Dördüncü dərəcəli misallarla tənlikləri necə həll etmək olar. Dördüncü dərəcəli tənlik. Dördüncü dərəcəli bikvadrat tənliklərin həlli
Kardano kub tənliklərinin həlli metodunu nəşr etdikdən az sonra onun tələbələri və ardıcılları dördüncü dərəcəli ümumi tənliyi kub tənliyinə endirməyin yollarını tapdılar. L.Ferrariyə məxsus olan ən sadə üsulu təqdim edək.
Metodunu təqdim edərkən aşağıdakı elementar lemmadan istifadə etməlisiniz.
Lemma. Kvadrat üçhəmin xətti binomialın kvadratı olması üçün onun diskriminantının sıfıra bərabər olması zəruri və kifayətdir.
Sübut. Zərurət. Qoy . Sonra Kafilik. Qoy O zaman
Təqdim olunan metodun ideyası tənliyin sol tərəfini iki kvadratın fərqi kimi təqdim etməkdir. Sonra ikinci dərəcəli iki faktora parçalana bilər və tənliyin həlli iki kvadrat tənliyin həllinə səbəb olacaqdır. Məqsədə çatmaq üçün sol tərəfi formada təmsil edək:
Burada y köməkçi naməlumdur, o seçilməlidir ki, kvadrat mötərizədəki ifadə xətti binomialın kvadratı olsun. Lemmaya görə, bunun üçün şərti təmin etmək lazımdır və kifayətdir
Bu şərt y-ə görə üçüncü dərəcəli tənlikdir. Mötərizələr açıldıqdan sonra formaya çevrilir
Bu tənliyin köklərindən biri olsun. Sonra şərt təmin olunacaq, belə ki, saxlayır
bəzi k və I üçün. İlkin tənlik formasını alır
Faktorların hər birini sıfıra bərabər tutaraq, orijinal tənliyin dörd kökünü tapacağıq.
Bir daha qeyd edək. Birinci amilin kökləri olsun, ikincinin də kökləri olsun. Sonra bu bərabərlikləri əlavə edərək, bunu əldə edirik
Beləliklə, dördüncü dərəcəli ilkin tənliyin kökləri baxımından köməkçi kub tənliyinin kökünün ifadəsini əldə etdik.
Misal. Tənliyi həll edin. Yuxarıda göstərilən üsula əsasən, sol tərəfi çeviririk:
İndi qoyaq. Formasiyalardan sonra tənliyi alırıq
Bu tənliyin köklərindən birinin ədəd olduğunu görmək asandır. Onu orijinal tənliyin dəyişdirilmiş sol tərəfinə əvəz edərək, əldə edirik:
Faktorları sıfıra bərabər tutaraq, alırıq
Dördüncü dərəcədən yuxarı tənliklərə gəldikdə isə, radikallarda cəbri həlləri, yəni arifmetik əməliyyatların nəticələri və kök çıxarma hərəkəti şəklində imkan verən nisbətən xüsusi formalı tənliklərin bəzi sinifləri məlum idi. Bununla belə, beş və daha yüksək dərəcəli ümumi tənliklərin həllini təmin etmək cəhdləri, nəhayət, 19-cu əsrin əvvəllərinə qədər uğursuz oldu. Ruffini və Abel dördüncü dərəcədən yuxarı olan ümumi tənliklər üçün bu cür həllin mümkün olmadığını sübut etmədilər. Nəhayət, 1830-cu ildə parlaq fransız riyaziyyatçısı E.Qalua radikalların həll oluna bilməsi üçün zəruri və kafi şərtləri (yoxlamaq olduqca çətindir) tapmağı bacardı. verilmiş tənlik. Eyni zamanda Qalua öz dövrü üçün yeni olan permutasiya qrupları nəzəriyyəsini yaratmış və istifadə etmişdir.
Ümumi halda dördüncü dərəcəli tənliyin həlli daha yüksək dərəcələr üçün tənliklərin həlli üsullarından, məsələn, Ferrari metodundan və ya Horner sxemindən istifadə etməklə həyata keçirilir. Ancaq bəzi 4-cü dərəcəli tənliklərin daha sadə həlli var.
Dördüncü dərəcəli tənliklərin bir neçə xüsusi növü var, onların həlli üsullarını aşağıda öyrənəcəksiniz:
- Bikvadrat tənlik $ax^4+bx^2+c=0$;
- $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ formasının qarşılıqlı tənlikləri;
- $ax^4+b=0$ formasının tənlikləri.
