Pifaqor teoremi və onun əksi. Riyaziyyat dərsi layihəsi "Pifaqor teoreminə tərs teorem". Pifaqor teoremindən istifadə edərək praktiki məsələlərin həlli

Dərsin məqsədləri:

ümumi təhsil:

• tələbələrin nəzəri biliklərini (düzbucaqlı üçbucağın xassələri, Pifaqor teoremi), onlardan məsələlərin həllində istifadə etmək bacarığını yoxlamaq;
• Problemli bir vəziyyət yaratdıqdan sonra tələbələri tərs Pifaqor teoreminin "kəşfinə" aparın.

inkişaf edir:

• nəzəri bilikləri praktikada tətbiq etmək bacarıqlarının inkişafı;
• müşahidələrdən nəticə çıxarmaq bacarığını inkişaf etdirmək;
• yaddaşın, diqqətin, müşahidənin inkişafı:
• kəşflərdən emosional məmnunluq, riyazi anlayışların inkişaf tarixinin elementlərinin tətbiqi yolu ilə öyrənmə motivasiyasının inkişafı.

təhsil:

• Pifaqorun həyat fəaliyyətini öyrənməklə mövzuya davamlı maraq yaratmaq;
• qarşılıqlı test vasitəsilə sinif yoldaşlarının biliklərinin obyektiv qiymətləndirilməsi və qarşılıqlı yardımın təşviqi.

Dərsin formatı: sinif-dərs.

Dərs planı:

• Təşkilat vaxtı.
• Ev tapşırığını yoxlamaq. Biliklərin yenilənməsi.
• Pifaqor teoremindən istifadə edərək praktiki məsələlərin həlli.
• Yeni mövzu.
• Biliklərin ilkin konsolidasiyası.
• Ev tapşırığı.
• Dərsin xülasəsi.
• Müstəqil iş (Pifaqorun aforizmlərini təxmin etməklə fərdi kartlardan istifadə etməklə).

Dərslər zamanı.

Təşkilat vaxtı.

Ev tapşırığını yoxlamaq. Biliklərin yenilənməsi.

Müəllim: Evdə hansı tapşırığı yerinə yetirirdin?

Tələbələr: Düzbucaqlı üçbucağın iki verilmiş tərəfindən istifadə edərək üçüncü tərəfi tapın və cavabları cədvəl şəklində təqdim edin. Romb və düzbucaqlının xassələrini təkrarlayın. Şərt adlanan şeyi təkrarlayın və teoremin nəticəsi nədir. Pifaqorun həyat və yaradıcılığı haqqında hesabatlar hazırlayın. Üzərinə 12 düyün bağlanmış bir kəndir gətirin.

Müəllim: Cədvəldən istifadə edərək ev tapşırığınızın cavablarını yoxlayın

(məlumatlar qara rənglə vurğulanır, cavablar qırmızı rəngdədir).

Müəllim: Hesabatlar lövhədə yazılır. Əgər onlarla razısınızsa, müvafiq sual nömrəsinin yanındakı kağız parçalarına “+”, razı deyilsinizsə, “-” qoyun.

Hesabatlar lövhədə əvvəlcədən yazılır.

1. Hipotenuz ayaqdan daha uzundur.
2. Düzbucaqlı üçbucağın iti bucaqlarının cəmi 180 0-dir.
3. Ayaqları olan düzbucaqlı üçbucağın sahəsi A Və V düsturla hesablanır S=ab/2.
4. Pifaqor teoremi bütün ikitərəfli üçbucaqlar üçün doğrudur.
5. Düzbucaqlı üçbucaqda 30 0 bucağın qarşısındakı ayaq hipotenuzanın yarısına bərabərdir.
6. Ayaqların kvadratlarının cəmi hipotenuzanın kvadratına bərabərdir.
7. Ayağın kvadratı hipotenuzanın və ikinci ayağın kvadratları arasındakı fərqə bərabərdir.
8. Üçbucağın bir tərəfi digər iki tərəfin cəminə bərabərdir.

İş qarşılıqlı yoxlamadan istifadə etməklə yoxlanılır. Mübahisəyə səbəb olan bəyanatlar müzakirə olunur.

Nəzəri sualların açarı.

Şagirdlər aşağıdakı sistemdən istifadə edərək bir-birlərini qiymətləndirirlər:

8 düzgün cavab “5”;
6-7 düzgün cavab “4”;
4-5 düzgün cavab “3”;
4-dən az düzgün cavab “2”.

Müəllim:Ötən dərsdə nədən danışdıq?

Tələbə: Pifaqor və onun teoremi haqqında.

Müəllim: Pifaqor teoremini ifadə edin. (Bir neçə tələbə tərtibi oxuyur, bu zaman 2-3 şagird lövhədə, 6 şagird birinci partalarda kağız parçaları üzərində sübut edir).

Riyazi düsturlar maqnit lövhəsindəki kartlarda yazılır. Pifaqor teoreminin mənasını əks etdirənləri seçin, harada A Və V - ayaqları, ilə - hipotenuz.

1) c 2 = a 2 + b 2	2) c = a + b	3) a 2 = 2-dən – 2-də
4) 2 = a 2 ilə - 2-də	5) 2 = c 2 - a 2-də	6) a 2 = c 2 + c 2

Yazı lövhəsində və sahədə teoremi sübut edən tələbələr hazır olmadığı halda, söz Pifaqorun həyat və yaradıcılığı haqqında məruzə hazırlayanlara verilir.

Tarlada çalışan məktəblilər kağız parçaları verir və lövhədə işləyənlərin dəlillərini dinləyirlər.

