
Tapşırıq 3-ə baxın (Əlavə 1).
IV yol – kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturdan istifadə etməklə.
Formanın kvadrat tənliyini həll etmək 
aşağıdakı alqoritmdən istifadə edə bilərsiniz:
Çünki 
Bu kvadrat tənliyin iki kökü var. Düsturdan istifadə edərək bu kökləri tapırıq
Əgər b– cüt ədəd, yəni. 
Sonra
Formanın tənliyi 
azaldılmış kvadrat tənlikdir.
Əgər rəqəmlər 
belədirlər 
onda bu ədədlər tənliyin kökləridir. 
Bu bəyanatla, daha doğrusu, bəyanatla teoremin əksi Vieta verilmiş kvadrat tənlikləri həll edə bilər.
Beləliklə, tənliyin kökləri
Əgər tənlikdə. məbləğ 
onda tənliyin bir kökü həmişə 1-dir, digər kök isə düsturdan istifadə etməklə hesablanır.
Eq. buna görə də məbləğ 
Tapşırıq 4-ə baxın (Əlavə 1).
Rasional tənliklər
Əgər 
rasional ifadədir, sonra tənlikdir 
rasional tənlik adlanır.
Misal 
Tapılan kökləri yoxlayaq: 
olanlar. 
orijinal tənliyin kökləridir.
Misal 
Dəyişən təqdim edərək tənliyi həll edək. Qoy 
Bu, tənliyi formada yenidən yazmağa imkan verəcəkdir 
Eq. 
Biz tapdıq 
Tapılan kökləri yoxlayaq 
Çünki 
daha iki tənliyi həll etməliyik:
Və 
Birinci tənliyin kökləri 1 və –4 ədədləri, ikinci tənliyin kökləri isə ədədlərdir. 
Cavab: 1, −4,
Bikvadrat tənliklərin həlli zamanı yeni dəyişənin tətbiqi üsulundan da istifadə olunur.
Formanın tənliyi 
bikvadrat tənlik adlanır.
Misal 
Bir dəyişəni təqdim edək 
alırıq
Cavab: 2, -2.
5, 6 və 7-ci tapşırıqlara baxın (Əlavə 1).
İrrasional tənliklər
Əgər tənlik kvadrat kök işarəsi altında dəyişən ehtiva edirsə, onda belə tənlik irrasional adlanır.
Riyaziyyat tarixindən səhifələrə vərəq edək. İrrasional ədədlər anlayışı Pifaqorçulara məlum idi. Pifaqor teoremi riyaziyyatçıları müqayisə olunmayan seqmentlərin kəşfinə gətirib çıxardı. Onlar tamamilə paradoksal bir ifadə aldılar: kvadratın diaqonalının uzunluğu heç bir natural ədədlə ölçülə bilməz. Bu bəyanat onların təlimlərinin əsas tezisini sarsıtdı: “hər şey bir rəqəmdir”.
Müqayisəsizliyin kəşfi göstərdi ki, yalnız rasional ədədləri bilməklə hər hansı bir seqmentin uzunluğunu tapmaq mümkün deyil. Bu o deməkdir ki, seqmentlər çoxluğu rasional ədədlər çoxluğundan daha genişdir. Yunanlar riyaziyyatı ədəd anlayışının genişləndirilməsi yolu ilə deyil, onları irrasional ədədlərin nəzərdən keçirilməsinə gətirib çıxaracaq, həndəsi kəmiyyətlərin köməyi ilə qurmağa qərar verdilər. Pifaqorçulardan fərqli olaraq alimlər Qədim Şərq təxmini rəqəmlərdən heç bir izahat verilmədən istifadə edilmişdir. Beləliklə, əvəzinə 1.41 yazdılar 
, və rəqəm əvəzinə 3 
Müasir riyaziyyata qayıdaq və irrasional tənliklərin həlli yollarını nəzərdən keçirək.
Misal: 
Tənliyin hər iki tərəfinin kvadratlaşdırılması üsulu irrasional tənliklərin həlli üçün əsas üsuldur.
Kvadratlaşdırma üsulu sadədir, lakin bəzən problemə səbəb olur.
Misal: 
Amma mənası 
rasional tənliyin köküdür 
verilmiş irrasional tənliyin kökü deyil. Test bu ifadəni təsdiq edəcək.
İmtahan:
Nəticədə ortaya çıxan ifadə məntiqli deyil. Cüt dərəcənin kökü altında mənfi ədəd ola bilməz.
Nəticə: 
kənar kök
ir nəzərə alınmaqla rasional tənlik kökləri yoxdur.
Misal: 
İmtahan:
Əgər 
Bu 
- səhv
Əgər 
Bu
- səhv
Nəticə: verilmiş irrasional tənliyin kökləri yoxdur.
Deməli, irrasional tənlik hər iki tərəfi kvadratlaşdırmaqla həll edilir; Yaranan rasional tənliyi həll etdikdən sonra mümkün kənar kökləri çıxararaq yoxlama aparmaq lazımdır.
Misal: 
İmtahan:
Əgər 
Bu 
- əsl bərabərlik.
Əgər 
Bu 
- əsl bərabərlik.
Bu o deməkdir ki, tapılan hər iki dəyər tənliyin kökləridir.
Cavab: 4; 5.
Misal: 
Bu tənliyi yeni dəyişən təqdim etməklə həll edirik.
Qoy 
Orijinal dəyişənə qayıdaq.
- sağ,
- səhv.
Tapşırıq 8-ə baxın (Əlavə 1).
Bir az nəzəriyyə
Tərif. İki tənlik 
Və 
eyni köklərə malik olduqda (və ya xüsusilə, hər iki tənliyin kökləri yoxdursa) ekvivalent adlanır.
Adətən, tənliyi həll edərkən bu tənliyi daha sadə, lakin ona ekvivalentlə əvəz etməyə çalışırlar. Belə əvəzetmə tənliyin ekvivalent çevrilməsi adlanır.
Tənliyin ekvivalent çevrilmələri aşağıdakı çevrilmələrdir:
1. Tənliyin şərtlərinin əks işarəli tənliyin bir hissəsindən digərinə köçürülməsi.
Məsələn, tənliyi əvəz etmək 
tənlik 
var ekvivalent çevrilmə tənliklər Bu o deməkdir ki, tənliklər Və ekvivalentdirlər.
2. Tənliyin hər iki tərəfini sıfırdan fərqli eyni ədədə vurmaq və ya bölmək.
Məsələn, tənliyi əvəz etmək 
tənlik 
(tənliyin hər iki tərəfi 10-a vurulur) tənliyin ekvivalent çevrilməsidir.
Aşağıdakı çevrilmələr tənliyin qeyri-bərabər çevrilmələridir:
1. Tərkibində dəyişənlər olan məxrəclərdən azad edilməsi.
Məsələn, tənliyi əvəz etmək 
tənlik 
tənliyin qeyri-bərabər çevrilməsidir. Məsələ ondadır ki, tənlik iki kökü var: 2 və −2 və verilmiş tənliyin qiyməti var 
qane edə bilməz (məxrəc sıfıra keçir). Belə hallarda belə deyirlər: kənar kök.
2. Tənliyin hər iki tərəfinin kvadratlaşdırılması.
Göstərilən qeyri-ekvivalent çevrilmələrdən biri tənliyin həlli prosesində istifadə edilmişdirsə, tapılan bütün köklər orijinal tənliyə əvəz edilərək yoxlanılmalıdır, çünki onların arasında kənar köklər ola bilər.
Tərif.
Tənliyin domeni 
dəst adlanır 
Harada 
Və 
– funksiyaların təyini sahələri f Və g.
Misal 
Sol tərəfdəki fraksiyaları əlavə edərək tənliyi əldə edirik
orijinalına bərabərdir. Bu eyni tənlik, öz növbəsində, sistemə bərabərdir
Kvadrat tənliyin kökləri var 
Harada 
- kənar kök.
Tənliyin həllini nəzərdən keçirin 
Buna görə də, ilkin tənlik çoxluğa ekvivalentdir
və ya 
və ya 
və ya 
Modul işarəsi altında dəyişəni olan tənliklər
1. Ədədin mütləq qiyməti a(ifadə olunur |
a|
) koordinat xəttində verilmiş a ədədini təmsil edən nöqtədən başlanğıc nöqtəsinə qədər olan məsafədir.
Tərifdən belə çıxır 
Modulun əsas xüsusiyyətləri
Misal 
Aydındır ki, burada iki ehtimal var: 
və ya 
Harada almaq asandır
Cavab: 
və ya 
Qeyd edək ki, formanın tənliklərini həll edərkən 
ən rasional yol məcmuəyə keçiddir
Misal 
Burada yuxarıda göstərilən texnika bizi “xoşagəlməz” kökləri olan kvadrat trinomialın daimi işarəsinin intervallarını tapmaq ehtiyacından azad edir.
Bizdə:
Cavab: və ya 
və ya 
Tapşırıq 9-a baxın (Əlavə 1).
Parametrli tənliklər
Bir az nəzəriyyə.
