İki bərabərdir. İki bərabər rəqib şahmat oynayır. Ekvivalent çevrilmələr. Sadələşdirilmiş düsturlar
Tərif. İki f 1 (x) = g 1 (x) və f 2 (x) = g 2 (x) tənlikləri, köklərinin çoxluqları eyni olarsa, ekvivalent adlanır.
Məsələn, tənliklər x 2 - 9 = 0 və (2 X + 6)(X- 3) = 0 ekvivalentdir, çünki hər ikisinin kökləri 3 və -3 rəqəmlərinə malikdir. Tənliklər (3 X + 1)-2 = x 2- + 1 və x 2+ 1 = 0, çünki hər ikisinin kökü yoxdur, yəni. onların köklərinin çoxluğu eynidir.
Tərif. Tənliyin ekvivalent tənliklə əvəz edilməsi ekvivalent çevrilmə adlanır.
İndi hansı çevrilmələrin ekvivalent tənlikləri əldə etməyə imkan verdiyini öyrənək.
Teorem 1. Tənlik olsun f(x) və g(x) setdə verilir və h(x) eyni çoxluqda müəyyən edilmiş ifadədir. Sonra tənliklər f(x) = g(x)(1) və f(x) + h(x) =g(x) + h(x) (2) ekvivalentdir.
Sübut. ilə işarələyin T 1 -(1) tənliyinin həllər toplusu və vasitəsilə T 2 -(2) tənliyinin həllər toplusu. Onda (1) və (2) tənlikləri əgər ekvivalent olacaqdır T 1 \u003d T 2. Bunu yoxlamaq üçün hər hansı bir kökün olduğunu göstərmək lazımdır T 1(2) tənliyinin kökü və əksinə, hər hansı bir kökdür T 2(1) tənliyinin köküdür.
Qoy nömrə Amma(1) tənliyinin köküdür. Sonra a? T 1 və (1) tənliyinə əvəz etdikdə onu həqiqi ədədi bərabərliyə çevirir f(a) = g(a), və ifadəsi h(x)ədədi ifadəyə çevirir h(a) setdə məna kəsb edir x. Həqiqi bərabərliyin hər iki tərəfinə əlavə edin f(a) = g(a)ədədi ifadə h(a). Həqiqi ədədi bərabərliklərin xassələrinə görə həqiqi ədədi bərabərliyi əldə edirik f(a) + h(a) =g(a) + h(a), bu onu göstərir Amma(2) tənliyinin köküdür.
Beləliklə, sübut edilmişdir ki, (1) tənliyinin hər bir kökü də (2) tənliyinin köküdür, yəni. T 1-dan T2.
Qoy indi Amma -(2) tənliyinin kökü. Sonra Amma? T2 və (2) tənliyinə əvəz etdikdə onu həqiqi ədədi bərabərliyə çevirir f(a) + h(a) =g(a) + h(a). Gəlin bu bərabərliyin hər iki hissəsinə ədədi bir ifadə əlavə edək - h(a), həqiqi ədədi bərabərliyi əldə edirik f(x) = g(x), sayı olduğunu göstərir Amma -(1) tənliyinin kökü.
Beləliklə, sübut edilmişdir ki, (2) tənliyinin hər bir kökü də (1) tənliyinin köküdür, yəni. T2-dan T 1.
Çünki T 1-dan T 2 Və T 2-dan T 1 sonra bərabər çoxluqların tərifi ilə T 1= T 2, bu o deməkdir ki, (1) və (2) tənlikləri ekvivalentdir.
Bu teorem fərqli şəkildə tərtib edilə bilər: əgər tənliyin hər iki tərəfi tərif sahəsi ilə X eyni çoxluqda müəyyən edilmiş dəyişənlə eyni ifadəni əlavə etsək, onda verilmiş birinə ekvivalent olan yeni tənlik alırıq.
Tənliklərin həllində istifadə olunan bu teoremdən nəticələr çıxır:
1. Tənliyin hər iki tərəfinə eyni ədədi əlavə etsək, verilmiş birinə ekvivalent olan tənlik alırıq.
2. Əgər hər hansı bir termin (ədədi ifadə və ya dəyişənli ifadə) tənliyin bir hissəsindən digərinə keçərək, terminin işarəsini əksinə dəyişdirirsə, onda verilmiş birinə ekvivalent tənlik alırıq.
Teorem 2. Tənlik olsun f(x) = g(x) setə qoyulur X Və h(x) - eyni çoxluqda təyin olunan və heç bir dəyər üçün itməyən ifadə Xçoxlarından x. Sonra tənliklər f(x) = g(x) Və f(x) h(x) =g(x) h(x) ekvivalentdir.
Bu teoremin sübutu Teorem 1-in sübutuna bənzəyir.
Teorem 2 fərqli şəkildə tərtib edilə bilər: domen ilə tənliyin hər iki tərəfi olarsa X eyni çoxluqda təyin olunan və onun üzərində yox olmayan eyni ifadə ilə çoxalsaq, onda verilənə ekvivalent yeni tənlik əldə edirik.
Bu teoremdən nəticə çıxır: tənliyin hər iki hissəsi sıfırdan fərqli eyni ədədə vurularsa (və ya bölünərsə), onda verilənə ekvivalent tənlik alırıq.
Bir dəyişənli tənliklərin həlli
Tənliyi həll edin 1- x/3 = x/6, x ? R və həll prosesində həyata keçirəcəyimiz bütün dəyişiklikləri əsaslandırırıq.
| Transformasiyalar | Dönüşüm üçün əsaslandırma |
| 1. Tənliyin sol və sağ tərəflərindəki ifadələri ortaq məxrəcə gətiririk: (6-2) X)/ 6 = X/6 | Tənliyin sol tərəfindəki ifadənin eyni çevrilməsini həyata keçirdi. |
| 2. Ümumi məxrəci buraxın: 6-2 X = X | Tənliyin hər iki hissəsini 6-ya vurduq (Teorem 2), verilənə ekvivalent tənlik əldə etdik. |
| 3. -2x ifadəsini əks işarəli tənliyin sağ tərəfinə keçiririk: 6 = X+2X. | Biz Teorem 1-in nəticəsini istifadə etdik və əvvəlkinə və deməli, verilənə bərabər olan tənlik əldə etdik. |
| 4. Bənzər şərtləri tənliyin sağ tərəfində təqdim edirik: 6 = 3 X. | İfadənin eyni çevrilməsini həyata keçirdi. |
| 5. Tənliyin hər iki tərəfini 3-ə bölün: X = 2. | Biz 2-ci teoremdən nəticə çıxardıq, əvvəlkinə və buna görə də bu tənliyə ekvivalent əldə etdik. |
Bu tənliyi həll edərkən etdiyimiz bütün çevrilmələr ekvivalent olduğundan, 2-nin bu tənliyin kökü olduğunu iddia etmək olar.