Dördüncü dərəcəli bikvadrat tənliklərin həlli
$ax^4+bx^2+c=0$ bikvadrat tənliklər $x^2$ dəyişənini yenisi ilə əvəz etməklə, məsələn, $y$ ilə kvadratik tənliklərə endirilir. Əvəz olunduqdan sonra yeni yaranan tənlik həll edilir və sonra tapılan dəyişənin qiyməti $x^2=y$ tənliyinə əvəz edilir. Həllin nəticəsi $x^2=y$ tənliyinin kökləri olacaqdır.
Misal 1
$x(x-1)(x-2)(x-3)=24$ tənliyini həll edin:
Çoxhədlidə mötərizələri genişləndirək:
$(x^2-3x)(x^2-3x+2)=24$
Bu formada aydın olur ki, biz $y=x^2-3x$ ifadəsini yeni dəyişən kimi seçə bilərik; onu əvəz edək:
$y\cdot (y+2)=24$
İndi $x^2-3x=-4$ və $x^2-3x=-6$ olan iki kvadrat tənliyi həll edək.
Birinci tənliyin kökləri $x_1(1,2)=4;-1$, ikincinin həlli yoxdur.
4-cü dərəcəli qarşılıqlı tənliklərin həlli
$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ şəklində olan bu tənliklər daha yüksək dərəcəyə malik çoxhədlilər üçün əmsalları aşağı tərtibli şərtlər üçün əmsalları ilə təkrarlayır. Belə bir tənliyi həll etmək üçün əvvəlcə onu $x^2$-a bölün:
$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0|:x^2$
$ax^2+bx+c+\frac(b)(x) + \frac(a)(x^2)=0$
$a(x^2+\frac(1)(x^2))+b(x+\frac(1)(x)) + c=0$
Sonra $(x+\frac(1)(x))$-ı yeni dəyişənlə əvəz edin, sonra $(x^2+\frac(1)(x^2))=y^2-2$ əvəz etdikdən sonra biz alırıq. növbəti kvadrat tənlik:
$a(y^2-2)+by+c=0$
Bundan sonra $x+\frac(1)(x)=y_1$ və $x+\frac(1)(x)=y_2$ tənliklərinin köklərini axtarırıq.
Oxşar üsuldan $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$ şəklində olan qarşılıqlı tənliklərin həlli üçün istifadə olunur.
Misal 2
Tənliyi həll edin:
$3x^4-2x^3-9x^2-4x+12=0$
Bu tənlik $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$ formasının qarşılıqlı tənliyidir. Beləliklə, bütün tənliyi $x^2$-a bölürük:
$3x^2-2x-9 \cdot \frac(2 \cdot 2)(x)+3 \cdot (\frac(2)(x))^2=0$
$3(x^2+\frac(4)(x^2))-2(x+\frac(2)(x)-9=0$
$x+\frac(2)(x)$ ifadəsini əvəz edək: $3(y^2-4)-2y-9=0$
Bu tənliyin köklərini hesablayaq, onlar $y_1=3$ və $y_2=-\frac(7)(3)$-a bərabərdir.
Buna uyğun olaraq indi iki $x+\frac(2)(x)=3$ və $x+\frac(2)(x)=-\frac(7)(3)$ tənliyini həll etmək lazımdır. Birinci tənliyin həlli $x_1=1, x_2=2$, ikinci tənliyin kökü yoxdur.
Beləliklə, ilkin tənliyin kökləri $x_1=1, x_2=2$-dır.
$ax^4+b=0$ formasının tənlikləri
Bu tip tənliyin kökləri qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə etməklə tapılır.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
Əvvəlcə seçim metodundan istifadə edərək bir kök tapmalısınız. Adətən sərbəst terminin bölücüdür. Bu halda ədədin bölənləri 12 var ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Onları bir-bir əvəz etməyə başlayaq:
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ sayı 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ sayı -1 polinomun kökü deyil
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ ədəd 2 çoxhədlinin köküdür
Çoxhədlinin köklərindən 1-ni tapdıq. Çoxhədlinin kökü 2, bu o deməkdir ki, orijinal çoxhədli bölünməlidir x - 2. Çoxhədlilərin bölünməsini yerinə yetirmək üçün Horner sxemindən istifadə edirik:
| 2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
| 2 |
Orijinal polinomun əmsalları yuxarı sətirdə göstərilir. Tapdığımız kök ikinci sıranın birinci xanasına yerləşdirilir 2. İkinci sətir bölünmə nəticəsində yaranan çoxhədlinin əmsallarını ehtiva edir. Onlar belə hesablanır:
| İkinci sıranın ikinci xanasına nömrəni yazırıq 2, sadəcə onu birinci sıranın müvafiq xanasından köçürməklə. | ||||||||||||
| 2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
| 2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
| 2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
| 2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
Son nömrə bölmənin qalan hissəsidir. Əgər 0-a bərabərdirsə, onda biz hər şeyi düzgün hesablamışıq.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
Amma bu son deyil. Eyni şəkildə polinomu genişləndirməyə cəhd edə bilərsiniz 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.