Şagirdlər müəyyən anlayışları təqdim edərkən parametrlərlə qarşılaşırlar. Məsələn, düz mütənasiblik funksiyası:
xətti funksiya:
xətti tənlik:
kvadrat tənlik:
Tərif. Bir və ya bir neçə parametrin qiymətindən asılı olan görünüşü və həlli tənliyə parametrli tənlik deyilir.
Parametrli tənliyin həlli deməkdir
1. Bu tənliyin həlli yolları olan bütün parametr dəyər sistemlərini tapın.
2. Tapılmış hər bir parametr dəyər sistemi üçün bütün həlləri tapın, yəni naməlum və parametrlərin öz məqbul dəyərlər diapazonu olmalıdır.
Misal: 
Cavab: Əgər 
onda heç bir həll yolu yoxdur.
Bu tənliklər birləşdirilmiş vəzifələrdir, həll prosesində tənliklərin həlli üçün standart alqoritmlər işlənir və icazə verilən dəyərlər diapazonu ilə işləmək və kökləri seçmək bacarıqları formalaşır və möhkəmlənir. Bu tənliklər kimi nəzərdə tutulmuşdur fərdi tapşırıqlar güclü tələbələr üçün.
Tənliklərin tətbiqi.
Navier-Stokes tənlikləri - sistem diferensial tənliklərözlü mayenin hərəkətini təsvir edən qismən törəmələrdə. Navier-Stokes tənlikləri hidrodinamikada ən vaciblərindən biridir və bir çoxunun riyazi modelləşdirilməsində istifadə olunur. təbiət hadisələri və texniki problemlər. Fransız fiziki Louis Navier və İngilis riyaziyyatçısı Corc Stoksun şərəfinə adlandırılmışdır.
Sistem hərəkət tənliyindən və davamlılıq tənliyindən ibarətdir.
Tənliklər sisteminin tətbiqi sahələrindən biri də Yer mantiyasındakı axınları təsvir etməkdir.
Tənliyin dəyişmələri atmosfer hava kütlələrinin hərəkətini təsvir etmək üçün, xüsusən də hava proqnozu formalaşdırarkən istifadə olunur. Tənliyin həlli yollarının təhlili açıq problemlərdən birinin mahiyyətini təşkil edir ki, onun həlli üçün Kley Riyaziyyat İnstitutu 1 milyon ABŞ dolları məbləğində mükafata layiq görülüb. Üç ölçülü Navier-Stokes tənlikləri üçün Koşi məsələsinin qlobal hamar həllinin mövcudluğunu sübut etmək və ya təkzib etmək lazımdır.
İstifadə olunmuş ədəbiyyatın siyahısı
Mordkoviç A.G. Cəbr. 7-ci sinif: İki hissədə. 1-ci hissə: Ümumi təhsil üçün dərslik. qurumlar. – 5-ci nəşr. – M.: Mnemosyne, 2002. – 160 s.: xəstə.
Mordkoviç A.G. Cəbr. 8-ci sinif: İki hissədə. 1-ci hissə: Ümumi təhsil üçün dərslik. qurumlar. – 6-cı nəşr. – M.: Mnemosyne, 2004. – 223 s.: xəstə.
A.G. Merzlyak, V.B. Polonsky, M.S. Yakir Cəbri simulyator: Məktəblilər və abituriyentlər üçün dərslik”/Red. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. – M.: İlexa, 2001 – 320 s.
Krivonoqov V.V. Riyaziyyatdan qeyri-standart tapşırıqlar: 5-11-ci siniflər. – M.: “Birinci sentyabr” nəşriyyatı, 2002. – 224 s.: ill.
Səhifə 1
Nömrələri artan güc ardıcıllığı ilə dəstlərə bölmək olar -
1. Çoxluq - sadə ədədlər toplusu (özündən başqa sadə bölənləri yoxdur).
2. Çoxluq - natural ədədlər toplusu.
3. Çoxluq - tam ədədlər toplusu (bunlar natural ədədlər, sıfır və mənfi tam ədədlərdir).
4. Çoxluq - rasional ədədlər toplusu (bunlar tam ədədlər və ya kəsr kimi göstərilə bilən ədədlərdir, onların payı və məxrəci tam ədədlərdir. Ondalık qeydi rasional ya sonludur, ya da kəsr kimi göstərilə bilər, burada mütləq dövri təkrar olur).
5. Set - alt çoxluq real ədədlər, real ədədlər sahəsində radikallar kimi təmsil oluna bilər. Buraya bütün rasional olanlar (Q), eləcə də bəzi irrasional olanlar, məs. 
. Daha dəqiq desək, bu çoxluqda gücün rasional ədəd olacağı və gücə qaldırılan istənilən ədədin rasional müsbət ədəd olacağı qeyd şəklində göstərilə bilən ədədlər var.
6. Çoxluq – sahə üzərində radikallar kimi təqdim oluna bilən real ədədlərin alt çoxluğu mürəkkəb ədədlər. Buraya bütün rasional olanlar (Q), həmçinin bəzi irrasional olanlar, məsələn, sonunda etibarlı olacaqlar daxildir. Daha dəqiq desək, bu çoxluqda gücün rasional ədəd olduğu, gücə qaldırılan ədədin isə rasional olduğu və mənfi olması ilə qeyd şəklində göstərilə bilən ədədlər var. .
Çoxluq 6 ilə çoxluq 5 arasındakı fərq. Məsələn, tənliyin kökləri,
, bərabərdir.
Eyni zamanda məlumdur ki, kub tənlikləri radikallarda həll olunur. Bu o deməkdir ki, bu eyni köklər rəqəmlər, riyazi əməliyyatlar və güclərlə qeyd şəklində göstərilə bilər.
Sual. Bu girişin hissələrinin kompleks ədədlər olacağına dair bir fərziyyəm var, yəni. onsuz edə bilməzsən. kökləri olacaq mənfi ədədlər Mütləq. Fərziyyə doğrudurmu?
Əgər fərziyyə düzgündürsə, kub tənliklərinin həqiqi kökləri həmişə çoxluğa aiddir, lakin çoxluğa aid olmaya da bilər. Lakin kvadrat tənliyin kökləri həmişə aşağı güclü çoxluğa aiddir.
Sual. Rasional ədəd kimi təqdim edilən arqumentin sinusu (dərəcə ilə) həmişə çoxluğa (və ya hətta) aiddirmi, yəni. həmişə radikallarla ifadə edilə bilərmi?
Ancaq gəlin daha güclü rəqəmlər toplusuna keçək. 5-ci dərəcəli tənliyin həqiqi kökləri həmişə radikallarla ifadə edilə bilməz, yəni. onlar hətta daxil olmaya bilər, lakin onların daxil olduğu bir dəst var -
7. Çoxlu - çoxlu cəbri ədədlər, (həqiqi ədədlərin alt çoxluğu) . Bu çoxluğa istənilən dərəcədə və istənilən rasional əmsallı bütün mümkün cəbri tənliklərin bütün mümkün real kökləri daxildir.
Riyaziyyatda hesab ediləndən daha güclü dəstlər hansılardır (ən geniş dəstləri saymadan - real və mürəkkəb)? Mən daha güclüləri ilə rastlaşmamışam, adətən, sayı ona daxil deyilsə, ona sadəcə transsendental deyilir; Və daha bir dəsti təqdim edərdim -
8. Çoxluq - formada təqdim olunan genişləndirilə bilən hər hansı məlum funksiyaları (məsələn, sinus, zeta funksiyası, inteqral loqarifm və s.) olan hər hansı riyazi tənliyin (mütləq cəbri deyil) kökləri ola bilən ədədlər toplusu. bir sıra və ya bir neçə sıra. Belə nömrələri ANALİTİK adlandıraq. Sadəcə olaraq, siz son ölçülərin təsvirini təyin edə bilərsiniz, belə ki, bu təsvirdən verilmiş ədədin onluq nöqtəsindən sonra istənilən rəqəmi - ad infinitum tapa bilərsiniz.
İndiyə qədər nəzərdən keçirilən bütün dəstlər aşağıdakıların alt çoxluqları idi, yəni. alt çoxluq və s. - alt çoxluq. Növbəti dəst ayrıdır (buna daxil deyil), lakin ən güclüdür.
9. Set - xaotik ədədlər toplusu. (xaotik mənim tərifimdir). Bu, daxil edilməyən bütün real ədədlərin çoxluğudur. Əgər ədəd daxil edilirsə, onda bu ədəd sonlu ölçülərin heç bir riyazi təsviri ilə təmsil oluna bilməz (fərq etməz - sıra və ya funksiyalar və s.), yəni. əgər sonlu ölçülərin təsvirini versək, onda biz bu təsvirdən verilmiş ədədin ondalık nöqtəsindən sonra heç bir rəqəmi tapmaq üçün istifadə edə bilməyəcəyik - ad infinitum.
10. Dəst - BÜTÜN real ədədlərin çoxluğu. Bu ayrı-ayrı çoxluqların birliyidir və . Üstəlik, dəst daxilindəki çoxluğun ölçüsü sıfırdır. Bunlar. həqiqi ədədlər çoxluğunda ədədlərin əksəriyyəti xaotik, azlıq isə analitikdir.
11. Çoxluq - bütün kompleks ədədlərin çoxluğu. Onu oxşar alt çoxluqlara (cəbri kompleks, analitik, xaotik və s.) bölmək mümkün idi, amma məncə, bu lazım deyil.