Əgər tənliyin həlli prosesində 1-ci və 2-ci teoremlərin şərtləri yerinə yetirilmirsə, o zaman köklərin itməsi baş verə bilər və ya kənar köklər yarana bilər. Buna görə də, daha sadəini əldə etmək üçün tənliyin çevrilmələrini həyata keçirərkən, onların verilənə ekvivalent bir tənliyə səbəb olmasını təmin etmək vacibdir.
Məsələn, tənliyi nəzərdən keçirək x(x - 1) = 2x, x? R. Gəlin hər iki hissəni hissələrə ayıraq X, tənliyini alırıq X - 1 = 2, haradandır X= 3, yəni bu tənliyin tək kökü var - rəqəm 3. Amma bu doğrudurmu? Bu tənlikdə dəyişən yerinə if olduğunu görmək asandır X 0-ı əvəz etsəniz, 0 (0 - 1) = 2 0 həqiqi ədədi bərabərliyinə çevriləcəkdir. Və bu o deməkdir ki, 0 bu tənliyin köküdür, çevrilmələri həyata keçirərkən itirdik. Gəlin onları təhlil edək. Etdiyimiz ilk şey tənliyin hər iki tərəfini bölmək oldu X, olanlar. ifadə ilə vurulur1/ x, lakin X= Oh, bunun mənası yoxdur. Beləliklə, biz Teorem 2-nin şərtini yerinə yetirmədik, bu da kökün itirilməsinə səbəb oldu.
Bu tənliyin köklər çoxluğunun iki 0 və 3 rəqəmindən ibarət olduğuna əmin olmaq üçün başqa bir həll təqdim edirik. 2-ci ifadəni köçürək X sağdan sola: x(x- 1) - 2x \u003d 0. Tənliyin sol tərəfindəki mötərizələri çıxarırıq X və oxşar şərtləri verin: x(x - 3) = 0. İki amilin hasili sıfıra bərabərdir o halda və yalnız onlardan ən azı biri sıfıra bərabərdir, buna görə də x= 0 və ya X- 3 = 0. Buradan alırıq ki, bu tənliyin kökləri 0 və 3-dür.
İbtidai riyaziyyatda nəzəri əsas tənliklərin həlli komponentlər və hərəkətlərin nəticələri arasındakı əlaqədir. Məsələn, tənliyin həlli ( X 9):24 = 3 aşağıdakı kimi əsaslandırılır. Naməlum dividenddə olduğu üçün dividend tapmaq üçün bölücü hissəyə vurmalısınız: X 9 = 24 3 və ya X 9 = 72.
Naməlum amili tapmaq üçün məhsulu məlum faktora bölmək lazımdır: x = 72:9 və ya x = 8, buna görə də bu tənliyin kökü 8 rəqəmidir.
Məşqlər
1 . Aşağıdakı qeydlərdən hansının bir dəyişənli tənliklər olduğunu müəyyənləşdirin:
Amma) ( X-3) 5 = 12 X; d) 3 + (12-7) 5 = 16;
b) ( X-3) 5 = 12; e) ( X-3) y =12X;
in) ( X-3) 17 + 12; e) x 2 - 2x + 5 = 0.
2. Tənlik 2 X 4 + 4XÇoxluqda 2 -6 = 0 verilir natural ədədlər. Nə üçün 1 rəqəminin bu tənliyin kökü olduğunu, lakin 2 və -1 rəqəmlərinin onun kökləri olmadığını izah edin.
3. tənlikdə ( X+ ...)(2X + 5) - (X - 3)(2X+ 1) = 20 bir ədəd silinir və nöqtələrlə əvəz olunur. Bu tənliyin kökünün 2 rəqəmi olduğunu bilirsinizsə, silinmiş ədədi tapın.
4. Aşağıdakı şərtləri tərtib edin:
a) 5 rəqəmi tənliyin köküdür f(x) = g(x);
b) 7 rəqəmi tənliyin kökü deyil f(x) = g(x).
5. Aşağıdakı cüt tənliklərdən hansının həqiqi ədədlər çoxluğunda ekvivalent olduğunu müəyyənləşdirin:
a) 3 + 7 X\u003d -4 və 2 (3 + 7l X) = -8;
6)3 + 7X= -4 və 6 + 7 X = -1;
c) 3 + 7 X= -4 və l X + 2 = 0.
6. Tənliyin ekvivalentlik əlaqəsinin xassələrini tərtib edin. Onlardan hansı tənliyin həlli prosesində istifadə olunur?
7. Tənlikləri həll edin (hamısı həqiqi ədədlər çoxluğunda verilmişdir) və onların sadələşdirilməsi prosesində aparılan bütün çevrilmələri əsaslandırın:
a)(7 x+4)/2 – x = (3x-5)/2;
b) x –(3x-2)/5 = 3 – (2x-5)/3;
2-də X)2-X (X + 1,5) = 4.
8. Tələbə 5-ci tənliyi həll etdi X + 15 = 3 X+ 9 aşağıdakı kimi: 5 rəqəmini sol tərəfdəki mötərizədən, 3 rəqəmini sağ tərəfə qoyun, tənliyi əldə edin 5(x+ 3) = 3(X+ 3) və sonra hər iki hissəni ifadəyə bölün X+ 3. 5 = 3 bərabərliyini aldım və bu tənliyin kökünün olmadığı qənaətinə gəldim. Tələbə haqlıdır?
9. 2/(2- tənliyini həll edin x) – ½ = 4/((2- x)x); X? R. 2 rəqəmi bu tənliyin köküdürmü?
10. Komponentlər və hərəkətlərin nəticələri arasındakı əlaqədən istifadə edərək tənlikləri həll edin:
Amma) ( X+ 70) 4 = 328; c) (85 X + 765): 170 = 98;
b) 560: ( X+ 9) - 56; G) ( X - 13581):709 = 306.
11. Məsələləri arifmetik və cəbri üsullarla həll edin:
a) Birinci rəfdə ikincidən 16 çox kitab var. Hər rəfdən 3 kitab çıxarsanız, birinci rəfdə ikinci rəfdən bir yarım dəfə çox kitab olacaq. Hər rəfdə neçə kitab var?
b) Velosipedçi düşərgə yerindən stansiyaya qədər 26 km-ə bərabər olan bütün yolu 1 saat 10 dəqiqəyə qət etdi. Bu zamanın ilk 40 dəqiqəsində o, eyni sürətlə, qalan vaxtlarda isə 3 km/saat az sürətlə hərəkət edib. Velosipedçinin səyahətin ilk ayağında sürətini tapın.
Riyaziyyatdan açıq dərs "Bernulli sxemi. Bernulli və Laplas sxemindən istifadə etməklə məsələlərin həlli"
Didaktik: ehtimalları hesablamaq üçün Bernoulli sxemi ilə işləmək bacarıq və bacarıqlarının əldə edilməsi.
