როგორ ამოხსნათ განტოლებები მეოთხე ხარისხის მაგალითებით. მეოთხე ხარისხის განტოლება. მეოთხე ხარისხის ბიკვადრატული განტოლებების ამოხსნა
მალევე მას შემდეგ, რაც კარდანომ გამოაქვეყნა კუბური განტოლებების ამოხსნის მეთოდი, მისმა სტუდენტებმა და მიმდევრებმა იპოვეს გზები მეოთხე ხარისხის ზოგადი განტოლების კუბურ განტოლებამდე დასაყვანად. წარმოგიდგენთ უმარტივეს მეთოდს, რომელიც ეკუთვნის L. Ferrari-ს.
მეთოდის წარდგენისას დაგჭირდებათ შემდეგი ელემენტარული ლემის გამოყენება.
ლემა. იმისათვის, რომ კვადრატული ტრინომი იყოს წრფივი ბინომის კვადრატი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მისი დისკრიმინანტი იყოს ნულის ტოლი.
მტკიცებულება. აუცილებლობა. დაე . შემდეგ საკმარისობა. ნება მაშინ
წარმოდგენილი მეთოდის იდეაა განტოლების მარცხენა მხარის წარმოდგენა, როგორც ორი კვადრატის სხვაობა. შემდეგ ის შეიძლება დაიშალოს მეორე ხარისხის ორ ფაქტორად და განტოლების ამოხსნა გამოიწვევს ორი კვადრატული განტოლების ამოხსნას. მიზნის მისაღწევად, წარმოიდგინეთ მარცხენა მხარე, როგორც:
აქ y არის დამხმარე უცნობი, რომელიც უნდა შეირჩეს ისე, რომ გამოსახულება კვადრატულ ფრჩხილებში აღმოჩნდეს წრფივი ბინომის კვადრატი. ლემის ძალით ამისთვის აუცილებელია და საკმარისია პირობის დაკმაყოფილება
ეს პირობა არის მესამე ხარისხის განტოლება y-ის მიმართ. ფრჩხილების გახსნის შემდეგ იგი გარდაიქმნება ფორმაში
მოდით იყოს ამ განტოლების ერთ-ერთი ფესვი. მაშინ პირობა დაკმაყოფილდება, ასე გამართავს
ზოგიერთი k და I. თავდაპირველი განტოლება იღებს ფორმას
თითოეული ფაქტორის ნულთან გათანაბრებით, ჩვენ ვიპოვით თავდაპირველი განტოლების ოთხ ფესვს.
კიდევ ერთი შენიშვნა გავაკეთოთ. მოდით იყოს პირველი ფაქტორის ფესვები და იყოს ფესვები მეორეზე. შემდეგ, ამ თანასწორობების დამატებით, მივიღებთ ამას
ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ გამოხატულება დამხმარე კუბური განტოლების ფესვისთვის მეოთხე ხარისხის თავდაპირველი განტოლების ფესვების თვალსაზრისით.
მაგალითი. ამოხსენით განტოლება. ზემოთ მოყვანილი მეთოდის მიხედვით, ჩვენ ვცვლით მარცხენა მხარეს:
ახლა დავდოთ. ფორმირების შემდეგ ვიღებთ განტოლებას
ადვილი მისახვედრია, რომ ამ განტოლების ერთ-ერთი ფესვი არის რიცხვი. მისი ჩანაცვლებით საწყისი განტოლების გარდაქმნილ მარცხენა მხარეს, მივიღებთ:
ფაქტორების ნულთან გათანაბრებით, მივიღებთ
რაც შეეხება მეოთხე ხარისხზე მაღალ განტოლებებს, ცნობილი იყო შედარებით კონკრეტული ფორმის განტოლებების ზოგიერთი კლასი, რომელიც აღიარებდა ალგებრული ამონახსნებირადიკალებში, ანუ არითმეტიკული მოქმედებების შედეგებისა და ფესვის ამოღების მოქმედების სახით. თუმცა, მეხუთე და უფრო მაღალი ხარისხის ზოგადი განტოლებების ამოხსნის მცდელობები წარუმატებელი აღმოჩნდა მე-19 საუკუნის დასაწყისამდე. რუფინმა და აბელმა არ დაადასტურეს, რომ მეოთხე ხარისხის ზემოთ ზოგადი განტოლებისთვის მსგავსი ამოხსნა შეუძლებელია. დაბოლოს, 1830 წელს ბრწყინვალე ფრანგმა მათემატიკოსმა ე. გალუამ მოახერხა საჭირო და საკმარისი პირობების პოვნა (რაც საკმაოდ რთულია გადამოწმება) რადიკალების ამოხსნადობისთვის სპეციალურად მოცემული განტოლება. პარალელურად გალუამ შექმნა და გამოიყენა პერმუტაციის ჯგუფების თეორია, რომელიც ახალი იყო მისი დროისთვის.
