Sinusun xüsusi halı 0. Triqonometrik tənliklər. Köməkçi bucağın tətbiqi

Probleminizin ətraflı həllini sifariş edə bilərsiniz!!!

Triqonometrik funksiyanın işarəsi altında naməlum olan bərabərliyə (`sin x, cos x, tan x` və ya `ctg x`) triqonometrik tənlik deyilir və daha sonra nəzərdən keçirəcəyimiz onların düsturlarıdır.

Ən sadə tənliklər `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`dır, burada `x` tapılacaq bucaq, `a` istənilən ədəddir. Onların hər biri üçün kök düsturlarını yazaq.

1. `sin x=a` tənliyi.

`|a|>1` üçün onun həlli yoxdur.

Nə zaman `|a| \leq 1` sonsuz sayda həllə malikdir.

Kök düsturu: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. `cos x=a` tənliyi

`|a|>1` üçün - sinus vəziyyətində olduğu kimi, onun həqiqi ədədlər arasında həlli yoxdur.

Nə zaman `|a| \leq 1` sonsuz sayda həllə malikdir.

Kök düsturu: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Qrafiklərdə sinus və kosinus üçün xüsusi hallar.

3. `tg x=a` tənliyi

İstənilən `a` dəyəri üçün sonsuz sayda həll yolu var.

Kök düsturu: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. `ctg x=a` tənliyi

Həmçinin hər hansı `a` dəyəri üçün sonsuz sayda həll yolu var.

Kök düsturu: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Cədvəldəki triqonometrik tənliklərin kökləri üçün düsturlar

Sinus üçün:
Kosinus üçün:
Tangens və kotangens üçün:
Tərkibində tərs triqonometrik funksiyalar olan tənliklərin həlli üçün düsturlar:

Triqonometrik tənliklərin həlli üsulları

İstənilən triqonometrik tənliyin həlli iki mərhələdən ibarətdir:

• onu ən sadəyə çevirmək köməyi ilə;
• kök düsturları və yuxarıda yazılmış cədvəllərdən istifadə edərək əldə edilən ən sadə tənliyi həll edin.

Nümunələrdən istifadə edərək əsas həll üsullarına baxaq.

Cəbri üsul.

Bu üsul dəyişəni əvəz etməyi və onu bərabərliklə əvəz etməyi əhatə edir.

Misal. Tənliyi həll edin: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

əvəz edin: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, sonra `2y^2-3y+1=0`,

kökləri tapırıq: `y_1=1, y_2=1/2`, ondan iki hal gəlir:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Cavab: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizasiya.

Misal. Tənliyi həll edin: `sin x+cos x=1`.

Həll. Bərabərliyin bütün şərtlərini sola keçirək: `sin x+cos x-1=0`. istifadə edərək, sol tərəfi çevirib faktorlara ayırırıq:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Cavab: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Homojen tənliyə endirmə

Əvvəlcə bu triqonometrik tənliyi iki formadan birinə endirməlisiniz:

`a sin x+b cos x=0` ( homojen tənlik birinci dərəcə) və ya `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ikinci dərəcəli homojen tənlik).

Sonra hər iki hissəni birinci hal üçün `cos x \ne 0`, ikinci üçün isə `cos^2 x \ne 0` ilə bölün. Biz `tg x` üçün tənlikləri əldə edirik: `a tg x+b=0` və `a tg^2 x + b tg x +c =0`, məlum üsullarla həll edilməlidir.

Misal. Tənliyi həll edin: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Həll. Sağ tərəfi `1=sin^2 x+cos^2 x` kimi yazaq:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Bu, ikinci dərəcəli homogen triqonometrik tənlikdir, onun sol və sağ tərəflərini `cos^2 x \ne 0`-ə bölürük, alırıq:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. `t^2 + t - 2=0` ilə nəticələnən `tg x=t` əvəzini təqdim edək. Bu tənliyin kökləri `t_1=-2` və `t_2=1`-dir. Sonra:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \Z`-də.

Cavab verin. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \Z-də`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-də`.