Təsnifatım düzgündürmü? Riyaziyyatçıların transsendental olanların alt çoxluqları olan, lakin cəbri ədədlər olmayan başqa hansı çoxluqları var?
Kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturlar. Həqiqi, çoxlu və mürəkkəb kök halları nəzərdən keçirilir. Kvadrat üçhəmin faktorinqi. Həndəsi şərh. Köklərin müəyyən edilməsi və faktorinq nümunələri.
MəzmunHəmçinin bax: Kvadrat tənliklərin onlayn həlli
Əsas düsturlar
Kvadrat tənliyi nəzərdən keçirin:
(1)
.
Kvadrat tənliyin kökləri(1) düsturlarla müəyyən edilir:
;
.
Bu düsturlar aşağıdakı kimi birləşdirilə bilər:
.
Kvadrat tənliyin kökləri məlum olduqda, ikinci dərəcəli çoxhədli amillərin məhsulu (faktorlu) kimi təqdim edilə bilər:
.
Sonra onların həqiqi ədədlər olduğunu fərz edirik.
Gəlin nəzərdən keçirək kvadrat tənliyin diskriminantı:
.
Əgər diskriminant müsbətdirsə, onda (1) kvadrat tənliyin iki fərqli həqiqi kökü var:
;
.
Onda kvadrat üçhəmin faktorlara ayrılması formaya malikdir:
.
Əgər diskriminant sıfıra bərabərdirsə, onda (1) kvadrat tənliyin iki çoxlu (bərabər) həqiqi kökü var:
.
Faktorizasiya:
.
Diskriminant mənfi olarsa, onda (1) kvadrat tənliyin iki mürəkkəb konyuqa kökü var:
;
.
Budur xəyali vahid, ;
və köklərin həqiqi və xəyali hissələridir:
;
.
Sonra
.
Qrafik şərh
Funksiyanı tərtib etsəniz
,
paraboladır, onda qrafikin ox ilə kəsişmə nöqtələri tənliyin kökləri olacaqdır.
.
olduqda, qrafik x oxunu (oxunu) iki nöqtədə () kəsir.
, qrafik bir nöqtədə x oxuna toxunduqda ().
olduqda, qrafik x oxunu () kəsmir.
Kvadrat tənliklərə aid faydalı düsturlar
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturun çıxarılması
Transformasiyaları həyata keçiririk və (f.1) və (f.3) düsturlarını tətbiq edirik:
,
Harada
;
.
Beləliklə, ikinci dərəcəli çoxhədli üçün düsturu aşağıdakı formada aldıq:
.
Bu tənliyin olduğunu göstərir
-da ifa olunub
Və .
Yəni və kvadrat tənliyin kökləridir
.
Kvadrat tənliyin köklərinin təyini nümunələri
Misal 1
(1.1)
.
.
(1.1) tənliyimizlə müqayisə edərək əmsalların dəyərlərini tapırıq:
.
Diskriminant tapırıq:
.
Diskriminant müsbət olduğundan tənliyin iki həqiqi kökü var:
;
;
.
Buradan kvadrat üçhəmin faktorlara bölünməsini alırıq:
.
y = funksiyasının qrafiki 2 x 2 + 7 x + 3 x oxunu iki nöqtədə kəsir.
Funksiyanın qrafikini çəkək
.
Bu funksiyanın qrafiki paraboladır. O, absis oxunu (oxunu) iki nöqtədə keçir:
Və .
Bu nöqtələr ilkin tənliyin (1.1) kökləridir.
;
;
.
Misal 2
Kvadrat tənliyin köklərini tapın:
(2.1)
.
Kvadrat tənliyi ümumi formada yazaq:
.
Orijinal tənlik (2.1) ilə müqayisə edərək, əmsalların dəyərlərini tapırıq:
.
Diskriminant tapırıq:
.
Diskriminant sıfır olduğundan tənliyin iki çoxlu (bərabər) kökü var:
;
.
Sonra trinomialın faktorlara ayrılması formaya malikdir:
.
y = x funksiyasının qrafiki 2 - 4 x + 4 bir nöqtədə x oxuna toxunur.
Funksiyanın qrafikini çəkək
.
Bu funksiyanın qrafiki paraboladır. O, bir nöqtədə x oxuna (oxuna) toxunur:
.
Bu nöqtə orijinal tənliyin (2.1) köküdür. Çünki bu kök iki dəfə faktorlara bölünür:
,
onda belə kök adətən çoxluq adlanır. Yəni iki bərabər kök olduğuna inanırlar:
.
;
.
Misal 3
Kvadrat tənliyin köklərini tapın:
(3.1)
.
Kvadrat tənliyi ümumi formada yazaq:
(1)
.
Orijinal tənliyi (3.1) yenidən yazaq:
.
(1) ilə müqayisə edərək əmsalların dəyərlərini tapırıq:
.
Diskriminant tapırıq:
.
Diskriminant mənfi, . Buna görə də əsl köklər yoxdur.
Siz mürəkkəb kökləri tapa bilərsiniz:
;
;
.
Sonra
.
Funksiyanın qrafiki x oxunu keçmir. Həqiqi köklər yoxdur.
Funksiyanın qrafikini çəkək
.
Bu funksiyanın qrafiki paraboladır. O, x oxunu (oxunu) kəsmir. Buna görə də əsl köklər yoxdur.
Əsl kökləri yoxdur. Kompleks köklər:
;
;
.
Layihədə cəbri tənliyin köklərinin təqribən tapılması metodu - Lobaçevski-Qreff metodu nəzərdən keçirilir. İşdə metodun ideyası, onun hesablama sxemi müəyyən edilir, metodun tətbiqi üçün şərait tapılır. Lobachevsky-Greffe metodunun tətbiqi təqdim olunur.
1 NƏZƏRİ HİSSƏ 6
1.1 Problemin ifadəsi 6
1.2 Cəbri tənliklər 7
1.2.1 Cəbr tənliyi haqqında əsas anlayışlar 7
1.2.2 Cəbri tənliyin kökləri 7
1.2.3 Çoxhədlinin həqiqi köklərinin sayı 9
1.3 Cəbri tənliklərin təxmini həlli üçün Lobaçevski-Qreff metodu 11
1.3.1 Metodun ideyası 11
1.3.2 Kvadrat köklər 13
2.1 Tapşırıq 1 16
2.2 Tapşırıq 2 18
2.4 Alınmış nəticələrin təhlili 20
ƏDƏBİYYAT SİYAHISI 23
GİRİŞ
Bugünkü hesablama texnologiyası sayma işini həqiqətən yerinə yetirmək üçün güclü alətlər təqdim edir. Bunun sayəsində bir çox hallarda tətbiq olunan məsələlərin təxmini şərhindən imtina etmək və problemlərin dəqiq tərtibatda həllinə keçmək mümkün olmuşdur. Təxmini və ədədi analiz üsullarının məharətlə tətbiqi olmadan müasir kompüter texnologiyasından ağlabatan istifadəni təsəvvür etmək mümkün deyil.
Ədədi üsullar praktikada yaranan problemlərin həllinə yönəldilmişdir. Məsələnin ədədi üsullardan istifadə etməklə həlli ədədlər üzərində hesab və məntiqi əməliyyatlara gəlir ki, bu da kompüter texnologiyalarından, məsələn, fərdi kompüterlər üçün müasir ofis proqramlarının elektron cədvəl prosessorlarından istifadəni tələb edir.
“Ədədi üsullar” fənninin məqsədi konkret problemin həlli üçün ən effektiv metodu tapmaqdır.
Cəbri tənliklərin həlli tətbiqi təhlilin vacib problemlərindən biridir, sözün geniş mənasında fizikanın, mexanikanın, texnologiyanın və təbiət elminin çoxsaylı və müxtəlif bölmələrində ehtiyac yaranır.
Bu kurs layihəsi cəbri tənliklərin həlli üsullarından birinə - Lobaçevski-Qreff metoduna həsr edilmişdir.
Bu işin məqsədi cəbri məsələlərin həlli üçün Lobaçevski-Qreffe metodu ideyasını nəzərdən keçirmək və MS Office Excel proqramından istifadə edərək həqiqi kökləri tapmaq üçün hesablama sxemini təqdim etməkdir. Layihə Lobaçevski-Qreffe metodundan istifadə edərək cəbri tənliklərin köklərinin tapılması ilə bağlı əsas nəzəri məsələləri araşdırır.
1 NƏZƏRİ HİSSƏ
1.1 Problemin ifadəsi
X elementli X çoxluğu və y elementli Y çoxluğu verilsin. Həm də fərz edək ki, X çoxluğunda operator müəyyən edilib və o, hər bir x elementinə X-dən Y-dən bəzi y elementləri təyin edir.
və belə elementləri tapmağı qarşımıza məqsəd qoyuruq 
, hansı üçün 
obrazdır. Bu məsələ tənliyin həllinə bərabərdir
(1.1)
Bunun üçün aşağıdakı problemlər yarana bilər.
Tənliyin həllinin mövcudluğu şərtləri.
Tənliyin həllinin unikallığının şərti.