ზოგად შემთხვევაში, მეოთხე ხარისხის განტოლების ამოხსნა ხორციელდება უმაღლესი ხარისხებისთვის განტოლებების ამოხსნის მეთოდების გამოყენებით, მაგალითად, ფერარის მეთოდით ან ჰორნერის სქემის გამოყენებით. მაგრამ ზოგიერთ მე-4 ხარისხის განტოლებას უფრო მარტივი გამოსავალი აქვს.
არსებობს მეოთხე ხარისხის განტოლებების რამდენიმე სპეციალური ტიპი, რომელთა ამოხსნის მეთოდებს ქვემოთ შეიტყობთ:
- ბიკვადრატული განტოლება $ax^4+bx^2+c=0$;
- $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ ფორმის საპასუხო განტოლებები;
- $ax^4+b=0$ ფორმის განტოლებები.
მეოთხე ხარისხის ბიკვადრატული განტოლებების ამოხსნა
ბიკვადრატული განტოლებები $ax^4+bx^2+c=0$ მცირდება კვადრატულ განტოლებამდე $x^2$ ცვლადის ახლით ჩანაცვლებით, მაგალითად, $y$. ჩანაცვლების შემდეგ, ახალი მიღებული განტოლება წყდება და შემდეგ ნაპოვნი ცვლადის მნიშვნელობა შეიცვლება განტოლებაში $x^2=y$. ამოხსნის შედეგი იქნება $x^2=y$ განტოლების ფესვები.
მაგალითი 1
ამოხსენით განტოლება $x(x-1)(x-2)(x-3)=24$:
გავაფართოვოთ ფრჩხილები მრავალწევრში:
$(x^2-3x)(x^2-3x+2)=24$
ამ ფორმით, აშკარა ხდება, რომ ჩვენ შეგვიძლია შევარჩიოთ გამოთქმა $y=x^2-3x$, როგორც ახალი ცვლადი;
$y\cdot (y+2)=24$
ახლა მოდით ამოხსნათ ორი კვადრატული განტოლება $x^2-3x=-4$ და $x^2-3x=-6$.
პირველი განტოლების ფესვებია $x_1(1,2)=4;-1$, მეორეს ამონახსნები არ აქვს.
მე-4 ხარისხის საპასუხო განტოლებების ამოხსნა
$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ ფორმის ეს განტოლებები თავიანთი კოეფიციენტებით იმეორებენ უფრო მაღალი ხარისხის მრავალწევრების კოეფიციენტებს. ასეთი განტოლების ამოსახსნელად, ჯერ გაყავით იგი $x^2$-ზე:
$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0|:x^2$
$ax^2+bx+c+\frac(b)(x) + \frac(a)(x^2)=0$
$a(x^2+\frac(1)(x^2))+b(x+\frac(1)(x)) + c=0$
შემდეგ შეცვალეთ $(x+\frac(1)(x))$ ახალი ცვლადით, შემდეგ $(x^2+\frac(1)(x^2))=y^2-2$, ჩანაცვლების შემდეგ მივიღებთ მომდევნო კვადრატული განტოლება:
$a(y^2-2)+by+c=0$
ამის შემდეგ ვეძებთ $x+\frac(1)(x)=y_1$ და $x+\frac(1)(x)=y_2$ განტოლებების ფესვებს.
მსგავსი მეთოდი გამოიყენება $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$ ფორმის საპასუხო განტოლებების ამოსახსნელად.
მაგალითი 2
ამოხსენით განტოლება:
$3x^4-2x^3-9x^2-4x+12=0$
ეს განტოლება არის $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$ ფორმის ორმხრივი განტოლება. ამრიგად, ჩვენ ვყოფთ მთელ განტოლებას $x^2$-ზე:
$3x^2-2x-9 \cdot \frac(2 \cdot 2)(x)+3 \cdot (\frac(2)(x))^2=0$
$3(x^2+\frac(4)(x^2))-2(x+\frac(2)(x)-9=0$
შევცვალოთ გამოთქმა $x+\frac(2)(x)$: $3(y^2-4)-2y-9=0$
გამოვთვალოთ ამ განტოლების ფესვები, ისინი უდრის $y_1=3$ და $y_2=-\frac(7)(3)$.