İnkişaf edən: biliklərin praktikada tətbiqi bacarıqlarının inkişafı, tələbələrin funksional təfəkkürünün formalaşması və inkişafı, müqayisə, təhlil və sintez bacarıqlarının inkişafı, cütlərdə işləmək bacarıqlarının inkişafı, peşəkar lüğətin genişləndirilməsi.
Bu oyunu necə oynamaq olar:
Təhsil: mövzuya marağı artırmaq praktik istifadə nəzəriyyə, şagirdlərdə tədris materialının şüurlu mənimsənilməsinə nail olmaq, komandada işləmək bacarığının formalaşdırılması, kompüter terminlərindən düzgün istifadə, elmə maraq, gələcək peşəyə hörmət hissi.
Elmi bilik: B
Dərsin növü: birləşmiş dərs:
- əvvəlki siniflərdə keçilən materialın konsolidasiyası;
- tematik, informasiya-problem texnologiyası;
- bu dərsdə öyrənilən materialın ümumiləşdirilməsi və konsolidasiyası.
Tədris üsulu: izahlı - illüstrativ, problemli.
Biliyə nəzarət: frontal sorğu, problemin həlli, təqdimat.
Dərsin maddi-texniki təchizatı. kompüter, multimedia proyektoru.
Metodik dəstək: istinad materialları, dərsin mövzusu üzrə təqdimat, krossvord.
Dərslər zamanı
1. Təşkilati məqam: 5 dəq.
(salamlama, qrupun dərsə hazırlığı).
2. Bilik yoxlanışı:
Slaydlarda sualları öndən yoxlayın: 10 dəq.
- “Ehtimal nəzəriyyəsi” bölməsinin tərifləri
- “Ehtimal nəzəriyyəsi” bölməsinin əsas konsepsiyası
- “Ehtimal nəzəriyyəsi” hansı hadisələri öyrənir
- təsadüfi hadisə üçün xarakterikdir
- ehtimalların klassik tərifi
Xülasə. 5 dəqiqə.
3. Sətirlərdəki məsələlərin həlli: 5 dəq.
Tapşırıq 1. Zər atılır. 5-dən kiçik cüt ədədin alınma ehtimalı nədir?
Tapşırıq 2. Qutuda doqquz eyni radio borusu var, onlardan üçü istifadə olunurdu. İş günü ərzində usta avadanlıqları təmir etmək üçün iki radio borusu götürməli idi. Hər iki lampanın istifadə olunma ehtimalı nədir?
Tapşırıq 3. Üç kinozalda üç müxtəlif film var. 1-ci zalın kassasında müəyyən bir saata biletlərin olma ehtimalı 0,3, 2-ci zalın kassalarında 0,2, 3-cü zalın kassalarında isə 0,4-dür. Verilən saatda ən azı bir filmə bilet almaq ehtimalı nədir?
4. Problemlərin həlli yollarını lövhədə yoxlamaq. Tətbiq 1. 5 dəq.
Problemlərin həllinə dair 5-ci Nəticə:
Hadisənin baş vermə ehtimalı hər bir tapşırıq üçün eynidir: m və n - const
6. Tapşırıq vasitəsilə məqsəd qoyma: 5 dəq.
Bir tapşırıq. İki bərabər şahmatçı şahmat oynayır. Dörd oyundan ikisinin qalib gəlmə ehtimalı nədir?
Altı oyundan üçü qazanma ehtimalı nədir (heçə-heçə nəzərə alınmır)?
Sual. Bu problemin sualları ilə əvvəlki problemlərin sualları arasındakı fərqi düşünün və adlandırın?
Müqayisə edərək, müqayisə edərək, bir cavab əldə edin: suallarda m və n fərqlidir.
7. Dərsin mövzusu:
p-const ilə n təcrübədən k dəfə hadisənin baş vermə ehtimalının hesablanması.
Əgər hər bir sınaqda A hadisəsinin baş vermə ehtimalı digər sınaqların nəticələrindən asılı olmayan sınaqlar aparılırsa, o zaman belə sınaqlar A hadisəsinə münasibətdə müstəqil adlanır. Hər birində A hadisəsinin baş vermə ehtimalının hadisə eynidir.
Bernoulli düsturu. Hər birində hadisənin baş vermə ehtimalı p-ə bərabər olan n müstəqil sınaqda ehtimalı (0) və ya Əlavə 2 Bernoulli düsturu, burada k,n-kiçik ədədlər burada q = 1-p Həlli: Bərabər şahmatçılar oynayır, ona görə də qalib gəlmə ehtimalı p=1/2; deməli, q-ni itirmək ehtimalı da 1/2-dir. Bütün oyunlarda qalib gəlmə ehtimalı sabit olduğundan və oyunların hansı ardıcıllıqla qalib gəldiyinin fərqi olmadığı üçün Bernoulli düsturu tətbiq olunur. 5 dəqiqə Dörd oyundan ikisinin qalib gəlməsi ehtimalını tapın: Altı oyundan üçünün qalib gəlməsi ehtimalını tapın: P4 (2) > P6 (3) olduğundan, altı oyundan üçündən dörd oyundan ikisini qazanma ehtimalı daha yüksəkdir. Hər sınaqda bu hadisənin baş vermə ehtimalı 0,25 olarsa, A hadisəsinin 243 sınaqda düz 70 dəfə baş verməsi ehtimalını tapın. k=70, n=243 Bu o deməkdir ki, k və n böyük ədədlərdir. Bu o deməkdir ki, Bernulli düsturu ilə hesablamaq çətindir. Belə hallar üçün yerli Laplas düsturu tətbiq olunur: X-in müsbət qiymətləri üçün 3-cü əlavə Əlavə 4-də verilmişdir; x-in mənfi dəyərləri üçün eyni cədvəldən istifadə edin və =. 1. İki bərabər oyunçu heç-heçənin istisna olunduğu oyunu oynayır. Birinci oyunçunun qalib gəlmə ehtimalı nədir: a) iki oyundan bir oyun? b) dörddən ikisi? c) altıdan üçü? Cavab: Amma) ; b) ; in) 3. Kəsmək AB nöqtə ilə ayrılır FROM 2:1 nisbətində. Bu seqmentə təsadüfi olaraq dörd xal atılır. Onlardan ikisinin C nöqtəsinin solunda, ikisinin isə sağda olması ehtimalını tapın. Cavab: 4. Hər sınaqda bu hadisənin baş vermə ehtimalı 0,25 olarsa, A hadisəsinin 243 sınaqda düz 70 dəfə baş verməsi ehtimalını tapın. Cavab: . 