Həll alqoritmi, ondan sonra məqsəd və şərtlərdən asılı olaraq (1.1) tənliyinin tam və ya təxminən bütün həllərini və ya əvvəlcədən müəyyən edilmiş hər hansı bir həlli və ya mövcud olanlardan hər hansı birini tapmaq mümkün olacaqdır.
bəzi funksiyalar olacaq. Bu halda (1.1) tənliyi formada yazıla bilər 
(1.2)
Ədədi üsullar nəzəriyyəsində insan hesablama prosesini qurmağa çalışır ki, onun köməyi ilə (1.2) tənliyinin həllini əvvəlcədən müəyyən edilmiş dəqiqliklə tapmaq olar. Xüsusilə böyük əhəmiyyət kəsb edir tənliyi nə qədər kiçik olsa da, hər hansı bir xəta ilə həll etməyə imkan verən konvergent proseslərə malikdir.
Bizim vəzifəmiz, ümumiyyətlə, təxminən, elementi tapmaqdır 
. Bu məqsədlə təxmini həllərin ardıcıllığını yaradan alqoritm hazırlanır 
, və elə bir şəkildə ki, əlaqə saxlanılır
1.2 Cəbri tənliklər
1.2.1 Cəbri tənlik haqqında əsas anlayışlar
Cəbri nəzərdən keçirək tənlik n dərəcə
əmsallar haradadır 
həqiqi ədədlərdir və 
.
Teorem 1.1 (cəbrin əsas teoremi). n (1.3) dərəcəli cəbri tənliyin həqiqi və mürəkkəb tam olaraq n kökü var, bu şərtlə ki, hər bir kök öz çoxluğu qədər hesablansın.
Bu halda (1.3) tənliyinin kökünün s if çoxluğuna malik olduğunu deyirlər
, 
.
(1.3) tənliyinin mürəkkəb kökləri qoşa birləşmə xassəsinə malikdir.
Teorem 1.2. Əgər cəbr tənliyinin (1.3) əmsalları realdırsa, bu tənliyin kompleks kökləri cüt-cüt kompleks konjugatdır, yəni. Əgər 
(
həqiqi ədədlərdir) (1.3) tənliyinin kökü, çoxluğun s, sonra isə ədəd 
həm də bu tənliyin köküdür və eyni s çoxluğuna malikdir.
Nəticə. Həqiqi əmsalları olan tək dərəcəli cəbri tənliyin ən azı bir həqiqi kökü var.
1.2.2 Cəbri tənliyin kökləri
Əgər
(1.3) tənliyinin kökləridirsə, onda sol tərəf aşağıdakı genişlənməyə malikdir: . (1.6)
(1.6) düsturunda binomialları vuraraq və bərabərliyin (1.6) sol və sağ tərəflərindəki x-in eyni dərəcələrindəki əmsalları bərabərləşdirməklə (1.3) cəbri tənliyin kökləri və əmsalları arasındakı əlaqələri əldə edirik:
(1.7)
Köklərin çoxluğunu nəzərə alsaq, genişlənmə (1.6) formasını alır
,
Harada
– (1) tənliyinin müxtəlif kökləri və 
– onların çoxluğu və 
.
törəmə 
aşağıdakı kimi ifadə edilir:
burada Q(x) elə çoxhədlidir ki
k=1,2,…,m-də Buna görə çoxhədli
ən böyüyüdür ortaq bölən polinom
və onun törəməsi 
, və Evklid alqoritmindən istifadə etməklə tapmaq olar. Gəlin bir nisbət yaradaq 
,
və bir polinom alırıq
real ehtimallarla
, A 1 , A 2 ,…, A m , kökləri 
fərqlidirlər. Beləliklə, çox köklü cəbri tənliyin həlli müxtəlif kökləri olan aşağı dərəcəli cəbri tənliyin həllinə qədər azalır.
1.2.3 Çoxhədlinin həqiqi köklərinin sayı
(a,b) intervalında (1.3) tənliyinin həqiqi köklərinin sayı haqqında ümumi fikir funksiyanın qrafiki ilə verilir.
, kökləri harada 
qrafikin Ox oxu ilə kəsişmə nöqtələrinin absisləridir. P(x) polinomunun bəzi xassələrini qeyd edək:
Əgər P(a)P(b)
Əgər P(a)P(b)>0 olarsa, (a, b) intervalında P(x) çoxhədlinin cüt ədədi var və ya kökləri yoxdur.
Tərif. Sıfırdan fərqli real ədədlərin ardıcıl sonlu sistemi verilsin:
,
,…,
(1.9)
Deyirlər ki, bir cüt bitişik element üçün
, 
sistemdə (1.9) işarə dəyişikliyi var, əgər bu elementlər əks işarələrə malikdirsə, yəni. 
,
və onların əlamətləri eyni olarsa, işarədə heç bir dəyişiklik yoxdur, yəni.
.
Tərif. Ümumi sayı qonşu elementlərin bütün cütlərinin əlamətlərinin dəyişməsi
, 
sistem (1.9) sistemdəki işarə dəyişikliklərinin sayı adlanır (1.9). Tərif. Verilmiş çoxhədli P(x) üçün Şturm sistemi çoxhədlilər sistemidir
,
, 
, 
,…, 
,
Harada 
, – çoxhədlini bölərkən əks işarə ilə alınan qalıq, – çoxhədlini bölərkən əks işarə ilə alınan qalıq və s.
Qeyd 1. Çoxhədlinin çoxsaylı kökləri yoxdursa, Şturm sisteminin sonuncu elementi sıfırdan fərqli həqiqi ədəddir.
Qeyd 2. Şturm sisteminin elementləri müsbət ədədi əmsala qədər hesablana bilər.
Bu sistemin sıfır elementlərinin üstündən xətt çəkmək şərti ilə X=c-də Şturm sistemində işarə dəyişikliklərinin sayını N(c) ilə işarə edək.
Teorem 1.5. (Şturm teoremi). P(x) polinomunun çoxlu atları yoxdursa və 
, 
, sonra onun həqiqi köklərinin sayı 
interval üzrə 
polinomun Şturm sistemində itirilmiş işarə dəyişikliklərinin sayına tam bərabərdir 
köçərkən 
əvvəl 
, yəni.
.
Nəticə 1. Əgər
, sonra nömrə 
müsbət və rəqəm 
polinomun mənfi kökləri müvafiq olaraq bərabərdir 
,
.
Nəticə 2. Çox kökü olmayan n dərəcəli P(x) çoxhədlinin bütün köklərinin həqiqi olması üçün şərtin yerinə yetirilməsi zəruri və kifayətdir.
.
Beləliklə, (1.3) tənliyində bütün köklər yalnız və yalnız aşağıdakı hallarda etibarlı olacaqdır:
Şturm sistemindən istifadə edərək, tənliyin bütün həqiqi köklərini ehtiva edən intervalı (a,b) sonlu sayda qismən intervallara bölmək yolu ilə cəbri tənliyin köklərini ayıra bilərsiniz.
belə 
.
1.3 Cəbri tənliklərin təxmini həlli üçün Lobaçevski-Qreff üsulu
1.3.1 Metodun ideyası
Cəbri tənliyi (1.3) nəzərdən keçirək.Belə iddia edək
, (1.15)
olanlar. köklər modul baxımından fərqlidir və hər bir əvvəlki kökün modulu növbətinin modulundan əhəmiyyətli dərəcədə böyükdür. Başqa sözlə, fərz edək ki, hər hansı iki bitişik kökün sayının azalan ardıcıllığı ilə sayılan nisbəti mütləq dəyər baxımından kiçik olan bir kəmiyyətdir:
, (1.16)
Harada 
Və 
- kiçik dəyər. Belə köklərə ayrılmış deyilir.
(1.17)
Harada 
, 
,…, 
– vahidlə müqayisədə mütləq dəyər baxımından kiçik olan kəmiyyətlər. (1.17) sistemində kəmiyyətlərin nəzərə alınmaması 
, təxmini əlaqələrimiz olacaq 
(1.18)
Kökləri haradan tapırıq? 
(1.19)
Bərabərliklər sistemində (1.20) köklərin düzgünlüyü kəmiyyətlərin mütləq dəyərinin nə qədər kiçik olmasından asılıdır. 
münasibətlərdə (1.16)
Köklərin ayrılmasına nail olmaq üçün (1.3) tənliyinə əsaslanaraq, çevrilmiş tənliyi tərtib edirlər.
, (1.20)
kimin kökləri
, 
,…, 
var m-e dərəcə kökləri 
, 
,…, 
tənliyi (1.3). Əgər (1.3) tənliyinin bütün kökləri fərqlidirsə və onların modulları (1.17) şərtini ödəyirsə, kifayət qədər böyük m üçün (1.20) tənliyinin kökləri , ,..., ayrılacaq, çünki
saat 
.
Aydındır ki, kökləri köklərin kvadratları olacaq tənliyi tapmaq üçün alqoritm qurmaq kifayətdir. arxasında verilmiş tənlik. Sonra kökləri orijinal tənliyin köklərinə gücə bərabər olan tənliyi əldə etmək mümkün olacaq.
.
