Tənliyin hansı xəttin çoxaldığını tapın. Xəttin tənliyinin təyini, müstəvidə xəttin nümunələri. paralellik vəziyyəti
Analitik həndəsənin ən mühüm anlayışı müstəvidə xətt tənliyi.
Tərif. Müstəvidə xəttin (əyri) tənliyi ilə Oksi koordinatlarının ödədiyi tənlikdir x və y verilmiş xəttin hər bir nöqtəsi və bu xətt üzərində olmayan heç bir nöqtənin koordinatlarını təmin etmir (şək. 1).
Ümumi halda xətt tənliyi formada yazıla bilər F (x, y) = 0 və ya y = f (x).
Misal. Nöqtələrdən bərabər məsafədə olan nöqtələr çoxluğunun tənliyini tapın A (-4; 2), B (-2; -6).
Həll.Əgər M (x; y) Axtarılan xəttin ixtiyari nöqtəsidir (Şəkil 2), onda biz var AM = BM və ya
Transformasiyalardan sonra alırıq
Aydındır ki, bu düz xəttin tənliyidir MD- seqmentin ortasından bərpa olunan perpendikulyar AB.
Təyyarədə olan bütün xətlər arasında xüsusi əhəmiyyət kəsb edir düz xətt... Ən çox istifadə olunan xətti iqtisadi və riyazi modellərdə istifadə olunan xətti funksiyanın qrafikidir.
Düz xətt tənliyinin müxtəlif növləri:
1) yamac k və ilkin ordinat b ilə:
y = kx + b,
düz xətt ilə oxun müsbət istiqaməti arasındakı bucaq haradadır OH(şək. 3).
Xüsusi hallar:
- düz xətt keçir mənşəyi(şək. 4):
– bissektrisa birinci və üçüncü, ikinci və dördüncü koordinat bucaqları:
y = + x, y = -x;
- düz OX oxuna paralel və özüm OX oxu(şək. 5):
y = b, y = 0;
- düz OY oxuna paralel və özüm ox ОY(şək. 6):
x = a, x = 0;
2) bu istiqamətdə keçmək (maili) k verilmiş nöqtə vasitəsilə (şək. 7) :
.
Yuxarıdakı tənlikdə olarsa kİxtiyari bir ədəddir, onda tənlik müəyyən edir düz xətlər dəstəsi nöqtəsindən keçən , oxa paralel düz xətt istisna olmaqla ay.
MisalA (3, -2):
a) oxa bucaq altında OH;
b) oxa paralel OY.
Həll.
a) 
, y - (- 2) = - 1 (x-3) və ya y = -x + 1;
b) x = 3.
3) iki verilmiş nöqtədən keçmək (şək. 8) :
.
Misal... Nöqtələrdən keçən düz xətti bərabərləşdirin A (-5.4), B (3, -2).
Həll. 
,
4) seqmentlərdə düz xəttin tənliyi (şək. 9):
harada a, b - müvafiq olaraq baltalar üzərində kəsiləcək seqmentlər öküz və ay.
Misal... Bir nöqtədən keçən düz xətti bərabərləşdirin A (2, -1)əgər bu xətt müsbət yarımoxdan kəsilirsə ay müsbət yarımoxdan iki dəfə böyük olan seqment öküz(şək. 10).
Həll... Şərtlə b = 2a, sonra . Nöqtənin koordinatlarını əvəz edin A (2, -1):
Harada a = 1.5.
Nəhayət əldə edirik:
Və ya y = -2x + 3.
5) düz xəttin ümumi tənliyi:
Ax + By + C = 0,
harada a və b eyni zamanda sıfıra bərabər deyil.
Düz xətlərin bəzi vacib xüsusiyyətləri :
1) nöqtədən düz xəttə qədər olan məsafə d:
.
2) düz xətlər arasındakı bucaq və müvafiq olaraq:
və 
.
3) xətlərin paralellik şərti:
və ya .
4) düz xətlərin perpendikulyarlıq şərti:
və ya 
.
Misal 1... Bir nöqtədən keçən iki düz xətti bərabərləşdirin A (5.1), bunlardan biri düz xəttə paraleldir 3x + 2y-7 = 0 digəri isə eyni xəttə perpendikulyardır. Paralel xətlər arasındakı məsafəni tapın.
Həll... Şəkil 11.
1) paralel xəttin tənliyi Ax + By + C = 0:
paralellik şərtindən;
proporsionallıq əmsalını 1-ə bərabər götürərək, alırıq A = 3, B = 2;
sonra. 3x + 2y + C = 0;
məna İLƏ m koordinatlarını əvəz etməklə tapın. A (5.1),
3 * 5 + 2 * 1 + C = 0, harada C = -17;
paralel xətt tənliyi - 3x + 2y-17 = 0.
2) perpendikulyar xəttin tənliyi perpendikulyarlıq şərtindən formaya sahib olacaq 2x-3y + C = 0;
koordinatları əvəz etməklə t. A (5.1), alırıq 2 * 5-3 * 1 + C = 0, harada C = -7;
perpendikulyar xəttin tənliyi 2x-3y-7 = 0-dır.
3) paralel xətlər arasındakı məsafə T-dən məsafə kimi tapıla bilər. A (5.1) düz verilmiş əvvəl 3x + 2y-7 = 0:
.
Misal 2... Üçbucağın tərəflərinin tənlikləri verilmişdir:
3x-4y + 24 = 0 (AB), 4x + 3y + 32 = 0 (BC), 2x-y-4 = 0 (AC).
Bucağın bissektrisasını bərabərləşdirin ABC.
Həll... Əvvəlcə təpənin koordinatlarını tapırıq Vüçbucaq:
,
harada x = -8, y = 0, olanlar. B (-8,0)(şək. 12) .
Bissektrisa xüsusiyyətinə görə, hər bir nöqtədən məsafə M (x, y), bissektrisalar BD tərəflərə AB və Günəş bərabərdirlər, yəni.
,
İki tənlik alırıq
x + 7y + 8 = 0,7x-y + 56 = 0.
Şəkil 12-dən istədiyiniz düz xəttin yamacı mənfidir (bucaq Oh axmaq), buna görə də birinci tənlik bizə uyğun gəlir x + 7y + 8 = 0 və ya y = -1 / 7x-8/7.
Formanın əlaqəsini nəzərdən keçirin F (x, y) = 0əlaqələndirir dəyişənlər x və saat... Bərabərlik (1) çağırılacaq iki dəyişəni x, y olan tənlik,əgər bu bərabərlik bütün ədəd cütləri üçün doğru deyilsə NS və saat... Tənliklərə nümunələr: 2x + 3y = 0, x 2 + y 2 - 25 = 0,
sin x + sin y - 1 = 0.
Əgər (1) bütün x və y ədəd cütləri üçün doğrudursa, o zaman çağırılır şəxsiyyət... Şəxsiyyət nümunələri: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 = 0.
Tənlik (1) çağırılacaq nöqtələr çoxluğunun tənliyi (x; y),əgər bu tənlik koordinatlar tərəfindən ödənilirsə NS və saatçoxluğun istənilən nöqtəsidir və bu çoxluğa aid olmayan heç bir nöqtənin koordinatlarını ödəmir.
Analitik həndəsənin mühüm anlayışı xəttin tənliyi anlayışıdır. Düzbucaqlı koordinat sistemi və müstəvidə müəyyən bir xətt verilsin α.
Tərif.(1) tənliyinə xətt tənliyi deyilir α
(yaradılmış koordinat sistemində), əgər bu tənlik koordinatlarla təmin edilirsə NS və saat xəttin istənilən nöqtəsi α
, və bu xətt üzərində olmayan heç bir nöqtənin koordinatlarını təmin etmir.
Əgər (1) xəttin tənliyidirsə α, onda biz (1) tənliyini deyəcəyik. müəyyən edir (dəstləşdirir) xətt α.
Xətt α yalnız (1) formasının tənliyi ilə deyil, həm də formanın tənliyi ilə müəyyən edilə bilər
F (P, φ) = 0 qütb koordinatlarını ehtiva edir.
- yamaclı düz xəttin tənliyini;
Oxa perpendikulyar olmayan bir qədər düz xətt verilsin OH... zəng edək əyilmə bucağı oxa verilmiş düz xətt OH inyeksiya α oxu çevirmək istədiyiniz yerə OH belə ki, müsbət istiqamət düz xəttin istiqamətlərindən biri ilə üst-üstə düşsün. Düz xəttin oxa meyl bucağının tangensi OH cağırılır yamac bu düz xətt və hərflə işarələyin TO.
|
|||
|
|||
Bu düz xəttin tənliyini biliriksə, onu çıxaraq TO və seqmentdəki dəyər OV oxda kəsdiyi OU.
|
|
Tənlik (2) adlanır yamaclı düz xəttin tənliyi.Əgər K = 0, onda xətt oxa paraleldir OH və onun tənliyi formaya malikdir y = b.
- iki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi;
|
|
... Bu, əgər tənlikdir y 1 ≠ y 2, belə yazıla bilər: Əgər y 1 = y 2, onda axtarılan xəttin tənliyi formaya malikdir y = y 1... Bu vəziyyətdə xətt oxa paraleldir OH... Əgər x 1 = x 2, sonra nöqtələrdən keçən düz xətt M 1 və M 2 oxuna paralel OU, onun tənliyi formaya malikdir x = x 1.
- verilmiş maili verilmiş nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini;
|
|
və əksinə, ixtiyari əmsallı (5) tənliyi A, B, C (A və B ≠ 0 eyni zamanda) düzbucaqlı koordinat sistemində bəzi düz xətti müəyyən edir Ohhu.
Sübut.
Əvvəlcə birinci ifadəni sübut edirik. Xətt perpendikulyar deyilsə Oh, onda birinci dərəcəli tənliklə müəyyən edilir: y = kx + b, yəni. (5) formasının tənliyi, burada
A = k, B = -1 və C = b. Xətt perpendikulyar olarsa Oh, onda onun bütün nöqtələri qiymətə bərabər eyni absislərə malikdir α oxda düz xətt ilə kəsilmiş seqment Oh.
Bu xəttin tənliyi formaya malikdir x = α, olanlar. həm də (5) formasının birinci dərəcəli tənliyidir, burada A = 1, B = 0, C = - α. Bu, birinci ifadəni sübut edir.
Gəlin əks ifadəni sübut edək. (5) tənliyi və əmsallardan heç olmasa biri verilsin A və B ≠ 0.
Əgər B ≠ 0, onda (5) kimi yazmaq olar. düz 
, tənliyini əldə edirik y = kx + b, yəni. düz xətti təyin edən (2) formalı tənlik.
Əgər B = 0, sonra A ≠ 0 və (5) formasını alır. vasitəsilə ifadə edən α, alırıq
x = α, yəni. Ox-a perpendikulyar düz xəttin tənliyi.
Düzbucaqlı koordinat sistemində birinci dərəcəli tənliklə təyin olunan xətlər adlanır birinci dərəcəli xətlər.
Formanın tənliyi Axe + Wu + C = 0 natamamdır, yəni. əmsallardan hər hansı biri sıfırdır.
1) C = 0; Ah + Wu = 0 və başlanğıcdan keçən düz xətti müəyyən edir.
2) B = 0 (A ≠ 0); tənlik Ax + C = 0 OU.
3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0 və düz paraleli təyin edir Oh.
(6) tənliyinə “seqmentlərdə” düz xəttin tənliyi deyilir. Rəqəmlər a və b düz xəttin koordinat oxlarında kəsdiyi xətt seqmentlərinin qiymətləridir. Tənliyin bu forması düz xəttin həndəsi qurulması üçün əlverişlidir.
- düz xəttin normal tənliyi;
Аx + Вy + С = 0 bəzi düz xəttin ümumi tənliyidir və (5) x cos α + y sin α - p = 0(7)
onun normal tənliyi.
(5) və (7) tənlikləri eyni düz xətti təyin etdiyi üçün ( A 1x + B 1y + C 1 = 0 və
A 2x + B 2y + C 2 = 0 => 
) bu tənliklərin əmsalları mütənasibdir. Bu o deməkdir ki, (5) tənliyinin bütün şərtlərini hansısa M əmsalına vuraraq tənliyi əldə edirik. MA x + MV y + MC = 0(7) tənliyi ilə üst-üstə düşən, yəni.
MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)
M amilini tapmaq üçün bu bərabərliklərin ilk ikisinin kvadratını çəkin və əlavə edin:
M 2 (A 2 + B 2) = cos 2 α + sin 2 α = 1
(9)
müstəvidə əyri müəyyən edir. Terminlər qrupu kvadrat forma adlanır, 
- xətti forma. Kvadrat formada yalnız dəyişənlərin kvadratları varsa, bu forma kanonik adlanır və kvadrat formanın kanonik formaya malik olduğu ortonormal bazisin vektorları kvadrat formanın baş oxları adlanır.
Matris 
kvadrat formalı matris adlanır. Burada a 1 2 = a 2 1. B matrisini diaqonal formaya endirmək üçün bu matrisin məxsusi vektorlarını əsas götürmək lazımdır, sonra 
, burada λ 1 və λ 2 B matrisinin xüsusi qiymətləridir.
B matrisinin xüsusi vektorları əsasında kvadrat forma kanonik formaya malik olacaq: λ 1 x 2 1 + λ 2 y 2 1.
Bu əməliyyat koordinat oxlarının fırlanmasına uyğundur. Sonra koordinatların mənşəyi dəyişdirilir və bununla da xətti formadan xilas olur.
İkinci dərəcəli əyrinin kanonik forması: λ 1 x 2 2 + λ 2 y 2 2 = a, və:
a) λ 1> 0 olarsa; λ 2> 0 ellipsdir, xüsusən, λ 1 = λ 2 üçün o, çevrədir;
b) λ 1> 0 olarsa, λ 2<0 (λ 1 <0, λ 2 >0) hiperbolumuz var;
c) λ 1 = 0 və ya λ 2 = 0 olarsa, əyri paraboladır və koordinat oxlarının fırlanmasından sonra λ 1 x 2 1 = balta 1 + 1 + c şəklində olur (burada λ 2 = 0) . Tam kvadratı tamamlayaraq, əldə edəcəyik: λ 1 x 2 2 = b 1 y 2.
Nümunə. Əyrinin tənliyi koordinat sistemində (0, i, j) 3x 2 + 10xy + 3y 2 -2x-14y-13 = 0 verilmişdir, burada i = (1,0) və j = (0,1) .
1. Əyri növünü müəyyən edin.
2. Tənliyi kanonik formaya gətirin və orijinal koordinat sistemində əyri qurun.
3. Uyğun koordinat çevrilmələrini tapın.
Həll... B = 3x 2 + 10xy + 3y 2 kvadrat formasını əsas oxlara, yəni kanonik formaya gətiririk. Bu kvadrat formanın matrisi 
... Bu matrisin xüsusi qiymətlərini və xüsusi vektorlarını tapın: 
Xarakterik tənlik: 
; λ 1 = -2, λ 2 = 8. Kvadrat forma görünüşü: 
.
Orijinal tənlik hiperbolanı təyin edir.
Qeyd edək ki, kvadrat formanın forması birmənalı deyil. 8x 1 2 -2y 1 2 yaza bilərsiniz, lakin əyrinin növü dəyişməz qalır - hiperbola.
Kvadrat formanın baş oxlarını, yəni B matrisinin xüsusi vektorlarını tapın. 
.
x 1 = 1-də λ = -2 ədədinə uyğun olan xüsusi vektor: x 1 = (1, -1).
Vahid xüsusi vektor kimi vektoru götürürük 
, burada x 1 vektorunun uzunluğudur.
Sistemdən ikinci xüsusi qiymətə λ = 8 uyğun gələn ikinci xüsusi vektorun koordinatları tapılır. 
.
1, j 1).
4.3.3-cü bəndin (5) düsturlarına əsasən. yeni əsasa keçirik: 
və ya
; 
. (*)
Orijinal tənliyə x və y ifadələrini daxil edirik və çevrilmələrdən sonra əldə edirik:
.
Tam kvadratları seçin:
.
Koordinat oxlarının yeni mənşəyə paralel tərcüməsini həyata keçiririk:
, 
.
Əgər bu əmsalları (*)-a daxil etsək və bu bərabərlikləri x 2 və y 2-yə münasibətdə həll etsək, onda alarıq:
, 
... Koordinat sistemində (0 *, i 1, j 1) bu tənliyin forması var: 
.
Əyri qurmaq üçün köhnə koordinat sistemində yenisini qururuq: x 2 = 0 oxu köhnə koordinat sistemində xy-3 = 0 tənliyi ilə, y 2 = 0 oxu isə x + tənliyi ilə təyin olunur. y-1 = 0. Yeni koordinat sisteminin mənşəyi 0 * (2, -1) bu xətlərin kəsişmə nöqtəsidir.
Qavrayışı sadələşdirmək üçün qrafikin tərtib edilməsi prosesini 2 mərhələyə ayıracağıq:
1. Köhnə koordinat sistemində müvafiq olaraq x-y-3 = 0 və x + y-1 = 0 tənlikləri ilə müəyyən edilmiş oxları x 2 = 0, y 2 = 0 olan koordinat sisteminə keçid.
2. Yaranan koordinat sistemində funksiya qrafikinin çəkilməsi.
Cədvəlin son versiyası belə görünür (bax. Həll: Həllini yükləyin
Məşq edin... Aşağıdakı tənliklərin hər birinin bir ellipsi təyin etdiyini müəyyən edin və onun mərkəzi C, yarımox, ekssentriklik, direktrix tənliklərinin koordinatlarını tapın. Simmetriya, fokuslar və direktris oxlarını göstərərək rəsmdə ellips çəkin.
Həll.
§ 9. Xətt tənliyi anlayışı.
Tənlikdən istifadə edərək xəttin təyin edilməsi
F formasının bərabərliyi (x, y) = 0 iki dəyişənli tənlik adlanır x, y, bütün nömrə cütləri üçün etibarlı deyilsə x, y. Deyirlər ki, iki rəqəm x = x 0 , y = y 0, formanın bəzi tənliyini təmin edin F (x, y) = 0,əgər, dəyişənlərin yerinə bu ədədləri əvəz edərkən NS və saat tənlikdə onun sol tərəfi yox olur.
Verilmiş xəttin tənliyi (təyin edilmiş koordinat sistemində) bu xətt üzərində yerləşən hər bir nöqtənin koordinatları və üzərində olmayan hər bir nöqtənin koordinatları ilə təmin olunan iki dəyişənli belə bir tənlikdir.
Sonrakı hissədə " ifadəsinin yerinə xəttin tənliyi verilir F (x, y) = 0 "biz tez-tez daha qısa danışacağıq: bir sətir verilir F (x, y) = 0.
Əgər iki xəttin tənlikləri verilirsə F (x, y) = 0 və Ф (x, y) = Q, sonra sistemin birgə həlli
Onların kəsişməsinin bütün nöqtələrini verir. Daha dəqiq desək, bu sistemin birgə həlli olan hər bir ədəd cütü kəsişmə nöqtələrindən birini müəyyən edir.
1)NS 2 + y 2 = 8, x-y = 0;
2) NS 2 + y 2 -16x+4saat+18 = 0, x + y= 0;
3) NS 2 + y 2 -2x+4saat -3 = 0, NS 2 + y 2 = 25;
4) NS 2 + y 2 -8x+ 10y + 40 = 0, NS 2 + y 2 = 4.
163. Nöqtələr qütb koordinat sistemində verilmişdir
Bu nöqtələrdən hansının qütb koordinatlarında = 2 cos tənliyi ilə müəyyən edilmiş xətt üzərində yerləşdiyini, hansının isə onun üzərində olmadığını təyin edin. Bu tənliklə hansı xətt müəyyən edilir? (Çətin üzərində çəkin :)
164. = tənliyi ilə müəyyən edilmiş xətt üzrə 
,
Qütb bucaqları aşağıdakı ədədlərə bərabər olan nöqtələri tapın: a) 
, b) -, c) 0, d)
... Bu tənliklə hansı xətt müəyyən edilir?
(Bunu plan üzərində qurun.)
165. = tənliyi ilə müəyyən edilmiş xətt üzrə 
, qütb radiusları aşağıdakı ədədlərə bərabər olan nöqtələri tapın: a) 1, b) 2, c) 
.
Bu tənliklə hansı xətt müəyyən edilir? (Bunu plan üzərində qurun.)
166. Aşağıdakı tənliklərlə qütb koordinatlarında hansı xətlərin təyin olunduğunu təyin edin (onları rəsm üzərində qurun):
1) = 5; 2) =; 3) = 
; 4) cos = 2; 5) sin = 1;
6) = 6 cos ; 7) = 10 günah ; 8) günah =
Düstur (tənlik) ilə verilmiş funksiyanı nəzərdən keçirin.
Bu funksiya və deməli, tənlik (11) müstəvidə bu funksiyanın qrafiki olan dəqiq müəyyən edilmiş xəttə uyğun gəlir (bax. Şəkil 20). Funksiya qrafikinin tərifindən belə çıxır ki, bu xətt müstəvinin koordinatları (11) tənliyini təmin edən və yalnız o nöqtələrindən ibarətdir.
Qoy indi
Bu funksiyanın qrafiki olan xətt müstəvidə koordinatları (12) tənliyini ödəyən nöqtələrdən ibarətdir. Bu o deməkdir ki, əgər nöqtə göstərilən xətt üzərində yerləşirsə, onun koordinatları (12) tənliyini təmin edir. Əgər nöqtə bu xətt üzərində deyilsə, onun koordinatları (12) tənliyini təmin etmir.
(12) tənliyi y-ə münasibətdə həll edilir. Tərkibində x və y olan və y ilə bağlı həll olunmayan tənliyi nəzərdən keçirək, məsələn, tənlik
Göstərək ki, müstəvidə bu tənliyə xəttin, yəni başlanğıcında mərkəzi və radiusu 2-yə bərabər olan çevrə uyğun gəlir. Tənliyi yenidən formada yazırıq.
Onun sol tərəfi nöqtənin koordinatların başlanğıcından olan məsafəsinin kvadratıdır (bax § 2, bənd 2, düstur 3). (14) bərabərliyindən belə nəticə çıxır ki, bu məsafənin kvadratı 4-dür.
Bu o deməkdir ki, koordinatları (14) tənliyini və deməli (13) tənliyini təmin edən istənilən nöqtə koordinatların başlanğıcından 2 məsafədə yerləşir.
Belə nöqtələrin yeri mərkəzi başlanğıcda və radiusu 2 olan çevrədir. Bu dairə (13) tənliyinə uyğun olan xətt olacaqdır. Onun hər hansı bir nöqtəsinin koordinatları (13) tənliyini açıq şəkildə ödəyir. Əgər nöqtə tapdığımız çevrənin üzərində deyilsə, onda onun koordinatların başlanğıcından olan məsafəsinin kvadratı ya 4-dən böyük, ya da kiçik olacaq, bu isə o deməkdir ki, belə nöqtənin koordinatları (13) tənliyini ödəmir.
Tutaq ki, indi ümumi halda tənlik verilmişdir
sol tərəfində x və y olan ifadə var.
Tərif. (15) tənliyi ilə müəyyən edilmiş xətt koordinatları bu tənliyi təmin edən müstəvi nöqtələrinin yeridir.
Bu o deməkdir ki, əgər L xətti tənliklə müəyyən edilirsə, onda hər hansı L nöqtəsinin koordinatları bu tənliyi təmin edir və müstəvinin L-dən kənarda yerləşən istənilən nöqtəsinin koordinatları (15) tənliyini təmin etmir.
(15) tənliyinə xətt tənliyi deyilir
Şərh. Heç bir tənliyin hər hansı bir xətti müəyyən etdiyini düşünməyin. Məsələn, tənlik heç bir xətti müəyyən etmir. Həqiqətən, və y-nin hər hansı real qiymətləri üçün bu tənliyin sol tərəfi müsbət, sağ tərəfi isə sıfırdır və buna görə də bu tənlik müstəvidə heç bir nöqtənin koordinatları ilə təmin edilə bilməz.
Xətti müstəvidə təkcə Dekart koordinatlarını ehtiva edən tənliklə deyil, həm də qütb koordinatlarında olan tənliklə müəyyən etmək olar. Qütb koordinatlarında tənliklə müəyyən edilən xətt, qütb koordinatları bu tənliyi təmin edən müstəvidəki nöqtələrin yeridir.
Nümunə 1. Arximed spiralını qurun.
Həll. Bəzi qütb bucaqları və onlara uyğun qütb radius dəyərləri üçün cədvəl yaradaq.
Qütb koordinat sistemində qütblə üst-üstə düşən bir nöqtə qururuq; sonra oxu qütb oxuna bir açı ilə çəkərək, bu oxda müsbət koordinatı olan bir nöqtə qururuq, bundan sonra eyni şəkildə qütb bucağının və qütb radiusunun müsbət qiymətləri olan nöqtələr qururuq (bu nöqtələr üçün oxlar 30-da göstərilməyib).
Nöqtələri bir-birinə bağlayaraq, Şəkil 1-də göstərilən əyrinin bir budağını alırıq. 30 qalın xətt ilə. 0-dan dəyişdikdə əyrinin bu qolu sonsuz sayda döngələrdən ibarətdir.
