რეკლამა პორტალზე

განტოლებები უმაღლეს მათემატიკაში მრავალწევრების რაციონალური ფესვები. ჰორნერის სქემა. ალგებრული განტოლების ფესვების ძირითადი თვისებები ლობაჩევსკი-გრეფის მეთოდი ალგებრული განტოლებების სავარაუდო ამოხსნისთვის

Გვერდი 1
კვადრატული განტოლებები

თანამედროვე ალგებრაში კვადრატული განტოლება არის ფორმის განტოლება

სად არის კოეფიციენტები
ნებისმიერი რეალური რიცხვი და

არასრული კვადრატული განტოლება არის ფორმის განტოლება

მაგალითი ა)

ამრიგად, განტოლებას ორი ფესვი აქვს:

მაგალითი ბ)

გამოსავალი


განტოლებას ორი ფესვი აქვს:

მაგალითი თან)

გამოსავალი



განტოლებას ორი ფესვი აქვს:

მაგალითი დ)

გამოსავალი



განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები.

მაგალითი ე)

გამოსავალი



ეს განტოლება ასევე არასრული კვადრატული განტოლებაა, მას ყოველთვის აქვს ერთი ფესვი

კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ სხვადასხვა გზებიფაქტორიზაცია. ასე რომ, განტოლების ამოხსნისას ბგამოყენებული იქნა საერთო მულტიპლიკატორის გამოყენების მეთოდი. არსებობს კიდევ ერთი გზა - დაჯგუფების მეთოდი.

გამოსავალი.

პასუხი:


იგივე განტოლება შეიძლება ამოიხსნას მრავალი გზით. მოდით შევხედოთ ზოგიერთ მათგანს მაგალითის გამოყენებით კვადრატული განტოლება

მეთოდი I. განვიხილოთ კვადრატული ტრინომიალი

მოდით გავამრავლოთ იგი დაჯგუფების მეთოდის გამოყენებით, მანამდე ტერმინის წარმოდგენით
როგორც
Ჩვენ გვაქვს

ეს ნიშნავს, რომ მოცემული განტოლება შეიძლება გადაიწეროს ფორმაში

ამ განტოლებას ორი ფესვი აქვს:

II გზა . განვიხილოთ კვადრატული ტრინომი და დააბალანსეთ იგი სრულყოფილი კვადრატის იზოლირების მეთოდით; მოდით, პირველ რიგში წარმოვადგინოთ ტერმინი 3, როგორც განსხვავება
. Ჩვენ გვაქვს

კვადრატების განსხვავების ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ

ასე რომ, ტრინომის ფესვები


III გზა - გრაფიკული.

განვიხილოთ განტოლებების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდი

ამოხსენით განტოლება

ავაშენოთ ფუნქციის გრაფიკი

ვერტექსის კოორდინატები:

პარაბოლას ღერძი სწორია

ავიღოთ ორი წერტილი აბსცისის ღერძზე, რომლებიც სიმეტრიულია პარაბოლის ღერძთან მიმართებაში, მაგალითად, წერტილები
ვიპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობა ამ წერტილებში
წერტილების მეშვეობით
და პარაბოლას ზევით
ავაშენოთ ფუნქციის გრაფიკი.

ასე რომ, განტოლების ფესვები არის პარაბოლას აბსცისის ღერძთან გადაკვეთის წერტილების აბსციები, ე.ი.

განვიხილოთ განტოლების გრაფიკული ამოხსნის სხვა ვერსია

განტოლება დავწეროთ ფორმაში

ავაშენოთ ფუნქციების გრაფიკები ერთ კოორდინატულ სისტემაში

ასე რომ, განტოლების ფესვები არის აგებული გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების აბსციები.

თავდაპირველი განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კიდევ რამდენიმე გზით განტოლების გადალაგებით
გონებაში
ან ხედისკენ

შემდეგ ხდება ფუნქციების დანერგვა, გრაფიკების აგება და აწყობილი ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების აბსცისები.

იხილეთ დავალება 3 (დანართი 1).

IV გზა - კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის გამოყენებით.

ფორმის კვადრატული განტოლების ამოხსნა
შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ალგორითმი:




იმიტომ რომ
ამ კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს. ჩვენ ვიპოვით ამ ფესვებს ფორმულის გამოყენებით


თუ ბ– ლუწი რიცხვი, ე.ი.
მერე

ფორმის განტოლება
არის შემცირებული კვადრატული განტოლება.

თუ ნომრები
არიან ისეთები, რომ

მაშინ ეს რიცხვები განტოლების ფესვებია.
ამ განცხადებით, უფრო სწორად, განცხადებით, თეორემის საპირისპიროვიეტას შეუძლია მოცემული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა.

ასე რომ, განტოლების ფესვები

თუ განტოლებაში.
ჯამი
მაშინ განტოლების ერთი ფესვი ყოველთვის არის 1, ხოლო მეორე ფესვი გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით.

ეკვ.
თანხა ამიტომ

იხილეთ დავალება 4 (დანართი 1).
რაციონალური განტოლებები
თუ
არის რაციონალური გამოხატულება, შემდეგ განტოლება
რაციონალურ განტოლებას უწოდებენ.

მაგალითი

მოდით შევამოწმოთ ნაპოვნი ფესვები:
იმათ.


არის საწყისი განტოლების ფესვები.

მაგალითი

ცვლადის შემოღებით ამოვხსნათ განტოლება. დაე
ეს საშუალებას მოგვცემს გადავიწეროთ განტოლება ფორმაში



მდებარეობა Eq.
ჩვენ ვიპოვეთ

მოდით შევამოწმოთ ნაპოვნი ფესვები

Იმიტომ რომ
უნდა გადავწყვიტოთ კიდევ ორი ​​განტოლება:

და

პირველი განტოლების ფესვები არის რიცხვები 1 და –4, მეორე განტოლების ფესვები არის რიცხვები.

პასუხი: 1, -4,

ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდი გამოიყენება აგრეთვე ბიკვადრატული განტოლებების ამოხსნისას.

ფორმის განტოლება
რომელსაც ეწოდება ბიკვადრატული განტოლება.

მაგალითი

შემოვიტანოთ ცვლადი

ვიღებთ




პასუხი: 2, -2.

იხილეთ ამოცანები 5, 6 და 7 (დანართი 1).
ირაციონალური განტოლებები
თუ განტოლება შეიცავს ცვლადს კვადრატული ფესვის ნიშნის ქვეშ, მაშინ ასეთ განტოლებას ირაციონალური ეწოდება.

გადავხედოთ გვერდებს მათემატიკის ისტორიიდან. ირაციონალური რიცხვების ცნება ცნობილი იყო პითაგორაელებისთვის. პითაგორას თეორემამ მათემატიკოსები შეუდარებელი სეგმენტების აღმოჩენამდე მიიყვანა. მათ მიიღეს სრულიად პარადოქსული განცხადება: კვადრატის დიაგონალის სიგრძე არ შეიძლება გაიზომოს ნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვით. ამ განცხადებამ შეარყია მათი სწავლების მთავარი თეზისი: „ყველაფერი რიცხვია“.

შეუდარებლობის აღმოჩენამ აჩვენა, რომ მხოლოდ რაციონალური რიცხვების ცოდნით, შეუძლებელია რომელიმე სეგმენტის სიგრძის პოვნა. ეს ნიშნავს, რომ სეგმენტების სიმრავლე გაცილებით ფართოა ვიდრე რაციონალური რიცხვების სიმრავლე. ბერძნებმა გადაწყვიტეს აეგოთ მათემატიკა არა რიცხვის ცნების გაფართოების გზაზე, რაც მათ ირაციონალური რიცხვების განხილვამდე მიიყვანდა, არამედ გეომეტრიული სიდიდეების დახმარებით. პითაგორეელებისგან განსხვავებით, მეცნიერები ძველი აღმოსავლეთიყოველგვარი ახსნა-განმარტების გარეშე გამოიყენეს სავარაუდო რიცხვები. ამის ნაცვლად მათ დაწერეს 1.41
და 3 რიცხვის ნაცვლად

დავუბრუნდეთ თანამედროვე მათემატიკას და განვიხილოთ ირაციონალური განტოლებების ამოხსნის გზები.

მაგალითი:

განტოლების ორივე მხარის კვადრატის მეთოდი ირაციონალური განტოლებების ამოხსნის მთავარი მეთოდია.

კვადრატის მეთოდი მარტივია, მაგრამ ზოგჯერ იწვევს პრობლემებს.

მაგალითი:

მაგრამ მნიშვნელობა
რაციონალური განტოლების ფესვი
არ არის მოცემული ირაციონალური განტოლების ფესვი. ტესტირება დაადასტურებს ამ განცხადებას.

გამოცდა:

შედეგად გამოთქმას აზრი არ აქვს. ლუწი ხარისხის ფესვის ქვეშ არ შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვი.

დასკვნა:
უცხო ფესვი

მოცემული ირ რაციონალური განტოლებაფესვები არ აქვს.

მაგალითი:

გამოცდა:

თუ
რომ

- არასწორი

თუ
რომ

- არასწორი

დასკვნა: მოცემულ ირაციონალურ განტოლებას ფესვები არ აქვს.

ასე რომ, ირაციონალური განტოლება წყდება ორივე მხარის კვადრატში; შედეგად მიღებული რაციონალური განტოლების ამოხსნის შემდეგ, აუცილებელია შემოწმება, შესაძლო გარე ფესვების მოცილება.

მაგალითი:

გამოცდა:

თუ
რომ

- ნამდვილი თანასწორობა.

თუ
რომ

- ნამდვილი თანასწორობა.

ეს ნიშნავს, რომ ორივე ნაპოვნი მნიშვნელობა არის განტოლების ფესვები.

პასუხი: 4; 5.

მაგალითი:

ამ განტოლებას ვხსნით ახალი ცვლადის შემოღებით.

დაე

დავუბრუნდეთ საწყის ცვლადს.

- მართალია,

- არასწორი.

იხილეთ დავალება 8 (დანართი 1).
ცოტა თეორია
განმარტება. ორი განტოლება
და
ექვივალენტებს უწოდებენ, თუ მათ აქვთ ერთი და იგივე ფესვები (ან, კერძოდ, თუ ორივე განტოლებას არ აქვს ფესვები).

ჩვეულებრივ, განტოლების ამოხსნისას ისინი ცდილობენ შეცვალონ ეს განტოლება უფრო მარტივი, მაგრამ მისი ექვივალენტურით. ასეთ ჩანაცვლებას განტოლების ეკვივალენტური ტრანსფორმაცია ეწოდება.

განტოლების ეკვივალენტური გარდაქმნები შემდეგი გარდაქმნებია:

1. განტოლების ტერმინების გადატანა განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე საპირისპირო ნიშნებით.

მაგალითად, განტოლების შეცვლა
განტოლება
Იქ არის ექვივალენტური ტრანსფორმაციაგანტოლებები ეს ნიშნავს, რომ განტოლებები
და
ექვივალენტები არიან.

2. განტოლების ორივე მხარის გამრავლება ან გაყოფა ერთსა და იმავე არანულოვან რიცხვზე.

მაგალითად, განტოლების შეცვლა
განტოლება
(განტოლების ორივე მხარე მრავლდება ვადით 10-ზე) არის განტოლების ეკვივალენტური ტრანსფორმაცია.

შემდეგი გარდაქმნები განტოლების არათანაბარი გარდაქმნებია:

1. ცვლადების შემცველი მნიშვნელებისგან გათავისუფლება.
მაგალითად, განტოლების შეცვლა
განტოლება
არის განტოლების არათანაბარი გარდაქმნა. საქმე იმაშია, რომ განტოლება
აქვს ორი ფესვი: 2 და −2 და მოცემულ განტოლებას აქვს მნიშვნელობა
ვერ აკმაყოფილებს (მნიშვნელი მიდის ნულზე). ასეთ შემთხვევებში ამბობენ:
უცხო ფესვი.
2. განტოლების ორივე მხარის კვადრატი.