1.3.2 Köklərin kvadratlaşdırılması
(1.3) çoxhədlini aşağıdakı formada yazırıqVə onu formanın çoxhədli ilə çarpın
Sonra alırıq
Əvəz etdikdən sonra
və çarparaq 
, olacaq . (1.21)
(1.21) çoxhədlinin kökləri (1.3) çoxhədlinin kökləri ilə aşağıdakı əlaqə ilə əlaqələndirilir.
.
Buna görə də bizi maraqlandıran tənlik belədir
,
əmsalları (1.22) düsturu ilə hesablanır
, (1.22)
harada olduğu güman edilir
saat 
.
Kökləri çoxhədliyə (1.3) kvadratlaşdırma prosesini ardıcıl olaraq k dəfə tətbiq etməklə çoxhədli əldə edirik.
, (1.23)
hansında
, 
və s. Kifayət qədər böyük k üçün (1.23) tənliyinin köklərinin sistemi təmin etməsini təmin etmək olar.
(1.24)
Hansı sistemin (1.24) verilmiş dəqiqliyi qane etdiyi k ədədini müəyyən edək.
Fərz edək ki, tələb olunan k artıq əldə edilib və (1.24) bərabərliklər qəbul olunmuş dəqiqliklə təmin olunub. Gəlin daha bir transformasiya edək və polinomu tapaq
,
(1.24) hansı sistem üçün də uyğundur
.
Çünki (1.22) düsturu əsasında
, (1.25)
sonra (1.25) sistemi (1.24) ilə əvəz edərək əldə edirik ki, əmsalların mütləq qiymətləri
əmsalların kvadratlarının qəbul edilmiş dəqiqliyinə bərabər olmalıdır 
. Bu bərabərliklərin yerinə yetirilməsi k-nin tələb olunan dəyərinə artıq k-ci addımda nail olunduğunu göstərəcək. Beləliklə, (1.3) tənliyinin köklərinin kvadratlaşdırılması, əgər qəbul edilmiş dəqiqliklə (1.24) düsturunun sağ tərəfində yalnız kvadrat əmsallar saxlanılırsa və hasillərin ikiqat cəmi dəqiqlik limitindən aşağı olarsa dayandırılmalıdır.
Sonra tənliyin həqiqi kökləri ayrılır və düsturla modulları tapılır
(1.26)
Kökün işarəsi qiymətləri əvəz etməklə təxmini qiymətləndirmə ilə müəyyən edilə bilər 
Və 
(1.3) tənliyinə daxil edin.
2 PRAKTİKİ HİSSƏ
2.1 Tapşırıq 1
. (2.1)
Əvvəlcə (2.1) tənliyində həqiqi və mürəkkəb köklərin sayını təyin edək. Bunun üçün Şturm teoremindən istifadə edəcəyik.
(2.1) tənliyi üçün Sturm sistemi aşağıdakı formada olacaq:
Bunu haradan alırıq?
Cədvəl 2.1.
|
Polinom |
Həqiqi oxda nöqtələr |
|
 |
 |
|
 |
+ |
+ |
 |
– |
+ |
 |
– |
– |
 |
– |
+ |
 |
– |
– |
|
İşarə dəyişikliklərinin sayı |
1 |
3 |
Beləliklə, (2.1) tənliyində həqiqi köklərin sayının bərabər olduğunu tapırıq
,
olanlar. (2.1) tənliyində 2 həqiqi və iki mürəkkəb kök var.
Tənliyin köklərini tapmaq üçün bir cüt mürəkkəb qoşa kök üçün Lobaçevski-Qreff metodundan istifadə edirik.
Gəlin tənliyin köklərini kvadratına çevirək. Əmsallar aşağıdakı düsturla hesablanmışdır 
, (2.2)
Harada 
, (2.3)
A 
olduqda 0-a bərabər hesab edilir 
.
Səkkiz əhəmiyyətli rəqəmlə hesablamaların nəticələri Cədvəl 2.2-də verilmişdir
Cədvəl 2.2.
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
 |
|||||
 |
0 |
-3.8000000E+01 |
3.5400000E+02 |
3.8760000E+03 |
0 |
 |
1 |
4.3000000E+01 |
7.1500000E+02 |
4.8370000E+03 |
1.0404000E+04 |
 |
|||||
 |
0 |
-1.4300000E+03 |
-3.9517400E+05 |
-1.4877720E+07 |
0 |
 |
1 |
4.1900000E+02 |
1.1605100E+05 |
8.5188490E+06 |
1.0824322E+08 |
 |
|||||
 |
0 |
-2.3210200E+05 |
-6.9223090E+09 |
-2.5123467E+13 |
0 |
 |
1 |
-5.6541000E+04 |
6.5455256E+09 |
4.7447321E+13 |
1.1716594E+16 |
 |
|||||
 |
0 |
-1.3091051E+10 |
5.3888712E+18 |
-1.5338253E+26 |
0 |
 |
1 |
-9.8941665E+09 |
4.8232776E+19 |
2.0978658E+27 |
1.3727857E+32 |
 |
|||||
 |
0 |
-9.6465552E+19 |
4.1513541E+37 |
-1.3242653E+52 |
0 |
 |
1 |
1.4289776E+18 |
2.3679142E+39 |
4.3877982E+54 |
1.8845406E+64 |
 |
|||||
 |
0 |
-4.7358285E+39 |
-1.2540130E+73 |
-8.9248610+103 |
0 |
 |
1 |
-4.7337865E+39 |
5.6070053E+78 |
1.9252683+109 |
3.5514932+128 |
 |
|||||
 |
0 |
-1.1214011E+79 |
1.8227619+149 |
-3.9826483+207 |
0 |
 |
1 |
1.1194724E+79 |
3.1438509+157 |
3.7066582+218 |
1.2613104+257 |
Cədvəl 2.2-dən göründüyü kimi 7-ci pillədə köklər 
, 
(modulların azalma sırası ilə hesablanması) ayrılmış hesab edilə bilər. (1.27) düsturundan istifadə edərək köklərin modullarını tapırıq və təqribi qiymətləndirmədən istifadə edərək işarəsini təyin edirik:
çevrilmiş əmsaldan bəri 
işarəsini dəyişir, onda bu tənliyin mürəkkəb kökləri olur, onlar (1.29) və (1.30) düsturlarından istifadə etməklə (1.31) tənliyindən müəyyən edilir:
i.
2.2 Tapşırıq 2
Lobaçevski-Qreff metodundan istifadə edərək tənliyi həll edin:. (2.4)
Başlamaq üçün Şturm teoremindən istifadə edərək (2.2) tənliyində həqiqi və mürəkkəb köklərin sayını təyin edirik.
Bu tənlik üçün Şturm sisteminin forması var
Onu haradan alırıq?
Cədvəl 2.3.
|
Polinom |
Həqiqi oxda nöqtələr |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
+ |
|
|
– |
+ |
|
|
+ |
+ |
|
|
– |
+ |
|
|
– |
– |
|
İşarə dəyişikliklərinin sayı |
3 |
1 |
Beləliklə, (2.2) tənliyində həqiqi köklərin sayının bərabər olduğunu tapırıq
,
olanlar. (2.2) tənliyində 2 həqiqi və iki mürəkkəb kök var.
Tənliyin köklərini təxminən tapmaq üçün bir cüt mürəkkəb qoşa kök üçün Lobachevsky-Greffe metodundan istifadə edəcəyik.
Gəlin tənliyin köklərini kvadratına çevirək. Biz (2.2) və (2.3) düsturlarından istifadə edərək əmsalları hesablayacağıq.
Səkkiz əhəmiyyətli rəqəmlə hesablamaların nəticələri Cədvəl 2.4-də verilmişdir
Cədvəl 2.4.
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|||||
|
|
0 |
-9.2000000E+00 |
-3.3300000E+01 |
1.3800000E+02 |
0 |
.
Və 
(2.4) tənliyində, eyni sayda iterasiya üçün müxtəlif sıraların (müvafiq olaraq 4.52958089E–11 və 4.22229789E–06) səhvləri ilə nəticələnir.və s. ümumi təhsil xarakteri daşıyır və ali riyaziyyatın BÜTÜN kursunu öyrənmək üçün böyük əhəmiyyət kəsb edir. Bu gün biz “məktəb” tənliklərini təkrarlayacağıq, ancaq “məktəb” tənliklərini deyil, hər yerdə rast gəlinənləri təkrarlayacağıq. müxtəlif vəzifələr vışmat. Həmişə olduğu kimi, hekayə tətbiqi şəkildə izah ediləcək, yəni. Mən təriflərə və təsniflərə diqqət yetirməyəcəyəm, ancaq dəqiqliklə sizinlə paylaşacağam Şəxsi təcrübə həllər. Məlumat ilk növbədə yeni başlayanlar üçün nəzərdə tutulub, lakin daha qabaqcıl oxucular da özləri üçün bir çox maraqlı məqamlar tapacaqlar. Və təbii ki, olacaq yeni material, kənara çıxmaq Ali məktəb.
Beləliklə, tənlik .... Çoxları bu sözü titrəyərək xatırlayır. Kökləri olan “mürəkkəb” tənliklər nələrdir... ...onları unut! Çünki o zaman bu növün ən zərərsiz “nümayəndələri” ilə qarşılaşacaqsınız. Ya da darıxdırıcı triqonometrik tənliklər onlarla həll üsulu ilə. Düzünü desəm, mən onları çox sevmirdim... Təlaşlanmayın! – sonra 1-2 addımda aşkar həlli ilə sizi əsasən “dandelionlar” gözləyir. Baxmayaraq ki, "burdock" mütləq yapışır, burada obyektiv olmaq lazımdır.