5. Oğlan uşaq sahibi olma ehtimalı 0,515-dir. 100 yeni doğulmuş oğlan və qızın bərabər bölünməsi ehtimalını tapın. Cavab: 0,0782 6. Mağaza şüşə qablarda 500 butulka aldı. Butulkalardan hər hansı birinin daşınma zamanı qırılma ehtimalı 0,003-dür. Mağazanın sınmış butulkalar alması ehtimalını tapın: a) düz iki; b) ikidən az; c) ən azı iki; d) ən azı bir. Cavab: a) 0,22; b) 0,20; c) 0,80; d) 0,95 7. Avtomobil zavodu əhəmiyyətli qüsurları olmayan avtomobillərin 80%-ni istehsal edir. Zavoddan avtomobil birjasına gələn 600 avtomobil arasında ən azı 500-nün əhəmiyyətli qüsuru olmayan avtomobilin olması ehtimalı nədir? Cavab: 0,02. 8. Sikkəni neçə dəfə çevirmək lazımdır ki, 0,95 ehtimalla gerbin nisbi tezliyinin ehtimaldan kənara çıxacağını gözləmək olar. R\u003d Bir sikkənin atışında gerbin 0,5 görünüşü 0,02-dən çox deyil? Cavab: n ≥ 2401. 9. 100 müstəqil hadisənin hər birində hadisənin baş vermə ehtimalı sabit və bərabərdir səh=0,8. Hadisənin baş vermə ehtimalını tapın: a) ən azı 75 dəfə və ən çoxu 90 dəfə; b) ən azı 75 dəfə; c) 74 dəfədən çox olmayaraq. Cavab: a B C). 10. Müstəqil sınaqların hər birində hadisənin baş vermə ehtimalı 0,2-dir. 5000 sınaqda 0,9128 ehtimalı ilə hadisənin baş vermə tezliyinin onun ehtimalından hansı sapmasının gözlənildiyini tapın. Cavab: 11. Sikkə neçə dəfə atılmalıdır ki, 0,6 ehtimalla gerbin görünüşünün nisbi tezliyinin ehtimaldan kənara çıxması gözlənilsin. səh=0,5 mütləq dəyərdə 0,01-dən çox olmayacaq. Cavab: n = 1764. 12. 10.000 müstəqil sınaqdan hər birində hadisənin baş vermə ehtimalı 0,75-dir. Hadisənin nisbi baş vermə tezliyinin mütləq qiymətdə onun ehtimalından 0,01-dən çox olmayan kənara çıxması ehtimalını tapın. Cavab: . 13. Müstəqil sınaqların hər birində hadisənin baş vermə ehtimalı 0,5-dir. Sınaqların sayını tapın n, bu zaman 0,7698 ehtimalı ilə hadisənin baş verməsinin nisbi tezliyinin mütləq dəyərdə onun ehtimalından 0,02-dən çox olmayan kənara çıxmasını gözləmək olar. Tərif. Məntiq cəbrinin iki düsturları A və Bçağırdı ekvivalent düsturlara daxil olan elementar müddəaların hər hansı bir dəyər toplusunda eyni məntiqi dəyərləri qəbul edərsə. Düsturların ekvivalentliyi işarə və qeyd ilə qeyd olunacaq A IN düsturlar deməkdir A və B ekvivalentdirlər. Məsələn, aşağıdakı düsturlar ekvivalentdir: Formula A adlanır eyni dərəcədə doğrudur (və ya tavtologiya), əgər ona daxil olan dəyişənlərin bütün qiymətləri üçün 1 qiymətini alırsa. Məsələn, düsturlar da doğrudur ,
. Düstur AMMAçağırdı eyni yalan, ona daxil olan dəyişənlərin bütün qiymətləri üçün 0 qiymətini qəbul edərsə. Məsələn, düstur eyni dərəcədə yanlışdır. Aydındır ki, ekvivalentlik əlaqəsi refleksiv, simmetrik və keçidlidir. Ekvivalentlik və ekvivalentlik anlayışları arasında aşağıdakı əlaqə mövcuddur: əgər düsturlar AMMA Və IN ekvivalentdir, sonra düstur AMMA IN- tavtologiya və əksinə, əgər düstur AMMA IN- tavtologiya, sonra düsturlar AMMA Və IN ekvivalentdirlər. Məntiq cəbrinin ən mühüm ekvivalentlərini üç qrupa bölmək olar. 1. Əsas ekvivalentlər: Absorbsiya qanunlarından birini sübut edək. Formulu nəzərdən keçirin .
Əgər bu düstur Amma= 1 onda, açıq-aydın və iki doğru təklifin birləşməsində. İndi formulda edək A x = 0. Amma sonra bağlama əməlinin tərifinə görə bağlayıcı yalan və bağlayıcı olacaq. .
Beləliklə, bütün hallarda düsturun dəyərləri AMMA dəyərlərə uyğundur Amma, və buna görə də AMMA x. 2. Bəzi məntiqi əməliyyatları digərləri baxımından ifadə edən ekvivalentlər: Aydındır ki, sonuncunun hər iki hissəsindən inkarlar götürsək və qoşa inkarların aradan qaldırılması qanunundan istifadə etsək, müvafiq olaraq 3 və 4-cü ekvivalentlərdən 5 və 6-cı ekvivalentlər alınır. Beləliklə, ilk dörd ekvivalentlik sübuta ehtiyac duyur. Onlardan ikisini sübut edək: birinci və üçüncü. Çünki eyni məntiqi dəyərlər üçün X Və saat doğru düsturlar , , , onda birləşmə də doğru olacaq Qoy indi X Və saat müxtəlif məntiqi dəyərlərə malikdir. O zaman bərabərlik və iki təsirdən biri və ya yanlış olacaq. Eyni vaxtda yalan və birləşmə olacaq Ekvivalentliyi nəzərə alın 3. Əgər X Və saat eyni zamanda həqiqi dəyərləri qəbul edin, onda birləşmə doğru olacaq x&y və birləşmənin yanlış inkarı. Eyni zamanda həm və həm də yalan olacaq və buna görə də disyunksiya da yalan olacaq .
İndi dəyişənlərdən ən azı birini edək X və ya saat yalnış qiyməti alır. Sonra yalançı birləşmə olacaq x&y və onun həqiqi inkarı. Eyni zamanda, dəyişənlərdən ən azı birinin inkarı doğru olacaq və buna görə də disjunksiya da doğru olacaq. .