Yarım bucağa keçid

Misal. Tənliyi həll edin: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Həll. Gəlin ikiqat bucaq düsturlarını tətbiq edək, nəticədə: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tq^2 x/2 — 11 tq x/2 +6=0`

Yuxarıdakıların tətbiqi cəbri üsul, alırıq:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Cavab verin. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Köməkçi bucağın tətbiqi

`a sin x + b cos x =c` triqonometrik tənliyində, burada a,b,c əmsallar və x dəyişəndir, hər iki tərəfi `sqrt (a^2+b^2)`-ə bölün:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Sol tərəfdəki əmsallar sinus və kosinus xüsusiyyətlərinə malikdir, yəni kvadratlarının cəmi 1-ə bərabərdir və modulları 1-dən böyük deyil. Onları aşağıdakı kimi işarə edək: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, onda:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Aşağıdakı nümunəyə daha yaxından nəzər salaq:

Misal. Tənliyi həll edin: `3 sin x+4 cos x=2`.

Həll. Bərabərliyin hər iki tərəfini `sqrt (3^2+4^2)` ​​ilə bölsək, alırıq:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` işarə edək. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` olduğundan, köməkçi bucaq kimi `\varphi=arcsin 4/5` götürürük. Sonra bərabərliyimizi formada yazırıq:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Sinus üçün bucaqların cəmi düsturunu tətbiq edərək bərabərliyimizi aşağıdakı formada yazırıq:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Cavab verin. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Fraksiyalı rasional triqonometrik tənliklər

Bunlar say və məxrəclərində triqonometrik funksiyalar olan kəsrlərlə bərabərliklərdir.

Misal. Tənliyi həll edin. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Həll. Bərabərliyin sağ tərəfini `(1+cos x)`-ə vurun və bölün. Nəticədə əldə edirik:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Məxrəcin sıfıra bərabər ola bilməyəcəyini nəzərə alsaq, Z`-də `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \ alırıq.

Kəsirin payını sıfıra bərabər tutaq: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Sonra `sin x=0` və ya `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Nəzərə alsaq ki, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, həllər `x=2\pi n, n \in Z` və `x=\pi /2+2\pi n`-dir. , `n \in Z`.

Cavab verin. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Triqonometriya və xüsusən də triqonometrik tənliklər həndəsə, fizika və mühəndisliyin demək olar ki, bütün sahələrində istifadə olunur. Təhsil 10-cu sinifdən başlayır, Vahid Dövlət İmtahanı üçün həmişə tapşırıqlar var, buna görə də triqonometrik tənliklərin bütün düsturlarını xatırlamağa çalışın - onlar mütləq sizin üçün faydalı olacaqlar!

Ancaq onları əzbərləməyə belə ehtiyac yoxdur, əsas odur ki, mahiyyəti başa düşəsən və onu çıxara biləsən. Göründüyü qədər çətin deyil. Videoya baxaraq özünüz baxın.

Məxfiliyinizi qorumaq bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik təcrübələrimizi nəzərdən keçirin və hər hansı sualınız olarsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

• Saytda ərizə təqdim etdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, e-poçt ünvanınız və s.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

• Topladığımız şəxsi məlumatlar bizə unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlərlə bağlı sizinlə əlaqə saxlamağa imkan verir.
• Zaman-zaman biz sizin şəxsi məlumatlarınızdan vacib bildirişlər və kommunikasiyalar göndərmək üçün istifadə edə bilərik.
• Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlərin aparılması, məlumatların təhlili və müxtəlif tədqiqatların aparılması kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
• Əgər siz uduş tirajında, müsabiqədə və ya oxşar təşviqatda iştirak edirsinizsə, biz bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə məlumatların açıqlanması

Sizdən alınan məlumatları üçüncü şəxslərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

• Zəruri hallarda - qanuna uyğun olaraq, məhkəmə qaydasında, məhkəmə prosesində və/və ya ictimai sorğular və ya Rusiya Federasiyasının dövlət orqanlarının sorğuları əsasında - şəxsi məlumatlarınızı açıqlamaq. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai əhəmiyyətli məqsədlər üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
• Yenidən təşkil etmə, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq varis üçüncü tərəfə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilmədən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirləri görürük.