თუ განტოლების ამოხსნის პროცესში გამოყენებული იქნა რომელიმე მითითებული არაეკვივალენტური ტრანსფორმაცია, მაშინ ყველა ნაპოვნი ფესვი უნდა შემოწმდეს თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით, რადგან მათ შორის შეიძლება იყოს ზედმეტი ფესვები.

განმარტება.

განტოლების დომენი
კომპლექტს უწოდებენ
სად
და
– ფუნქციების განსაზღვრის სფეროები ვდა გ.

მაგალითი

მარცხენა მხარეს წილადების მიმატებით მივიღებთ განტოლებას

ორიგინალის ექვივალენტი. ეს იგივე განტოლება, თავის მხრივ, სისტემის ტოლფასია

კვადრატულ განტოლებას აქვს ფესვები
სად
- უცხო ფესვი.

განვიხილოთ განტოლების ამონახსნი

მაშასადამე, თავდაპირველი განტოლება სიმრავლის ტოლფასია

ან
ან
ან

განტოლებები ცვლადით მოდულის ნიშნის ქვეშ
1. რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა ა(აღნიშნა | ა| ) არის მანძილი წერტილიდან, რომელიც წარმოადგენს კოორდინატთა წრფეზე მოცემულ a რიცხვს საწყისამდე.

განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ

მოდულის ძირითადი თვისებები

მაგალითი

ცხადია, აქ არის ორი შესაძლებლობა:
ან
სად არის ადვილი მოსაპოვებელი

პასუხი:
ან

გაითვალისწინეთ, რომ ფორმის განტოლებების ამოხსნისას

ყველაზე რაციონალური გზაა აგრეგატზე გადასვლა

მაგალითი

აქ ზემოაღნიშნული ტექნიკა გვათავისუფლებს „უსიამოვნო“ ფესვების მქონე კვადრატული ტრინომის მუდმივი ნიშნის ინტერვალების პოვნის აუცილებლობისგან.

Ჩვენ გვაქვს:



პასუხი:
ან
ან

იხილეთ დავალება 9 (დანართი 1).
განტოლებები პარამეტრებით
ცოტა თეორია.

გარკვეული ცნებების შემოტანისას მოსწავლეები ხვდებიან პარამეტრებს. მაგალითად, პირდაპირი პროპორციულობის ფუნქცია:

ხაზოვანი ფუნქცია:

წრფივი განტოლება:

კვადრატული განტოლება:

განმარტება. განტოლებას - მის გარეგნობას და ამოხსნას, რომელიც დამოკიდებულია ერთი ან რამდენიმე პარამეტრის მნიშვნელობებზე - ეწოდება განტოლება პარამეტრებით.

განტოლების ამოხსნა პარამეტრებით ნიშნავს

1. იპოვეთ პარამეტრის მნიშვნელობების ყველა სისტემა, რომლებისთვისაც ამ განტოლებას აქვს ამონახსნები.

2. იპოვეთ ყველა ამონახსნები პარამეტრის მნიშვნელობების თითოეული ნაპოვნი სისტემისთვის, ანუ უცნობს და პარამეტრებს უნდა ჰქონდეთ მისაღები მნიშვნელობების საკუთარი დიაპაზონი.

მაგალითი:

პასუხი: თუ
მაშინ არ არსებობს გადაწყვეტილებები:
ეს განტოლებები არის კომბინირებული ამოცანები, რომლის ამოხსნის პროცესში მუშავდება განტოლებების ამოხსნის სტანდარტული ალგორითმები და ყალიბდება და კონსოლიდირებულია დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონთან მუშაობის უნარები და ფესვების არჩევა. ეს განტოლებები განკუთვნილია როგორც ინდივიდუალური დავალებებიძლიერი სტუდენტებისთვის.

განტოლებების გამოყენება.

ნავიე-სტოკსის განტოლებები - სისტემა დიფერენციალური განტოლებებინაწილობრივ წარმოებულებში, რომელიც აღწერს ბლანტი სითხის მოძრაობას. ნავიე-სტოქსის განტოლებები ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანია ჰიდროდინამიკაში და გამოიყენება მრავალი მათემატიკური მოდელირებისას. ბუნებრივი ფენომენიდა ტექნიკური პრობლემები. ეწოდა ფრანგი ფიზიკოსის ლუი ნაიერისა და ბრიტანელი მათემატიკოსის ჯორჯ სტოკსის სახელს.

სისტემა შედგება მოძრაობის განტოლებისა და უწყვეტობის განტოლებისგან.

განტოლებათა სისტემის ერთ-ერთი გამოყენებაა დედამიწის მანტიაში ნაკადების აღწერა.

განტოლების ვარიაციები გამოიყენება ატმოსფერული ჰაერის მასების მოძრაობის აღსაწერად, განსაკუთრებით ამინდის პროგნოზის ფორმირებისას. განტოლების ამონახსნების ანალიზი ერთ-ერთი ღია ამოცანის არსს წარმოადგენს, რომლის გადაწყვეტისთვის კლეის მათემატიკურმა ინსტიტუტმა დააჯილდოვა პრიზი 1 მილიონი აშშ დოლარი. აუცილებელია სამგანზომილებიანი ნავიე-სტოქსის განტოლებისთვის კოშის პრობლემის გლობალური გლუვი ამოხსნის არსებობის დამტკიცება ან უარყოფა.
გამოყენებული ლიტერატურის სია


  1. მორდკოვიჩი ა.გ. Ალგებრა. მე-7 კლასი: ორ ნაწილად. ნაწილი 1: სახელმძღვანელო ზოგადი განათლებისთვის. ინსტიტუტები. - მე-5 გამოცემა. – M.: Mnemosyne, 2002. – 160გვ.: ილ.

  2. მორდკოვიჩი ა.გ. Ალგებრა. მე-8 კლასი: ორ ნაწილად. ნაწილი 1: სახელმძღვანელო ზოგადი განათლებისთვის. ინსტიტუტები. - მე-6 გამოცემა. – მ.: მნემოსინე, 2004. – 223 გვ.: ილ.

  3. ა.გ. მერზლიაკი, ვ.ბ. პოლონსკი, მ.ს. Yakir Algebraic სიმულატორი: სახელმძღვანელო სკოლის მოსწავლეებისა და აპლიკანტებისთვის”/რედ. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. – M.: Ilexa, 2001 – 320გვ.

  4. კრივონოგოვი ვ.ვ. არასტანდარტული ამოცანები მათემატიკაში: 5-11 კლასები. – მ.: გამომცემლობა „პირველი სექტემბერი“, 2002. – 224 გვ.: ილ.


Გვერდი 1

რიცხვები შეიძლება დაიყოს კომპლექტებად, სიმძლავრის გაზრდის შემდეგი თანმიმდევრობით -

1. სიმრავლე - მარტივი რიცხვების სიმრავლე (თავის გარდა არ აქვს მარტივი გამყოფები).
2. სიმრავლე - ნატურალური რიცხვების სიმრავლე.
3. სიმრავლე - მთელი რიცხვების სიმრავლე (ეს არის ნატურალური რიცხვები, ნული და უარყოფითი რიცხვები).
4. სიმრავლე - რაციონალური რიცხვების ერთობლიობა (ეს არის მთელი რიცხვები, ანუ რიცხვები, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით, რომლის მრიცხველი და მნიშვნელი არის მთელი რიცხვები. ათწილადი აღნიშვნარაციონალური არის ან სასრული ან წარმოდგენადი როგორც წილადი, რომელშიც აუცილებლად არის პერიოდული გამეორება).

5. კომპლექტი - ქვესიმრავლე რეალური რიცხვები, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც რადიკალები რეალური რიცხვების ველზე. ეს მოიცავს ყველა რაციონალურს (Q), ასევე ზოგიერთ ირაციონალურს, მაგ. . უფრო ზუსტად, ამ კომპლექტში არის რიცხვები, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს აღნიშვნის სახით ხარისხებამდე აწევით, სადაც სიმძლავრე იქნება რაციონალური რიცხვი, ხოლო ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც ამაღლებულია ხარისხზე, იქნება რაციონალური დადებითი რიცხვი.

6. სიმრავლე - რეალური რიცხვების ქვესიმრავლე, რომელიც შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ველზე რადიკალების სახით რთული რიცხვები. ეს მოიცავს ყველა რაციონალურს (Q), ასევე ზოგიერთ ირაციონალურს, მაგალითად, რომელიც საბოლოოდ მართებული აღმოჩნდება. უფრო ზუსტად, ამ კომპლექტში არის რიცხვები, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ნოტაციის სახით ხარისხებამდე აწევით, სადაც სიმძლავრე არის რაციონალური რიცხვი, ხოლო რიცხვი, რომელიც ამაღლებულია ხარისხამდე არის რაციონალური და შეიძლება იყოს უარყოფითი. .

განსხვავება 6-სა და მე-5 სიმრავლეს შორის. მაგალითად, განტოლების ფესვები,
, თანაბარია.
ამავე დროს ცნობილია, რომ კუბური განტოლებები რადიკალებში ხსნადი. ეს ნიშნავს, რომ იგივე ფესვები შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ნოტაციის სახით რიცხვებით, მათემატიკური ოპერაციებითა და ძალებით.

Კითხვა. მე მაქვს ვარაუდი, რომ ამ ჩანაწერის ნაწილები იქნება რთული რიცხვები, ე.ი. თქვენ არ შეგიძლიათ ამის გარეშე. იქნება ფესვები უარყოფითი რიცხვებიაუცილებლად. არის ვარაუდი სწორი?

თუ ვარაუდი სწორია, მაშინ კუბური განტოლებების რეალური ფესვები ყოველთვის მიეკუთვნება სიმრავლეს, მაგრამ ისინი შეიძლება არ მიეკუთვნებოდეს სიმრავლეს. მაგრამ კვადრატული განტოლების ფესვები ყოველთვის მიეკუთვნება დაბალი სიმძლავრის კომპლექტს.

Კითხვა. რაციონალურ რიცხვად წარმოდგენილი არგუმენტის სინუსი (გრადუსებით) ყოველთვის მიეკუთვნება სიმრავლეს (ან ლუწი), ე.ი. შეიძლება ის ყოველთვის გამოიხატოს რადიკალებში?

მაგრამ მოდით გადავიდეთ რიცხვების კიდევ უფრო მძლავრ კომპლექტზე. მე-5 ხარისხის განტოლების რეალური ფესვები ყოველთვის ვერ გამოისახება რადიკალებში, ე.ი. ისინი შეიძლება არც კი შედიოდნენ, მაგრამ არის ნაკრები, სადაც ისინი შედის -

7. ბევრი - ბევრი ალგებრული რიცხვები, (ნამდვილი რიცხვების ქვესიმრავლე) . ეს ნაკრები მოიცავს ყველა შესაძლო ნამდვილ ფესვს ყველა შესაძლო ალგებრული განტოლების, ნებისმიერი ხარისხის და რაციონალური კოეფიციენტებით.

რა უფრო მძლავრი სიმრავლეებია, ვიდრე მათემატიკაში განიხილება (ყველაზე ფართო სიმრავლეების გარეშე - რეალური და რთული)? უფრო მძლავრებს არ შევხვედრივარ, როგორც წესი, თუ მასში რიცხვი არ შედის, მას უბრალოდ ტრანსცენდენტურს უწოდებენ. და მე შემოგთავაზებდი კიდევ ერთ კომპლექტს -

8. სიმრავლე - რიცხვების ერთობლიობა, რომელიც შეიძლება იყოს ნებისმიერი მათემატიკური განტოლების ფესვები (არ არის აუცილებელი ალგებრული), ნებისმიერი ცნობილი ფუნქციით (როგორიცაა სინუსი, ზეტა ფუნქცია, ინტეგრალური ლოგარითმი და ა.შ.), რომელიც შეიძლება გაფართოვდეს წარმოდგენილი ფორმით. სერიის ან რამდენიმე რიგის. ასეთ ნომრებს დავარქვათ ანალიტიკური. მარტივად რომ ვთქვათ, თქვენ შეგიძლიათ მიუთითოთ საბოლოო ზომების აღწერა, ისე, რომ ამ აღწერიდან შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი ციფრი მოცემული რიცხვის ათობითი წერტილის შემდეგ - ad infinitum.