Pifaqor teoremindən istifadə edərək praktiki məsələlərin həlli.

Müəllim: Mən sizə öyrənilən teoremdən istifadə edərək praktiki məsələlər təklif edirəm. Əvvəlcə fırtınadan sonra meşəyə, sonra şəhərətrafı əraziyə baş çəkəcəyik.

Problem 1. Fırtınadan sonra ladin qırılıb. Qalan hissənin hündürlüyü 4,2 m-dir.Bazadan yıxılan zirvəyə qədər olan məsafə 5,6 m-dir.Tufandan əvvəl ladin hündürlüyünü tapın.

Problem 2. Evin hündürlüyü 4,4 m.Evin ətrafındakı qazonun eni 1,4 m.Pilləkən nə qədər uzun olmalıdır ki, qazona mane olmasın və evin damına çatsın?

Yeni mövzu.

Müəllim:(musiqi səsləri) Gözlərinizi yumun, bir neçə dəqiqəyə tarixə qərq olacağıq. Qədim Misirdə sizinləyik. Burada gəmiqayırma zavodlarında misirlilər öz məşhur gəmilərini tikirlər. Lakin tədqiqatçılar Nil daşqından sonra sərhədləri yuyulmuş torpaq sahələrini ölçürlər. İnşaatçılar hələ də öz möhtəşəmliyi ilə bizi heyran edən möhtəşəm piramidalar tikirlər. Bütün bu fəaliyyətlərdə misirlilər düzgün bucaqlardan istifadə etməli idilər. Onlar bir-birindən bərabər məsafədə bağlanmış 12 düyünlü kəndirdən istifadə edərək onları necə qurmağı bilirdilər. Qədim misirlilər kimi düşünərək iplərinizlə düz üçbucaqlar yaratmağa çalışın. (Bu problemi həll etmək üçün uşaqlar 4 nəfərlik qruplarda işləyirlər. Bir müddət sonra kimsə lövhənin yanında planşetdə üçbucağın qurulmasını göstərir).

Yaranan üçbucağın tərəfləri 3, 4 və 5-dir. Bu düyünlər arasında daha bir düyün bağlasanız, onun tərəfləri 6, 8 və 10 olacaq. Əgər hər biri ikidirsə - 9, 12 və 15. Bütün bu üçbucaqlar düzbucaqlıdır, çünki

5 2 = 3 2 + 4 2, 10 2 = 6 2 + 8 2, 15 2 = 9 2 + 12 2 və s.

Düzbucaqlı olmaq üçün üçbucağın hansı xüsusiyyəti olmalıdır? (Tələbələr tərs Pifaqor teoremini özləri formalaşdırmağa çalışırlar; nəhayət, kimsə buna nail olur).

Bu teorem Pifaqor teoremindən nə ilə fərqlənir?

Tələbə:Şərt və nəticə yerini dəyişib.

Müəllim: Evdə belə teoremlərin nə adlandığını təkrar etdiniz. Bəs indi nə ilə qarşılaşdıq?

Tələbə: Tərs Pifaqor teoremi ilə.

Müəllim: Dərsin mövzusunu dəftərimizə yazaq. Dərsliklərinizi 127-ci səhifədə açın, bu ifadəni bir daha oxuyun, dəftərinizə yazın və sübutu təhlil edin.

(Dərsliklə müstəqil işdən bir neçə dəqiqə sonra, arzu olunarsa, lövhədə bir nəfər teoremin sübutunu verir).

1. Tərəfləri 3, 4 və 5 olan üçbucağın adı nədir? Niyə?
2. Hansı üçbucaqlara Pifaqor üçbucaqları deyilir?
3. Ev tapşırığında hansı üçbucaqlarla işləmisən? Bəs şam ağacı və nərdivanla bağlı problemlər?

Biliklərin ilkin konsolidasiyası

.

Bu teorem üçbucaqların düzbucaqlı olub-olmadığını öyrənmək üçün lazım olan problemləri həll etməyə kömək edir.

Tapşırıqlar:

1) Tərəfləri bərabər olan üçbucağın düzbucaqlı olub olmadığını öyrənin:

a) 12,37 və 35; b) 21, 29 və 24.

2) Tərəfləri 6, 8 və 10 sm olan üçbucağın hündürlüklərini hesablayın.

Ev tapşırığı

.

Səhifə 127: tərs Pifaqor teoremi. No 498(a,b,c) No 497.

Dərsin xülasəsi.

Dərsdə yeni nə öyrəndiniz?

Misirdə tərs Pifaqor teoremi necə istifadə olunurdu?

Hansı problemləri həll etmək üçün istifadə olunur?

Hansı üçbucaqlarla qarşılaşdınız?

Ən çox nəyi xatırlayırsınız və bəyənirsiniz?

Müstəqil iş (fərdi kartlardan istifadə etməklə həyata keçirilir).

Müəllim: Evdə siz romb və düzbucaqlının xüsusiyyətlərini təkrarladınız. Onları sadalayın (sinflə söhbət var). Keçən dərsdə Pifaqorun çox yönlü bir şəxsiyyət olması haqqında danışdıq. O, tibb, musiqi və astronomiya üzrə təhsil alıb, eyni zamanda idmançı olub, Olimpiya Oyunlarında iştirak edib. Pifaqor həm də filosof idi. Onun bir çox aforizmləri bu gün də bizim üçün aktualdır. İndi müstəqil işlə məşğul olacaqsınız. Hər tapşırıq üçün bir neçə cavab variantı verilir, onların yanında Pifaqorun aforizmlərinin fraqmentləri yazılır. Tapşırıq bütün vəzifələri həll etmək, alınan fraqmentlərdən bir bəyanat tərtib etmək və onu yazmaqdır.