Biz yenə də sərbəst terminin bölənləri arasında bir kök axtarırıq. Rəqəm bölənləri -6 var ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ sayı 1 polinomun kökü deyil
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ ədədi -1 polinomun kökü deyil
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ ədəd 2 polinomun kökü deyil
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ ədəd -2 çoxhədlinin köküdür
Tapılan kökü Horner sxemimizə yazaq və boş xanaları doldurmağa başlayaq:
| Üçüncü sıranın ikinci xanasına nömrəni yazırıq 2, sadəcə onu ikinci sıranın müvafiq xanasından köçürməklə. | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
Beləliklə, biz orijinal polinomu faktorlara ayırdıq:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)
Polinom 2x 2 + 5x - 3 faktorlara bölünə bilər. Bunun üçün diskriminant vasitəsilə kvadrat tənliyi həll edə və ya kökü ədədin bölənləri arasında axtara bilərsiniz. -3. Bu və ya digər şəkildə, bu çoxhədlinin kökünün ədəd olduğu qənaətinə gələcəyik -3
| Dördüncü sıranın ikinci xanasına nömrə yazırıq 2, sadəcə onu üçüncü sıranın müvafiq xanasından köçürməklə. | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
Beləliklə, orijinal çoxhədlini xətti amillərə parçaladıq.
Dekart-Eyler həlli
Əvəzetmə etdikdən sonra aşağıdakı formada bir tənlik əldə edirik (buna "natamam" deyilir):
y 4 + səhy 2 + qy + r = 0 .Köklər y 1 , y 2 , y 3 , y Belə bir tənliyin 4-ü aşağıdakı ifadələrdən birinə bərabərdir:
simvolların birləşmələri aşağıdakı əlaqənin təmin ediləcəyi şəkildə seçilir:
,
və z 1 , z 2 və z 3 kub tənliyinin kökləridir
Ferrari həlli
Əsas məqalə: Ferrari üsulu
Dördüncü dərəcəli tənliyi aşağıdakı formada təqdim edək:
Ax 4 + Bx 3 + Cx 2 + Dx + E = 0,Onun həllini aşağıdakı ifadələrdən tapmaq olar:
β = 0 olarsa, həll edin u 4 + α u 2 + γ = 0 və əvəzetmənin edilməsi 
, köklərini tapaq: . 
, (hər hansı kvadrat kök işarəsi edəcək) , (üç mürəkkəb kök, onlardan biri edəcək) 
İki ± s eyni işarəyə malik olmalıdır, ± t - müstəqildir. Bütün kökləri tapmaq üçün işarələnmiş birləşmələr üçün ± s ,± t = +,+ üçün +,− üçün −,− üçün x-i tapmaq lazımdır. İkiqat köklər iki dəfə, üçlü köklər üç dəfə və dördüncü köklər dörd dəfə görünəcək. Köklərin sırası hansı kub kökündən asılıdır U seçilmişdir. həmçinin bax
- 4-cü dərəcəli tənliklərin asan həll olunan növləri: Bikvadrat tənlik, dördüncü dərəcəli qarşılıqlı tənlik
Ədəbiyyat
- Korn G., Korn T. (1974) Riyaziyyat Kitabı.
Linklər
- Ferrari-nin qərarı
Wikimedia Fondu. 2010.
Digər lüğətlərdə "dördüncü dərəcəli tənliyin" nə olduğuna baxın:
dördüncü dərəcəli tənlik- - [L.G. Sumenko. İnformasiya texnologiyaları üzrə ingiliscə-rusca lüğət. M.: Dövlət Müəssisəsi TsNIIS, 2003.] Mövzular informasiya texnologiyalarıümumiyyətlə EN kvart tənliyi ... Texniki Tərcüməçi Bələdçisi
Dörd kök və üç kritik nöqtəsi olan 4-cü dərəcəli çoxhədlinin qrafiki. Riyaziyyatda dördüncü dərəcəli tənlik formanın cəbri tənliyidir: Dördüncü dərəcə cəbri tənliklərən yüksəkdir... ... Vikipediya
Formanın tənliyi: anxn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0 = 0, əgər onun simmetrik mövqelərdəki əmsalları bərabərdirsə, o zaman qarşılıqlı adlanır, yəni an − k = ak, k = 0 üçün, 1, ..., n. Mündəricat 1 Dördüncü dərəcəli tənlik ... Vikipediya
Hansı ki, naməlum termin dördüncü gücə aiddir. Rus dilində istifadəyə verilmiş xarici sözlərin tam lüğəti. Popov M., 1907. lat.-dən BIQUADRAAT TƏNLİKİ. bis, iki dəfə və kvadrat, kvadrat. Ən böyük dərəcənin olduğu tənlik...... Rus dilinin xarici sözlərin lüğəti
Arifmetika ilə birlikdə ədədlər və ədədlər vasitəsilə ümumiyyətlə kəmiyyətlər elmi var. Hər hansı müəyyən, konkret kəmiyyətlərin xassələrini öyrənmədən bu elmlərin hər ikisi mücərrəd kəmiyyətlərin xassələrini... ... ensiklopedik lüğət F. Brockhaus və İ.A. Efron
Aviasiya mühəndislərinə yeni bir təyyarə yaratmaq və ya təkmilləşdirmək üçün aerodinamika, güc problemləri, mühərrik quruluşu və təyyarələrin uçuş dinamikası (yəni nəzəriyyə) sahəsində öyrənməyə imkan verən tətbiqi biliklər toplusu... ... Collier ensiklopediyası
Ən qədim riyazi fəaliyyət saymaq idi. Mal-qaranın hesabını aparmaq və ticarət aparmaq üçün hesab lazım idi. Bəzi ibtidai tayfalar cisimlərin sayını bədənin müxtəlif hissələri ilə uyğunlaşdıraraq sayırdılar, əsasən... ... Collier ensiklopediyası
Dövr və Bölgəyə Görə Texnologiya Tarixi: Neolit İnqilabı Misirin Qədim Texnologiyası Qədim Hindistanın Elmi və Texnologiyası Elm və Texnologiya qədim Çin Texnologiyalar Qədim Yunanıstan Texnologiyalar Qədim Romaİslam dünyasının texnologiyaları... ... Vikipediya
Tənlik iki cəbri ifadənin bərabərliyini ifadə edən riyazi əlaqədir. Əgər bərabərlik ona daxil olan naməlumların hər hansı icazə verilən qiymətləri üçün doğrudursa, ona eynilik deyilir; məsələn, formanın nisbəti...... Collier ensiklopediyası
Abel Ruffini teoremi belə deyir ümumi tənlik səlahiyyətləri radikallarda həll edilə bilməz. Mündəricat 1 Təfərrüatlar... Vikipediya
Tənliklərdən istifadə həyatımızda geniş yayılmışdır. Onlar bir çox hesablamalarda, strukturların tikintisində və hətta idmanda istifadə olunur. İnsan qədim zamanlarda tənliklərdən istifadə edirdi və o vaxtdan bəri onların istifadəsi yalnız artmışdır. Bu tip tənliklərin həlli daha yüksək dərəcəli tənliklərin həlli üçün ümumi sxemə əsasən həyata keçirilə bilər. Ferrari metodu sayəsində bu tip tənliklərin həlləri kub tənliyinə endirməyə imkan verən radikallarda həll olunur. Lakin əksər hallarda çoxhədli faktorlara ayırmaqla tənliyin həllini tez tapa bilərsiniz.
Tutaq ki, bizə dördüncü dərəcəli binom tənliyi verilib:
Polinomu faktorlara ayıraq:
Birinci kvadrat üçhəmin köklərini təyin edirik:
İkinci trinomialın köklərini təyin edirik:
Nəticədə, orijinal tənliyin dörd mürəkkəb kökü var:
4-cü dərəcəli tənlikləri onlayn olaraq harada həll edə bilərəm?
Tənliyi https://site saytımızda həll edə bilərsiniz. Pulsuz onlayn həlledici hər hansı bir mürəkkəbliyin onlayn tənliklərini bir neçə saniyə ərzində həll etməyə imkan verəcəkdir. Etməli olduğunuz şey sadəcə məlumatlarınızı həllediciyə daxil etməkdir. Siz həmçinin veb saytımızda video təlimatlarına baxa və tənliyi necə həll edəcəyinizi öyrənə bilərsiniz.Və hər hansı bir sualınız varsa, onları VKontakte qrupumuzda http://vk.com/pocketteacher verə bilərsiniz. Qrupumuza qoşulun, sizə kömək etməkdən hər zaman şad olarıq.