Buna görə də bütün hallarda ekvivalentliyin 3 hər iki hissəsi eyni məntiqi qiymətləri alır. 2 və 4 ekvivalentləri də eyni şəkildə sübut edilmişdir. Bu qrupun ekvivalentlərindən belə nəticə çıxır ki, məntiq cəbrinin istənilən düsturunu ona ekvivalent olan, yalnız iki məntiqi əməliyyatdan ibarət düsturla əvəz etmək olar: birləşmə və inkar və ya diszyunksiya və inkar. Məntiqi əməliyyatları daha da istisna etmək mümkün deyil. Beləliklə, əgər yalnız birləşmədən istifadə etsək, onda artıq inkar kimi bir düstur var X birləşmə operatorundan istifadə etməklə ifadə edilə bilməz. Bununla belə, istifadə etdiyimiz beş məntiqi əməliyyatdan hər hansı birinin ifadə oluna biləcəyi əməliyyatlar var. Belə bir əməliyyat, məsələn, "Şefferin vuruşu" əməliyyatıdır. Bu əməliyyat simvollaşdırılır x|y və aşağıdakı həqiqət cədvəli ilə müəyyən edilir: Aydındır ki, ekvivalentlər var: 2) x&y (x|y)|(x|y). Bu iki ekvivalentlikdən belə nəticə çıxır ki, məntiq cəbrinin istənilən formulunu yalnız “Şeffer vuruşu” əməliyyatını ehtiva edən ekvivalent düsturla əvəz etmək olar. Qeyd edək ki. Eynilə, əməliyyat təqdim edilə bilər 3. Məntiq cəbrinin əsas qanunlarını ifadə edən ekvivalentlər: 1. x&y y&x - birləşmənin kommutativliyi. 2. x saat y X- disjunksiyanın kommutativliyi. 3. x& (y& z) (x & y) & z- Bağlamanın assosiativliyi. 4. X(yz )
(X y) z disyunksiyanın assosiativliyidir. 5. x& (y z) (x&y) (x&z)-dizyunksiyaya görə birləşmənin paylanması. 6. X (y&z) (X y)& (x z )
- konyunksiyaya görə disjunksiyanın paylanması. Sadalanan qanunların sonuncusunu sübut edək. Əgər X= 1, onda düsturlar doğru olacaq X (y& z), X y, x z .
Amma sonra birləşmə də doğru olacaq (X y)& (x z ).
Beləliklə, at X= 1 ekvivalentliyin hər iki hissəsi 6 eyni məntiqi dəyərləri alır (doğru). Qoy indi x = 0. Sonra X (y&z) y&z, x saat saat Və x z z ,
və buna görə də birləşmə X (y&z) y&z. Deməli, burada 6 ekvivalentinin hər iki hissəsi eyni düstura ekvivalentdir y&z, və buna görə də eyni boolean dəyərləri götürün. § 5. Düsturların ekvivalent çevrilmələri I, II və III qrupların ekvivalentlərindən istifadə edərək düsturun bir hissəsini və ya formulunu ekvivalent düsturla əvəz etmək olar. Düsturların belə çevrilmələri adlanır ekvivalent. Ekvivalent çevrilmələrdən ekvivalentlikləri sübut etmək, düsturları verilmiş formaya gətirmək, düsturları sadələşdirmək üçün istifadə olunur. Düstur AMMA ekvivalent düsturdan daha sadə hesab edilir IN, daha az hərfdən ibarətdirsə, daha az məntiqi əməliyyatlar. Bu halda, əməliyyatların ekvivalentliyi və implikasiyası adətən disyunksiya və birləşmə əməliyyatları ilə əvəz olunur və inkar elementar müddəalara istinad edilir. Bəzi nümunələri nəzərdən keçirək. 1. Ekvivalentliyi sübut edin I, II və III qrupların ekvivalentlərindən istifadə etməklə 2.
Formulu sadələşdirin Ekvivalent düsturlar zəncirini yazaq: 3. Düsturun eyni həqiqətini sübut edin Ekvivalent düsturlar zəncirini yazaq: Boole cəbri III qrup ekvivalentləri deyirlər ki, məntiq cəbrinin birləşmə və disyunksiya əməlləri ilə bağlı kommutativ və assosiativ qanunları və disjunksiya ilə bağlı paylanma qanunu var; həmin qanunlar ədədlər cəbrində də baş verir. Buna görə də, məntiq cəbrinin düsturları üzərində ədədlər cəbrində həyata keçirilən eyni çevrilmələri yerinə yetirə bilərsiniz (mötərizənin açılması, mötərizə, ümumi amilin mötərizəsi). Ancaq məntiq cəbrində ekvivalentlərin istifadəsinə əsaslanan digər çevrilmələr də mümkündür: Bu xüsusiyyət bizə geniş ümumiləşdirmələrə gəlməyə imkan verir. Boş olmayan dəsti nəzərdən keçirək M hər hansı bir təbiət elementləri ( x,y,z,...} ,
"=" (bərabər) əlaqəsini və üç əməliyyatı təyin edir: "+" (əlavə), "" (vurma) və "-" (inkar), aşağıdakı aksiomalara tabedir: Kommutativ qanunlar: 1a. x + y = y + x, 1b. X y = y X. Birliyin qanunları: 2a. x + (y + z)= (x + y) + z, 2b. X (saat z) = (x y) z. Paylanma qanunları: 3a. (x + y) z = (x z ) + (y G) 3b. (x y) + z = (x+z) (y + z). İdepotensiyanın qanunları: 4a. x + x = x, 4b. X x = x. İkiqat inkar qanunu: De Morqanın qanunları: 6a. ,
6b .