Video dərslərdən istifadə etməklə məktəb kurikulumunun mövzularını nəzərdən keçirmək materialı öyrənmək və mənimsəmək üçün əlverişli üsuldur. Video tələbələrin diqqətini əsas nəzəri anlayışlara yönəltməyə və vacib detalları qaçırmamağa kömək edir. Lazım gələrsə, tələbələr hər zaman video dərsi təkrar dinləyə və ya bir neçə mövzuya geri qayıda bilərlər.

8-ci sinif üçün bu video dərs şagirdlərə həndəsədən yeni mövzu öyrənməyə kömək edəcək.

Keçən mövzuda biz Pifaqor teoremini öyrəndik və onun isbatını təhlil etdik.

Tərs Pifaqor teoremi kimi tanınan bir teorem də var. Gəlin buna daha yaxından nəzər salaq.

Teorem. Üçbucaq aşağıdakı bərabərliyə malikdirsə, düzbucaqlıdır: üçbucağın bir tərəfinin kvadratının qiyməti digər iki tərəfin kvadratının cəminə bərabərdir.

Sübut. Tutaq ki, bizə AB 2 = CA 2 + CB 2 bərabərliyi olan ABC üçbucağı verilmişdir. C bucağının 90 dərəcəyə bərabər olduğunu sübut etmək lazımdır. A 1 B 1 C 1 üçbucağını nəzərdən keçirək ki, burada C 1 bucağı 90 dərəcəyə, C 1 A 1 tərəfi CA-ya və B 1 C 1 tərəfi BC-yə bərabərdir.

Pifaqor teoremindən istifadə edərək A 1 C 1 B 1 üçbucağında tərəflərin nisbətini yazırıq: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2. İfadəni bərabər tərəflərlə əvəz edərək A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2 alırıq.

Teoremin şərtlərindən AB 2 = CA 2 + CB 2 olduğunu bilirik. Onda biz A 1 B 1 2 = AB 2 yaza bilərik, buradan belə nəticə çıxır ki, A 1 B 1 = AB.

ABC və A 1 B 1 C 1 üçbucaqlarında üç tərəfin bərabər olduğunu tapdıq: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Beləliklə, bu üçbucaqlar bərabərdir. Üçbucaqların bərabərliyindən belə çıxır ki, C bucağı C 1 bucağına və müvafiq olaraq 90 dərəcəyə bərabərdir. ABC üçbucağının düzbucaqlı olduğunu və C bucağının 90 dərəcə olduğunu müəyyən etdik. Bu teoremi sübut etdik.

Sonra müəllif bir nümunə verir. Tutaq ki, bizə ixtiyari üçbucaq verilib. Onun tərəflərinin ölçüləri məlumdur: 5, 4 və 3 ədəd. Teoremdən Pifaqor teoreminə tərs olan ifadəni yoxlayaq: 5 2 = 3 2 + 4 2. Bəyanat doğrudur, yəni bu üçbucaq düzbucaqlıdır.

Aşağıdakı nümunələrdə, tərəfləri bərabər olduqda üçbucaqlar da düzbucaqlı üçbucaq olacaq:

5, 12, 13 ədəd; 13 2 = 5 2 + 12 2 bərabərliyi doğrudur;

8, 15, 17 ədəd; 17 2 = 8 2 + 15 2 bərabərliyi doğrudur;

7, 24, 25 ədəd; 25 2 = 7 2 + 24 2 bərabərliyi doğrudur.

Pifaqor üçbucağı anlayışı məlumdur. Bu, tərəfləri tam ədədlərə bərabər olan düzbucaqlı üçbucaqdır. Pifaqor üçbucağının ayaqları a və c, hipotenuzası isə b ilə işarələnirsə, bu üçbucağın tərəflərinin qiymətləri aşağıdakı düsturlardan istifadə etməklə yazıla bilər:

b = k x (m 2 - n 2)

c = k x (m 2 + n 2)

burada m, n, k hər hansı natural ədədlərdir və m-in qiyməti n-in qiymətindən böyükdür.

Maraqlı fakt: tərəfləri 5, 4 və 3 olan üçbucağa Misir üçbucağı da deyilir; belə üçbucaq Qədim Misirdə məlum idi.

Bu video dərsimizdə Pifaqor teoreminin əksinə olan teoremi öyrəndik. Biz dəlilləri ətraflı araşdırdıq. Şagirdlər həmçinin hansı üçbucaqların Pifaqor üçbucağı adlandığını öyrəndilər.

Tələbələr bu video dərsin köməyi ilə “Pifaqorun tərs teoremi” mövzusu ilə asanlıqla tanış ola bilərlər.

Van der Waerdenə görə, çox güman ki, ümumi formada nisbət Babildə təxminən eramızdan əvvəl 18-ci əsrdə məlum idi. e.

Təxminən eramızdan əvvəl 400-cü il. Eramızdan əvvəl, Prokla görə, Platon cəbr və həndəsəni birləşdirən Pifaqor üçlüyü tapmaq üçün bir üsul verdi. Təxminən eramızdan əvvəl 300-cü il. e. Pifaqor teoreminin ən qədim aksiomatik sübutu Evklidin Elementlərində ortaya çıxdı.

Tərkiblər

Əsas formula cəbri əməliyyatları ehtiva edir - uzunluqları bərabər olan düzbucaqlı üçbucaqda a (\displaystyle a) Və b (\displaystyle b), və hipotenuzanın uzunluğu c (\displaystyle c), aşağıdakı əlaqə təmin edilir:

.