Qəribədir ki, ali riyaziyyatda çox primitiv tənliklərlə məşğul olmaq daha çox yayılmışdır xətti tənliklər
Bu tənliyi həll etmək nə deməkdir? Bu, onu həqiqi bərabərliyə çevirən “x” (kök) BELƏ dəyərini tapmaq deməkdir. İşarə dəyişikliyi ilə "üç"ü sağa ataq:
və "iki" ni sağ tərəfə buraxın (və ya eyni şey - hər iki tərəfi çarpın)
:
Yoxlamaq üçün gəlin qazanılmış kuboku orijinal tənliklə əvəz edək: 
Düzgün bərabərlik əldə edilir, yəni tapılan dəyər həqiqətən də bu tənliyin köküdür. Yaxud da necə deyərlər, bu bərabərliyi ödəyir.
Nəzərə alın ki, kök də formada yazıla bilər onluq:
Və bu pis üsluba sadiq qalmamağa çalışın! Səbəbini bir dəfədən çox təkrarladım, xüsusən də ilk dərsdə ali cəbr.
Yeri gəlmişkən, tənliyi “ərəb dilində” də həll etmək olar:
Ən maraqlısı isə odur ki, bu qeyd tamamilə qanunidir! Ancaq müəllim deyilsinizsə, bunu etməmək daha yaxşıdır, çünki burada orijinallıq cəzalandırılır =)
İndi bir az haqqında
qrafik həll üsulu
Tənliyin forması və kökü var "X" koordinatı kəsişmə nöqtələri xətti funksiya qrafiki xətti funksiyanın qrafiki ilə (x oxu):
Belə görünür ki, misal o qədər elementardır ki, burada təhlil etmək üçün başqa heç nə yoxdur, lakin ondan daha bir gözlənilməz nüansı “sıxmaq” olar: gəlin eyni tənliyi formada təqdim edək və funksiyaların qrafiklərini quraq: 
Orada, xahiş edirəm iki anlayışı qarışdırmayın: tənlik tənlikdir və funksiyası- bu bir funksiyadır! Funksiyalar yalnız kömək tənliyin köklərini tapın. Bunlardan iki, üç, dörd, hətta sonsuz sayda ola bilər. Bu mənada ən yaxın nümunə hamıya məlumdur kvadrat tənlik, həlli alqoritmi ayrı bir paraqraf aldı "isti" məktəb düsturları. Və bu təsadüf deyil! Kvadrat tənliyi həll edə bilsəniz və bilsəniz Pifaqor teoremi, onda biri deyə bilər ki, “ali riyaziyyatın yarısı artıq cibinizdədir” =) Əlbəttə, şişirdilmiş, lakin həqiqətdən o qədər də uzaq deyil!
Buna görə də tənbəl olmayaq və bəzi kvadrat tənliyi istifadə edərək həll edək standart alqoritm:
, bu o deməkdir ki, tənliyin iki fərqli var etibarlıdır kök: 
Tapılan hər iki dəyərin faktiki olaraq bu tənliyi təmin etdiyini yoxlamaq asandır: 
Birdən həll alqoritmini unutmusunuzsa və əlinizdə heç bir vasitə/kömək əlləri yoxdursa nə etməli? Bu vəziyyət, məsələn, sınaq və ya imtahan zamanı yarana bilər. Qrafik metoddan istifadə edirik! Və iki yol var: edə bilərsiniz nöqtə-nöqtə qurmaq parabola 
, bununla da oxunun harada kəsişdiyini tapmaq (ümumiyyətlə keçərsə). Ancaq daha hiyləgər bir şey etmək daha yaxşıdır: tənliyi formada təsəvvür edin, daha çox qrafik çəkin sadə funksiyalar- Və "X" koordinatları onların kəsişmə nöqtələri aydın görünür! 
Düz xəttin parabolaya toxunduğu ortaya çıxarsa, tənliyin iki üst-üstə düşən (çoxlu) kökü var. Düz xəttin parabolanı kəsmədiyi ortaya çıxarsa, onda həqiqi köklər yoxdur.
Bunun üçün təbii ki, qurmağı bacarmaq lazımdır elementar funksiyaların qrafikləri, lakin digər tərəfdən, hətta məktəbli bu bacarıqları edə bilər.
Və yenə də - tənlik tənlikdir, funksiyalar isə funksiyalardır yalnız kömək etdi tənliyi həll edin!
Və burada, yeri gəlmişkən, bir şeyi də xatırlamaq yerinə düşərdi: Əgər tənliyin bütün əmsalları sıfırdan fərqli bir ədədə vurularsa, onda onun kökləri dəyişməyəcək.
Beləliklə, məsələn, tənlik 
eyni köklərə malikdir. Sadə bir “sübut” olaraq sabiti mötərizədən çıxaracağam: 
və mən onu ağrısız çıxaracağam (Hər iki hissəni “mənfi iki”yə böləcəyəm):
AMMA! Funksiyanı nəzərə alsaq 
, onda burada sabitdən xilas ola bilməzsiniz! Yalnız çarpanın mötərizədən çıxarılmasına icazə verilir: 
.
Bir çox insanlar qrafik həll metodunu "ləyaqətsiz" bir şey hesab edərək düzgün qiymətləndirmir, bəziləri isə bu ehtimalı tamamilə unudurlar. Və bu, kökündən yanlışdır, çünki qrafiklərin tərtib edilməsi bəzən vəziyyəti xilas edir!
Başqa bir misal: tutaq ki, siz ən sadə triqonometrik tənliyin köklərini xatırlamırsınız: . Ümumi düstur məktəb dərsliklərində, ibtidai riyaziyyat üzrə bütün istinad kitablarında var, lakin onlar sizin üçün mövcud deyil. Bununla belə, tənliyin həlli vacibdir (aka "iki"). Çıxış var! – funksiyaların qrafiklərinin qurulması: 
bundan sonra onların kəsişmə nöqtələrinin "X" koordinatlarını sakitcə yazırıq: 
Sonsuz bir çox kök var və cəbrdə onların sıxlaşdırılmış qeydləri qəbul edilir:
, Harada ( – tam ədədlər dəsti)
.
Və "uzaqlaşmadan" bir dəyişən ilə bərabərsizliklərin həllinin qrafik üsulu haqqında bir neçə söz. Prinsip eynidir. Beləliklə, məsələn, bərabərsizliyin həlli istənilən “x” dir, çünki Sinusoid demək olar ki, tamamilə düz xəttin altındadır. Bərabərsizliyin həlli sinusoidin hissələrinin düz xəttin üstündə yerləşdiyi intervallar toplusudur. (x oxu):
və ya qısaca:
Ancaq burada bərabərsizliyin bir çox həlli var: boş, sinusoidin heç bir nöqtəsi düz xəttin üstündə olmadığı üçün.
Anlamadığınız bir şey varmı? Təcili olaraq dərsləri öyrənin dəstləri Və funksiya qrafikləri!
Gəlin istiləşək:
Məşq 1
Aşağıdakı triqonometrik tənlikləri qrafik şəkildə həll edin:
Dərsin sonunda cavablar
Gördüyünüz kimi, dəqiq elmləri öyrənmək üçün düsturları və istinad kitablarını sıxışdırmaq heç də lazım deyil! Üstəlik, bu, kökündən qüsurlu bir yanaşmadır.
Dərsin əvvəlində sizi əmin etdiyim kimi, ali riyaziyyatın standart kursunda mürəkkəb triqonometrik tənliklər çox nadir hallarda həll edilməlidir. Bütün mürəkkəblik, bir qayda olaraq, kimi tənliklərlə başa çatır ki, onların həlli ən sadə və ən sadə tənliklərdən yaranan köklərin iki qrupudur. 
. Sonuncunu həll etmək üçün çox narahat olmayın - kitaba baxın və ya İnternetdə tapın =)
Qrafik həll üsulu daha az əhəmiyyətsiz hallarda da kömək edə bilər. Məsələn, aşağıdakı "ragtag" tənliyini nəzərdən keçirək:
Onun həlli perspektivləri görünür... heç bir şeyə bənzəmir, ancaq tənliyi formada təsəvvür etmək, qurmaq lazımdır. funksiya qrafikləri və hər şey inanılmaz dərəcədə sadə olacaq. Haqqında məqalənin ortasında bir rəsm var sonsuz kiçik funksiyalar (növbəti tabda açılacaq).
Eyni qrafik metoddan istifadə edərək, tənliyin artıq iki kökə malik olduğunu və onlardan birinin sıfıra bərabər olduğunu, digərinin isə yəqin ki, irrasional və seqmentinə aiddir. Bu kök təxminən hesablana bilər, məsələn, tangens üsulu. Yeri gəlmişkən, bəzi problemlərdə elə olur ki, kökləri tapmaq lazım deyil, tapmaq lazımdır onlar ümumiyyətlə mövcuddurmu?. Və burada da bir rəsm kömək edə bilər - əgər qrafiklər kəsişmirsə, onda heç bir kök yoxdur.