Şirkət səviyyəsində məxfiliyinizə hörmət etmək

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz əməkdaşlarımıza məxfilik və təhlükəsizlik standartlarını çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.

Ən sadə triqonometrik tənliklər tənliklərdir

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

cos(x) = a tənliyi

İzahat və əsaslandırma

1. cosx = a tənliyinin kökləri. Nə vaxt | a | > 1 tənliyin kökü yoxdur, çünki | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 və ya a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Qoy | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. İntervalda y = cos x funksiyası 1-dən -1-ə qədər azalır. Lakin azalan funksiya öz dəyərinin hər birini yalnız tərif sahəsinin bir nöqtəsində qəbul edir, buna görə də cos x = a tənliyinin bu intervalda yalnız bir kökü var, arkkosinanın tərifinə görə, aşağıdakılara bərabərdir: x 1 = arccos a (və bu kök üçün cos x = A).

Kosinus cüt funksiyadır, deməli [-n intervalında; 0] tənliyi cos x = və yalnız bir kökə malikdir - x 1-in əksinə olan ədəd, yəni

x 2 = -arccos a.

Beləliklə, [-n intervalında; p] (uzunluq 2p) tənliyi cos x = a | ilə a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

y = cos x funksiyası 2n dövrü ilə dövridir, buna görə də bütün digər köklər 2n (n € Z) ilə tapılan köklərdən fərqlənir. cos x = a zaman tənliyinin kökləri üçün aşağıdakı düsturu alırıq

x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.

1. cosx = a tənliyinin həllinin xüsusi halları.

cos x = a zaman tənliyinin kökləri üçün xüsusi qeydləri yadda saxlamaq faydalıdır

a = 0, a = -1, a = 1, bir istinad kimi vahid dairədən istifadə etməklə asanlıqla əldə edilə bilər.

Kosinus vahid çevrənin müvafiq nöqtəsinin absissinə bərabər olduğundan, vahid çevrənin müvafiq nöqtəsi A və ya B nöqtəsi olduqda, cos x = 0 alırıq.

Eynilə, cos x = 1 yalnız və yalnız vahid çevrənin müvafiq nöqtəsi C nöqtəsidirsə, deməli,

x = 2πп, k € Z.

Həmçinin cos x = -1, əgər vahid çevrənin müvafiq nöqtəsi D nöqtəsidirsə, beləliklə, x = n + 2n,

sin(x) = a tənliyi

İzahat və əsaslandırma

1. sinx = a tənliyinin kökləri. Nə vaxt | a | > 1 tənliyin kökü yoxdur, çünki | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 və ya a< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Triqonometrik tənliklərin həlli üçün əsas üsullar bunlardır: tənliklərin ən sadəinə endirilməsi (triqonometrik düsturlardan istifadə etməklə), yeni dəyişənlərin tətbiqi və faktorinq. Onların istifadəsinə nümunələrlə baxaq. Triqonometrik tənliklərin həllərinin yazılması formatına diqqət yetirin.

Triqonometrik tənlikləri uğurla həll etmək üçün zəruri şərt triqonometrik düsturları bilməkdir (6-cı işin 13-cü mövzusu).

Nümunələr.

1. Ən sadəə endirilən tənliklər.

1) Tənliyi həll edin

Həll:

Cavab:

2) Tənliyin köklərini tapın

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, seqmentə aiddir.

Həll:

Cavab:

2. Kvadrata endirən tənliklər.

1) 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 tənliyini həll edin.

Həll: sin 2 x = 1 – cos 2 x düsturundan istifadə edərək əldə edirik

Cavab:

2) cos 2x = 1 + 4 cosx tənliyini həll edin.