Fiqurun sahəsi anlayışına müraciət edərək ekvivalent həndəsi tənzimləmə də mümkündür: düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuza üzərində qurulmuş kvadratın sahəsi üzərində qurulmuş kvadratların sahələrinin cəminə bərabərdir. ayaqları. Teorem Evklidin Elementlərində bu formada tərtib edilmişdir.

Pifaqor teoremini tərsinə çevirin- tərəflərinin uzunluqları əlaqə ilə əlaqəli olan hər hansı üçbucağın düzbucaqlılığı haqqında ifadə a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Nəticədə, müsbət ədədlərin hər üçlüyü üçün a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) Və c (\displaystyle c), belə a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), ayaqları olan düzbucaqlı üçbucaq var a (\displaystyle a) Və b (\displaystyle b) və hipotenuza c (\displaystyle c).

Sübut

Elmi ədəbiyyatda Pifaqor teoreminin ən azı 400 sübutu qeydə alınmışdır ki, bu da onun həm həndəsə üçün fundamental əhəmiyyəti, həm də nəticənin elementar təbiəti ilə izah olunur. Sübutların əsas istiqamətləri bunlardır: üçbucağın elementləri arasında əlaqələrin cəbri istifadəsi (məsələn, məşhur oxşarlıq üsulu), sahələr üsulu, müxtəlif ekzotik sübutlar da var (məsələn, diferensial tənliklərdən istifadə etməklə).

Bənzər üçbucaqlar vasitəsilə

Evklidin klassik sübutu hipotenuzanın üstündəki kvadratı ayaqların üstündəki kvadratlarla düz bucağın hündürlüyünə bölməklə əmələ gələn düzbucaqlılar arasındakı sahələrin bərabərliyini müəyyən etməyə yönəldilmişdir.

Sübut üçün istifadə edilən konstruksiya aşağıdakı kimidir: düz bucaqlı düzbucaqlı üçbucaq üçün C (\displaystyle C), ayaqların üzərindəki kvadratlar və hipotenuzanın üstündəki kvadratlar A B I K (\displaystyle ABIK) hündürlüyü tikilir CH və onu davam etdirən şüa s (\displaystyle s), hipotenuzanın üstündəki kvadratı iki düzbucaqlıya bölmək və . Sübut düzbucaqlının sahələrinin bərabərliyini təmin etmək məqsədi daşıyır A H J K (\displaystyle AHJK) ayağın üstündə bir kvadrat ilə A C (\displaystyle AC); hipotenuzanın üstündəki kvadratı təşkil edən ikinci düzbucağın və digər ayağın üstündəki düzbucağın sahələrinin bərabərliyi oxşar şəkildə qurulur.

Düzbucaqlının sahələrinin bərabərliyi A H J K (\displaystyle AHJK) Və A C E D (\displaystyle ACED)üçbucaqların uyğunluğu ilə müəyyən edilir △ A C K ​​(\displaystyle \üçbucaq ACK) Və △ A B D (\displaystyle \üçbucaq ABD), hər birinin sahəsi kvadratların sahəsinin yarısına bərabərdir A H J K (\displaystyle AHJK) Və A C E D (\displaystyle ACED) müvafiq olaraq, aşağıdakı xassə ilə əlaqədar olaraq: fiqurların ümumi tərəfi varsa, üçbucağın sahəsi düzbucağın sahəsinin yarısına bərabərdir və üçbucağın ümumi tərəfə hündürlüyü isə digər tərəfidir. düzbucaqlı. Üçbucaqların uyğunluğu iki tərəfin bərabərliyindən (kvadratların tərəfləri) və aralarındakı bucaqdan (düz bucaq və bucaqdan ibarətdir) əmələ gəlir. A (\displaystyle A).

Beləliklə, sübut hipotenuzanın üstündəki kvadratın sahəsinin düzbucaqlılardan ibarət olduğunu müəyyən edir. A H J K (\displaystyle AHJK) Və B H J I (\displaystyle BHJI), ayaqların üzərindəki kvadratların sahələrinin cəminə bərabərdir.

Leonardo da Vinçinin sübutu

Ərazi metoduna Leonardo da Vinçinin tapdığı sübut da daxildir. Düzgün üçbucaq verilsin △ A B C (\displaystyle \üçbucaq ABC) düz bucaq ilə C (\displaystyle C) və kvadratlar A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG) Və A B H J (\displaystyle ABHJ)(şəkilə bax). Bu sübut tərəfdə HJ (\displaystyle HJ) sonuncunun xarici tərəfində konqruent olan üçbucaq qurulur △ A B C (\displaystyle \üçbucaq ABC), üstəlik, həm hipotenuzaya nisbətən, həm də ona hündürlüyə nisbətən əks olunur (yəni, J I = B C (\displaystyle JI=BC) Və H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Düz C I (\displaystyle CI) hipotenuza üzərində qurulmuş kvadratı iki bərabər hissəyə bölür, çünki üçbucaqdır △ A B C (\displaystyle \üçbucaq ABC) Və △ J H I (\displaystyle \üçbucaq JHI) tikintidə bərabərdir. Sübut dördbucaqlıların uyğunluğunu müəyyən edir C A J I (\displaystyle CAJI) Və D A B G (\displaystyle DABG), hər birinin sahəsi, bir tərəfdən, ayaqlardakı kvadratların yarısının və orijinal üçbucağın sahəsinin cəminə bərabərdir, digər tərəfdən, yarısına bərabərdir. hipotenuzdakı kvadratın sahəsi və orijinal üçbucağın sahəsi. Ümumilikdə, ayaqların üzərindəki kvadratların sahələrinin cəminin yarısı, Pifaqor teoreminin həndəsi tərtibinə bərabər olan hipotenuza üzərindəki kvadratın sahəsinin yarısına bərabərdir.