. Absorbsiya qanunları: 7a. x + (y X)= X, 7b. X (y + x) = x. Belə bir çoxluq Mçağırdı boolean cəbri. Əsas elementlərin altındadırsa x, y, z, ... müvafiq olaraq "+", "", "-" disjunksiya, birləşmə, inkar əməliyyatları altında ifadələri nəzərdə tutur və bərabər işarəsini ekvivalentlik əlaməti hesab edirsə, onda I, II və III qrupların ekvivalentlərindən aşağıdakı kimi , Boole cəbrinin bütün aksiomları yerinə yetirilir. Müəyyən bir aksioma sistemi üçün bütün aksiomların təmin edilməsi üçün xüsusi obyektləri və onlar arasında xüsusi əlaqələri seçmək mümkün olduqda, deyirik ki, təfsir(və ya modeli) bu aksiomalar sistemi. Beləliklə, məntiq cəbri Boolean cəbrinin təfsiridir. Boole cəbrinin başqa şərhləri də var. Məsələn, əsas elementlərin altındadırsa x, y, z, ... dəstləri M orta çoxluqlar, müvafiq olaraq "+", "", "-" birləşmə, kəsişmə, tamamlama əməliyyatları altında, bərabər işarəsi altında isə çoxluqların bərabərlik işarəsi, onda çoxluqların cəbrinə gəlirik. Çoxluq cəbrində Boole cəbrinin bütün aksiomlarının təmin olunduğunu yoxlamaq asandır. Boolean cəbrinin müxtəlif şərhləri arasında texniki xarakterli şərhlər var. Onlardan biri aşağıda müzakirə olunacaq. Göstəriləcəyi kimi, müasir avtomatlaşdırmada mühüm rol oynayır. Məntiq cəbrinin funksiyaları Artıq qeyd edildiyi kimi, məntiq cəbrinin düsturunun mənası tamamilə bu düstura daxil olan ifadələrin mənalarından asılıdır. Buna görə də məntiq cəbrinin düsturu ona daxil olan elementar müddəaların funksiyasıdır. Məsələn, düstur bir funksiyadır üç dəyişən f(x,y,z). Bu funksiyanın xüsusiyyəti ondan ibarətdir ki, onun arqumentləri iki qiymətdən birini qəbul edir: sıfır və ya bir, funksiya isə iki dəyərdən birini qəbul edir: sıfır və ya bir. Tərif. Cəbr məntiqi funksiyası ha dəyişənləri (və ya Boolean funksiyası) n dəyişənin funksiyası çağırılır, burada hər bir dəyişən iki qiymət alır: 0 və 1 və eyni zamanda, funksiya iki qiymətdən yalnız birini qəbul edə bilər: 0 və ya 1. Aydındır ki, məntiq cəbrinin eyni dərəcədə doğru və eyni dərəcədə yalan düsturları sabit funksiyalardır və iki ekvivalent düstur eyni funksiyanı ifadə edir. n dəyişənin funksiyalarının sayının neçə olduğunu öyrənək. Aydındır ki, məntiq cəbrinin hər bir funksiyası (eləcə də məntiq cəbrinin düsturu) 2 n sətirdən ibarət olan həqiqət cədvəlindən istifadə etməklə müəyyən edilə bilər. Buna görə də n dəyişənin hər bir funksiyası sıfır və birlərdən ibarət 2n qiymət alır. Beləliklə, n dəyişənin funksiyası tamamilə sıfırlar və uzunluğu 2 n olan birlər dəsti ilə müəyyən edilir. (Sıfırların və uzunluğu 2 n olan birlərin dəstlərinin ümumi sayı bərabərdir. Deməli, müxtəlif dəyişənlərin sayı məntiq cəbrinin funksiyaları P dəyişənlərə bərabərdir. Xüsusilə, bir dəyişənin dörd fərqli funksiyası və iki dəyişənin on altı fərqli funksiyası var. Məntiqin cəbrinin bütün funksiyalarını yazaq Və iki dəyişən. Bir dəyişənin müxtəlif funksiyaları üçün həqiqət cədvəlini nəzərdən keçirək. Aydındır ki, belə görünür: Bu cədvəldən belə çıxır ki, bir dəyişənin iki funksiyası sabit olacaq: f 1 (x)= 1, f 4 (x) = 0, və f 2 (x) X, Və f 3 (x) .
İki dəyişənin bütün mümkün funksiyaları üçün həqiqət cədvəli belədir: f i = f i (x, y) Aydındır ki, bu funksiyalar üçün analitik ifadələr aşağıdakı kimi yazıla bilər. Bölmə 2. Düsturların məntiqi ekvivalentliyi. Təklif Cəbr Düsturları üçün Normal Formalar Ekvivalentlik əlaqəsi Həqiqət cədvəllərinin köməyi ilə daxil olan dəyişənlərin hansı həqiqət dəyərlərinin dəstləri altında düsturun doğru və ya yanlış qiymət alacağını (həmçinin müvafiq məntiqi struktura malik olan ifadə) hansı düsturların tavtologiya olacağını müəyyən etmək olar. və ya ziddiyyətləri, həmçinin iki verilmiş düsturun olub olmadığını müəyyən edir ekvivalent. Məntiqdə iki cümlənin hər ikisi doğru və ya hər ikisi yalan olduqda ekvivalent deyilir. Bu ifadədəki “eyni zamanda” sözü birmənalı deyil. Deməli, “Sabah çərşənbə axşamı olacaq” və “Dünən bazar günü idi” cümlələri üçün bu söz hərfi məna daşıyır: bazar ertəsi onların hər ikisi doğrudur, həftənin qalanında isə hər ikisi yalançıdır. tənliklər üçün " x = 2"Və" 2x = 4» "eyni zamanda" "dəyişənin eyni dəyərləri ilə" deməkdir. “Sabah yağış yağacaq” və “Sabah yağış yağmayacağı doğru deyil” proqnozları eyni vaxtda təsdiqlənəcək (doğru çıxacaq) və ya təsdiqlənməyəcək (yalan çıxacaq). Əslində, bu, düsturlarla təmsil oluna bilən iki fərqli formada ifadə edilən eyni proqnozdur. X Və . Bu düsturlar eyni vaxtda "doğru" və ya "yanlış" dəyərini alır. Yoxlamaq üçün həqiqət cədvəlini tərtib etmək kifayətdir: Birinci və son sütunlardakı həqiqət dəyərlərinin eyni olduğunu görürük. Belə düsturlar, eləcə də onlara uyğun gələn cümlələr təbii olaraq ekvivalent sayılır. F 1 və F 2 düsturları, əgər onların ekvivalenti tavtologiyadırsa, ekvivalent adlanır. İki düsturun ekvivalentliyi aşağıdakı kimi yazılır: (oxu: düstur F1 formuluna bərabərdir F2). Düsturların ekvivalent olub-olmadığını yoxlamağın üç yolu var: 1) onların ekvivalentini qurun və onun tavtologiya olub-olmadığını yoxlamaq üçün həqiqət cədvəlindən istifadə edin; 2) hər bir düstur üçün həqiqət cədvəlini tərtib edin və yekun nəticələri müqayisə edin; eyni dəyişən dəyər dəstləri üçün ümumi sütunlarda olarsa