აქამდე ყველა განხილული კომპლექტი იყო შემდეგი ქვესიმრავლეები, ე.ი. ქვეჯგუფი და ა.შ. - ქვეჯგუფი. შემდეგი ნაკრები ცალკეა (მასში არ შედის), მაგრამ ყველაზე ძლიერი.

9. ნაკრები - ქაოტური რიცხვების ნაკრები. (ქაოტური არის ჩემი განმარტება). ეს არის ყველა რეალური რიცხვის კომპლექტი, რომელიც არ შედის . თუ რიცხვი შედის ში, მაშინ ეს რიცხვი ვერ იქნება წარმოდგენილი სასრული ზომის რაიმე მათემატიკური აღწერით (არ აქვს მნიშვნელობა - სერიები, ან ფუნქციები და ა.შ.), ე.ი. თუ ჩვენ ვაძლევთ სასრულ განზომილებებს, მაშინ ჩვენ ვერ გამოვიყენებთ ამ აღწერილობას მოცემული რიცხვის ათობითი წერტილის შემდეგ რომელიმე ციფრის საპოვნელად - ad infinitum.

10. ნაკრები - ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე. ეს არის გაერთიანება დისიოინტ კომპლექტებისა და . უფრო მეტიც, სიმრავლეს სიმრავლეში აქვს ზომა ნული. იმათ. რეალურ რიცხვთა სიმრავლეში რიცხვების უმრავლესობა ქაოტურია, უმცირესობა კი ანალიტიკური.

11. სიმრავლე - ყველა რთული რიცხვის სიმრავლე. შესაძლებელი იყო მისი დაყოფა მსგავს ქვეჯგუფებად (ალგებრული კომპლექსი, ანალიტიკური, ქაოტური და ა.შ.), მაგრამ ვფიქრობ, ეს არ არის საჭირო.

ჩემი კლასიფიკაცია სწორია? რა სხვა სიმრავლეები აქვთ მათემატიკოსებს, რომლებიც ტრანსცენდენტული რიცხვების ქვესიმრავლეებია, მაგრამ არ არიან ალგებრული რიცხვები?

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულები. განიხილება რეალური, მრავალჯერადი და რთული ფესვების შემთხვევები. კვადრატული ტრინომის ფაქტორირება. გეომეტრიული ინტერპრეტაცია. ფესვების განსაზღვრისა და ფაქტორინგის მაგალითები.

შინაარსი

Იხილეთ ასევე: კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ონლაინ

ძირითადი ფორმულები

განვიხილოთ კვადრატული განტოლება:
(1) .
კვადრატული განტოლების ფესვები(1) განისაზღვრება ფორმულებით:
; .
ეს ფორმულები შეიძლება გაერთიანდეს შემდეგნაირად:
.
როდესაც ცნობილია კვადრატული განტოლების ფესვები, მაშინ მეორე ხარისხის პოლინომი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ფაქტორების პროდუქტი (ფაქტორირებული):
.

შემდეგ ვივარაუდოთ, რომ ეს არის რეალური რიცხვები.
განვიხილოთ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი:
.
თუ დისკრიმინანტი დადებითია, მაშინ კვადრატულ განტოლებას (1) აქვს ორი განსხვავებული რეალური ფესვი:
; .
მაშინ კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაციას აქვს ფორმა:
.
თუ დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, მაშინ კვადრატულ განტოლებას (1) აქვს ორი მრავალჯერადი (ტოლი) რეალური ფესვი:
.
ფაქტორიზაცია:
.
თუ დისკრიმინანტი უარყოფითია, მაშინ კვადრატულ განტოლებას (1) აქვს ორი რთული კონიუგატური ფესვი:
;
.
აქ არის წარმოსახვითი ერთეული, ;
და არის ფესვების რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები:
; .
მერე

.

გრაფიკული ინტერპრეტაცია

თუ დახაზავთ ფუნქციას
,
რომელიც არის პარაბოლა, მაშინ გრაფიკის ღერძთან გადაკვეთის წერტილები იქნება განტოლების ფესვები
.
როდესაც , გრაფიკი კვეთს x ღერძს (ღერძს) ორ წერტილზე ().
როდესაც , გრაფიკი ეხება x ღერძს ერთ წერტილში ().
როდესაც , გრაფიკი არ კვეთს x ღერძს ().

სასარგებლო ფორმულები, რომლებიც დაკავშირებულია კვადრატულ განტოლებებთან

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის გამოყვანა

ჩვენ ვახორციელებთ გარდაქმნებს და ვიყენებთ ფორმულებს (f.1) და (f.3):




,
სად
; .

ასე რომ, მივიღეთ მეორე ხარისხის მრავალწევრის ფორმულა სახით:
.
ეს აჩვენებს, რომ განტოლება

შესრულდა
და .
ეს არის და არის კვადრატული განტოლების ფესვები
.

კვადრატული განტოლების ფესვების განსაზღვრის მაგალითები

მაგალითი 1


(1.1) .


.
ჩვენს განტოლებასთან (1.1) შედარებით, ჩვენ ვპოულობთ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს:
.
ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს:
.
ვინაიდან დისკრიმინანტი დადებითია, განტოლებას ორი რეალური ფესვი აქვს:
;
;
.

აქედან ვიღებთ კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაციას:

.

y = ფუნქციის გრაფიკი 2 x 2 + 7 x + 3კვეთს x-ღერძს ორ წერტილში.

მოდით დავხატოთ ფუნქცია
.
ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა. ის კვეთს აბსცისის ღერძს (ღერძს) ორ წერტილში:
და .
ეს წერტილები არის საწყისი განტოლების ფესვები (1.1).

;
;
.

მაგალითი 2

იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები:
(2.1) .

დავწეროთ კვადრატული განტოლება ზოგადი ფორმით:
.
თავდაპირველ განტოლებასთან (2.1) შედარებით, ჩვენ ვპოულობთ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს:
.
ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს:
.
ვინაიდან დისკრიმინანტი არის ნული, განტოლებას აქვს ორი მრავალჯერადი (ტოლი) ფესვი:
;
.

მაშინ ტრინომის ფაქტორიზაციას აქვს ფორმა:
.

y = x ფუნქციის გრაფიკი 2 - 4 x + 4ეხება x ღერძს ერთ წერტილში.

მოდით დავხატოთ ფუნქცია
.
ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა. ის ეხება x ღერძს (ღერძს) ერთ წერტილში:
.
ეს წერტილი არის საწყისი განტოლების ფესვი (2.1). ვინაიდან ეს ფესვი ფაქტორდება ორჯერ:
,
მაშინ ასეთ ფესვს ჩვეულებრივ მრავალჯერადს უწოდებენ. ანუ, მათ მიაჩნიათ, რომ არსებობს ორი თანაბარი ფესვი:
.

;
.

მაგალითი 3

იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები:
(3.1) .

დავწეროთ კვადრატული განტოლება ზოგადი ფორმით:
(1) .
მოდით გადავიწეროთ თავდაპირველი განტოლება (3.1):
.
(1-თან შედარებით), ჩვენ ვპოულობთ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს:
.
ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს:
.
დისკრიმინანტი უარყოფითია, . ამიტომ არ არსებობს რეალური ფესვები.

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ რთული ფესვები:
;
;
.

მერე


.

ფუნქციის გრაფიკი არ კვეთს x ღერძს. ნამდვილი ფესვები არ არსებობს.

მოდით დავხატოთ ფუნქცია
.
ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა. ის არ კვეთს x ღერძს (ღერძს). ამიტომ არ არსებობს რეალური ფესვები.

ნამდვილი ფესვები არ არსებობს. რთული ფესვები:
;
;
.

Იხილეთ ასევე:

პროექტი განიხილავს ალგებრულ განტოლების ფესვების მიახლოებით პოვნის მეთოდს - ლობაჩევსკი-გრეფის მეთოდს. მეთოდის იდეა, მისი გამოთვლითი სქემა განსაზღვრულია ნაშრომში და ნაპოვნია მეთოდის გამოყენების პირობები. წარმოდგენილია ლობაჩევსკი-გრეფის მეთოდის დანერგვა.

1 თეორიული ნაწილი 6

1.1 პრობლემის ჩამოყალიბება 6

1.2 ალგებრული განტოლებები 7

1.2.1 ძირითადი ცნებები ალგებრული განტოლების შესახებ 7

1.2.2 ალგებრული განტოლების ფესვები 7

1.2.3 9 მრავალწევრის ნამდვილი ფესვების რაოდენობა

1.3 ლობაჩევსკი-გრეფის მეთოდი ალგებრული განტოლებების სავარაუდო ამოხსნისთვის 11

1.3.1 მეთოდის იდეა 11

1.3.2 კვადრატული ფესვები 13

2.1 ამოცანა 1 16

2.2 ამოცანა 2 18

2.4 მიღებული შედეგების ანალიზი 20

ბმულების სია 23


შესავალი

დღევანდელი გამოთვლითი ტექნოლოგია იძლევა მძლავრ ინსტრუმენტებს დათვლის სამუშაოს რეალურად შესასრულებლად. ამის წყალობით, ხშირ შემთხვევაში შესაძლებელი გახდა მიტოვებული იქნას გამოყენებული საკითხების მიახლოებითი ინტერპრეტაცია და გადავიდეთ პრობლემების ზუსტი ფორმულირებით გადაჭრაზე. თანამედროვე კომპიუტერული ტექნოლოგიების გონივრული გამოყენება წარმოუდგენელია მიახლოებითი და რიცხვითი ანალიზის მეთოდების ოსტატურად გამოყენების გარეშე.

რიცხვითი მეთოდები მიზნად ისახავს პრაქტიკაში წარმოქმნილი პრობლემების გადაჭრას. რიცხვითი მეთოდების გამოყენებით პრობლემის გადაჭრა მთავრდება რიცხვებზე არითმეტიკული და ლოგიკური ოპერაციებით, რაც მოითხოვს კომპიუტერული ტექნოლოგიების გამოყენებას, როგორიცაა პერსონალური კომპიუტერებისთვის თანამედროვე საოფისე პროგრამების ცხრილების პროცესორები.

"რიცხობრივი მეთოდების" დისციპლინის მიზანია იპოვოთ ყველაზე ეფექტური მეთოდი კონკრეტული პრობლემის გადასაჭრელად.

ალგებრული განტოლებების ამოხსნა არის გამოყენებითი ანალიზის ერთ-ერთი არსებითი პრობლემა, რომლის აუცილებლობა ჩნდება ფიზიკის, მექანიკის, ტექნოლოგიისა და ბუნებისმეტყველების მრავალრიცხოვან და მრავალფეროვან მონაკვეთებში ამ სიტყვის ფართო გაგებით.

კურსის ეს პროექტი ეძღვნება ალგებრული განტოლებების ამოხსნის ერთ-ერთ მეთოდს - ლობაჩევსკი-გრეფის მეთოდს.

ამ ნაშრომის მიზანია განიხილოს ლობაჩევსკი-გრეფის მეთოდის იდეა ალგებრული ამოცანების გადასაჭრელად და გამოთვლითი სქემის მიწოდება რეალური ფესვების მოსაძებნად MS Office Excel-ის გამოყენებით. პროექტი განიხილავს ძირითად თეორიულ საკითხებს, რომლებიც დაკავშირებულია ალგებრული განტოლებების ძირების პოვნასთან ლობაჩოვსკი-გრეფის მეთოდის გამოყენებით.