Sonsuz kiçik üsulla sübut

Diferensial tənliklər texnikasından istifadə edən bir neçə sübut var. Xüsusilə, Hardy ayaqların sonsuz kiçik artımlarından istifadə edərək sübuta layiq görülür a (\displaystyle a) Və b (\displaystyle b) və hipotenuza c (\displaystyle c), və orijinal düzbucaqlı ilə oxşarlığı qorumaq, yəni aşağıdakı diferensial əlaqələrin yerinə yetirilməsini təmin etmək:

d a d c = c a (\ displaystyle (\ frac (da) (dc)) = (\ frac (c) (a))), d b d c = c b (\ displaystyle (\ frac (db) (dc)) = (\ frac (c) (b))).

Dəyişənlərin ayrılması metodundan istifadə edərək onlardan diferensial tənlik alınır c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), kimin inteqrasiyası əlaqəni verir c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). İlkin şərtlərin tətbiqi a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) sabiti 0 kimi təyin edir, bu da teoremin ifadəsi ilə nəticələnir.

Son düsturdakı kvadratik asılılıq üçbucağın tərəfləri və artımlar arasındakı xətti mütənasibliyə görə görünür, cəmi isə müxtəlif ayaqların artımından müstəqil töhfələrlə əlaqələndirilir.

Variasiya və ümumiləşdirmələr

Üç tərəfdən oxşar həndəsi fiqurlar

Pifaqor teoreminin mühüm həndəsi ümumiləşdirməsini Euclid Euclid tərəfindən verilmişdir, tərəflər kvadratların sahələrindən ixtiyari oxşar həndəsi fiqurların sahələrinə keçir: ayaqları üzərində qurulmuş belə fiqurların sahələrinin cəmi bərabər olacaqdır. hipotenuza üzərində qurulmuş oxşar fiqurun sahəsi.

Bu ümumiləşdirmənin əsas ideyası ondan ibarətdir ki, belə bir həndəsi fiqurun sahəsi onun istənilən xətti ölçülərinin kvadratına və xüsusən də hər hansı tərəfin uzunluğunun kvadratına mütənasibdir. Buna görə də, sahələri olan oxşar rəqəmlər üçün A (\displaystyle A), B (\displaystyle B) Və C (\displaystyle C), uzunluqlu ayaqları üzərində qurulmuşdur a (\displaystyle a) Və b (\displaystyle b) və hipotenuza c (\displaystyle c) Müvafiq olaraq, aşağıdakı əlaqə mövcuddur:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B) )(b^(2))))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)C).

Çünki Pifaqor teoreminə görə a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), sonra tamamlandı.

Bundan əlavə, Pifaqor teoreminə istinad etmədən sübut etmək mümkün olarsa, düzbucaqlı üçbucağın tərəflərindəki üç oxşar həndəsi fiqurun sahələri bu əlaqəni təmin edir. A + B = C (\displaystyle A+B=C), sonra Evklidin ümumiləşdirməsinin sübutunun əksindən istifadə edərək Pifaqor teoreminin sübutunu əldə etmək olar. Məsələn, hipotenuzda sahəsi olan ilkin ilə konqruent düzbucaqlı üçbucaq qururuq. C (\displaystyle C), və tərəflərdə - sahələri olan iki oxşar düzbucaqlı üçbucaq A (\displaystyle A) Və B (\displaystyle B), onda belə çıxır ki, tərəflərdəki üçbucaqlar ilkin üçbucağın hündürlüyünə bölünməsi nəticəsində əmələ gəlir, yəni üçbucağın iki kiçik sahəsinin cəmi üçüncünün sahəsinə bərabərdir, beləliklə A + B = C (\displaystyle A+B=C) və oxşar fiqurlar üçün əlaqə tətbiq edilərək, Pifaqor teoremi alınır.

Kosinus teoremi

Pifaqor teoremi ixtiyari üçbucaqda tərəflərin uzunluqlarını əlaqələndirən daha ümumi kosinus teoreminin xüsusi halıdır:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

tərəflər arasındakı bucaq haradadır a (\displaystyle a) Və b (\displaystyle b). Bucaq 90 ° olarsa, o zaman cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), və düstur adi Pifaqor teoreminə qədər sadələşir.

Pulsuz üçbucaq

Pifaqor teoreminin yalnız tərəflərin uzunluqlarının nisbəti ilə işləyən ixtiyari üçbucağa ümumiləşdirilməsi var, onun ilk dəfə Sabian astronomu Sabit ibn Qurra tərəfindən qurulduğu güman edilir. Bunun içərisində tərəfləri olan ixtiyari üçbucaq üçün, tərəfində əsası olan bir bərabərbucaqlı üçbucaq uyğun gəlir. c (\displaystyle c), orijinal üçbucağın təpəsi ilə üst-üstə düşən təpəsi, tərəfin əksinə c (\displaystyle c) və təməldəki bucaqlar bucağa bərabərdir θ (\displaystyle \teta), qarşı tərəf c (\displaystyle c). Nəticədə, orijinala bənzər iki üçbucaq yaranır: birincisi - tərəfləri ilə a (\displaystyle a), yazılan ikitərəfli üçbucağın ondan ən uzaq tərəfi və r (\displaystyle r)- yan hissələr c (\displaystyle c); ikincisi - yan tərəfdən ona simmetrik olaraq b (\displaystyle b) tərəfi ilə s (\displaystyle s)- tərəfin müvafiq hissəsi c (\displaystyle c). Nəticədə aşağıdakı əlaqə təmin edilir:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

da Pifaqor teoreminə degenerasiya θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Münasibət formalaşmış üçbucaqların oxşarlığının nəticəsidir:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c)) (b))=(\frac (b)(s))\,\Sağ ox \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Sahələr haqqında Pappus teoremi

Qeyri-Evklid həndəsəsi

Pifaqor teoremi Evklid həndəsəsinin aksiomlarından götürülüb və qeyri-Evklid həndəsəsi üçün keçərli deyil - Pifaqor teoreminin yerinə yetirilməsi Evklid paralelliyi postulatına bərabərdir.