შესაბამისად, ახლა საჭიროა ამოხსნათ ორი განტოლება $x+\frac(2)(x)=3$ და $x+\frac(2)(x)=-\frac(7)(3)$. პირველი განტოლების ამონახსნი არის $x_1=1, x_2=2$, მეორე განტოლებას ფესვები არ აქვს.
მაშასადამე, საწყისი განტოლების ფესვებია $x_1=1, x_2=2$.
$ax^4+b=0$ ფორმის განტოლებები
ამ ტიპის განტოლების ფესვები გვხვდება შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენებით.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
ჯერ უნდა იპოვოთ ერთი ფესვი შერჩევის მეთოდის გამოყენებით. ჩვეულებრივ, ეს არის თავისუფალი ტერმინის გამყოფი. ამ შემთხვევაში რიცხვის გამყოფები 12 არიან ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.დავიწყოთ მათი სათითაოდ ჩანაცვლება:
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ ნომერი 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ ნომერი -1 არ არის მრავალწევრის ფესვი
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ ნომერი 2 არის მრავალწევრის ფესვი
ჩვენ ვიპოვეთ მრავალწევრის ფესვებიდან 1. მრავალწევრის ფესვი არის 2, რაც ნიშნავს, რომ თავდაპირველი მრავალწევრი უნდა დაიყოს x - 2. მრავალწევრების გაყოფის შესასრულებლად ვიყენებთ ჰორნერის სქემას:
| 2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
| 2 |
თავდაპირველი მრავალწევრის კოეფიციენტები ნაჩვენებია ზედა ხაზში. ჩვენ მიერ ნაპოვნი ფესვი მოთავსებულია მეორე რიგის პირველ უჯრედში 2. მეორე ხაზი შეიცავს მრავალწევრის კოეფიციენტებს, რომლებიც წარმოიქმნება გაყოფით. ისინი დათვლილია ასე:
| მეორე რიგის მეორე უჯრედში ვწერთ რიცხვს 2, უბრალოდ პირველი რიგის შესაბამისი უჯრედიდან გადატანით. | ||||||||||||
| 2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
| 2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
| 2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
| 2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
ბოლო რიცხვი არის გაყოფის დარჩენილი ნაწილი. თუ 0-ის ტოლია, მაშინ ყველაფერი სწორად გამოვთვალეთ.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
მაგრამ ეს არ არის დასასრული. თქვენ შეგიძლიათ სცადოთ პოლინომის გაფართოება იმავე გზით 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.
ჩვენ კვლავ ვეძებთ ფესვს თავისუფალი ტერმინის გამყოფებს შორის. რიცხვების გამყოფები -6 არიან ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ რიცხვი 1 არ არის მრავალწევრის ფესვი
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ რიცხვი -1 არ არის მრავალწევრის ფესვი
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ ნომერი 2 არ არის მრავალწევრის ფესვი
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ ნომერი -2 არის მრავალწევრის ფესვი
მოდით ჩავწეროთ ნაპოვნი ფესვი ჩვენს ჰორნერის სქემაში და დავიწყოთ ცარიელი უჯრედების შევსება:
| მესამე რიგის მეორე უჯრედში ვწერთ რიცხვს 2, უბრალოდ მეორე რიგის შესაბამისი უჯრედიდან გადატანით. | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
ამგვარად, ჩვენ ფაქტორზე გავატარეთ ორიგინალური პოლინომი:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)
მრავალწევრი 2x 2 + 5x - 3ასევე შეიძლება იყოს ფაქტორიზებული. ამისათვის შეგიძლიათ ამოხსნათ კვადრატული განტოლება დისკრიმინანტის საშუალებით, ან შეგიძლიათ მოძებნოთ ფესვი რიცხვის გამყოფებს შორის. -3. ასეა თუ ისე, მივალთ დასკვნამდე, რომ ამ მრავალწევრის ფესვი არის რიცხვი -3
| მეოთხე რიგის მეორე უჯრედში ვწერთ რიცხვს 2, უბრალოდ მესამე რიგის შესაბამისი უჯრედიდან გადატანით. | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
ამრიგად, ჩვენ დავშალეთ საწყისი პოლინომი წრფივ ფაქტორებად.
დეკარტ-ეილერის ხსნარი
ჩანაცვლების შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ განტოლებას შემდეგი ფორმით (მას ეწოდება "არასრული"):
წ 4 + გვწ 2 + ქწ + რ = 0 .Ფესვები წ 1 , წ 2 , წ 3 , წასეთი განტოლების 4 ტოლია შემდეგი გამონათქვამებიდან ერთ-ერთის:
რომელშიც სიმბოლოთა კომბინაციები შეირჩევა ისე, რომ დაკმაყოფილდეს შემდეგი ურთიერთობა:
,
და ზ 1 , ზ 2 და ზ 3 არის კუბური განტოლების ფესვები
ფერარის გამოსავალი
მთავარი სტატია: ფერარის მეთოდი
მოდით წარმოვიდგინოთ მეოთხე ხარისხის განტოლება სახით:
აx 4 + ბx 3 + Cx 2 + დx + ე = 0,მისი გამოსავალი შეგიძლიათ იხილოთ შემდეგი გამონათქვამებიდან:
თუ β = 0, ამოხსნა u 4 + α u 2 + γ = 0და ჩანაცვლების გაკეთება 
, ვიპოვოთ ფესვები: . 
, (ნებისმიერი კვადრატული ფესვის ნიშანი გამოდგება) , (სამი რთული ფესვი, რომელთაგან ერთი გამოდგება) 
ორ ± ს უნდა ჰქონდეს იგივე ნიშანი, ± t - დამოუკიდებელია. იმისათვის, რომ იპოვოთ ყველა ფესვი, თქვენ უნდა იპოვოთ x ხელმოწერილი კომბინაციებისთვის ± s ,± t = +,+ for +,− for −,+ for −,−. ორმაგი ფესვები გამოჩნდება ორჯერ, სამმაგი ფესვები სამჯერ და მეოთხეული ფესვები ოთხჯერ. ფესვების რიგი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რომელი კუბური ფესვი უშერჩეული. იხილეთ ასევე
- მე-4 ხარისხის განტოლებების ადვილად ამოსახსნელი ტიპები: ბიკვადრატული განტოლება, მეოთხე ხარისხის საპასუხო განტოლება
ლიტერატურა
- Korn G., Korn T. (1974) მათემატიკის სახელმძღვანელო.
ბმულები
- Ferrari-ს გადაწყვეტილება
ფონდი ვიკიმედია. 2010 წელი.
ნახეთ, რა არის „მეოთხე ხარისხის განტოლება“ სხვა ლექსიკონებში:
მეოთხე ხარისხის განტოლება- - [ლ.გ. ინგლისურ-რუსული ლექსიკონი საინფორმაციო ტექნოლოგიების შესახებ. M.: სახელმწიფო საწარმო TsNIIS, 2003.] თემები საინფორმაციო ტექნოლოგიაზოგადად EN კვარტიკული განტოლება… ტექნიკური მთარგმნელის სახელმძღვანელო
მე-4 ხარისხის მრავალწევრის გრაფიკი ოთხი ფესვით და სამი კრიტიკული წერტილით. მეოთხე ხარისხის განტოლება მათემატიკაში არის ფორმის ალგებრული განტოლება: ალგებრული განტოლებების მეოთხე ხარისხი არის უმაღლესი, რომელზეც ... ... ვიკიპედია
ფორმის განტოლებას: anxn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0 = 0 ეწოდება ორმხრივი, თუ მისი კოეფიციენტები სიმეტრიულ პოზიციებში ტოლია, ანუ თუ an − k = ak, k = 0-ისთვის, 1, ..., n. სარჩევი 1 მეოთხე ხარისხის განტოლება ... ვიკიპედია
რომელშიც უცნობი ტერმინი მეოთხე ხარისხშია. რუსულ ენაში გამოყენებული უცხო სიტყვების სრული ლექსიკონი. Popov M., 1907. BIQUADRATE EQUATION ლათ. bis, ორჯერ, და კვადრატული, კვადრატი. განტოლება, რომელშიც ყველაზე დიდი ხარისხი... ... რუსული ენის უცხო სიტყვების ლექსიკონი
არითმეტიკასთან ერთად არსებობს რიცხვების მეცნიერება და, რიცხვების მეშვეობით, ზოგადად რაოდენობების შესახებ. რაიმე განსაზღვრული, კონკრეტული სიდიდის თვისებების შესწავლის გარეშე, ორივე ეს მეცნიერება იკვლევს აბსტრაქტული სიდიდეების თვისებებს, როგორც ასეთი, მიუხედავად... ... ენციკლოპედიური ლექსიკონიფ. ბროკჰაუსი და ი.ა. ეფრონი
გამოყენებითი ცოდნის ნაკრები, რომელიც საშუალებას აძლევს ავიაციის ინჟინრებს ისწავლონ აეროდინამიკის, სიძლიერის პრობლემების, ძრავის აგების და თვითმფრინავების ფრენის დინამიკის სფეროში (ანუ თეორია), რათა შექმნან ახალი თვითმფრინავი ან გააუმჯობესონ... ... კოლიერის ენციკლოპედია
უძველესი მათემატიკური აქტივობა იყო დათვლა. საჭირო იყო ანგარიში პირუტყვის თვალყურის დევნებისთვის და ვაჭრობის განსახორციელებლად. ზოგიერთი პრიმიტიული ტომი ითვლიდა საგნების რაოდენობას სხეულის სხვადასხვა ნაწილებთან შეხამებით, ძირითადად... ... კოლიერის ენციკლოპედია
ტექნოლოგიის ისტორია პერიოდებისა და რეგიონების მიხედვით: ნეოლითური რევოლუცია ეგვიპტის ძველი ტექნოლოგია მეცნიერება და ძველი ინდოეთის ტექნოლოგია მეცნიერება და ტექნოლოგია ანტიკური ჩინეთიტექნოლოგიები Უძველესი საბერძნეთიტექნოლოგიები Ანტიკური რომიისლამური სამყაროს ტექნოლოგიები... ... ვიკიპედია
განტოლება არის მათემატიკური ურთიერთობა, რომელიც გამოხატავს ორი ალგებრული გამონათქვამის ტოლობას. თუ თანასწორობა ჭეშმარიტია მასში შემავალი უცნობის ნებისმიერი დასაშვები მნიშვნელობისთვის, მაშინ მას იდენტობა ეწოდება; მაგალითად, ფორმის თანაფარდობა... ... კოლიერის ენციკლოპედია
აბელ რუფინის თეორემა ამბობს, რომ ზოგადი განტოლებაუფლებამოსილებები არ არის გადაწყვეტილი რადიკალებით. სარჩევი 1 დეტალები... ვიკიპედია
განტოლებების გამოყენება ფართოდ არის გავრცელებული ჩვენს ცხოვრებაში. ისინი გამოიყენება მრავალ გამოთვლებში, სტრუქტურების მშენებლობაში და სპორტშიც კი. ადამიანი ძველ დროში იყენებდა განტოლებებს და მას შემდეგ მათი გამოყენება მხოლოდ გაიზარდა. ამ ტიპის განტოლებების ამონახსნები შეიძლება განხორციელდეს უმაღლესი ხარისხის განტოლებების ამოხსნის ზოგადი სქემის მიხედვით. ამ ტიპის განტოლებებს აქვთ ამონახსნები რადიკალებში ფერარის მეთოდის წყალობით, რაც საშუალებას იძლევა ამონახსნები კუბურ განტოლებამდე შეიყვანოთ. თუმცა, უმეტეს შემთხვევაში, მრავალწევრის ფაქტორირებით, შეგიძლიათ სწრაფად იპოვოთ განტოლების ამოხსნა.
დავუშვათ, რომ მოცემულია მეოთხე ხარისხის ბინომიალური განტოლება:
მოდით ფაქტორიზაცია გავუკეთოთ მრავალწევრს:
ჩვენ განვსაზღვრავთ პირველი კვადრატული ტრინომის ფესვებს:
ჩვენ განვსაზღვრავთ მეორე ტრინომის ფესვებს:
შედეგად, თავდაპირველ განტოლებას აქვს ოთხი რთული ფესვი:
სად შემიძლია გადაჭრა მე-4 ხარისხის განტოლებები ონლაინ?
განტოლების ამოხსნა შეგიძლიათ ჩვენს ვებგვერდზე https://site. უფასო ონლაინ ამომხსნელი საშუალებას მოგცემთ ამოხსნათ ნებისმიერი სირთულის ონლაინ განტოლებები რამდენიმე წამში. ყველაფერი რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ არის უბრალოდ შეიყვანოთ თქვენი მონაცემები გადამწყვეტში. თქვენ ასევე შეგიძლიათ უყუროთ ვიდეო ინსტრუქციებს და გაიგოთ, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ განტოლება ჩვენს ვებსაიტზე და თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები, შეგიძლიათ დაუსვათ ისინი ჩვენს VKontakte ჯგუფში http://vk.com/pocketteacher. შემოუერთდით ჩვენს ჯგუფს, ჩვენ ყოველთვის სიამოვნებით დაგეხმარებით.