Həll: cos 2x = 2 cos 2 x – 1 düsturundan istifadə edərək, alırıq

Cavab:

3) tgx – 2ctgx + 1 = 0 tənliyini həll edin

Həll:

Cavab:

3. Homojen tənliklər

1) 2sinx – 3cosx = 0 tənliyini həll edin

Həlli: cosx = 0 olsun, sonra 2sinx = 0 və sinx = 0 – sin 2 x + cos 2 x = 1 olması ilə ziddiyyət. Bu cosx ≠ 0 deməkdir və biz tənliyi cosx-a bölmək olar. alırıq

Cavab:

2) 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x tənliyini həll edin

Həll:

1 = sin 2 x + cos 2 x və sin 2x = 2 sinxcosx düsturlarından istifadə edirik, alırıq

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Qoy cosx = 0, sonra sin 2 x = 0 və sinx = 0 – sin 2 x + cos 2 x = 1 olması ilə ziddiyyət təşkil edir.
Bu cosx ≠ 0 deməkdir və biz tənliyi cos 2 x-ə bölmək olar . alırıq

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
tgx = y işarəsi verək
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arktan2 + 2 k, k .

Cavab: arctg4 + 2 k, arktan2 + 2 k,k

4. Formanın tənlikləri a sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) Tənliyi həll edin.

Həll:

Cavab:

5. Faktorlara ayırma yolu ilə həll olunan tənliklər.

1) sin2x – sinx = 0 tənliyini həll edin.

Tənliyin kökü f (X) = φ ( X) yalnız 0 rəqəmi kimi xidmət edə bilər. Bunu yoxlayaq:

cos 0 = 0 + 1 – bərabərlik doğrudur.

0 rəqəmi bu tənliyin yeganə köküdür.

Cavab: 0.

“Get an A” video kursu müvəffəqiyyət üçün lazım olan bütün mövzuları əhatə edir Vahid Dövlət İmtahanından keçmək riyaziyyatdan 60-65 bal. Tamamilə bütün problemlər 1-13 Profil Vahid Dövlət İmtahanı riyaziyyat. Riyaziyyatdan Əsas Vahid Dövlət İmtahanından keçmək üçün də uyğundur. Vahid Dövlət İmtahanından 90-100 balla keçmək istəyirsinizsə, 1-ci hissəni 30 dəqiqə ərzində və səhvsiz həll etməlisiniz!

10-11-ci siniflər, eləcə də müəllimlər üçün Vahid Dövlət İmtahanına hazırlıq kursu. Riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanının 1-ci hissəsini (ilk 12 məsələ) və 13-cü məsələni (triqonometriya) həll etmək üçün lazım olan hər şey. Və bu, Vahid Dövlət İmtahanında 70 baldan çoxdur və nə 100 bal toplayan tələbə, nə də humanitar elmlər tələbəsi onlarsız edə bilməz.

Bütün zəruri nəzəriyyə. Vahid Dövlət İmtahanının sürətli həlləri, tələləri və sirləri. FIPI Tapşırıq Bankından 1-ci hissənin bütün cari tapşırıqları təhlil edilmişdir. Kurs 2018-ci il Vahid Dövlət İmtahanının tələblərinə tam cavab verir.

Kurs hər biri 2,5 saat olmaqla 5 böyük mövzudan ibarətdir. Hər bir mövzu sıfırdan, sadə və aydın şəkildə verilir.

Yüzlərlə Vahid Dövlət İmtahan tapşırığı. Söz problemləri və ehtimal nəzəriyyəsi. Problemlərin həlli üçün sadə və yaddaqalan alqoritmlər. Həndəsə. Nəzəriyyə, istinad materialı, bütün növ Vahid Dövlət İmtahanı tapşırıqlarının təhlili. Stereometriya. Çətin həllər, faydalı fırıldaqçı vərəqlər, məkan təxəyyülünün inkişafı. Sıfırdan problemə triqonometriya 13. Sıxmaq əvəzinə başa düşmək. Vizual izahat mürəkkəb anlayışlar. Cəbr. Köklər, səlahiyyətlər və loqarifmlər, funksiya və törəmə. Vahid Dövlət İmtahanının 2-ci hissəsinin mürəkkəb problemlərinin həlli üçün əsas.