Qeyri-Evklid həndəsəsində düzbucaqlı üçbucağın tərəfləri arasındakı əlaqə mütləq Pifaqor teoremindən fərqli bir formada olacaqdır. Məsələn, sferik həndəsədə düzbucaqlı üçbucağın vahid kürənin oktantını bağlayan hər üç tərəfi uzunluğa malikdir. π / 2 (\displaystyle \pi /2), bu Pifaqor teoreminə ziddir.

Üstəlik, üçbucağın düzbucaqlı olması tələbi üçbucağın iki bucağının cəminin üçüncüyə bərabər olması şərti ilə əvəz edilərsə, Pifaqor teoremi hiperbolik və elliptik həndəsədə etibarlıdır.

Sferik həndəsə

Radiuslu kürə üzərində istənilən düzbucaqlı üçbucaq üçün R (\displaystyle R)(məsələn, üçbucaqdakı bucaq düzdürsə) tərəfləri ilə a , b , c (\displaystyle a,b,c) tərəflər arasında münasibət belədir:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\sağ)=\cos \left((\frac) (a)(R))\sağ)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\sağ)).

Bu bərabərliyi bütün sferik üçbucaqlar üçün etibarlı olan sferik kosinus teoreminin xüsusi halı kimi əldə etmək olar:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + günah ⁡ (a R) ⋅ günah ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac () c)(R))\sağ)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\sağ)+\ sin \left((\frac (a)(R))\sağ)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\sağ)\cdot \cos \qamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

Harada ch (\displaystyle \operator adı (ch) )- hiperbolik kosin. Bu düstur bütün üçbucaqlar üçün keçərli olan hiperbolik kosinus teoreminin xüsusi halıdır:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operator adı (sh) a\cdot \operator adı (sh) b\cdot \cos \qamma ),

Harada γ (\displaystyle \qamma)- təpəsi tərəfə əks olan bucaq c (\displaystyle c).

Hiperbolik kosinus üçün Taylor seriyasından istifadə ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operator adı (ch) x\təxminən 1+x^(2)/2)) göstərmək olar ki, hiperbolik üçbucaq azalarsa (yəni, nə zaman a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) Və c (\displaystyle c) sıfıra meyl edir), onda düzbucaqlı üçbucaqdakı hiperbolik əlaqələr klassik Pifaqor teoreminin əlaqəsinə yaxınlaşır.

Ərizə

İki ölçülü düzbucaqlı sistemlərdə məsafə

Pifaqor teoreminin ən mühüm tətbiqi düzbucaqlı koordinat sistemində iki nöqtə arasındakı məsafəni təyin etməkdir: məsafə s (\displaystyle s) koordinatları olan nöqtələr arasında (a , b) (\displaystyle (a,b)) Və (c , d) (\displaystyle (c,d)) bərabərdir:

s = (a - c) 2 + (b - d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

Kompleks ədədlər üçün Pifaqor teoremi kompleks ədədin modulunu tapmaq üçün təbii düstur verir - üçün z = x + y i (\displaystyle z=x+yi) uzunluğuna bərabərdir

Dərsin məqsədləri:

Tədris: Pifaqor teoremini və Pifaqor teoreminin tərs teoremini formalaşdırmaq və sübut etmək. Onların tarixi və praktik əhəmiyyətini göstərin.

İnkişaf etdirici: şagirdlərin diqqətini, yaddaşını, məntiqi təfəkkürünü, mülahizə yürütmək, müqayisə etmək və nəticə çıxarmaq bacarığını inkişaf etdirmək.

Təhsil: mövzuya maraq və sevgi, dəqiqlik, yoldaşları və müəllimləri dinləmək bacarığını inkişaf etdirmək.

Avadanlıq: Pifaqorun portreti, konsolidasiya üçün tapşırıqları olan plakatlar, 7-9-cu siniflər üçün “Həndəsə” dərsliyi (İ.F.Şarıgin).

Dərs planı:

I. Təşkilati məqam – 1 dəq.

II. Ev tapşırığını yoxlamaq – 7 dəq.

III. Müəllimin giriş sözü, tarixi məlumat – 4-5 dəq.

IV. Pifaqor teoreminin tərtibi və sübutu – 7 dəq.

V. Pifaqor teoreminin əksinə olan teoremin tərtibi və sübutu – 5 dəq.

Yeni materialın birləşdirilməsi:

a) şifahi - 5-6 dəqiqə.
b) yazılı – 7-10 dəqiqə.

VII. Ev tapşırığı - 1 dəq.

VIII. Dərsin yekunlaşdırılması – 3 dəq.

Dərslər zamanı

I. Təşkilati məqam.

II. Ev tapşırığını yoxlamaq.

bənd 7.1, No 3 (hazır cizgiyə uyğun olaraq lövhədə).

Vəziyyət: Düzbucaqlı üçbucağın hündürlüyü hipotenuzanı 1 və 2 uzunluqlu seqmentlərə ayırır. Bu üçbucağın ayaqlarını tapın.