hər iki formulun həqiqət dəyərləri bərabər olacaq, onda düsturlar ekvivalentdir; 3) ekvivalent çevrilmələrin köməyi ilə. Misal 2.1: Düsturların ekvivalent olub olmadığını tapın: 1) , ; 2) , . 1) Ekvivalentliyi təyin etmək üçün birinci üsuldan istifadə edək, yəni düsturların ekvivalentliyinin tavtologiya olub-olmadığını öyrənək. Düsturların ekvivalentliyini yaradaq: . Nəticə düstur iki fərqli dəyişəni ehtiva edir ( AMMA Və IN) və 6 əməliyyat: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; beş); 6). Bu o deməkdir ki, müvafiq həqiqət cədvəlində 5 sətir və 8 sütun olacaq: Həqiqət cədvəlinin yekun sütunundan görünür ki, tərtib edilmiş ekvivalentlik tavtologiyadır və deməli, . 2) və düsturlarının ekvivalent olub-olmadığını öyrənmək üçün biz ikinci üsuldan istifadə edirik, yəni düsturların hər biri üçün həqiqət cədvəli tərtib edirik və yekun sütunları müqayisə edirik. ( Şərh. İkinci üsuldan səmərəli istifadə etmək üçün bütün tərtib edilmiş həqiqət cədvəllərinin eyni şəkildə başlaması lazımdır, yəni dəyişən dəyər dəstləri müvafiq sətirlərdə eyni idi
.) Düsturun iki fərqli dəyişəni və 2 əməliyyatı var, yəni müvafiq həqiqət cədvəlinin 5 sətir və 4 sütunu var: Düsturun iki müxtəlif dəyişəni və 3 əməliyyatı var, yəni müvafiq həqiqət cədvəlinin 5 sətir və 5 sütunu var: Tərtib edilmiş həqiqət cədvəllərinin yekun sütunlarını müqayisə etsək (cədvəllər eyni şəkildə başladığı üçün dəyişən qiymətlər toplusunu nəzərdən qaçıra bilərik) onların uyğun gəlmədiyini və buna görə də düsturların ekvivalent olmadığını görürük (). İfadə düstur deyil (çünki " " simvolu heç bir məntiqi əməliyyata aid deyil). ifadə edir münasibət düsturlar arasında (həmçinin ədədlər arasında bərabərlik, xətlər arasında paralellik və s.). Ekvivalentlik əlaqəsinin xassələri haqqında teorem etibarlıdır: Teorem 2.1. Təklif cəbri düsturları arasında ekvivalentlik əlaqəsi: 1) refleksiv olaraq: ; 2) simmetrik olaraq: əgər , onda ; 3) keçidli: əgər və , onda . Məntiq qanunları Təklif məntiqi düsturlarının ekvivalentləri çox vaxt adlanır məntiq qanunları. Onlardan ən vaciblərini sadalayırıq: 1. - şəxsiyyət qanunu. 2. - xaric edilmiş orta qanunu 3. - ziddiyyət qanunu 4. - sıfırla disjunksiya 5. - sıfırla birləşmə 6. - vahidlə disjunksiya 7. - vahidlə birləşmə 8. - ikiqat inkar qanunu 9. - bağlayıcının kommutativliyi 10. – disjunksiyanın kommutativliyi 11. - bağlayıcının assosiativliyi 12. - disjunksiya assosiativliyi 13. – bağlayıcının paylanması 14. – distributiv disjunksiya 15. - identifikasiya qanunları 16. 17. 18. 19. 20. - digər məntiqi əməliyyatlar vasitəsilə ekvivalentliyi ifadə edən qanunlar Məntiq qanunları mürəkkəb düsturları sadələşdirmək və düsturların eyni dərəcədə doğru və ya yalan olduğunu sübut etmək üçün istifadə olunur. Ekvivalent çevrilmələr. Sadələşdirilmiş düsturlar Əgər hər yerdə ekvivalent düsturlarda hansısa dəyişənin yerinə eyni düsturla əvəz etsək, onda yeni alınan düsturlar da əvəzetmə qaydasına uyğun olaraq ekvivalent olacaq. Bu yolla hər bir ekvivalentdən istənilən sayda yeni ekvivalentlik əldə etmək olar. Misal 1:Əgər De Morqan qanununun yerinə Xəvəz etmək, əvəz etmək Yəvəz , sonra yeni bir ekvivalentlik əldə edirik. Alınan ekvivalentliyin etibarlılığını həqiqət cədvəlindən istifadə etməklə yoxlamaq asandır. Düsturun bir hissəsi olan hər hansı bir düstur varsa F, düstura ekvivalent düsturla əvəz olunsa, nəticədə alınan düstur düstura ekvivalent olacaq F. Sonra 2-ci nümunədəki düstur üçün aşağıdakı əvəzetmələri edə bilərik: - ikiqat inkar qanunu; - De Morqan qanunu; - ikiqat inkar qanunu; – assosiativlik qanunu; Ekvivalentlik münasibətinin tranzitivlik xassəsinə görə bunu iddia edə bilərik Bir düsturun ona ekvivalent olan digəri ilə əvəz edilməsi deyilir ekvivalent çevrilmə
düsturlar. Altında sadələşdirmə
Tərkibində implikasiya və ekvivalentlik əlamətləri olmayan düsturlar qeyri-elementar düsturların inkarlarını (xüsusən də ikiqat inkarları) ehtiva etməyən və ya orijinaldan daha az sayda birləşmə və ayırma işarələrini ehtiva edən düstura gətirib çıxaran ekvivalent çevrilməni başa düşür. bir. Misal 2.2: Düsturu sadələşdirək İlk addımda biz implikasiyanı disjunksiyaya çevirən qanunu tətbiq etdik. İkinci mərhələdə kommutativ qanun tətbiq edilmişdir. Üçüncü mərhələdə səlahiyyət hüququ tətbiq edildi. Dördüncüsü - De Morqan qanunu. Beşincisi - ikiqat inkar qanunu. Qeyd 1. Müəyyən bir düstur tavtologiyadırsa, ona ekvivalent olan hər hansı bir düstur da tavtologiyadır. Beləliklə, müəyyən düsturların eyni həqiqətini sübut etmək üçün ekvivalent çevrilmələrdən də istifadə edilə bilər. Bunun üçün bu düstur tavtologiya olan düsturlardan birinə ekvivalent çevrilmə yolu ilə azaldılmalıdır. Qeyd 2. Bəzi tavtologiyalar və ekvivalentlər cüt-cüt birləşir (ziddiyyət qanunu və alternativ, kommutativ, assosiativ qanunlar qanunu və s.). Bu yazışmalarda sözdə ikilik prinsipi
. Tərkibində təsir və ekvivalentlik əlamətləri olmayan iki düstur deyilir ikili
, əgər onların hər birini müvafiq olaraq işarələri ilə əvəz etməklə digərindən almaq olarsa. İkilik prinsipi aşağıdakıları ifadə edir: Teorem 2.2: Tərkibində implikasiya və ekvivalentlik işarələri olmayan iki düstur ekvivalentdirsə, onların ikili düsturları da ekvivalentdir. normal formalar normal forma verilmiş funksiyanı həyata keçirən düsturun sintaktik birmənalı yazılması üsuludur. Məlum məntiq qanunlarından istifadə edərək istənilən formul formanın ekvivalent formuluna çevrilə bilər Misal 2.3: Böyük düsturlarda və ya çoxsaylı çevrilmələrdə birləşmə işarəsini buraxmaq adətdir (vurma işarəsi ilə analogiyaya görə): . Görürük ki, aparılan çevrilmələrdən sonra düstur üç bağlayıcının diszyunkiyasıdır. Bu forma deyilir disjunktiv normal forma