1 თეორიული ნაწილი

1.1 პრობლემის განცხადება

მოცემულია x ელემენტების X სიმრავლე და y ელემენტებით Y სიმრავლე. ასევე დავუშვათ, რომ X სიმრავლეზე არის განსაზღვრული ოპერატორი, რომელიც თითოეულ x ელემენტს X-დან ანიჭებს ზოგიერთ ელემენტს y-დან Y-დან.
და მიზნად დავისახეთ ასეთი ელემენტების პოვნა
, რისთვისაც არის გამოსახულება.

ეს ამოცანა განტოლების ამოხსნის ტოლფასია

(1.1)

მას შემდეგი პრობლემები შეიძლება დაუდგეს.


  1. განტოლების ამოხსნის არსებობის პირობები.

  2. განტოლების ამოხსნის უნიკალურობის პირობა.

  3. ამოხსნის ალგორითმი, რომლის შემდეგაც შესაძლებელი იქნება, მიზნიდან და პირობებიდან გამომდინარე, ზუსტად ან დაახლოებით ყველა ამონახსნის პოვნა (1.1) ან წინასწარ განსაზღვრული რომელიმე ამოხსნის, ან არსებულის.
შემდეგ განვიხილავთ განტოლებებს, რომლებშიც x და y იქნება რიცხვითი სიდიდეები, X, Y იქნება მათი მნიშვნელობების სიმრავლეები და ოპერატორი
იქნება რაღაც ფუნქცია. ამ შემთხვევაში განტოლება (1.1) შეიძლება დაიწეროს ფორმით

(1.2)

რიცხვითი მეთოდების თეორიაში მიისწრაფვის გამოთვლითი პროცესის აგებაზე, რომლის დახმარებითაც წინასწარ განსაზღვრული სიზუსტით შეიძლება მოიძებნოს (1.2) განტოლების ამონახსნი. განსაკუთრებით დიდი მნიშვნელობააქვს კონვერგენტული პროცესები, რომლებიც შესაძლებელს ხდის განტოლების ამოხსნას ნებისმიერი, რამდენადაც მცირე შეცდომით.

ჩვენი ამოცანაა ვიპოვოთ, ზოგადად, დაახლოებით, ელემენტი . ამ მიზნით მუშავდება ალგორითმი, რომელიც აწარმოებს სავარაუდო ამონახსნების თანმიმდევრობას

, და ისე, რომ ურთიერთობა მყარდება

1.2 ალგებრული განტოლებები

1.2.1 ძირითადი ცნებები ალგებრული განტოლების შესახებ

განვიხილოთ ალგებრული განტოლება nthგრადუსი

სად არის კოეფიციენტები
არის რეალური რიცხვები და
.

თეორემა 1.1 (ალგებრის ფუნდამენტური თეორემა). n (1.3) ხარისხის ალგებრულ განტოლებას აქვს ზუსტად n ძირი, რეალური და რთული, იმ პირობით, რომ თითოეული ფესვი დაითვლება იმდენჯერ, რამდენჯერაც არის მისი სიმრავლე.

ამ შემთხვევაში ამბობენ, რომ (1.3) განტოლების ფესვს აქვს სიმრავლე s if
,
.

განტოლების კომპლექსურ ფესვებს (1.3) აქვთ წყვილ-წყვილთა შერწყმის თვისება.

თეორემა 1.2. თუ ალგებრული განტოლების (1.3) კოეფიციენტები რეალურია, მაშინ ამ განტოლების რთული ფესვები წყვილ-წყვილში რთული კონიუგატია, ე.ი. თუ
(
არის რეალური რიცხვები) არის განტოლების ფესვი (1.3), სიმრავლის s, შემდეგ რიცხვი
ასევე არის ამ განტოლების ფესვი და აქვს იგივე სიმრავლე s.

შედეგი. კენტი ხარისხის ალგებრულ განტოლებას რეალური კოეფიციენტებით აქვს მინიმუმ ერთი რეალური ფესვი.

1.2.2 ალგებრული განტოლების ფესვები

თუ
არის (1.3) განტოლების ფესვები, შემდეგ მარცხენა მხარეს აქვს შემდეგი გაფართოება:
. (1.6)
(1.6) ფორმულაში ბინომების გამრავლებით და ტოლობის (1.6) მარცხენა და მარჯვენა მხარეს x-ის იგივე ხარისხების კოეფიციენტების გათანაბრებით, მივიღებთ მიმართებებს ალგებრული განტოლების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის (1.3):

(1.7)
თუ გავითვალისწინებთ ფესვების სიმრავლეს, მაშინ გაფართოება (1.6) იღებს ფორმას
,
სად
– განტოლების (1) სხვადასხვა ფესვები და
– მათი სიმრავლე და
.

წარმოებული
გამოიხატება შემდეგნაირად:


სადაც Q(x) არის მრავალწევრი ისეთი, რომ



k=1,2,…,მ-ზე

ამიტომ მრავალწევრი



არის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფიმრავალწევრი
და მისი წარმოებული
, და შეიძლება მოიძებნოს ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით. მოდით გავაკეთოთ კოეფიციენტი

,
და მივიღებთ მრავალწევრს

რეალური შანსებით
, A 1 , A 2 ,…, A m , რომლის ფესვები
განსხვავებულები არიან.

ამრიგად, ალგებრული განტოლების ამოხსნა მრავალი ფესვით მცირდება ქვედა რიგის ალგებრული განტოლების ამოხსნამდე სხვადასხვა ფესვებით.

1.2.3 მრავალწევრის ნამდვილი ფესვების რაოდენობა

ზოგადი წარმოდგენა განტოლების (1.3) რეალური ფესვების რაოდენობის შესახებ (a,b) ინტერვალზე მოცემულია ფუნქციის გრაფიკით.
, სადაც ფესვები
არის გრაფიკის Ox ღერძთან გადაკვეთის წერტილების აბსციები.

მოდით აღვნიშნოთ P(x) მრავალწევრის რამდენიმე თვისება:


  1. თუ P(a)P(b)

  2. თუ P(a)P(b)>0, მაშინ (a, b) ინტერვალზე არის P(x) მრავალწევრის ლუწი რიცხვი ან საერთოდ არ არის ფესვები.
მოცემულ ინტერვალზე ალგებრული განტოლების რეალური ფესვების რაოდენობის საკითხი წყდება შტურმის მეთოდით.

განმარტება. მიეცით არანულოვანი რეალური რიცხვების მოწესრიგებული სასრული სისტემა:


,,…,
(1.9)
ისინი ამბობენ, რომ მიმდებარე ელემენტების წყვილისთვის ,
სისტემა (1.9) ხდება ნიშნის ცვლილება, თუ ამ ელემენტებს აქვთ საპირისპირო ნიშნები, ე.ი.

,
და ნიშნის ცვლილება არ ხდება, თუ მათი ნიშნები ერთნაირია, ე.ი.

.
განმარტება. საერთო რაოდენობაცვლილებები მეზობელი ელემენტების ყველა წყვილის ნიშნებში ,
სისტემა (1.9) ეწოდება ნიშანთა ცვლილებების რაოდენობას სისტემაში (1.9).

განმარტება. მოცემული P(x) მრავალწევრისთვის შტურმის სისტემა არის მრავალწევრების სისტემა


,
,
,
,…,
,

სად
, – საპირისპირო ნიშნით აღებული ნაშთი მრავალწევრის გაყოფისას, – საპირისპირო ნიშნით მიღებული ნაშთი მრავალწევრის გაყოფისას და ა.შ.

შენიშვნა 1. თუ მრავალწევრს არ აქვს მრავალი ფესვი, მაშინ შტურმის სისტემის ბოლო ელემენტი არის არანულოვანი რეალური რიცხვი.

შენიშვნა 2. შტურმის სისტემის ელემენტები შეიძლება გამოითვალოს დადებით რიცხვობრივ კოეფიციენტამდე.

ავღნიშნოთ N(c)-ით შტურმის სისტემაში ნიშნის ცვლილებების რაოდენობა x=c-ზე, იმ პირობით, რომ ამ სისტემის ნულოვანი ელემენტები გადახაზულია.

თეორემა 1.5. (შტურმის თეორემა). თუ მრავალწევრს P(x) არ აქვს მრავალჯერადი ცხენი და
,
, შემდეგ მისი რეალური ფესვების რაოდენობა
ინტერვალზე
ზუსტად უდრის მრავალწევრის შტურმის სისტემაში დაკარგული ნიშნის ცვლილებების რაოდენობას
გადაადგილებისას
ადრე
, ე.ი.


.
დასკვნა 1. თუ
, შემდეგ ნომერი
დადებითი და რიცხვი
მრავალწევრის უარყოფითი ფესვები შესაბამისად ტოლია

,

.
დასკვნა 2. იმისათვის, რომ n ხარისხის P(x) მრავალწევრის ყველა ფესვი, რომელსაც არ აქვს მრავალი ფესვი, იყოს რეალური, აუცილებელია და საკმარისია პირობის დაკმაყოფილება.
.
ამრიგად, განტოლებაში (1.3) ყველა ფესვი მართებულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ:


შტურმის სისტემის გამოყენებით, შეგიძლიათ გამოყოთ ალგებრული განტოლების ფესვები ინტერვალის (a,b) გაყოფით, რომელიც შეიცავს განტოლების ყველა რეალურ ფესვს, სასრული რაოდენობის ნაწილობრივი ინტერვალებით.
ისეთივე როგორც

.

1.3 ლობაჩევსკი-გრეფის მეთოდი ალგებრული განტოლებების სავარაუდო ამოხსნისთვის

1.3.1 მეთოდის იდეა

განვიხილოთ ალგებრული განტოლება (1.3).

მოდი ვიჩვენოთ, რომ


, (1.15)
იმათ. ფესვები განსხვავებულია მოდულით და ყოველი წინა ფესვის მოდული მნიშვნელოვნად აღემატება მომდევნოს მოდულს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დავუშვათ, რომ ნებისმიერი ორი მომიჯნავე ფესვის თანაფარდობა, მათი რიცხვების კლებადობით დათვლილი, არის სიდიდე, რომელიც მცირეა აბსოლუტური მნიშვნელობით:

, (1.16)

სად
და - მცირე ღირებულება. ასეთ ფესვებს განცალკევებულს უწოდებენ.

(1.17)
სად , ,…, – რაოდენობები, რომლებიც მცირეა აბსოლუტური მნიშვნელობით ერთიანობასთან შედარებით. სისტემაში (1.17) რაოდენობების უგულებელყოფა
, მიახლოებითი ურთიერთობები გვექნება

(1.18)
სად ვიპოვოთ ფესვები?

(1.19)
ფესვების სიზუსტე ტოლობების სისტემაში (1.20) დამოკიდებულია იმაზე, თუ რამდენად მცირეა აბსოლუტური სიდიდეები. ურთიერთობებში (1.16)

ფესვების გამოყოფის მისაღწევად, განტოლების (1.3) საფუძველზე, ისინი ადგენენ გარდაქმნილ განტოლებას.


, (1.20)
რომლის ფესვები , ,…, არიან მ-ე გრადუსიფესვები , ,…, განტოლება (1.3).

თუ (1.3) განტოლების ყველა ფესვი განსხვავებულია და მათი მოდულები აკმაყოფილებს (1.17) პირობას, მაშინ საკმარისად დიდი m-ისთვის (1.20) განტოლების , ,..., ფესვები გამოიყოფა, რადგან



ზე
.
ცხადია, საკმარისია ალგორითმის აგება განტოლების საპოვნელად, რომლის ფესვები იქნება ფესვების კვადრატები. უკან მოცემული განტოლება. მაშინ შესაძლებელი იქნება განტოლების მიღება, რომლის ფესვები ტოლი იქნება საწყისი განტოლების ფესვების სიმძლავრის მიმართ.
.

1.3.2 ფესვების კვადრატი

მრავალწევრს (1.3) ვწერთ შემდეგი სახით

და გავამრავლოთ იგი ფორმის მრავალწევრზე

შემდეგ მივიღებთ

ჩანაცვლების გაკეთების შემდეგ
და გამრავლება
, მექნება
. (1.21)
მრავალწევრის (1.21) ფესვები დაკავშირებულია მრავალწევრის (1.3) ფესვებთან შემდეგი მიმართებით.

.
აქედან გამომდინარე, განტოლება, რომელიც ჩვენ გვაინტერესებს არის
,
რომლის კოეფიციენტები გამოითვლება ფორმულით (1.22)


, (1.22)
სადაც ვარაუდობენ, რომ
ზე
.

ფესვების კვადრატის მრავალწევრთან (1.3) თანამიმდევრობით k-ჯერ მივიღებთ მრავალწევრს.


, (1.23)
რომელშიც
,
და ა.შ.

საკმარისად დიდი k-სთვის შესაძლებელია უზრუნველყოს, რომ განტოლების (1.23) ფესვები აკმაყოფილებს სისტემას.



(1.24)
განვსაზღვროთ k რიცხვი, რომლისთვისაც სისტემა (1.24) კმაყოფილია მოცემული სიზუსტით.

დავუშვათ, რომ საჭირო k უკვე მიღწეულია და ტოლობები (1.24) კმაყოფილდება მიღებული სიზუსტით. კიდევ ერთი ტრანსფორმაცია გავაკეთოთ და ვიპოვოთ მრავალწევრი


,
რისთვისაც სისტემა (1.24) ასევე მოქმედებს
.

ვინაიდან ფორმულის მიხედვით (1.22)



, (1.25)
შემდეგ, ჩანაცვლებით (1.25) სისტემაში (1.24), მივიღებთ, რომ კოეფიციენტების აბსოლუტური მნიშვნელობები
უნდა იყოს კოეფიციენტების კვადრატების მიღებული სიზუსტის ტოლი
. ამ ტოლობების შესრულება მიუთითებს იმაზე, რომ k-ის საჭირო მნიშვნელობა უკვე მიღწეულია k-ე საფეხურზე.

ამრიგად, (1.3) განტოლების ფესვების კვადრატი უნდა შეწყდეს, თუ მიღებული სიზუსტით მხოლოდ კვადრატული კოეფიციენტები შენარჩუნებულია (1.24) ფორმულის მარჯვენა მხარეს, ხოლო პროდუქციის გაორმაგებული ჯამი სიზუსტის ზღვარზე დაბალია.

შემდეგ განტოლების რეალური ფესვები გამოიყოფა და მათი მოდულები იპოვება ფორმულით

(1.26)
ფესვის ნიშანი შეიძლება განისაზღვროს უხეში შეფასებით მნიშვნელობების ჩანაცვლებით და
განტოლებაში (1.3).

2 პრაქტიკული ნაწილი

2.1 ამოცანა 1


. (2.1)
ჯერ დავადგინოთ რეალური და რთული ფესვების რაოდენობა განტოლებაში (2.1). ამისათვის ჩვენ გამოვიყენებთ შტურმის თეორემას.

შტურმის სისტემას განტოლებისთვის (2.1) ექნება შემდეგი ფორმა:




საიდან ვიღებთ?
ცხრილი 2.1.

მრავალწევრი

წერტილები რეალურ ღერძზე










+

+




–

+




–

–




–

+




–

–

ნიშნების ცვლილებების რაოდენობა

1

3

ამრიგად, ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ განტოლებაში (2.1) რეალური ფესვების რაოდენობა ტოლია
,
იმათ. განტოლება (2.1) შეიცავს 2 რეალურ და ორ რთულ ფესვს.

განტოლების ფესვების საპოვნელად ვიყენებთ ლობაჩევსკი-გრეფის მეთოდს რთული კონიუგატური ფესვების წყვილისთვის.

მოდი განტოლების ფესვები კვადრატში გავამრავლოთ. კოეფიციენტები გამოითვლება შემდეგი ფორმულით

, (2.2)
სად

, (2.3)
ა
ითვლება 0-ის ტოლი როცა
.

გამოთვლების შედეგები რვა მნიშვნელოვანი ფიგურით მოცემულია ცხრილში 2.2


ცხრილი 2.2.

მე

0

1

2

3

4







0

-3.8000000E+01

3.5400000E+02

3.8760000E+03

0




1

4.3000000E+01

7.1500000E+02

4.8370000E+03

1.0404000E+04







0

-1.4300000E+03

-3.9517400E+05

-1.4877720E+07

0




1

4.1900000E+02

1.1605100E+05

8.5188490E+06

1.0824322E+08







0

-2.3210200E+05

-6.9223090E+09

-2.5123467E+13

0




1

-5.6541000E+04

6.5455256E+09

4.7447321E+13

1.1716594E+16







0

-1.3091051E+10

5.3888712E+18

-1.5338253E+26

0




1

-9.8941665E+09

4.8232776E+19

2.0978658E+27

1.3727857E+32







0

-9.6465552E+19

4.1513541E+37

-1.3242653E+52

0




1

1.4289776E+18

2.3679142E+39

4.3877982E+54

1.8845406E+64







0

-4.7358285E+39

-1.2540130E+73

-8.9248610+103

0




1

-4.7337865E+39

5.6070053E+78

1.9252683+109

3.5514932+128







0

-1.1214011E+79

1.8227619+149

-3.9826483+207

0




1

1.1194724E+79

3.1438509+157

3.7066582+218

1.2613104+257

როგორც ჩანს ცხრილი 2.2 მე-7 საფეხურზე ფესვები , (მოდულების კლებადი მიმდევრობით დათვლა) შეიძლება განცალკევებულად ჩაითვალოს. ჩვენ ვიპოვით ფესვების მოდულებს ფორმულის გამოყენებით (1.27) და განვსაზღვრავთ მათ ნიშანს უხეში შეფასებით:

ვინაიდან გარდაქმნილი კოეფიციენტი ზე ცვლის ნიშანს, მაშინ ამ განტოლებას აქვს რთული ფესვები, რომლებიც განისაზღვრება (1.31) განტოლებიდან (1.29) და (1.30) ფორმულებით:

მე.

2.2 ამოცანა 2

ლობაჩევსკი-გრეფის მეთოდის გამოყენებით ამოხსენი განტოლება:
. (2.4)
დასაწყისისთვის, შტურმის თეორემის გამოყენებით განვსაზღვრავთ განტოლებაში (2.2) რეალური და რთული ფესვების რაოდენობას.

ამ განტოლებისთვის შტურმის სისტემას აქვს ფორმა



საიდან ვიღებთ?


ცხრილი 2.3.

მრავალწევრი

წერტილები რეალურ ღერძზე







+

+



–

+



+

+



–

+



–

–

ნიშნების ცვლილებების რაოდენობა

3

1

ამრიგად, ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ განტოლებაში (2.2) რეალური ფესვების რაოდენობა ტოლია


,
იმათ. განტოლება (2.2) შეიცავს 2 რეალურ და ორ რთულ ფესვს.

განტოლების ფესვების დაახლოებით საპოვნელად, ჩვენ გამოვიყენებთ ლობაჩევსკი-გრეფის მეთოდს რთული კონიუგირებული ფესვების წყვილისთვის.

მოდი განტოლების ფესვები გავაბრტყელოთ. კოეფიციენტებს გამოვთვლით (2.2) და (2.3) ფორმულებით.

გამოთვლების შედეგები რვა მნიშვნელოვანი ფიგურით მოცემულია ცხრილში 2.4


ცხრილი 2.4.
-1.8886934E+24 4.6649263E+47 ი.
ფესვების ფარდობითი შეცდომა, რომელიც გამოითვლება ფორმულით (1.28) უდრის
,

.

2.4 მიღებული შედეგების ანალიზი

(2.1) და (2.4) განტოლებების ამოხსნისას მიღებული განტოლებიდან შეიძლება ვიმსჯელოთ ლობაჩევსკი-გრეფის მეთოდის შემდეგ მახასიათებლებზე.

განხილული მეთოდის გამოყენებით, შეგიძლიათ იპოვოთ მრავალწევრის ყველა ფესვი საკმაოდ მაღალი სიზუსტით, მცირე რაოდენობის გამეორებებით.

მიღებული ფესვების შეცდომის სიდიდე დიდწილად დამოკიდებულია ფესვების განცალკევებაზე თავდაპირველ მრავალწევრში, მაგალითად, განტოლებაში (2.1) სხვადასხვა მოდულის ფესვებს შორის მინიმალური სხვაობა უდრის.
და
განტოლებაში (2.4), რაც იწვევს სხვადასხვა რიგის შეცდომებს (4.52958089E–11 და 4.22229789E–06, შესაბამისად) იგივე რაოდენობის გამეორებისთვის.

ამრიგად, ლობაჩევსკი-გრეფის მეთოდი იძლევა კარგ სიზუსტეს განცალკევებულ ფესვებზე და მნიშვნელოვნად კარგავს მრავალჯერადი ან მსგავსი ფესვებისთვის.

დასკვნა

ლობაჩევსკი-გრეფის მეთოდს, რომელიც განხილული იყო ამ პროექტში, აქვს მარტივი გამოთვლის სქემა და საშუალებას იძლევა Excel-ის გამოყენებით დიდი სიზუსტით იპოვოთ ალგებრული განტოლების ყველა ფესვის მოდული.

ლობაჩევსკი-გრეფის მეთოდი ერთ-ერთი ყველაზე პოპულარულია ეფექტური მეთოდებიგამოთვლები, რომლებიც მცირე რაოდენობის გამეორებით იძლევა შედეგს საკმაოდ კარგი სიზუსტით, ამიტომ ამ მეთოდის პრაქტიკაში გამოყენების სფერო ძალიან ფართოა. მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას ქიმიური და ფიზიკური პროცესების მათემატიკური მოდელების ასაგებად და ოპტიმიზაციის მეთოდებში.

ბმულების სია

1. ვ.პ. დემიდოვიჩი, ი.ა. მარუნი. გამოთვლითი მათემატიკის საფუძვლები – მ.: ნაუკა, 1966.–664 გვ.

2. ვ.ლ. ზაგუსკინი. სახელმძღვანელო ალგებრული და ტრანსცენდენტული განტოლებების ამოხსნის რიცხვითი მეთოდების შესახებ – M.: State Publishing House of Physical and Mathematical Literature, 1960.–216 pp.

3. ვ.ი. კრილოვი, ვ.ვ. ბობკოვი, პ.ი. სამონასტრო. უმაღლესი მათემატიკის გამოთვლითი მეთოდები – მინსკი: უმაღლესი სკოლა, 1972 წ., ტ.

4. ა.გ. კუროშ. უმაღლესი ალგებრის კურსი – მ.: ნაუკა, 1971, – 432 გვ.

5. იუ.ი. რიჟიკოვი. Fortran პროგრამირების PowerStation ინჟინრებისთვის. პრაქტიკული გზამკვლევი – სანკტ-პეტერბურგი: CORONA ბეჭდვა, 1999. – 160 გვ.


მე

0

1

2

3

4





0

-9.2000000E+00

-3.3300000E+01

1.3800000E+02

0

და ა.შ. ზოგადსაგანმანათლებლო ხასიათისაა და დიდი მნიშვნელობა აქვს უმაღლესი მათემატიკის მთელი კურსის შესასწავლად. დღეს ჩვენ გავიმეორებთ "სასკოლო" განტოლებებს, მაგრამ არა მხოლოდ "სასკოლო" - არამედ ის, რაც ყველგან გვხვდება. სხვადასხვა ამოცანებივიშმატ. ჩვეულებისამებრ, ამბავი გამოყენებული იქნება, ე.ი. მე არ გავამახვილებ განმარტებებზე და კლასიფიკაციებზე, მაგრამ ზუსტად გაგიზიარებთ პირადი გამოცდილებაგადაწყვეტილებები. ინფორმაცია ძირითადად განკუთვნილია დამწყებთათვის, მაგრამ უფრო მოწინავე მკითხველი ასევე იპოვის ბევრ საინტერესო პუნქტს თავისთვის. და რა თქმა უნდა იქნება ახალი მასალა, მიღმა უმაღლესი სკოლა.

ასე რომ, განტოლება .... ბევრი კანკალით იხსენებს ამ სიტყვას. რა ღირს "დახვეწილი" განტოლებები ფესვებით... ... დაივიწყეთ ისინი! რადგან მაშინ შეხვდებით ამ სახეობის ყველაზე უვნებელ „წარმომადგენლებს“. ან მოსაწყენი ტრიგონომეტრიული განტოლებებიათობით გადაწყვეტის მეთოდით. მართალი გითხრათ, მე თვითონ არ მომწონდა ისინი... Ნუ აჰყვებით პანიკას! – მაშინ ძირითადად „დენდელიონები“ გელოდებათ აშკარა გადაწყვეტით 1-2 ნაბიჯში. მიუხედავად იმისა, რომ "ბურდოკი" რა თქმა უნდა იჭერს, აქ თქვენ უნდა იყოთ ობიექტური.

უცნაურად საკმარისია, რომ უმაღლეს მათემატიკაში ბევრად უფრო ხშირია საქმე ძალიან პრიმიტიულ განტოლებებთან, როგორიცაა ხაზოვანიგანტოლებები

რას ნიშნავს ამ განტოლების ამოხსნა? ეს ნიშნავს "x"-ის (ფესვის) ისეთი მნიშვნელობის პოვნას, რომელიც მას ნამდვილ ტოლად აქცევს. მოდით, "სამი" მარჯვნივ გადავაგდოთ ნიშნის ცვლილებით:

და ჩამოაგდეთ "ორი" მარჯვენა მხარეს (ან, იგივე - გავამრავლოთ ორივე მხარე) :

შესამოწმებლად, მოდით ჩავანაცვლოთ მოგებული თასი თავდაპირველ განტოლებაში:

მიიღება სწორი ტოლობა, რაც ნიშნავს, რომ ნაპოვნი მნიშვნელობა ნამდვილად არის ამ განტოლების ფესვი. ან, როგორც ამბობენ, ამ განტოლებას აკმაყოფილებს.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ root ასევე შეიძლება დაიწეროს ფორმაში ათობითი:
და შეეცადეთ არ მიჰყვეთ ამ ცუდ სტილს! მიზეზი არაერთხელ გავიმეორე, კერძოდ, პირველივე გაკვეთილზე უმაღლესი ალგებრა.

სხვათა შორის, განტოლება ასევე შეიძლება გადაწყდეს "არაბულად":

და რაც ყველაზე საინტერესოა, ეს ჩანაწერი სრულიად ლეგალურია! მაგრამ თუ მასწავლებელი არ ხარ, მაშინ ჯობია ეს არ გააკეთო, რადგან ორიგინალობა აქ ისჯება =)

და ახლა ცოტა შესახებ

გრაფიკული გადაწყვეტის მეთოდი

განტოლებას აქვს ფორმა და მისი ფესვი არის "X" კოორდინატი გადაკვეთის წერტილები ხაზოვანი ფუნქციის გრაფიკიწრფივი ფუნქციის გრაფიკით (x ღერძი):

როგორც ჩანს, მაგალითი იმდენად ელემენტარულია, რომ აქ გასაანალიზებელი მეტი არაფერია, მაგრამ შეიძლება მისგან კიდევ ერთი მოულოდნელი ნიუანსის „გამოდევნა“: მოდით, იგივე განტოლება წარმოვადგინოთ სახით და ავაშენოთ ფუნქციების გრაფიკები:

სადაც, გთხოვთ, არ აურიოთ ეს ორი ცნება: განტოლება არის განტოლება და ფუნქცია- ეს ფუნქციაა! ფუნქციები მხოლოდ დახმარებაიპოვნეთ განტოლების ფესვები. რომელთაგან შეიძლება იყოს ორი, სამი, ოთხი ან თუნდაც უსასრულოდ ბევრი. უახლოესი მაგალითი ამ თვალსაზრისით არის ცნობილი კვადრატული განტოლება, ამოხსნის ალგორითმი, რომლისთვისაც მიიღო ცალკე პუნქტი "ცხელი" სკოლის ფორმულები. და ეს შემთხვევითი არ არის! თუ შეგიძლია ამოხსნა კვადრატული განტოლება და იცოდე პითაგორას თეორემა, მაშინ, შეიძლება ითქვას, "უმაღლესი მათემატიკის ნახევარი უკვე ჯიბეშია" =) გადაჭარბებული, რა თქმა უნდა, მაგრამ არც ისე შორს სიმართლისგან!

მაშასადამე, ნუ დავიზარალებთ და კვადრატული განტოლების გამოყენებით ამოხსნით სტანდარტული ალგორითმი:

, რაც ნიშნავს, რომ განტოლებას აქვს ორი განსხვავებული მოქმედებს root:

ადვილია იმის დადასტურება, რომ ორივე ნაპოვნი მნიშვნელობა რეალურად აკმაყოფილებს ამ განტოლებას:

რა უნდა გააკეთოთ, თუ მოულოდნელად დაგავიწყდათ გადაწყვეტის ალგორითმი და ხელთ არ გაქვთ საშუალება/დახმარება? ეს სიტუაცია შეიძლება წარმოიშვას, მაგალითად, ტესტის ან გამოცდის დროს. ჩვენ ვიყენებთ გრაფიკულ მეთოდს! და არსებობს ორი გზა: შეგიძლიათ ააგეთ წერტილი-პუნქტიპარაბოლა , რითაც გაირკვევა, თუ სად კვეთს ის ღერძს (თუ გადაკვეთს საერთოდ). მაგრამ ჯობია რაღაც უფრო ეშმაკურად გააკეთო: წარმოიდგინე განტოლება ფორმაში, უფრო დახატე გრაფიკები მარტივი ფუნქციები- და "X" კოორდინატებიმათი გადაკვეთის წერტილები აშკარად ჩანს!


თუ აღმოჩნდება, რომ სწორი ხაზი ეხება პარაბოლას, მაშინ განტოლებას აქვს ორი შესატყვისი (მრავალჯერადი) ფესვი. თუ აღმოჩნდება, რომ სწორი ხაზი არ კვეთს პარაბოლას, მაშინ არ არსებობს რეალური ფესვები.

ამისათვის, რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა შეძლოთ აშენება ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები, მაგრამ მეორეს მხრივ, სკოლის მოსწავლესაც კი შეუძლია ეს უნარები.

და ისევ - განტოლება არის განტოლება, და ფუნქციები არის ფუნქციები, რომლებიც უბრალოდ დაეხმარაამოხსენი განტოლება!

და აქ, სხვათა შორის, მიზანშეწონილი იქნება კიდევ ერთი რამის გახსენება: თუ განტოლების ყველა კოეფიციენტი გამრავლებულია არანულოვან რიცხვზე, მაშინ მისი ფესვები არ შეიცვლება.

ასე, მაგალითად, განტოლება იგივე ფესვები აქვს. როგორც უბრალო „მტკიცებულება“, მე ამოვიღებთ მუდმივს ფრჩხილებიდან:
და უმტკივნეულოდ მოვიშორებ (ორივე ნაწილს გავყოფ "მინუს ორზე"):

მაგრამ!თუ გავითვალისწინებთ ფუნქციას , მაშინ აქ მუდმივობას ვერ მოიშორებ! დასაშვებია მხოლოდ მულტიპლიკატორის ფრჩხილებიდან ამოღება: .

ბევრი ადამიანი ვერ აფასებს გრაფიკული გადაწყვეტის მეთოდს, თვლის მას რაღაც „უღირსოდ“, ზოგი კი მთლიანად ავიწყდება ამ შესაძლებლობას. და ეს ფუნდამენტურად არასწორია, რადგან გრაფიკების შედგენა ზოგჯერ უბრალოდ გადაარჩენს სიტუაციას!

კიდევ ერთი მაგალითი: დავუშვათ, რომ არ გახსოვთ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლების ფესვები: . ზოგადი ფორმულა არის სასკოლო სახელმძღვანელოებში, დაწყებითი მათემატიკის ყველა საცნობარო წიგნში, მაგრამ ისინი არ არის თქვენთვის ხელმისაწვდომი. თუმცა, განტოლების ამოხსნა კრიტიკულია (ანუ „ორი“). არის გასასვლელი! - შექმენით ფუნქციების გრაფიკები:


რის შემდეგაც მშვიდად ვწერთ მათი გადაკვეთის წერტილების "X" კოორდინატებს:

უსაზღვროდ ბევრი ფესვია და მათი შეკუმშული აღნიშვნა მიღებულია ალგებრაში:
, სად ( – მთელი რიცხვების ნაკრები) .

და, "წასვლის" გარეშე, რამდენიმე სიტყვა უტოლობების ერთი ცვლადით ამოხსნის გრაფიკული მეთოდის შესახებ. პრინციპი იგივეა. ასე, მაგალითად, უტოლობის ამოხსნა არის ნებისმიერი „x“, რადგან სინუსოიდი თითქმის მთლიანად დევს სწორი ხაზის ქვეშ. უთანასწორობის გამოსავალი არის ინტერვალების ერთობლიობა, რომლებშიც სინუსოიდის ნაწილები დევს სწორ ხაზზე მკაცრად ზემოთ. (x-ღერძი):

ან მოკლედ:

მაგრამ აქ არის მრავალი გამოსავალი უთანასწორობისთვის: ცარიელი, რადგან სინუსოიდის არც ერთი წერტილი არ დევს სწორ ხაზზე.

რამე არ გესმის? სასწრაფოდ შეისწავლეთ გაკვეთილები კომპლექტიდა ფუნქციის გრაფიკები!

მოდით გავთბოთ:

სავარჯიშო 1

გრაფიკულად ამოხსენით შემდეგი ტრიგონომეტრიული განტოლებები:

პასუხები გაკვეთილის ბოლოს

როგორც ხედავთ, ზუსტი მეცნიერებების შესასწავლად სულაც არ არის საჭირო ფორმულებისა და საცნობარო წიგნების შეფუთვა! უფრო მეტიც, ეს არის ფუნდამენტურად გაუმართავი მიდგომა.

როგორც უკვე დაგარწმუნეთ გაკვეთილის დასაწყისში, რთული ტრიგონომეტრიული განტოლებები უმაღლესი მათემატიკის სტანდარტულ კურსში ძალიან იშვიათად უნდა გადაწყდეს. მთელი სირთულე, როგორც წესი, მთავრდება ისეთი განტოლებით, როგორიც არის, რომლის ამონახსნი არის ფესვების ორი ჯგუფი, რომლებიც წარმოიქმნება უმარტივესი განტოლებებიდან და . ძალიან ნუ იდარდებთ ამ უკანასკნელის გადაჭრაზე - გადახედეთ წიგნს ან იპოვეთ ინტერნეტში =)

გრაფიკული გადაწყვეტის მეთოდი ასევე დაგეხმარებათ ნაკლებად ტრივიალურ შემთხვევებში. განვიხილოთ, მაგალითად, შემდეგი „რაგტაგის“ განტოლება:

მისი ამოხსნის პერსპექტივები გამოიყურება... საერთოდ არ ჰგავს, მაგრამ თქვენ უბრალოდ უნდა წარმოიდგინოთ განტოლება ფორმაში, ააშენოთ ფუნქციების გრაფიკებიდა ყველაფერი წარმოუდგენლად მარტივი აღმოჩნდება. სტატიის შუაში არის ნახატი იმის შესახებ უსასრულოდ მცირე ფუნქციები (გაიხსნება შემდეგ ჩანართში).

იგივე გრაფიკული მეთოდის გამოყენებით შეგიძლიათ გაიგოთ, რომ განტოლებას უკვე აქვს ორი ფესვი და ერთი მათგანი ნულის ტოლია, ხოლო მეორე, როგორც ჩანს, ირაციონალურიდა მიეკუთვნება სეგმენტს. ეს ფესვი შეიძლება გამოითვალოს დაახლოებით, მაგალითად, ტანგენტის მეთოდი. სხვათა შორის, ზოგიერთ პრობლემაში ხდება ისე, რომ თქვენ არ გჭირდებათ ფესვების პოვნა, არამედ ამის გარკვევა არსებობენ ისინი საერთოდ?. და აქაც ნახატი დაგეხმარებათ - თუ გრაფიკები არ იკვეთება, მაშინ ფესვები არ არის.

მრავალწევრების რაციონალური ფესვები მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით.
ჰორნერის სქემა

ახლა კი გეპატიჟებით, მზერა შუა საუკუნეებისკენ გადაიტანოთ და კლასიკური ალგებრის უნიკალური ატმოსფერო იგრძნოთ. მასალის უკეთ გასაგებად გირჩევთ, რომ ცოტათი მაინც წაიკითხოთ რთული რიცხვები.

Ისინი საუკეთესოები არიან. პოლინომები.

ჩვენი ინტერესის ობიექტი იქნება ფორმის ყველაზე გავრცელებული მრავალწევრები მთლიანიკოეფიციენტები ბუნებრივი რიცხვიდაურეკა მრავალწევრის ხარისხი, რიცხვი – უმაღლესი ხარისხის კოეფიციენტი (ან უბრალოდ უმაღლესი კოეფიციენტი)და კოეფიციენტი არის თავისუფალი წევრი.

ამ მრავალწევრს მოკლედ აღვნიშნავ .

მრავალწევრის ფესვებიმოვუწოდებთ განტოლების ფესვებს

აღმერთებ რკინის ლოგიკა =)

მაგალითებისთვის გადადით სტატიის დასაწყისში:

1-ლი და მე-2 ხარისხის მრავალწევრების ფესვების პოვნაში პრობლემები არ არის, მაგრამ რაც უფრო იზრდება ეს ამოცანა უფრო და უფრო რთული ხდება. თუმცა, მეორეს მხრივ, ყველაფერი უფრო საინტერესოა! და სწორედ ამას დაეთმობა გაკვეთილის მეორე ნაწილი.

პირველი, თეორიის ფაქტიურად ნახევარი ეკრანი:

1) დასკვნის მიხედვით ალგებრის ფუნდამენტური თეორემა, ხარისხის მრავალწევრს აქვს ზუსტად კომპლექსიფესვები ზოგიერთი ფესვი (ან თუნდაც ყველა) შეიძლება იყოს განსაკუთრებით მოქმედებს. უფრო მეტიც, რეალურ ფესვებს შორის შეიძლება იყოს იდენტური (მრავალჯერადი) ფესვები (მინიმუმ ორი, მაქსიმალური ცალი).

თუ რაიმე რთული რიცხვი არის მრავალწევრის ფესვი, მაშინ კონიუგატიმისი რიცხვიც აუცილებლად არის ამ მრავალწევრის ფესვი (კონიუგატულ რთულ ფესვებს აქვთ ფორმა).

უმარტივესი მაგალითიარის კვადრატული განტოლება, რომელიც პირველად გამოჩნდა 8-ში (როგორც)კლასი და რომელიც საბოლოოდ „დავამთავრეთ“ თემაში რთული რიცხვები. შეგახსენებთ: კვადრატულ განტოლებას აქვს ან ორი განსხვავებული რეალური ფესვი, ან მრავალი ფესვი, ან შერწყმული რთული ფესვები.

2) დან ბეზუტის თეორემააქედან გამომდინარეობს, რომ თუ რიცხვი არის განტოლების ფესვი, მაშინ შესაბამისი პოლინომი შეიძლება იყოს ფაქტორიზირებული:
, სადაც არის ხარისხის მრავალწევრი .

და ისევ, ჩვენი ძველი მაგალითი: ვინაიდან არის განტოლების ფესვი, მაშინ . რის შემდეგაც არ არის რთული ცნობილი „სკოლის“ გაფართოების მოპოვება.

ბეზოუთის თეორემის დასკვნას დიდი პრაქტიკული მნიშვნელობა აქვს: თუ ვიცით მე-3 ხარისხის განტოლების ფესვი, მაშინ შეგვიძლია მისი სახით წარმოდგენა. ხოლო კვადრატული განტოლებიდან ადვილია დარჩენილი ფესვების გარკვევა. თუ ვიცით მე-4 ხარისხის განტოლების ფესვი, მაშინ შესაძლებელია მარცხენა მხარის გაფართოება პროდუქტად და ა.შ.

და აქ არის ორი კითხვა:

კითხვა პირველი. როგორ მოვძებნოთ ეს ფესვი? უპირველეს ყოვლისა, განვსაზღვროთ მისი ბუნება: უმაღლესი მათემატიკის ბევრ ამოცანებში აუცილებელია ვიპოვოთ რაციონალური, კერძოდ მთლიანიმრავალწევრების ფესვები და ამ მხრივ, შემდგომში ძირითადად ისინი დავინტერესდებით.... ...ისეთი კარგები არიან, ისეთი ფუმფულა, რომ უბრალოდ მათი პოვნა გინდა! =)

პირველი, რაც მახსენდება, არის შერჩევის მეთოდი. განვიხილოთ, მაგალითად, განტოლება. დაჭერა აქ თავისუფალ ტერმინშია - ნულის ტოლი რომ იყოს, მაშინ ყველაფერი კარგად იქნება - ჩვენ ვიღებთ "x"-ს ფრჩხილებიდან და თავად ფესვები "გამოვარდება" ზედაპირზე:

მაგრამ ჩვენი თავისუფალი ვადა უდრის "სამი" და ამიტომ ვიწყებთ ჩანაცვლებას განტოლებაში სხვადასხვა ნომრები, აცხადებენ, რომ ის არის "ფესვი". უპირველეს ყოვლისა, ცალკეული მნიშვნელობების ჩანაცვლება გვთავაზობს თავის თავს. ჩავანაცვლოთ:

მიღებული არასწორითანასწორობა, ამრიგად, ერთეული "არ ჯდებოდა". კარგი, მოდით ჩავანაცვლოთ:

მიღებული მართალიათანასწორობა! ანუ მნიშვნელობა არის ამ განტოლების ფესვი.

მე-3 ხარისხის მრავალწევრის ფესვების საპოვნელად არსებობს ანალიტიკური მეთოდი (ე.წ. კარდანოს ფორმულები), მაგრამ ახლა ჩვენ გვაინტერესებს ოდნავ განსხვავებული ამოცანა.

ვინაიდან - არის ჩვენი მრავალწევრის ფესვი, მრავალწევრი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი სახით და წარმოიქმნება მეორე კითხვა: როგორ მოვძებნოთ "უმცროსი ძმა"?

უმარტივესი ალგებრული მოსაზრებები გვთავაზობს, რომ ამისათვის ჩვენ უნდა გავყოთ. როგორ გავყოთ მრავალწევრი მრავალწევრზე? იგივე სკოლის მეთოდი, რომელიც ყოფს ჩვეულებრივ რიცხვებს - "სვეტი"! ეს მეთოდი დეტალურად განვიხილეთ გაკვეთილის პირველ მაგალითებში. კომპლექსური ლიმიტებიდა ახლა ჩვენ გადავხედავთ სხვა მეთოდს, რომელსაც ე.წ ჰორნერის სქემა.

ჯერ ვწერთ „უმაღლეს“ მრავალწევრს ყველასთან ერთად ნულოვანი კოეფიციენტების ჩათვლით:
, რის შემდეგაც შევიყვანთ ამ კოეფიციენტებს (მკაცრად თანმიმდევრობით) ცხრილის ზედა რიგში:

ჩვენ ვწერთ ფესვს მარცხნივ:

მე მაშინვე გავაკეთებ დათქმას, რომ ჰორნერის სქემა ასევე მუშაობს, თუ "წითელი" ნომერია არაარის მრავალწევრის ფესვი. თუმცა საქმეებს ნუ ვიჩქარებთ.

ჩვენ ვხსნით წამყვან კოეფიციენტს ზემოდან:

ქვედა უჯრედების შევსების პროცესი გარკვეულწილად მოგვაგონებს ნაქარგს, სადაც "მინუს ერთი" არის ერთგვარი "ნემსი", რომელიც გადის შემდგომ საფეხურებზე. ჩვენ ვამრავლებთ "გადატანილ" რიცხვს (–1) და ვამატებთ რიცხვს ზედა უჯრედიდან ნამრავლს:

ჩვენ ვამრავლებთ ნაპოვნი მნიშვნელობას "წითელ ნემსზე" და ვამატებთ პროდუქტს შემდეგი განტოლების კოეფიციენტს:

და ბოლოს, მიღებული მნიშვნელობა კვლავ "დამუშავებულია" "ნემსით" და ზედა კოეფიციენტით:

ბოლო უჯრედის ნული გვეუბნება, რომ მრავალწევრი იყოფა უკვალოდ (როგორც უნდა იყოს), ხოლო გაფართოების კოეფიციენტები "ამოღებულია" პირდაპირ ცხრილის ქვედა ხაზიდან:

ამრიგად, ჩვენ გადავედით განტოლებიდან ეკვივალენტურ განტოლებაზე და ყველაფერი ნათელია დარჩენილი ორი ფესვით (ამ შემთხვევაში ვიღებთ კონიუგატ რთულ ფესვებს).

განტოლება, სხვათა შორის, გრაფიკულადაც შეიძლება ამოხსნას: ნაკვეთი "ელვა" და ნახეთ, რომ გრაფიკი კვეთს x-ღერძს () წერტილში. ან იგივე "მზაკვრული" ხრიკი - ჩვენ გადავწერთ განტოლებას ფორმაში, ვხატავთ ელემენტარულ გრაფიკებს და აღმოვაჩენთ მათი გადაკვეთის წერტილის "X" კოორდინატს.

სხვათა შორის, მე-3 ხარისხის ნებისმიერი ფუნქცია-პოლინომის გრაფიკი ერთხელ მაინც კვეთს ღერძს, რაც ნიშნავს, რომ შესაბამისი განტოლება აქვს მინიმუმერთი მოქმედებსფესვი. ეს ფაქტი მართალია კენტი ხარისხის ნებისმიერ მრავალწევრულ ფუნქციაზე.

და აქაც მინდა შევჩერდე მნიშვნელოვანი წერტილირაც ეხება ტერმინოლოგიას: მრავალწევრიდა მრავალწევრი ფუნქცია – ეს არ არის იგივე! მაგრამ პრაქტიკაში ისინი ხშირად საუბრობენ, მაგალითად, "პოლინომის გრაფიკზე", რაც, რა თქმა უნდა, დაუდევრობაა.

თუმცა, დავუბრუნდეთ ჰორნერის სქემას. როგორც ახლახან აღვნიშნე, ეს სქემა მუშაობს სხვა ნომრებზე, მაგრამ თუ ნომერი არაარის განტოლების ფესვი, შემდეგ ჩვენს ფორმულაში ჩნდება არანულოვანი დამატება (ნარჩენი):

მოდით "გავატაროთ" "წარუმატებელი" მნიშვნელობა ჰორნერის სქემის მიხედვით. ამ შემთხვევაში მოსახერხებელია იგივე ცხრილის გამოყენება - დაწერეთ ახალი "ნემსი" მარცხნივ, გადაიტანეთ წამყვანი კოეფიციენტი ზემოდან. (მარცხნივ მწვანე ისარი)და მივდივართ:

შესამოწმებლად გავხსნათ ფრჩხილები და წარმოვადგინოთ მსგავსი ტერმინები:
, ᲙᲐᲠᲒᲘ.

ადვილი მისახვედრია, რომ ნაშთი („ექვსი“) ზუსტად არის მრავალწევრის მნიშვნელობა . და სინამდვილეში - როგორია:
და კიდევ უფრო ლამაზი - ასე:

ზემოაღნიშნული გამოთვლებიდან ადვილი გასაგებია, რომ ჰორნერის სქემა საშუალებას იძლევა არა მხოლოდ მრავალწევრის ფაქტორირება, არამედ ფესვის "ცივილიზებული" შერჩევა. მე გთავაზობთ, რომ თავად გააერთიანოთ გამოთვლის ალგორითმი მცირე დავალებით:

დავალება 2

ჰორნერის სქემის გამოყენებით იპოვნეთ განტოლების მთელი რიცხვი ფესვი და შეადარეთ შესაბამისი მრავალწევრი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, აქ თქვენ თანმიმდევრულად უნდა შეამოწმოთ რიცხვები 1, –1, 2, –2, ... – მანამ, სანამ ნულოვანი ნაშთი არ არის „დახაზული“ ბოლო სვეტში. ეს ნიშნავს, რომ ამ ხაზის „ნემსი“ არის მრავალწევრის ფესვი

მოსახერხებელია გამოთვლების მოწყობა ერთ ცხრილში. დეტალური გადაწყვეტა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

ფესვების შერჩევის მეთოდი კარგია შედარებით მარტივი შემთხვევებისთვის, მაგრამ თუ მრავალწევრის კოეფიციენტები და/ან ხარისხი დიდია, მაშინ პროცესი შეიძლება დიდხანს გაგრძელდეს. ან იქნებ არის გარკვეული მნიშვნელობები იმავე სიიდან 1, -1, 2, -2 და აზრი არ აქვს განხილვას? და, გარდა ამისა, ფესვები შეიძლება აღმოჩნდეს წილადი, რაც გამოიწვევს სრულიად არამეცნიერულ ჩხვლეტას.

საბედნიეროდ, არსებობს ორი ძლიერი თეორემა, რომელსაც შეუძლია მნიშვნელოვნად შეამციროს რაციონალური ფესვების "კანდიდატური" მნიშვნელობების ძიება:

თეორემა 1განვიხილოთ შეუმცირებელიწილადი , სადაც . თუ რიცხვი არის განტოლების ფესვი, მაშინ თავისუფალი წევრი იყოფა და წამყვანი კოეფიციენტი იყოფა.

Კერძოდ, თუ წამყვანი კოეფიციენტია , მაშინ ეს რაციონალური ფესვი არის მთელი რიცხვი:

და ჩვენ ვიწყებთ თეორემის გამოყენებას მხოლოდ ამ გემრიელი დეტალით:

დავუბრუნდეთ განტოლებას. ვინაიდან მისი წამყვანი კოეფიციენტია , მაშინ ჰიპოთეტური რაციონალური ფესვები შეიძლება იყოს ექსკლუზიურად მთელი რიცხვი და თავისუფალი წევრი აუცილებლად უნდა დაიყოს ამ ფესვებად ნაშთის გარეშე. და "სამი" შეიძლება დაიყოს მხოლოდ 1, -1, 3 და -3. ანუ მხოლოდ 4 „ძირითადი კანდიდატი“ გვყავს. და შესაბამისად თეორემა 1სხვა რაციონალური რიცხვები არ შეიძლება იყოს ამ განტოლების ფესვები პრინციპში.

განტოლებაში ცოტა მეტი "კონკურენტი" არის: თავისუფალი წევრი იყოფა 1, -1, 2, - 2, 4 და -4.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ რიცხვები 1, -1 არის შესაძლო ფესვების სიის "რეგულარული". (თეორემის აშკარა შედეგი)და უმეტესობა საუკეთესო არჩევანიპრიორიტეტის შემოწმებისთვის.

მოდით გადავიდეთ უფრო მნიშვნელოვან მაგალითებზე:

პრობლემა 3

გამოსავალი: ვინაიდან წამყვანი კოეფიციენტია , მაშინ ჰიპოთეტური რაციონალური ფესვები შეიძლება იყოს მხოლოდ მთელი რიცხვი და ისინი აუცილებლად უნდა იყვნენ თავისუფალი წევრის გამყოფები. "მინუს ორმოცი" დაყოფილია რიცხვების შემდეგ წყვილებად:
– სულ 16 „კანდიდატი“.

და აქ მყისვე ჩნდება მაცდური აზრი: შესაძლებელია თუ არა ყველა ნეგატიური თუ ყველა დადებითი ფესვის მოცილება? ზოგიერთ შემთხვევაში შესაძლებელია! მე ჩამოვაყალიბებ ორ ნიშანს:

1) თუ ყველათუ მრავალწევრის კოეფიციენტები არის არაუარყოფითი ან ყველა არადადებითი, მაშინ მას არ შეიძლება ჰქონდეს დადებითი ფესვები. სამწუხაროდ, ეს არ არის ჩვენი შემთხვევა (ახლა, თუ მოგვცეს განტოლება - მაშინ დიახ, მრავალწევრის ნებისმიერი მნიშვნელობის ჩანაცვლებისას, პოლინომის მნიშვნელობა მკაცრად დადებითია, რაც ნიშნავს, რომ ყველა დადებითი რიცხვი (და ირაციონალურიც)არ შეიძლება იყოს განტოლების ფესვები.

2) თუ კენტი ხარისხების კოეფიციენტები არაუარყოფითია და ყველა ლუწი ხარისხებისთვის (მათ შორის უფასო წევრი)უარყოფითია, მაშინ მრავალწევრს არ შეიძლება ჰქონდეს უარყოფითი ფესვები. ან „სარკე“: კენტი ძალების კოეფიციენტები არაპოზიტიურია და ყველა ლუწი ხარისხებისთვის ისინი დადებითია.

ეს ჩვენი საქმეა! ცოტა უფრო ახლოს რომ დააკვირდებით, ხედავთ, რომ ნებისმიერი უარყოფითი "X"-ის განტოლებაში ჩანაცვლებისას, მარცხენა მხარე მკაცრად უარყოფითი იქნება, რაც ნიშნავს, რომ უარყოფითი ფესვები ქრება.

ამრიგად, კვლევისთვის დარჩენილია 8 ნომერი:

ჩვენ მათ თანმიმდევრულად „დავამუხტავთ“ ჰორნერის სქემის მიხედვით. იმედი მაქვს, თქვენ უკვე დაეუფლეთ გონებრივ გამოთვლებს:

ბედი გველოდა "ორის" გამოცდისას. ამრიგად, არის განხილული განტოლების ფესვი და

რჩება განტოლების შესწავლა . ამის გაკეთება ადვილია დისკრიმინანტის საშუალებით, მაგრამ მე ჩავატარებ ინდიკატურ ტესტს იმავე სქემის გამოყენებით. პირველ რიგში, აღვნიშნავთ, რომ თავისუფალი ვადა უდრის 20-ს, რაც ნიშნავს თეორემა 1რიცხვები 8 და 40 გამოდის შესაძლო ფესვების სიიდან და ტოვებს მნიშვნელობებს კვლევისთვის (ერთი აღმოიფხვრა ჰორნერის სქემის მიხედვით).

ტრინომის კოეფიციენტებს ვწერთ ახალი ცხრილის ზედა მწკრივში და ჩვენ ვიწყებთ შემოწმებას იგივე "ორით". რატომ? და რადგან ფესვები შეიძლება იყოს მრავლობითი, გთხოვთ: - ამ განტოლებას აქვს 10 იდენტური ფესვი. ოღონდ არ გავფანტოთ:

და აქ, რა თქმა უნდა, ცოტას ვიტყუებდი, ვიცოდი, რომ ფესვები რაციონალურია. ყოველივე ამის შემდეგ, თუ ისინი იყვნენ ირაციონალური ან რთული, მაშინ მე დავდგებოდი ყველა დარჩენილი რიცხვის წარუმატებელი შემოწმება. ამიტომ, პრაქტიკაში იხელმძღვანელეთ დისკრიმინანტით.

უპასუხე: რაციონალური ფესვები: 2, 4, 5

ჩვენს მიერ გაანალიზებულ პრობლემაში გაგვიმართლა, რადგან: ა) უარყოფითი მნიშვნელობები მაშინვე დაეცა და ბ) ჩვენ ძალიან სწრაფად ვიპოვნეთ ფესვი (და თეორიულად შეგვეძლო მთელი სიის შემოწმება).

მაგრამ სინამდვილეში სიტუაცია გაცილებით უარესია. გეპატიჟებით უყუროთ საინტერესო თამაშს სახელწოდებით "უკანასკნელი გმირი":

პრობლემა 4

იპოვეთ განტოლების რაციონალური ფესვები

გამოსავალი: ავტორი თეორემა 1ჰიპოთეტური რაციონალური ფესვების მრიცხველები უნდა აკმაყოფილებდეს პირობას (ვკითხულობთ "თორმეტი იყოფა ელზე"), და მნიშვნელები შეესაბამება პირობას . ამის საფუძველზე ვიღებთ ორ სიას:

"list el":
და "list um": (საბედნიეროდ, აქ რიცხვები ბუნებრივია).

ახლა მოდით შევადგინოთ ყველა შესაძლო ფესვის სია. პირველ რიგში, ჩვენ ვყოფთ "ელ სიას" . აბსოლუტურად გასაგებია, რომ იგივე რიცხვები იქნება მიღებული. მოხერხებულობისთვის, მოდით დავდოთ ისინი ცხრილში:

ბევრი ფრაქცია შემცირდა, რის შედეგადაც მიიღება მნიშვნელობები, რომლებიც უკვე არის "გმირთა სიაში". ჩვენ ვამატებთ მხოლოდ "ახალბედებს":

ანალოგიურად, ჩვენ ვყოფთ იგივე "სიას":

და ბოლოს

ამრიგად, ჩვენი თამაშის მონაწილეთა გუნდი სრულდება:


სამწუხაროდ, ამ პრობლემაში პოლინომი არ აკმაყოფილებს „პოზიტიურ“ ან „უარყოფით“ კრიტერიუმებს და, შესაბამისად, ზედა ან ქვედა სტრიქონის უგულებელყოფა არ შეგვიძლია. თქვენ მოგიწევთ ყველა რიცხვთან მუშაობა.

Როგორ გრძნობ თავს? მოდი, თავი ასწიე - არის კიდევ ერთი თეორემა, რომელსაც ფიგურალურად შეიძლება ეწოდოს "მკვლელის თეორემა"... ..."კანდიდატები", რა თქმა უნდა =)

მაგრამ ჯერ უნდა გადახედოთ ჰორნერის დიაგრამას მინიმუმ ერთი მთელინომრები. ტრადიციულად, ავიღოთ ერთი. ზედა სტრიქონში ვწერთ მრავალწევრის კოეფიციენტებს და ყველაფერი ჩვეულებრივად არის:

ვინაიდან ოთხი აშკარად არ არის ნული, მნიშვნელობა არ არის მოცემული მრავალწევრის ფესვი. მაგრამ ის ძალიან დაგვეხმარება.

თეორემა 2თუ ზოგიერთისთვის ზოგადადმრავალწევრის მნიშვნელობა არ არის ნულოვანი: , შემდეგ მისი რაციონალური ფესვები (თუ ისინი არიან)დააკმაყოფილოს პირობა

ჩვენს შემთხვევაში და ამიტომ ყველა შესაძლო ფესვი უნდა აკმაყოფილებდეს პირობას (მოდით დავარქვათ მას მდგომარეობა No1). ეს ოთხეული იქნება მრავალი „კანდიდატის“ „მკვლელი“. როგორც დემონსტრირება, მე გადავხედავ რამდენიმე შემოწმებას:

შევამოწმოთ „კანდიდატი“. ამისათვის ხელოვნურად წარმოვადგინოთ იგი წილადის სახით, საიდანაც ნათლად ჩანს, რომ . გამოვთვალოთ ტესტის სხვაობა: . ოთხი იყოფა „მინუს ორზე“: , რაც ნიშნავს, რომ შესაძლო ფესვმა გამოცდა გაიარა.

მოდით შევამოწმოთ ღირებულება. აქ არის ტესტის განსხვავება: . რა თქმა უნდა, და, შესაბამისად, მეორე "საგანი" ასევე რჩება სიაში.