BC = a; CA = b; BA = c; BD = a 1; DA = b 1 ; CD = h C

Əlavə sual: nisbətləri düzbucaqlı üçbucaqda yazın.

Bölmə 7.1, No 5. Düzbucaqlı üçbucağı üç oxşar üçbucağa kəsin.

izah edin.

ASN ~ ABC ~ SVN

(şagirdlərin diqqətini oxşar üçbucaqların müvafiq təpələrini yazmağın düzgünlüyünə yönəldin)

III. Müəllimin giriş sözü, tarixi keçmişi.

Həqiqət, zəif insan tanıyan kimi əbədi qalacaq!

İndi də Pifaqor teoremi onun uzaq çağında olduğu kimi doğrudur.

Təsadüfi deyil ki, mən dərsimə alman yazıçısı Çamissonun sözləri ilə başlamışam. Bugünkü dərsimiz Pifaqor teoremi haqqındadır. Gəlin dərsin mövzusunu yazaq.

Qarşınızda böyük Pifaqorun portreti. 576-cı ildə anadan olub. 80 il yaşadıqdan sonra eramızdan əvvəl 496-cı ildə vəfat etdi. Qədim yunan filosofu və müəllimi kimi tanınır. O, tacir Mnesarxın oğlu idi, onu tez-tez səfərlərinə aparırdı, bunun sayəsində oğlanda maraq və yeni şeylər öyrənmək istəyi inkişaf etdi. Pifaqor ona bəlağətinə görə verilmiş ləqəbdir (“Pifaqor” “nitqlə inandıran” deməkdir). Özü də heç nə yazmayıb. Onun bütün fikirləri tələbələri tərəfindən lentə alınıb. İlk oxuduğu mühazirə nəticəsində Pifaqor 2000 tələbə qazandı, onlar öz arvadları və uşaqları ilə birlikdə nəhəng bir məktəb yaratdılar və Pifaqorun qanun və qaydalarına əsaslanan "Böyük Yunanıstan" adlı dövlət yaratdılar. ilahi əmrlər kimi. Həyatın mənası ilə bağlı mülahizələrini ilk dəfə o, fəlsəfə (fəlsəfə) adlandırdı. O, mistifikasiyaya və nümayişkaranə davranışa meylli idi. Bir gün Pifaqor yerin altında gizləndi və baş verən hər şeyi anasından öyrəndi. Sonra, bir skelet kimi qurudu, ictimai yığıncaqda Cəhənnəmdə olduğunu bildirdi və yer üzündəki hadisələr haqqında heyrətamiz bir bilik nümayiş etdirdi. Bunun üçün toxunan sakinlər onu Tanrı kimi tanıdılar. Pifaqor heç vaxt ağlamırdı və ümumiyyətlə ehtiras və həyəcan üçün əlçatmaz idi. O, insandan daha yaxşı toxumdan gəldiyinə inanırdı. Pifaqorun bütün həyatı dövrümüzə qədər gəlib çatmış və bizə qədim dünyanın ən istedadlı insanı haqqında danışan bir əfsanədir.

IV. Pifaqor teoreminin formalaşdırılması və sübutu.

Siz cəbr kursunuzdan Pifaqor teoreminin tərtibini bilirsiniz. Onu xatırlayaq.

Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzanın kvadratı ayaqların kvadratlarının cəminə bərabərdir.

Halbuki bu teorem Pifaqordan çox illər əvvəl məlum idi. Pifaqordan 1500 il əvvəl qədim misirlilər tərəfləri 3, 4 və 5 olan üçbucağın düzbucaqlı olduğunu bilirdilər və bu əmlakdan torpaq sahələrini planlaşdırarkən və binalar tikərkən düz bucaqlar qurmaq üçün istifadə edirdilər. Bizə gəlib çatan ən qədim Çin riyazi və astronomik əsərində Pifaqordan 600 il əvvəl yazılmış “Zhiu-bi”də düz üçbucaqla bağlı digər təkliflər arasında Pifaqor teoremi də yer alır. Hələ əvvəllər bu teorem hindulara məlum idi. Beləliklə, Pifaqor düzbucaqlı üçbucağın bu xassəsini kəşf etməmişdir, yəqin ki, ilk dəfə ümumiləşdirən və sübut edən, təcrübə sahəsindən elm sahəsinə köçürən o olmuşdur.

Qədim dövrlərdən bəri riyaziyyatçılar Pifaqor teoreminin daha çox sübutunu tapırlar. Onların yüz yarımdan çoxu məlumdur. Cəbr kursundan bizə məlum olan Pifaqor teoreminin cəbri sübutunu xatırlayaq. (“Riyaziyyat. Cəbr. Funksiyalar. Məlumatların təhlili” G.V. Dorofeev, M., “Drofa”, 2000).

Şagirdləri rəsm üçün sübutu xatırlamağa və lövhəyə yazmağa dəvət edin.

(a + b) 2 = 4 1/2 a * b + c 2 b a

a 2 + 2a * b + b 2 = 2a * b + c 2

a 2 + b 2 = c 2 a a b

Bu mülahizənin mənsub olduğu qədim hindular adətən bunu yazmırdılar, ancaq rəsmə yalnız bir sözlə müşayiət edirdilər: “Bax”.

Müasir təqdimatda Pifaqora aid dəlillərdən birini nəzərdən keçirək. Dərsin əvvəlində düzbucaqlı üçbucaqdakı əlaqələr haqqında teoremi xatırladıq:

h 2 = a 1* b 1 a 2 = a 1* c b 2 = b 1* c

Son iki bərabərliyi terminə görə əlavə edək:

b 2 + a 2 = b 1* c + a 1* c = (b 1 + a 1) * c 1 = c * c = c 2 ; a 2 + b 2 = c 2

Bu sübutun görünən sadəliyinə baxmayaraq, ən sadədən uzaqdır. Axı, bunun üçün hündürlüyü düz üçbucaqda çəkmək və oxşar üçbucaqları nəzərdən keçirmək lazım idi. Zəhmət olmasa bu sübutu dəftərinizə qeyd edin.