Tam əmsallı çoxhədlilərin rasional kökləri.
Horner sxemi
İndi isə mən sizi baxışlarınızı Orta əsrlərə çevirməyə və klassik cəbrin unikal atmosferini hiss etməyə dəvət edirəm. Materialı daha yaxşı başa düşmək üçün sizə bir az da olsa oxumağı məsləhət görürəm mürəkkəb ədədlər.
Onlar ən yaxşısıdır. Polinomlar.
Bizim maraq obyektimiz formanın ən çox yayılmış polinomları olacaq bütövəmsallar Natural ədədçağırdı polinom dərəcəsi, sayı – ən yüksək dərəcə əmsalı (və ya ən yüksək əmsal), və əmsalı pulsuz üzv.
Bu çoxhədli qısaca ilə işarə edəcəyəm.
Çoxhədlinin kökləri tənliyin köklərini adlandırın
Pərəstiş etmək dəmir məntiq =)
Nümunələr üçün məqalənin ən əvvəlinə keçin: 
1-ci və 2-ci dərəcəli çoxhədlilərin köklərini tapmaqda heç bir problem yoxdur, lakin siz artırdıqca bu tapşırıq getdikcə çətinləşir. Digər tərəfdən, hər şey daha maraqlı olsa da! Və dərsin ikinci hissəsi məhz buna həsr olunacaq.
Birincisi, nəzəriyyənin ekranının yarısı:
1) Nəticəyə görə cəbrin əsas teoremi, dərəcə çoxhədli tam olaraq var kompleks kökləri. Bəzi köklər (və ya hətta hamısı) xüsusilə ola bilər etibarlıdır. Üstəlik, həqiqi köklər arasında eyni (çoxlu) köklər ola bilər (minimum iki, maksimum ədəd).
Əgər hansısa kompleks ədəd çoxhədlinin köküdürsə, onda qoşma onun sayı da mütləq bu çoxhədlinin köküdür (birləşən kompleks köklər formaya malikdir).
Ən sadə misal ilk dəfə 8-də meydana çıxan kvadrat tənlikdir (kimi) sinif və nəhayət mövzunu “bitirdik” mürəkkəb ədədlər. Xatırladım: kvadrat tənliyin ya iki fərqli həqiqi kökü, ya da çox kökü, ya da birləşmiş mürəkkəb kökləri var.
2) Kimdən Bezout teoremi Buradan belə nəticə çıxır ki, əgər ədəd tənliyin köküdürsə, onda müvafiq çoxhədli faktorlara bölünə bilər:
, burada dərəcə çoxhədlidir.
Yenə də köhnə nümunəmiz: tənliyin kökü olduğundan, onda . Bundan sonra məşhur "məktəb" genişlənməsini əldə etmək çətin deyil.
Bezout teoreminin nəticəsi böyük praktik əhəmiyyətə malikdir: əgər biz 3-cü dərəcəli tənliyin kökünü biliriksə, onda onu formada təqdim edə bilərik. 
və kvadrat tənlikdən qalan kökləri tapmaq asandır. Əgər 4-cü dərəcəli tənliyin kökünü biliriksə, onda sol tərəfi məhsula genişləndirmək olar və s.
Və burada iki sual var:
Sual bir. Bu kökü necə tapmaq olar? Əvvəlcə onun mahiyyətini müəyyən edək: ali riyaziyyatın bir çox məsələlərində onu tapmaq lazımdır rasional, xüsusilə bütövçoxhədlilərin kökləri və bu baxımdan, bizi əsasən onlarla maraqlandıracağıq.... ...o qədər yaxşı, o qədər tüklüdürlər ki, sadəcə onları tapmaq istəyirsən! =)
Ağla gələn ilk şey seçim üsuludur. Məsələn, tənliyi nəzərdən keçirək. Burada tutma sərbəst termindədir - sıfıra bərabər olsaydı, hər şey yaxşı olardı - mötərizədə "x" çıxarırıq və köklərin özləri səthə "düşür": 
Ancaq sərbəst terminimiz "üç"ə bərabərdir və buna görə də tənliyi əvəz etməyə başlayırıq müxtəlif nömrələr, "kök" olduğunu iddia edir. Hər şeydən əvvəl, vahid dəyərlərin dəyişdirilməsi özünü təklif edir. Əvəz edək: 
Qəbul edildi səhv bərabərlik, beləliklə, vahid "uyğun gəlmədi". Yaxşı, tamam, əvəz edək: 
Qəbul edildi doğru bərabərlik! Yəni dəyər bu tənliyin köküdür.
3-cü dərəcəli çoxhədlinin köklərini tapmaq üçün analitik üsul var (Kardano düsturları adlanır), amma indi bizi bir az fərqli vəzifə maraqlandırır.
- çoxhədlimizin kökü olduğundan çoxhədli formada göstərilə bilər və yaranır İkinci sual: "kiçik qardaşı" necə tapmaq olar?
Ən sadə cəbri mülahizələr onu göstərir ki, bunu etmək üçün -ə bölmək lazımdır. Çoxhədli çoxhədliyə necə bölmək olar? Adi ədədləri bölən eyni məktəb üsulu - "sütun"! Bu metodu dərsin ilk nümunələrində ətraflı müzakirə etdim. Kompleks Limitlər, və indi adlanan başqa bir üsula baxacağıq Horner sxemi.
Əvvəlcə “ən yüksək” çoxhədli yazırıq hamı ilə
, o cümlədən sıfır əmsallar:
, bundan sonra bu əmsalları (ciddi qaydada) cədvəlin yuxarı sırasına daxil edirik:
Kökü sola yazırıq:
Dərhal qeyd edəcəyəm ki, "qırmızı" nömrə varsa, Hornerin sxemi də işləyir yoxçoxhədlinin köküdür. Bununla belə, hər şeyi tələsməyək.
Aparıcı əmsalı yuxarıdan çıxarırıq:
Aşağı hüceyrələrin doldurulması prosesi bir qədər tikməni xatırladır, burada "mənfi bir" sonrakı addımlara nüfuz edən bir növ "iynə"dir. “Daşınan” rəqəmi (–1)-ə vururuq və yuxarıdakı xanadakı rəqəmi məhsula əlavə edirik:
Tapılan dəyəri "qırmızı iynə" ilə çarpırıq və məhsula aşağıdakı tənlik əmsalını əlavə edirik:
Və nəhayət, nəticədə alınan dəyər yenidən "iynə" və yuxarı əmsal ilə "emal edilir":
Sonuncu xanadakı sıfır çoxhədlinin bölündüyünü bildirir izsiz (olduğu kimi), genişlənmə əmsalları birbaşa cədvəlin alt sətirindən "çıxarılır":
Beləliklə, biz tənlikdən ekvivalent tənliyə keçdik və qalan iki köklə hər şey aydındır. (bu halda biz birləşmiş kompleks kökləri alırıq).
Tənlik, yeri gəlmişkən, qrafik olaraq da həll edilə bilər: süjet "ildırım" 
və qrafikin x oxunu kəsdiyinə baxın ()
nöqtədə. Və ya eyni "hiyləgər" hiylə - tənliyi formada yenidən yazırıq, elementar qrafiklər çəkirik və onların kəsişmə nöqtəsinin "X" koordinatını tapırıq.
Yeri gəlmişkən, 3-cü dərəcəli hər hansı bir funksiya-polinomun qrafiki oxu ən azı bir dəfə kəsir, yəni müvafiq tənlik ən azı bir etibarlıdır kök. Bu fakt hər hansı tək dərəcəli çoxhədli funksiya üçün doğrudur.
Və burada da üzərində dayanmaq istərdim mühüm məqam terminologiyaya aiddir: polinom Və polinom funksiyası – eyni şey deyil! Ancaq praktikada tez-tez, məsələn, "polinomun qrafiki" haqqında danışırlar, bu, əlbəttə ki, səhlənkarlıqdır.
Bununla belə, Hornerin sxeminə qayıdaq. Bu yaxınlarda qeyd etdiyim kimi, bu sxem digər nömrələr üçün işləyir, lakin əgər nömrə yox tənliyin köküdür, onda düsturumuzda sıfırdan fərqli əlavə (qalıq) görünür:
Hornerin sxeminə uyğun olaraq "uğursuz" dəyəri "çalışdıraq". Bu vəziyyətdə eyni cədvəldən istifadə etmək rahatdır - solda yeni bir "iynə" yazın, aparıcı əmsalı yuxarıdan hərəkət etdirin. (sol yaşıl ox), və gedirik: 
Yoxlamaq üçün mötərizələri açıb oxşar şərtləri təqdim edək:
, TAMAM.
Qalan ("altılıq") çoxhədlinin tam dəyəri olduğunu fərq etmək asandır. Və əslində - bu necədir: 
, və daha gözəl - bu kimi:
Yuxarıdakı hesablamalardan anlamaq asandır ki, Horner sxemi təkcə çoxhədli faktorlara deyil, həm də kökün "sivil" seçimini həyata keçirməyə imkan verir. Hesablama alqoritmini kiçik bir tapşırıqla özünüz birləşdirməyi təklif edirəm:
Tapşırıq 2
Horner sxemindən istifadə edərək tənliyin tam kökünü tapın və uyğun çoxhədlini çarpazlayın.
Başqa sözlə, burada sonuncu sütunda sıfır qalıq “çəkilənə” qədər ardıcıl olaraq 1, –1, 2, –2, ... – rəqəmlərini yoxlamaq lazımdır. Bu o demək olacaq ki, bu xəttin “iynəsi” çoxhədlinin köküdür
Hesablamaları vahid cədvəldə təşkil etmək rahatdır. Dərsin sonunda ətraflı həll və cavab.
Köklərin seçilməsi üsulu nisbətən sadə hallar üçün yaxşıdır, lakin polinomun əmsalları və/yaxud dərəcəsi böyükdürsə, onda proses uzun müddət çəkə bilər. Və ya bəlkə eyni siyahıdan bəzi dəyərlər var 1, –1, 2, –2 və nəzərə almağın mənası yoxdur? Üstəlik, köklər fraksiya ola bilər ki, bu da tamamilə qeyri-elmi pokingə səbəb olacaqdır.
Xoşbəxtlikdən, rasional köklər üçün "namizəd" dəyərlərin axtarışını əhəmiyyətli dərəcədə azalda bilən iki güclü teorem var:
Teorem 1 Gəlin nəzərdən keçirək azalmaz kəsr, harada. Əgər ədəd tənliyin köküdürsə, sərbəst müddət bölünür və aparıcı əmsal bölünür.
Xüsusilə, əgər aparıcı əmsal olarsa, bu rasional kök tam ədəddir:
Və biz teoremi yalnız bu dadlı detalla istifadə etməyə başlayırıq:
Gəlin tənliyə qayıdaq. Onun aparıcı əmsalı olduğu üçün hipotetik rasional köklər yalnız tam ədəd ola bilər və sərbəst termin mütləq bu köklərə qalıqsız bölünməlidir. Və "üç" yalnız 1, -1, 3 və -3-ə bölünə bilər. Yəni bizim cəmi 4 “kök namizədimiz” var. Və, görə Teorem 1, digər rasional ədədlər PRİNSİPDƏ bu tənliyin kökləri ola bilməz.
Tənlikdə bir az daha çox “iddiaçılar” var: sərbəst termin 1, –1, 2, – 2, 4 və –4-ə bölünür.
Nəzərə alın ki, 1, –1 rəqəmləri mümkün köklər siyahısının “müntəzəmləridir” (teoremin aşkar nəticəsi) və çoxu ən yaxşı seçim prioritet yoxlama üçün.
Gəlin daha mənalı nümunələrə keçək:
Problem 3
Həll: aparıcı əmsal olduğu üçün hipotetik rasional köklər yalnız tam ədəd ola bilər və onlar mütləq sərbəst terminin bölənləri olmalıdırlar. "Mənfi qırx" aşağıdakı nömrə cütlərinə bölünür:
– cəmi 16 “namizəd”.
Və burada dərhal cazibədar bir fikir yaranır: bütün mənfi və ya müsbət kökləri silmək mümkündürmü? Bəzi hallarda bu mümkündür! Mən iki işarəni tərtib edəcəyəm:
1) Əgər HamısıÇoxhədlinin əmsalları qeyri-mənfi və ya hamısı qeyri-müsbətdirsə, onun müsbət kökləri ola bilməz. Təəssüf ki, bu bizim vəziyyətimiz deyil (İndi bizə bir tənlik verilmişdirsə - onda bəli, çoxhədlinin hər hansı bir qiymətini əvəz edərkən, çoxhədlinin qiyməti ciddi şəkildə müsbətdir, yəni bütün müsbət ədədlər (və irrasional olanlar da) tənliyin kökləri ola bilməz.
2) Tək dərəcələr üçün əmsallar mənfi deyilsə və bütün cüt dərəcələr üçün (pulsuz üzv daxil olmaqla) mənfi olarsa, çoxhədlinin mənfi kökləri ola bilməz. Və ya “güzgü”: tək güclər üçün əmsallar müsbət deyil, bütün cüt güclər üçün isə müsbətdir.
Bu bizim işimizdir! Bir az yaxından baxdıqda görə bilərsiniz ki, tənliyə hər hansı mənfi “X” əvəz edərkən sol tərəf ciddi şəkildə mənfi olacaq, yəni mənfi köklər yox olur.
Beləliklə, araşdırma üçün 8 nömrə qalıb:
Biz onları Hornerin sxeminə uyğun olaraq ardıcıl olaraq “yükləyirik”. Ümid edirəm ki, siz artıq zehni hesablamaları mənimsəmisiniz: 
"İki" ni sınaqdan keçirərkən şans bizi gözləyirdi. Beləliklə, baxılan tənliyin köküdür və
Tənliyi öyrənmək qalır 
. Ayrı-seçkilik vasitəsi ilə bunu etmək asandır, lakin mən eyni sxemdən istifadə edərək göstərici testi keçirəcəyəm. Əvvəlcə qeyd edək ki, sərbəst termin 20-yə bərabərdir, yəni Teorem 1 8 və 40 rəqəmləri tədqiqat üçün dəyərləri tərk edərək mümkün köklər siyahısından çıxır (biri Hornerin sxeminə görə aradan qaldırıldı).
Yeni cədvəlin yuxarı cərgəsinə trinomialın əmsallarını yazırıq və Eyni "iki" ilə yoxlamağa başlayırıq. Niyə? Köklər çoxlu ola bildiyi üçün lütfən: - bu tənliyin 10 eyni kökü var. Ancaq diqqətimizi yayındırmayaq: 
Burada isə təbii ki, köklərin rasional olduğunu bilə-bilə bir az yalan danışırdım. Axı, onlar irrasional və ya mürəkkəb olsaydı, qalan bütün nömrələrin uğursuz bir yoxlanışı ilə üzləşərdim. Buna görə də, praktikada diskriminant tərəfindən rəhbər olun.
Cavab verin: rasional köklər: 2, 4, 5
Təhlil etdiyimiz problemdə şanslı idik, çünki: a) mənfi dəyərlər dərhal düşdü və b) kökü çox tez tapdıq (və nəzəri olaraq bütün siyahını yoxlaya bildik).
Amma reallıqda vəziyyət daha pisdir. Sizi “Son Qəhrəman” adlı maraqlı oyuna baxmağa dəvət edirəm:
Problem 4
Tənliyin rasional köklərini tapın
Həll: By Teorem 1 hipotetik rasional köklərin sayları şərti ödəməlidir (biz "on iki el ilə bölünür" oxuyuruq), məxrəcləri isə – şərtinə. Buna əsaslanaraq iki siyahı alırıq:
"list el":
və "siyahı um": (xoşbəxtlikdən buradakı rəqəmlər təbiidir).
İndi bütün mümkün köklərin siyahısını tərtib edək. Əvvəlcə “el siyahısı”nı bölürük. Eyni rəqəmlərin alınacağı tamamilə aydındır. Rahatlıq üçün onları cədvəldə yerləşdirək:
Bir çox fraksiya azaldıldı, nəticədə artıq "qəhrəman siyahısında" olan dəyərlər yarandı. Biz yalnız "yenilər" əlavə edirik: 
Eynilə, eyni “siyahı”nı aşağıdakılara bölürük: 
və nəhayət
Beləliklə, oyunumuzun iştirakçılarının komandası tamamlandı: 
Təəssüf ki, bu məsələdəki çoxhədli "müsbət" və ya "mənfi" kriteriyaya cavab vermir və buna görə də yuxarı və ya aşağı cərgədən imtina edə bilmərik. Bütün nömrələrlə işləməli olacaqsınız.
Özünü necə hiss edirsən? Buyurun, başınızı qaldırın – məcazi mənada “qatil teoremi” adlandırıla bilən başqa bir teorem var... ..."namizədlər", əlbəttə =)
Ancaq əvvəlcə Hornerin diaqramını ən azı biri üçün sürüşdürməlisiniz bütün nömrələri. Ənənəvi olaraq birini götürək. Üst sətirdə polinomun əmsallarını yazırıq və hər şey həmişəki kimidir:
Dörd aydın sıfır olmadığından, qiymət sözügedən polinomun kökü deyil. Amma o, bizə çox kömək edəcək.
Teorem 2 Bəziləri üçünsə ümumiyyətlə polinomun qiyməti sıfırdan fərqlidir: , onda onun rasional kökləri (əgər onlar varsa)şərti təmin edin
Bizim vəziyyətimizdə və buna görə də bütün mümkün köklər şərti təmin etməlidir (gəlin buna Şərt №1 deyək). Bu dördlük bir çox “namizədlərin” “qatili” olacaq. Nümayiş olaraq bir neçə yoxlamaya baxacağam:
Gəlin “namizədi” yoxlayaq. Bunun üçün onu süni şəkildə kəsr şəklində təqdim edək ki, ondan aydın görünür ki, . Test fərqini hesablayaq: . Dörd "mənfi iki" ilə bölünür: , yəni mümkün kök testdən keçdi.
Dəyəri yoxlayaq. Burada test fərqi belədir: 
. Təbii ki, ikinci “mövzu” da siyahıda qalır.