(DNF). DNF-nin tək elementi adlanır elementar birləşmə
və ya tərkib vahidi. Eynilə, hər hansı bir düstur elementlərin birləşməsi olacaq, hər biri inkar işarəsi olan və ya olmayan məntiqi dəyişənlərin diszunksiyası olacaq ekvivalent düstura endirilə bilər. Yəni hər bir formul formanın ekvivalent düsturuna endirilə bilər Misal 2.4: CNF-nin tək elementi adlanır elementar disjunksiya
və ya sıfırın tərkib hissəsi. Aydındır ki, hər bir düsturda sonsuz sayda DNF və CNF var. Misal 2.5: Düstur üçün bir neçə DNF tapaq Mükəmməl normal formalar SDNF (mükəmməl DNF) elə bir DNF-dir ki, burada hər bir elementar birləşmə bütün elementar müddəaları ehtiva edir və ya bir dəfə təkzib olunur, elementar birləşmələr təkrarlanmaz. SKNF (mükəmməl CNF) elə bir CNFdir ki, burada hər bir elementar disjunksiya bütün elementar müddəaları və ya onların təkziblərini bir dəfə ehtiva edir, elementar disjunksiyalar təkrarlanmır. Misal 2.6: 1) - SDNF 2) 1 - SKNF SDNF-nin (SKNF) xarakterik xüsusiyyətlərini formalaşdıraq. 1) Dizyunkiyanın (bağlamanın) bütün üzvləri müxtəlifdir; 2) Hər bir bağlayıcının (ayrılmanın) bütün üzvləri müxtəlifdir; 3) Heç bir bağlayıcı (dizyunksiya) həm dəyişən, həm də inkarı ehtiva etmir; 4) Hər bir bağlayıcı (dizyunksiya) orijinal düstura daxil olan bütün dəyişənləri ehtiva edir. Gördüyümüz kimi, xüsusiyyətlər (lakin formalar deyil!) ikililiyin tərifini qane edir, ona görə də hər ikisini əldə etməyi öyrənmək üçün bir formanı başa düşmək kifayətdir. Ekvivalent çevrilmələrin köməyi ilə DNF-dən (CNF) SDNF (SKNF) əldə etmək asandır. Mükəmməl normal formaların alınması qaydaları da ikili olduğundan, biz SMNF-nin alınması qaydasını ətraflı təhlil edəcəyik və ikililiyin tərifindən istifadə edərək müstəqil olaraq SKNF-nin alınması qaydasını formalaşdıracağıq. Ekvivalent çevrilmələrdən istifadə edərək düsturun SDNF-ə endirilməsinin ümumi qaydası:
Formulu vermək üçün F SDNF üçün eyni dərəcədə yanlış olmayan, bu kifayətdir: 1) bəzi DNF-yə gətirin; 2) dəyişəni ehtiva edən disyunksiyanın üzvlərini onun inkarı ilə birlikdə çıxarın (əgər varsa); 3) ayrılığın eyni üzvlərindən (əgər varsa) birindən başqa hamısını çıxarın; 4) hər bir bağlayıcının eyni üzvlərindən birindən başqa hamısını çıxarın (əgər varsa); 5) hər hansı bağlayıcıda ilkin düstura daxil olan dəyişənlər arasında dəyişən yoxdursa, bu bağlayıcıya termin əlavə edin və müvafiq bölüşdürmə qanununu tətbiq edin; 6) ortaya çıxan disjunksiya eyni şərtləri ehtiva edirsə, resept 3-dən istifadə edin. Nəticə düstur bu formulun SDNF-sidir. Misal 2.7: Düstur üçün SDNF və SKNF tapaq Bu düstur üçün DNF artıq tapıldığından (bax. Nümunə 2.5), biz SDNF əldə etməklə başlayacağıq: 2) yaranan disjunksiyada onların inkarları ilə birlikdə dəyişənlər yoxdur; 3) disjunksiyada eyni üzvlər yoxdur; 4) heç bir bağlayıcıda eyni dəyişənlər yoxdur; 5) birinci elementar birləşmədə ilkin düstura daxil olan bütün dəyişənlər var, ikinci elementar birləşmədə isə dəyişən yoxdur z, ona görə də ona termin əlavə edək və paylanma qanununu tətbiq edək: ; 6) eyni terminlərin disjunksiyada göründüyünü görmək asandır, ona görə də birini çıxarırıq (resept 3); 3) eyni disjunksiyalardan birini çıxarın: 4) qalan disjunksiyalarda eyni terminlər yoxdur; 5) elementar disjunksiyaların heç biri ilkin düstura daxil olan bütün dəyişənləri ehtiva etmir, ona görə də onların hər birini birləşmə ilə tamamlayırıq: ; 6) nəticələnən qoşmada eyni diszunksiyalar yoxdur, ona görə də tapılan bağlayıcı forma mükəmməldir. Çünki SKNF və SDNF məcmusunda düsturlar var F 8 üzv, onda çox güman ki, düzgün tapılıb. Hər bir qənaətbəxş (təkkar edilə bilən) düsturun bir tək SDNF və bir tək SKNF var. Tavtologiyanın SKNF-si yoxdur, ziddiyyətin isə SDNF-si yoxdur.8. Tapşırıq.
9. Məsələnin həlli üçün alqoritm tərtib edin: 5 dəq.
10. Problemin lövhədə təhlili ilə həlli. Əlavə 5. 10 dəq.
11. Təqdimatlar vasitəsilə dərs məlumatlarının ümumiləşdirilməsi
.
Buna görə də, bu halda ekvivalentliyin hər iki hissəsi eyni həqiqi qiymətlərə malikdir.. Beləliklə, bu halda ekvivalentliyin hər iki hissəsi eyni məntiqi qiymətlərə malikdir.x y x|y
.
.
.
x f 1 (x)
f 2 (x)
f 3 (x)
f 3 (x)
1
x
y
f1
f2
f 3
f4
f5
f6
f7
f 8
f9
f 10
f 11
f 12
f 13
f 14
f 15
f 16
X
1
0
1
0
1
0
AMMA
IN
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
AMMA
IN
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
AMMA
IN
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
; 
- absorbsiya qanunları
; 
- De Morqanın qanunları
disjunksiya vasitəsilə implikasiyanı ifadə edən qanundur
- əkslik qanunu
idempotensiyanın qanunudur.
.
.
, burada və hər biri ya dəyişəndir, ya da dəyişənin inkarıdır, ya da dəyişənlərin birləşməsidir və ya onların inkarıdır. Başqa sözlə, hər hansı bir düstur sadə standart formanın ekvivalent düsturuna endirilə bilər ki, bu da elementlərin disunksiyası olacaq, hər biri ayrı-ayrı müxtəlif məntiqi dəyişənlərin birləşməsindən ibarətdir, ya inkar işarəsi olan, ya da olmayan.
, burada və hər biri ya dəyişəndir, ya dəyişənin inkarıdır, ya da dəyişənlərin disjunksiyasıdır və ya onların inkarıdır. Bu forma deyilir konyunktiv normal forma
(KNF).
.
.
;