V. Teoremin tərtibi və sübutu Pifaqor teoreminin əksinədir.

Hansı teoremə bu teoremin əksi deyilir? (...şərt və nəticə əksinə olarsa.)

İndi Pifaqor teoreminin əksinə olan teoremi formalaşdırmağa çalışaq.

Əgər tərəfləri a, b və c olan üçbucaqda c 2 = a 2 + b 2 bərabərliyi təmin edilirsə, bu üçbucaq düzbucaqlıdır, düzgün bucaq isə c tərəfinə əksdir.

(Posterdə əks teoremin sübutu)

ABC, BC = a,

AC = b, BA = c.

a 2 + b 2 = c 2

Sübut edin:

ABC - düzbucaqlı,

Sübut:

A 1 B 1 C 1 düzbucağını nəzərdən keçirək,

burada C 1 = 90°, A 1 C 1 = a, A 1 C 1 = b.

Onda Pifaqor teoremi ilə B 1 A 1 2 = a 2 + b 2 = c 2.

Yəni, B 1 A 1 = c A 1 B 1 C 1 = ABC üç tərəfdən ABC düzbucaqlıdır.

C = 90°, sübut edilməli olan budur.

VI. Öyrənilən materialın konsolidasiyası (şifahi).

1. Hazır çertyojları olan plakat əsasında.

Şəkil 1: VD = 8, VDA = 30° olduqda AD-ni tapın.

Şəkil 2: BE = 5, BAE = 45° olduqda CD-ni tapın.

Şəkil 3: BC = 17, AD = 16 olduqda BD tapın.

2. Tərəfləri rəqəmlərlə ifadə olunan üçbucaq düzbucaqlıdır:

5 2 + 6 2 ? 7 2 (yox)	9 2 + 12 2 = 15 2 (bəli)	15 2 + 20 2 = 25 2 (bəli)

Son iki halda ədədlərin üçlükləri necə adlanır? (Pifaqorçu).

VI. Problemlərin həlli (yazılı).

No 9. Bərabərtərəfli üçbucağın tərəfi a-ya bərabərdir. Bu üçbucağın hündürlüyünü, çevrilmiş çevrənin radiusunu və içərisinə daxil edilmiş dairənin radiusunu tapın.

No 14. Sübut edin ki, düzbucaqlı üçbucaqda çevrilmiş çevrənin radiusu hipotenuzaya çəkilmiş mediana və hipotenuzanın yarısına bərabərdir.

VII. Ev tapşırığı.

Paraqraf 7.1, səh. 175-177, 7.4-cü teoremi (ümumiləşdirilmiş Pifaqor teoremi), №1 (şifahi), №2, №4-ü araşdırın.

VIII. Dərsin xülasəsi.

Bu gün sinifdə nə yeni öyrəndiniz? …………

Pifaqor ilk növbədə filosof idi. İndi onun bizim dövrümüzdə sizin və mənim üçün aktual olan bir neçə kəlamını oxumaq istəyirəm.

• Həyat yolunda toz qaldırmayın.
• Yalnız sonra sizi incitməyəcək və tövbə etməyə məcbur etməyəcək bir şey edin.
• Heç vaxt bilmədiklərinizi etməyin, bilməniz lazım olan hər şeyi öyrənin və sonra sakit bir həyat sürəcəksiniz.
• Keçən günün bütün hərəkətlərini sıralamadan yatmaq istədiyiniz zaman gözlərinizi yummayın.
• Sadə və lüks olmadan yaşamağı öyrənin.

Pifaqor teoremində deyilir:

Düzbucaqlı üçbucaqda ayaqların kvadratlarının cəmi hipotenuzanın kvadratına bərabərdir:

a 2 + b 2 = c 2,

• a Və b- düz bucaq meydana gətirən ayaqlar.
• ilə- üçbucağın hipotenuzası.

Pifaqor teoreminin düsturları

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Pifaqor teoreminin sübutu

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi düsturla hesablanır:

S = \frac(1)(2)ab

İxtiyari üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün sahə düsturu belədir:

• səh- yarım perimetr. p=\frac(1)(2)(a+b+c),
• r– yazılmış dairənin radiusu. Düzbucaqlı üçün r=\frac(1)(2)(a+b-c).

Sonra üçbucağın sahəsi üçün hər iki formulun sağ tərəflərini bərabərləşdiririk:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \sol((a+b)^(2) -c^(2) \sağ)

2 ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Pifaqor teoreminin əksinə:

Üçbucağın bir tərəfinin kvadratı digər iki tərəfin kvadratlarının cəminə bərabərdirsə, üçbucaq düzbucaqlıdır. Yəni müsbət ədədlərin istənilən üçlüyü üçün a, b Və c, belə

a 2 + b 2 = c 2,

ayaqları olan düzbucaqlı üçbucaq var a Və b və hipotenuza c.

Pifaqor teoremi- düzbucaqlı üçbucağın tərəfləri arasında əlaqə quran Evklid həndəsəsinin əsas teoremlərindən biri. Bunu alim riyaziyyatçı və filosof Pifaqor sübut etmişdir.

Teoremin mənası Məsələ ondadır ki, ondan başqa teoremləri sübut etmək və problemləri həll etmək üçün istifadə oluna bilər.

Əlavə material: